修士レベル：代数・数論・代数幾何

$R$ は $k$ 上 $1$, $x^i$ $(i \geq 1)$, $y^j$ $(j \geq 1)$ を基底にもつ。

(1) $R/(x) \cong k[y]$, $R/(y) \cong k[x]$ は整域なので $(x), (y)$ は素イデアル。任意の素イデアルは $xy = 0$ を含むので $x$ か $y$ を含み、$(x)$ か $(y)$ を含む。$(x) \not\subset (y)$ かつ $(y) \not\subset (x)$ なので、極小素イデアルは $(x), (y)$。$(x) = \operatorname{span}\lbrace x^i \rbrace$, $(y) = \operatorname{span}\lbrace y^j \rbrace$ の共通部分は $0$ なので冪零根基 $= (x) \cap (y) = 0$、$R$ は被約。$xy = 0$, $x, y \neq 0$ なので整域でない。

(2) $y \notin (x)$ なので $y$ は $R_{\mathfrak{p}}$ で可逆で、$x = xy \cdot y^{-1} = 0$。よって $R_{\mathfrak{p}} \cong (R/(x))_{(0)} = k[y]_{(0)} = k(y)$。一方、$x$ の零化イデアルは基底表示から $\operatorname{Ann}(x) = (y) \subset \mathfrak{m}$ なので、$sx = 0$ となる $s \notin \mathfrak{m}$ はなく $x/1 \neq 0$。同様に $y/1 \neq 0$ だが $(x/1)(y/1) = 0$ なので、$R_{\mathfrak{m}}$ は整域でない。

• 局所化 $R_\mathfrak{p}$ は「$\mathfrak{p}$ に対応する既約成分の生成点の近く」を見ること。$(x)$ で局所化すると交点の情報は消え、原点での局所環は 2 本の枝をもち整域でない。

(1) $\varphi\colon k[x,y] \to A$, $x \mapsto t^2$, $y \mapsto t^3$ は全射で $y^2 - x^3 \in \ker\varphi$。任意の $g$ は $y$ についてモニックな $y^2 - x^3$ で割って $g \equiv a(x) + b(x)y$ と書ける。$\varphi(a + by) = a(t^2) + b(t^2)t^3$ の第 1 項は偶数次、第 2 項は奇数次の項のみなので、これが $0$ なら $a = b = 0$。よって $\ker\varphi = (y^2 - x^3)$。

(2) $t = t^3/t^2$ より $A$ の商体は $k(t)$。$t$ は $X^2 - t^2 \in A[X]$ の根なので $A$ 上整で、$k[t] = A[t]$ は $A$ 上整。$k[t]$ は UFD なので整閉。よって $A$ の $k(t)$ における整閉包は $k[t]$。$t \notin A$（$A$ は 1 次の単項式を含まない）なので $A$ は整閉でない。

(3) $k[t]$ は $A$ 上整なので $\dim A = \dim k[t] = 1$（上昇定理と比較不能性）。$\mathfrak{m}$ は $t^n$ $(n \geq 2)$ で張られ、$\mathfrak{m}^2$ は $t^n$ $(n \geq 4)$ で張られるので、$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $t^2, t^3$ の類を基底とする 2 次元空間。$\mathfrak{m}$ は極大なので $\mathfrak{m}A_\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2A_\mathfrak{m} \cong \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ で、埋め込み次元 $2 > 1 = \dim A_\mathfrak{m}$。よって正則でなく、DVR でもない。

• $A$ はカスプ $y^2 = x^3$ の座標環で、$k[t] \to A$ はその正規化である。1 次元ネーター局所整域では「正則 $\Leftrightarrow$ 整閉 $\Leftrightarrow$ DVR」。

(1) クルルの交叉定理より $\bigcap_n \mathfrak{m}^n = 0$。$a \neq 0$ に対し $a \in \mathfrak{m}^n = (\pi^n)$ となる最大の $n$ をとり $a = u\pi^n$ と書くと、$u \in \mathfrak{m}$ なら $a \in \mathfrak{m}^{n+1}$ となるので $u \notin \mathfrak{m}$、すなわち $u$ は単元。$u\pi^n = u'\pi^{n'}$（$n \leq n'$）なら整域なので $u = u'\pi^{n'-n}$ で、$u$ が単元だから $n = n'$。$v(a) = n$ は $v(ab) = v(a) + v(b)$, $v(a + b) \geq \min(v(a), v(b))$ を満たし、商体に延長して離散付値を与え、$R$ はその付値環である。

(2) $R \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2+3)$ より $R/\mathfrak{p} \cong \mathbb{F}_2[x]/(x+1, x^2+1) = \mathbb{F}_2$ で極大。加法群として $\mathfrak{p} = 2\mathbb{Z} \oplus (1+\sqrt{-3})\mathbb{Z}$（$2\sqrt{-3} = 2(1+\sqrt{-3}) - 2$ などによる）。$(1+\sqrt{-3})^2 = -2 + 2\sqrt{-3}$ より $\mathfrak{p}^2 = (4, 2 + 2\sqrt{-3}, -2 + 2\sqrt{-3}) = (4, 2 + 2\sqrt{-3}) = 2\mathfrak{p}$。したがって $\mathfrak{p}/\mathfrak{p}^2 = \mathfrak{p}/2\mathfrak{p} \cong (\mathbb{Z}/2)^2$ で、$\dim_{\mathbb{F}_2}\mathfrak{p}R_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}^2R_\mathfrak{p} = 2$。$R_\mathfrak{p}$ の極大イデアルは単項でなく、DVR でない。一方 $2 \notin \mathfrak{q}$ なら $2$ は $R_\mathfrak{q}$ で可逆なので $\omega = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2} \in R_\mathfrak{q}$ となり、$R_\mathfrak{q}$ はデデキント環 $\mathbb{Z}[\omega]$ の $0$ でない素イデアルでの局所化に一致する。よって DVR。

• $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ は整数環 $\mathbb{Z}[\omega]$ の指数 2 の部分環（整環）で、導手は $2\mathbb{Z}[\omega] = \mathfrak{p}$。整閉でない現象は導手を含む素イデアルでだけ起こる。

(1) 射影分解 $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{m} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m \to 0$ に $- \otimes \mathbb{Z}/n$ と $\operatorname{Hom}(-, \mathbb{Z}/n)$ を施すと、いずれも $\mathbb{Z}/n \xrightarrow{m} \mathbb{Z}/n$ という複体になる。その核は $\frac{n}{d}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/d$、余核は $\mathbb{Z}/(m,n) = \mathbb{Z}/d$。よって $\operatorname{Tor}_0 = \operatorname{Tor}_1 = \operatorname{Ext}^0 = \operatorname{Ext}^1 = \mathbb{Z}/d$、$i \geq 2$ ではすべて $0$。

(2) コシュル複体 $0 \to R \xrightarrow{(-y,\ x)} R^2 \xrightarrow{(x\ \ y)} R \to k \to 0$ は（$x, y$ が正則列なので）完全で、$k$ の自由分解である。$\otimes_R k$ をとると、写像の成分はすべて $(x,y)$ に属するので $0$ になる。よって $\operatorname{Tor}_0 = k$, $\operatorname{Tor}_1 = k^2$, $\operatorname{Tor}_2 = k$, $i \geq 3$ で $0$。

(3) $x$ 倍写像の核と像はどちらも $(x)$ なので、$\cdots \to R \xrightarrow{x} R \xrightarrow{x} R \to k \to 0$ は自由分解。$\otimes k$ で写像はすべて $0$ になり、$\operatorname{Tor}_i^R(k,k) = k$（すべての $i \geq 0$）。$\operatorname{Hom}_R(-,R)$ をとると $R \xrightarrow{x} R \xrightarrow{x} \cdots$ で、$\operatorname{Ext}^0 = \ker x = (x) \cong k$、$i \geq 1$ で $\operatorname{Ext}^i = (x)/(x) = 0$。長さ $n$ の射影分解があれば $\operatorname{Tor}_{n+1}(k,k) = 0$ となるはずで矛盾。

• (2) と (3) の対比は、セールの定理「ネーター局所環が正則 $\Leftrightarrow$ 大域次元が有限」の具体例である。

(1) $\nu$ の像で $q_i = 0$ は直接確かめられる。逆に $P \in V(q_0,q_1,q_2)$ とする。$x \neq 0$ なら $x = 1$ として $z = y^2$, $w = yz = y^3$ で $P = \nu([1:y])$。$x = 0$ なら $q_0$ から $y = 0$、$q_1$ から $z = 0$ で $P = [0:0:0:1] = \nu([0:1])$。

(2) $P \in V(q_0,q_1)$ とする。$y \neq 0$ なら $xz = y^2 \neq 0$ より $x \neq 0$ で、$x = 1$ として $z = y^2$, $w = z^2/y = y^3$、$P \in C$。$y = 0$ なら $q_1$ から $z = 0$ で $P \in L$。逆に $L \subset V(q_0,q_1)$ は明らか。なお $[1:0:0:1] \in L$ は $q_2 = 1$ で $C$ に属さない。

(3) 斉次イデアル $I(C)$ は準同型 $k[x,y,z,w] \to k[s,t]$（$x \mapsto s^3, \dots, w \mapsto t^3$）の核である（$C$ 上で消えることと、合成した $s, t$ の多項式が $0$ であることは同値）。その像は $\bigoplus_m k[s,t]_{3m}$：実際、次数 $3m$ の単項式 $s^at^b$ は $b = b_1 + \cdots + b_m$（$0 \leq b_i \leq 3$）と分けて、$s^{3-b_i}t^{b_i}$ の積として表せる。よって斉次座標環の次数 $m$ 部分は $\dim_k k[s,t]_{3m} = 3m + 1$。ヒルベルト多項式 $3m + 1$ から、次数は $3$、算術種数は $1 - 1 = 0$。

• $C$ は 3 つの 2 次式で定義され、2 つでは足りない（(2)）。集合としては $q_0$ と $xw^2 - 2yzw + z^3$ で定義できるが（$x = 1$ で後者は $(w - y^3)^2$）、イデアルとしては完全交叉でない最も簡単な例である。

(1) 交わらない空でない開集合 $U_1, U_2$ 上の定数関数 $0$ と $1$ は、共通部分（空集合）上で一致するが、$U_1 \cup U_2$ 上の定数関数に貼り合わない。よって層でない。層化は局所定数関数の層 $\underline{\mathbb{Z}}$ である。

(2) 層の列の完全性は茎で確かめればよい。$p \in X$ での茎で、$e^{2\pi if} = 1$ となる芽 $f$ は整数値の連続関数、すなわち局所定数の芽で、$\underline{\mathbb{Z}}_p$ の像に一致する。全射性：$g \in \mathcal{O}^\times_p$ は $p$ を中心とする小円板で零点をもたず、円板は単連結なので正則な対数 $\log g$ がとれ、$f = \frac{1}{2\pi i}\log g$ とすれば $e^{2\pi if} = g$。

(3) $g(z) = z$ が $e^{2\pi if}$（$f \in \mathcal{O}(X)$）と書けたとすると $\frac{g'}{g} = 2\pi if'$ で、$\oint_{\lvert z \rvert = 1}\frac{dz}{z} = 2\pi i\oint f'\ dz = 0$ となるが、左辺は $2\pi i$。$X$ が単連結なら、$g'/g$ は原始関数 $h$ をもち、$(ge^{-h})' = 0$ より $g = ce^{h}$、$c = e^{c'}$ として $g = e^{h + c'}$。

• 「層の射が全射」は茎ごとの全射で、大域切断の全射を意味しない。その障害が層コホモロジーで、$X = \mathbb{C}^\times$ では $H^1(X,\mathcal{O}) = 0$ より $\mathcal{O}^\times(X)/\exp \cong H^1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$（回転数）となる。

リーマン–ロッホの定理：$\ell(D) - \ell(K - D) = \deg D - g + 1$、$\deg K = 2g - 2$、$\ell(K) = g$。

(1) $g = 1$ では $\deg K = 0$, $\ell(K) = 1$ より $K \sim 0$。$\deg D \geq 1$ なら $\ell(K - D) = \ell(-D) = 0$（負次数の因子には $0$ でない切断がない）なので $\ell(D) = \deg D$。よって $\ell(nO) = n$。$\ell(O) = 1$（定数のみ）$< \ell(2O) = 2 < \ell(3O) = 3$ から、$L(2O) \setminus L(O)$ の元 $x$（極の位数がちょうど 2）と $L(3O) \setminus L(2O)$ の元 $y$（ちょうど 3）がとれる。7 個の関数 $1, x, y, x^2, xy, x^3, y^2$ は $6$ 次元の $L(6O)$ に属するので 1 次従属。極の位数はそれぞれ $0, 2, 3, 4, 5, 6, 6$。関係式で $x^3, y^2$ の係数がともに $0$ なら、残りは極の位数が相異なり 1 次独立なので、関係式は自明になる。一方だけが $0$ なら、他方が位数 6 の極を唯一もち、その係数も $0$ でなければならない。よって両方とも $0$ でない。

(2) $g = 2$ で $\deg K = 2$, $\ell(K) = 2$。$P$ が基点なら $\ell(K - P) = 2$。リーマン–ロッホを $D = P$ に適用すると $\ell(P) - \ell(K - P) = 1 - 2 + 1 = 0$。$\ell(P) = 2$ なら $P$ だけに 1 位の極をもつ関数が $C \cong \mathbb{P}^1$ を与え $g = 2$ に反するので $\ell(P) = 1$、よって $\ell(K - P) = 1 \neq 2$。基点はなく、$\lvert K \rvert$ は次数 $\deg K = 2$ の射 $\varphi\colon C \to \mathbb{P}^1$ を定める。リーマン–フルヴィッツの公式 $2g - 2 = 2(2 \cdot 0 - 2) + \sum_P(e_P - 1)$ より $\sum(e_P - 1) = 6$、次数 2 なので $e_P \in \lbrace 1, 2 \rbrace$ で、分岐点は 6 個。

• (1) の関係式を整理すると、ワイエルシュトラス標準形 $y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3$ が得られる。複素解析的には $x = \wp(z)$, $y = \wp'(z)$ である（リーマン面 第2章）。

(1) $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha]$ なので、デデキント–クンマーの定理により $x^3 - 2$ の $\mathbb{F}_p$ 上の分解が $(p)$ の分解を与える。

• $p = 2$：$x^3$。$(2) = (2, \alpha)^3 = (\alpha)^3$（完全分岐）。
• $p = 3$：$x^3 - 2 \equiv x^3 + 1 = (x + 1)^3$。$(3) = \mathfrak{p}_3^3$, $\mathfrak{p}_3 = (3, \alpha + 1)$（完全分岐）。
• $p = 5$：$3^3 = 27 \equiv 2$ より $x^3 - 2 \equiv (x - 3)(x^2 + 3x + 4)$。2 次式の判別式 $9 - 16 \equiv 3$ は平方剰余でない（平方は $0, 1, 4$）ので既約。$(5) = \mathfrak{p}\mathfrak{p}'$（剰余次数 1 と 2）。
• $p = 7$：$\mathbb{F}_7$ の立方数は $0, \pm 1$ なので $2$ は立方数でなく、$x^3 - 2$ は既約。$(7)$ は惰性。
• $p = 31$：$4^3 = 64$, $7^3 = 343$, $20^3 = 8000$ はすべて $31$ を法として $2$ に合同。3 つの相異なる根をもち、$(31) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3$（完全分解）。

(2) $\alpha + 1$ の最小多項式は $(x-1)^3 - 2 = x^3 - 3x^2 + 3x - 3$ なので $N(\alpha + 1) = 3$。$(\alpha+1)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2 + 3\alpha + 1 = 3(1 + \alpha + \alpha^2)$ で、$1 + \alpha + \alpha^2 = \frac{\alpha^3 - 1}{\alpha - 1} = \frac{1}{\alpha - 1}$ は単元（$\alpha - 1$ の最小多項式 $x^3 + 3x^2 + 3x - 1$ より $N(\alpha - 1) = 1$）。よって $(\alpha + 1)^3 = (3)$。

(3) $K$ は実埋め込み 1 個、複素埋め込みの対 1 個をもつ（$r_1 = r_2 = 1$）。ミンコフスキーの評価は

各イデアル類はノルム $2$ 以下の整イデアルを含む。ノルム 2 の整イデアルは $(2)$ の約数でノルム 2 のもの、すなわち $(\alpha)$ のみで、単項。よって類数は 1。

• $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha]$ の確認：判別式 $-108 = -2^2 3^3$ より指数の素因数は $2, 3$ に限られ、$x^3 - 2$ は 2 で、$(x-1)^3 - 2$ は 3 でアイゼンシュタインなので、どちらも指数を割らない。
• $K/\mathbb{Q}$ はガロア拡大でないので、$(5)$ のように剰余次数の異なる素イデアルに分解しうる。

(1) $x^2 - x + 6$ は $\mathbb{F}_2$ で $x(x - 1)$、$\mathbb{F}_3$ で $x(x - 1)$ と相異なる 1 次式に分解するので、デデキント–クンマーの定理より主張の分解を得る（各素イデアルのノルムは 2 または 3）。

(2) $4N(a + b\theta) = (2a + b)^2 + 23b^2$ なので、$b \neq 0$ ならノルムは $\frac{23}{4}$ 以上、すなわち $6$ 以上。よってノルム $2, 3, 4$ の元は $b = 0$ で、ノルム 4 の $\pm 2$ だけである。とくに $\mathfrak{p}$（ノルム 2）は単項でない。$\mathfrak{p}^2$ が単項なら $(\pm 2) = (2) = \mathfrak{p}\mathfrak{p}'$ となり、素イデアル分解の一意性から $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}'$ で矛盾。次に $N(\theta + 1) = 1 + 1 + 6 = 8$。$\theta + 1 = (\theta - 1) + 2 \in \mathfrak{p}'$、一方 $\theta \in \mathfrak{p}$ より $\theta + 1 \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}}$ で $\theta + 1 \notin \mathfrak{p}$。ノルム 8 なので $(\theta + 1)$ は $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}'$ の積で指数の和が 3、$\mathfrak{p}$ を含まないので $(\theta + 1) = \mathfrak{p}'^3$。

(3) ミンコフスキーの評価は $M_K = \frac{2!}{2^2}\cdot\frac{4}{\pi}\sqrt{23} = \frac{2\sqrt{23}}{\pi} \approx 3.05$ なので、類群はノルム 3 以下の素イデアル $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}', \mathfrak{q}, \mathfrak{q}'$ の類で生成される。(2) と同様に $\mathfrak{p}'$, $\mathfrak{p}'^2$ も単項でないので $[\mathfrak{p}']$ の位数は 3 で、$[\mathfrak{p}] = [\mathfrak{p}']^{-1}$。$N(\theta) = 6$, $\theta \in \mathfrak{p} \cap \mathfrak{q}$ より $(\theta) = \mathfrak{p}\mathfrak{q}$、よって $[\mathfrak{q}] = [\mathfrak{p}]^{-1} = [\mathfrak{p}']$、$[\mathfrak{q}'] = [\mathfrak{q}]^{-1} = [\mathfrak{p}]$。類群は $[\mathfrak{p}']$ で生成される位数 3 の巡回群で、類数は 3。

• 虚二次体の類数計算の定型：ミンコフスキーの評価 → 評価以下の素数の分解 → ノルム方程式で単項性を判定 → 単項イデアルの分解から関係式。
• $h(-23) = 3$ は、判別式 $-23$ の 3 次式 $x^3 - x - 1$ の最小分解体が $K$ のヒルベルト類体になることと対応する（代数的整数論 第7章）。

(1) $f(x) = x^2 - 7$ は $f(1) = -6 \equiv 0 \pmod 3$, $f'(1) = 2 \not\equiv 0 \pmod 3$ なので、ヘンゼルの補題により $x \equiv 1 \pmod 3$ となる根が $\mathbb{Z}_3$ にただ一つある。持ち上げ：$x = 1 + 3t$ で $1 + 6t \equiv 7 \pmod 9$ より $t \equiv 1 \pmod 3$、$x \equiv 4 \pmod 9$。$x = 4 + 9s$ で $16 + 72s \equiv 7 \pmod{27}$、$72 \equiv 18$ より $18s \equiv 18 \pmod{27}$、$s \equiv 1 \pmod 3$。よって $x \equiv 13 \pmod{27}$（$13^2 = 169 = 6 \cdot 27 + 7$）。

(2) $\mathbb{Q}_7$：$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$ で $f'(3) = 6 \not\equiv 0$ なので、ヘンゼルの補題より平方数。$\mathbb{Q}_5$：$x^2 = 2$ なら $v_5(x) = 0$ で $x \in \mathbb{Z}_5^\times$、$x^2 \equiv 2 \pmod 5$ となるが、$\mathbb{F}_5$ の平方は $0, 1, 4$ なので平方数でない。$\mathbb{Q}_2$：$v_2(x^2) = 2v_2(x)$ は偶数だが $v_2(2) = 1$ なので平方数でない。

(3) $\mathbb{Q}_p^\times = p^{\mathbb{Z}} \times \mathbb{Z}_p^\times$。$u \in \mathbb{Z}_p^\times$ が平方数 $\Leftrightarrow$ $u \bmod p$ が $\mathbb{F}_p^\times$ で平方数（$\Rightarrow$ は明らか、$\Leftarrow$ は $p$ 奇素数でのヘンゼルの補題）。よって $\mathbb{Z}_p^\times/(\mathbb{Z}_p^\times)^2 \cong \mathbb{F}_p^\times/(\mathbb{F}_p^\times)^2 \cong \mathbb{Z}/2$、$p^{\mathbb{Z}}/p^{2\mathbb{Z}} \cong \mathbb{Z}/2$ で、$\mathbb{Q}_p^\times/(\mathbb{Q}_p^\times)^2 \cong (\mathbb{Z}/2)^2$。代表元は $1, u, p, up$（$u$ は $p$ を法とする平方非剰余）。

• $p = 2$ では $u \in \mathbb{Z}_2^\times$ が平方数 $\Leftrightarrow$ $u \equiv 1 \pmod 8$ で、$\mathbb{Q}_2^\times/(\mathbb{Q}_2^\times)^2$ の位数は 8。この群は $\mathbb{Q}_p$ の二次拡大を分類する。

(1) 共役類は $\lbrace e \rbrace$（1 個）、$(12)(34)$ 型（3 個）、$(123)$ の類（4 個）、$(132)$ の類（4 個）の 4 つ。$V_4 = \lbrace e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rbrace$ は正規部分群で $\mathfrak{A}_4/V_4 \cong \mathbb{Z}/3$ なので、1 次元指標が 3 つある（$\omega = e^{2\pi i/3}$、$(123) \mapsto \omega$）。既約表現の次元の 2 乗和が $12$ なので残りは 3 次元 1 つ。その値は列の直交関係（または (2)）から決まる。

(2) 置換指標は固定点の個数 $\pi = (4, 0, 1, 1)$。$\langle \pi, \chi_1 \rangle = \frac{4 + 0 + 4 + 4}{12} = 1$ で、$\pi - \chi_1 = (3, -1, 0, 0) = \chi_4$。よって $\mathbb{C}^4 \cong \chi_1 \oplus \chi_4$。

(3) $\chi_4^2 = (9, 1, 0, 0)$。$\langle \chi_4^2, \chi_1 \rangle = \frac{9 + 3}{12} = 1$、$\chi_2, \chi_3$ とも同様に $1$、$\langle \chi_4^2, \chi_4 \rangle = \frac{27 - 3}{12} = 2$。よって $V \otimes V \cong \chi_1 \oplus \chi_2 \oplus \chi_3 \oplus 2\chi_4$（次元 $1 + 1 + 1 + 6 = 9$ で整合）。