向き・積分・ストークスの定理

この章の目標

• 多様体の向きを、アトラス・体積形式の二通りで扱い、$\mathbb{R}P^n$ やメビウスの帯の向き付け可能性を判定できる
• 境界付き多様体と、境界に誘導される向きを正しく定められる
• 1 の分割を用いて微分形式の積分を定義し、それが well-defined であることを証明できる
• ストークスの定理を証明し、グリーン・ガウス・ストークスの定理を導ける
• リーマン計量の体積形式と発散定理を理解し、ブラウアーの不動点定理（滑らかな場合）を証明できる

前提：第5章、微分積分学 第9章（変数変換公式）、第10章

$n$ 形式は、座標変換でヤコビ行列式倍される（命題 5.9）。重積分の変数変換ではヤコビ行列式の絶対値が現れるので、両者を一致させるには、座標変換のヤコビ行列式が正であるように座標をそろえる必要がある。これが向きである。向きのもとで $n$ 形式を積分でき、ストークスの定理 $\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega$ が成り立つ。

6.1 向き

$n \geq 1$ 次元ベクトル空間の順序付き基底は、変換行列の行列式が正のとき同値であるとする。同値類はちょうど二つあり、その一方を選ぶことを向き (orientation) という。

定義 6.1（多様体の向き）$M$ を $n \geq 1$ 次元多様体とする。各 $T_pM$ に向きを与えたもので、各点の近くに正の向きの連続な局所枠（連続なベクトル場 $E_1, \dots, E_n$ で各点で正の基底をなすもの）があるものを、$M$ の向きという。向きが存在するとき、$M$ は向き付け可能 (orientable) であるという。座標変換のヤコビ行列式がすべて正であるアトラスを向き付けられたアトラスという。

命題 6.2 $n \geq 1$ 次元多様体 $M$ について、次は同値である。

1. $M$ は向き付け可能である。
2. 至る所 $0$ でない $n$ 形式（体積形式 (volume form)）が存在する。
3. 向き付けられたアトラスが存在する。

証明. (2 ⇒ 1) 体積形式 $\omega$ に対し、$\omega(v_1, \dots, v_n) > 0$ となる基底を正とする。連結なチャート上で $\omega = f\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ と書くと、$f$ は $0$ にならない連続関数なので符号が一定である。したがって、座標枠またはその $x^1$ の符号を変えたものが正の局所枠になる。 (1 ⇒ 3) 連結な定義域をもつチャートで、座標枠が正の向きをもつものを集める（座標枠と正の局所枠の変換行列の行列式は連続で $0$ にならないので、1 点で正なら定義域全体で正である。負なら $x^1$ を $-x^1$ に替える）。二つのチャートの座標枠がともに正なので、座標変換のヤコビ行列式は正である。 (3 ⇒ 2) 向き付けられたアトラス $\lbrace (U_\alpha, x_\alpha) \rbrace$ に従属する 1 の分割 $\lbrace \psi_\alpha \rbrace$ をとり、$\omega = \sum_\alpha\psi_\alpha\ dx_\alpha^1 \wedge \dots \wedge dx_\alpha^n$ とおく。点 $p$ を含む一つのチャート $x_\beta$ で表すと、命題 5.9 より $\omega_p = \left( \sum_\alpha\psi_\alpha(p)\det(\partial x_\alpha/\partial x_\beta) \right)dx_\beta^1 \wedge \dots \wedge dx_\beta^n$ となる。行列式はすべて正で、$\psi_\alpha(p) \geq 0$、$\sum_\alpha\psi_\alpha(p) = 1$ なので、係数は正である。$\square$

連結な向き付け可能多様体の向きはちょうど二つある。向きを保つ（逆にする）微分同相写像も同様に定義する。

例 6.3 (1) $\mathbb{R}^n$ は $dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ で向き付けられる（標準的な向き）。トーラス $T^n$ は $d\theta^1 \wedge \dots \wedge d\theta^n$ で向き付けられる（$d\theta^i$ は第 $i$ 成分の角形式の引き戻し）。 (2) $S^n$ 上で $\sigma = \sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}x^i\ dx^1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx^i} \wedge \dots \wedge dx^{n+1}$ を制限したものを考える。これは位置ベクトル場 $P$ による $\iota_P(dx^1 \wedge \dots \wedge dx^{n+1})$ であり、$T_xS^n$ の基底 $v_1, \dots, v_n$ に対して $\sigma(v_1, \dots, v_n) = \det(x, v_1, \dots, v_n) \neq 0$ となる（$x \perp T_xS^n$）。よって $S^n$ は向き付け可能である。$(x, v_1, \dots, v_n)$ が正となる基底を正とするのが標準的な向きである。 (3) 立体射影の座標変換 $u \mapsto u/\lvert u \rvert^2$ のヤコビ行列は $\lvert u \rvert^{-2}(I - 2uu^{\top}/\lvert u \rvert^2)$ であり、括弧内は鏡映なので、行列式は $-\lvert u \rvert^{-2n} < 0$ である。したがってアトラス $\lbrace \sigma_N, \sigma_S \rbrace$ は向き付けられていないが、$\sigma_S$ の第 1 成分の符号を変えれば向き付けられたアトラスになる。

命題 6.4 $\mathbb{R}P^n$（$n \geq 1$）が向き付け可能であるための必要十分条件は、$n$ が奇数であることである。

証明. 対蹠写像 $a(x) = -x$ について、$\sigma$ の各項で $x^i$ と $n$ 個の $dx^j$ がそれぞれ符号を変えるので、$a^{\ast}\sigma = (-1)^{n+1}\sigma$ である。射影 $\pi\colon S^n \to \mathbb{R}P^n$ は局所微分同相で、$\pi \circ a = \pi$ を満たす（問題 3.2）。 $n$ が奇数なら $a^{\ast}\sigma = \sigma$ である。$\mathbb{R}P^n$ の各点の近くで $\pi$ の局所的な逆写像 $s$ をとり、$\omega = s^{\ast}\sigma$ とおく。別の局所逆写像は（連結な近傍上で）$a \circ s$ なので、$\omega$ は $s$ のとり方によらず、至る所 $0$ でない $n$ 形式になる。 $n$ が偶数とし、$\mathbb{R}P^n$ 上に体積形式 $\omega$ があったとする。$\pi^{\ast}\omega = f\sigma$ と書くと、$f$ は連結な $S^n$ 上の $0$ にならない連続関数なので、符号が一定である。一方 $a^{\ast}\pi^{\ast}\omega = (\pi \circ a)^{\ast}\omega = \pi^{\ast}\omega$ であり、左辺は $(f \circ a)a^{\ast}\sigma = -(f \circ a)\sigma$ である。よって $f = -f \circ a$ となり、符号が一定であることに矛盾する。$\square$

例 6.5（メビウスの帯）$\mathbb{R} \times (-1, 1)$ を $(s, t) \sim (s + 1, -t)$ で割った商 $M$ は 2 次元多様体であり、商写像 $q$ は局所微分同相である。$M$ 上に体積形式 $\omega$ があったとすると、$q^{\ast}\omega = f\ ds \wedge dt$ で、$f$ は符号一定である。$g(s, t) = (s + 1, -t)$ とすると $q \circ g = q$ なので、$f\ ds \wedge dt = g^{\ast}(f\ ds \wedge dt) = -(f \circ g)\ ds \wedge dt$ となり、矛盾する。よってメビウスの帯は向き付け可能でない。$\mathbb{R}^3$ の中の曲面については、向き付け可能であることと、連続な単位法ベクトル場が存在することは同値である（$\iota_{\nu}(dx \wedge dy \wedge dz)$ を考えよ）。メビウスの帯には連続な単位法ベクトル場がない。

6.2 境界付き多様体

定義 6.6（境界付き多様体）$\mathbb{H}^n = \lbrace x \in \mathbb{R}^n \mid x^n \geq 0 \rbrace$ とする。$\mathbb{H}^n$ の開集合上の写像が滑らかであるとは、各点の近くで $\mathbb{R}^n$ の開集合上の滑らかな写像に拡張できることをいう。ハウスドルフかつ第二可算な空間 $M$ に、$\mathbb{H}^n$ の開集合への同相写像からなるチャートで、座標変換が滑らかなアトラスが与えられたものを、境界付き多様体という。あるチャートで $\partial\mathbb{H}^n = \lbrace x^n = 0 \rbrace$ に写る点を境界点といい、その全体を $\partial M$ と書く。

命題 6.7 境界点は、どのチャートでも $\partial\mathbb{H}^n$ に写る。$\partial M$ はチャートの制限により $(n - 1)$ 次元の（境界のない）多様体になる。

証明. $p$ があるチャート $\varphi$ で $\mathbb{H}^n$ の内部に、別のチャート $\psi$ で $\partial\mathbb{H}^n$ に写ったとする。$\varphi(p)$ の近くで、座標変換 $\psi \circ \varphi^{-1}$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合上で定義され、その逆写像も（拡張すれば）滑らかなので、ヤコビ行列は正則である。逆関数定理により、$\psi \circ \varphi^{-1}$ は $\varphi(p)$ の近傍を $\psi(p)$ を含む $\mathbb{R}^n$ の開集合に写す。しかし像は $\mathbb{H}^n$ に含まれ、$\mathbb{H}^n$ は境界点 $\psi(p)$ の近傍を含まないので矛盾する。後半は、座標変換が $\partial\mathbb{H}^n$ を $\partial\mathbb{H}^n$ に写すことから従う。$\square$

例 6.8 (1) 閉区間 $[a, b]$、閉円板 $D^n$（$\partial D^n = S^{n-1}$）、$M \times [0, 1]$（$M$ は境界のない多様体、境界は $M \times \lbrace 0, 1 \rbrace$）。 (2) より一般に、$f \in C^\infty(M)$ と正則値 $c$ に対し、$\lbrace f \leq c \rbrace$ は境界 $f^{-1}(c)$ をもつ境界付き多様体である。実際、$f(p) = c$ となる点の近くで系 3.18 により $f - c = -x^n$ となる座標をとれば、$\lbrace f \leq c \rbrace$ は $\lbrace x^n \geq 0 \rbrace$ に対応する。$D^n = \lbrace \lvert x \rvert^2 \leq 1 \rbrace$ はその例である。

境界点 $p$ での接ベクトルで、境界チャートにおける $x^n$ 成分が負のものを外向き (outward-pointing) という（座標変換は $\mathbb{H}^n$ の内部を内部に写すので、この条件はチャートによらない）。

定義 6.9（誘導された向き）$M$ を向き付けられた $n$ 次元境界付き多様体（$n \geq 2$）とする。$p \in \partial M$ と外向きの $N \in T_pM$ に対し、$T_p\partial M$ の基底 $(v_1, \dots, v_{n-1})$ は、$(N, v_1, \dots, v_{n-1})$ が $T_pM$ で正のとき正であると定める。これを $\partial M$ の誘導された向き（ストークスの向き）という。$n = 1$ のときは、外向きのベクトルが正の向きをもつ境界点に $+1$、そうでない境界点に $-1$ を与える。

例 6.10 (1) $\mathbb{H}^n$（標準的な向き）では $N = -\partial_n$ が外向きである。$(-\partial_n, \partial_1, \dots, \partial_{n-1})$ を $(\partial_1, \dots, \partial_n)$ に並べ替えると符号 $(-1) \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^n$ が出る。したがって、$\partial\mathbb{H}^n = \mathbb{R}^{n-1}$ の誘導された向きは標準的な向きの $(-1)^n$ 倍である。 (2) $[a, b]$ では、$b$ に $+1$、$a$ に $-1$ が与えられる。$\mathbb{H}^2$ の境界（$x$ 軸）は $+\partial_x$ の向きをもち、$\mathbb{H}^2$ を左手に見て進む向きになる。 (3) $D^2$ の境界 $S^1$ は反時計回りに向き付けられる（点 $(1, 0)$ で $N = \partial_x$ であり、$(\partial_x, \partial_y)$ が正なので $\partial_y$ が正）。$D^{n+1}$ の境界 $S^n$ の誘導された向きは、例 6.3 (2) の標準的な向きである。

6.3 微分形式の積分

定義 6.11 $U$ を $\mathbb{R}^n$ または $\mathbb{H}^n$ の開集合とし、$\omega = f\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ の台は $U$ に含まれるコンパクト集合とする。$\int_U\omega = \int_U f\ dx^1 \cdots dx^n$（通常の重積分）と定める。

命題 6.12 $F\colon U \to V$ を $\mathbb{R}^n$ または $\mathbb{H}^n$ の開集合の間の微分同相写像とし、$\omega$ は $V$ にコンパクトな台をもつとする。$U$ 上で $\det DF > 0$ なら $\int_V\omega = \int_U F^{\ast}\omega$ であり、$\det DF < 0$ なら $\int_V\omega = -\int_U F^{\ast}\omega$ である。

証明. 命題 5.9 より $F^{\ast}(f\ dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n) = (f \circ F)\det DF\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ である。重積分の変数変換公式 $\int_V f\ dy = \int_U (f \circ F)\lvert \det DF \rvert\ dx$（微分積分学 第9章。$\partial\mathbb{H}^n$ は測度 $0$）と比べればよい。$\square$

定義 6.13（多様体上の積分）$M$ を向き付けられた $n$ 次元（境界付き）多様体とし、$\omega \in \Omega^n(M)$ の台はコンパクトとする。

1. $\operatorname{supp}\omega$ が正の向きのチャート $(U, \varphi)$ に含まれるとき、$\int_M\omega = \int_{\varphi(U)}(\varphi^{-1})^{\ast}\omega$ と定める。
2. 一般には、正の向きのチャートからなるアトラス $\lbrace U_\alpha \rbrace$ に従属する 1 の分割 $\lbrace \psi_\alpha \rbrace$ をとり、$\int_M\omega = \sum_\alpha\int_M\psi_\alpha\omega$ と定める。

1 がチャートによらないことは、命題 6.12 を座標変換（ヤコビ行列式は正）に適用すればわかる。2 の和は有限和である（$\operatorname{supp}\omega$ はコンパクトで、$\lbrace \operatorname{supp}\psi_\alpha \rbrace$ は局所有限）。

定理 6.14 定義 6.13 の 2 は、アトラスと 1 の分割のとり方によらない。

証明. 別のアトラス $\lbrace V_\beta \rbrace$ と 1 の分割 $\lbrace \chi_\beta \rbrace$ をとる。各 $\alpha$ について $\psi_\alpha\omega = \sum_\beta\chi_\beta\psi_\alpha\omega$（有限和）であり、各項の台は $U_\alpha \cap V_\beta$ に含まれる。1 の積分は線形なので $\int\psi_\alpha\omega = \sum_\beta\int\chi_\beta\psi_\alpha\omega$ となる。同様に $\int\chi_\beta\omega = \sum_\alpha\int\psi_\alpha\chi_\beta\omega$ であり、どちらの和も $\sum_{\alpha, \beta}\int\psi_\alpha\chi_\beta\omega$ に等しい。$\square$

積分は線形であり、向きを逆にすると符号が変わる。向きを保つ（逆にする）微分同相写像 $F\colon M \to N$ に対し $\int_N\omega = \pm\int_M F^{\ast}\omega$ である。0 次元の向き付けられた多様体（符号付きの点の有限集合）では $\int f = \sum \pm f(p)$ と定める。

実際の計算では 1 の分割を使わない。$D \subset \mathbb{R}^n$ が開集合で、$F\colon D \to M$ が向きを保つ微分同相写像で開集合 $F(D)$ の上へのものであり、$M \setminus F(D)$ が測度零ならば、$\int_M\omega = \int_D F^{\ast}\omega$ である（測度零集合は積分に寄与しないことから従う。証明は略）。

例 6.15 (1) 球座標 $F(\varphi, \theta) = (\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$, $D = (0, \pi) \times (0, 2\pi)$ は、$S^2$ から経線の半分を除いた部分へのパラメータ表示である。点 $(1, 0, 0)$ で $\partial_\varphi = (0, 0, -1)$, $\partial_\theta = (0, 1, 0)$ であり、$\det(x, \partial_\varphi, \partial_\theta) = 1 > 0$ なので向きを保つ（$D$ は連結なので、1 点で確かめれば十分）。問題 5.5 より $F^{\ast}\Omega = \sin\varphi\ d\varphi \wedge d\theta$ なので、 $\int_{S^2}\Omega = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin\varphi\ d\varphi\ d\theta = 4\pi$ である。 (2) 反時計回りの $S^1$ 上で角形式を積分すると $2\pi$ である（例 5.23 と一致する）。

6.4 ストークスの定理

定理 6.16（ストークスの定理, Stokes' theorem）$M$ を向き付けられた $n$ 次元境界付き多様体（$n \geq 1$）、$\omega \in \Omega^{n-1}(M)$ の台はコンパクトとし、$\partial M$ には誘導された向きを与える。このとき

$$\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega$$

が成り立つ。右辺は包含写像による引き戻し $\iota^{\ast}\omega$ の積分であり、$\partial M = \emptyset$ なら $0$ とする。

証明. (a) $M = \mathbb{H}^n$ の場合. $\omega = \sum_{i=1}^n\omega_i\ dx^1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx^i} \wedge \dots \wedge dx^n$ の台は $[-R, R]^{n-1} \times [0, R)$ に含まれるとする。$d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\partial_i\omega_i\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ である。フビニの定理で $x^i$ について先に積分すると、$i < n$ の項は $\int_{-R}^R\partial_i\omega_i\ dx^i = 0$ となる。$i = n$ の項は $\int_0^R\partial_n\omega_n\ dx^n = -\omega_n(x', 0)$ となるので、

である。一方、$\partial\mathbb{H}^n$ 上では $\iota^{\ast}dx^n = 0$ なので $\iota^{\ast}\omega = \omega_n(x', 0)\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^{n-1}$ であり、例 6.10 (1) より誘導された向きは標準的な向きの $(-1)^n$ 倍である。よって右辺も $(-1)^n\int\omega_n(x', 0)\ dx'$ となり、一致する（$n = 1$ でも同じ計算が成り立つ。上の注意の $(-\infty, 0]$ の場合は、左辺が $\int_{-R}^0 \omega'\ dx = \omega(0)$、右辺は外向きの $+\partial_x$ が正なので境界点に $+1$ が与えられて $\omega(0)$ となり、やはり一致する）。$M = \mathbb{R}^n$ の場合は、すべての項が $0$ になり、両辺とも $0$ である。

(b) 台が一つの正のチャート $(U, \varphi)$ に含まれる場合. $\varphi$ は向きを保ち、境界を境界に、外向きベクトルを外向きベクトルに写すので、$\partial M \cap U$ 上では誘導された向きに関して向きを保つ。定理 5.15 と (a) より

となる（内部のチャートなら $\mathbb{R}^n$ の場合を使い、両辺とも $0$）。

(c) 一般の場合. 正のチャートからなるアトラスに従属する 1 の分割 $\lbrace \psi_\alpha \rbrace$ をとる。$\operatorname{supp}\omega$ と交わる $\operatorname{supp}\psi_\alpha$ は有限個なので、$d\omega = \sum_\alpha d(\psi_\alpha\omega)$ は有限和である。(b) より

を得る。$\square$

系 6.17 (1) $M$ が境界のないコンパクト多様体なら、任意の $\eta \in \Omega^{n-1}(M)$ について $\int_M d\eta = 0$ である。 (2) 立体角形式 $\Omega$ は $\mathbb{R}^3 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上で完全でない。

証明. (1) は定理 6.16 そのものである。(2) $\Omega = d\eta$ なら、$S^2$ への引き戻しも完全形式なので、(1) より $\int_{S^2}\Omega = 0$ となるが、これは例 6.15 に矛盾する。$\square$

6.5 古典的なベクトル解析の定理

$\mathbb{R}^2$ または $\mathbb{R}^3$ の正則領域 $D$（滑らかな境界をもつ有界閉領域。例 6.8 (2) のような境界付き多様体）を考える。

(1) 微分積分学の基本定理. $M = [a, b]$、$\omega = f$ とすると、$\int_{[a, b]}df = f(b) - f(a)$ である。

(2) グリーンの定理. $d(P\ dx + Q\ dy) = (Q_x - P_y)\ dx \wedge dy$ より、

が成り立つ（$\partial D$ は $D$ を左に見る向き）。特に $D$ の面積は $\frac{1}{2}\oint_{\partial D}(x\ dy - y\ dx)$ である。楕円 $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ では、$x\ dy - y\ dx = ab\ dt$ より面積は $\pi ab$ となる。

(3) ガウスの発散定理. $\nu$ を $\partial D$ の外向き単位法ベクトル、$dA = \iota^{\ast}(\iota_\nu\mathrm{vol})$ を $\partial D$ の面積要素とする（$(v, w)$ が $T_p\partial D$ の正の正規直交基底なら、$(\nu, v, w)$ は $\mathbb{R}^3$ の正の正規直交基底であり、$dA(v, w) = 1$ となる）。$F = (F \cdot \nu)\nu + F^{\top}$（$F^{\top}$ は接成分）と分解すると、接ベクトル $v, w$ に対して $\mathrm{vol}(F^{\top}, v, w) = 0$ なので、$\iota^{\ast}\eta_F = (F \cdot \nu)\ dA$ である。命題 5.24 とストークスの定理から

を得る。検算：単位球と $F(x) = x$ では、左辺は $3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi$、右辺は $F \cdot \nu = 1$ より球面の面積 $4\pi$ である。

(4) ストークスの定理（古典版）. $S \subset \mathbb{R}^3$ を単位法ベクトル場 $\nu$ で向き付けられたコンパクトな曲面（境界付き）とする。境界曲線の単位接ベクトル $T$ を誘導された向きにとると、$T = \nu \times N$（$N$ は外向き）であり、$S$ を左に見て進む向きになる。$\iota^{\ast}\omega_F = (F \cdot T)\ ds$、$\iota^{\ast}\eta_G = (G \cdot \nu)\ dA$ なので、$d\omega_F = \eta_{\operatorname{rot}F}$ から

が得られる。検算：$F = (-y, x, 0)$、$S$ を上半球面（外向き法線）とする。$\operatorname{rot}F = (0, 0, 2)$ で、$\iint 2\nu_z\ dA$ は $xy$ 平面への射影面積の 2 倍、すなわち $2\pi$ である。境界は $xy$ 平面の単位円で、点 $(1, 0, 0)$ では $T = \nu \times N = (1, 0, 0) \times (0, 0, -1) = (0, 1, 0)$ なので反時計回りである。$\oint -y\ dx + x\ dy = \int_0^{2\pi}dt = 2\pi$ となり、一致する。

6.6 リーマン計量と体積形式

定義 6.18（リーマン計量, Riemannian metric）各 $T_pM$ 上の内積 $g_p$ で、座標での成分 $g_{ij} = g(\partial_i, \partial_j)$ が滑らかなものをリーマン計量という。

1 の分割を使うと、任意の多様体はリーマン計量をもつ。実際、チャート上のユークリッド計量の引き戻し $g_\alpha$ に対し $g = \sum_\alpha\psi_\alpha g_\alpha$ とおけばよい。正定値な内積の、非負係数で和が 1 の一次結合は正定値である。$\mathbb{R}^N$ の部分多様体は、ユークリッド内積の制限（誘導計量）をもつ。

命題 6.19（リーマン体積形式）$(M, g)$ を向き付けられたリーマン多様体とする。正の正規直交基底 $(E_1, \dots, E_n)$ に対して常に $dV_g(E_1, \dots, E_n) = 1$ となる $n$ 形式 $dV_g$ がただ一つ存在し、正のチャートでは

$$dV_g = \sqrt{\det(g_{ij})}\,dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$$

と表される。

証明. 正の正規直交基底 $(E_i)$ とその双対基底 $(\varepsilon^i)$ をとり、$\partial_j = \sum_i a^i_jE_i$ とおく。$g_{ij} = \sum_k a^k_ia^k_j$ より $\det(g_{ij}) = (\det A)^2$ であり、両方の基底が正なので $\det A > 0$ である。よって $\sqrt{\det g} = \det A$ となる。命題 5.9 より $\varepsilon^1 \wedge \dots \wedge \varepsilon^n = \det A\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ である。二つの正の正規直交基底は $\operatorname{SO}(n)$ の元で移り合う（行列式 $1$）ので、$\varepsilon^1 \wedge \dots \wedge \varepsilon^n$ は基底のとり方によらない。$\square$

例えば $S^2$ の誘導計量は球座標で $d\varphi^2 + \sin^2\varphi\ d\theta^2$ であり、$dV = \sin\varphi\ d\varphi \wedge d\theta$ となる。これは $\Omega$ の制限に等しい（問題 5.5）。一般に、単位法ベクトル $\nu$ で向き付けられた超曲面 $M \subset \mathbb{R}^{n+1}$ では $dV = \iota^{\ast}(\iota_\nu\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^{n+1})$ である。

定義 6.20（発散）$X \in \mathfrak{X}(M)$ に対し、$d(\iota_XdV_g) = (\operatorname{div}X)\ dV_g$ で $\operatorname{div}X$ を定める。$d\ dV_g = 0$ なので、カルタンの公式から $L_XdV_g = (\operatorname{div}X)\ dV_g$ でもある。

座標では $\iota_X(\sqrt{g}\ dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n) = \sum_i (-1)^{i-1}\sqrt{g}X^i\ dx^1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx^i} \wedge \dots \wedge dx^n$（$g = \det(g_{ij})$）なので、

である。例えば極座標では $\sqrt{g} = r$ なので、$\operatorname{div}X = r^{-1}(\partial_r(rX^r) + \partial_\theta(rX^\theta))$ となる。

定理 6.21（発散定理, divergence theorem）$(M, g)$ を向き付けられたコンパクトなリーマン多様体（境界付き）とし、$N$ を $\partial M$ の外向き単位法ベクトル、$\tilde{g}$ を $\partial M$ の誘導計量とする。このとき

$$\int_M \operatorname{div}X\,dV_g = \int_{\partial M}g(X, N)\,dV_{\tilde{g}}$$

が成り立つ。

証明. 6.5 節 (3) と同じ議論で、$X = g(X, N)N + X^{\top}$ と分解すると $\iota^{\ast}(\iota_{X^{\top}}dV_g) = 0$ となる。また、$T\partial M$ の正の正規直交基底 $(e_1, \dots, e_{n-1})$ に対し $(N, e_1, \dots, e_{n-1})$ は正の正規直交基底なので、$\iota^{\ast}(\iota_NdV_g) = dV_{\tilde{g}}$ である。よって $\iota^{\ast}(\iota_XdV_g) = g(X, N)\ dV_{\tilde{g}}$ となり、ストークスの定理から主張が従う。$\square$

6.7 ブラウアーの不動点定理

補題 6.22（レトラクションの非存在）$n \geq 1$ とする。滑らかな写像 $r\colon D^n \to S^{n-1}$ で、$S^{n-1}$ 上で恒等写像となるものは存在しない。

証明. $\int_{S^{n-1}}\omega \neq 0$ となる $\omega \in \Omega^{n-1}(S^{n-1})$ をとる（$n \geq 2$ なら体積形式、$n = 1$ なら $S^0 = \lbrace \pm 1 \rbrace$ 上で $\omega(1) = 1$, $\omega(-1) = 0$ となる関数）。$S^{n-1}$ は $n - 1$ 次元なので $d\omega = 0$ である。$r$ があったとすると、$r \circ \iota = \mathrm{id}$ より $\iota^{\ast}r^{\ast}\omega = \omega$ となる。ストークスの定理から

となり、矛盾する。$\square$

定理 6.23（ブラウアーの不動点定理, 滑らかな場合）滑らかな写像 $F\colon D^n \to D^n$ は不動点をもつ。

証明. 不動点がないとする。$x \in D^n$ に対し、$F(x)$ から $x$ に向かう半直線が $S^{n-1}$ と交わる点を $r(x) = x + t(x)(x - F(x))$（$t(x) \geq 0$）とする。$t$ は $at^2 + 2bt + c = 0$ の非負解である。ここで

である。判別式 $b^2 - ac$ は正である。実際、$c < 0$ なら $-ac > 0$ である。$c = 0$（$\lvert x \rvert = 1$）なら、$b = 1 - x \cdot F(x) \geq 0$ であり、$b = 0$ はコーシー–シュワルツの不等式の等号条件から $F(x) = x$ を意味するので $b > 0$ となる。したがって $t(x) = (-b + \sqrt{b^2 - ac})/a$ は滑らかであり、$r\colon D^n \to S^{n-1}$ は滑らかである。$\lvert x \rvert = 1$ なら $t = (-b + b)/a = 0$ なので $r(x) = x$ となる。これは補題 6.22 に矛盾する。$\square$

注意 6.24（連続な場合）連続な $F\colon D^n \to D^n$ に不動点がないとすると、$\delta = \min\lvert F(x) - x \rvert > 0$ である。ワイエルシュトラスの近似定理により、$\lvert P - F \rvert < \delta/2$ となる多項式写像 $P$ をとる。$G = P/(1 + \delta/2)$ とおくと $G(D^n) \subset D^n$ であり、$\lvert G - F \rvert \leq \frac{\delta/2 + \delta/2}{1 + \delta/2} < \delta$ となる。$G$ の不動点 $x_0$（定理 6.23）では $\lvert F(x_0) - x_0 \rvert = \lvert F(x_0) - G(x_0) \rvert < \delta$ となり、矛盾する。したがって、連続写像でも不動点が存在する。ホモロジーを用いた証明は 位相幾何学 第5章 を参照。

まとめ

• 向き付け可能性は、体積形式の存在、あるいは座標変換のヤコビ行列式が正のアトラスの存在と同値である。$S^n$, $T^n$ は向き付け可能であり、$\mathbb{R}P^n$ は $n$ が奇数のときに限り向き付け可能、メビウスの帯は向き付け不可能である。
• 境界の誘導された向きは「外向き法線を先頭に置く」規約で決まる。$\partial\mathbb{H}^n$ では $(-1)^n$ の符号が出る。
• $n$ 形式の積分は 1 の分割で定義され、選び方によらない。実際の計算はパラメータ表示の引き戻しで行う。
• ストークスの定理 $\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega$ は、$\mathbb{H}^n$ での 1 変数の微分積分学の基本定理に帰着する。
• グリーン・ガウス・ストークスの定理はその特別な場合であり、リーマン多様体上の発散定理も得られる。
• $D^n$ から $S^{n-1}$ へのレトラクションは存在せず、ブラウアーの不動点定理が従う。

演習問題