複素数と正則関数

この章の目標

• 複素数の極形式、リーマン球面と立体射影を使いこなす
• 複素微分可能性とコーシー–リーマン方程式の同値性を証明し、実の意味での微分可能性との違いを説明できる
• べき級数が収束円の内部で正則であり、項別微分できることを証明できる
• 指数関数・三角関数・対数関数・べき関数を複素変数に拡張し、対数の多価性と主枝を正しく扱える
• 一次分数変換の基本性質を理解する

前提：微分積分学 第6章（べき級数と一様収束）、第7章（多変数の微分）、集合と位相 第5章・第6章（コンパクト性と連結性）

1.1 複素平面と極形式

複素関数論の主役は、複素変数について微分可能な関数（正則関数）である。定義は実 1 変数の微分とまったく同じ形をしているのに、その帰結は驚くほど異なる。本科目で順に証明していく事実を先に並べておこう。

この「剛性」の源は、複素微分可能性が実は $\mathbb{R}^2$ 上の写像としての微分可能性にコーシー–リーマン方程式という強い制約を加えたものである点にある（1.4 節）。まず舞台となる複素平面を整備する。

定義 1.1（複素数, complex number）実数の組 $(x, y)$ を $x + iy$ と書き、和と積を

$$(x + iy) + (x' + iy') = (x + x') + i(y + y'), \qquad (x + iy)(x' + iy') = (xx' - yy') + i(xy' + x'y)$$

で定めたものを複素数といい、その全体を $\mathbb{C}$ と書く。$z = x + iy$ に対し $\operatorname{Re} z = x$ を実部 (real part)、$\operatorname{Im} z = y$ を虚部 (imaginary part)、$\bar{z} = x - iy$ を複素共役 (complex conjugate)、$\lvert z \rvert = \sqrt{x^2 + y^2}$ を絶対値 (absolute value) という。

$\mathbb{C}$ は体であり、$z \neq 0$ の逆元は $z^{-1} = \bar{z}/\lvert z \rvert^2$ である。$x + iy$ を平面の点 $(x, y)$ と同一視したものを複素平面 (complex plane) という。

命題 1.2 $z, w \in \mathbb{C}$ に対し次が成り立つ。

1. $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$, $\overline{zw} = \bar{z} \bar{w}$, $\lvert z \rvert^2 = z \bar{z}$, $\operatorname{Re} z = (z + \bar{z})/2$, $\operatorname{Im} z = (z - \bar{z})/(2i)$
2. $\lvert zw \rvert = \lvert z \rvert \lvert w \rvert$, $\lvert \operatorname{Re} z \rvert \leq \lvert z \rvert$
3. （三角不等式）$\lvert z + w \rvert \leq \lvert z \rvert + \lvert w \rvert$, $\bigl\lvert \lvert z \rvert - \lvert w \rvert \bigr\rvert \leq \lvert z - w \rvert$

証明. 1 は定義から直接計算すればよい。2 は $\lvert zw \rvert^2 = zw \overline{zw} = z \bar{z} w \bar{w} = \lvert z \rvert^2 \lvert w \rvert^2$ による。3 は

からしたがい、後半は $z = (z - w) + w$ に前半を適用して得られる。$\square$

定義 1.3（極形式, polar form）$z \neq 0$ は $r = \lvert z \rvert > 0$ と実数 $\theta$ を用いて $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ と書ける。この $\theta$ を $z$ の偏角 (argument) といい $\arg z$ と書く。偏角は $2\pi$ の整数倍の差を除いて定まる。$-\pi < \theta \leq \pi$ となるものを偏角の主値 (principal value) といい $\operatorname{Arg} z$ と書く。

加法定理により $r(\cos \theta + i \sin \theta) \cdot s(\cos \varphi + i \sin \varphi) = rs(\cos(\theta + \varphi) + i \sin(\theta + \varphi))$ である。つまり積は絶対値の積と偏角の和であり、複素数 $w$ を掛ける写像 $z \mapsto wz$ は「$\lvert w \rvert$ 倍の拡大と角 $\arg w$ の回転」である。特にド・モアブルの公式 $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$（$n \in \mathbb{Z}$）が成り立つ。

例 1.4（$n$ 乗根）$w = \rho(\cos \varphi + i \sin \varphi) \neq 0$ と $n \in \mathbb{N}$ に対し、方程式 $z^n = w$ の解はちょうど $n$ 個

である。実際、$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とおくと $z^n = w$ は $r^n = \rho$ かつ $n\theta \equiv \varphi \pmod{2\pi}$ と同値である。たとえば $z^3 = -8$ の解は $-2$, $1 \pm i\sqrt{3}$ で、これらは原点中心・半径 2 の円に内接する正三角形をなす。

複素平面の距離は $\lvert z - w \rvert$（ユークリッド距離）で、$\mathbb{C}$ は距離空間として $\mathbb{R}^2$ と同じである。$D(a, r) = \lbrace z \mid \lvert z - a \rvert < r \rbrace$ を開円板 (open disk)、$\mathbb{D} = D(0, 1)$ を単位円板と書く。開集合・閉集合・コンパクト集合などは $\mathbb{R}^2$ のものと同じである。

定義 1.5（領域, domain）$\mathbb{C}$ の空でない連結な開集合を領域という。

命題 1.6 領域 $D$ の任意の 2 点は、$D$ に含まれる折れ線（有限個の線分をつないだもの）で結べる。

証明. $a \in D$ を固定し、$a$ と折れ線で結べる $D$ の点全体を $A$ とする。$a \in A$ である。$z \in D$ に対し $D(z, r) \subset D$ となる $r > 0$ をとる。$D(z, r)$ の点は $z$ と線分で結べる（円板は凸）。よって $z \in A$ なら $D(z, r) \subset A$ となり $A$ は開集合、$z \notin A$ なら $D(z, r) \cap A = \emptyset$ となり $D \setminus A$ も開集合である。$D$ は連結だから $A = D$ である。$\square$

1.2 リーマン球面と立体射影

有理関数 $1/z$ は $z \to 0$ で絶対値が限りなく大きくなる。このような振る舞いを「値 $\infty$ をとる」と扱えると便利である。

定義 1.7（リーマン球面, Riemann sphere）$\mathbb{C}$ に 1 点 $\infty$ を付け加えた集合 $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \lbrace \infty \rbrace$ に、$\mathbb{C}$ の開集合と、$\lbrace z \mid \lvert z \rvert > R \rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace$（$R > 0$）の形の集合を $\infty$ の基本近傍とする位相を入れたものをリーマン球面（拡張された複素平面）という。

これは $\mathbb{C}$ の一点コンパクト化（集合と位相 第5章 の定義 5.32）にほかならない。名前の由来は次の立体射影である。

$S^2 = \lbrace (X, Y, Z) \in \mathbb{R}^3 \mid X^2 + Y^2 + Z^2 = 1 \rbrace$ とし、北極を $N = (0, 0, 1)$ とする。$\mathbb{C}$ を平面 $Z = 0$ と同一視する。$P \in S^2 \setminus \lbrace N \rbrace$ に対し、直線 $NP$ と平面 $Z = 0$ の交点を $\sigma(P)$ とし、$\sigma(N) = \infty$ とおく。$\sigma$ を立体射影 (stereographic projection) という。

命題 1.8 立体射影 $\sigma\colon S^2 \to \hat{\mathbb{C}}$ は同相写像であり、

$$\sigma(X, Y, Z) = \frac{X + iY}{1 - Z}, \qquad \sigma^{-1}(z) = \left( \frac{2 \operatorname{Re} z}{\lvert z \rvert^2 + 1}, \frac{2 \operatorname{Im} z}{\lvert z \rvert^2 + 1}, \frac{\lvert z \rvert^2 - 1}{\lvert z \rvert^2 + 1} \right)$$

で与えられる。

証明. $z = x + iy$ と $N$ を結ぶ直線は $t \mapsto (tx, ty, 1 - t)$ である。これが $S^2$ 上にあるのは $t^2 \lvert z \rvert^2 + (1 - t)^2 = 1$、すなわち $t\bigl(t(\lvert z \rvert^2 + 1) - 2\bigr) = 0$ のときで、$N$ 以外の交点は $t = 2/(\lvert z \rvert^2 + 1)$ に対応する。これを代入すると $\sigma^{-1}$ の式を得る。逆に $P = (X, Y, Z) \neq N$ なら直線 $NP$ は $N + s(P - N)$ で、第 3 成分 $1 + s(Z - 1)$ が 0 になるのは $s = 1/(1 - Z)$ のときだから $\sigma(P) = (X + iY)/(1 - Z)$ である。どちらの式も連続であり、$\lvert z \rvert \to \infty$ と $\sigma^{-1}(z) \to N$（$Z \to 1$）が同値であることも式から読み取れるので、$\sigma$ は同相写像である。$\square$

命題 1.9 立体射影により、$S^2$ 上の円は $\mathbb{C}$ の円または直線に対応する。特に $N$ を通る円は直線（に $\infty$ を加えたもの）に対応する。

証明. $S^2$ 上の円は平面 $aX + bY + cZ = d$ と $S^2$ の交わり（2 点以上を含むもの）である。$\sigma^{-1}(z)$ の式を代入して分母を払うと

となる。$c = d$（平面が $N$ を通る）なら直線の方程式であり、$c \neq d$ なら円・1 点・空集合のいずれかを表す方程式である。$\sigma$ は全単射なので解集合は 2 点以上を含み、円である。$\square$

注意 1.10（弦距離）$\sigma^{-1}(z)$ と $\sigma^{-1}(w)$ の $\mathbb{R}^3$ での距離を計算すると

となる（$\lvert P - Q \rvert^2 = 2 - 2 P \cdot Q$ を使うと分子が $4 \lvert z - w \rvert^2$ にまとまる）。これを弦距離 (chordal distance) といい、$\hat{\mathbb{C}}$ の位相を与える距離である。第6章の正規族や第4章の有理型関数を扱うとき、$\infty$ を他の点と対等に扱うのに役立つ。

1.3 複素関数の極限と連続性

$A \subset \mathbb{C}$ 上の関数 $f\colon A \to \mathbb{C}$ を複素関数という。$z = x + iy$ とし $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$（$u, v$ は実数値）と書くことが多い。

定義 1.11（極限・連続性）$a$ を $A$ の集積点とする。$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$ で $0 < \lvert z - a \rvert < \delta$, $z \in A$ ならば $\lvert f(z) - \alpha \rvert < \varepsilon$ となるとき $\lim_{z \to a} f(z) = \alpha$ と書く。$a \in A$ で $\lim_{z \to a} f(z) = f(a)$ のとき（または $a$ が孤立点のとき）$f$ は $a$ で連続であるという。また $\lvert f(z) \rvert \to \infty$ のとき $\lim_{z \to a} f(z) = \infty$ と書く。

距離が $\mathbb{R}^2$ と同じなので、$f$ の極限・連続性は $u, v$ の（2 変数関数としての）極限・連続性と同値である。数列・級数についても同様で、$\sum z_n$ が絶対収束すれば収束する（$\mathbb{C}$ の完備性）。関数項級数のワイエルシュトラスの M 判定法、一様収束極限の連続性なども実数の場合と同じ証明で成り立つ（微分積分学 第6章）。

例 1.12 $f(z) = \bar{z}/z$（$z \neq 0$）は $z \to 0$ で極限をもたない。実軸上では $f(x) = 1$、虚軸上では $f(iy) = -iy/(iy) = -1$ だからである。「$z \to a$」はあらゆる方向・あらゆる近づき方を含むことに注意する。

1.4 複素微分可能性とコーシー–リーマン方程式

定義 1.13（複素微分可能, complex differentiable）$U \subset \mathbb{C}$ を開集合、$f\colon U \to \mathbb{C}$、$a \in U$ とする。極限

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \qquad (h \in \mathbb{C})$$

が存在するとき、$f$ は $a$ で複素微分可能であるといい、$f'(a)$ を微分係数という。

同値な言い換えとして、$f$ が $a$ で複素微分可能であることと、ある $c \in \mathbb{C}$ と $\varepsilon(h) \to 0$（$h \to 0$）を満たす関数 $\varepsilon$ によって

と書けることは同値である（このとき $c = f'(a)$）。

例 1.14

1. $f(z) = z^n$（$n \in \mathbb{N}$）は各点で複素微分可能で $f'(z) = n z^{n-1}$ である。実際 $\bigl((z + h)^n - z^n\bigr)/h = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} z^{n-k} h^{k-1} \to n z^{n-1}$。
2. $f(z) = \bar{z}$ はどの点でも複素微分可能でない。差分商は $\bar{h}/h$ であり、例 1.12 と同様に $h \to 0$ で極限をもたない。一方、$\mathbb{R}^2$ の写像 $(x, y) \mapsto (x, -y)$ としては線形であり、いくらでも滑らかである。
3. $f(z) = \lvert z \rvert^2$ の差分商は $\bigl(\lvert z + h \rvert^2 - \lvert z \rvert^2\bigr)/h = \bar{z} + z \bar{h}/h + \bar{h}$ である。$\bar{h}/h$ は極限をもたないので、複素微分可能なのは $z = 0$ のときだけである（$f'(0) = 0$）。

2 と 3 が示すように、複素微分可能性は $\mathbb{R}^2$ の写像としての滑らかさよりはるかに強い条件である。その正体が次の定理である。

定理 1.15（コーシー–リーマン方程式, Cauchy–Riemann equations）$U$ を開集合、$f = u + iv\colon U \to \mathbb{C}$、$a = \alpha + i\beta \in U$ とする。次は同値である。

1. $f$ は $a$ で複素微分可能である。
2. $u, v$ は 2 変数関数として点 $(\alpha, \beta)$ で（全）微分可能であり、その点で

$$u_x = v_y, \qquad u_y = -v_x$$

が成り立つ。

このとき $f'(a) = u_x + i v_x = v_y - i u_y$（偏導関数はすべて $(\alpha, \beta)$ での値）である。

証明. $h = h_1 + i h_2$ と書く。

(1 ⇒ 2) $c = f'(a) = p + iq$ とおくと $f(a + h) = f(a) + ch + \varepsilon(h) h$, $\varepsilon(h) \to 0$ である。$ch = (p h_1 - q h_2) + i(q h_1 + p h_2)$ だから、実部と虚部をとって

を得る。剰余項の絶対値は $\lvert \varepsilon(h) \rvert \lvert h \rvert = o(\lvert h \rvert)$ だから、$u, v$ は全微分可能で $u_x = p$, $u_y = -q$, $v_x = q$, $v_y = p$ である。よってコーシー–リーマン方程式が成り立ち、$f'(a) = u_x + i v_x$ である。

(2 ⇒ 1) $p = u_x = v_y$, $q = v_x = -u_y$ とおく。全微分可能性から

（$u(a + h)$ は $u(\alpha + h_1, \beta + h_2)$ の略記）。よって $f(a + h) - f(a) = (p + iq) h + o(\lvert h \rvert)$ となり、$f$ は $a$ で複素微分可能で $f'(a) = p + iq$ である。$\square$

注意 1.16（幾何学的意味）$f$ を $\mathbb{R}^2$ の写像と見たときのヤコビ行列は、コーシー–リーマン方程式のもとで

となる。これは複素数 $p + iq = f'(a)$ を掛ける写像、すなわち「回転と拡大」の行列である。実の意味での微分可能性は「点の近くで任意の $2 \times 2$ 行列で線形近似できる」ことだが、複素微分可能性は「その行列が回転と拡大に限る」ことを要求する。ヤコビ行列式は $p^2 + q^2 = \lvert f'(a) \rvert^2 \geq 0$ であり、$f'(a) \neq 0$ なら $f$ は向きを保つ。この観点は第6章の等角写像で再び現れる。

例 1.17（偏微分可能性とコーシー–リーマン方程式だけでは不十分）$f(x + iy) = \sqrt{\lvert xy \rvert}$ とする。$u = \sqrt{\lvert xy \rvert}$, $v = 0$ で、$u(h, 0) = u(0, h) = 0$ より原点で $u_x = u_y = 0 = v_x = v_y$ となり、コーシー–リーマン方程式は成り立つ。しかし $h = t(1 + i)$（$t > 0$）とすると $f(h)/h = t/(t(1 + i)) = 1/(1 + i)$ であり、実軸方向の差分商 $0$ と一致しない。よって $f$ は原点で複素微分可能でない。定理 1.15 で全微分可能性を仮定したのはこのためである。

注意 1.18（ヴィルティンガー微分）$\dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial}{\partial x} - i \dfrac{\partial}{\partial y} \right)$, $\dfrac{\partial}{\partial \bar{z}} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial}{\partial x} + i \dfrac{\partial}{\partial y} \right)$ とおく。$f = u + iv$ に対し

だから、コーシー–リーマン方程式は $\partial f / \partial \bar{z} = 0$ と同値である。形式的には「$f$ は $\bar{z}$ に依存しない」と読める。たとえば $\lvert z \rvert^2 = z \bar{z}$ では $\partial f/\partial \bar{z} = z$ で、これが 0 になるのは $z = 0$ だけであり、例 1.14 の 3 と合っている。

1.5 正則関数

定義 1.19（正則関数, holomorphic function）開集合 $U$ 上の関数 $f$ が $U$ の各点で複素微分可能であるとき、$f$ は $U$ で正則であるという。点 $a$ のある近傍で正則なとき $a$ で正則であるという。$\mathbb{C}$ 全体で正則な関数を整関数 (entire function) という。

$\lvert z \rvert^2$ は原点で複素微分可能だが、原点のどんな近傍でも正則でない。正則性は開集合の上での性質であることに注意する。

命題 1.20 $f, g$ が開集合 $U$ で正則ならば $f \pm g$, $fg$ も正則で、$g \neq 0$ となる点で $f/g$ も正則である。微分の公式は実関数と同じである。また $f\colon U \to V$, $g\colon V \to \mathbb{C}$ が正則なら $g \circ f$ も正則で $(g \circ f)' = (g' \circ f) f'$ である。さらに、実区間上の微分可能な曲線 $\gamma\colon (\alpha, \beta) \to U$ と $U$ で正則な $f$ に対して $\dfrac{d}{dt} f(\gamma(t)) = f'(\gamma(t)) \gamma'(t)$ である。

証明. 定義 1.13 の後の言い換えを用いれば、証明は 微分積分学 第4章 の実 1 変数の場合と文字どおり同じである（絶対値を複素数の絶対値と読み替えるだけで、どこにも順序を使っていない）。最後の主張も、$f(\gamma(t + s)) - f(\gamma(t)) = \bigl(f'(\gamma(t)) + \varepsilon\bigr)\bigl(\gamma(t + s) - \gamma(t)\bigr)$ を $s$ で割って $s \to 0$ とすればよい。$\square$

特に多項式は整関数であり、有理関数は分母の零点を除いて正則である。

命題 1.21 $D$ を領域、$f$ を $D$ で正則な関数とする。

1. $D$ 上で $f' = 0$ ならば $f$ は定数である。
2. $f$ が実数値ならば $f$ は定数である。

証明. 1. $z, w \in D$ を線分 $[z, w] \subset D$ で結べるとき、$g(t) = f(z + t(w - z))$ は命題 1.20 により $g'(t) = f'(\cdot)(w - z) = 0$ を満たす。$g$ の実部・虚部に 1 変数の平均値の定理を使えば $g(1) = g(0)$、すなわち $f(w) = f(z)$ である。命題 1.6 により $D$ の任意の 2 点は折れ線で結べるので、$f$ は定数である。

2. $v = 0$ だからコーシー–リーマン方程式より $u_x = v_y = 0$, $v_x = 0$ となり、$f' = u_x + i v_x = 0$ である。1 により $f$ は定数である。$\square$

「$D$ が連結」という仮定は必要である。たとえば $D = D(0, 1) \cup D(3, 1)$ 上で、左の円板で 0、右の円板で 1 をとる関数は正則で $f' = 0$ だが定数でない。

1.6 べき級数

正則関数の最も基本的な例はべき級数である。第3章で、逆にすべての正則関数が局所的にはべき級数であることを示す。

定理 1.22（収束半径, radius of convergence）べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - c)^n$ に対し $R = 1/\limsup_{n \to \infty} \lvert a_n \rvert^{1/n}$（$\limsup$ が $0$ なら $R = \infty$、$\infty$ なら $R = 0$）とおく（コーシー–アダマールの公式）。このとき級数は $\lvert z - c \rvert < R$ で絶対収束し、$0 < r < R$ なら $\lvert z - c \rvert \leq r$ で一様収束する。$\lvert z - c \rvert > R$ では発散する。

証明. $0 < r < R$ とし、$r < r' < R$ をとる。$\limsup \lvert a_n \rvert^{1/n} = 1/R < 1/r'$ より、十分大きい $n$ で $\lvert a_n \rvert < r'^{-n}$ となる。よって $\lvert z - c \rvert \leq r$ のとき $\lvert a_n (z - c)^n \rvert \leq (r/r')^n$ であり、M 判定法により一様かつ絶対収束する。$\lvert z - c \rvert > R$ なら無限個の $n$ で $\lvert a_n \rvert^{1/n} > 1/\lvert z - c \rvert$、すなわち $\lvert a_n (z - c)^n \rvert > 1$ となり、一般項が 0 に収束しないので発散する。$\square$

$D(c, R)$ を収束円 (disk of convergence) という。

定理 1.23（べき級数の正則性と項別微分）$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - c)^n$ の収束半径を $R > 0$ とする。$f$ は $D(c, R)$ で正則であり、

$$f'(z) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (z - c)^{n-1}$$

が成り立つ。右辺の収束半径も $R$ である。

証明. $c = 0$ としてよい。$n^{1/n} \to 1$ だから $\limsup \lvert n a_n \rvert^{1/n} = \limsup \lvert a_n \rvert^{1/n}$ であり、右辺の級数 $g(z) = \sum n a_n z^{n-1}$ の収束半径も $R$ である。

$\lvert z \rvert < r < R$ となる $r$ を固定し、$0 < \lvert h \rvert < r - \lvert z \rvert$ をとる（$w = z + h$ とすると $\lvert w \rvert < r$）。$N$ を固定して $f = S_N + E_N$、$S_N(z) = \sum_{n=0}^{N} a_n z^n$, $E_N(z) = \sum_{n > N} a_n z^n$ と分ける。

と書き、3 つの項を評価する。$w^n - z^n = (w - z) \sum_{k=0}^{n-1} w^k z^{n-1-k}$ より $\lvert w^n - z^n \rvert \leq \lvert h \rvert n r^{n-1}$ だから

である。右辺は収束する級数 $\sum \lvert n a_n \rvert r^{n-1}$ の余りだから、$\varepsilon > 0$ に対し $N$ を十分大きくとれば $\varepsilon/3$ 未満になり、同時に $\lvert S_N'(z) - g(z) \rvert < \varepsilon/3$ にもできる。この $N$ を固定すると、$S_N$ は多項式だから、$\lvert h \rvert$ が十分小さければ第 1 項も $\varepsilon/3$ 未満になる。以上より差分商は $g(z)$ に収束する。$\square$

系 1.24 収束半径が正のべき級数 $f(z) = \sum a_n (z - c)^n$ は収束円の中で無限回複素微分可能であり、$a_n = f^{(n)}(c)/n!$ である。特に、$c$ の近傍で同じ関数を表す 2 つのべき級数の係数は一致する。

証明. 定理 1.23 を繰り返し適用すると $f^{(k)}(z) = \sum_{n \geq k} n(n-1)\cdots(n-k+1) a_n (z - c)^{n-k}$ となり、$z = c$ とおけば $f^{(k)}(c) = k! a_k$ である。$\square$

点 $c$ の近傍でべき級数に等しい関数を $c$ で解析的 (analytic) であるという。系 1.24 は「解析的 ⇒ 無限回微分可能」を示している。実関数ではその逆は成り立たない（$x > 0$ で $e^{-1/x^2}$、$x \leq 0$ で $0$ となる関数は $C^\infty$ 級だが原点でテイラー級数が 0 になり、関数と一致しない）。正則関数では逆が成り立つことを第3章で証明する。

1.7 指数関数・三角関数・双曲線関数

定義 1.25（指数関数, exponential function）$\displaystyle e^z = \exp z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ と定める。

比判定法より収束半径は $\infty$ であり、定理 1.23 から $e^z$ は整関数で $(e^z)' = e^z$ を満たす。実数 $x$ に対しては微分積分学の $e^x$ と一致する。以下、実数 $y$ の $\cos y, \sin y$ はべき級数で定義された実関数とし、その性質（加法定理、$\cos y = 1 \Leftrightarrow y \in 2\pi\mathbb{Z}$ など）は既知とする。

定理 1.26 任意の $z, w \in \mathbb{C}$ と実数 $x, y$ に対して次が成り立つ。

1. $e^{z + w} = e^z e^w$
2. $e^z \neq 0$ であり、$1/e^z = e^{-z}$
3. （オイラーの公式）$e^{iy} = \cos y + i \sin y$。したがって $e^{x + iy} = e^x(\cos y + i \sin y)$
4. $\lvert e^z \rvert = e^{\operatorname{Re} z}$
5. $e^z = 1 \Leftrightarrow z \in 2\pi i \mathbb{Z}$。したがって $e^z = e^w \Leftrightarrow z - w \in 2\pi i \mathbb{Z}$

証明. 1. $c \in \mathbb{C}$ を固定し $g(z) = e^z e^{c - z}$ とおくと、$g'(z) = e^z e^{c-z} - e^z e^{c-z} = 0$ である。命題 1.21 より $g$ は定数で $g(z) = g(0) = e^c$。$c = z + w$ とおけばよい。

2. 1 で $w = -z$ とすれば $e^z e^{-z} = e^0 = 1$。

3. 級数 $\sum (iy)^n/n!$ は絶対収束するので、偶数番目と奇数番目の項に分けて和をとってよい。$i^{2k} = (-1)^k$ より

である。後半は 1 による。

4. 3 より $\lvert e^{x+iy} \rvert = e^x \lvert \cos y + i \sin y \rvert = e^x$。

5. $e^{x+iy} = 1$ なら 4 より $e^x = 1$ で $x = 0$、さらに $\cos y = 1$, $\sin y = 0$ より $y \in 2\pi\mathbb{Z}$。逆は 3 から明らかである。後半は 1, 2 により $e^z = e^w \Leftrightarrow e^{z - w} = 1$ だからである。$\square$

$w \neq 0$ を極形式 $w = \lvert w \rvert(\cos \theta + i \sin \theta)$ で書けば $e^{\log \lvert w \rvert + i\theta} = w$ だから、$\exp$ は $\mathbb{C}$ から $\mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ への全射であり、定理 1.26 の 5 により各水平帯 $\lbrace a < \operatorname{Im} z \leq a + 2\pi \rbrace$ の上で単射である。$\exp$ は周期 $2\pi i$ をもつ。

定義 1.27（三角関数・双曲線関数）$z \in \mathbb{C}$ に対し

$$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cosh z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}, \quad \sinh z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}$$

と定める。

これらは整関数で、実数上では通常の関数と一致し（オイラーの公式から）、べき級数 $\cos z = \sum (-1)^k z^{2k}/(2k)!$ などをもつ。$\cos^2 z + \sin^2 z = 1$、加法定理、$(\sin z)' = \cos z$ などは定義から代数的に確かめられる。また $\cos(iz) = \cosh z$, $\sin(iz) = i \sinh z$ である。

命題 1.28 $z = x + iy$ とする。

1. $\sin z = 0 \Leftrightarrow z \in \pi\mathbb{Z}$、$\cos z = 0 \Leftrightarrow z \in \frac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$
2. $\lvert \sin z \rvert^2 = \sin^2 x + \sinh^2 y$、$\lvert \cos z \rvert^2 = \cos^2 x + \sinh^2 y$

証明. 1. $\sin z = 0 \Leftrightarrow e^{2iz} = 1 \Leftrightarrow 2iz \in 2\pi i\mathbb{Z}$（定理 1.26 の 5）。$\cos z = \sin(z + \pi/2)$ から後半もしたがう。

2. 加法定理より $\sin(x + iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$ だから、$\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$ を用いて

である。$\cos$ も同様。$\square$

例 1.29 $\cos z = 2$ を解く。$w = e^{iz}$ とおくと $w + w^{-1} = 4$、すなわち $w^2 - 4w + 1 = 0$ で $w = 2 \pm \sqrt{3}$ である。$e^{iz} = 2 \pm \sqrt{3}$（正の実数）より $iz = \log(2 \pm \sqrt{3}) + 2\pi i k$。$\log(2 - \sqrt{3}) = -\log(2 + \sqrt{3})$ に注意すると

である。検算：$\cos(it) = \cosh t$ で $\cosh \log(2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{2}\bigl((2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})\bigr) = 2$。

1.8 対数関数と偏角

$\exp$ は単射でないので、その「逆関数」である対数は、そのままでは 1 つの値に定まらない。

定義 1.30（対数, logarithm）$z \neq 0$ に対し、$e^w = z$ を満たす $w$ の全体

$$\log z = \lbrace \log \lvert z \rvert + i(\operatorname{Arg} z + 2\pi k) \mid k \in \mathbb{Z} \rbrace$$

を $z$ の対数という（定理 1.26 の 5 によりこれがすべての解である）。$\operatorname{Log} z = \log \lvert z \rvert + i \operatorname{Arg} z$ を対数の主値 (principal value) という。領域 $D \subset \mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上の連続関数 $L$ で $e^{L(z)} = z$（$z \in D$）を満たすものを、$D$ 上の対数の分枝 (branch of the logarithm) という。

$\log \lvert z \rvert$ は正の実数の通常の対数である。$\log z$ のように多くの値をもつ対応を多価関数 (multivalued function) と呼ぶことがある。

命題 1.31 領域 $D$ 上の対数の分枝 $L_1, L_2$ は、ある $k \in \mathbb{Z}$ について $L_1 - L_2 = 2\pi i k$ を満たす。