複素関数論

(1) $F(z) = \frac{z^2}{(z^2+1)^2(z^2+4)}$ とし、$[-R, R]$ と上半円 $C_R$ からなる閉路（$R > 2$）で積分する。上半平面の極は $i$（2 位）と $2i$（1 位）。

$z = i$ では $g(z) = \frac{z^2}{(z+i)^2(z^2+4)}$ として留数は $g'(i)$。対数微分 $\frac{g'}{g} = \frac{2}{z} - \frac{2}{z+i} - \frac{2z}{z^2+4}$ に $z = i$ を代入すると $-2i + i - \frac{2i}{3} = -\frac{5i}{3}$、$g(i) = \frac{-1}{(2i)^2 \cdot 3} = \frac{1}{12}$ なので $g'(i) = -\frac{5i}{36}$。$C_R$ 上では $\lvert F \rvert \leq \frac{R^2}{(R^2-1)^2(R^2-4)}$ で、$\lvert \int_{C_R} F \rvert \leq \pi R \cdot \frac{R^2}{(R^2-1)^2(R^2-4)} \to 0$。よって

(2) $z = e^{i\theta}$ とおくと $\cos\theta = \frac{z^2+1}{2z}$, $d\theta = \frac{dz}{iz}$ で、$2 + \cos\theta = \frac{z^2 + 4z + 1}{2z}$。よって積分は $\oint_{\lvert z \rvert = 1} \frac{4z}{i(z^2+4z+1)^2}\ dz$。$z^2 + 4z + 1 = (z - \alpha)(z - \beta)$, $\alpha = -2 + \sqrt{3}$（単位円内）, $\beta = -2 - \sqrt{3}$（外）。$\alpha$ は 2 位の極で、$h(z) = \frac{4z}{i(z-\beta)^2}$ とすると留数は

したがって積分 $= 2\pi i \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}\ i} = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$。

• 2 位の極の留数は $\frac{d}{dz}[(z-a)^2F(z)]_{z=a}$。対数微分を使うと計算量が減る。(1) は部分分数分解 $\frac{t}{(t+1)^2(t+4)} = \frac{4/9}{t+1} - \frac{1/3}{(t+1)^2} - \frac{4/9}{t+4}$（$t = x^2$）で検算できる。

(1) $[0, \frac{\pi}{2}]$ で $\sin\theta \geq \frac{2}{\pi}\theta$（凹性）より $\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}d\theta \leq \int_0^{\pi/2} e^{-2R\theta/\pi}d\theta = \frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R}) < \frac{\pi}{2R}$。$\theta \mapsto \pi - \theta$ の対称性から全体は $\frac{\pi}{R}$ 未満。

(2) $F(z) = \frac{ze^{iaz}}{z^2+b^2}$ を $[-R, R]$ と上半円 $C_R$（$R > b$）で積分する。上半平面の極は $ib$ のみで、$\operatorname{Res}_{ib}F = \frac{ib\ e^{-ab}}{2ib} = \frac{e^{-ab}}{2}$。$C_R$ 上 $\lvert e^{iaz} \rvert = e^{-aR\sin\theta}$ なので、(1)（$R$ を $aR$ として）より

実軸上では $\frac{x\cos ax}{x^2+b^2}$ が奇関数なので $\int_{-R}^{R}F = 2i\int_0^R \frac{x\sin ax}{x^2+b^2}dx$。留数定理から $2i\int_0^R \cdots + \int_{C_R}F = \pi i e^{-ab}$、$R \to \infty$ として結論を得る。

(3) $G(z) = e^{iz}/z$ を、$[-R, -\varepsilon]$、原点を上から避ける半円 $\Gamma_\varepsilon$（時計回り）、$[\varepsilon, R]$、上半円 $C_R$ からなる閉路で積分すると、内部に極がないので $0$。実軸部分は $\int_{\varepsilon}^{R}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{x}dx = 2i\int_{\varepsilon}^{R}\frac{\sin x}{x}dx$。$G(z) = \frac{1}{z} + \phi(z)$（$\phi$ は原点の近くで有界）より $\int_{\Gamma_\varepsilon}G = -\pi i + O(\varepsilon)$。また (1) より $\lvert \int_{C_R}G \rvert \leq \int_0^{\pi}e^{-R\sin\theta}d\theta < \frac{\pi}{R}$。$\varepsilon \to 0$, $R \to \infty$ として $2i\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx - \pi i = 0$。

• 被積分関数が $1/\lvert z \rvert$ 程度にしか減衰しないとき、長さ $\pi R$ を掛ける粗い評価では足りず、ジョルダンの補題で $e^{iaz}$ の減衰を使う。$\sin az$ は上半平面で増大するので、必ず $e^{iaz}$ で考える。
• (3) の $-\pi i$ は「1 位の極を半周すると留数の $\pi i$ 倍」という一般則による。(2) と同様の方法で $\int_0^\infty \frac{\cos ax}{x^2+b^2}dx = \frac{\pi}{2b}e^{-ab}$ も得られる。

(1) $\mathbb{C} \setminus [0, \infty)$ で $0 < \arg z < 2\pi$ となる分枝をとり $F(z) = \frac{z^{\alpha-1}}{1+z}$ とする。半径 $R$ の大円、半径 $\varepsilon$ の小円、正の実軸の上岸と下岸からなる鍵穴型の閉路で積分する。内部の極は $z = -1 = e^{i\pi}$ のみで留数は $e^{i\pi(\alpha-1)} = -e^{i\pi\alpha}$。上岸では $\arg z = 0$、下岸（逆向き）では $\arg z = 2\pi$ なので、$I$ を求める積分として実軸部分の寄与は $(1 - e^{2\pi i\alpha})I$ に収束する。円周上の寄与は

（$0 < \alpha < 1$ を使った）。よって $(1 - e^{2\pi i\alpha})I = -2\pi i e^{i\pi\alpha}$、両辺を $-e^{i\pi\alpha}$ で割って $(e^{i\pi\alpha} - e^{-i\pi\alpha})I = 2\pi i$、$I = \frac{\pi}{\sin\pi\alpha}$。

(2) $x = t^{1/n}$ と置換すると $\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^n} = \frac{1}{n}\int_0^\infty \frac{t^{1/n - 1}}{1+t}dt = \frac{\pi/n}{\sin(\pi/n)}$（(1) で $\alpha = 1/n$）。

(3) $x = t^{1/2}$ の置換と (1) から、$0 < \alpha < 2$ で

$\frac{\partial^2}{\partial\alpha^2}x^{\alpha-1} = (\log x)^2x^{\alpha-1}$ で、$\alpha \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ では $(\log x)^2 x^{\alpha-1} \leq (\log x)^2(x^{-1/2} + x^{1/2})$ であり、これを $1 + x^2$ で割ったものは $(0, \infty)$ で可積分。1 階導関数 $(\log x)x^{\alpha-1}$ も同様に $\lvert \log x \rvert(x^{-1/2} + x^{1/2})$ で抑えられる。よって優収束定理により微分と積分を 2 回交換でき、$J''(1) = \int_0^\infty \frac{(\log x)^2}{1+x^2}dx$。右辺を 2 回微分すると $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi^2}{4}\left(\csc u\cot^2 u + \csc^3 u\right)$（$u = \pi\alpha/2$）で、$\alpha = 1$（$u = \pi/2$）では $\frac{\pi^3}{8}$。

• 鍵穴型積分路では、(i) 分枝の定め方、(ii) 上岸と下岸での $\arg$ の値、(iii) 大円・小円の評価に使う $\alpha$ の範囲、を答案に明記する。留数を $(-1)^{\alpha-1}$ と書いて分枝を曖昧にするのは典型的な失点である。
• (1) は相補公式 $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha) = \frac{\pi}{\sin\pi\alpha}$ と同値である（複素関数論 第7章）。

ルーシェの定理（円周上 $\lvert g \rvert < \lvert f \rvert$ なら $f$ と $f + g$ の円板内の零点の個数は等しい）を使う。

(1) $\lvert z \rvert = 1$ 上で $\lvert z^7 + z - 1 \rvert \leq 3 < 4 = \lvert -4z^3 \rvert$ なので、$p$ は $\lvert z \rvert < 1$ に $-4z^3$ と同じ 3 個の零点をもつ。また $\lvert z \rvert = 1$ 上で $\lvert p \rvert \geq 4 - 3 > 0$ なので円周上に零点はない。$\lvert z \rvert = 2$ 上で $\lvert -4z^3 + z - 1 \rvert \leq 32 + 2 + 1 = 35 < 128 = \lvert z^7 \rvert$ なので、$\lvert z \rvert < 2$ には 7 個。よって $\lvert z \rvert < 1$ に 3 個、$1 < \lvert z \rvert < 2$ に 4 個。

(2) $\lvert z \rvert = 1$ 上で $\lvert e^z \rvert = e^{\operatorname{Re} z} \leq e < 5 = \lvert 5z^3 \rvert$ なので、$5z^3 - e^z$ は $\lvert z \rvert < 1$ に $5z^3$ と同じ 3 個の零点をもつ。重解なら $e^z = 5z^3$ かつ $e^z = 15z^2$ で、$5z^3 = 15z^2$ より $z = 0$ または $3$ だが、$z = 0$ は解でなく $z = 3$ は円板外。よってすべて単解。実数解について：$(-1, 0]$ では $e^x > 0 \geq 5x^3$ で解がない。$x \in (0,1)$ では方程式は $u(x) := \frac{x}{3} - \log x = \frac{\log 5}{3}$ と同値で、$u'(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{x} < 0$ より解は高々 1 個。$h(x) = e^x - 5x^3$ は $h(0) = 1 > 0$, $h(1) = e - 5 < 0$ なので解はちょうど 1 個。残りの 2 個は虚数解（実係数なので互いに共役）である。

• ルーシェの定理の適用では、比較する関数（支配項）の選び方がすべてである。円周上で最大の項を $f$ に選び、残りの和を三角不等式で評価する。境界上に零点がないことも確認しておく。
• 実数解の個数は、虚数解が共役対で現れることから偶奇を確定させると効率的である。

(1) $g(z) = f(z)/z$（$g(0) = f'(0)$）は $\mathbb{D}$ で正則。$0 < r < 1$ のとき $\lvert z \rvert = r$ 上 $\lvert g \rvert \leq 1/r$ なので、最大値原理により $\lvert z \rvert \leq r$ で $\lvert g \rvert \leq 1/r$。$r \to 1$ として $\lvert g \rvert \leq 1$、すなわち $\lvert f(z) \rvert \leq \lvert z \rvert$, $\lvert f'(0) \rvert \leq 1$。（さらに $\mathbb{D}$ 内の 1 点で等号なら $g$ は定数で、$f(z) = e^{i\theta}z$。）

(2) $\lvert a \rvert < 1$ に対し $\varphi_a(w) = \frac{w - a}{1 - \overline{a}w}$ は $\mathbb{D}$ の自己同型で、逆写像は $\varphi_{-a}$、$\varphi_a'(a) = \frac{1}{1 - \lvert a \rvert^2}$。$g = \varphi_{1/2} \circ f$ は $g(0) = 0$ を満たすので (1) より $\lvert g'(0) \rvert \leq 1$。$g'(0) = \varphi_{1/2}'(\frac{1}{2})f'(0) = \frac{4}{3}f'(0)$ だから $\lvert f'(0) \rvert \leq \frac{3}{4}$。等号は $g(z) = e^{i\theta}z$、すなわち

のときで、これらは確かに条件を満たす。最大値は $\frac{3}{4}$。

(3) $B(z) = z\ \varphi_{1/2}(z) = z\cdot\frac{z - 1/2}{1 - z/2}$ とおく。$h = f/B$ は $0$, $\frac{1}{2}$ が除去可能特異点なので $\mathbb{D}$ で正則。$\lvert z \rvert = r$ 上 $\lvert h \rvert \leq 1/\min_{\lvert w \rvert = r}\lvert B(w) \rvert$ で、$r \to 1$ のとき右辺は $1$ に収束する（$\lvert B \rvert$ は $\lvert z \rvert \to 1$ で一様に $1$ に近づく）。最大値原理より $\lvert h \rvert \leq 1$、よって $\lvert f(z) \rvert \leq \lvert B(z) \rvert$。$\lvert B(-\frac{1}{2}) \rvert = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5/4} = \frac{2}{5}$ で、$f = B$ で等号が成り立つので、最大値は $\frac{2}{5}$。

• 「$f(0) \neq 0$ なら自己同型 $\varphi_a$ で $0$ に移してからシュワルツの補題」が定石。一般形はシュワルツ–ピックの補題 $\lvert f'(z) \rvert \leq \frac{1 - \lvert f(z) \rvert^2}{1 - \lvert z \rvert^2}$ である。

(1) $\zeta = e^z$ は $S$ を $H$ に全単射に写し（$\arg\zeta = \operatorname{Im} z \in (0, \pi)$）、ケーリー変換 $w = \frac{\zeta - i}{\zeta + i}$ は $H$ を $\mathbb{D}$ に写す。よって $w = \frac{e^z - i}{e^z + i}$。

(2) $T(z) = \frac{1+z}{1-z}$ は $\mathbb{D}$ を右半平面に全単射に写す（$w = T(z)$ のとき $\lvert z \rvert < 1 \Leftrightarrow \lvert w - 1 \rvert < \lvert w + 1 \rvert \Leftrightarrow \operatorname{Re} w > 0$）。$\operatorname{Im} T(z) = \frac{2\operatorname{Im} z}{\lvert 1 - z \rvert^2}$ なので $D^{+}$ は第 1 象限に写る。さらに $w \mapsto w^2$ は第 1 象限を $H$ に全単射に写す。よって $z \mapsto \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^2$。

(3) $u(z) = \frac{2}{\pi}\arg\frac{1+z}{1-z}$（$\arg$ は $(0, \frac{\pi}{2})$ に値をとる）とおく。$\arg w = \operatorname{Im}\operatorname{Log} w$ は右半平面で調和で、正則関数との合成なので $u$ は調和。線分 $(-1,1)$ 上では $T(z) > 0$ で $u = 0$。$z = e^{i\theta}$ $(0 < \theta < \pi)$ では

は正の虚軸上にあり $u = 1$。$u = \frac{1}{2}$ は $\arg T(z) = \frac{\pi}{4}$、すなわち $T(z)$ が半直線 $\lbrace re^{i\pi/4} \mid r > 0 \rbrace$ 上にあることと同値。$T^{-1}(w) = \frac{w-1}{w+1}$ は一次分数変換なので、この半直線の像は $T^{-1}(0) = -1$, $T^{-1}(\infty) = 1$, $T^{-1}(e^{i\pi/4}) = i\tan\frac{\pi}{8} = i(\sqrt{2} - 1)$ を通る円弧である。中心を $(0, c)$ とすると $1 + c^2 = (\sqrt{2} - 1 - c)^2$ より $c = -1$。よって $\lbrace u = \frac{1}{2} \rbrace$ は円 $\lvert z + i \rvert = \sqrt{2}$ の $D^{+}$ 内の部分である。

• 等角写像は、一次分数変換（円弧を直線に）・べき関数（角を開く）・指数関数（帯を角領域に）の組合せで作る。境界の各部分の行き先を図で確かめること。
• 有界な調和関数に限れば (3) の解は一意である（境界の 2 点での不連続を許すので、有界性の仮定が必要。証明には最大値原理の拡張を使う）。

(1) コーシーの評価式より、任意の $R > 0$ で $\lvert f^{(n)}(0) \rvert \leq \frac{n!\max_{\lvert z \rvert = R}\lvert f \rvert}{R^n} \leq \frac{n!(1 + R^{3/2})}{R^n}$。$n \geq 2$ なら $R \to \infty$ で右辺 $\to 0$ なので $f^{(n)}(0) = 0$。テイラー展開より $f(z) = f(0) + f'(0)z$。

(2) $g = \frac{1}{f - 1}$ は整関数で（$f \neq 1$）、仮定 $\lvert f - 1 \rvert \geq 1$ より $\lvert g \rvert \leq 1$。リウヴィルの定理より $g$ は定数、よって $f$ も定数。

(3) $f$ が多項式でなければ、$f(1/z)$ は $z = 0$ に真性特異点をもつ。カゾラティ–ワイエルシュトラスの定理より $f(\lbrace \lvert z \rvert > 1 \rbrace)$ は $\mathbb{C}$ で稠密。一方、開写像定理より $f(\lbrace \lvert z \rvert < 1 \rbrace)$ は空でない開集合なので、両者は交わり、単射性に反する。よって $f$ は多項式。単射な正則関数は導関数が零点をもたない（$f'(z_0) = 0$ なら $f - f(z_0)$ は $z_0$ に 2 位以上の零点をもち、$z_0$ の近くで $f$ は 2 対 1 以上になる）。$f'$ は零点のない多項式なので定数で、$f(z) = az + b$、単射より $a \neq 0$。

• (1) の一般形：$\lvert f(z) \rvert \leq C(1 + \lvert z \rvert^{s})$ なら $f$ は $\lfloor s \rfloor$ 次以下の多項式。(2) はピカールの小定理（値を 2 つ以上除外する整関数は定数）の特別な場合である。

(1) $f_0(z) = \frac{z}{2 + z}$ は $\mathbb{D}$ で正則で、$f_0(\frac{1}{n}) = \frac{1/n}{2 + 1/n} = \frac{1}{2n+1}$。条件を満たす $f$ は $f - f_0$ が $\lbrace \frac{1}{n} \rbrace$ 上で $0$ で、この集合は $\mathbb{D}$ 内の点 $0$ に集積するので、一致の定理より $f = f_0$。答えは $f(z) = \frac{z}{2+z}$ のみ。

(2) そのような $f$ があれば、偶数 $n$ について $f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n}$ で $\lbrace \frac{1}{2k} \rbrace$ は $0$ に集積するので、一致の定理より $f(z) = z$。同様に奇数 $n$ から $f(z) = -z$。矛盾。

(3) $f$ を $\hat{\mathbb{C}}$ 上の有理型関数とする（$f \equiv \infty$ は除く）。極は孤立しているので、コンパクトな $\hat{\mathbb{C}}$ に有限個しかない。$\mathbb{C}$ 内の極 $a_1, \dots, a_k$ における主要部を $P_j(z) = \sum_{m=1}^{m_j} c_{j,m}(z - a_j)^{-m}$、$\infty$ における主要部（$f(1/w)$ の $w = 0$ での主要部を $z = 1/w$ で書き直した多項式）を $Q(z)$ とする。$g = f - \sum_j P_j - Q$ は $\hat{\mathbb{C}}$ 全体で正則（特異点はすべて除去可能）なので、有界な整関数としてリウヴィルの定理により定数。よって $f$ は有理関数である。

• (1) のような問題では、まず候補を見つけ（$\frac{1}{2n+1} = \frac{1/n}{2 + 1/n}$ と書き直す）、一致の定理で一意性を言う。集積点が定義域の内部にあることの確認を忘れないこと（集積点が境界上なら一致の定理は使えない）。

(1) $\sin\pi z$ は整数 $n$ で 1 位の零点をもち、$(\sin\pi z)'|_{z=n} = \pi\cos\pi n \neq 0$。よって $\operatorname{Res}_{z=n}\pi\cot\pi z = \frac{\pi\cos\pi n}{\pi\cos\pi n} = 1$。$C_N$ の縦の辺 $x = \pm(N + \frac{1}{2})$ 上では $\cot(\pi(N + \frac{1}{2}) + i\pi y) = -\tan(i\pi y) = -i\tanh\pi y$ で絶対値 $\leq 1$。横の辺 $\lvert y \rvert = N + \frac{1}{2}$ 上では

$\coth\frac{\pi}{2} \geq 1$ なので、$C_N$ 全体で $\lvert \cot\pi z \rvert \leq \coth\frac{\pi}{2}$。

(2) $F(z) = \frac{\pi\cot\pi z}{z^2 + a^2}$ の極は整数 $n$（留数 $\frac{1}{n^2+a^2}$）と $\pm ia$。$\cot(\pm i\pi a) = \mp i\coth\pi a$ より $\operatorname{Res}_{\pm ia}F = \frac{\pi(\mp i\coth\pi a)}{\pm 2ia} = -\frac{\pi\coth\pi a}{2a}$。$N > a$ のとき留数定理より

$C_N$ 上 $\lvert z \rvert \geq N + \frac{1}{2}$ なので $\lvert F \rvert \leq \frac{\pi\coth(\pi/2)}{(N+\frac{1}{2})^2 - a^2}$、周の長さは $8(N + \frac{1}{2})$ で、左辺 $\to 0$。よって $\sum_{n \in \mathbb{Z}}\frac{1}{n^2+a^2} = \frac{\pi\coth\pi a}{a}$ で、$n = 0$ の項 $\frac{1}{a^2}$ を除いて 2 で割れば結論を得る。

(3) 左辺は $0 < a \leq 1$ で $\frac{1}{n^2}$ を優級数とする一様収束級数なので、$a \to 0$ で $\sum \frac{1}{n^2}$ に収束する。右辺は $x\coth x = 1 + \frac{x^2}{3} + O(x^4)$ より $\frac{(\pi a)^2/3 + O(a^4)}{2a^2} \to \frac{\pi^2}{6}$。

• $\pi\cot\pi z$ は「整数点に留数 $1$ の極をもつ」関数で、$\sum f(n)$ を $f$ の極での留数に変換する。交代級数 $\sum(-1)^n f(n)$ には $\frac{\pi}{\sin\pi z}$（留数 $(-1)^n$）を使う。同様にして $\sum_{n \geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2+a^2} = \frac{\pi a/\sinh\pi a - 1}{2a^2}$。 評価には、$C_N$ が整数点から一様に離れていることが効いている。

(1) $(f + ig)(f - ig) = f^2 + g^2 = 1$ より $f + ig$ は零点をもたない整関数。$\mathbb{C}$ は単連結なので、整関数 $k$ で $f + ig = e^{k}$ となるものがある（$k' = (f+ig)'/(f+ig)$ の原始関数をとり定数を調整）。$h = -ik$ とおくと $f + ig = e^{ih}$, $f - ig = e^{-ih}$。よって $f = \frac{e^{ih} + e^{-ih}}{2} = \cos h$, $g = \frac{e^{ih} - e^{-ih}}{2i} = \sin h$。

(2) $1 + z^2$ は $z = i$ に 1 位の零点をもつが、$f(i) = 0$ なら $f^2$ の $i$ での零点の位数は偶数である。矛盾。

(3) $w = e^{2\pi iz}$ は $\mathbb{C} \to \mathbb{C}^{\times}$ の全射で、$e^{2\pi iz} = e^{2\pi iz'} \Leftrightarrow z - z' \in \mathbb{Z}$。$f$ の周期性から $F(e^{2\pi iz}) = f(z)$ で $F\colon \mathbb{C}^{\times} \to \mathbb{C}$ が定まり、局所的に $z = \frac{1}{2\pi i}\log w$ と正則に書けるので $F$ は正則。ローラン展開 $F(w) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n w^n$ の係数は $\lvert c_n \rvert \leq r^{-n}\max_{\lvert w \rvert = r}\lvert F \rvert$ を満たす。$\lvert w \rvert = e^{-2\pi\operatorname{Im} z}$ だから仮定は $\lvert F(w) \rvert \leq C\max\lbrace r, r^{-1} \rbrace$（$\lvert w \rvert = r$）を意味する。$n \geq 2$ なら $r \to \infty$ で $\lvert c_n \rvert \leq Cr^{1-n} \to 0$、$n \leq -2$ なら $r \to 0$ で $\lvert c_n \rvert \leq Cr^{-n-1} \to 0$。よって $F(w) = c_0 + c_1w + c_{-1}w^{-1}$。

• (1) の鍵は「零点のない関数は単連結領域で $e^{(\cdot)}$ の形」という事実。$\mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ のような単連結でない領域では成り立たない（$z$ 自身に対数がない）。
• (3) は「周期関数はフーリエ級数に展開でき、増大度が係数の範囲を決める」という原理の例である。