ベクトル解析

この章の目標

• 曲線の長さを定義し、$C^1$ 曲線の長さが $\int\lVert \gamma' \rVert\ dt$ で与えられることを証明できる
• 線積分を計算し、グリーンの定理を長方形・縦線領域で証明できる
• 保存場（勾配場）の特徴づけと、領域の形（単連結性）が果たす役割を $d\theta$ の例で理解する
• パラメータ表示された曲面の面積・面積分（流束）を計算できる
• 勾配・発散・回転の関係式と物理的意味を理解し、ガウスの発散定理・ストークスの定理を使える
• これらの定理が多様体上のストークスの定理に統一されることの見通しを得る

前提：第7章、第9章 重積分

10.1 曲線の長さ

高校では曲線 $(x(t), y(t))$ の長さを $\int\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\ dt$ で求めた。この公式を「長さ」の定義から導こう。長さの自然な定義は、曲線に内接する折れ線の長さの上限である。

曲線とは連続写像 $\gamma\colon [a, b] \to \mathbb{R}^n$ のことをいう。$\gamma$ が $C^1$ 級（端点では片側微分）のとき $C^1$ 曲線、さらに $\gamma'(t) \neq 0$ のとき正則という。有限個の $C^1$ 曲線をつないだものを区分的 $C^1$ 曲線という。$\gamma(a) = \gamma(b)$ のとき閉曲線という。

定義 10.1（曲線の長さ）曲線 $\gamma\colon [a, b] \to \mathbb{R}^n$ と $[a, b]$ の分割 $P\colon a = t_0 < \cdots < t_k = b$ に対して $\ell(\gamma, P) = \sum_{i=1}^{k}\lVert \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) \rVert$ とおき、$L(\gamma) = \sup_P\ell(\gamma, P)$ を $\gamma$ の長さという。$L(\gamma) < \infty$ のとき $\gamma$ は長さをもつ（求長可能, rectifiable）という。

三角不等式より、分割を細かくすると $\ell(\gamma, P)$ は増えるか等しい。準備として、ベクトル値関数 $v\colon [a, b] \to \mathbb{R}^n$（各成分が可積分）の積分 $\int_a^b v = \left(\int_a^b v_1, \dots, \int_a^b v_n\right)$ について

を示しておく。$w = \int_a^b v$ とすると $\lVert w \rVert^2 = \langle w, \int v \rangle = \int\langle w, v \rangle \leq \lVert w \rVert\int\lVert v \rVert$（コーシー–シュワルツ）なので、$w \neq 0$ なら $\lVert w \rVert$ で割ればよい。

定理 10.2 $C^1$ 曲線 $\gamma\colon [a, b] \to \mathbb{R}^n$ は長さをもち、$L(\gamma) = \int_a^b\lVert \gamma'(t) \rVert\ dt$。

証明. 任意の分割 $P$ について、(1) より $\lVert \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) \rVert = \left\lVert \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma' \right\rVert \leq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\lVert \gamma' \rVert$ なので $\ell(\gamma, P) \leq \int_a^b\lVert \gamma' \rVert$。逆向きの不等式を示す。$\varepsilon > 0$ に対し、$\gamma'$ の一様連続性から $\lvert s - t \rvert < \delta \Rightarrow \lVert \gamma'(s) - \gamma'(t) \rVert < \varepsilon$ となる $\delta$ をとり、幅 $\delta$ 未満の分割 $P$ をとる。

よって $\ell(\gamma, P) \geq \sum\lVert \gamma'(t_i) \rVert\Delta t_i - \varepsilon(b - a)$。右辺の和は $\lVert \gamma' \rVert$ のリーマン和なので、分割をさらに細かくすると $\int_a^b\lVert \gamma' \rVert$ に近づく（定理 5.6）。したがって $L(\gamma) \geq \int_a^b\lVert \gamma' \rVert - \varepsilon(b-a)$ がすべての $\varepsilon$ で成り立つ。$\square$

$\varphi\colon [c, d] \to [a, b]$ が $C^1$ 級の全単射で $\varphi' > 0$ のとき、$\gamma \circ \varphi$ を $\gamma$ の（向きを保つ）パラメータの取り替えという。置換積分より $\int_c^d\lVert (\gamma \circ \varphi)' \rVert = \int_c^d\lVert \gamma'(\varphi(u)) \rVert\varphi'(u)\ du = \int_a^b\lVert \gamma' \rVert$ で、長さはパラメータのとり方によらない。

例 10.3 (1) 円 $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$（$0 \leq t \leq 2\pi$）は $\lVert \gamma' \rVert = 1$ なので長さ $2\pi$。第6章でべき級数から定義した $\pi$ が、確かに単位円周の長さの半分であることがわかる。 (2) サイクロイド $\gamma(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)$（$0 \leq t \leq 2\pi$）は $\lVert \gamma' \rVert = \sqrt{2 - 2\cos t} = 2\sin\frac{t}{2}$ なので、長さは $\int_0^{2\pi}2\sin\frac{t}{2}\ dt = 8$。 (3) グラフ $y = f(x)$（$a \leq x \leq b$、$f$ は $C^1$ 級）の長さは $\int_a^b\sqrt{1 + f'(x)^2}\ dx$。

連続な曲線でも長さをもつとは限らない。$f(x) = x\sin\frac{1}{x}$（$f(0) = 0$）のグラフ $[0, 1] \to \mathbb{R}^2$ は、$x = \frac{1}{(k + 1/2)\pi}$ で $\lvert f \rvert = x$ となる点を順にたどる折れ線の長さが調和級数程度に発散するので、長さをもたない。

10.2 線積分

定義 10.4（線積分, line integral）$\gamma\colon [a, b] \to U \subset \mathbb{R}^n$ を区分的 $C^1$ 曲線とする。

• 連続関数 $f\colon U \to \mathbb{R}$ に対して $\int_\gamma f\ ds = \int_a^b f(\gamma(t))\lVert \gamma'(t) \rVert\ dt$ を弧長についての線積分という。
• 連続なベクトル場 $F\colon U \to \mathbb{R}^n$ に対して

$$\int_\gamma F \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b\langle F(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle\,dt$$

を $F$ の $\gamma$ に沿った線積分という。$F = (F_1, \dots, F_n)$ のとき $\int_\gamma F_1\ dx_1 + \cdots + F_n\ dx_n$ とも書く（$n = 2$ では $\int_\gamma P\ dx + Q\ dy$）。

$F$ を力の場とすれば、$\int_\gamma F \cdot d\mathbf{r}$ は粒子を $\gamma$ に沿って動かすときに力がする仕事である。$\gamma$ が閉曲線のときは $\oint_\gamma F \cdot d\mathbf{r}$ と書き、循環 (circulation) ともいう。

置換積分より、ベクトル場の線積分は向きを保つパラメータの取り替えで変わらず、向きを逆にすると符号が変わる（$\varphi' < 0$ の取り替えでは積分の上端と下端が入れ替わる）。一方 $\int_\gamma f\ ds$ は向きによらない。

例 10.5 $F(x, y) = (-y, x)$、$\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$（$0 \leq t \leq 2\pi$）なら $\langle F(\gamma), \gamma' \rangle = \sin^2 t + \cos^2 t = 1$ で、$\oint_\gamma F \cdot d\mathbf{r} = 2\pi$。$F$ は原点のまわりの回転の流れであり、流れに沿って一周すると正の仕事をする。

10.3 グリーンの定理

微分積分学の基本定理 $\int_a^b f'(x)\ dx = f(b) - f(a)$ は、「区間の上での導関数の積分は、境界（端点）での値で決まる」と読める。この 2 次元版がグリーンの定理である。

有界領域 $D \subset \mathbb{R}^2$ の境界 $\partial D$ が有限個の区分的 $C^1$ 閉曲線からなるとき、$\partial D$ には正の向き（進行方向の左側に $D$ がある向き）をつけて考える。

定理 10.6（グリーンの定理, Green's theorem）$D$ を上のような有界閉領域で、次の意味で「縦にも横にも単純」なものとする：

$$D = \lbrace a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x) \rbrace = \lbrace c \leq y \leq d,\ \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \rbrace$$

（$\varphi_i$、$\psi_i$ は区分的 $C^1$ 級）。$P, Q$ が $D$ を含む開集合で $C^1$ 級ならば

$$\oint_{\partial D}P\,dx + Q\,dy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy$$

証明. $\oint_{\partial D}P\ dx = -\iint_D P_y$ と $\oint_{\partial D}Q\ dy = \iint_D Q_x$ を別々に示す。

前者を縦線集合の表示で示す。フビニの定理（定理 9.9）と微分積分学の基本定理より

一方、正の向きの $\partial D$ は、(i) 下の曲線 $t \mapsto (t, \varphi_1(t))$（$t$ は $a$ から $b$）、(ii) 右の縦の線分（あれば）、(iii) 上の曲線を右から左へ、(iv) 左の縦の線分（あれば）からなる。縦の線分上では $x$ が一定なので $dx$ の成分は $0$ で、$\int P\ dx = 0$。(i) では $\int_a^b P(t, \varphi_1(t))\ dt$、(iii) では向きが逆なので $-\int_a^b P(t, \varphi_2(t))\ dt$。和は上式の右辺に一致する。

後者は横線集合の表示で同様に示せる（右の曲線 $x = \psi_2(y)$ を下から上へ、左の曲線を上から下へたどるので、符号がちょうど逆になる）。$\square$

長方形、円板、三角形などは定理 10.6 の条件を満たす。より一般の領域も、有限個のそのような領域に分割できれば、分割線上の線積分は隣り合う二つの領域で逆向きにたどられて打ち消し合うので、グリーンの定理が成り立つ（円環領域 $1 \leq x^2 + y^2 \leq 4$ など、穴のある領域も含む。このとき内側の円は時計回りの向きになる）。

例 10.7（面積の公式）$P = -\frac{y}{2}$、$Q = \frac{x}{2}$ とすると $Q_x - P_y = 1$ なので

楕円 $(a\cos t, b\sin t)$ なら $\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\ dt = \pi ab$。例 10.5 は $F = (-y, x)$ に対してこの公式の 2 倍を計算したもので、$\iint_D 2 = 2\pi$ と一致する。

10.4 保存場とポテンシャル

定義 10.8（保存場, conservative field）開集合 $U$ 上の連続なベクトル場 $F$ が、ある $C^1$ 級関数 $\varphi\colon U \to \mathbb{R}$ によって $F = \nabla\varphi$ と書けるとき、$F$ を保存場（勾配場）といい、$\varphi$ をポテンシャル (potential) という。

$F = \nabla\varphi$ なら、連鎖律より $\langle F(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle = \frac{d}{dt}\varphi(\gamma(t))$ なので

が成り立つ（線積分の基本定理）。つまり線積分は始点と終点だけで決まり、閉曲線に沿った積分は $0$ である。物理では、保存力のする仕事がポテンシャルエネルギーの差に等しいことを意味する。

定理 10.9 $U$ を連結な開集合（任意の 2 点を $U$ 内の区分的 $C^1$ 曲線で結べる）、$F$ を $U$ 上の連続なベクトル場とする。次は同値である。

1. $F$ は保存場である。
2. $U$ 内の任意の区分的 $C^1$ 閉曲線 $\gamma$ について $\oint_\gamma F \cdot d\mathbf{r} = 0$。
3. $\int_\gamma F \cdot d\mathbf{r}$ は $\gamma$ の始点と終点だけで決まる（経路によらない）。

証明. (1)⇒(2) は (2) 式。(2)⇒(3)：同じ始点・終点をもつ $\gamma_1, \gamma_2$ に対し、$\gamma_1$ に $\gamma_2$ を逆向きにつないだ閉曲線を考えればよい。(3)⇒(1)：点 $x_0 \in U$ を固定し、$\varphi(x) = \int_{x_0}^{x}F \cdot d\mathbf{r}$（$x_0$ から $x$ への任意の経路に沿った積分）と定める。$B(x, r) \subset U$ とし、$\lvert t \rvert < r$ に対して $x_0$ から $x$ への経路に線分 $s \mapsto x + se_j$（$0 \leq s \leq t$）をつなぐと

$F_j$ の連続性と微分積分学の基本定理より $\partial_j\varphi(x) = F_j(x)$。偏導関数が連続なので $\varphi$ は $C^1$ 級で $\nabla\varphi = F$。$\square$

$F = \nabla\varphi$ で $\varphi$ が $C^2$ 級（$F$ が $C^1$ 級）なら、シュワルツの定理より

が成り立つ。これは保存場であるための必要条件である。では逆は成り立つだろうか。

例 10.10（$d\theta$ の例）$U = \mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上のベクトル場

は、直接計算で $\frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{\partial F_1}{\partial y}$ を満たす。しかし単位円に沿って一周すると $\langle F(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle = 1$ なので $\oint F \cdot d\mathbf{r} = 2\pi \neq 0$ であり、定理 10.9 より $F$ は保存場でない。

実は、原点を通る半直線を除いた領域（例えば $x > 0$ や、負の $x$ 軸を除いた平面）では $F = \nabla\theta$（$\theta$ は偏角）である。偏角は局所的には滑らかな関数として定まるが、原点のまわりを一周すると $2\pi$ だけずれてしまい、$U$ 全体では 1 価の連続関数として定義できない。$F$ の線積分は $\frac{1}{2\pi}\oint F \cdot d\mathbf{r}$ が曲線の回転数（原点のまわりを何周するか）を数える（問題 10.9）。このため $F$ を $d\theta$（角度形式）と書く。

条件 (3) から保存場であることを導くには、領域の形に条件が必要である。

補題 10.11（積分記号下の微分）$U \subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$g\colon U \times [0, 1] \to \mathbb{R}$ を連続で、$\partial_{x_j}g$ も $U \times [0, 1]$ で連続とする。このとき $G(x) = \int_0^1 g(x, t)\ dt$ は $x_j$ について偏微分可能で、$\partial_jG(x) = \int_0^1\partial_{x_j}g(x, t)\ dt$。

証明. $x \in U$ を固定し、$\overline{B}(x, r) \subset U$ とする。$0 < \lvert h \rvert < r$ で、各 $t$ について平均値の定理より $\frac{g(x + he_j, t) - g(x, t)}{h} = \partial_{x_j}g(x + \theta he_j, t)$（$0 < \theta < 1$、$\theta$ は $t$ に依存）。よって

右辺は、コンパクト集合 $\overline{B}(x, r) \times [0, 1]$ 上での $\partial_{x_j}g$ の一様連続性より、$h \to 0$ で $0$ に収束する。$\square$

定理 10.12（ポアンカレの補題）$U$ が点 $x_0$ に関して星形（任意の $x \in U$ に対して線分 $[x_0, x] \subset U$）で、$F$ が $U$ 上の $C^1$ 級ベクトル場で (3) を満たすならば、$F$ は保存場であり、

$$\varphi(x) = \int_0^1\langle F(x_0 + t(x - x_0)), x - x_0 \rangle\,dt$$

がポテンシャルを与える。

証明. $x_0 = 0$ としてよい。補題 10.11 と (3) より

偏導関数は連続なので $\varphi$ は $C^1$ 級で $\nabla\varphi = F$。$\square$

凸集合は星形なので、$\mathbb{R}^n$ や球の上では (3) は保存場であるための必要十分条件である。より一般に、$U$ が単連結（$U$ 内の任意の閉曲線が $U$ 内で連続的に 1 点に縮められる）ならば同じ結論が成り立つ。$\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ は単連結でなく（原点を囲む円は縮められない）、例 10.10 はまさにその反映である。この「局所的には解けるが大域的には解けない」という現象を測るのがド・ラーム・コホモロジー（07-manifolds 第7章）と基本群（09-algebraic-topology 第1章）である。

10.5 曲面と面積分

定義 10.13（パラメータ表示された曲面）$D \subset \mathbb{R}^2$ をジョルダン可測な有界閉集合とし、$\Phi\colon D \to \mathbb{R}^3$ を（$D$ を含む開集合上の）$C^1$ 級写像で、$D$ の内部で単射かつ $\Phi_u \times \Phi_v \neq 0$ を満たすとする。$S = \Phi(D)$ をパラメータ表示された曲面という。ここで $\Phi_u = \frac{\partial\Phi}{\partial u}$、$\Phi_v = \frac{\partial\Phi}{\partial v}$、$\times$ は外積（ベクトル積）である。

$\Phi_u \times \Phi_v \neq 0$ は、$D\Phi$ の階数が 2 であること（$\Phi_u$ と $\Phi_v$ が線形独立）と同値で、このとき $\Phi_u$、$\Phi_v$ は接平面を張り、$\Phi_u \times \Phi_v$ は曲面の法ベクトルである。

パラメータ領域の微小な長方形 $[u, u + \Delta u] \times [v, v + \Delta v]$ は、近似的に $\Phi_u\Delta u$ と $\Phi_v\Delta v$ が張る平行四辺形に写され、その面積は $\lVert \Phi_u \times \Phi_v \rVert\Delta u\Delta v$ である。そこで次のように定義する。

定義 10.14（曲面積・面積分）

$$\operatorname{Area}(S) = \iint_D\lVert \Phi_u \times \Phi_v \rVert\,du\,dv, \qquad \iint_S f\,dS = \iint_D f(\Phi(u, v))\lVert \Phi_u \times \Phi_v \rVert\,du\,dv$$

単位法ベクトル $\mathbf{n} = \frac{\Phi_u \times \Phi_v}{\lVert \Phi_u \times \Phi_v \rVert}$ を選んだ（向きをつけた）とき、連続なベクトル場 $F$ に対して

$$\iint_S F \cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_D\langle F(\Phi(u, v)), \Phi_u \times \Phi_v \rangle\,du\,dv$$

を $S$ を通過する $F$ の流束 (flux) という。

$\lVert \Phi_u \times \Phi_v \rVert^2 = \lVert \Phi_u \rVert^2\lVert \Phi_v \rVert^2 - \langle \Phi_u, \Phi_v \rangle^2$（グラム行列式）である。パラメータを $(u, v) = \Psi(s, t)$ と取り替えると、連鎖律より $\Phi_s \times \Phi_t = (\det D\Psi)\ \Phi_u \times \Phi_v$ となるので、変数変換公式により曲面積・面積分はパラメータのとり方によらない（流束は $\det D\Psi > 0$、すなわち向きを保つ取り替えで不変）。

例 10.15 (1)（球面）$\Phi(\phi, \theta) = R(\sin\phi\cos\theta, \sin\phi\sin\theta, \cos\phi)$（$0 \leq \phi \leq \pi$、$0 \leq \theta \leq 2\pi$）とすると、計算により $\Phi_\phi \times \Phi_\theta = R^2\sin\phi(\sin\phi\cos\theta, \sin\phi\sin\theta, \cos\phi)$（外向き）、$\lVert \Phi_\phi \times \Phi_\theta \rVert = R^2\sin\phi$。よって面積は $\int_0^{2\pi}\int_0^\pi R^2\sin\phi\ d\phi\ d\theta = 4\pi R^2$。 (2)（グラフ）$z = f(x, y)$ なら $\Phi(x, y) = (x, y, f(x, y))$、$\Phi_x \times \Phi_y = (-f_x, -f_y, 1)$（上向き）で、$dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\ dx\ dy$。 (3)（流束）$F(x) = x$ の単位球面を外向きに通過する流束は、球面上で $F \cdot \mathbf{n} = \langle x, x \rangle = 1$ なので $\iint_S 1\ dS = 4\pi$。

流束の物理的意味：$F$ を流体の速度場とすると、$F \cdot \mathbf{n}\ dS$ は微小な面 $dS$ を単位時間に $\mathbf{n}$ の側へ通り抜ける流体の体積である。

10.6 勾配・発散・回転

$\mathbb{R}^3$ の開集合 $U$ 上の関数 $f$ とベクトル場 $F = (F_1, F_2, F_3)$ に対して、$\nabla = (\partial_1, \partial_2, \partial_3)$ を形式的なベクトルと見て

と定め、それぞれ勾配 (gradient)、発散 (divergence)、回転 (rotation, curl) という。$\operatorname{div}\operatorname{grad}f = \Delta f = \sum\partial_i^2f$ はラプラシアンである。条件 (3) は $\operatorname{rot}F = 0$ と同じことである。

命題 10.16 $f$、$F$ が $C^2$ 級ならば

$$\operatorname{rot}(\operatorname{grad}f) = 0, \qquad \operatorname{div}(\operatorname{rot}F) = 0$$

また $C^1$ 級なら $\operatorname{div}(fF) = \langle \nabla f, F \rangle + f\operatorname{div}F$、$\operatorname{rot}(fF) = \nabla f \times F + f\operatorname{rot}F$。

証明. $\operatorname{rot}(\nabla f)$ の第 1 成分は $\partial_2\partial_3f - \partial_3\partial_2f = 0$（シュワルツの定理）。他の成分も同様。$\operatorname{div}(\operatorname{rot}F) = \partial_1(\partial_2F_3 - \partial_3F_2) + \partial_2(\partial_3F_1 - \partial_1F_3) + \partial_3(\partial_1F_2 - \partial_2F_1)$ で、2 階偏導関数が対ごとに打ち消し合う。後半は積の微分から従う。$\square$

例 10.17 (1) $F = (x, y, z)$：$\operatorname{div}F = 3$、$\operatorname{rot}F = 0$。湧き出しのある、渦のない流れ。 (2) $F = (-y, x, 0)$（$z$ 軸まわりの回転）：$\operatorname{div}F = 0$、$\operatorname{rot}F = (0, 0, 2)$。湧き出しのない、渦のある流れ。回転の大きさは角速度の 2 倍である。

発散と回転の物理的意味は、次節の定理から明らかになる：$\operatorname{div}F(a)$ は $a$ のまわりの単位体積あたりの湧き出しの量、$\langle \operatorname{rot}F(a), \mathbf{n} \rangle$ は $\mathbf{n}$ に垂直な面内での単位面積あたりの循環（渦の強さ）である（(4)、(5) 式）。

10.7 ガウスの発散定理とストークスの定理

定理 10.18（ガウスの発散定理, divergence theorem）$V \subset \mathbb{R}^3$ を有界閉領域で、その境界 $\partial V$ が有限個の区分的に滑らかな曲面からなるものとし、$\partial V$ には外向きの単位法ベクトル $\mathbf{n}$ をとる。$F$ が $V$ を含む開集合で $C^1$ 級ならば

$$\iiint_V\operatorname{div}F\,dV = \iint_{\partial V}F \cdot \mathbf{n}\,dS$$

証明の概略. $F = (0, 0, F_3)$ の場合を、$V = \lbrace (x, y) \in D,\ \varphi_1(x, y) \leq z \leq \varphi_2(x, y) \rbrace$（$D$ は平面のジョルダン可測な閉集合、$\varphi_i$ は $C^1$ 級）の形の領域で示す。フビニの定理より

一方、上面 $z = \varphi_2$ を $\Phi(x, y) = (x, y, \varphi_2(x, y))$ で表すと、外向き（上向き）の法ベクトルは $\Phi_x \times \Phi_y = (-\partial_x\varphi_2, -\partial_y\varphi_2, 1)$ で、$\langle (0, 0, F_3), \Phi_x \times \Phi_y \rangle = F_3$。よって上面の流束は右辺の第 1 項に等しい。下面では外向きの法ベクトルが下向きなので、流束は第 2 項（負号を含む）に等しい。側面（あれば）では法ベクトルが水平なので $F \cdot \mathbf{n} = 0$。$V$ が三方向のどれについてもこのような形に表せる（球、直方体など）なら、$F_1$、$F_2$ の部分も同様に示せて、足し合わせると定理を得る。一般の領域は、このような領域に分割して、内部の境界面での流束が打ち消し合うことを使う。$\square$

$a$ を中心とする半径 $r$ の球 $B_r$ に適用し、$\operatorname{div}F$ の連続性を使うと

となり、発散が「単位体積あたりの湧き出し」であることがわかる。

定理 10.19（ストークスの定理, Stokes' theorem）$S$ を向きのついた区分的に滑らかな曲面、その境界 $\partial S$ を区分的 $C^1$ 閉曲線とし、$\partial S$ には $S$ の向きと整合する向き（法ベクトル $\mathbf{n}$ の方向を頭にして立ち、$\partial S$ に沿って歩くと $S$ が左側にある向き）をつける。$F$ が $S$ を含む開集合で $C^1$ 級ならば

$$\iint_S(\operatorname{rot}F) \cdot \mathbf{n}\,dS = \oint_{\partial S}F \cdot d\mathbf{r}$$

証明の概略. $S$ がグラフ $z = f(x, y)$（$(x, y) \in D$、$f$ は $C^2$ 級、$D$ はグリーンの定理が使える領域）で、$\mathbf{n}$ が上向きの場合を考える。$F = (P, 0, 0)$ とすると $\operatorname{rot}F = (0, \partial_zP, -\partial_yP)$、例 10.15 (2) より

$\partial S$ は $\partial D$ を $(x, y) \mapsto (x, y, f(x, y))$ で持ち上げた曲線で、その上で $\int P\ dx = \oint_{\partial D}p\ dx$（$p(x, y) = P(x, y, f(x, y))$）。グリーンの定理より $\oint_{\partial D}p\ dx = -\iint_D p_y$ なので、両辺は一致する。$(0, Q, 0)$ も同様、$(0, 0, R)$ では $\oint R\ dz = \oint_{\partial D}R(f_x\ dx + f_y\ dy)$ にグリーンの定理を使い、$f_{xy} = f_{yx}$ を用いる。一般の曲面は、このような小片に分割して、内部の境界曲線上の線積分が打ち消し合うことを使う。$\square$

$S$ を平面上の領域 $D$（$\mathbf{n} = (0, 0, 1)$）とすれば、ストークスの定理はグリーンの定理そのものである。また、$a$ を中心とし $\mathbf{n}$ に垂直な半径 $r$ の円板 $S_r$ に適用すると

となり、回転が「単位面積あたりの循環」であることがわかる。

例 10.20 (1)（ストークスの定理の検証）上半球面 $S = \lbrace x^2 + y^2 + z^2 = 1,\ z \geq 0 \rbrace$（外向き）と $F = (-y, x, 0)$ を考える。$\operatorname{rot}F = (0, 0, 2)$ なので左辺は $2\iint_S n_3\ dS$ で、$n_3\ dS$ は $xy$ 平面への射影の面積要素（例 10.15 (2) の形で $\mathbf{n}\ dS = (\ast, \ast, 1)\ dx\ dy$）なので、$2\pi$。右辺は単位円に沿った線積分で、例 10.5 より $2\pi$。 (2)（ガウスの法則）$E(x) = \frac{x}{\lVert x \rVert^3}$（原点の点電荷による電場）は $\mathbb{R}^3 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ で $\operatorname{div}E = 0$ である（$\partial_i(x_i\lVert x \rVert^{-3}) = \lVert x \rVert^{-3} - 3x_i^2\lVert x \rVert^{-5}$ を足すと $0$）。半径 $R$ の球面上では $E \cdot \mathbf{n} = \frac{1}{R^2}$ なので流束は $4\pi$。原点を含む任意の領域 $V$ の境界を通る流束は、$V$ から小さな球を除いた領域に発散定理を使うと、やはり $4\pi$ になる。原点を含まない領域では $0$ である（問題 10.8）。

10.8 多様体上のストークスの定理へ

本章の諸定理は、形がよく似ている：

微分形式 (differential form) の言葉を使うと、これらはすべて一つの定理

（$M$ は境界付きの向きづけられた多様体、$\omega$ は微分形式、$d$ は外微分）の特別な場合になる。関数（0 次形式）の $d$ が勾配、1 次形式の $d$ が回転、2 次形式の $d$ が発散に対応し、命題 10.16 の $\operatorname{rot}\operatorname{grad} = 0$、$\operatorname{div}\operatorname{rot} = 0$ は $d \circ d = 0$ という一つの等式にまとめられる。また例 10.10 の $d\theta$ は、「$d\omega = 0$ だが $\omega = d\varphi$ とは書けない」微分形式の典型例であり、その存在が領域の穴を検出する。これらは 07-manifolds 第5章、第6章、第7章 の主題である。

まとめ

• $C^1$ 曲線の長さ（内接折れ線の長さの上限）は $\int\lVert \gamma' \rVert\ dt$ に等しく、パラメータのとり方によらない。
• ベクトル場の線積分は仕事・循環を表し、向きを逆にすると符号が変わる。
• グリーンの定理 $\oint_{\partial D}P\ dx + Q\ dy = \iint_D(Q_x - P_y)$ は、縦線・横線集合に対してフビニの定理と基本定理から証明できる。面積の公式が従う。
• $F$ が保存場 $\Leftrightarrow$ 閉曲線に沿った線積分がすべて $0$ $\Leftrightarrow$ 経路独立。$\operatorname{rot}F = 0$ は必要条件で、星形（より一般に単連結）領域では十分条件でもある（ポアンカレの補題）。$\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上の $d\theta$ が反例である。
• パラメータ表示された曲面の面積は $\iint\lVert \Phi_u \times \Phi_v \rVert\ du\ dv$ で定義され、流束は $\iint\langle F, \Phi_u \times \Phi_v \rangle\ du\ dv$ で計算する。
• $\operatorname{rot}\operatorname{grad} = 0$、$\operatorname{div}\operatorname{rot} = 0$。発散は湧き出しの密度、回転は循環の密度である。
• ガウスの発散定理とストークスの定理は、微分積分学の基本定理の高次元版であり、多様体上のストークスの定理 $\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega$ に統一される。

演習問題