1 変数関数の微分

この章の目標

• 微分を「一次式による最良の近似」として理解し、ランダウの記号 $o$, $O$ を使いこなせる
• 合成関数・逆関数の微分法則を厳密に証明できる
• ロルの定理・平均値の定理・コーシーの平均値定理・ロピタルの定理を証明し、不等式や極限計算に応用できる
• テイラーの定理（ラグランジュ剰余・ペアノ剰余）を証明し、近似計算・極限・極値判定に使える
• 凸関数の性質とイェンセンの不等式を理解する
• 導関数が連続とは限らないが中間値の性質はもつこと（ダルブーの定理）を理解する

前提：第1章〜第3章

4.1 微分可能性と線形近似

高校では微分係数を $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ と定義し、接線の傾きと解釈した。定義そのものは大学でも同じだが、見方を少し変える。この極限が $c$ に等しいことは、

と書けることと同値である。つまり微分とは、$a$ の近くで $f$ を一次式で近似したときの係数である。この見方は、多変数関数の微分（第7章）でそのまま使える形になっている。

定義 4.1（微分可能性, differentiability）$I$ を区間、$f\colon I \to \mathbb{R}$、$a \in I$ とする。極限

$$f'(a) := \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

が（有限の値として）存在するとき、$f$ は $a$ で微分可能 (differentiable) であるといい、$f'(a)$ を微分係数 (derivative) という。$h \to +0$、$h \to -0$ の片側極限をそれぞれ右微分係数・左微分係数という。$I$ の各点で微分可能なとき、$x \mapsto f'(x)$ を導関数といい、$f'$ や $\frac{df}{dx}$ と書く。

$a$ が $I$ の端点なら、定義 4.1 は片側の微分係数を意味する。$f$ が $a$ で微分可能なとき、直線 $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ を点 $(a, f(a))$ における接線 (tangent line) という。命題 4.3 (2) が示すように、接線は $a$ の近くでグラフとの差が $o(x - a)$ となるただ一つの直線である。

誤差の大きさを表すために、次の記号を用意する。

定義 4.2（ランダウの記号, Landau symbols）$a$ の近く（$x \neq a$）で定義された関数 $f, g$ について：

• $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ 0 < \lvert x - a \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) \rvert \leq \varepsilon \lvert g(x) \rvert$ が成り立つとき、$f(x) = o(g(x))$（$x \to a$）と書く。$g \neq 0$ なら $\frac{f(x)}{g(x)} \to 0$ と同値である。
• ある $C > 0$ と $\delta > 0$ について $0 < \lvert x - a \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) \rvert \leq C\lvert g(x) \rvert$ が成り立つとき、$f(x) = O(g(x))$（$x \to a$）と書く。

$x \to \infty$ の場合も同様に定める。

例えば $x \to 0$ のとき $x^3 = o(x^2)$、$\sin x = O(x)$、$x^2 \sin\frac{1}{x} = o(x)$ である。次の計算規則は定義から直ちに確かめられる（$x \to 0$、$m \geq n \geq 0$）：

命題 4.3（微分可能性の言い換え）$f\colon I \to \mathbb{R}$、$a \in I$、$c \in \mathbb{R}$ について、次は同値である。

1. $f$ は $a$ で微分可能で $f'(a) = c$。
2. $f(a + h) = f(a) + ch + o(h)$（$h \to 0$）。
3. $a$ で連続な関数 $\varphi\colon I \to \mathbb{R}$ で、すべての $x \in I$ について $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ かつ $\varphi(a) = c$ を満たすものが存在する。

証明. (1)⇔(2)：$\frac{f(a+h) - f(a) - ch}{h} \to 0$ は (1) の言い換えそのものである。(1)⇒(3)：$x \neq a$ で $\varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$、$\varphi(a) = c$ とおけばよい。(3)⇒(1)：$x \neq a$ で $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = c$。$\square$

(3) の形（カラテオドリの定式化）は、分母を払った形なので証明で扱いやすい。直ちに次がわかる。

系 4.4 $f$ が $a$ で微分可能ならば、$f$ は $a$ で連続である。

証明. $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a) \to f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = f(a)$。$\square$

逆は成り立たない。$f(x) = \lvert x \rvert$ は $0$ で連続だが、右微分係数 $1$ と左微分係数 $-1$ が異なるので微分可能でない。第6章では、すべての点で連続だがどの点でも微分可能でない関数を構成する。

例 4.5（基本的な関数の導関数） (1) $(x^n)' = nx^{n-1}$（$n \in \mathbb{N}$）：二項定理より $\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} h^{k-1} \to nx^{n-1}$。 (2) $(e^x)' = e^x$：$\frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h} \to e^x$（定理 3.37 (3)）。 (3) $(\log x)' = \frac{1}{x}$（$x > 0$）：$t = h/x$ とおくと $\frac{\log(x+h) - \log x}{h} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\log(1 + t)}{t} \to \frac{1}{x}$（定理 3.37 (2)）。 (4) （三角関数を認めて）$(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$。

4.2 微分法則

定理 4.6 $f, g$ が $a$ で微分可能ならば、$f \pm g$、$fg$、および $g(a) \neq 0$ のとき $f/g$ も $a$ で微分可能で、

$$(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a), \qquad \left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}$$

証明. 積：$\frac{f(x)g(x) - f(a)g(a)}{x - a} = f(x)\frac{g(x) - g(a)}{x - a} + g(a)\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ であり、$f$ は $a$ で連続（系 4.4）なので $f(a)g'(a) + g(a)f'(a)$ に収束する。商：$g$ は $a$ で連続なので $a$ の近くで $g(x) \neq 0$ であり、

これと積の公式を合わせればよい。$\square$

定理 4.7（合成関数の微分, chain rule）$f\colon I \to \mathbb{R}$ が $a$ で微分可能、$g\colon J \to \mathbb{R}$ が $b = f(a)$ で微分可能で $f(I) \subset J$ ならば、$g \circ f$ は $a$ で微分可能で $(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) f'(a)$。

証明. 命題 4.3 (3) より、$a$ で連続な $\varphi$ と $b$ で連続な $\psi$ があって、$f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$、$g(y) - g(b) = \psi(y)(y - b)$、$\varphi(a) = f'(a)$、$\psi(b) = g'(b)$。$y = f(x)$ を代入すると

$x \mapsto \psi(f(x))\varphi(x)$ は $a$ で連続（$f$ は $a$ で連続、$\psi$ は $b$ で連続）なので、命題 4.3 より $(g \circ f)'(a) = \psi(b)\varphi(a) = g'(b)f'(a)$。$\square$

定理 4.8（逆関数の微分）$f$ を区間 $I$ 上の狭義単調な連続関数、$J = f(I)$ とする。$f$ が $a \in I$ で微分可能で $f'(a) \neq 0$ ならば、$f^{-1}$ は $b = f(a)$ で微分可能で

$$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}$$

証明. 命題 4.3 (3) の $\varphi$ をとる。$\varphi(a) = f'(a) \neq 0$ であり、$x \neq a$ では $f$ の単射性より $f(x) \neq f(a)$ なので $\varphi(x) \neq 0$。$y \in J$ に対し $x = f^{-1}(y)$ を代入すると $y - b = \varphi(f^{-1}(y))\bigl(f^{-1}(y) - a\bigr)$、すなわち

$f^{-1}$ は $b$ で連続（定理 3.30）、$\varphi$ は $a$ で連続で $0$ にならないので、$y \mapsto 1/\varphi(f^{-1}(y))$ は $b$ で連続である。命題 4.3 より結論を得る。$\square$

$f'(a) \neq 0$ の仮定は外せない。$f(x) = x^3$ は $f'(0) = 0$ で、逆関数 $x^{1/3}$（$x < 0$ では $-\lvert x \rvert^{1/3}$）は $0$ で微分可能でない（接線が垂直になる）。

例 4.9 (1) $x > 0$、$\alpha \in \mathbb{R}$ のとき $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$：$x^\alpha = e^{\alpha \log x}$ に合成関数の微分を使うと $e^{\alpha \log x} \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}$。同様に $(a^x)' = a^x \log a$。 (2) $(x^x)' = (e^{x \log x})' = x^x(\log x + 1)$（$x > 0$）。 (3) （三角関数を認めて）$\arcsin$ は $(-1, 1)$ で微分可能で、$y = \arcsin x$ とすると $(\arcsin x)' = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$（$\cos y > 0$）。同様に $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$。

4.3 平均値の定理

微分係数は 1 点の情報だが、平均値の定理は「区間全体での変化」と「導関数の値」を結びつける。関数の増減・不等式・誤差評価など、微分の応用のほとんどはこの定理を経由する。

補題 4.10（フェルマー）$f$ が開区間 $(a, b)$ の点 $c$ で最大値（または最小値）をとり、$c$ で微分可能ならば $f'(c) = 0$。

証明. 最大値の場合、$h > 0$ で $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0$、$h < 0$ で $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \geq 0$。$h \to \pm 0$ として $f'(c) \leq 0$ かつ $f'(c) \geq 0$。$\square$

この補題は $c$ の近くだけで最大（極大）であっても成り立つ。逆は成り立たない：$f(x) = x^3$ は $f'(0) = 0$ だが $0$ で極値をとらない。

定理 4.11（ロルの定理, Rolle's theorem）$f$ が $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分可能で、$f(a) = f(b)$ ならば、$f'(c) = 0$ となる $c \in (a, b)$ が存在する。

証明. 最大値・最小値の定理（定理 3.21）より、$f$ は $[a, b]$ で最大値 $M$ と最小値 $m$ をとる。$M = m$ なら $f$ は定数で、任意の $c \in (a,b)$ で $f'(c) = 0$。$M > m$ なら、$f(a) = f(b)$ なので $M$ と $m$ の少なくとも一方は $(a, b)$ の点 $c$ でとられ、補題 4.10 より $f'(c) = 0$。$\square$

定理 4.12（平均値の定理, mean value theorem）$f$ が $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分可能ならば、

$$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$$

となる $c \in (a, b)$ が存在する。

証明. $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ は $g(a) = g(b) = f(a)$ を満たすので、ロルの定理より $g'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$ となる $c$ がある。$\square$

定理 4.13（コーシーの平均値定理, Cauchy's mean value theorem）$f, g$ が $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分可能ならば、

$$\bigl(f(b) - f(a)\bigr) g'(c) = \bigl(g(b) - g(a)\bigr) f'(c)$$

となる $c \in (a, b)$ が存在する。特に $(a, b)$ で $g' \neq 0$ ならば $g(b) \neq g(a)$ であり、$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$。

証明. $h(x) = \bigl(f(b) - f(a)\bigr)g(x) - \bigl(g(b) - g(a)\bigr)f(x)$ とおくと $h(a) = f(b)g(a) - g(b)f(a) = h(b)$。ロルの定理を $h$ に適用すればよい。後半：$g(b) = g(a)$ ならロルの定理より $g'$ が $(a,b)$ で $0$ になる点があり、仮定に反する。$\square$

系 4.14 $f$ が $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分可能とする。

1. $(a, b)$ で $f' = 0$ ならば、$f$ は $[a, b]$ で定数である。
2. $(a, b)$ で $f' \geq 0$ ならば $f$ は単調増加、$f' > 0$ ならば狭義単調増加である。
3. $(a, b)$ で $\lvert f' \rvert \leq L$ ならば、$\lvert f(x) - f(y) \rvert \leq L\lvert x - y \rvert$（$x, y \in [a, b]$）。

証明. $x < y$ に平均値の定理を使うと $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x)$（$x < c < y$）。これから (1)〜(3) が直ちに従う。$\square$

(2) の逆は成り立たない：$f(x) = x^3$ は狭義単調増加だが $f'(0) = 0$。また (1) で区間であることは本質的である：$(0, 1) \cup (2, 3)$ 上で $0$ と $1$ の値をとる関数は $f' = 0$ だが定数でない。

例 4.15 (1) $x \neq 0$ で $e^x > 1 + x$。$x > 0$ なら平均値の定理より $e^x - 1 = e^c x > x$（$0 < c < x$）。$x < 0$ でも $e^x - 1 = e^c x$ で $0 < e^c < 1$、$x < 0$ より $e^c x > x$。 (2) $x > 0$ で $\frac{x}{1+x} < \log(1 + x) < x$。$\log(1 + x) = \frac{x}{1 + c}$（$0 < c < x$）で、$\frac{1}{1+x} < \frac{1}{1+c} < 1$ だから。

4.4 ロピタルの定理

$\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty}{\infty}$ の形の極限を、導関数の比の極限に帰着させる定理である。高校でも「便利な公式」として使われることがあるが、仮定を正確に確認しないと誤った結論を導く。

定理 4.16（ロピタルの定理, l'Hôpital's rule）$f, g$ は $(a, b)$ で微分可能で、$(a, b)$ 上 $g'(x) \neq 0$ とする。$L \in \mathbb{R} \cup \lbrace \pm\infty \rbrace$ について $\lim_{x \to a+0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ であり、さらに次のいずれかが成り立つとする。

• (i)（$\frac{0}{0}$ 型）$\lim_{x \to a+0} f(x) = \lim_{x \to a+0} g(x) = 0$
• (ii)（$\frac{\infty}{\infty}$ 型）$\lim_{x \to a+0} \lvert g(x) \rvert = +\infty$

このとき $\lim_{x \to a+0} \frac{f(x)}{g(x)} = L$。$x \to b - 0$ や、$a = -\infty$、$b = +\infty$ の場合も同様である。

証明. $L \in \mathbb{R}$ の場合を示す（$L = \pm\infty$ も同様の議論でできる）。

(i) $f(a) = g(a) = 0$ と定めると、$f, g$ は $[a, x]$（$a < x < b$）で連続、$(a, x)$ で微分可能である。コーシーの平均値定理より、$g(x) = g(x) - g(a) \neq 0$ であり、

$\varepsilon > 0$ に対し、$a < t < a + \delta$ で $\left\lvert \frac{f'(t)}{g'(t)} - L \right\rvert < \varepsilon$ となる $\delta$ をとる。$a < x < a + \delta$ なら $c_x \in (a, a+\delta)$ なので $\left\lvert \frac{f(x)}{g(x)} - L \right\rvert < \varepsilon$。

(ii) 下書き. 今度は $a$ での値が使えないので、$a$ の近くの点 $y$ を固定し、$[x, y]$ でコーシーの平均値定理を使う。$x \to a$ で $\lvert g(x) \rvert \to \infty$ なので、固定した $y$ での値 $f(y)$、$g(y)$ の影響は $g(x)$ で割ると消える。

清書. $\varepsilon \in (0, 1)$ に対し、$a < t < y_0 := a + \delta_1$ で $\left\lvert \frac{f'(t)}{g'(t)} - L \right\rvert < \varepsilon$ となる $\delta_1$ をとり、$y \in (a, y_0)$ を一つ固定する。$a < x < y$ なら、コーシーの平均値定理より $g(x) \neq g(y)$ で、$Q(x) := \frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$（$x < c < y$）なので $\lvert Q(x) - L \rvert < \varepsilon$。$g(x) \neq 0$ となる $x$ で

が成り立つ（右辺を展開すれば確かめられる）。$\lvert g(x) \rvert \to \infty$ なので、$a < x < a + \delta_2$（$\delta_2 \leq y - a$）で $\left\lvert \frac{g(y)}{g(x)} \right\rvert < \frac{\varepsilon}{\lvert L \rvert + 1}$ かつ $\left\lvert \frac{f(y)}{g(x)} \right\rvert < \varepsilon$ となる $\delta_2$ がある。このとき

$\varepsilon$ は任意なので $\frac{f(x)}{g(x)} \to L$。無限区間の場合は $x = 1/t$ と変数変換すればよい。$\square$

例 4.17 (1) $\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$：(i) 型で $\frac{e^x - 1}{2x} \to \frac{1}{2}$（定理 3.37）なので、極限は $\frac{1}{2}$。 (2) $\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{1/x}$：(ii) 型で $\frac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0$ なので、極限は $0$。したがって $\lim_{x \to +0} x^x = \lim e^{x \log x} = 1$。 (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = 0$（$k \in \mathbb{N}$）：(ii) 型のロピタルを $k$ 回使う（問題 3.8 の別証明）。

4.5 テイラーの定理

平均値の定理 $f(x) = f(a) + f'(c)(x - a)$ は「$f$ を定数 $f(a)$ で近似したときの誤差」を表す。これを $n$ 次多項式による近似に一般化したものがテイラーの定理である。

$f$ の $n$ 階導関数を $f^{(n)}$ と書く。$f^{(n)}$ が存在して連続なとき、$f$ は $C^n$ 級であるといい、すべての $n$ で $C^n$ 級なとき $C^\infty$ 級であるという。

定義 4.18（テイラー多項式）$f$ が $a$ で $n$ 回微分可能なとき、

$$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x - a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

を $f$ の $a$ における $n$ 次テイラー多項式 (Taylor polynomial) という。

$T_n$ は $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$（$0 \leq k \leq n$）を満たすただ一つの $n$ 次以下の多項式である。

定理 4.19（テイラーの定理・ラグランジュ剰余, Taylor's theorem with Lagrange remainder）$f$ が区間 $I$ で $n+1$ 回微分可能で、$a, x \in I$、$x \neq a$ とする。このとき $a$ と $x$ の間（端点を除く）に $c$ が存在して

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$$

証明. $x$ を固定し、定数 $K$ を $f(x) - T_n(x) = K(x - a)^{n+1}$ となるように定める。$t \in I$ の関数

を考えると、$\varphi(x) = 0$、また $K$ の定め方より $\varphi(a) = 0$。積の微分で

であり、$k = 0$ の項の微分は $f'(t)$ なので、$k = 0, \dots, n$ について足すと望遠鏡和になって

$a$ と $x$ を端点とする閉区間でロルの定理を使うと、その内部の $c$ で $\varphi'(c) = 0$。$x - c \neq 0$ なので $K = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}$。$\square$

$n = 0$ の場合が平均値の定理である。剰余項を積分で表す形（積分剰余）は第5章で扱う。

定理 4.20（テイラーの定理・ペアノ剰余）$f$ が $a$ の近くで $n - 1$ 回微分可能で、$f^{(n)}(a)$ が存在するならば、

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + o\bigl((x - a)^n\bigr) \quad (x \to a)$$

証明. $R(x) = f(x) - T_n(x)$ とおくと $R(a) = R'(a) = \cdots = R^{(n)}(a) = 0$。$\frac{R(x)}{(x - a)^n} \to 0$ を示す。$n = 1$ なら微分の定義そのもの。$n \geq 2$ のとき、$R^{(n-1)}(a) = 0$ と $R^{(n)}(a) = 0$ より

$R^{(k)}$（$k \leq n - 2$）は $a$ の近くで微分可能で $R^{(k)}(a) = 0$、また $(x - a)^m$ の導関数は $x \neq a$ で $0$ にならないので、ロピタルの定理 (i) を $k = n-2, n-3, \dots, 0$ の順に適用すると

を得る（$R^{(k)}(x)$ の分母は $\frac{n!}{(n-k)!}(x - a)^{n-k}$ であり、その導関数 $\frac{n!}{(n-k-1)!}(x - a)^{n-k-1}$ が一つ前の分母になっている）。$\square$

ペアノ剰余は誤差の大きさの程度しか与えないが、仮定が弱く、極限の計算に便利である。ラグランジュ剰余は誤差を具体的に評価できる。

例 4.21（代表的な展開）$x \to 0$ で次が成り立つ。

いずれも $f^{(k)}(0)$ を計算すればよい。例えば $f(x) = \log(1 + x)$ なら $f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{(1+x)^k}$ なので $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \frac{(-1)^{k-1}}{k}$。

例 4.22（剰余が $0$ に収束する場合）(1) $f(x) = e^x$ では、ラグランジュ剰余は $\frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}$ で、$\lvert \cdot \rvert \leq \frac{e^{\lvert x \rvert}\lvert x \rvert^{n+1}}{(n+1)!} \to 0$（例 2.40 (2) より $\sum \frac{\lvert x \rvert^n}{n!}$ が収束するので項は $0$ に収束する）。よってすべての実数 $x$ で