距離空間

この章の目標

• 距離の公理を理解し、$\mathbb{R}^n$・関数空間・離散距離・ハミング距離・$p$ 進距離などの具体例で確かめられる
• 開集合・閉集合・内部・閉包・境界を距離から定義し、基本性質を証明できる
• 連続写像の ε-δ・点列・開集合による 3 通りの特徴づけを証明し、使い分けられる
• 一様連続性・有界性のように「開集合だけでは決まらない」性質があることを、同値な距離の例で理解する

前提：集合と写像、微分積分学 第1〜3章

微分積分学では、数列の収束も関数の連続性も、すべて $\lvert x - y \rvert$ という「2 点の近さ」だけを使って定義した。ところが同じ論法は、平面のベクトル、関数、符号語（0 と 1 の列）など、「近さ」が測れる対象ならどこでも使える。本章では「近さ」の本質だけを取り出した距離空間を導入し、開集合・収束・連続性を整理する。そのうえで、連続性や収束が「開集合」だけで言い表せることを確認する。これが次章で位相空間へ抽象化する動機になる。

1.1 距離の公理

実数の距離 $\lvert x - y \rvert$ について、ε-δ 論法の証明で実際に使った性質を振り返ると、次の 3 つに尽きる：距離は 0 以上で、0 になるのは同じ点どうしのときだけ；$x$ から $y$ への距離と $y$ から $x$ への距離は等しい；寄り道すると遠くなる（三角不等式）。これを公理にする。

定義 1.1（距離空間, metric space）$X$ を集合とする。写像 $d\colon X \times X \to \mathbb{R}$ が任意の $x, y, z \in X$ に対して

• (D1) $d(x, y) \geq 0$ であり、$d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$（正値性）
• (D2) $d(x, y) = d(y, x)$（対称性）
• (D3) $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$（三角不等式, triangle inequality）

をみたすとき、$d$ を $X$ 上の距離（距離関数, metric）といい、組 $(X, d)$ を距離空間という。距離が明らかなときは単に $X$ と書く。

注意 1.2（各公理の役割）

• (D1) の「$d(x,y) \geq 0$」は他の公理から従う。実際 $0 = d(x, x) \leq d(x, y) + d(y, x) = 2d(x, y)$ である。
• (D1) の「$d(x, y) = 0 \Rightarrow x = y$」を外したものを擬距離 (pseudometric) という。たとえば $\mathbb{R}^2$ 上で $d(x, y) = \lvert x_1 - y_1 \rvert$（第 1 成分だけを見る）とおくと、(D2)(D3) はみたすが、第 1 成分が同じ異なる 2 点の距離が 0 になる。このとき点列 $(1/n, 0)$ は $(0, 0)$ にも $(0, 5)$ にも「近づく」ので、極限の一意性（命題 1.23）が崩れる。
• (D3) は「$a$ に近い点に近い点は、やはり $a$ に近い」ことを保証する。開球が開集合であること（命題 1.13）はこれに依存する。$d(x, y) = (x - y)^2$ は $\mathbb{R}$ 上で (D1)(D2) をみたすが、$d(0, 2) = 4 > 2 = d(0, 1) + d(1, 2)$ なので距離ではない。

三角不等式からすぐ出る次の不等式はよく使う。

命題 1.3（逆三角不等式）距離空間 $(X, d)$ の任意の $x, y, z$ について $\lvert d(x, z) - d(y, z) \rvert \leq d(x, y)$ が成り立つ。

証明. (D3) より $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$、すなわち $d(x, z) - d(y, z) \leq d(x, y)$。$x$ と $y$ を入れ替えて (D2) を使えば $d(y, z) - d(x, z) \leq d(x, y)$。両者を合わせればよい。$\square$

例

例 1.4（$\mathbb{R}^n$ の 3 つの距離）$x = (x_1, \dots, x_n)$, $y = (y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{R}^n$ に対して

とおく。$d_1$ と $d_\infty$ の三角不等式は、成分ごとの三角不等式 $\lvert x_i - z_i \rvert \leq \lvert x_i - y_i \rvert + \lvert y_i - z_i \rvert$ を足す（または最大値をとる）だけで得られる。$d_2$（ユークリッド距離, Euclidean metric）の三角不等式はコーシー–シュワルツの不等式 $\sum a_i b_i \leq \lVert a \rVert \lVert b \rVert$（$\lVert a \rVert = (\sum a_i^2)^{1/2}$、線形代数 第7章）から従う。実際

であり、$a = x - y$, $b = y - z$ とおけば $d_2(x, z) \leq d_2(x, y) + d_2(y, z)$ を得る。さらに、成分の絶対値を $c_i = \lvert x_i - y_i \rvert$ とおくと $\max c_i \leq (\sum c_i^2)^{1/2} \leq \sum c_i \leq n \max c_i$ だから

が成り立つ（2 番目の不等号は $(\sum c_i)^2$ を展開すると $\sum c_i^2$ に非負の交差項が加わることからわかる）。

例 1.5（関数空間）$a < b$ とし、$C[a, b]$ を $[a, b]$ 上の実数値連続関数全体とする。

• 一様距離 (uniform metric)：$d_\infty(f, g) = \max_{a \leq x \leq b} \lvert f(x) - g(x) \rvert$。最大値の存在は最大値の定理（微分積分学 第3章）による。各 $x$ で $\lvert f(x) - h(x) \rvert \leq \lvert f(x) - g(x) \rvert + \lvert g(x) - h(x) \rvert \leq d_\infty(f, g) + d_\infty(g, h)$ なので、左辺の最大値をとれば三角不等式を得る。
• $L^1$ 距離：$d_1(f, g) = \int_a^b \lvert f(x) - g(x) \rvert\ dx$。三角不等式は各点の三角不等式を積分すれば得られる。(D1) を確かめよう。$f \neq g$ なら $\lvert f(x_0) - g(x_0) \rvert = c > 0$ となる $x_0$ がある。$\lvert f - g \rvert$ は連続なので、$x_0$ を含む長さ $\ell > 0$ の区間 $J \subset [a, b]$ 上で $\lvert f - g \rvert > c/2$ となり、$d_1(f, g) \geq \ell c / 2 > 0$ である。

例 1.6（離散距離, discrete metric）任意の集合 $X$ 上で、$x = y$ なら $d(x, y) = 0$、$x \neq y$ なら $d(x, y) = 1$ とおく。三角不等式は、$x \neq z$ なら $y$ は $x, z$ の少なくとも一方と異なるので右辺が 1 以上になることからわかる。

例 1.7（ハミング距離, Hamming distance）有限集合 $A$（アルファベット）の元の長さ $n$ の列全体 $A^n$ 上で、$d_H(x, y)$ を「$x_i \neq y_i$ となる添字 $i$ の個数」と定める。$x_i \neq z_i$ なら $x_i \neq y_i$ または $y_i \neq z_i$ なので三角不等式が成り立つ。符号理論では、送信する語（符号語）どうしのハミング距離を 3 以上にしておくと、1 文字の誤りを訂正できる。実際、受信語 $w$ が符号語 $c$ から 1 文字だけ誤っていれば、別の符号語 $c'$ について $d_H(w, c') \geq d_H(c, c') - d_H(c, w) \geq 3 - 1 = 2$ となり、$w$ に最も近い符号語は $c$ だけだからである。

例 1.8（$p$ 進距離, $p$-adic metric）$p$ を素数とする。$0$ でない有理数 $x$ は、$p$ で割り切れない整数 $a, b$ と整数 $k$ を用いて $x = p^k a / b$ と表せ、このとき $k$ は $x$ だけから一意に定まる（$a, b$ は一意ではないが、$k$ は $x$ の既約分数表示の分子・分母に含まれる素因数 $p$ の個数の差である）。このとき $v_p(x) = k$、$\lvert x \rvert_p = p^{-k}$ とおき、$\lvert 0 \rvert_p = 0$ と定める。「$p$ で何回割れるか」が大きいほど小さくなる量である。$\lvert xy \rvert_p = \lvert x \rvert_p \lvert y \rvert_p$ は明らかで、さらに

が成り立つ。実際 $x, y, x + y$ がどれも $0$ でないとき、$x = p^k a/b$, $y = p^l c/d$（$k \leq l$）と書けば $x + y = p^k (ad + p^{l-k} bc)/(bd)$ で、$bd$ は $p$ で割り切れないから $v_p(x + y) \geq k$ となる（残りの場合は自明）。したがって $\rho_p(x, y) = \lvert x - y \rvert_p$ は $\mathbb{Q}$ 上の距離で、三角不等式より強い

をみたす。これを超距離不等式 (ultrametric inequality) といい、これをみたす距離を超距離という。たとえば $\rho_5(1, 26) = \lvert 25 \rvert_5 = 1/25$、$\rho_5(1, 2) = 1$ であり、5 進距離では 26 のほうが 2 よりも 1 に近い。$p$ の高いべきほど 0 に近い：$\rho_p(p^n, 0) = p^{-n}$。$p$ 進距離は整数論の基本的な道具である（代数的整数論 第5章）。

例 1.9（ノルムから定まる距離）実ベクトル空間 $V$ 上のノルム $\lVert \cdot \rVert$ があれば $d(x, y) = \lVert x - y \rVert$ は距離である。$d_1, d_2, d_\infty$ や $C[a, b]$ の一様距離はこの形をしている。ノルム空間の理論は関数解析 第1章で扱う。

1.2 開球と開集合

$\mathbb{R}$ の開区間 $(0, 1)$ の各点のまわりには「すき間」があり、少し動いても $(0, 1)$ からはみ出さない。$[0, 1)$ の点 $0$ にはそのすき間がない。この「まわりに余裕がある」ことを距離で表す。

定義 1.10（開球, 閉球）距離空間 $(X, d)$ の点 $a$ と $r > 0$ に対して

$$B(a, r) = \lbrace x \in X \mid d(a, x) < r \rbrace, \qquad D(a, r) = \lbrace x \in X \mid d(a, x) \leq r \rbrace$$

をそれぞれ中心 $a$、半径 $r$ の開球 (open ball)、閉球 (closed ball) という。距離を明示するときは $B_d(a, r)$ と書く。

例 1.11（開球の形）

• $(\mathbb{R}, \lvert \cdot \rvert)$ では $B(a, r) = (a - r, a + r)$。
• $\mathbb{R}^2$ で原点中心・半径 1 の開球は、$d_2$ では円板 $x^2 + y^2 < 1$ の内部；$d_\infty$ では座標軸に平行な辺をもち 4 頂点が $(\pm 1, \pm 1)$ の正方形の内部；$d_1$ では 4 頂点が $(\pm 1, 0), (0, \pm 1)$ の、45° 傾いた正方形（ひし形）の内部 $\lvert x \rvert + \lvert y \rvert < 1$ である。不等式 (1) は、ひし形が円板に、円板が正方形に含まれることを表す。
• 離散距離では $r \leq 1$ なら $B(a, r) = \lbrace a \rbrace$、$r > 1$ なら $B(a, r) = X$。
• $(C[a, b], d_\infty)$ の $B(f, r)$ は、$f$ のグラフの上下に幅 $r$ の「帯」$\lbrace (x, y) \mid \lvert y - f(x) \rvert < r \rbrace$ を考えたとき、グラフがこの帯に収まる連続関数の全体である（最大値が達成されるので、帯に収まることと $d_\infty < r$ は同値）。一方 $(C[a, b], d_1)$ の開球 $B(f, r)$ には、$f$ から高く細い「とげ」を突き出した関数も含まれる。とげの面積さえ小さければよいからである。
• ハミング距離では距離が整数値なので、$B(x, 2)$ は「$x$ と高々 1 文字しか違わない語」の全体である。

定義 1.12（開集合, open set）$U \subset X$ が開集合であるとは、任意の $a \in U$ に対してある $r > 0$ が存在して $B(a, r) \subset U$ となることをいう。

命題 1.13 開球 $B(a, r)$ は開集合である。

証明. $x \in B(a, r)$ とし、$s = r - d(a, x) > 0$ とおく。$y \in B(x, s)$ なら三角不等式より $d(a, y) \leq d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + s = r$ なので $y \in B(a, r)$。よって $B(x, s) \subset B(a, r)$ である。$\square$

定理 1.14（開集合の基本性質）距離空間 $X$ の開集合全体を $\mathcal{O}$ とすると：

• (O1) $\emptyset \in \mathcal{O}$, $X \in \mathcal{O}$
• (O2) $U_1, \dots, U_n \in \mathcal{O}$ ならば $U_1 \cap \dots \cap U_n \in \mathcal{O}$
• (O3) $U_\lambda \in \mathcal{O}$（$\lambda \in \Lambda$、$\Lambda$ は任意の添字集合）ならば $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda \in \mathcal{O}$

証明. (O1) $\emptyset$ には条件を確かめるべき点がない。$X$ については任意の $r$ で $B(a, r) \subset X$。(O2) $a \in U_1 \cap \dots \cap U_n$ なら各 $i$ で $B(a, r_i) \subset U_i$ となる $r_i > 0$ がある。$r = \min(r_1, \dots, r_n) > 0$ とおけば $B(a, r) \subset U_1 \cap \dots \cap U_n$。(O3) $a \in \bigcup U_\lambda$ なら $a \in U_\mu$ となる $\mu$ があり、$B(a, r) \subset U_\mu \subset \bigcup U_\lambda$ となる $r > 0$ がとれる。$\square$

例 1.15（無限個の共通部分）(O2) の証明で $\min$ が正であることに有限性を使った。実際、$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} (-1/n, 1/n) = \lbrace 0 \rbrace$ は $\mathbb{R}$ の開集合ではない。無限個の開集合の共通部分は一般に開集合ではない。

定義 1.16（閉集合, closed set）$F \subset X$ が閉集合であるとは、補集合 $X \setminus F$ が開集合であることをいう。

ド・モルガンの法則により、定理 1.14 から次が従う：$\emptyset$ と $X$ は閉集合；有限個の閉集合の和集合は閉集合；任意個の閉集合の共通部分は閉集合。無限個の和集合は一般に閉ではない：$\bigcup_{n} [1/n, 1] = (0, 1]$。

例 1.17

1. 閉球 $D(a, r)$ は閉集合である。実際 $x \notin D(a, r)$ なら $s = d(a, x) - r > 0$ で、$y \in B(x, s)$ ならば $d(a, y) \geq d(a, x) - d(x, y) > r$ なので $B(x, s) \subset X \setminus D(a, r)$。特に 1 点集合 $\lbrace a \rbrace = D(a, 0)$ も（同じ議論で）閉集合である。
2. 「開でない」ことは「閉である」ことを意味しない。$[0, 1) \subset \mathbb{R}$ は開でも閉でもない。$\emptyset$ と $X$ は開かつ閉である。
3. 離散距離空間では $\lbrace a \rbrace = B(a, 1)$ が開集合なので、(O3) によってすべての部分集合が開集合であり、したがってすべての部分集合が閉集合でもある。
4. $\mathbb{R}$ で開かつ閉な集合は $\emptyset$ と $\mathbb{R}$ だけである（第6章で証明する）。これに対し $\mathbb{Q}$ に $\mathbb{R}$ の距離を制限した距離空間では、$\lbrace q \in \mathbb{Q} \mid q^2 < 2 \rbrace$ が開かつ閉になる（例 1.42）。

1.3 内部・閉包・境界

定義 1.18（内部・閉包・境界）$A \subset X$ とする。

• $a$ が $A$ の内点 (interior point) であるとは、ある $r > 0$ で $B(a, r) \subset A$ となることをいう。内点全体を $A$ の内部 (interior) といい $A^\circ$ と書く。
• $a$ が $A$ の触点 (adherent point) であるとは、任意の $r > 0$ で $B(a, r) \cap A \neq \emptyset$ となることをいう。触点全体を $A$ の閉包 (closure) といい $\overline{A}$ と書く。
• $\partial A = \overline{A} \setminus A^\circ$ を $A$ の境界 (boundary) という。

$A^\circ \subset A \subset \overline{A}$ は定義から明らかである。

命題 1.19 $A \subset X$ について次が成り立つ。

1. $A^\circ$ は開集合であり、$A$ に含まれる最大の開集合（$A$ に含まれる開集合全体の和集合）である。
2. $X \setminus \overline{A} = (X \setminus A)^\circ$、$X \setminus A^\circ = \overline{X \setminus A}$。
3. $\overline{A}$ は閉集合であり、$A$ を含む最小の閉集合（$A$ を含む閉集合全体の共通部分）である。
4. $A$ が開 $\Leftrightarrow$ $A = A^\circ$。$A$ が閉 $\Leftrightarrow$ $A = \overline{A}$。
5. $\partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$。特に $\partial A$ は閉集合である。

証明. 1. $a \in A^\circ$ とし、$B(a, r) \subset A$ とする。$x \in B(a, r)$ に対し命題 1.13 から $B(x, s) \subset B(a, r) \subset A$ となる $s > 0$ があるので $x \in A^\circ$。よって $B(a, r) \subset A^\circ$ で、$A^\circ$ は開集合。また $U \subset A$ が開集合なら $U$ の各点は $A$ の内点なので $U \subset A^\circ$。

2. $a \notin \overline{A}$ $\Leftrightarrow$ ある $r > 0$ で $B(a, r) \cap A = \emptyset$ $\Leftrightarrow$ ある $r > 0$ で $B(a, r) \subset X \setminus A$ $\Leftrightarrow$ $a \in (X \setminus A)^\circ$。後半は前半を $X \setminus A$ に適用して補集合をとればよい。

3. 2 と 1 より $\overline{A} = X \setminus (X \setminus A)^\circ$ は閉集合。$F \supset A$ が閉集合なら $X \setminus F$ は $X \setminus A$ に含まれる開集合なので、1 より $X \setminus F \subset (X \setminus A)^\circ = X \setminus \overline{A}$、すなわち $\overline{A} \subset F$。

4. 1 と 3 から直ちに従う。5. 2 より $\partial A = \overline{A} \cap (X \setminus A^\circ) = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ で、閉集合の共通部分なので閉。$\square$

例 1.20

1. $A = [0, 1) \subset \mathbb{R}$：$A^\circ = (0, 1)$、$\overline{A} = [0, 1]$、$\partial A = \lbrace 0, 1 \rbrace$。
2. $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$：どの開区間も有理数と無理数の両方を含むので、$\mathbb{Q}^\circ = \emptyset$、$\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$、$\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}$。境界が集合そのものより「大きい」こともある。
3. 離散距離空間では任意の $A$ について $A^\circ = A = \overline{A}$、$\partial A = \emptyset$。
4. 開球の閉包は閉球とは限らない。離散距離空間（2 点以上）で $B(a, 1) = \lbrace a \rbrace$ は閉集合なので $\overline{B(a, 1)} = \lbrace a \rbrace$ だが、$D(a, 1) = X$ である。一般には $\overline{B(a, r)} \subset D(a, r)$ しか言えない（$D(a, r)$ は $B(a, r)$ を含む閉集合だから）。ノルム空間では等号が成り立つ。

1.4 点列の収束

定義 1.21（収束, convergence）距離空間 $X$ の点列 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が $a \in X$ に収束するとは、実数列 $d(x_n, a)$ が $0$ に収束すること、すなわち

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ d(x_n, a) < \varepsilon$$

が成り立つことをいう。このとき $x_n \to a$ または $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ と書き、$a$ を極限という。

次の書き換えは、収束が開集合だけで述べられることを示している。

命題 1.22 $x_n \to a$ であるための必要十分条件は、$a$ を含む任意の開集合 $U$ に対して、ある $N$ が存在して $n \geq N$ ならば $x_n \in U$ となることである。

証明. ($\Rightarrow$) $U$ が開なら $B(a, \varepsilon) \subset U$ となる $\varepsilon > 0$ があり、$n \geq N$ で $x_n \in B(a, \varepsilon) \subset U$。($\Leftarrow$) $U = B(a, \varepsilon)$ は開集合（命題 1.13）なので、条件から $n \geq N$ で $d(x_n, a) < \varepsilon$。$\square$

命題 1.23（極限の一意性）距離空間の点列の極限はただ一つである。

証明. $x_n \to a$ かつ $x_n \to b$ なら $d(a, b) \leq d(a, x_n) + d(x_n, b) \to 0$ なので $d(a, b) = 0$、(D1) より $a = b$。$\square$

例 1.24

1. $\mathbb{R}^n$ で $d_1, d_2, d_\infty$ のどれについて収束を考えても、不等式 (1) によりすべて「各成分が収束すること」と同値である。
2. 離散距離空間では、$x_n \to a$ $\Leftrightarrow$ ある $N$ 以降 $x_n = a$。（$\varepsilon = 1$ とすればよい。）
3. $C[0, 1]$ で $f_n(x) = x^n$ とする。$d_1(f_n, 0) = \int_0^1 x^n\ dx = 1/(n+1) \to 0$ なので、$L^1$ 距離では $f_n \to 0$。一方 $d_\infty(f_n, 0) = 1$ で、一様距離では $0$ に収束しない。しかも一様距離ではどんな $g \in C[0, 1]$ にも収束しない：もし $d_\infty(f_n, g) \to 0$ なら各点で $f_n(x) \to g(x)$ となるので $x < 1$ で $g(x) = 0$、$g(1) = 1$ となり、$g$ の連続性に反する。同じ集合・同じ点列でも、距離が違えば収束するかどうかが変わる。
4. $p$ 進距離では $p^n \to 0$。さらに $s_n = 1 + p + \dots + p^{n-1} = (p^n - 1)/(p - 1)$ について $s_n - 1/(1-p) = p^n/(p-1)$ で、$p - 1$ は $p$ で割り切れないから $\rho_p(s_n, 1/(1-p)) = p^{-n} \to 0$。たとえば 2 進距離では $1 + 2 + 4 + 8 + \dots = -1$ である。

命題 1.25（閉包の点列による特徴づけ）$A \subset X$、$a \in X$ とする。

1. $a \in \overline{A}$ $\Leftrightarrow$ $A$ の点からなる点列で $a$ に収束するものが存在する。
2. $A$ が閉集合 $\Leftrightarrow$ $A$ の点からなる点列が $X$ で収束すれば、その極限は必ず $A$ に属する。

証明. 1. ($\Rightarrow$) 各 $n$ について $B(a, 1/n) \cap A \neq \emptyset$ なので $x_n$ をこの集合から選べば $d(x_n, a) < 1/n$ で $x_n \to a$。($\Leftarrow$) 任意の $r > 0$ に対し、十分大きな $n$ で $x_n \in B(a, r)$ なので $B(a, r) \cap A \neq \emptyset$。

2. ($\Rightarrow$) 1 より極限は $\overline{A} = A$ に属する。($\Leftarrow$) 1 より $\overline{A}$ の各点は $A$ の点列の極限なので仮定から $A$ に属する。よって $\overline{A} = A$ で $A$ は閉。$\square$

1.5 連続写像

定義 1.26（連続写像, continuous map）$(X, d)$, $(Y, e)$ を距離空間、$f\colon X \to Y$ を写像とする。$f$ が点 $a \in X$ で連続であるとは

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in X,\ d(x, a) < \delta \Rightarrow e(f(x), f(a)) < \varepsilon$$

が成り立つこと、すなわち「任意の $\varepsilon > 0$ に対して $f(B(a, \delta)) \subset B(f(a), \varepsilon)$ となる $\delta > 0$ がある」ことをいう。$X$ のすべての点で連続なとき、$f$ は連続であるという。

次の定理が本章の中心である。

定理 1.27（連続性の特徴づけ）$f\colon X \to Y$ を距離空間の間の写像とする。

(1) $a \in X$ について、次の 3 条件は同値である。

• (i) $f$ は $a$ で連続（ε-δ の意味で）。
• (ii) $x_n \to a$ となる任意の点列について $f(x_n) \to f(a)$。
• (iii) $f(a)$ を含む任意の開集合 $V \subset Y$ に対して、$a$ を含む開集合 $U \subset X$ で $f(U) \subset V$ となるものが存在する。

(2) 次の 3 条件は同値である。

• (i) $f$ は連続。
• (ii) $Y$ の任意の開集合 $V$ に対して $f^{-1}(V)$ は $X$ の開集合。
• (iii) $Y$ の任意の閉集合 $F$ に対して $f^{-1}(F)$ は $X$ の閉集合。

証明. (1) (i)$\Rightarrow$(ii)：$\varepsilon > 0$ に対し (i) の $\delta$ をとる。$x_n \to a$ なので $n \geq N$ で $d(x_n, a) < \delta$、したがって $e(f(x_n), f(a)) < \varepsilon$。

(ii)$\Rightarrow$(i)：対偶を示す。(i) が成り立たないとすると、ある $\varepsilon > 0$ が存在して、どの $\delta = 1/n$ に対しても $d(x_n, a) < 1/n$ かつ $e(f(x_n), f(a)) \geq \varepsilon$ となる $x_n$ がとれる。この点列は $a$ に収束するが $f(x_n)$ は $f(a)$ に収束しないので (ii) が成り立たない。

(i)$\Rightarrow$(iii)：$V$ が開なので $B(f(a), \varepsilon) \subset V$ となる $\varepsilon$ があり、(i) の $\delta$ について $U = B(a, \delta)$ とおけば、$U$ は開（命題 1.13）で $f(U) \subset B(f(a), \varepsilon) \subset V$。

(iii)$\Rightarrow$(i)：$\varepsilon > 0$ に対し $V = B(f(a), \varepsilon)$ は開なので、(iii) の $U$ がとれる。$U$ は $a$ を含む開集合なので $B(a, \delta) \subset U$ となる $\delta > 0$ があり、$f(B(a, \delta)) \subset f(U) \subset V$。

(2) (i)$\Rightarrow$(ii)：$V$ を開集合、$a \in f^{-1}(V)$ とする。(1) の (iii) より $a \in U$, $f(U) \subset V$ となる開集合 $U$ があり、$U \subset f^{-1}(V)$。$U$ は開なので $B(a, r) \subset U \subset f^{-1}(V)$ となる $r > 0$ がある。よって $f^{-1}(V)$ は開。

(ii)$\Rightarrow$(i)：$a \in X$ と $f(a)$ を含む開集合 $V$ に対し、$U = f^{-1}(V)$ は $a$ を含む開集合で $f(U) \subset V$。(1) より $f$ は $a$ で連続。

(ii)$\Leftrightarrow$(iii)：$f^{-1}(Y \setminus F) = X \setminus f^{-1}(F)$ による。$\square$

条件 (2)(ii) には距離も ε も現れない。連続性は開集合だけで述べられる。これが次章の出発点になる。

例 1.28

1. $a \in X$ を固定すると $x \mapsto d(x, a)$ は連続である。命題 1.3 より $\lvert d(x, a) - d(y, a) \rvert \leq d(x, y)$ だからである（$\delta = \varepsilon$ ととれる）。
2. 空でない $A \subset X$ に対し $d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a)$ とおく（点と集合の距離）。任意の $a \in A$ で $d(x, A) \leq d(x, a) \leq d(x, y) + d(y, a)$ なので、$a$ について下限をとって $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A)$。$x, y$ を入れ替えて $\lvert d(x, A) - d(y, A) \rvert \leq d(x, y)$ を得る。よって $x \mapsto d(x, A)$ は連続。さらに $d(x, A) = 0$ $\Leftrightarrow$ 任意の $r > 0$ で $d(x, a) < r$ となる $a \in A$ がある $\Leftrightarrow$ $x \in \overline{A}$。
3. 離散距離空間からの写像はすべて連続である（すべての部分集合が開なので (2)(ii) が自明に成り立つ）。
4. 恒等写像 $(C[0,1], d_\infty) \to (C[0,1], d_1)$ は連続（$d_1 \leq d_\infty$ なので $\delta = \varepsilon$）だが、逆向きの恒等写像 $(C[0,1], d_1) \to (C[0,1], d_\infty)$ は連続でない：例 1.24 の $f_n = x^n$ は $d_1$ で $0$ に収束するが $d_\infty$ では収束しないので、(1)(ii) が崩れる。
5. $t \in [0, 1]$ での値をとる写像 $\operatorname{ev}_t(f) = f(t)$ は、$d_\infty$ に関しては $\lvert f(t) - g(t) \rvert \leq d_\infty(f, g)$ より連続である。$d_1$ に関しては連続でない：高さ 1、底辺の長さ $2/n$ の「三角形のとげ」を $t$ に立てた関数 $g_n$（$t$ から距離 $1/n$ 以上離れたところでは $0$）は $d_1(g_n, 0) \leq 1/n \to 0$ だが $g_n(t) = 1$ である。

命題 1.29 連続写像の合成は連続である。

証明. $f\colon X \to Y$, $g\colon Y \to Z$ が連続なら、$Z$ の開集合 $W$ に対し $(g \circ f)^{-1}(W) = f^{-1}(g^{-1}(W))$ は開集合である。$\square$

ε-δ で直接示すより、開集合による特徴づけのほうが一行で済むことに注意しよう。

1.6 一様連続性

定義 1.30（一様連続, リプシッツ連続）$f\colon (X, d) \to (Y, e)$ が一様連続 (uniformly continuous) であるとは

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in X,\ d(x, y) < \delta \Rightarrow e(f(x), f(y)) < \varepsilon$$

が成り立つことをいう。また、ある定数 $L \geq 0$ で常に $e(f(x), f(y)) \leq L\ d(x, y)$ となるとき、$f$ はリプシッツ連続 (Lipschitz continuous) であるという。

連続性では $\delta$ が点 $a$ に依存してよいが、一様連続性では $\delta$ が点によらず共通にとれる。リプシッツ連続なら $\delta = \varepsilon/(L+1)$ として一様連続であり、一様連続なら連続である。

例 1.31

1. $f(x) = x^2$ は $\mathbb{R}$ 上連続だが一様連続でない。どんな $\delta > 0$ に対しても、$x = 1/\delta$、$y = x + \delta/2$ とおけば $\lvert x - y \rvert < \delta$ だが $\lvert f(y) - f(x) \rvert = \delta x + \delta^2/4 > 1$ となる。
2. $f(x) = \sqrt{x}$ は $[0, \infty)$ 上一様連続（$\lvert \sqrt{x} - \sqrt{y} \rvert \leq \sqrt{\lvert x - y \rvert}$ より $\delta = \varepsilon^2$）だが、リプシッツ連続でない（$\sqrt{x}/x \to \infty$ $(x \to +0)$）。
3. 例 1.28 の $x \mapsto d(x, A)$ は $L = 1$ のリプシッツ連続写像である。
4. コンパクト距離空間上の連続写像は一様連続である（第5章）。

連続写像はコーシー列（第7章）をコーシー列に移すとは限らない。$f(x) = 1/x$ は $(0, 1]$ 上連続だが、コーシー列 $1/n$ を発散列 $n$ に移す。一様連続写像はコーシー列をコーシー列に移す。

1.7 同値な距離

$\mathbb{R}^n$ の $d_1, d_2, d_\infty$ は開球の形こそ違うが、例 1.24 のとおり収束する点列は同じである。距離の違いのうち、どこまでが本質的なのだろうか。

定義 1.32（同値な距離）$d, d'$ を集合 $X$ 上の距離とする。

• $d$ と $d'$ が位相的に同値 (topologically equivalent) であるとは、$d$ に関する開集合と $d'$ に関する開集合が一致することをいう。
• $d$ と $d'$ が強同値（リプシッツ同値, strongly equivalent）であるとは、定数 $c, C > 0$ が存在して任意の $x, y$ で $c\ d(x, y) \leq d'(x, y) \leq C\ d(x, y)$ となることをいう。