分離公理と可算公理

この章の目標

• $T_1$・ハウスドルフ・正則・正規の各分離公理を理解し、それぞれを区別する反例を挙げられる
• 距離空間が正規であること、ウリゾーンの補題、ティーツェの拡張定理を証明できる
• 第一可算・第二可算・可分・リンデレフの関係を理解し、第一可算空間では点列で閉包や連続性が判定できることを証明できる
• 点列では位相を捉えきれない例を知り、ネット（有向点列）の考え方を理解する
• ウリゾーンの距離化定理の主張と証明の筋道を説明できる

前提：第2章、第3章

第2・3章で、極限が一意でない空間（補有限位相）や、2 点を分離できない商空間（原点が 2 つある直線）を見た。距離空間では、異なる 2 点は小さな開球で分離でき、交わらない閉集合は連続関数 $d(x, A)/(d(x, A) + d(x, B))$ で分離できた（問題 1.7）。分離公理は、一般の位相空間が距離空間にどれだけ近いかを段階的に測る条件である。可算公理は、位相が「可算個の情報」で決まるかどうかを測る。両者を組み合わせると、どんな位相空間が距離化可能かという問いに答えられる（4.6 節）。

4.1 分離公理

定義 4.1（分離公理）位相空間 $X$ について：

• $X$ が $T_1$ 空間であるとは、任意の $x \neq y$ に対し、$x \in U$, $y \notin U$ となる開集合 $U$ が存在することをいう。
• $X$ がハウスドルフ空間（$T_2$ 空間, Hausdorff space）であるとは、任意の $x \neq y$ に対し、$x \in U$, $y \in V$, $U \cap V = \emptyset$ となる開集合 $U, V$ が存在することをいう。
• $X$ が正則空間 (regular space) であるとは、$T_1$ であり、任意の点 $x$ と $x \notin F$ となる閉集合 $F$ に対し、$x \in U$, $F \subset V$, $U \cap V = \emptyset$ となる開集合 $U, V$ が存在することをいう。
• $X$ が正規空間 (normal space) であるとは、$T_1$ であり、交わらない任意の閉集合 $F, G$ に対し、$F \subset U$, $G \subset V$, $U \cap V = \emptyset$ となる開集合 $U, V$ が存在することをいう。

命題 4.2 $X$ が $T_1$ $\Leftrightarrow$ $X$ の 1 点集合はすべて閉集合 $\Leftrightarrow$ 有限集合はすべて閉集合。

証明. $T_1$ なら、$x$ を固定して各 $y \neq x$ に $y \in U_y$, $x \notin U_y$ となる開集合をとれば $X \setminus \lbrace x \rbrace = \bigcup_{y \neq x} U_y$ は開。1 点集合が閉なら有限集合は有限個の閉集合の和なので閉。有限集合が閉なら、$x \neq y$ に対し $U = X \setminus \lbrace y \rbrace$ が求める開集合。$\square$

命題 4.3 $T_1$ 空間 $X$ について：

1. $X$ が正則 $\Leftrightarrow$ 任意の点 $x$ とその開近傍 $U$ に対し、$x \in V \subset \overline{V} \subset U$ となる開集合 $V$ がある。
2. $X$ が正規 $\Leftrightarrow$ 任意の閉集合 $F$ と $F \subset U$ となる開集合 $U$ に対し、$F \subset V \subset \overline{V} \subset U$ となる開集合 $V$ がある。

証明. 2 を示す（1 は $F = \lbrace x \rbrace$ の場合と同様）。($\Rightarrow$) $F$ と $X \setminus U$ は交わらない閉集合なので、$F \subset V$, $X \setminus U \subset W$, $V \cap W = \emptyset$ となる開集合がある。$V \subset X \setminus W$ で $X \setminus W$ は閉なので $\overline{V} \subset X \setminus W \subset U$。($\Leftarrow$) 交わらない閉集合 $F, G$ に対し $U = X \setminus G$ として $V$ をとれば、$V$ と $X \setminus \overline{V}$ は交わらない開集合で、$F \subset V$, $G \subset X \setminus U \subset X \setminus \overline{V}$。$\square$

定理 4.4 距離空間は正規である。

証明. 1 点集合は閉（例 1.17）なので $T_1$。$F, G$ を交わらない閉集合とする。一方が空なら $U = X$ などとすればよいので、ともに空でないとする。

とおく。$d(\cdot, F), d(\cdot, G)$ は連続（例 1.28）なので $U, V$ は開集合（問題 1.6）で、明らかに $U \cap V = \emptyset$。$x \in F$ なら $d(x, F) = 0$ であり、$x \notin G = \overline{G}$ なので $d(x, G) > 0$（例 1.28 の 2）。よって $F \subset U$、同様に $G \subset V$。$\square$

定理 4.5 ハウスドルフ空間では、点列の極限は（存在すれば）ただ一つである。

証明. $x_n \to a$, $x_n \to b$, $a \neq b$ とする。$a \in U$, $b \in V$, $U \cap V = \emptyset$ となる開集合をとると、十分大きな $n$ で $x_n \in U \cap V$ となり矛盾。$\square$

分離公理を区別する例

例 4.6

1. $T_1$ だがハウスドルフでない：無限集合上の補有限位相（1 点集合は閉だが、空でない開集合はすべて交わる、例 2.7）。無限体 $K$ 上の $K^n$ のザリスキー位相（1 点 $a$ は $V(\lbrace x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n \rbrace)$ で閉）。原点が 2 つある直線（例 3.24）。
2. $T_1$ でない：2 点以上の密着空間、シェルピンスキー空間（例 2.6）。
3. 極限は一意だがハウスドルフでない：非可算集合 $X$ 上の可算補位相（例 2.8）。$x_n \to x$ とすると、$A = \lbrace x_n \mid x_n \neq x \rbrace$ は可算なので $X \setminus A$ は $x$ を含む開集合であり、ある番号以降 $x_n \in X \setminus A$、すなわち $x_n = x$。収束列は結局定数列なので極限は一意である。しかし空でない開集合の補集合は可算なので、2 つの空でない開集合の共通部分の補集合も可算で、$X$ が非可算であることから共通部分は空でない。よってハウスドルフでない。定理 4.5 の逆は成り立たない。
4. ハウスドルフだが正則でない：$K = \lbrace 1/n \mid n \in \mathbb{N} \rbrace$ とし、開区間 $(a, b)$ と $(a, b) \setminus K$ の全体を開基とする $\mathbb{R}$ 上の位相を考える（$\mathbb{R}_K$ と書く。(B1)(B2) は容易に確かめられる）。通常の位相より強いのでハウスドルフである。$\mathbb{R} \setminus K = \bigcup_n ((-n, n) \setminus K)$ は開なので $K$ は閉集合で、$0 \notin K$。$0 \in U$, $K \subset V$ となる開集合 $U, V$ があったとする。$U$ は $0$ を含む基本開集合 $B = (a, b)$ または $(a, b) \setminus K$（$a < 0 < b$）を含む。$1/n < b$ となる $n$ をとると $1/n \in K \subset V$ で、$V$ は $1/n$ を含む基本開集合 $C$ を含むが、$C$ は $K$ の点 $1/n$ を含むので $(c, d)$ の形である。区間 $(\max(c, 0), \min(d, b))$ は $1/n$ を含む空でない開区間なので無理数 $z$ を含み、$z \in B \cap C \subset U \cap V$。よって $0$ と $K$ は分離できず、$\mathbb{R}_K$ は正則でない。
5. 正則だが正規でない：次の例 4.7。

例 4.7（ゾルゲンフライ平面は正則だが正規でない）$P = \mathbb{R}_l \times \mathbb{R}_l$ とする。

正則であること. $P$ は $\mathbb{R}^2$ より強い位相をもつので $T_1$。点 $z = (x, y)$ の開近傍 $U$ は基本開集合 $V = [x, x + \varepsilon) \times [y, y + \varepsilon)$ を含む。$[a, b)$ は $\mathbb{R}_l$ で閉なので（例 2.28）、$V = p_1^{-1}([x, x + \varepsilon)) \cap p_2^{-1}([y, y + \varepsilon))$ は $P$ の閉集合で、$z \in V = \overline{V} \subset U$。命題 4.3 より正則。

正規でないこと（証明には第7章のベールのカテゴリー定理を用いる）. 反対角線 $L = \lbrace (x, -x) \mid x \in \mathbb{R} \rbrace$ は $\mathbb{R}^2$ で閉なので $P$ でも閉である。また $[x, x+1) \times [-x, -x+1)$ と $L$ の共通部分は $\lbrace (x, -x) \rbrace$ だけなので、$L$ の部分空間の位相は離散位相であり、$L$ の任意の部分集合は $L$ で閉、したがって $P$ で閉である。そこで

は交わらない閉集合である。$A \subset U$, $B \subset V$ となる開集合 $U, V$ があったとして矛盾を導く。各無理数 $x$ について $[x, x + \varepsilon_x) \times [-x, -x + \varepsilon_x) \subset V$ となる $\varepsilon_x > 0$ を選び、$K_n = \lbrace x \notin \mathbb{Q} \mid \varepsilon_x \geq 1/n \rbrace$ とおく。すると

は可算個の集合の和である。1 点集合は $\mathbb{R}$ で疎（閉包の内部が空）なので、ベールのカテゴリー定理（定理 7.19）により、ある $K_n$ の（通常の位相での）閉包は開区間 $(a, b)$ を含む。有理数 $q \in (a, b)$ をとり、$[q, q + \delta) \times [-q, -q + \delta) \subset U$ となる $\delta > 0$ をとる。$K_n$ は $(a, b)$ で稠密なので、$q - \min(\delta, 1/n) < x < q$ かつ $x > a$ をみたす $x \in K_n$ がある。点 $(q, -x)$ を考えると、$q \leq q < q + \delta$、$-q < -x < -q + \delta$ より $(q, -x) \in U$；また $x < q < x + 1/n \leq x + \varepsilon_x$、$-x \leq -x < -x + \varepsilon_x$ より $(q, -x) \in V$。これは $U \cap V = \emptyset$ に反する。$\square$

$\mathbb{R}_l$ 自身は正規である（問題 4.5）。したがって正規空間の積は正規とは限らない。また正規空間の部分空間も正規とは限らないことが知られている。正規性は扱いにくい性質であり、次節以降の定理はその貴重な帰結である。

4.2 ウリゾーンの補題

距離空間では交わらない閉集合 $A, B$ を、$A$ 上で $0$、$B$ 上で $1$ となる連続関数で分離できた。距離がなくても、正規性だけからこのような関数を作れる、というのが次の定理である。

定理 4.8（ウリゾーンの補題, Urysohn's lemma）$X$ を正規空間、$A, B$ を交わらない閉集合とする。連続関数 $f\colon X \to [0, 1]$ で、$A$ 上 $f = 0$、$B$ 上 $f = 1$ となるものが存在する。

証明. 考え方：$[0, 1]$ の 2 進有理数 $r$ ごとに「$f < r$ となるべき領域」$U_r$ を、$r$ が大きいほど広がるように作り、そこから $f$ を読み取る。等高線を内側から順に描いていくイメージである。

ステップ 1（開集合の構成）. $D = \lbrace k/2^m \mid m \geq 0, 0 \leq k \leq 2^m \rbrace$ を $[0, 1]$ の 2 進有理数全体とする。開集合 $U_r$（$r \in D$）で

をみたすものを作る。まず $U_1 = X \setminus B$ とおく。$A \subset U_1$ なので命題 4.3 より $A \subset U_0 \subset \overline{U_0} \subset U_1$ となる開集合 $U_0$ がとれる。分母が $2^m$ 以下の $r \in D$ について (1) をみたす $U_r$ が定まったとする。分母がちょうど $2^{m+1}$ の $r = (2k+1)/2^{m+1}$ について、$r^- = k/2^m$, $r^+ = (k+1)/2^m$ とおくと $\overline{U_{r^-}} \subset U_{r^+}$ なので、命題 4.3 より

となる開集合 $U_r$ がとれる。こうして分母が $2^{m+1}$ 以下の点すべてに $U_r$ が定まった。これらの点を小さい順に $0 = u_0 < u_1 < \dots < u_M = 1$ と並べると、隣り合う 2 点の一方は新しい点 $r$ で、他方は $r^-$ または $r^+$ である。したがって構成から、隣り合う 2 点について $\overline{U_{u_i}} \subset U_{u_{i+1}}$ が成り立つ。$r = u_i < s = u_j$ なら、これをつないで

となり、新しい族でも (1) が成り立つ。帰納法により、すべての $r \in D$ について (1) をみたす $U_r$ が得られる。

さらに便宜上、2 進有理数 $r < 0$ に対し $U_r = \emptyset$、$r > 1$ に対し $U_r = X$ と定める。すると (1) の第 3 条件はすべての 2 進有理数 $r < s$ について成り立つ。

ステップ 2（関数の定義）. $f(x) = \inf \lbrace r \mid r \text{ は 2 進有理数}, x \in U_r \rbrace$ とおく。$r > 1$ なら $x \in U_r$、$r < 0$ なら $x \notin U_r$ なので $0 \leq f(x) \leq 1$。$x \in A$ なら $x \in U_0$ なので $f(x) = 0$。$x \in B$ なら $x \notin U_1$ で、$r \leq 1$ について $U_r \subset U_1$ なので $x \notin U_r$、よって $f(x) \geq 1$、すなわち $f(x) = 1$。

ステップ 3（連続性）. 次の 2 つを示す（$r$ は 2 進有理数）。

• (a) $x \in \overline{U_r}$ ならば $f(x) \leq r$。実際、任意の 2 進有理数 $s > r$ について $x \in \overline{U_r} \subset U_s$ なので $f(x) \leq s$。2 進有理数は稠密なので $f(x) \leq r$。
• (b) $x \notin U_r$ ならば $f(x) \geq r$。実際、$s < r$ なら $U_s \subset \overline{U_s} \subset U_r$ なので $x \notin U_s$。よって $x \in U_s$ となる $s$ はすべて $s \geq r$ で、$f(x) \geq r$。

$x_0 \in X$ と $f(x_0)$ を含む開区間 $(c, d)$ をとる。2 進有理数 $r, s$ を $c < r < f(x_0) < s < d$ となるようにとり、$W = U_s \setminus \overline{U_r}$ とおく。(a) の対偶より $x_0 \notin \overline{U_r}$、(b) の対偶より $x_0 \in U_s$ なので $x_0 \in W$ で、$W$ は開集合である。$x \in W$ なら、$x \in U_s \subset \overline{U_s}$ と (a) より $f(x) \leq s < d$、$x \notin \overline{U_r} \supset U_r$ と (b) より $f(x) \geq r > c$。よって $f(W) \subset (c, d)$ で、$f$ は $x_0$ で連続である。$\square$

注意 4.9

• 逆に、$T_1$ 空間 $X$ で交わらない任意の閉集合の組がこのような関数で分離できれば、$f^{-1}([0, 1/2))$ と $f^{-1}((1/2, 1])$ が分離する開集合になるので $X$ は正規である。ウリゾーンの補題は「正規性 = 閉集合を関数で分離できること」を示している。
• 点と閉集合を連続関数で分離できる $T_1$ 空間を完全正則空間（チコノフ空間）という。正規 $\Rightarrow$ 完全正則 $\Rightarrow$ 正則である。
• 局所コンパクト・ハウスドルフ空間でも、コンパクト集合と閉集合について同様の関数が作れる。これは測度論のリースの表現定理で使われる（測度と積分 第8章）。

4.3 ティーツェの拡張定理

閉集合上で定義された連続関数を、全体の連続関数に拡張できるか。ウリゾーンの補題を反復して使うと、正規空間では常に可能であることがわかる。

補題 4.10（一様収束極限の連続性）$X$ を位相空間、$f_n\colon X \to \mathbb{R}$ を連続関数の列とし、$\sup_{x \in X} \lvert f_n(x) - f(x) \rvert \to 0$ とする。このとき $f$ は連続である。

証明. $x_0 \in X$、$\varepsilon > 0$ とする。$\sup \lvert f_N - f \rvert < \varepsilon/3$ となる $N$ をとり、$f_N$ の連続性から $\lvert f_N(x) - f_N(x_0) \rvert < \varepsilon/3$ となる $x_0$ の開近傍 $U$ をとる。$x \in U$ なら

なので $f$ は $x_0$ で連続。$\square$

定理 4.11（ティーツェの拡張定理, Tietze extension theorem）$X$ を正規空間、$A$ を閉集合とする。

1. 連続関数 $f\colon A \to [-1, 1]$ は、連続関数 $F\colon X \to [-1, 1]$ に拡張できる（$F\vert_A = f$）。
2. 連続関数 $f\colon A \to \mathbb{R}$ は、連続関数 $F\colon X \to \mathbb{R}$ に拡張できる。

証明. ステップ 1（近似の補題）. $c > 0$、$g\colon A \to [-c, c]$ を連続とする。このとき連続関数 $h\colon X \to [-c/3, c/3]$ で、$A$ 上 $\lvert g - h \rvert \leq 2c/3$ となるものがある。実際、$A_- = g^{-1}([-c, -c/3])$, $A_+ = g^{-1}([c/3, c])$ は $A$ の交わらない閉集合で、$A$ が閉なので $X$ の閉集合でもある（命題 3.2）。ウリゾーンの補題により、$A_-$ 上 $-c/3$、$A_+$ 上 $c/3$ をとる連続関数 $h\colon X \to [-c/3, c/3]$ がある（$[0, 1]$ 値の関数 $u$ をとり $h = (2u - 1)c/3$ とすればよい。$A_-$ が空なら $h = c/3$、$A_+$ が空なら $h = -c/3$、両方空なら $h = 0$ とする）。$A_-$ 上では $g, h \in [-c, -c/3]$、$A_+$ 上では $g, h \in [c/3, c]$、それ以外の $A$ の点では $g, h \in [-c/3, c/3]$ なので、いずれも $\lvert g - h \rvert \leq 2c/3$。

ステップ 2（1 の証明）. ステップ 1 を $g = f$, $c = 1$ に適用して $h_1$ を得る。$f - h_1$ は $A$ 上で値を $[-2/3, 2/3]$ にとるので、$c = 2/3$ として $h_2$ を得る。以下帰納的に、連続関数 $h_n\colon X \to \mathbb{R}$ で

となるものを得る。$\sum_k (1/3)(2/3)^{k-1} = 1$ なので、$F = \sum_{k=1}^\infty h_k$ は $X$ 上一様収束し（ワイエルシュトラスの M 判定法）、補題 4.10 より連続で、$\lvert F \rvert \leq 1$。$A$ 上では第 2 の不等式で $n \to \infty$ として $F = f$。

ステップ 3（2 の証明）. 同相写像 $\mathbb{R} \cong (-1, 1)$（例 2.39）により、$f\colon A \to (-1, 1)$ の場合に $X \to (-1, 1)$ への拡張を作ればよい。1 により拡張 $F\colon X \to [-1, 1]$ がある。$D = F^{-1}(\lbrace -1, 1 \rbrace)$ は閉集合で、$A$ 上 $\lvert F \rvert = \lvert f \rvert < 1$ なので $A \cap D = \emptyset$。ウリゾーンの補題で $D$ 上 $0$、$A$ 上 $1$ となる連続関数 $\varphi\colon X \to [0, 1]$ をとり、$G = \varphi F$ とおく。$G$ は連続で $A$ 上 $G = f$。$x \in D$ なら $G(x) = 0$、$x \notin D$ なら $\lvert G(x) \rvert \leq \lvert F(x) \rvert < 1$ なので、$G$ は $(-1, 1)$ に値をとる。$\square$

注意 4.12

• $A$ が閉であることは必要である。$f(x) = \sin(1/x)$ は $(0, 1]$ 上連続だが、$[0, 1]$ 上の連続関数に拡張できない（$x \to +0$ で極限をもたないので）。
• ティーツェの定理を $A = F \cup G$（$F, G$ は交わらない閉集合）と $F$ 上 $0$、$G$ 上 $1$ の関数に適用すればウリゾーンの補題が得られる。したがって $T_1$ 空間について「正規 $\Leftrightarrow$ 閉集合上の連続関数が常に拡張できる」。
• $\mathbb{R}^n$ 値の連続関数は成分ごとに拡張できる。しかし $S^1$ 値の関数は拡張できるとは限らない。恒等写像 $S^1 \to S^1$ は $D^2 \to S^1$ に拡張できないが、その証明には基本群が必要である（位相幾何学 第1章）。

4.4 可算公理

定義 4.13（可算公理と関連する条件）位相空間 $X$ について：

• 各点が可算個の元からなる基本近傍系をもつとき、第一可算 (first countable) であるという。
• 可算個の元からなる開基をもつとき、第二可算 (second countable) であるという。
• 稠密な可算部分集合をもつとき、可分 (separable) であるという。
• 任意の開被覆（和集合が $X$ となる開集合族）が可算部分被覆をもつとき、リンデレフ (Lindelöf) であるという。

定理 4.14 第二可算空間は第一可算・可分・リンデレフである。

証明. $\mathcal{B} = \lbrace B_1, B_2, \dots \rbrace$ を可算開基とする。

• 第一可算：$\lbrace B_n \mid x \in B_n \rbrace$ は $x$ の基本近傍系（命題 2.25）。
• 可分：空でない各 $B_n$ から点 $x_n$ を選ぶ。空でない開集合はある空でない $B_n$ を含むので $x_n$ を含み、$\lbrace x_n \rbrace$ は稠密。
• リンデレフ：$\mathcal{U}$ を開被覆とする。$N = \lbrace n \mid B_n \text{ はある } U \in \mathcal{U} \text{ に含まれる} \rbrace$ とし、$n \in N$ ごとに $B_n \subset U_n$ となる $U_n \in \mathcal{U}$ を選ぶ。任意の $x$ について $x \in U \in \mathcal{U}$ となる $U$ があり、$x \in B_n \subset U$ となる $n$ があるので $n \in N$ で $x \in U_n$。よって $\lbrace U_n \mid n \in N \rbrace$ は可算部分被覆。$\square$

定理 4.15 距離空間は第一可算である。さらに距離空間について、第二可算 $\Leftrightarrow$ 可分 $\Leftrightarrow$ リンデレフ。

証明. $\lbrace B(x, 1/n) \rbrace$ が可算基本近傍系。第二可算 $\Rightarrow$ 可分・リンデレフは定理 4.14。可分 $\Rightarrow$ 第二可算は問題 2.9 (c) で示した。リンデレフ $\Rightarrow$ 可分：各 $n$ について開被覆 $\lbrace B(x, 1/n) \mid x \in X \rbrace$ の可算部分被覆をとり、その中心の集合を $C_n$ とする。$D = \bigcup_n C_n$ は可算で、任意の $x$ と $r > 0$ について $1/n < r$ とすると $x \in B(c, 1/n)$ となる $c \in C_n$ があり $c \in B(x, r)$。よって $D$ は稠密。$\square$

例 4.16

1. $\mathbb{R}^n$ は第二可算（例 2.26）。その部分空間も第二可算である（開基と部分集合の共通部分をとればよい）。
2. 非可算集合上の離散距離空間は、第一可算だが可分でもリンデレフでもない（1 点集合からなる開被覆に可算部分被覆がない）。
3. ゾルゲンフライ直線 $\mathbb{R}_l$ は第一可算（$\lbrace [x, x + 1/n) \rbrace$）・可分（$\mathbb{Q}$ が稠密）・リンデレフ（問題 4.9）だが、第二可算でない（問題 2.9）。定理 4.15 より、$\mathbb{R}_l$ は距離化可能でない。
4. ゾルゲンフライ平面 $\mathbb{R}_l \times \mathbb{R}_l$ は $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ を稠密部分集合にもつので可分だが、その閉部分空間 $L$（例 4.7）は非可算な離散空間で可分でない。可分性は部分空間に遺伝しない。
5. $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$（積位相、各点収束の位相）は第一可算でない。実際 $0$（恒等的に $0$ の関数）が可算基本近傍系 $\lbrace W_n \rbrace$ をもつとする。各 $W_n$ は基本開集合を含み、基本開集合は有限個の座標にしか条件を課さないので、$W_n \supset \lbrace f \mid \lvert f(t) \rvert < \varepsilon_n \ (t \in T_n) \rbrace$ となる有限集合 $T_n \subset \mathbb{R}$ と $\varepsilon_n > 0$ がある。$\bigcup_n T_n$ は可算なので、それに属さない $t_0$ がある。近傍 $N = \lbrace f \mid \lvert f(t_0) \rvert < 1 \rbrace$ はどの $W_n$ も含まない：$t_0$ で値 $2$、他では $0$ の関数は $W_n$ に属するが $N$ に属さない。これは基本近傍系であることに反する。

第一可算空間と点列

定理 4.17 $X$ を第一可算空間とする。

1. $A \subset X$ について、$x \in \overline{A}$ $\Leftrightarrow$ $A$ の点列で $x$ に収束するものがある。
2. 写像 $f\colon X \to Y$ について、$f$ が連続 $\Leftrightarrow$ $x_n \to x$ ならば $f(x_n) \to f(x)$（点列連続）。

証明. $x$ の可算基本近傍系 $\lbrace N_1, N_2, \dots \rbrace$ をとり、$V_n = N_1 \cap \dots \cap N_n$ とおく。$V_1 \supset V_2 \supset \cdots$ も基本近傍系である。

1. ($\Leftarrow$) は第2章で見た。($\Rightarrow$) 各 $n$ で $V_n \cap A \neq \emptyset$ なので $x_n \in V_n \cap A$ を選ぶ。$x$ の任意の近傍 $N$ はある $V_m$ を含み、$n \geq m$ なら $x_n \in V_n \subset V_m \subset N$。よって $x_n \to x$。

2. ($\Rightarrow$) は命題 2.36。($\Leftarrow$) 定理 2.35 の 3 を示す。$x \in \overline{A}$ なら 1 より $A$ の点列 $a_n \to x$ があり、仮定から $f(a_n) \to f(x)$。$f(a_n) \in f(A)$ なので $f(x) \in \overline{f(A)}$。よって $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$。$\square$

距離空間は第一可算なので、第1章の点列による議論（命題 1.25、定理 1.27）はこの定理の特別な場合である。

例 4.18（点列では不十分な例）

1. 可算補位相。$\mathbb{R}$ に可算補位相を入れ、$p \in \mathbb{R}$、$A = \mathbb{R} \setminus \lbrace p \rbrace$ とする。$p$ の任意の開近傍は非可算集合なので $A$ と交わり、$p \in \overline{A}$。しかし例 4.6 の 3 のとおり収束列はある番号以降定数なので、$A$ の点列が $p$ に収束することはない。また恒等写像 $(\mathbb{R}, \text{可算補位相}) \to (\mathbb{R}, \text{離散位相})$ は、収束列が結局定数列なので点列連続だが、$\lbrace p \rbrace$ の逆像が開でないので連続でない。
2. 各点収束の位相。$\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ の部分集合 $A$ を、値が $0$ か $1$ で、値 $0$ をとる点が有限個である関数全体とする。$0$（恒等的に $0$ の関数）は $\overline{A}$ に属する：基本近傍 $\lbrace f \mid \lvert f(t_i) \rvert < \varepsilon \ (i = 1, \dots, k) \rbrace$ は、$t_1, \dots, t_k$ で $0$、他で $1$ の関数（$A$ の元）を含む。しかし $A$ の点列 $f_n$ が $0$ に収束することはない：$f_n$ が $0$ をとる点の集合 $T_n$ は有限なので $\bigcup T_n$ は可算であり、それに属さない $t_0$ ではすべての $n$ で $f_n(t_0) = 1$、したがって $f_n(t_0) \not\to 0$（命題 3.11 に反する）。

4.5 ネット（有向点列）

例 4.18 の現象は、点列の添字 $\mathbb{N}$ が「小さすぎる」ことに原因がある。添字集合を一般化すると、どんな位相空間でも「列の収束」で位相を記述できる。

定義 4.19（有向集合, ネット）集合 $\Lambda$ 上の前順序（反射的・推移的な関係）$\leq$ で、任意の $\lambda, \mu \in \Lambda$ に対して $\lambda \leq \nu$, $\mu \leq \nu$ となる $\nu$ が存在するものを有向集合 (directed set) という。有向集合 $\Lambda$ から $X$ への写像 $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ をネット（有向点列, net）という。ネットが $a$ に収束するとは、$a$ の任意の近傍 $N$ に対し、ある $\lambda_0$ が存在して $\lambda \geq \lambda_0$ ならば $x_\lambda \in N$ となることをいう。

例 4.20

1. $\mathbb{N}$ は有向集合で、$\mathbb{N}$ を添字とするネットは点列である。
2. 点 $x$ の近傍系 $\mathcal{N}(x)$ は、逆包含（$N \leq N' \Leftrightarrow N \supset N'$）で有向集合になる（$N \cap N'$ が上界）。「近傍が小さくなる方向」が「先へ進む方向」である。
3. $[a, b]$ の代表点つき分割（分割 $\Delta$ と各小区間の代表点の組）全体を、分割 $\Delta$ の細分で前順序づけると有向集合になり、リーマン和はこの有向集合上のネットである。有界関数がリーマン積分可能であることはこのネットが収束することと同値で、その極限が積分である。
4. 例 4.18 の 2 で、$\mathbb{R}$ の有限部分集合全体 $\Lambda$ を包含で順序づけ、$T \in \Lambda$ に対して $f_T$ を「$T$ 上 $0$、他で $1$」とすれば、ネット $(f_T)$ は $A$ の中で $0$ に収束する（任意の基本近傍が課す条件の点集合 $T_0$ について、$T \supset T_0$ なら $f_T$ はその近傍に入る）。

定理 4.21（ネットによる特徴づけ）

1. $x \in \overline{A}$ $\Leftrightarrow$ $A$ の点からなるネットで $x$ に収束するものがある。
2. $f\colon X \to Y$ が点 $x$ で連続 $\Leftrightarrow$ $x$ に収束する任意のネット $(x_\lambda)$ について $f(x_\lambda) \to f(x)$。
3. $X$ がハウスドルフ $\Leftrightarrow$ $X$ のどのネットも極限を高々一つしかもたない。

証明. 1. ($\Rightarrow$) 各 $N \in \mathcal{N}(x)$ について $x_N \in N \cap A$ を選ぶ（例 4.20 の 2 の有向集合上のネット）。$x$ の近傍 $N_0$ に対し、$N \geq N_0$（$N \subset N_0$）なら $x_N \in N_0$。($\Leftarrow$) $x$ の任意の近傍 $N$ はある番号以降の $x_\lambda \in A$ を含むので $A$ と交わる。

2. ($\Rightarrow$) $f(x)$ の近傍 $V$ に対し $f^{-1}(V)$ は $x$ の近傍なので、ある $\lambda_0$ 以降 $x_\lambda \in f^{-1}(V)$。($\Leftarrow$) $f$ が $x$ で連続でないとすると、$f(x)$ のある近傍 $V$ について、$x$ の任意の近傍 $N$ が $f(x_N) \notin V$ となる点 $x_N \in N$ を含む。ネット $(x_N)_{N \in \mathcal{N}(x)}$ は 1 と同様に $x$ に収束するが、$f(x_N)$ は $V$ に入らないので $f(x)$ に収束しない。

3. ($\Rightarrow$) 定理 4.5 と同じ証明。($\Leftarrow$) ハウスドルフでないとし、分離できない $x \neq y$ をとる。$\Lambda = \mathcal{N}(x) \times \mathcal{N}(y)$ に成分ごとの逆包含で順序を入れると有向集合で、仮定から $U \cap V \neq \emptyset$ なので $z_{(U, V)} \in U \cap V$ を選べる。このネットは $x$ にも $y$ にも収束する。$\square$

ネットと同等の道具としてフィルターがあり、ブルバキ流の位相空間論ではこちらが用いられる。第5章ではコンパクト性を有限交叉性で特徴づける（定理 5.4）。なお、コンパクト性は「任意のネットが収束する部分ネットをもつ」ことでも特徴づけられることが知られている（本教材では証明しない）。

4.6 ウリゾーンの距離化定理

どんな位相空間が距離化可能か。距離空間は正規かつ第一可算であり、可分なら第二可算である。逆向きの主張が次の定理である。

定理 4.22（ウリゾーンの距離化定理, Urysohn metrization theorem）第二可算な正則空間は距離化可能である。

証明の概略. 詳細は Munkres の本の第4章を参照。

1. 正規性. 第二可算空間はリンデレフ（定理 4.14）であり、正則なリンデレフ空間は正規である（問題 4.8）。
2. 可算個の関数. 可算開基 $\mathcal{B}$ の元の組 $(B, B')$ で $\overline{B} \subset B'$ となるものは可算個である。そのような各組に対し、ウリゾーンの補題で $\overline{B}$ 上 $1$、$X \setminus B'$ 上 $0$ となる連続関数 $g_{B, B'}\colon X \to [0, 1]$ をとり、これらを $f_1, f_2, \dots$ と番号づける。正則性（命題 4.3）から、任意の $x$ と開近傍 $U$ に対し $x \in B \subset \overline{B} \subset B' \subset U$ となる組がとれるので、ある $f_n$ は $f_n(x) = 1$ かつ $X \setminus U$ 上 $0$ となる。つまり $(f_n)$ は点と閉集合を分離する。
3. 埋め込み. $F(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots)$ により $F\colon X \to [0, 1]^{\mathbb{N}}$（積位相）を定める。成分が連続なので $F$ は連続（定理 3.10）であり、2 の分離性から単射で、$X$ の開集合を $F(X)$ の開集合に写すことが示せる。よって $F$ は埋め込みである。
4. 結論. $[0, 1]^{\mathbb{N}}$ の積位相は距離 $d(x, y) = \sum_n 2^{-n} \lvert x_n - y_n \rvert$ で与えられる（問題 3.5 と同様）。その部分空間 $F(X) \cong X$ は距離化可能である。