ローラン展開と孤立特異点

この章の目標

• 円環領域で正則な関数が、負のべきを含むローラン級数にただ一通りに展開できることを証明する
• 孤立特異点を除去可能特異点・極・真性特異点に分類し、関数の振る舞いで特徴づける（リーマンの定理、カゾラティ–ワイエルシュトラスの定理）
• 無限遠点での振る舞いを調べ、リーマン球面上の有理型関数は有理関数に限ることを証明する

前提：第2章（回転数、ホモトピー形のコーシーの定理）、第3章

4.1 ローラン展開

正則関数は各点の近傍でテイラー展開できた（定理 3.7）が、$1/z$ や $e^{1/z}$ のように 1 点 $a$ を除いた近傍でだけ正則な関数は、$a$ を中心にテイラー展開できない。そこで負のべき $(z - a)^{-n}$ も許す。たとえば $0 < \lvert z \rvert < 1$ では

であり、$0$ での「特異さ」は $1/z$ の項に集約されている。以下、$0 \leq r < R \leq \infty$ に対し円環 (annulus) を $A(a; r, R) = \lbrace z \mid r < \lvert z - a \rvert < R \rbrace$ と書き、$D^{\ast}(a, R) = A(a; 0, R)$ を穴あき円板 (punctured disk) という。円 $C(a, \rho)$ は反時計回りに 1 周する。

補題 4.1（円環におけるコーシーの積分公式）$f$ を円環 $A = A(a; r, R)$ で正則とし、$r < \rho_1 < \rho_2 < R$ とする。$\rho_1 < \lvert z - a \rvert < \rho_2$ ならば

$$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C(a, \rho_2)} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta - \frac{1}{2\pi i} \int_{C(a, \rho_1)} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta$$

が成り立つ。

証明. $z$ を固定し、$g(\zeta) = \bigl(f(\zeta) - f(z)\bigr)/(\zeta - z)$（$\zeta \neq z$）、$g(z) = f'(z)$ とおく。$g$ は $A$ で連続、$A \setminus \lbrace z \rbrace$ で正則だから、系 3.23 により $A$ で正則である。2 つの円 $C(a, \rho_1)$, $C(a, \rho_2)$ は $A$ においてホモトープなので（例 2.30）、$\int_{C(a, \rho_1)} g\ d\zeta = \int_{C(a, \rho_2)} g\ d\zeta$ である。一方、例 2.21 より $n(C(a, \rho_2), z) = 1$, $n(C(a, \rho_1), z) = 0$ だから

の $j = 1, 2$ の値が等しいことを書き直せば主張を得る。$\square$

定理 4.2（ローラン展開, Laurent expansion）$f$ を円環 $A = A(a; r, R)$ で正則とする。$n \in \mathbb{Z}$ に対し

$$c_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{C(a, \rho)} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta \qquad (r < \rho < R)$$

とおくと、$c_n$ は $\rho$ によらず、$A$ の各点で

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - a)^n := \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - a)^n + \sum_{n=1}^{\infty} c_{-n} (z - a)^{-n}$$

が成り立つ。右辺の第 1 の級数は $D(a, R)$ で、第 2 の級数は $\lvert z - a \rvert > r$ で、それぞれ絶対収束かつ広義一様収束する。さらに展開は一意的である。すなわち $A$ の各点で $f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_n (z - a)^n$（正のべきの部分と負のべきの部分がそれぞれ収束する）ならば、すべての $n$ について $b_n = c_n$ である。

証明. 係数が $\rho$ によらないこと. $\zeta \mapsto f(\zeta)(\zeta - a)^{-n-1}$ は $A$ で正則だから、例 2.30 による。

展開. $z \in A$ を固定し、$r < \rho_1 < \lvert z - a \rvert < \rho_2 < R$ となる $\rho_1, \rho_2$ をとる。$\zeta \in C(a, \rho_2)$ のとき $q_2 = \lvert z - a \rvert / \rho_2 < 1$ で

であり、第 $n$ 項の絶対値は $q_2^n/\rho_2$ 以下だから、この級数は $\zeta \in C(a, \rho_2)$ について一様収束する。有界な $f(\zeta)$ を掛けて項別積分すれば（命題 2.6）、補題 4.1 の第 1 項は $\sum_{n \geq 0} c_n (z - a)^n$ に等しい。同様に $\zeta \in C(a, \rho_1)$ のとき $q_1 = \rho_1/\lvert z - a \rvert < 1$ で

が $\zeta$ について一様収束するから、補題 4.1 の第 2 項は

に等しい（$n = m + 1$ とおいた）。補題 4.1 より展開式が成り立つ。

収束. べき級数 $\sum_{n \geq 0} c_n w^n$ は $w = z - a$（$z \in A$）で収束するから、定理 1.22 より収束半径は $\sup_{z \in A} \lvert z - a \rvert = R$ 以上である。同様に $\sum_{n \geq 1} c_{-n} w^n$ は $w = 1/(z - a)$ で収束するから、収束半径は $1/r$ 以上である（$r = 0$ なら $\infty$）。よって第 1 の級数は $\lvert z - a \rvert \leq \rho < R$ で、第 2 の級数は $\lvert z - a \rvert \geq \rho > r$ で絶対かつ一様に収束し、$A$ のコンパクト集合はこのような閉円環に含まれる。

一意性. $f(z) = \sum b_n (z - a)^n$ とすると、上と同じ理由で両方の部分は $C(a, \rho)$ 上で一様収束する。$k \in \mathbb{Z}$ として $(\zeta - a)^{-k-1}$ を掛けて項別積分すると、例 2.3 より $n = k$ の項だけが残り

となる。左辺は $c_k$ である。$\square$

定義 4.3（主要部）定理 4.2 の展開を $f$ の $a$ を中心とするローラン展開（ローラン級数）という。負のべきの部分 $\sum_{n \geq 1} c_{-n} (z - a)^{-n}$ を主要部 (principal part)、$\sum_{n \geq 0} c_n (z - a)^n$ を正則部分という。

主要部は $\lvert z - a \rvert > r$ で、正則部分は $D(a, R)$ で正則な関数を表す。特に $D^{\ast}(a, R)$ で正則な $f$ の主要部は、$\mathbb{C} \setminus \lbrace a \rbrace$ 全体で広義一様収束する（第5章の留数定理の証明で使う）。実際の計算では一意性を使う。どんな方法でも、円環全体で収束する $(z - a)$ の整数べきの級数が得られれば、それがローラン展開である。

例 4.4（展開は円環による）$f(z) = \dfrac{1}{z(z - 1)} = \dfrac{1}{z - 1} - \dfrac{1}{z}$ は $0$ と $1$ を除いて正則である。

1. $0 < \lvert z \rvert < 1$ では $\frac{1}{z - 1} = -\sum_{n \geq 0} z^n$ より $f(z) = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \cdots$。
2. $\lvert z \rvert > 1$ では $\frac{1}{z - 1} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - 1/z} = \sum_{n \geq 1} z^{-n}$ より $f(z) = \sum_{n \geq 2} z^{-n} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z^3} + \cdots$。
3. $1$ を中心とする $0 < \lvert z - 1 \rvert < 1$ では、$w = z - 1$ として $-\frac{1}{z} = -\frac{1}{1 + w} = -\sum_{n \geq 0} (-w)^n$ より $f(z) = \frac{1}{z - 1} - 1 + (z - 1) - (z - 1)^2 + \cdots$。

同じ中心でも円環が違えば展開は異なる。一意性は「円環を決めれば」の意味である。

例 4.5

1. $e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^{-n}$（$0 < \lvert z \rvert$）。主要部は無限個の項をもつ。
2. $\dfrac{\sin z}{z^3} = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^k z^{2k-2}}{(2k+1)!} = \dfrac{1}{z^2} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{z^2}{120} - \cdots$（$0 < \lvert z \rvert$）。主要部は $1/z^2$ である。

注意 4.6（フーリエ級数との関係）$f$ が単位円周を含む円環で正則なら、$f(e^{i\theta}) = \sum_{n} c_n e^{in\theta}$、$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(e^{i\theta}) e^{-in\theta}\ d\theta$ であり、ローラン展開はフーリエ展開（微分方程式 第6章）の正則関数版である。係数が両方向に指数的に減衰することが、解析性を反映している。

4.2 孤立特異点の分類

定義 4.7（孤立特異点, isolated singularity）$f$ がある穴あき円板 $D^{\ast}(a, r)$ で正則なとき、$a$ を $f$ の孤立特異点という（$f$ は $a$ で定義されていなくても、定義されていてもよい）。$D^{\ast}(a, r)$ でのローラン展開を $f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n (z - a)^n$ とする。

1. すべての $n < 0$ について $c_n = 0$ のとき、$a$ を除去可能特異点 (removable singularity) という。
2. ある $m \in \mathbb{N}$ について $c_{-m} \neq 0$ かつ $n < -m$ なら $c_n = 0$ のとき、$a$ を位数 $m$ の極 (pole of order $m$) という。位数 1 の極を単純極 (simple pole) という。
3. $c_n \neq 0$ となる $n < 0$ が無限個あるとき、$a$ を真性特異点 (essential singularity) という。

係数は $r$ のとり方によらない（一意性）ので、分類は well-defined である。除去可能特異点では、$f(a) := c_0$ と定めれば $f$ は $D(a, r)$ 上のべき級数になり正則になる（定理 1.23）。逆に $f$ が $D(a, r)$ で正則な関数に拡張できるなら、テイラー展開がローラン展開になるので、$a$ は除去可能である。

例 4.8

1. $\dfrac{\sin z}{z} = 1 - \dfrac{z^2}{6} + \cdots$ の $0$ は除去可能特異点である。
2. $\dfrac{1}{z^2}$ と $\dfrac{\sin z}{z^3}$（例 4.5）の $0$ は位数 2 の極、$\dfrac{1}{z(z - 1)}$ の $0$ と $1$ は単純極である（例 4.4）。
3. $e^{1/z}$ の $0$ は真性特異点である（例 4.5）。

注意 4.9（孤立していない特異点）$1/\sin(1/z)$ の極 $1/(k\pi)$ は $0$ に集積するので、$0$ は孤立特異点ではない。$\operatorname{Log} z$ や $\sqrt{z}$ の $0$ も孤立特異点ではない（命題 1.33 により、$D^{\ast}(0, r)$ 全体で正則な対数の分枝はない）。このような点は分岐点 (branch point) とよばれ、第7章の解析接続で再び現れる。

4.3 リーマンの除去可能特異点定理

実関数 $\sin(1/x)$ は $x \neq 0$ で有界かつ滑らかだが、$0$ で連続にすら拡張できない。正則関数ではこうしたことは起こらない。

定理 4.10（リーマンの除去可能特異点定理, Riemann's removable singularity theorem）$f$ を $D^{\ast}(a, r)$ で正則とする。次は同値である。

1. $a$ は $f$ の除去可能特異点である。
2. ある $0 < \delta \leq r$ について、$f$ は $D^{\ast}(a, \delta)$ で有界である。
3. $\lim_{z \to a} (z - a) f(z) = 0$。

証明. 1 ⇒ 2：拡張した $f$ は $a$ で連続なので、$a$ の近くで有界である。2 ⇒ 3：$\lvert (z - a) f(z) \rvert \leq M \lvert z - a \rvert \to 0$。

3 ⇒ 1：$n \geq 1$ と $0 < \rho < \min(r, 1)$ について、ML 不等式より

である。$\rho^{n-1} \leq 1$ であり、仮定 3 より右辺の最大値は $\rho \to 0$ で 0 に収束する。よって $c_{-n} = 0$ である。$\square$

例 4.11 $\sin(1/z)$ は実軸上では有界だが、$y > 0$ について $\sin\bigl(1/(iy)\bigr) = -i\sinh(1/y)$ は $y \to +0$ で発散するので、$0$ の近くで有界でない。実際 $\sin(1/z) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} z^{-2k-1}$ で、$0$ は真性特異点である。

4.4 極と位数

命題 4.12（極の特徴づけ）$f$ を $D^{\ast}(a, r)$ で正則とし、$m \in \mathbb{N}$ とする。次は同値である。

1. $a$ は $f$ の位数 $m$ の極である。
2. $D(a, r)$ で正則な関数 $g$ で $g(a) \neq 0$ かつ $D^{\ast}(a, r)$ 上で $f(z) = (z - a)^{-m} g(z)$ となるものが存在する。
3. ある $\delta > 0$ について $D^{\ast}(a, \delta)$ 上で $f \neq 0$ であり、$1/f$ の $a$ は除去可能特異点で、拡張した関数は $a$ に位数 $m$ の零点をもつ。

証明. 1 ⇒ 2：$g(z) := (z - a)^m f(z) = \sum_{k \geq 0} c_{k-m} (z - a)^k$ は $D^{\ast}(a, r)$ で収束するべき級数なので $D(a, r)$ で正則に拡張され、$g(a) = c_{-m} \neq 0$。2 ⇒ 1：$g$ のテイラー展開を $(z - a)^m$ で割ったものが $f$ のローラン展開であり（一意性）、最低次の係数は $g(a) \neq 0$ である。2 ⇒ 3：$D(a, \delta)$ で $g \neq 0$ となる $\delta$ をとれば $1/f = (z - a)^m/g$。3 ⇒ 2：拡張した $1/f$ は定理 3.15 より $(z - a)^m k(z)$、$k(a) \neq 0$ と書け、$k$ は $D(a, \delta)$ で零点をもたない。$g = (z - a)^m f$ は $D^{\ast}(a, r)$ で正則で、$D^{\ast}(a, \delta)$ では $1/k$ に等しいから、$g(a) = 1/k(a) \neq 0$ と定めれば $D(a, r)$ で正則である。$\square$

定理 4.13 $a$ を $f$ の孤立特異点とする。$a$ が $f$ の極であるための必要十分条件は $\lim_{z \to a} \lvert f(z) \rvert = \infty$ である。

証明. 極なら命題 4.12 の 2 より $\lvert f(z) \rvert = \lvert g(z) \rvert \lvert z - a \rvert^{-m} \to \infty$。逆に $\lvert f(z) \rvert \to \infty$ なら、ある $D^{\ast}(a, \delta)$ で $\lvert f \rvert > 1$ で、$h = 1/f$ はそこで正則かつ $\lvert h \rvert < 1$ だから、定理 4.10 より除去可能で $h(a) = 0$ である。$h$ は $D^{\ast}(a, \delta)$ で 0 にならないので、定理 3.15 により $a$ は有限の位数 $m$ の零点であり、命題 4.12 の 3 より $a$ は位数 $m$ の極である。$\square$

定理 4.10 と定理 4.13 から、孤立特異点の種類は $z \to a$ での $\lvert f \rvert$ の振る舞いで判定できる。

定義 4.14（位数）$a$ が $f$ の除去可能特異点または極で、$f$ が $a$ のどんな穴あき近傍でも恒等的に 0 ではないとき、$f$ の $a$ での位数 $\operatorname{ord}_a f$ を、除去した後の $f$ が $a$ に位数 $m \geq 0$ の零点をもつなら $m$（$f(a) \neq 0$ なら $0$）、位数 $m$ の極なら $-m$ と定める。

定理 3.15 と命題 4.12 より、$k = \operatorname{ord}_a f$ とすると、$a$ の近くで $f(z) = (z - a)^k g(z)$、$g$ は $a$ で正則かつ $g(a) \neq 0$ と書ける。この表示から直ちに

がわかる。特に、$g$ が $a$ に位数 $m$ の零点をもてば、$1/g$ は $a$ に位数 $m$ の極をもつ。

例 4.15

1. $\sin z$ の零点は $k\pi$ だけで（命題 1.28）、$\cos k\pi \neq 0$ だから単純零点である。よって $1/\sin z$ は各 $k\pi$ に単純極をもつ。
2. $1 - \cos z = \frac{z^2}{2} - \cdots$ だから、$\dfrac{1}{1 - \cos z}$ の $0$ は位数 2 の極である。
3. $\dfrac{z}{e^z - 1}$ の $0$ は除去可能特異点で（$e^z - 1 = z(1 + z/2 + \cdots)$）、除去した値は 1 である。$2\pi i k$（$k \neq 0$）では分母が単純零点なので単純極である。
4. $\dfrac{e^z - 1}{z^3}$ の $0$ では位数が $1 - 3 = -2$、すなわち位数 2 の極である。

4.5 真性特異点とカゾラティ–ワイエルシュトラスの定理

定理 4.16（カゾラティ–ワイエルシュトラスの定理, Casorati–Weierstrass theorem）$a$ を $f$ の真性特異点とし、$f$ は $D^{\ast}(a, r)$ で正則とする。このとき任意の $0 < \delta \leq r$ について、像 $f\bigl(D^{\ast}(a, \delta)\bigr)$ は $\mathbb{C}$ で稠密である。

証明. 稠密でないとすると、$w_0 \in \mathbb{C}$ と $\varepsilon > 0$ で、$D^{\ast}(a, \delta)$ 上 $\lvert f(z) - w_0 \rvert \geq \varepsilon$ となるものがある。$g = 1/(f - w_0)$ は $D^{\ast}(a, \delta)$ で正則かつ $\lvert g \rvert \leq 1/\varepsilon$ だから、定理 4.10 より除去可能であり、0 にならないので恒等的に 0 ではない。

$g(a) \neq 0$ なら $f = w_0 + 1/g$ は $a$ で正則に拡張され、$g(a) = 0$ なら $a$ は $g$ の有限位数の零点だから $f - w_0 = 1/g$ は $a$ に極をもつ。いずれも $a$ が真性特異点であることに矛盾する。$\square$

例 4.17 $w \neq 0$ とする。$\operatorname{Log} w$ の虚部は $(-\pi, \pi]$ にあるので、整数 $k \neq 0$ について $\operatorname{Log} w + 2\pi i k \neq 0$ であり、$z_k = 1/(\operatorname{Log} w + 2\pi i k)$ は $e^{1/z_k} = w$、$z_k \to 0$ を満たす。よって $e^{1/z}$ は $0$ のどんな穴あき近傍でも $0$ 以外のすべての値を無限回とる（$0$ はとらない）。一般に次のことが知られている。

定理 4.18（ピカールの大定理, Picard's great theorem）$a$ を $f$ の真性特異点とする。このとき $a$ の任意の穴あき近傍において、$f$ は高々 1 つの例外を除くすべての複素数の値を無限回とる。

本書ではこの定理の証明を省略する（主張のみ）。証明には楕円モジュラー関数や、第6章の正規族の理論の精密化が必要である。例 4.17 のように、例外値は実際に現れうる。

注意 4.19（ピカールの小定理）定数でない整関数は、高々 1 つの値を除くすべての複素数を値にとる。多項式でない整関数 $f$ では $f(1/z)$ の $0$ が真性特異点なので（次節の命題 4.25）定理 4.18 が使え、多項式なら代数学の基本定理による。

4.6 有理型関数と無限遠点

定義 4.20（有理型関数, meromorphic function）開集合 $U$ 上の関数 $f$ が有理型であるとは、$U$ の中に集積点をもたない部分集合 $P \subset U$ があって、$f$ は $U \setminus P$ で正則であり、$P$ の各点は $f$ の極であることをいう。

有理関数、$\tan z$、第7章のガンマ関数、第8章のゼータ関数は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数である。$e^{1/z}$ は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数ではない。

命題 4.21 領域 $D$ 上の有理型関数の全体 $\mathcal{M}(D)$ は、各点での和と積（除去可能特異点は除去する）について体をなす。

証明. $f, g$ の極の集合の和集合も $D$ の中に集積点をもたない。その点 $a$ の近くでは $f = (z - a)^{-k} u$, $g = (z - a)^{-l} v$（$k, l \geq 0$、$u, v$ は $a$ で正則）と書けるので、$f \pm g$, $fg$ は $(z - a)^{-(k+l)} \times$（$a$ で正則な関数）の形で、$a$ は除去可能特異点か極である。

$f \not\equiv 0$ とする。$E$ を、$f$ がその点のある穴あき近傍で恒等的に 0 となる点全体とすると、$E$ は開集合である。$a \notin E$ ならローラン展開に 0 でない係数があるので $f = (z - a)^k u$（$u(a) \neq 0$）と書け、$a$ のある穴あき近傍で $f \neq 0$ となるから、$D \setminus E$ も開集合である。$D$ は連結で $E \neq D$ だから $E = \emptyset$。よって各点で $f = (z - a)^k u$（$u(a) \neq 0$）と書け、$1/f = (z - a)^{-k}/u$ は各点で正則か極をもち、零点（$1/f$ の極）は集積しない。$\square$

注意 4.22（リーマン球面への写像）有理型関数の極 $a$ で $f(a) = \infty$ と定めると、定理 4.13 より $f$ は $U$ から $\hat{\mathbb{C}}$ への連続写像になる。有理型関数は「値 $\infty$ も許した正則関数」であり、この見方はリーマン面の理論で正確に定式化される（リーマン面と保型形式 第1章）。

次に、$z = 1/w$ という座標変換で無限遠点を $0$ に移して調べる。

定義 4.23（無限遠点での振る舞い）$f$ がある $R \geq 0$ について $\lvert z \rvert > R$ で正則なとき、$\infty$ を $f$ の孤立特異点という。$g(w) = f(1/w)$ は $D^{\ast}(0, 1/R)$ で正則であり（$R = 0$ なら $1/R = \infty$）、$0$ が $g$ の除去可能特異点・位数 $m$ の極・真性特異点であるとき、$\infty$ はそれぞれ $f$ の除去可能特異点・位数 $m$ の極・真性特異点であるという。$\mathbb{C}$ 上の有理型関数 $f$ が、ある $\lvert z \rvert > R$ で正則で、$\infty$ が除去可能特異点または極であるとき、$f$ は $\hat{\mathbb{C}}$ 上の有理型関数であるという。

$\lvert z \rvert > R$ でのローラン展開 $f(z) = \sum_{n} c_n z^n$ に対し $g(w) = \sum_n c_n w^{-n}$ だから、$\infty$ が除去可能 $\Leftrightarrow$ $n > 0$ で $c_n = 0$、位数 $m$ の極 $\Leftrightarrow$ $c_m \neq 0$ かつ $n > m$ で $c_n = 0$、真性特異点 $\Leftrightarrow$ $c_n \neq 0$ となる $n > 0$ が無限個、である。無限遠点では正のべきが主要部の役割を果たす。

例 4.24

1. $m$ 次の多項式は $\infty$ に位数 $m$ の極をもつ。$\dfrac{z^2 + 1}{z - 1} = z + 1 + \dfrac{2}{z - 1}$ は $\infty$ に単純極をもつ。
2. $1/z$ の $\infty$ は除去可能で、値は $0$ である。$e^z$、$\sin z$、$\cos z$ は $\infty$ に真性特異点をもつ。

命題 4.25 $f$ を整関数とする。

1. $\infty$ が $f$ の除去可能特異点であることと、$f$ が定数であることは同値である。
2. $\infty$ が $f$ の位数 $m$ の極であることと、$f$ が $m$ 次の多項式であることは同値である。
3. $f$ が多項式でなければ、$\infty$ は $f$ の真性特異点である。

証明. 原点でのテイラー級数 $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ は $\mathbb{C}$ 全体で収束するから（定理 3.7）、$A(0; R, \infty)$ でのローラン展開でもある。上の判定法から 1〜3 が従う。$\square$

特に、多項式でない整関数 $f$ では、どんな $R > 0$ についても $f\bigl(\lbrace \lvert z \rvert > R \rbrace\bigr)$ は稠密である（定理 4.16）。また $\lvert f(z) \rvert \to \infty$（$z \to \infty$）となる整関数は、定理 4.13 より $\infty$ が極なので多項式である。

定理 4.26 $\hat{\mathbb{C}}$ 上の有理型関数は有理関数である。

証明. $f$ は $\lvert z \rvert > R$ で正則とする。$\mathbb{C}$ 内の極はコンパクト集合 $\overline{D(0, R)}$ に含まれ、集積点をもたないから有限個である。それらを $a_1, \dots, a_k$ とし、$a_j$ での主要部を

とする（極なので有限和）。また $\lvert z \rvert > R$ でのローラン展開 $f(z) = \sum_n c_n z^n$ の正のべきの部分を $P_\infty(z) = \sum_{n=1}^{m} c_n z^n$ とする（$\infty$ が除去可能なら $P_\infty = 0$）。

$g = f - P_\infty - \sum_{j} P_j$ とおく。$a_j$ の近くでは $f - P_j$ のローラン展開に負のべきはなく、他の項は $a_j$ で正則だから、$g$ は整関数に拡張される。$\lvert z \rvert \geq R + 1$ では $\lvert f - P_\infty \rvert = \lvert \sum_{n \leq 0} c_n z^n \rvert \leq \sum_{l \geq 0} \lvert c_{-l} \rvert (R + 1)^{-l} < \infty$（定理 4.2 の絶対収束）で、各 $P_j$ も $z \to \infty$ で 0 に収束するから、$g$ は有界である。リウヴィルの定理より $g$ は定数 $c$ であり

は有理関数である。$\square$

系 4.27（部分分数分解）有理関数 $f = P/Q$ は、多項式と、$Q$ の各根 $a_j$ についての $\sum_{l} c_{jl}(z - a_j)^{-l}$ の形の和として、ただ一通りに表される。

証明. 存在は定理 4.26 の証明の式そのものである（有理関数は明らかに $\hat{\mathbb{C}}$ 上の有理型関数）。一意性は、そのような表示の $(z - a_j)^{-l}$ の部分が $f$ の $a_j$ での主要部に、多項式部分の非定数項が $\infty$ での主要部に一致しなければならないこと（ローラン展開の一意性）による。$\square$

有理関数の積分で使った部分分数分解（微分積分学 第5章）は、こうして複素関数論から自然に導かれる。「コンパクトな $\hat{\mathbb{C}}$ 上の有理型関数は有限個のデータ（極と主要部）で決まる」という定理 4.26 の現象は、コンパクトなリーマン面上のリーマン–ロッホの定理（リーマン面と保型形式 第5章）へとつながる。

まとめ

• 円環 $r < \lvert z - a \rvert < R$ で正則な関数は、ローラン級数 $\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n (z - a)^n$、$c_n = \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,\rho)} f(\zeta)(\zeta - a)^{-n-1} d\zeta$ に一意的に展開される。計算は一意性に基づいて既知の級数から行う。
• 孤立特異点は、ローラン展開の負のべきが「ない・有限個・無限個」に応じて、除去可能特異点・極・真性特異点に分類される。
• リーマンの定理：孤立特異点の近くで有界（あるいは $(z - a) f(z) \to 0$）なら除去可能。
• 位数 $m$ の極 $\Leftrightarrow$ $f = (z - a)^{-m} g$（$g(a) \neq 0$）$\Leftrightarrow$ $1/f$ が位数 $m$ の零点をもつ。極であることは $\lvert f(z) \rvert \to \infty$ と同値。
• カゾラティ–ワイエルシュトラス：真性特異点の任意の穴あき近傍の像は稠密。ピカールの大定理（主張のみ）：高々 1 つの例外値を除き、すべての値を無限回とる。
• 有理型関数は極以外で正則な関数で、リーマン球面への連続写像とみなせる。
• 無限遠点の特異点は $w = 1/z$ で調べる。整関数は、$\infty$ が極なら多項式、そうでなければ（定数を除き）$\infty$ は真性特異点。
• リーマン球面上の有理型関数は有理関数であり、部分分数分解はこの定理から導かれる。

演習問題