リースの表現定理とラドン測度

この章の目標

• 局所コンパクトハウスドルフ空間でのウリゾーンの補題と 1 の分割を使える
• リース–マルコフ–角谷の表現定理を証明し、正値線形汎関数から測度を構成できる
• ラドン測度の正則性と、$C_0(X)$ の双対空間が有限符号付きラドン測度の空間であることを理解する
• 測度の弱収束・漠収束を例とともに扱える

前提：第2章、第3章、03-topology 第4章（ウリゾーンの補題）、03-topology 第5章（局所コンパクト空間と一点コンパクト化）

測度 $\mu$ があれば、$f \mapsto \int f\ d\mu$ は連続関数の空間上の線形汎関数で、$f \geq 0$ なら値も非負である。この章ではその逆、すなわち正値線形汎関数は必ず測度による積分で表されることを示す。これにより、測度を「集合の大きさ」からではなく「連続関数の積分」から構成できる。$\mathbb{R}$ 上ではリーマン積分からルベーグ測度が再構成され、コンパクト群では不変積分からハール測度が得られる。また、測度の空間を連続関数の空間の双対として捉えることで、測度列の収束（弱収束）を自然に扱える。

8.1 局所コンパクトハウスドルフ空間と 1 の分割

定義 8.1 位相空間 $X$ がハウスドルフで、各点がコンパクトな近傍をもつとき、局所コンパクトハウスドルフ空間（LCH 空間）という。連続関数 $f\colon X \to \mathbb{R}$ の台を $\operatorname{supp} f = \overline{\lbrace f \neq 0 \rbrace}$ とし、台がコンパクトな連続関数全体を $C_c(X)$、任意の $\varepsilon > 0$ について $\lbrace \lvert f \rvert \geq \varepsilon \rbrace$ がコンパクトとなる連続関数全体を $C_0(X)$（無限遠で消える関数）と書く。$K$ がコンパクト、$U$ が開集合のとき、$f \in C_c(X)$、$0 \leq f \leq 1$、$K$ 上で $f = 1$、$\operatorname{supp} f \subset U$ であることを $K \prec f \prec U$ と書く（片方だけのときは $K \prec f$、$f \prec U$）。

$\mathbb{R}^n$ とその開集合・閉集合、離散空間、多様体は LCH 空間である。以下 $X$ は LCH 空間とする。LCH 空間の一点コンパクト化 $X^{\ast} = X \cup \lbrace \infty \rbrace$ はコンパクトハウスドルフ空間であり、したがって正規空間である（03-topology 第5章）。

補題 8.2 $K \subset U$（$K$ はコンパクト、$U$ は開集合）ならば、閉包がコンパクトな開集合 $V$ で $K \subset V \subset \overline{V} \subset U$ となるものが存在する。

証明. $X^{\ast}$ において $K$ と $X^{\ast} \setminus U$ は交わらない閉集合である。正規性より、$K \subset W$、$X^{\ast} \setminus U \subset W'$、$W \cap W' = \emptyset$ となる開集合 $W, W'$ がある。$W$ の $X^{\ast}$ での閉包は $X^{\ast} \setminus W' \subset U$ に含まれ、コンパクト空間の閉集合だからコンパクトである。$V = W$ とすればよい。$\square$

補題 8.3（ウリゾーンの補題, LCH 版）$K \subset U$（$K$ はコンパクト、$U$ は開集合）ならば、$K \prec f \prec U$ となる $f$ が存在する。

証明. 補題 8.2 の $V$ をとる。正規空間 $X^{\ast}$ で交わらない閉集合 $K$ と $X^{\ast} \setminus V$ にウリゾーンの補題を適用し、$K$ 上で 1、$X^{\ast} \setminus V$ 上で 0 となる連続関数 $g\colon X^{\ast} \to [0, 1]$ をとる。$f = g\vert_X$ の台は $\overline{V} \subset U$ に含まれ、コンパクトである。$\square$

補題 8.4（1 の分割, partition of unity）コンパクト集合 $K$ が開集合 $U_1, \dots, U_n$ で覆われるならば、$h_i \prec U_i$ で $K$ 上 $\sum_i h_i = 1$ となるものが存在する。

証明. 各 $x \in K$ について $x \in U_i$ となる $i$ を選び、補題 8.2 から閉包がコンパクトで $U_i$ に含まれる開近傍 $W_x$ をとる。有限個の $W_x$ で $K$ を覆い、そのうち $U_i$ に対応するものの閉包の和を $K_i$ とする（コンパクトで $K_i \subset U_i$、$K \subset \bigcup_i K_i$）。$K_i \prec g_i \prec U_i$ をとり、$h_1 = g_1$、$h_i = (1 - g_1)\cdots(1 - g_{i-1})g_i$ とおく。$h_i \prec U_i$ であり、帰納法で $\sum_i h_i = 1 - \prod_i (1 - g_i)$。$K$ の各点ではある $g_i$ が 1 なので、和は 1 である。$\square$

8.2 リース–マルコフ–角谷の表現定理

定義 8.5 線形写像 $I\colon C_c(X) \to \mathbb{R}$ が、$f \geq 0$ ならば $I(f) \geq 0$ を満たすとき、正値線形汎関数 (positive linear functional) という。

正値性から単調性 $f \leq g \Rightarrow I(f) \leq I(g)$ が従う。

定義 8.6（ラドン測度, Radon measure）$X$ のボレル集合族上の測度 $\mu$ が次を満たすとき、ラドン測度という。(1) コンパクト集合 $K$ で $\mu(K) < \infty$。(2)（外正則性）すべてのボレル集合 $E$ で $\mu(E) = \inf\lbrace \mu(U) \mid U \supset E \text{ 開} \rbrace$。(3)（開集合上の内正則性）すべての開集合 $U$ で $\mu(U) = \sup\lbrace \mu(K) \mid K \subset U \text{ コンパクト} \rbrace$。

ルベーグ測度はラドン測度である（定理 2.11）。

定理 8.7（リース–マルコフ–角谷の表現定理, Riesz–Markov–Kakutani representation theorem）$I$ を $C_c(X)$ 上の正値線形汎関数とする。ラドン測度 $\mu$ で、すべての $f \in C_c(X)$ について $I(f) = \int_X f\ d\mu$ となるものがただ一つ存在する。さらに次が成り立つ。

1. 開集合 $U$ について $\mu(U) = \sup\lbrace I(f) \mid f \prec U \rbrace$。
2. コンパクト集合 $K$ について $\mu(K) = \inf\lbrace I(f) \mid K \prec f \rbrace$。
3. $\mu(E) < \infty$ となるボレル集合 $E$ で $\mu(E) = \sup\lbrace \mu(K) \mid K \subset E \text{ コンパクト} \rbrace$。

証明. （一意性）$\mu$ が $I$ を表すラドン測度なら、$f \prec U$ のとき $I(f) = \int f\ d\mu \leq \mu(U)$。コンパクト集合 $K \subset U$ に対し $K \prec f \prec U$ をとれば $\mu(K) \leq I(f)$ だから、開集合上の内正則性より 1 が成り立つ。よって $\mu$ は開集合上で $I$ から決まり、外正則性によりボレル集合全体で決まる。

（第1段：外測度）開集合 $U$ に対し $\mu(U) := \sup\lbrace I(f) \mid f \prec U \rbrace$ と定め、任意の $E \subset X$ に対し $\mu^{\ast}(E) = \inf\lbrace \mu(U) \mid U \supset E \text{ 開} \rbrace$ とおく。$U \subset V$ なら $\mu(U) \leq \mu(V)$ だから、開集合上で $\mu^{\ast} = \mu$。$\mu^{\ast}$ が外測度であることを示す。開集合 $U_j$ と $f \prec \bigcup_j U_j$ をとると、$\operatorname{supp} f$ はコンパクトなので有限個 $U_1, \dots, U_n$ で覆われる。補題 8.4 の $h_j \prec U_j$（$\operatorname{supp} f$ 上 $\sum_j h_j = 1$）をとれば $f = \sum_j fh_j$、$fh_j \prec U_j$ だから $I(f) = \sum_j I(fh_j) \leq \sum_j \mu(U_j)$。よって $\mu\left(\bigcup_j U_j\right) \leq \sum_j \mu(U_j)$。一般の $E_j$ には $\mu(U_j) \leq \mu^{\ast}(E_j) + \varepsilon 2^{-j}$ となる開集合 $U_j \supset E_j$ をとればよい。

（第2段：開集合の可測性）開集合 $U$ がカラテオドリの意味で可測であることを示す。まず $V$ を $\mu(V) < \infty$ の開集合とし、$\varepsilon > 0$ とする。$f \prec V \cap U$ を $I(f) > \mu(V \cap U) - \varepsilon$ ととり、次に開集合 $V \setminus \operatorname{supp} f$ について $g \prec V \setminus \operatorname{supp} f$ を $I(g) > \mu(V \setminus \operatorname{supp} f) - \varepsilon$ ととる。$f + g \prec V$ だから

$\varepsilon$ は任意だから $\mu(V) \geq \mu^{\ast}(V \cap U) + \mu^{\ast}(V \setminus U)$ である。一般の $E$（$\mu^{\ast}(E) < \infty$）には、$\mu(V) < \mu^{\ast}(E) + \varepsilon$ となる開集合 $V \supset E$ にこの不等式を使えば $\mu^{\ast}(E) + \varepsilon > \mu^{\ast}(E \cap U) + \mu^{\ast}(E \setminus U)$。カラテオドリの定理（定理 2.4）より、ボレル集合はすべて $\mu^{\ast}$-可測で、$\mu := \mu^{\ast}\vert_{\mathcal{B}(X)}$ は測度であり、定義から外正則である。

（第3段：2 と内正則性）$K \prec f$、$0 < \alpha < 1$ とし、$U_\alpha = \lbrace f > \alpha \rbrace$ とおく。$g \prec U_\alpha$ なら $g \leq f/\alpha$ だから $I(g) \leq I(f)/\alpha$、よって $\mu(K) \leq \mu(U_\alpha) \leq I(f)/\alpha$。$\alpha \to 1$ として $\mu(K) \leq I(f)$、特に $\mu(K) < \infty$。逆に $\mu(U) < \mu(K) + \varepsilon$ となる開集合 $U \supset K$ と $K \prec f \prec U$ をとれば $I(f) \leq \mu(U) < \mu(K) + \varepsilon$。これで 2 が示された。開集合 $U$ と $\alpha < \mu(U)$ について、$f \prec U$ を $I(f) > \alpha$ ととり $K = \operatorname{supp} f$ とおくと、$K$ を含む任意の開集合 $W$ について $f \prec W$ だから $I(f) \leq \mu(W)$、外正則性より $\mu(K) \geq I(f) > \alpha$。よって $\mu$ はラドン測度である。

（第4段：積分表示）線形性より $0 \leq f \leq 1$ の $f \in C_c(X)$ について示せばよい。$N \in \mathbb{N}$ とし、$K_0 = \operatorname{supp} f$、$K_j = \lbrace f \geq j/N \rbrace$、$f_j = \min\lbrace \max\lbrace f - \frac{j-1}{N}, 0 \rbrace, \frac{1}{N} \rbrace$（$1 \leq j \leq N$）とおく。$f = \sum_j f_j$ であり、$\frac{1}{N}\mathbf{1}_{K_j} \leq f_j \leq \frac{1}{N}\mathbf{1}_{K_{j-1}}$、$\operatorname{supp} f_j \subset K_{j-1}$ である。したがって

一方 $K_j \prec Nf_j$ なので 2 より $\mu(K_j) \leq I(Nf_j)$、また $K_{j-1}$ を含む任意の開集合 $U$ で $Nf_j \prec U$ だから $I(Nf_j) \leq \mu(U)$、外正則性より $I(Nf_j) \leq \mu(K_{j-1})$。$j$ について足し合わせると、$I(f)$ と $\int f\ d\mu$ はともに区間 $\left[\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}\mu(K_j), \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}\mu(K_j)\right]$ に属し、この区間の幅は $\frac{1}{N}(\mu(K_0) - \mu(K_N)) \leq \frac{1}{N}\mu(\operatorname{supp} f) \to 0$。よって $I(f) = \int f\ d\mu$。

（第5段：3 の証明）$\mu(E) < \infty$、$\varepsilon > 0$ とする。開集合 $U \supset E$ を $\mu(U) < \mu(E) + \varepsilon$ ととり、コンパクト集合 $F \subset U$ を $\mu(F) > \mu(U) - \varepsilon$ ととり、開集合 $V \supset U \setminus E$ を $\mu(V) < \varepsilon$ ととる（$\mu(U \setminus E) < \varepsilon$ と外正則性）。$K = F \setminus V$ はコンパクトで $K \subset E$、$\mu(K) \geq \mu(F) - \mu(V) > \mu(E) - 2\varepsilon$。$\square$

例 8.8 (1) $X = \mathbb{R}$ で $I(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ dx$（リーマン積分）とすると、対応するラドン測度は $\mu((a, b]) = b - a$ を満たし（$\mathbf{1}_{(a,b]}$ を $C_c$ の関数で単調に近似せよ）、ルベーグ測度に一致する。これはルベーグ測度の別の構成法を与える。

(2) $I(f) = f(x_0)$ なら $\mu = \delta_{x_0}$。$X$ が離散空間で $I(f) = \sum_x f(x)$ なら $\mu$ は数え上げ測度。$I(f) = \int f\ dF$（右連続な単調非減少関数 $F$ に関するリーマン–スティルチェス積分）ならルベーグ–スティルチェス測度 $\mu_F$ である。

(3) コンパクト群 $G$ 上の、左移動で不変な正値線形汎関数（不変積分）から得られる測度がハール測度である（16-lie-groups-representations 第6章）。

8.3 ラドン測度の正則性

ユークリッド空間のような「可算性のある」空間では、コンパクト集合上で有限なボレル測度はすべてラドン測度である。

定理 8.9 LCH 空間 $X$ のすべての開集合が σ-コンパクト（可算個のコンパクト集合の和）であるとする（たとえば $X = \mathbb{R}^n$、または第二可算な LCH 空間）。コンパクト集合上で有限な $\mathcal{B}(X)$ 上の測度 $\mu$ はラドン測度であり、さらにすべてのボレル集合で内正則である。

証明. $I(f) = \int f\ d\mu$ は $C_c(X)$ 上の正値線形汎関数である（$\lvert f \rvert \leq \lVert f \rVert_\infty \mathbf{1}_{\operatorname{supp} f}$ より有限）。定理 8.7 の $\nu$ をとり、$\mu = \nu$ を示す。開集合 $U = \bigcup_j K_j$（$K_j$ はコンパクト）について $K_j \prec g_j \prec U$ をとり、$f_n = \max\lbrace g_1, \dots, g_n \rbrace$ とおくと $f_n \in C_c$、$f_n \uparrow \mathbf{1}_U$ だから、単調収束定理より $\mu(U) = \lim_n \int f_n\ d\mu = \lim_n \int f_n\ d\nu = \nu(U)$。開集合全体は π-系で $\mathcal{B}(X)$ を生成し、$X = \bigcup_j K_j$ から補題 8.2 で閉包がコンパクトな開集合の増加列 $V_n \uparrow X$ が作れる（$\mu(V_n) = \nu(V_n) < \infty$）。定理 1.31 より $\mu = \nu$ で、$\mu$ はラドン測度である。任意のボレル集合 $E$ について、$E \cap V_n$ は有限測度だから定理 8.7 の 3 で内側から近似でき、下からの連続性より $E$ も内側から近似できる。$\square$

したがって、$\mathbb{R}^n$ 上のルベーグ–スティルチェス型の測度や、確率論に現れる $\mathbb{R}^n$ 上の分布はすべてラドン測度であり、開集合・コンパクト集合で近似できる。可算性の仮定を外すと、コンパクト集合上で有限なのに正則でないボレル測度の例がある（順序数の空間 $[0, \omega_1]$ 上のデュドネの測度など。主張のみ）。

8.4 $C_0(X)$ の双対

$C_0(X)$ は上限ノルム $\lVert f \rVert_\infty$ についてバナッハ空間であり、$C_c(X)$ はその稠密な部分空間である（$f \in C_0$ を $\lbrace \lvert f \rvert \geq \varepsilon \rbrace \prec \varphi$ となる $\varphi$ との積 $f\varphi$ で近似せよ）。有限符号付きラドン測度（全変動 $\lvert \mu \rvert$ が有限なラドン測度となる符号付き測度）全体を $M(X)$ とし、$\lVert \mu \rVert = \lvert \mu \rvert(X)$ とおく。

定理 8.10（$C_0(X)^{\ast}$ の表現）$\mu \in M(X)$ に $\Phi_\mu(f) = \int f\ d\mu$ を対応させる写像は、$M(X)$ から $C_0(X)^{\ast}$ への等長同型写像である。

証明の概略. (1) $\lvert \Phi_\mu(f) \rvert \leq \lVert f \rVert_\infty \lvert \mu \rvert(X)$ だから $\lVert \Phi_\mu \rVert \leq \lVert \mu \rVert$。(2) $\varphi \in C_0(X)^{\ast}$ に対し、$f \geq 0$ で $\varphi^{+}(f) = \sup\lbrace \varphi(g) \mid 0 \leq g \leq f \rbrace$ と定めると、$\varphi^{+}$ は正値線形汎関数に拡張され、$\varphi^{-} = \varphi^{+} - \varphi$ も正値である（汎関数のジョルダン分解）。(3) $\varphi^{\pm}$ を $C_c$ に制限して定理 8.7 を適用すると、有限なラドン測度 $\mu^{\pm}$（$\mu^{\pm}(X) = \sup_{f \prec X} \varphi^{\pm}(f) \leq \lVert \varphi^{\pm} \rVert$）が得られ、$C_c$ の稠密性から $C_0$ 全体で $\varphi = \Phi_{\mu^{+} - \mu^{-}}$。(4) 等長性 $\lVert \Phi_\mu \rVert \geq \lvert \mu \rvert(X)$ は、$\frac{d\mu}{d\lvert \mu \rvert}$（値は $\pm 1$）をルジンの定理（ラドン測度版）で $C_c$ の関数により近似して示す。一意性は、$\Phi_\mu = 0$ なら $\mu^{\pm}$ が同じ汎関数を表すので定理 8.7 の一意性から従う。詳細は Rudin 第6章、Folland 第7章を参照のこと。$\square$

$X = [0, 1]$ なら $C[0,1]^{\ast} = M([0,1])$ である。これを有界変動関数 $F$ に関するリーマン–スティルチェス積分 $\int f\ dF$ の形で表したのが F. リース（1909年）の元の定理である。関数解析の言葉では、測度の空間は連続関数の空間の双対空間である（10-functional-analysis 第4章）。

8.5 測度の弱収束と漠収束

定義 8.11 ラドン測度の列 $\mu_n$ と $\mu$ について、すべての $f \in C_c(X)$ で $\int f\ d\mu_n \to \int f\ d\mu$ となるとき、$\mu_n$ は $\mu$ に漠収束 (vague convergence) するという。有限測度について、すべての有界連続関数 $f \in C_b(X)$ で $\int f\ d\mu_n \to \int f\ d\mu$ となるとき、弱収束 (weak convergence) するという。

定理 8.7 の一意性より、漠収束の極限は一意である。弱収束すれば漠収束する（$C_c \subset C_b$）。

例 8.12（$X = \mathbb{R}$）(1) $\delta_{1/n} \to \delta_0$（弱収束）。ただし $\delta_{1/n}(\lbrace 0 \rbrace) = 0 \not\to 1 = \delta_0(\lbrace 0 \rbrace)$ で、集合ごとの収束は成り立たない。

(2)（リーマン和）$\mu_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \delta_{k/n}$ は $\lambda\vert_{[0,1]}$ に弱収束する（$\int f\ d\mu_n$ は $f$ の $[0,1]$ 上のリーマン和）。$\mu_n(\mathbb{Q}) = 1$ だが $\lambda(\mathbb{Q}) = 0$ である。

(3)（集中する山）$n\mathbf{1}_{(0, 1/n)}\ dx$ は $\delta_0$ に弱収束する（$n\int_0^{1/n} f \to f(0)$）。第3章で各点極限をとったとき「失われた」質量は、測度の極限では原点の点質量として現れる。近似単位元 $\varphi_\varepsilon\ dx$（$\varphi \geq 0$）も $\delta_0$ に弱収束する（定理 5.15 の 2 の証明と同じ評価を点 0 で使う）。

(4)（逃げる質量・広がる山）$\delta_n$ と $\mathbf{1}_{[n, n+1]}\ dx$ は 0 に漠収束するが、全質量が 1 のままなので弱収束はしない（$f \equiv 1$ を試せ）。$\frac{1}{n}\mathbf{1}_{[0, n]}\ dx$ も $\lvert \int f\ d\mu_n \rvert \leq \lVert f \rVert_\infty \lambda(\operatorname{supp} f)/n \to 0$ より 0 に漠収束する。漠収束では質量が無限遠へ逃げたり薄く広がって消えたりしうるが、弱収束ではそれが起きない。

命題 8.13 確率測度であるラドン測度 $\mu_n, \mu$ について、$\mu_n$ が $\mu$ に漠収束するならば弱収束する。

証明. $\varepsilon > 0$ とする。内正則性より $\mu(K) > 1 - \varepsilon$ となるコンパクト集合 $K$ があり、$K \prec \varphi$ をとれば $\int \varphi\ d\mu > 1 - \varepsilon$。漠収束より十分大きい $n$ で $\int \varphi\ d\mu_n > 1 - \varepsilon$、すなわち $\int (1 - \varphi)\ d\mu_n < \varepsilon$。$g \in C_b(X)$ に対し $g\varphi \in C_c$ だから

右辺第1項は 0 に収束し、第2項は $2\varepsilon\lVert g \rVert_\infty$ 未満である。$\square$

つまり、漠収束と弱収束の差は「質量が保存されるかどうか」だけである。確率論では確率測度の弱収束を分布収束といい、分布関数の連続点での収束（問題 8.4）や特性関数の収束（11-probability 第3章）と同値になる。

注意 8.14（コンパクト性：主張と概略）$X$ が第二可算な LCH 空間で $\sup_n \mu_n(X) < \infty$ ならば、$(\mu_n)$ は漠収束する部分列をもつ（ヘリーの選出定理の一般形）。$C_0(X)$ は可分なので、その可算稠密部分集合の各元について対角線論法で積分が収束する部分列をとり、極限の汎関数を定理 8.10 で測度として表せばよい（バナッハ–アラオグルの定理の特別な場合）。極限が確率測度になるための条件は緊密性（任意の $\varepsilon$ に対し $\sup_n \mu_n(X \setminus K) < \varepsilon$ となるコンパクト集合 $K$ が存在すること）であり、これがプロホロフの定理の内容である。

まとめ

• LCH 空間では、一点コンパクト化の正規性からウリゾーンの補題（$K \prec f \prec U$）と 1 の分割が得られる。
• $C_c(X)$ 上の正値線形汎関数 $I$ は、ただ一つのラドン測度 $\mu$ によって $I(f) = \int f\ d\mu$ と表される（リース–マルコフ–角谷）。$\mu$ は開集合上で $\sup\lbrace I(f) \mid f \prec U \rbrace$ として定まり、カラテオドリの方法で測度になる。
• 開集合がすべて σ-コンパクトな空間（$\mathbb{R}^n$ など）では、コンパクト集合上で有限なボレル測度はすべてラドン測度で、正則である。
• $C_0(X)$ の双対空間は有限符号付きラドン測度の空間 $M(X)$ で、ノルムは全変動である。
• 漠収束（$C_c$ で試す）では質量が失われうる。確率測度では漠収束と弱収束（$C_b$ で試す）は同値である。第3章の典型例は、測度の収束として見ると失われた質量の行方がわかる。

演習問題