曲線と曲面の微分幾何

この章の目標

• 平面曲線の曲率と回転数、空間曲線の曲率と捩率を計算でき、フレネ–セレの公式を証明できる
• 曲面の第一基本形式を使って、曲線の長さと面積を計算できる
• 第二基本形式から主曲率・ガウス曲率・平均曲率を計算し、球面・円柱・トーラス・双曲放物面で検算できる
• ガウスの驚異の定理とガウス–ボネの定理について、主張と意味を説明できる

前提：微分積分学 第7章、第10章、線形代数 第7章（対称行列の対角化）

本章では $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$ の標準内積を $u \cdot v$、ノルムを $\lvert u \rvert$、$\mathbb{R}^3$ の外積（ベクトル積）を $u \times v$ と書く。「滑らか」は $C^\infty$ 級を意味する。

1.1 平面曲線

曲線がどれだけ曲がっているかを数で表したい。ただし同じ図形でも、たどる速さを変えればパラメータ表示は変わる。速さは図形そのものの性質ではないので、まず速さを 1 にそろえる。

定義 1.1（正則曲線, regular curve／弧長, arc length）区間 $I$ 上の滑らかな写像 $\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ で、すべての $t \in I$ で $\gamma'(t) \neq 0$ となるものを正則曲線という。$t_0 \in I$ を固定して

$$s(t) = \int_{t_0}^{t} \lvert \gamma'(u) \rvert \, du$$

を $t_0$ から測った弧長という。$\lvert \gamma'(s) \rvert = 1$ を満たす正則曲線を単位速度曲線 (unit-speed curve) という。

$s'(t) = \lvert \gamma'(t) \rvert > 0$ だから $s$ は狭義単調増加で、滑らかな逆関数 $t = t(s)$ をもつ（逆関数定理）。$\tilde{\gamma}(s) = \gamma(t(s))$ とおくと $\lvert \tilde{\gamma}'(s) \rvert = \lvert \gamma'(t) \rvert \cdot t'(s) = 1$ となる。したがって正則曲線は、いつでも弧長で表示し直せる。ただし楕円のように弧長が初等関数で書けない場合も多いので、一般のパラメータで使える公式も用意する。

平面上の単位速度曲線 $\gamma$ に対し、$T(s) = \gamma'(s)$ を単位接ベクトルとし、$T$ を反時計回りに $90^\circ$ 回したものを $N(s) = J T(s)$ とおく。ここで $J(a, b) = (-b, a)$ である。$T \cdot T = 1$ を微分すると $2 T' \cdot T = 0$ となるので、$T'$ は $N$ の実数倍である。

定義 1.2（平面曲線の曲率, curvature）単位速度の平面曲線 $\gamma$ に対し、$T'(s) = \kappa(s) N(s)$ で定まる滑らかな関数 $\kappa$ を $\gamma$ の（符号付き）曲率という。

$\kappa > 0$ は進行方向の左に曲がること、$\kappa < 0$ は右に曲がることを意味する。

命題 1.3 正則な平面曲線 $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ の曲率は、パラメータ $t$ が弧長でなくても

$$\kappa = \frac{x'y'' - x''y'}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$$

で与えられる。

証明. $v = \lvert \gamma' \rvert = ds/dt$ とおく。$\gamma' = vT$ であり、$dT/dt = (dT/ds)(ds/dt) = v\kappa N$ だから $\gamma'' = v'T + v^2 \kappa N$ である。$T = (a, b)$ とすると $\det(T, N) = a^2 + b^2 = 1$ なので、

となる。$v^3 = (x'^2 + y'^2)^{3/2}$ で割ればよい。$\square$

例 1.4 (1) 半径 $r$ の円 $\gamma(t) = (r\cos t, r\sin t)$ では $x'y'' - x''y' = r^2\sin^2 t + r^2\cos^2 t = r^2$、分母は $r^3$ なので $\kappa = 1/r$ である。時計回り $\gamma(t) = (r\cos t, -r\sin t)$ なら $\kappa = -1/r$ となる。

(2) グラフ $y = f(x)$ を $\gamma(x) = (x, f(x))$ と表すと $\kappa = f''/(1 + f'^2)^{3/2}$ である。放物線 $y = x^2$ では $\kappa(x) = 2/(1 + 4x^2)^{3/2}$、原点で $\kappa = 2$ となる。実際、原点で接する半径 $1/2$ の円 $x^2 + (y - 1/2)^2 = 1/4$ の下半分は $y = 1/2 - \sqrt{1/4 - x^2} = x^2 + O(x^4)$ であり、放物線と 2 次の項まで一致する。

(3) 楕円 $\gamma(t) = (a\cos t, b\sin t)$（$a, b > 0$）では $x'y'' - x''y' = ab\sin^2 t + ab\cos^2 t = ab$ だから

である。$a = 2$, $b = 1$ なら、長軸の端 $(2, 0)$ で $\kappa = 2/1 = 2$、短軸の端 $(0, 1)$ で $\kappa = 2/8 = 1/4$ となり、とがった端ほど曲率が大きいという直観に合う。

曲率は「接線の向きが回る速さ」である。これを正確に述べる。$\mathbb{R}^2$ を $\mathbb{C}$ と同一視すると $N = iT$ である。

命題 1.5（角度関数）単位速度の平面曲線 $\gamma\colon [0, L] \to \mathbb{R}^2$ に対し、$T(s) = (\cos\theta(s), \sin\theta(s))$ を満たす滑らかな関数 $\theta$ が存在し、$\theta' = \kappa$ が成り立つ。$\theta$ は $2\pi$ の整数倍の定数の差を除いて一意である。

証明. $T(0) = e^{i\theta_0}$ となる $\theta_0$ をとり、$\theta(s) = \theta_0 + \int_0^s \kappa(u)\ du$ と定める。$T' = \kappa N = i\kappa T$ だから

となり、$T e^{-i\theta}$ は定数 $T(0)e^{-i\theta_0} = 1$ に等しい。すなわち $T = e^{i\theta}$ である。別の $\tilde{\theta}$ も $T = e^{i\tilde{\theta}}$ を満たせば $e^{i(\tilde{\theta} - \theta)} = 1$ だから $\tilde{\theta} - \theta$ は $2\pi\mathbb{Z}$ に値をとる連続関数であり、定数である。$\theta' = \kappa$ は定義から従う。$\square$

定義 1.6（回転数, rotation index）単位速度曲線 $\gamma\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ が周期 $L > 0$ をもつ（$\gamma(s + L) = \gamma(s)$）とき、$\gamma$ を閉曲線という。このとき $T(L) = T(0)$ だから $\theta(L) - \theta(0) \in 2\pi\mathbb{Z}$ であり、

$$n_\gamma = \frac{\theta(L) - \theta(0)}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int_0^L \kappa(s)\,ds \in \mathbb{Z}$$

を $\gamma$ の回転数という。一般のパラメータでは $n_\gamma$ は速度ベクトル $\gamma'(t)$ が原点のまわりを回る回数に等しい。

例 1.7 (1) 半径 $r$ の円を反時計回りに $m$ 周する曲線の回転数は $m$ である。

(2) 例 1.4 (3) の楕円では、$ds = \lvert \gamma'(t) \rvert dt$ と $\lvert \gamma' \rvert = (a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{1/2}$ より

となる（$[0, \pi/2]$ 上で $u = \tan t$ と置換すると $\int_0^\infty ab\ du/(a^2u^2 + b^2) = \pi/2$ で、それを 4 倍する）。よって回転数は 1 である。

(3) 8 の字曲線 $\gamma(t) = (\sin t, \sin t\cos t)$（$0 \leq t \leq 2\pi$）では $\gamma'(t) = (\cos t, \cos 2t) \neq 0$ である。$\gamma'$ は $t = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ で順に $(1, 1), (0, -1), (-1, 1), (0, -1), (1, 1)$ となり、偏角は前半で $270^\circ$ 減り、後半で $270^\circ$ 増える。よって回転数は 0 である。

定理 1.8（ホップの回転数定理, Hopf's Umlaufsatz）単純閉曲線（1 周期の中で自己交差しない閉曲線）の回転数は $\pm 1$ である。

証明は位相的な議論を要するので省略する（参考文献の do Carmo の教科書を参照）。8 の字曲線（例 1.7 (3)）は原点で自己交差するので、この定理の反例にはならない。

1.2 空間曲線

空間の曲線は、平面から浮き上がるようにねじれることもできる。曲がり方（曲率）とねじれ方（捩率）の二つの量が必要になる。

定義 1.9（曲率・フレネ標構）$\gamma\colon I \to \mathbb{R}^3$ を単位速度曲線とする。$\kappa(s) = \lvert \gamma''(s) \rvert$ を曲率という。以下 $\kappa > 0$ を仮定し、

$$T = \gamma', \quad N = \frac{T'}{\kappa}, \quad B = T \times N$$

とおく。$N$ を主法線ベクトル (principal normal)、$B$ を従法線ベクトル (binormal) といい、$(T, N, B)$ をフレネ標構 (Frenet frame) という。

$T \cdot T = 1$ から $T' \cdot T = 0$ なので $N \perp T$ であり、$(T, N, B)$ は右手系の正規直交基底である。

定理 1.10（フレネ–セレの公式, Frenet–Serret formulas）$\kappa > 0$ の単位速度曲線に対し、滑らかな関数 $\tau$ が存在して

$$T' = \kappa N, \qquad N' = -\kappa T + \tau B, \qquad B' = -\tau N$$

が成り立つ。$\tau$ を捩率 (torsion) という。行列で書けば

$$\frac{d}{ds}\begin{pmatrix} T & N & B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T & N & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0 \\ \kappa & 0 & -\tau \\ 0 & \tau & 0 \end{pmatrix}$$

である（係数行列は交代行列）。

証明. 第 1 式は $N$ の定義そのものである。$N' = aT + bN + cB$ と展開する。$N \cdot N = 1$ を微分して $N' \cdot N = 0$、すなわち $b = 0$ である。$N \cdot T = 0$ を微分して $N' \cdot T = -N \cdot T' = -\kappa$、すなわち $a = -\kappa$ である。$\tau := c = N' \cdot B$ とおけば第 2 式を得る。最後に、$T \times N = B$, $N \times B = T$, $B \times T = N$ に注意して

となる。$\square$

命題 1.11 正則曲線 $\gamma(t)$（パラメータは任意）で $\gamma' \times \gamma'' \neq 0$ のとき

$$\kappa = \frac{\lvert \gamma' \times \gamma'' \rvert}{\lvert \gamma' \rvert^3}, \qquad \tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\lvert \gamma' \times \gamma'' \rvert^2}$$

が成り立つ。

証明. $v = \lvert \gamma' \rvert$ とする。命題 1.3 の証明と同様に、フレネ–セレの公式を使って $t$ で微分すると

となる。よって $\gamma' \times \gamma'' = v^3\kappa B$ であり $\lvert \gamma' \times \gamma'' \rvert = v^3\kappa$ である。さらに $\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = (\gamma' \times \gamma'') \cdot \gamma''' = v^3\kappa \cdot v^3\kappa\tau$ となるから、$\tau$ の式も従う。$\square$

例 1.12（常螺旋）$a > 0$, $b \in \mathbb{R}$ とし、$\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ とする。$c = \sqrt{a^2 + b^2}$ とおくと $\lvert \gamma' \rvert = c$ で、$s = ct$ が弧長である。

• フレネ標構で計算する：$T = (-a\sin t, a\cos t, b)/c$、$dT/ds = (1/c)\ dT/dt = (a/c^2)(-\cos t, -\sin t, 0)$ より $\kappa = a/c^2$, $N = (-\cos t, -\sin t, 0)$ である。$B = T \times N = (b\sin t, -b\cos t, a)/c$ であり、$dB/ds = (b/c^2)(\cos t, \sin t, 0) = -(b/c^2)N$ だから $\tau = b/c^2$ である。
• 命題 1.11 で検算する：$\gamma'' = (-a\cos t, -a\sin t, 0)$, $\gamma''' = (a\sin t, -a\cos t, 0)$, $\gamma' \times \gamma'' = (ab\sin t, -ab\cos t, a^2)$ より $\lvert \gamma' \times \gamma'' \rvert = ac$、$\kappa = ac/c^3 = a/c^2$ である。また $\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = a^2b\sin^2 t + a^2b\cos^2 t = a^2b$ より $\tau = a^2b/(a^2c^2) = b/c^2$ である。

二つの計算は一致し、$\kappa = a/(a^2 + b^2)$, $\tau = b/(a^2 + b^2)$ はともに定数である。$b > 0$（右ねじ）なら $\tau > 0$、$b = 0$（円）なら $\tau = 0$ である。

命題 1.13 $\kappa > 0$ の空間曲線について、$\tau \equiv 0$ であることと、曲線がある平面に含まれることは同値である。

証明. $\tau \equiv 0$ なら $B' = 0$ で $B$ は定ベクトル $B_0$ である。$(\gamma \cdot B_0)' = T \cdot B_0 = 0$ だから $\gamma \cdot B_0$ は定数で、$\gamma$ は $B_0$ を法線とする平面に含まれる。逆に $\gamma \cdot e$ が一定となる単位ベクトル $e$ があれば、$T \cdot e = 0$ と $T' \cdot e = 0$ から $N \cdot e = 0$ となる。よって $B = \pm e$ であり、$B$ は連続なので符号は一定である。したがって $B' = 0$ となり、$\tau = 0$ が従う。$\square$

定理 1.14（曲線論の基本定理）区間 $I$ 上の滑らかな関数 $\kappa > 0$ と $\tau$ が与えられると、曲率 $\kappa$、捩率 $\tau$ をもつ単位速度曲線 $\gamma\colon I \to \mathbb{R}^3$ が存在する。そのような曲線は、向きを保つ合同変換 $x \mapsto Ax + b$（$A \in \operatorname{SO}(3)$）の違いを除いて一意である。

1.3 曲面のパラメータ表示と第一基本形式

定義 1.15（正則曲面片, 正則曲面）$D \subset \mathbb{R}^2$ を開集合とする。滑らかな写像 $\sigma\colon D \to \mathbb{R}^3$ で、各点で $\sigma_u \times \sigma_v \neq 0$（$\sigma_u = \partial\sigma/\partial u$ などと $\sigma_v$ が一次独立）となるものを正則曲面片 (regular surface patch) という。$\sigma_u, \sigma_v$ が張る平面を接平面、$\nu = \sigma_u \times \sigma_v / \lvert \sigma_u \times \sigma_v \rvert$ を単位法ベクトルという。部分集合 $S \subset \mathbb{R}^3$ の各点 $p$ に対し、$p$ の開近傍 $V \subset \mathbb{R}^3$ と、$V \cap S$ への同相写像となる正則曲面片が存在するとき、$S$ を正則曲面 (regular surface) という。

例 1.16 (1) 半径 $r$ の球面：$\sigma(u, v) = r(\sin u\cos v, \sin u\sin v, \cos u)$, $(u, v) \in (0, \pi) \times (0, 2\pi)$。$u$ は北極から測った角（余緯度）、$v$ は経度である。この一枚は経線の半分を覆わないが、回転させたもう一枚と合わせれば球面全体を覆う。

(2) 半径 $r$ の円柱：$\sigma(u, v) = (r\cos u, r\sin u, v)$。

(3) トーラス：$0 < r < R$ とし、$\sigma(u, v) = ((R + r\cos u)\cos v, (R + r\cos u)\sin v, r\sin u)$。$xz$ 平面上で中心 $(R, 0)$、半径 $r$ の円を $z$ 軸のまわりに回転させた曲面である。

(4) 関数のグラフ：$\sigma(u, v) = (u, v, f(u, v))$。$\sigma_u \times \sigma_v = (-f_u, -f_v, 1) \neq 0$ なので常に正則である。

曲面上の曲線の長さを測るには、接ベクトルの長さがわかればよい。

定義 1.17（第一基本形式, first fundamental form）接ベクトル $w = a\sigma_u + b\sigma_v$ に対し

$$\mathrm{I}(w, w) = w \cdot w = Ea^2 + 2Fab + Gb^2, \qquad E = \sigma_u \cdot \sigma_u,\quad F = \sigma_u \cdot \sigma_v,\quad G = \sigma_v \cdot \sigma_v$$

を第一基本形式といい、$\mathrm{I} = E\ du^2 + 2F\ du\ dv + G\ dv^2$ と書く。

命題 1.18 曲面上の曲線 $\alpha(t) = \sigma(u(t), v(t))$（$a \leq t \leq b$）の長さは $\int_a^b \sqrt{Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2}\ dt$ である。$\sigma$ が単射となる有界領域 $\Omega \subset D$ について、$\sigma(\Omega)$ の面積は

$$\iint_\Omega \sqrt{EG - F^2}\,du\,dv$$

である。

証明. $\alpha' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ だから前半は定義から従う。後半は、面積の定義 $\iint_\Omega \lvert \sigma_u \times \sigma_v \rvert\ du\ dv$（微分積分学 第10章）と、ラグランジュの恒等式 $\lvert a \times b \rvert^2 = \lvert a \rvert^2\lvert b \rvert^2 - (a \cdot b)^2$ から従う。$\square$

例 1.19 例 1.16 について計算する。

• 球面：$\sigma_u = r(\cos u\cos v, \cos u\sin v, -\sin u)$, $\sigma_v = r(-\sin u\sin v, \sin u\cos v, 0)$ より $E = r^2$, $F = 0$, $G = r^2\sin^2 u$。面積は $\int_0^{2\pi}\int_0^\pi r^2\sin u\ du\ dv = 4\pi r^2$（覆い残した経線は面積 0）。
• 円柱：$E = r^2$, $F = 0$, $G = 1$。$\tilde{u} = ru$ と取り替えれば $\mathrm{I} = d\tilde{u}^2 + dv^2$ となり、平面の直交座標と同じ形になる。紙を丸めて円柱を作れることの表現である。
• トーラス：$\sigma_u = (-r\sin u\cos v, -r\sin u\sin v, r\cos u)$, $\sigma_v = (-(R + r\cos u)\sin v, (R + r\cos u)\cos v, 0)$ より $E = r^2$, $F = 0$, $G = (R + r\cos u)^2$。面積は $\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} r(R + r\cos u)\ du\ dv = 4\pi^2 Rr$。

パラメータを $(u, v) = \Phi(\tilde{u}, \tilde{v})$ と取り替えると、連鎖律 $\sigma_{\tilde{u}} = \sigma_u\ \partial u/\partial\tilde{u} + \sigma_v\ \partial v/\partial\tilde{u}$ などから、係数行列は $J = D\Phi$ を用いて次のように変わる。

第一基本形式だけで決まる量（長さ・角・面積など）を、曲面の内在的 (intrinsic) な量という。

1.4 第二基本形式と曲率

第一基本形式は、平面と円柱の区別すらつけられない（例 1.19）。曲面が空間の中でどう曲がっているかは、法ベクトルの変化で測る。

定義 1.20（第二基本形式, second fundamental form）

$$L = \sigma_{uu} \cdot \nu, \qquad M = \sigma_{uv} \cdot \nu, \qquad N = \sigma_{vv} \cdot \nu$$

とおき、$\mathrm{II} = L\ du^2 + 2M\ du\ dv + N\ dv^2$ を第二基本形式という。

$\sigma_u \cdot \nu = 0$ を $u$, $v$ で微分すると $L = -\sigma_u \cdot \nu_u$, $M = -\sigma_u \cdot \nu_v$ が得られる。同様に $\sigma_v \cdot \nu = 0$ から $M = -\sigma_v \cdot \nu_u$, $N = -\sigma_v \cdot \nu_v$ となる。

命題 1.21（法曲率）曲面上の単位速度曲線 $\alpha(s) = \sigma(u(s), v(s))$ が $s = 0$ で接ベクトル $w = a\sigma_u + b\sigma_v$ をもつとき、

$$\alpha''(0) \cdot \nu = La^2 + 2Mab + Nb^2 = \mathrm{II}(w, w)$$

である。すなわち、加速度の法線成分は接ベクトル $w$ だけで決まる。これを $w$ 方向の法曲率 (normal curvature) $k_n(w)$ という。

証明. $\alpha' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ をもう一度微分すると $\alpha'' = u'^2\sigma_{uu} + 2u'v'\sigma_{uv} + v'^2\sigma_{vv} + u''\sigma_u + v''\sigma_v$ となる。$\nu$ との内積をとればよい。$\square$

$\nu \cdot \nu = 1$ より $\nu_u, \nu_v$ は $\nu$ に直交し、接平面 $T_p$ に属する。

定義 1.22（形作用素, shape operator）線形写像 $S_p\colon T_p \to T_p$ を $S_p(a\sigma_u + b\sigma_v) = -(a\nu_u + b\nu_v)$ で定める。これは単位法ベクトルを与える写像（ガウス写像）$\nu$ の微分に $-1$ を掛けたものであり、$\nu$ の向きを固定すればパラメータ表示によらない（向きを逆にするパラメータの取り替えでは $\nu$ が $-\nu$ に替わり、$S_p$ の符号が変わる）。

上の式から $S_p(w) \cdot w' = \mathrm{II}(w, w')$（$\mathrm{II}$ を対称双線形形式とみる）であり、$S_p$ は内積について対称、すなわち $S_p(w) \cdot w' = w \cdot S_p(w')$ である。

命題 1.23 基底 $(\sigma_u, \sigma_v)$ に関する $S_p$ の表現行列は

$$\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}$$

である。

証明. $S_p(\sigma_u) = a_{11}\sigma_u + a_{21}\sigma_v$ とおき、$\sigma_u$, $\sigma_v$ との内積をとると $a_{11}E + a_{21}F = L$, $a_{11}F + a_{21}G = M$ となる。$S_p(\sigma_v) = a_{12}\sigma_u + a_{22}\sigma_v$ からも同様に $a_{12}E + a_{22}F = M$, $a_{12}F + a_{22}G = N$ が得られる。まとめると $\mathrm{I}A = \mathrm{II}$（係数行列の等式）である。$\square$

定義 1.24（主曲率・ガウス曲率・平均曲率）$S_p$ は対称だから、実固有値 $k_1, k_2$ と、それぞれに対する正規直交な固有ベクトル $e_1, e_2$ をもつ（線形代数 第7章）。$k_1, k_2$ を主曲率 (principal curvatures)、$e_1, e_2$ の方向を主方向という。さらに

$$K = k_1k_2 = \det S_p = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}, \qquad H = \frac{k_1 + k_2}{2} = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)}$$

をそれぞれガウス曲率 (Gaussian curvature)、平均曲率 (mean curvature) という。

$H$ の式は、$\mathrm{I}^{-1}$ が $\mathrm{I}$ の余因子行列を $EG - F^2$ で割ったものであることを使って $\mathrm{I}^{-1}\mathrm{II}$ の跡を計算すれば得られる。$\nu$ を $-\nu$ に替えると $L, M, N, k_i, H$ の符号は変わるが、$K$ は変わらない。$K > 0$ の点を楕円点、$K < 0$ の点を双曲点、$K = 0$ かつ $S_p \neq 0$ の点を放物点、$S_p = 0$ の点を平坦点という。

定理 1.25（オイラーの公式）単位接ベクトル $w = \cos\theta\ e_1 + \sin\theta\ e_2$ に対し $k_n(w) = k_1\cos^2\theta + k_2\sin^2\theta$ である。特に $k_1, k_2$ は法曲率の最大値と最小値である。

証明. $k_n(w) = S_p(w) \cdot w = (k_1\cos\theta\ e_1 + k_2\sin\theta\ e_2) \cdot (\cos\theta\ e_1 + \sin\theta\ e_2) = k_1\cos^2\theta + k_2\sin^2\theta$ である。$\square$

例 1.26（球面）例 1.16 (1) で $\sigma_u \times \sigma_v = r^2\sin u\ (\sin u\cos v, \sin u\sin v, \cos u)$ だから $\nu = \sigma/r$（外向き）である。$\sigma_{uu} = -\sigma$ より $L = -r$、$\sigma_{uv} = r(-\cos u\sin v, \cos u\cos v, 0)$ より $M = 0$、$\sigma_{vv} = -r\sin u(\cos v, \sin v, 0)$ より $N = -r\sin^2 u$ である。よって

である。検算：$\nu = \sigma/r$ だから $S_p(w) = -w/r$ であり、$k_1 = k_2 = -1/r$ となって一致する。すべての点が臍点（$k_1 = k_2$）である。

例 1.27（円柱）例 1.16 (2) では $\nu = (\cos u, \sin u, 0)$, $L = \sigma_{uu} \cdot \nu = -r$, $M = N = 0$ なので、$k_1 = L/E = -1/r$, $k_2 = 0$ であり、$K = 0$, $H = -1/(2r)$ である。

例 1.28（トーラス）例 1.16 (3) で $\rho = R + r\cos u$ とおく。$\sigma_u \times \sigma_v = -r\rho\ (\cos u\cos v, \cos u\sin v, \sin u)$ より $\nu = -(\cos u\cos v, \cos u\sin v, \sin u)$（回転の中心円へ向かう向き）である。

から $L = r$, $M = 0$, $N = \rho\cos u$ となる。$F = M = 0$ だから $k_1 = L/E = 1/r$, $k_2 = N/G = \cos u/\rho$ であり、

である。外側の半分（$\cos u > 0$）は楕円点、内側の半分（$\cos u < 0$）は双曲点、上下の円 $u = \pm\pi/2$ は放物点である。

例 1.29（グラフと双曲放物面）$\sigma(u, v) = (u, v, f(u, v))$ に対し $W = \sqrt{1 + f_u^2 + f_v^2}$ とおくと、$E = 1 + f_u^2$, $F = f_uf_v$, $G = 1 + f_v^2$, $EG - F^2 = W^2$, $\nu = (-f_u, -f_v, 1)/W$, $L = f_{uu}/W$, $M = f_{uv}/W$, $N = f_{vv}/W$ となる。したがって

である。双曲放物面 $z = xy$（$f = uv$）では $K = -1/(1 + u^2 + v^2)^2 < 0$、$H = -uv/(1 + u^2 + v^2)^{3/2}$ である。原点では $\mathrm{I}$ は単位行列、$L = N = 0$, $M = 1$ なので、主曲率は $\pm 1$、主方向は $(1, \pm 1)/\sqrt{2}$ である。実際、直線 $y = x$ の上では $z = x^2$（上に曲がる）、$y = -x$ の上では $z = -x^2$（下に曲がる）であり、検算になっている。

命題 1.30（ガウス曲率の符号と曲面の形）正則曲面の点 $p$ で $K(p) > 0$ ならば、$p$ の近くで曲面は接平面の片側にある。$K(p) < 0$ ならば、$p$ のどんな近傍にも接平面の両側の点がある。

証明. $K$ は合同変換で変わらないので、$p = 0$、接平面が $xy$ 平面、$\nu(p) = (0, 0, 1)$ としてよい。陰関数定理により、曲面は $p$ の近くでグラフ $z = f(x, y)$ と表され、$f(0) = 0$, $\nabla f(0) = 0$ である。例 1.29 より、原点では $\mathrm{II}$ が $f$ のヘッセ行列 $\operatorname{Hess} f(0)$ に一致し、$K(p) = \det\operatorname{Hess} f(0)$ となる。テイラーの定理 $f(x, y) = \frac{1}{2}(x, y)\operatorname{Hess} f(0)(x, y)^{\top} + o(x^2 + y^2)$ より、ヘッセ行列が定値（$K > 0$）なら $f$ は原点の近くで（原点以外で）一定の符号をもち、不定値（$K < 0$）なら正負両方の値をとる（微分積分学 第7章 の極値判定と同じ議論）。$\square$

$K(p) = 0$ のときは何も言えない（演習問題 1.6）。

1.5 ガウスの驚異の定理

$K$ は法ベクトル $\nu$、すなわち外側の空間を使って定義した。ところがガウスは、$K$ が第一基本形式だけで決まることを発見した。

二つの正則曲面片 $\sigma, \tilde{\sigma}\colon D \to \mathbb{R}^3$ の $E, F, G$ が一致するとき、対応 $\sigma(u, v) \mapsto \tilde{\sigma}(u, v)$ は曲線の長さを保つ。このとき二つの曲面は局所等長 (locally isometric) であるという。

定理 1.31（ガウスの驚異の定理, Theorema Egregium）ガウス曲率は $E, F, G$ とその 2 階までの偏導関数で表される。具体的には（ブリオスキの公式）

$$K = \frac{1}{(EG - F^2)^2}\left( \det\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u - \frac{1}{2}E_v \\ F_v - \frac{1}{2}G_u & E & F \\ \frac{1}{2}G_v & F & G \end{pmatrix} - \det\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u \\ \frac{1}{2}E_v & E & F \\ \frac{1}{2}G_u & F & G \end{pmatrix} \right)$$

である。特に、局所等長な曲面は対応する点で等しいガウス曲率をもつ。