第5章留数定理とその応用（複素関数論） | Lemma

この章の目標

留数を計算でき、留数定理を証明できる

実積分と級数の和を、積分路の取り方と評価を含めて留数で計算できる

偏角の原理とルーシェの定理を証明し、零点の個数を数えられる

開写像定理、逆関数の正則性、フルヴィッツの定理を証明できる

前提：第2章、第4章

5.1 留数

ローラン展開 $\sum c_n (z - a)^n$ を円に沿って積分すると、例 2.3 により $c_{-1}(z - a)^{-1}$ の項だけが残る。

定義 5.1（留数, residue） $a$ を $f$ の孤立特異点とし、 $D^{\ast}(a, r)$ でのローラン展開を $f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n (z - a)^n$ とする。 $c_{-1}$ を $f$ の $a$ における留数といい、 $\operatorname{Res}(f, a)$ と書く。定理 4.2 より $\operatorname{Res}(f, a) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a, \rho)} f(z)\ dz$ （ $0 < \rho < r$ ）である。

命題 5.2（留数の計算法）

$a$ が高々位数 $m$ の極ならば $\displaystyle \operatorname{Res}(f, a) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \bigl[ (z - a)^m f(z) \bigr]$ 。特に $m = 1$ なら $\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a) f(z)$ 。

$g, h$ が $a$ の近くで正則で $h(a) = 0$ , $h'(a) \neq 0$ ならば $\operatorname{Res}(g/h, a) = g(a)/h'(a)$ 。

証明. 1. $(z - a)^m f(z) = \sum_{k \geq 0} c_{k-m} (z - a)^k$ は $a$ の近くで正則で、 $c_{-1}$ はその $(z - a)^{m-1}$ の係数である（系 1.24）。2. $h = (z - a) h_1$ 、 $h_1(a) = h'(a) \neq 0$ と書けるので、 $a$ は高々単純極で $(z - a) g/h = g/h_1 \to g(a)/h'(a)$ 。 $\square$

例 5.3

$\operatorname{Res}(e^z/z^3, 0) = 1/2$ （ $e^z$ の $z^2$ の係数）。
$a^4 = -1$ なら $\operatorname{Res}\bigl(1/(z^4 + 1), a\bigr) = \frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} = -\frac{a}{4}$ 。
$\operatorname{Res}(\pi\cot\pi z, n) = \frac{\pi\cos\pi n}{\pi\cos\pi n} = 1$ （ $n \in \mathbb{Z}$ ）。
真性特異点では展開から読みとる。 $\operatorname{Res}(e^{1/z}, 0) = 1$ 。

5.2 留数定理

定理 5.4（留数定理, residue theorem） $U$ を開集合、 $a_1, \dots, a_m \in U$ を相異なる点とし、 $f$ は $U \setminus \lbrace a_1, \dots, a_m \rbrace$ で正則とする。 $\gamma$ が $U \setminus \lbrace a_1, \dots, a_m \rbrace$ 内の閉曲線で、 $U$ において 0 にホモトープならば
$\int_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{m} n(\gamma, a_j) \operatorname{Res}(f, a_j)$
が成り立つ。

証明. $S_j(z) = \sum_{n \geq 1} c^{(j)}_{-n} (z - a_j)^{-n}$ を $a_j$ における主要部とする。定義 4.3 の後で注意したとおり、 $S_j$ は $\mathbb{C} \setminus \lbrace a_j \rbrace$ で広義一様収束し、そこで正則である。 $g = f - \sum_{j} S_j$ の各 $a_k$ は除去可能特異点である（ $f - S_k$ は正則部分に等しく、 $S_j$ （ $j \neq k$ ）は $a_k$ で正則）。よって $g$ は $U$ で正則に拡張され、系 2.25 より $\int_\gamma g\ dz = 0$ 。一方 $S_j$ は $\gamma^{\ast}$ 上で一様収束するので項別積分でき（命題 2.6）、 $n \geq 2$ なら $(z - a_j)^{-n}$ は $\mathbb{C} \setminus \lbrace a_j \rbrace$ で原始関数をもつから積分は 0（定理 2.8）、 $n = 1$ の項の積分は $2\pi i\ n(\gamma, a_j) c^{(j)}_{-1}$ である。したがって $\int_\gamma f = \sum_j \int_\gamma S_j = 2\pi i \sum_j n(\gamma, a_j)\operatorname{Res}(f, a_j)$ 。 $\square$

注意 5.5 定理 2.28 を認めれば、「0 にホモトープ」を「0 にホモローグ」に弱められる。応用では $U$ を星型領域（その中の閉曲線は 0 にホモトープ）にとり、 $\gamma$ として凸集合の境界を反時計回りに 1 周する曲線を使うことが多い。このとき内部の点の回転数は 1、外部の点では 0 で（例 2.21）、「積分 $= 2\pi i \times$ （内部の留数の和）」となる。

5.3 実積分と級数への応用

余分な積分路上の積分の評価を省くと誤った値が出うるので、必ず評価する。以下 $C_R^+$ は上半円 $Re^{it}$ （ $0 \leq t \leq \pi$ ）を表す。

有理関数

命題 5.6 多項式 $P, Q$ が $\deg Q \geq \deg P + 2$ を満たし、 $Q$ が実根をもたなければ
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = 2\pi i \sum_{\operatorname{Im} a > 0} \operatorname{Res}\left( \frac{P}{Q}, a \right)$
である（和は上半平面にある $Q$ の根についてとる）。

証明. 次数の条件から、 $\lvert z \rvert \geq R_0$ で $\lvert P(z)/Q(z) \rvert \leq C/\lvert z \rvert^2$ となる定数 $C, R_0$ がある。よって左辺は絶対収束し、 $\lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}$ に等しい。 $R \geq R_0$ を $Q$ の根の絶対値より大きくとり、上半円板の周 $\gamma_R = [-R, R] + C_R^+$ に留数定理（ $U = \mathbb{C}$ ）を適用すると、 $\int_{-R}^R P/Q\ dx + \int_{C_R^+} P/Q\ dz$ は右辺に等しい。ML 不等式より $\left\lvert \int_{C_R^+} P/Q\ dz \right\rvert \leq \pi R \cdot C/R^2 \to 0$ 。 $\square$

例 5.7 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 1} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$ 。上半平面の根は $e^{i\pi/4}, e^{3i\pi/4}$ で、例 5.3 より留数の和は $-\frac{1}{4}(e^{i\pi/4} + e^{3i\pi/4}) = -\frac{i\sqrt{2}}{4}$ 、 $2\pi i$ 倍して $\pi/\sqrt{2}$ 。検算：問題 5.3（ $n = 4$ ）の値の 2 倍と一致する。

三角関数の有理式

$R(x, y)$ を有理関数とする。 $z = e^{i\theta}$ とおけば、線積分の定義より（単位円周上に分母の零点がなければ）

\int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta = \int_{C(0,1)} R\left( \frac{z + z^{-1}}{2}, \frac{z - z^{-1}}{2i} \right) \frac{dz}{iz}

であり、右辺は単位円板内の留数で計算できる（ $d\theta = dz/(iz)$ ）。

例 5.8 $a > 1$ のとき $\displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a + \cos\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}}$ 。積分は $\int_{C(0,1)} \frac{2\ dz}{i(z^2 + 2az + 1)}$ になる。根 $\alpha = -a + \sqrt{a^2 - 1}$ , $\beta = -a - \sqrt{a^2 - 1}$ は $\alpha\beta = 1$ , $\lvert \beta \rvert > 1$ より $\lvert \alpha \rvert < 1$ 。 $\operatorname{Res}_{z = \alpha} = \frac{2}{i(\alpha - \beta)} = \frac{1}{i\sqrt{a^2 - 1}}$ を $2\pi i$ 倍すればよい。検算： $a \to \infty$ で値 $\approx 2\pi/a$ となり合う。

フーリエ型積分とジョルダンの補題

$\int g(x) e^{i\lambda x}\ dx$ で $g$ が $1/x$ 程度にしか減衰しないとき、上半円上の積分は ML 不等式では評価できない。

補題 5.9（ジョルダンの補題, Jordan's lemma） $R > 0$ について $\int_0^{\pi} e^{-R\sin t}\ dt < \pi/R$ である。したがって、 $g$ が $\lbrace \operatorname{Im} z \geq 0, \lvert z \rvert \geq R_0 \rbrace$ で連続で $M(R) = \max_{0 \leq t \leq \pi} \lvert g(Re^{it}) \rvert \to 0$ ならば、 $\lambda > 0$ について $\lim_{R \to \infty} \int_{C_R^+} g(z) e^{i\lambda z}\ dz = 0$ である。

証明. $\sin$ は $[0, \pi/2]$ で上に凸なので $\sin t \geq 2t/\pi$ であり、 $t \mapsto \pi - t$ の対称性から

\int_0^{\pi} e^{-R\sin t}\,dt = 2\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin t}\,dt \leq 2\int_0^{\pi/2} e^{-2Rt/\pi}\,dt = \frac{\pi}{R}(1 - e^{-R}) < \frac{\pi}{R}

である。 $z = Re^{it}$ で $\lvert e^{i\lambda z} \rvert = e^{-\lambda R\sin t}$ だから、積分の絶対値は $\int_0^{\pi} M(R) e^{-\lambda R\sin t} R\ dt < \pi M(R)/\lambda \to 0$ 。 $\square$

例 5.10 $a > 0$ のとき $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{x\sin x}{x^2 + a^2}\ dx = \frac{\pi}{2} e^{-a}$ 。 $f(z) = \frac{z e^{iz}}{z^2 + a^2}$ を $\gamma_R = [-R, R] + C_R^+$ （ $R > a$ ）上で積分する。内部の極は $ia$ だけで $\operatorname{Res}(f, ia) = \frac{ia e^{-a}}{2ia} = \frac{e^{-a}}{2}$ だから

\int_{-R}^{R} \frac{x e^{ix}}{x^2 + a^2}\,dx + \int_{C_R^+} f(z)\,dz = \pi i e^{-a}

である。 $M(R) \leq R/(R^2 - a^2) \to 0$ だから、第 2 項はジョルダンの補題により 0 に収束する（ML 不等式では $\pi R^2/(R^2 - a^2) \to \pi$ としか評価できない）。虚部をとり、偶関数であることを使うと $\lim_{R \to \infty} 2\int_0^{R} \frac{x\sin x}{x^2 + a^2} dx = \pi e^{-a}$ で、これは（絶対収束しない）広義積分の定義そのものである。検算：実部は奇関数の積分で 0 となり合う。

実軸上の単純極は小さな半円で避ける。

補題 5.11 $a$ を $f$ の単純極、 $C_\varepsilon(t) = a + \varepsilon e^{it}$ （ $\theta_1 \leq t \leq \theta_2$ ）とすると、 $\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{C_\varepsilon} f\ dz = i(\theta_2 - \theta_1)\operatorname{Res}(f, a)$ である。

証明. $f = \frac{c}{z - a} + h$ （ $c = \operatorname{Res}(f, a)$ 、 $h$ は正則で $\lvert h \rvert \leq K$ ）と書くと、 $\int_{C_\varepsilon} \frac{c\ dz}{z - a} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} ic\ dt = ic(\theta_2 - \theta_1)$ 、 $\left\lvert \int_{C_\varepsilon} h\ dz \right\rvert \leq K\varepsilon(\theta_2 - \theta_1) \to 0$ 。 $\square$

例 5.12（ディリクレ積分） $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\ dx = \frac{\pi}{2}$ 。 $f(z) = e^{iz}/z$ と閉曲線 $\gamma = [-R, -\varepsilon] + \sigma_\varepsilon + [\varepsilon, R] + C_R^+$ をとる。 $\sigma_\varepsilon$ は $-\varepsilon$ から $\varepsilon$ へ上半平面を通る半径 $\varepsilon$ の半円（時計回り）である。 $\gamma$ は $f$ が正則な領域 $U = \mathbb{C} \setminus \lbrace iy \mid y \leq 0 \rbrace$ （ $i$ に関して星型）に含まれるので $\int_\gamma f = 0$ （定理 2.16）。実軸上の積分の和は $\int_\varepsilon^R \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{x} dx = 2i\int_\varepsilon^R \frac{\sin x}{x} dx$ である。補題 5.11 より（時計回りなので符号が変わり） $\int_{\sigma_\varepsilon} f \to -i\pi$ 、ジョルダンの補題（ $g = 1/z$ ）より $\int_{C_R^+} f \to 0$ 。よって $2i\int_\varepsilon^R \frac{\sin x}{x} dx \to i\pi$ である。

分岐をもつ関数

例 5.13 $0 < a < 1$ のとき $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{x^{a-1}}{1 + x}\ dx = \frac{\pi}{\sin\pi a}$ 。

積分は収束する（ $0$ の近くで $x^{a-1}$ 、 $\infty$ の近くで $x^{a-2}$ 程度）。 $-1$ に関して星型な $\Omega = \mathbb{C} \setminus [0, \infty)$ 上で $\log z = \log\lvert z \rvert + i\arg z$ （ $0 < \arg z < 2\pi$ ）と定めると、これは $\operatorname{Log}(-z) + i\pi$ に等しく正則である。 $f(z) = z^{a-1}/(1 + z)$ （ $z^{a-1} = e^{(a-1)\log z}$ ）は $\Omega \setminus \lbrace -1 \rbrace$ で正則で $\operatorname{Res}(f, -1) = e^{(a-1)i\pi} = -e^{i\pi a}$ である。

$0 < \varepsilon < 1 < R$ と小さな $\delta > 0$ に対し、鍵穴型の積分路 $\Gamma_\delta \subset \Omega$ を次の 4 つをつないで作る：線分 $L_1\colon \varepsilon e^{i\delta} \to Re^{i\delta}$ 、半径 $R$ の円の偏角 $\delta$ から $2\pi - \delta$ までの弧、線分 $L_2\colon Re^{-i\delta} \to \varepsilon e^{-i\delta}$ 、半径 $\varepsilon$ の円を偏角 $2\pi - \delta$ から $\delta$ まで逆にたどる弧。 $\delta \to 0$ のとき $n(\Gamma_\delta, -1) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_\delta} \frac{dz}{z + 1}$ は、線分の寄与が打ち消し合って $n(C(0, R), -1) - n(C(0, \varepsilon), -1) = 1$ に収束し、整数値なので小さな $\delta$ では 1 である。留数定理（ $U = \Omega$ ）より $\int_{\Gamma_\delta} f = -2\pi i e^{i\pi a}$ 。

$L_1$ 上では $z = te^{i\delta}$ , $z^{a-1} = t^{a-1}e^{i(a-1)\delta}$ 、 $L_2$ 上では $z = te^{i(2\pi - \delta)}$ , $z^{a-1} = t^{a-1} e^{i(a-1)(2\pi - \delta)}$ である。 $\delta \to 0$ で被積分関数は $[\varepsilon, R]$ 上一様収束するので、 $I_{\varepsilon, R} = \int_\varepsilon^R \frac{t^{a-1}}{1 + t} dt$ として

\int_{L_1} f \to I_{\varepsilon, R}, \qquad \int_{L_2} f \to -e^{2\pi i(a-1)} I_{\varepsilon, R} = -e^{2\pi i a} I_{\varepsilon, R}

である。弧の上では $\lvert f \rvert \leq R^{a-1}/(R - 1)$ および $\lvert f \rvert \leq \varepsilon^{a-1}/(1 - \varepsilon)$ だから、2 つの弧の積分の和の絶対値は $\delta$ によらず $B = \frac{2\pi R^{a}}{R - 1} + \frac{2\pi\varepsilon^{a}}{1 - \varepsilon}$ 以下である。 $\delta \to 0$ として $\left\lvert (1 - e^{2\pi i a}) I_{\varepsilon, R} + 2\pi i e^{i\pi a} \right\rvert \leq B$ を得る。 $0 < a < 1$ より $\varepsilon \to 0$ , $R \to \infty$ で $B \to 0$ だから

\int_0^{\infty} \frac{x^{a-1}}{1 + x}\,dx = \frac{-2\pi i e^{i\pi a}}{1 - e^{2\pi i a}} = \frac{2\pi i}{e^{i\pi a} - e^{-i\pi a}} = \frac{\pi}{\sin\pi a}

である。検算： $a = 1/2$ なら $x = u^2$ として $\int_0^\infty \frac{2\ du}{1 + u^2} = \pi$ で一致する。この積分は第7章でガンマ関数の相補公式と結びつく。

例 5.14 $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\log x}{(1 + x^2)^2}\ dx = -\frac{\pi}{4}$ 。

$U = \mathbb{C} \setminus \lbrace iy \mid y \leq 0 \rbrace$ 上で $\log z = \log\lvert z \rvert + i\arg z$ （ $-\pi/2 < \arg z < 3\pi/2$ ）と定める（ $= \operatorname{Log}(-iz) + i\pi/2$ で正則）。 $f(z) = \log z/(1 + z^2)^2$ を、例 5.12 と同じ閉曲線 $\gamma = [\varepsilon, R] + C_R^+ + [-R, -\varepsilon] + \sigma_\varepsilon$ （ $0 < \varepsilon < 1 < R$ ）上で積分する。 $\gamma$ 上の積分は、半径 $R$ の上半円板の周上の積分から半径 $\varepsilon$ の上半円板の周上の積分を引いたものに等しい（ $[-\varepsilon, \varepsilon]$ の寄与が消える）ので、 $n(\gamma, i) = 1 - 0 = 1$ である。命題 5.2（ $m = 2$ ）と $\log i = i\pi/2$ より

\operatorname{Res}(f, i) = \left[ \frac{1}{z(z + i)^2} - \frac{2\log z}{(z + i)^3} \right]_{z = i} = \frac{1}{-4i} - \frac{i\pi}{-8i} = \frac{i}{4} + \frac{\pi}{8}

である。負の実軸上では $x = -t$ として $\log x = \log t + i\pi$ だから、実軸上の 2 つの積分の和は $2\int_\varepsilon^R \frac{\log t}{(1 + t^2)^2} dt + i\pi\int_\varepsilon^R \frac{dt}{(1 + t^2)^2}$ である。弧の上では偏角が $[0, \pi]$ にあるので

\left\lvert \int_{C_R^+} f \right\rvert \leq \pi R \frac{\log R + \pi}{(R^2 - 1)^2} \to 0, \qquad \left\lvert \int_{\sigma_\varepsilon} f \right\rvert \leq \pi\varepsilon \frac{\lvert \log\varepsilon \rvert + \pi}{(1 - \varepsilon^2)^2} \to 0

である。極限をとると

2\int_0^\infty \frac{\log t}{(1 + t^2)^2}\,dt + i\pi\int_0^\infty \frac{dt}{(1 + t^2)^2} = 2\pi i \left( \frac{i}{4} + \frac{\pi}{8} \right) = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi^2}{4} i

で、実部から結論を得る。検算：虚部から $\int_0^\infty \frac{dt}{(1 + t^2)^2} = \frac{\pi}{4}$ が出るが、これは $t = \tan\theta$ による $\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\ d\theta = \frac{\pi}{4}$ と一致する。

級数の和

$\pi\cot\pi z$ は各整数で留数 1 の単純極をもつので、これを掛けて積分すると整数点での値の和が現れる。

補題 5.15 頂点 $\pm(N + \frac{1}{2}) \pm (N + \frac{1}{2})i$ （ $N \in \mathbb{N}$ ）の正方形の周を $\partial Q_N$ （反時計回り）とすると、 $\partial Q_N$ 上で $\lvert \cot\pi z \rvert \leq \coth(\pi/2)$ である。

証明. $z = x + iy$ とすると $\cot\pi z = i\frac{e^{2\pi i z} + 1}{e^{2\pi i z} - 1}$ 、 $\lvert e^{2\pi i z} \rvert = e^{-2\pi y}$ である。横の辺（ $\lvert y \rvert = N + \frac{1}{2}$ ）では、 $y > 0$ なら $\lvert \cot\pi z \rvert \leq \frac{1 + e^{-2\pi y}}{1 - e^{-2\pi y}} = \coth\pi y \leq \coth\frac{\pi}{2}$ （ $y < 0$ も同様）。縦の辺では $e^{2\pi i x} = -1$ より $\lvert \cot\pi z \rvert = \frac{\lvert 1 - e^{-2\pi y} \rvert}{1 + e^{-2\pi y}} < 1$ 。 $\square$

例 5.16 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 。 $f(z) = \pi\cot\pi z/z^2$ の留数は、 $n \neq 0$ では $1/n^2$ である。 $0$ では、問題 4.3 の $\frac{1}{\sin w} = \frac{1}{w} + \frac{w}{6} + \cdots$ より $\cot w = \left(1 - \frac{w^2}{2} + \cdots\right)\left(\frac{1}{w} + \frac{w}{6} + \cdots\right) = \frac{1}{w} - \frac{w}{3} + \cdots$ なので、 $\pi\cot\pi z = \frac{1}{z} - \frac{\pi^2 z}{3} + \cdots$ で留数は $-\pi^2/3$ である。 $\partial Q_N$ は凸集合の境界で内部の極は $\lvert n \rvert \leq N$ の整数だから（ $U = D(0, 2N + 2)$ ）

\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial Q_N} f\,dz = -\frac{\pi^2}{3} + 2\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2}

である。 $\partial Q_N$ 上で $\lvert z \rvert \geq N + \frac{1}{2}$ と補題 5.15 より、左辺の絶対値は $\frac{1}{2\pi} \cdot 8(N + \frac{1}{2}) \cdot \frac{\pi\coth(\pi/2)}{(N + 1/2)^2} \to 0$ 。よって $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ である。同じ方法を問題 5.5 や第7章の $\pi\cot\pi z$ の部分分数展開でも使う。

5.4 偏角の原理とルーシェの定理

定理 5.17（偏角の原理, argument principle） $f$ を開集合 $U$ 上の有理型関数とし、 $U$ 内の零点と極は有限個で、重複度を込めて零点を $a_1, \dots, a_k$ 、極を $b_1, \dots, b_l$ とする。 $\gamma$ がこれらを通らない $U$ 内の閉曲線で、 $U$ において 0 にホモトープならば
$\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = \sum_{j=1}^{k} n(\gamma, a_j) - \sum_{j=1}^{l} n(\gamma, b_j)$
である。

証明. 零点または極 $c$ で $m = \operatorname{ord}_c f$ とすると $f = (z - c)^m g$ （ $g(c) \neq 0$ ）で $\frac{f'}{f} = \frac{m}{z - c} + \frac{g'}{g}$ 、 $g'/g$ は $c$ の近くで正則である。よって $\operatorname{Res}(f'/f, c) = m$ で、他の点では $f'/f$ は正則だから、留数定理から結論を得る。 $\square$

特に $f$ が $\overline{D(a, r)}$ を含む開集合で正則で $C(a, r)$ 上に零点をもたなければ、 $D(a, r)$ 内の零点の個数は $\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a, r)} \frac{f'}{f}\ dz$ である（少し大きな円板で定理を使う）。左辺は $\frac{1}{2\pi i}\int_{f \circ \gamma} \frac{dw}{w} = n(f \circ \gamma, 0)$ 、すなわち $\gamma$ に沿った $\arg f$ の増加量の $1/2\pi$ 倍に等しい（命題 2.20）。これが名前の由来である。

定理 5.18（ルーシェの定理, Rouché's theorem） $f, g$ を $\overline{D(a, r)}$ を含む開集合で正則とし、 $C(a, r)$ 上で $\lvert g(z) \rvert < \lvert f(z) \rvert$ とする。このとき $f$ と $f + g$ は $D(a, r)$ 内に重複度込みで同じ個数の零点をもつ。

証明. $0 \leq t \leq 1$ について $h_t = f + tg$ は $C(a, r)$ 上で $\lvert h_t \rvert \geq \lvert f \rvert - \lvert g \rvert > 0$ を満たす。その零点の個数 $N(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a, r)} \frac{f' + tg'}{f + tg}\ dz$ は整数値で、被積分関数はコンパクト集合 $[0, 1] \times C(a, r)$ 上で連続（したがって一様連続）だから、 $N(t)$ は $t$ について連続である。よって $N$ は定数で、 $N(0) = N(1)$ 。 $\square$

例 5.19 $p(z) = z^7 - 5z^3 + 1$ を考える。 $\lvert z \rvert = 1$ で $\lvert z^7 + 1 \rvert \leq 2 < 5 = \lvert -5z^3 \rvert$ だから、 $\mathbb{D}$ 内の零点は 3 個。 $\lvert z \rvert = 2$ で $\lvert -5z^3 + 1 \rvert \leq 41 < 128 = \lvert z^7 \rvert$ だから $D(0, 2)$ 内に 7 個。 $\lvert z \rvert = 1$ 上では $\lvert p \rvert \geq 5 - 2 > 0$ なので、円環 $1 < \lvert z \rvert < 2$ に 4 個ある。

5.5 開写像定理と逆関数

定理 5.20（局所写像定理） $f$ は $a$ の近くで正則かつ定数でないとし、 $w_0 = f(a)$ 、 $f - w_0$ の $a$ での零点の位数を $m$ とする。このとき $\varepsilon, \delta > 0$ があって、任意の $w \in D^{\ast}(w_0, \delta)$ について $f(z) = w$ は $D(a, \varepsilon)$ 内にちょうど $m$ 個の相異なる（単純な）解をもつ。

証明. $f - w_0$ と $f'$ の零点は孤立するから、 $\overline{D(a, \varepsilon)}$ が定義域に含まれ、 $0 < \lvert z - a \rvert \leq \varepsilon$ で $f(z) \neq w_0$ , $f'(z) \neq 0$ となる $\varepsilon$ がある。 $\delta = \min_{\lvert z - a \rvert = \varepsilon} \lvert f(z) - w_0 \rvert > 0$ とする。 $\lvert w - w_0 \rvert < \delta$ なら $C(a, \varepsilon)$ 上で $\lvert w_0 - w \rvert < \lvert f - w_0 \rvert$ だから、ルーシェの定理より $f - w = (f - w_0) + (w_0 - w)$ は $D(a, \varepsilon)$ に $m$ 個の零点をもつ。 $w \neq w_0$ ならそれらは $a$ と異なり $f' \neq 0$ だから単純で、相異なる。 $\square$

系 5.21（開写像定理, open mapping theorem）領域上の定数でない正則関数は開写像である。

証明. 一致の定理より $f$ はどの点の近くでも定数でない。開集合 $V$ と $a \in V$ に対し、定理 5.20 の $\varepsilon$ を $D(a, \varepsilon) \subset V$ となるようにとれば $D(f(a), \delta) \subset f(V)$ 。 $\square$

系 5.22（逆関数の正則性） $f$ が開集合 $U$ で正則かつ単射ならば、 $U$ 上で $f' \neq 0$ 、 $V = f(U)$ は開集合で、 $f^{-1}\colon V \to U$ は正則、 $(f^{-1})'(w) = 1/f'(f^{-1}(w))$ である。

証明. $f'(a) = 0$ なら $f - f(a)$ の零点の位数は 2 以上で、定理 5.20 より $f$ は $a$ の近くで単射でない。系 5.21 より $V$ は開集合で、 $f$ が開写像なので $f^{-1}$ は連続である。 $w \to w_1$ のとき $z = f^{-1}(w) \to z_1 = f^{-1}(w_1)$ だから、 $\frac{f^{-1}(w) - f^{-1}(w_1)}{w - w_1} = \frac{z - z_1}{f(z) - f(z_1)} \to \frac{1}{f'(z_1)}$ 。 $\square$

注意

実関数 $x^3$ は単射だが $x = 0$ で導関数が 0 になる。正則関数ではこれは起こらない。

5.6 フルヴィッツの定理

定理 5.23（フルヴィッツの定理, Hurwitz's theorem）領域 $D$ 上の正則関数列 $f_n$ が $f \not\equiv 0$ に広義一様収束するとする。 $\overline{D(a, r)} \subset D$ で $f$ が $C(a, r)$ 上に零点をもたなければ、十分大きな $n$ について $f_n$ と $f$ は $D(a, r)$ 内に重複度込みで同じ個数の零点をもつ。

証明. $f$ は正則である（定理 3.25）。 $\delta = \min_{C(a, r)} \lvert f \rvert > 0$ とすると、大きな $n$ で $C(a, r)$ 上 $\lvert f_n - f \rvert < \delta \leq \lvert f \rvert$ だから、ルーシェの定理を $f$ と $f_n - f$ に適用すればよい。 $\square$

系 5.24 領域 $D$ 上の正則関数列 $f_n$ が $f$ に広義一様収束するとする。

各 $f_n$ が零点をもたなければ、 $f$ は零点をもたないか恒等的に 0 である。

各 $f_n$ が単射ならば、 $f$ は単射であるか定数である。

証明. 1. $f \not\equiv 0$ , $f(a) = 0$ なら、 $C(a, r)$ 上に零点のない $\overline{D(a, r)} \subset D$ がとれ、定理 5.23 より大きな $n$ で $f_n$ は零点をもつ。

$f$ が定数でなく、 $z_1 \neq z_2$ で $f(z_1) = f(z_2) = w$ とする。 $f - w$ の零点は孤立するので、互いに交わらない閉円板 $\overline{D(z_k, r)} \subset D$ （ $k = 1, 2$ ）で周上に $f - w$ の零点がないものがとれる。 $f_n - w \to f - w$ に定理 5.23 を適用すると、大きな $n$ で $f_n - w$ は両方の円板に零点をもち、単射性に反する。 $\square$

この系は第6章のリーマンの写像定理で使う。

まとめ

留数（ローラン展開の $(z - a)^{-1}$ の係数）は、極では微分や $g(a)/h'(a)$ で計算できる。
留数定理 $\int_\gamma f\ dz = 2\pi i\sum n(\gamma, a_j)\operatorname{Res}(f, a_j)$ は、主要部を引けば正則になることから従う。
実積分では、閉曲線の選択（半円・単位円・扇形・鍵穴・くぼみのある半円・正方形）と余分な部分の評価（ML 不等式、ジョルダンの補題、小半円の補題）が本質的である。分岐をもつ関数は切れ目を入れた星型領域で分枝を定めて扱う。
偏角の原理： $\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f'/f\ dz$ は（零点の個数） $-$ （極の個数）。ルーシェの定理：円周上で $\lvert g \rvert < \lvert f \rvert$ なら $f$ と $f + g$ の零点の個数は等しい。
開写像定理。単射な正則関数は $f' \neq 0$ を満たし、逆関数も正則。
フルヴィッツの定理：零点をもたない（単射な）正則関数の広義一様極限は、零点をもたない（単射）か定数である。

演習問題

問題 5.1 ★ 次の留数を求めよ。(1) $\operatorname{Res}\left( \dfrac{z^2}{(z - 1)^3}, 1 \right)$ (2) $\operatorname{Res}\left( \dfrac{1}{z^2 \sin z}, 0 \right)$ (3) $\operatorname{Res}\left( z^2 e^{1/z}, 0 \right)$ (4) $\operatorname{Res}\left( \dfrac{e^z}{z^2 + \pi^2}, i\pi \right)$

解答

(1) $z^2 = (z - 1)^2 + 2(z - 1) + 1$ より $\frac{z^2}{(z-1)^3} = \frac{1}{z - 1} + \frac{2}{(z - 1)^2} + \frac{1}{(z - 1)^3}$ で、留数は $1$ 。(2) 問題 4.3 より $\frac{1}{z^2\sin z} = \frac{1}{z^3} + \frac{1}{6z} + \cdots$ で、 $1/6$ 。(3) $z^2 e^{1/z} = \sum_{n \geq 0} z^{2-n}/n!$ の $n = 3$ の項で、 $1/6$ 。(4) 命題 5.2 より $\frac{e^{i\pi}}{2i\pi} = \frac{i}{2\pi}$ 。

問題 5.2 ★ $\displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\cos 2\theta}{5 - 4\cos\theta}\ d\theta = \frac{\pi}{6}$ を示せ。

解答

$J = \int_0^{2\pi} \frac{e^{2i\theta}}{5 - 4\cos\theta} d\theta$ の虚部は $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ で符号を変えるので 0 であり、 $J$ が求める積分である。 $z = e^{i\theta}$ とすると $5 - 4\cos\theta = -(2z - 1)(z - 2)/z$ だから $J = \int_{C(0,1)} \frac{i z^2}{(2z - 1)(z - 2)} dz$ 。内部の極 $1/2$ での留数は $\frac{i/4}{2(1/2 - 2)} = -\frac{i}{12}$ で、 $J = 2\pi i \cdot (-\frac{i}{12}) = \frac{\pi}{6}$ 。検算：ポアソン核の展開 $\frac{1}{5 - 4\cos\theta} = \frac{1}{3}\bigl(1 + 2\sum_{n \geq 1} 2^{-n}\cos n\theta\bigr)$ からも $\frac{1}{6} \cdot \pi$ を得る。

問題 5.3 ★★ 整数 $n \geq 2$ について $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{1 + x^n} = \frac{\pi/n}{\sin(\pi/n)}$ を示せ。

解答

$\omega = e^{i\pi/n}$ とし、中心角 $2\pi/n$ の扇形の周 $[0, R]$ 、弧 $Re^{it}$ （ $0 \leq t \leq 2\pi/n$ ）、線分 $[R\omega^2, 0]$ （凸集合の境界）で積分する（ $R > 1$ ）。内部にある $1 + z^n$ の零点は $\omega$ だけで、 $\operatorname{Res} = \frac{1}{n\omega^{n-1}} = -\frac{\omega}{n}$ 。弧上の積分は $\frac{2\pi R}{n(R^n - 1)} \to 0$ 。線分上は $z = t\omega^2$ 、 $z^n = t^n$ で、積分は $-\omega^2\int_0^R \frac{dt}{1 + t^n}$ 。よって $(1 - \omega^2) I = -\frac{2\pi i\omega}{n}$ 、 $I = \frac{2\pi i}{n(\omega - \omega^{-1})} = \frac{\pi/n}{\sin(\pi/n)}$ 。検算： $n = 2$ で $\pi/2$ 。 $t = x^n$ と置換すれば例 5.13（ $a = 1/n$ ）の $1/n$ 倍に一致する。

問題 5.4 ★★ $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{1 + x^2}\ dx = \frac{\pi^3}{8}$ を示せ。

解答

例 5.14 と同じ分枝・積分路で $f = (\log z)^2/(1 + z^2)$ を積分する。 $\operatorname{Res}(f, i) = \frac{(i\pi/2)^2}{2i} = \frac{i\pi^2}{8}$ で、 $2\pi i$ 倍は $-\frac{\pi^3}{4}$ 。負の実軸上では $(\log t + i\pi)^2 = (\log t)^2 + 2\pi i\log t - \pi^2$ 。弧上の積分は $\pi R \frac{(\log R + \pi)^2}{R^2 - 1} \to 0$ 、 $\pi\varepsilon \frac{(\lvert \log\varepsilon \rvert + \pi)^2}{1 - \varepsilon^2} \to 0$ で抑えられる。極限をとると $2J + 2\pi i\int_0^\infty \frac{\log t}{1 + t^2} dt - \pi^2 \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi^3}{4}$ で、実部から $J = \frac{\pi^3}{8}$ 。検算：虚部から出る $\int_0^\infty \frac{\log t}{1 + t^2} dt = 0$ は、 $t \mapsto 1/t$ で積分が符号を変えることと合う。

問題 5.5 ★★ $a > 0$ について $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^2 + a^2} = \frac{\pi}{a}\coth\pi a$ を示し、 $a \to +0$ として $\sum_{n \geq 1} 1/n^2 = \pi^2/6$ を再び導け。

解答

$f = \frac{\pi\cot\pi z}{z^2 + a^2}$ を $\partial Q_N$ （ $N > a$ ）上で積分すると、補題 5.15 と $\lvert z^2 + a^2 \rvert \geq (N + \frac{1}{2})^2 - a^2$ より積分は 0 に収束する。整数 $n$ での留数は $\frac{1}{n^2 + a^2}$ 。 $\cot(ix) = -i\coth x$ より、 $\pm ia$ での留数はともに $\frac{\pi\cot(\pm i\pi a)}{\pm 2ia} = -\frac{\pi\coth\pi a}{2a}$ 。よって等式を得る。次に $2\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + a^2} = \frac{\pi}{a}\coth\pi a - \frac{1}{a^2}$ で、 $\coth x = \frac{1}{x} + \frac{x}{3} + O(x^3)$ より右辺は $\frac{\pi^2}{3}$ に、左辺は M 判定法により $2\sum 1/n^2$ に収束する。

問題 5.6 ★★ $f$ は $\overline{\mathbb{D}}$ を含む開集合で正則で、 $\lvert z \rvert = 1$ 上で $\lvert f(z) \rvert < 1$ とする。 $f$ は $\mathbb{D}$ 内にちょうど 1 つの不動点をもつことを示せ。

解答

$\lvert z \rvert = 1$ 上で $\lvert f(z) \rvert < 1 = \lvert -z \rvert$ だから、ルーシェの定理より $-z + f(z)$ は $\mathbb{D}$ 内に $-z$ と同じく 1 個の零点をもつ。

問題 5.7 ★★★ $f$ は $\overline{D(a, r)}$ を含む開集合で正則で、 $\overline{D(a, r)}$ 上で単射とする。 $w \in f(D(a, r))$ に対し $f^{-1}(w) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a, r)} \frac{\zeta f'(\zeta)}{f(\zeta) - w}\ d\zeta$ を示し、 $f^{-1}$ の正則性を導け。

解答

$w = f(z_0)$ 、 $z_0 \in D(a, r)$ とする。 $\overline{D(a, r)}$ 内の $f - w$ の零点は $z_0$ だけで、 $f'(z_0) \neq 0$ より単純である。少し大きな円板で留数定理を使うと、右辺は $\operatorname{Res}\bigl(\frac{\zeta f'}{f - w}, z_0\bigr) = z_0$ に等しい。右辺 $\Phi(w)$ は、補題 3.5 と同様に（ $\frac{1}{f(\zeta) - w}$ を $w_1$ のまわりで等比級数に展開して）開集合 $\mathbb{C} \setminus f(C(a, r))$ 上で正則であり、 $f(D(a, r))$ 上で $f^{-1} = \Phi$ である。