位相の構成

この章の目標

• 部分空間・積空間・商空間の位相を定義し、それぞれの普遍性（連続写像の判定法）を証明し使える
• 積位相と箱位相の違いを、連続性と収束の反例で説明できる
• 円周・トーラス・メビウスの帯・射影空間・錐・懸垂・貼り合わせ空間を商空間として記述できる
• 商空間がハウスドルフにならない例を挙げられる
• 始位相・終位相の考え方で、以上の構成を統一的に理解する

前提：第2章

既知の空間から新しい空間を作る基本操作は 3 つある。部分集合をとる（球面 $S^2 \subset \mathbb{R}^3$）、積をとる（$\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$）、点を同一視する（線分の両端を貼り合わせて円周を作る）。本章ではそれぞれに自然な位相を定める。キーワードは「その位相に入る写像・出る写像がいつ連続か」であり、これが各位相を特徴づける。

3.1 相対位相

定義 3.1（相対位相, subspace topology）$(X, \mathcal{O})$ を位相空間、$A \subset X$ とする。

$$\mathcal{O}_A = \lbrace U \cap A \mid U \in \mathcal{O} \rbrace$$

は $A$ 上の位相である。これを相対位相といい、$(A, \mathcal{O}_A)$ を $X$ の部分空間 (subspace) という。

$\bigcup (U_\lambda \cap A) = (\bigcup U_\lambda) \cap A$、$(U \cap A) \cap (V \cap A) = (U \cap V) \cap A$ から位相であることがわかる。命題 1.41 により、距離空間の部分距離空間の距離位相は相対位相と一致する。以後、$\mathbb{R}^n$ の部分集合（$S^n$, $D^n$, $\mathbb{Q}$ など）には特に断らない限り相対位相を入れる。

命題 3.2 $A \subset X$ を部分空間とする。

1. $A$ の閉集合は、$X$ の閉集合 $F$ によって $F \cap A$ と書ける集合である。
2. $B \subset A$ の $A$ における閉包は $\overline{B} \cap A$ である（$\overline{B}$ は $X$ での閉包）。
3. $A$ が $X$ の開集合なら、$A$ の開集合は $X$ の開集合である。$A$ が閉集合なら、$A$ の閉集合は $X$ の閉集合である。

証明. 1. $A \setminus (U \cap A) = (X \setminus U) \cap A$ による。2. $\overline{B} \cap A$ は 1 より $A$ の閉集合で $B$ を含む。$A$ の閉集合 $F \cap A$ が $B$ を含めば、$F \supset B$ なので $F \supset \overline{B}$、よって $F \cap A \supset \overline{B} \cap A$。3. 開集合の共通部分 $U \cap A$ は開、閉集合の共通部分 $F \cap A$ は閉である。$\square$

定理 3.3（相対位相の普遍性）$A \subset X$ を部分空間、$i\colon A \to X$ を包含写像とする。

1. $i$ は連続であり、$\mathcal{O}_A$ は $i$ を連続にする $A$ 上の最も弱い位相である。
2. 任意の位相空間 $Z$ と写像 $g\colon Z \to A$ について、$g$ が連続 $\Leftrightarrow$ $i \circ g\colon Z \to X$ が連続。
3. $A$ 上の位相で 2 の性質をもつものは $\mathcal{O}_A$ だけである。

証明. 1. $i^{-1}(U) = U \cap A$ なので、$i$ が連続であることは位相が $\mathcal{O}_A$ を含むことと同値である。

2. ($\Rightarrow$) 合成。($\Leftarrow$) $A$ の開集合 $U \cap A$ について $g^{-1}(U \cap A) = (i \circ g)^{-1}(U)$ は開。

3. $\mathcal{O}'$ が 2 の性質をもつとする。$g = \mathrm{id}\colon (A, \mathcal{O}') \to (A, \mathcal{O}')$ は連続なので $i\colon (A, \mathcal{O}') \to X$ は連続で、1 より $\mathcal{O}_A \subset \mathcal{O}'$。また $g = \mathrm{id}\colon (A, \mathcal{O}_A) \to (A, \mathcal{O}')$ について $i \circ g = i$ は $(A, \mathcal{O}_A)$ 上連続なので、$\mathcal{O}'$ の性質より $g$ は連続で、$\mathcal{O}' \subset \mathcal{O}_A$。$\square$

2 から、連続写像 $f\colon X \to Y$ の制限 $f\vert_A$ は連続であり、像が部分空間 $B \subset Y$ に含まれる連続写像は $B$ への写像としても連続である。

命題 3.4（貼り合わせの補題, pasting lemma）$X = A \cup B$ で $A, B$ がともに閉集合（またはともに開集合）とする。写像 $f\colon X \to Y$ の制限 $f\vert_A$, $f\vert_B$ がともに連続なら $f$ は連続である。

証明. 閉集合の場合。$Y$ の閉集合 $F$ について $f^{-1}(F) = (f\vert_A)^{-1}(F) \cup (f\vert_B)^{-1}(F)$。右辺の各項はそれぞれ $A$, $B$ の閉集合で、$A, B$ は閉なので命題 3.2 の 3 より $X$ の閉集合。よって $f^{-1}(F)$ は閉。開集合の場合も開集合の逆像について同様。$\square$

仮定は落とせない。$A = (-\infty, 0)$（開）, $B = [0, \infty)$（閉）で、$A$ 上 $0$、$B$ 上 $1$ となる $f$ は各部分では連続（定数）だが、$f$ は連続でない。また閉集合の場合、無限個に分けると成り立たない：$\mathbb{R} = \bigcup_{x} \lbrace x \rbrace$ で、どんな関数も 1 点への制限は連続である。

定義 3.5（埋め込み, embedding）連続な単射 $f\colon X \to Y$ で、$f\colon X \to f(X)$（$f(X)$ は部分空間）が同相写像となるものを埋め込みという。

等長写像は埋め込みである（逆写像も等長なので連続）。第2章の $[0, 2\pi) \to S^1$, $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ は連続な単射だが埋め込みではない。

3.2 積位相

$\mathbb{R}^2$ の位相は開長方形 $(a, b) \times (c, d)$ を開基とし（例 2.32）、点列の収束は成分ごとの収束であり、写像 $f = (f_1, f_2)\colon Z \to \mathbb{R}^2$ の連続性は $f_1, f_2$ の連続性と同値である。この性質を一般の、特に無限個の空間の積で実現したい。数列全体 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ や関数全体 $\mathbb{R}^X$ を空間として扱うためである。

定義 3.6（有限積の積位相）位相空間 $X, Y$ に対し、$\lbrace U \times V \mid U \text{ は } X \text{ の開集合}, V \text{ は } Y \text{ の開集合} \rbrace$ を開基とする $X \times Y$ 上の位相を積位相という。

$X \times Y$ 自身がこの族に属し、$(U \times V) \cap (U' \times V') = (U \cap U') \times (V \cap V')$ なので、定理 2.27 の (B1)(B2) がみたされる。有限個の積 $X_1 \times \dots \times X_n$ も同様である。

例 3.7 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ の積位相は $\mathbb{R}^2$ のユークリッド位相である（例 2.32）。同様に $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{m+n}$。$S^1 \times S^1$（トーラス）は $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 = \mathbb{R}^4$ の部分空間とみなせる。$\mathbb{R}_l \times \mathbb{R}_l$（ゾルゲンフライ平面）は $[a, b) \times [c, d)$ を開基とし、第4章で重要な反例になる。

命題 3.8 $(X, d), (Y, e)$ を距離空間とすると、$D((x, y), (x', y')) = \max(d(x, x'), e(y, y'))$ は $X \times Y$ 上の距離で、その距離位相は積位相と一致する。

証明. 距離の公理は成分ごとに確かめられる。$B_D((x, y), r) = B_d(x, r) \times B_e(y, r)$ は積位相の開基の元である。逆に $(x, y) \in U \times V$（$U, V$ 開）なら $B_d(x, r) \subset U$, $B_e(y, r) \subset V$ となる $r$ があり、$B_D((x, y), r) \subset U \times V$。命題 2.33 より 2 つの位相は一致する。$\square$

次に一般の積を考える。$(X_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ を位相空間の族とし、直積集合

の元を $x = (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$（$x_\lambda = x(\lambda)$）と書き、射影 $p_\mu\colon \prod X_\lambda \to X_\mu$, $p_\mu(x) = x_\mu$ を考える。すべての $X_\lambda$ が空でなければ直積も空でないことは選択公理そのものである（数学の言葉 第6章）。すべての $X_\lambda$ が同じ $X$ のときは $\prod X_\lambda = X^\Lambda$（$\Lambda$ から $X$ への写像全体）である。

定義 3.9（積位相と箱位相）

• $\lbrace p_\lambda^{-1}(U) \mid \lambda \in \Lambda, U \text{ は } X_\lambda \text{ の開集合} \rbrace$ を準開基とする位相を積位相 (product topology) といい、積位相を入れた $\prod X_\lambda$ を積空間という。その開基は、各 $U_\lambda$ が $X_\lambda$ の開集合で、有限個を除くすべての $\lambda$ で $U_\lambda = X_\lambda$ であるような $\prod_\lambda U_\lambda$ 全体である。
• 各 $U_\lambda$ が開集合であるすべての $\prod_\lambda U_\lambda$ を開基とする位相を箱位相 (box topology) という。

積位相の開基の元は $p_{\lambda_1}^{-1}(U_1) \cap \dots \cap p_{\lambda_k}^{-1}(U_k)$ という形で、言葉でいえば「有限個の座標だけに条件を課し、残りの座標は自由」な集合である。箱位相ではすべての座標に同時に条件を課してよい。箱の共通部分は箱なので箱位相の開基は (B2) をみたす。$\Lambda$ が有限なら 2 つは一致し、一般には積位相 $\subset$ 箱位相である。

定理 3.10（積位相の普遍性）$P = \prod_\lambda X_\lambda$ に積位相を入れる。

1. 各射影 $p_\lambda$ は連続であり、積位相はすべての $p_\lambda$ を連続にする $P$ 上の最も弱い位相である。
2. 任意の位相空間 $Z$ と写像 $f\colon Z \to P$ について、$f$ が連続 $\Leftrightarrow$ すべての $\lambda$ について $p_\lambda \circ f$ が連続。
3. $P$ 上の位相で 2 の性質をもつものは積位相だけである。

証明. 1. $p_\lambda^{-1}(U)$ は準開基の元なので開。すべての $p_\lambda$ を連続にする位相は準開基を含むので、命題 2.30 より積位相を含む。

2. ($\Rightarrow$) 合成。($\Leftarrow$) 準開基の元について $f^{-1}(p_\lambda^{-1}(U)) = (p_\lambda \circ f)^{-1}(U)$ は開なので、定理 2.35 の 4 より $f$ は連続。

3. $\mathcal{O}'$ が 2 の性質をもつとする。$\mathrm{id}\colon (P, \mathcal{O}') \to (P, \mathcal{O}')$ は連続なので各 $p_\lambda$ は $\mathcal{O}'$ に関して連続で、1 より積位相 $\subset \mathcal{O}'$。逆に $\mathrm{id}\colon (P, \text{積位相}) \to (P, \mathcal{O}')$ について $p_\lambda \circ \mathrm{id} = p_\lambda$ は連続なので、$\mathcal{O}'$ の性質から $\mathrm{id}$ は連続、すなわち $\mathcal{O}' \subset$ 積位相。$\square$

命題 3.11（積空間での収束）積空間 $\prod X_\lambda$ の点列 $x^{(n)}$ について、$x^{(n)} \to x$ $\Leftrightarrow$ すべての $\lambda$ で $x^{(n)}_\lambda \to x_\lambda$。

証明. ($\Rightarrow$) $p_\lambda$ の連続性（命題 2.36）。($\Leftarrow$) $x$ の基本近傍 $W = \bigcap_{i=1}^k p_{\lambda_i}^{-1}(U_i)$ をとる。各 $i$ について $n \geq N_i$ なら $x^{(n)}_{\lambda_i} \in U_i$ となる $N_i$ があり、$N = \max(N_1, \dots, N_k)$ とおけば $n \geq N$ で $x^{(n)} \in W$。$\square$

証明の最後で $\max$ をとるのに、条件を課す座標が有限個であることを使った。$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の積位相の収束は成分ごとの収束、$\mathbb{R}^X$（$X$ から $\mathbb{R}$ への関数全体）の積位相の収束は関数の各点収束である。$\mathbb{R}^X$ の積位相を各点収束の位相ともいう。

例 3.12（箱位相ではうまくいかない）$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ を考える。

1. 対角写像 $\Delta\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, $\Delta(t) = (t, t, t, \dots)$ は、各成分が恒等写像なので積位相に関して連続である。しかし箱位相に関しては連続でない：箱 $W = \prod_{k \in \mathbb{N}} (-1/k, 1/k)$ は箱位相で開だが、$\Delta^{-1}(W) = \lbrace t \mid \text{すべての } k \text{ で } \lvert t \rvert < 1/k \rbrace = \lbrace 0 \rbrace$ は開でない。
2. 点列 $x^{(n)} = (1/n, 1/n, 1/n, \dots)$ は成分ごとに $0$ に収束するので、積位相では $0$ に収束する。しかし箱位相では収束しない：上の $W$ は $0$ の近傍だが、$x^{(n)}$ の第 $n$ 成分は $1/n \notin (-1/n, 1/n)$ なので、どの $x^{(n)}$ も $W$ に属さない。

つまり箱位相は定理 3.10 の 2 をみたさない。「成分がすべて連続なら連続」という最も基本的な性質を保つのは積位相であり、これが積位相を標準とする理由である。コンパクト性（チコノフの定理、第5章）や連結性（第6章）でも、積位相はよく振る舞い箱位相は振る舞わない（問題 3.7）。

命題 3.13 射影 $p_\mu\colon \prod X_\lambda \to X_\mu$ は開写像（開集合の像が開集合となる写像）である。

証明. 開基の元 $\prod U_\lambda$（空でないとする）の像は $U_\mu$ で開。開集合は開基の元の和集合で、像は和集合を保つ。$\square$

射影は閉写像とは限らない。双曲線 $\lbrace (x, y) \mid xy = 1 \rbrace$ は $\mathbb{R}^2$ の閉集合だが、第 1 成分への射影の像は $\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ で閉でない。

3.3 商位相

線分 $[0, 1]$ の両端 $0$ と $1$ を「貼り合わせる」と円周ができる。これを位相空間として定式化したい。貼り合わせた点を $\ast$ と書くと、$\ast$ の近くにあるべきなのは、$0$ に近い点（$0$ の右側）と $1$ に近い点（$1$ の左側）の両方である。一般に、点を同一視した集合には「元の空間で開いている集合から来る集合を開とする」という位相を入れればよい。

定義 3.14（商位相, quotient topology）$X$ を位相空間、$Y$ を集合、$q\colon X \to Y$ を全射とする。

$$\mathcal{O}_q = \lbrace V \subset Y \mid q^{-1}(V) \text{ は } X \text{ の開集合} \rbrace$$

は $Y$ 上の位相であり、これを $q$ による商位相という。特に $X$ 上の同値関係 $\sim$ と標準的な全射 $q\colon X \to X/{\sim}$ についての商位相を入れた $X/{\sim}$ を商空間 (quotient space) という。

逆像は和集合・共通部分を保ち $q^{-1}(\emptyset) = \emptyset$, $q^{-1}(Y) = X$ なので、$\mathcal{O}_q$ は位相である。定義から $q$ は連続であり、$\mathcal{O}_q$ は $q$ を連続にする最も強い位相である。

$A \subset X$ が同値類の和集合であるとき（$A = q^{-1}(q(A))$ のとき）、$A$ は飽和している (saturated) という。$V \mapsto q^{-1}(V)$ は、$X/{\sim}$ の開集合と「$X$ の飽和した開集合」の間の 1 対 1 対応を与える。言葉でいえば、同一視された点の集まりが開であるとは、そこに含まれる元の点全体が開であることである。

定義 3.15（商写像, quotient map）連続な全射 $q\colon X \to Y$ で、$Y$ の位相が $q$ による商位相と一致するもの（すなわち「$V$ が開 $\Leftrightarrow$ $q^{-1}(V)$ が開」）を商写像という。

定理 3.16（商位相の普遍性）$q\colon X \to Y$ を商写像とする。

1. 任意の位相空間 $Z$ と写像 $g\colon Y \to Z$ について、$g$ が連続 $\Leftrightarrow$ $g \circ q$ が連続。
2. 連続写像 $f\colon X \to Z$ が各ファイバー $q^{-1}(y)$ 上で定数（$q(x) = q(x')$ なら $f(x) = f(x')$）ならば、$\bar{f} \circ q = f$ となる連続写像 $\bar{f}\colon Y \to Z$ がただ一つ存在する。
3. $Y$ 上の位相で 1 の性質をもつものは商位相だけである。

証明. 1. ($\Rightarrow$) 合成。($\Leftarrow$) $Z$ の開集合 $W$ について $q^{-1}(g^{-1}(W)) = (g \circ q)^{-1}(W)$ は開なので、商位相の定義から $g^{-1}(W)$ は開。

2. $y \in Y$ に対し $q(x) = y$ となる $x$ をとり $\bar{f}(y) = f(x)$ と定める。仮定からこれは $x$ の選び方によらない。$\bar{f} \circ q = f$ は連続なので 1 より $\bar{f}$ は連続。$q$ は全射なので $\bar{f}$ は一意。

3. $\mathcal{O}'$ が 1 の性質をもつとする。$\mathrm{id}\colon (Y, \mathcal{O}') \to (Y, \mathcal{O}')$ は連続なので $q\colon X \to (Y, \mathcal{O}')$ は連続で、商位相の最大性から $\mathcal{O}' \subset \mathcal{O}_q$。逆に $g = \mathrm{id}\colon (Y, \mathcal{O}') \to (Y, \mathcal{O}_q)$ について $g \circ q = q\colon X \to (Y, \mathcal{O}_q)$ は連続なので、$\mathcal{O}'$ の性質から $g$ は連続、すなわち $\mathcal{O}_q \subset \mathcal{O}'$。$\square$

命題 3.17 連続な全射 $f\colon X \to Y$ が開写像または閉写像ならば、$f$ は商写像である。

証明. $f^{-1}(V)$ が開とする。$f$ が開写像なら、全射性より $V = f(f^{-1}(V))$ は開。$f$ が閉写像なら、$Y \setminus V = f(X \setminus f^{-1}(V))$ は閉なので $V$ は開。$\square$

商写像は開写像とも閉写像とも限らない。$[0, 1]$ を 1 点につぶす商写像 $q\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}/[0, 1]$ では、$q((-1, 1/2))$ の逆像は $(-1, 1]$ で開でないので、$q$ は開写像でない（問題 3.3）。一方、射影 $p_1\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ は開写像なので商写像だが（命題 3.13・命題 3.17）、閉写像でない（命題 3.13 のあとの双曲線の例）。

例：円周

例 3.18（$[0, 1]/\lbrace 0, 1 \rbrace \cong S^1$）$[0, 1]$ 上で $0 \sim 1$ のみを同一視する同値関係を考え、商空間を $[0, 1]/\lbrace 0, 1 \rbrace$ と書く。$e(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ とおくと $e\colon [0, 1] \to S^1$ は連続な全射で、$e(0) = e(1)$ であり $[0, 1)$ 上では単射である。定理 3.16 の 2 より、連続な全単射 $\bar{e}\colon [0, 1]/\lbrace 0, 1 \rbrace \to S^1$ が得られる。これが同相写像であることを示そう。そのためには $\bar{e}$ が開写像であること、すなわち飽和した開集合 $W \subset [0, 1]$ について $e(W)$ が $S^1$ の開集合であることを示せばよい。

円弧の補題. $e$ を $\mathbb{R}$ 上の周期 1 の関数とみる。$\theta \in \mathbb{R}$、$0 < \delta \leq 1/2$ に対し、円弧 $A(\theta, \delta) = \lbrace e(s) \mid \lvert s - \theta \rvert < \delta \rbrace$ は

に等しく、$S^1$ の開集合である。実際、$S^1$ の任意の点は $\lvert s - \theta \rvert \leq 1/2$ となる $s$ によって $e(s)$ と書け、加法定理から $\langle e(s), e(\theta) \rangle = \cos 2\pi(s - \theta)$ である。$\cos$ は偶関数で $[0, \pi]$ 上狭義単調減少なので、$\lvert s - \theta \rvert \leq 1/2$ のもとで $\cos 2\pi(s - \theta) > \cos 2\pi\delta \Leftrightarrow \lvert s - \theta \rvert < \delta$。右辺の集合は連続関数 $u \mapsto \langle u, e(\theta) \rangle$ による開集合の逆像なので開である。

$\bar{e}$ が開写像であること. $W \subset [0, 1]$ を飽和した開集合とし、$u = e(t) \in e(W)$（$t \in W$）とする。$0 < t < 1$ なら、$(t - \delta, t + \delta) \subset W \cap (0, 1)$ となる $\delta \in (0, 1/2]$ があり、$A(t, \delta) = e((t - \delta, t + \delta)) \subset e(W)$。$t \in \lbrace 0, 1 \rbrace$ なら、$W$ は飽和しているので $0, 1 \in W$ であり、$[0, \delta) \cup (1 - \delta, 1] \subset W$ となる $\delta \in (0, 1/2]$ がある。周期性から $A(0, \delta) = e([0, \delta)) \cup e((1 - \delta, 1]) \subset e(W)$。いずれの場合も $u$ は $e(W)$ に含まれる開集合 $A(\cdot, \delta)$ の点なので、$e(W)$ は開である。よって $\bar{e}$ は同相写像である。

この証明の要点は、貼り合わせた点 $\ast$ の近傍が「$0$ の右側の小区間と $1$ の左側の小区間」から来ていて、それが円周上ではちょうど $(1, 0)$ を中心とする両側の円弧になる、ということである。第5章の定理（コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続全単射は同相）を使えば、この議論は一行で済む（例 5.12）。

例：曲面・射影空間・錐

以下、図の代わりに貼り合わせを言葉で描写する。正方形 $I^2 = [0, 1] \times [0, 1]$ の辺を、下辺 $\lbrace y = 0 \rbrace$・上辺 $\lbrace y = 1 \rbrace$・左辺 $\lbrace x = 0 \rbrace$・右辺 $\lbrace x = 1 \rbrace$ と呼ぶ。

例 3.19（トーラス・メビウスの帯・クラインの壺）

• トーラス：$(x, 0) \sim (x, 1)$ と $(0, y) \sim (1, y)$ で生成される同値関係による商空間 $I^2/{\sim}$。まず上辺と下辺を同じ向きに貼ると筒（円柱の側面）ができ、次に筒の両端の円周を同じ向きに貼るとドーナツの表面になる。4 つの頂点はすべて 1 点に同一視される。$S^1 \times S^1$ と同相である（例 5.12）。
• メビウスの帯：$(0, y) \sim (1, 1 - y)$ による商空間。細長い帯を半回転ひねって両端を貼ったもので、左辺の上端 $(0, 1)$ が右辺の下端 $(1, 0)$ に貼られる。境界（上辺と下辺の像）はつながって 1 本の円周になる。
• クラインの壺：$(x, 0) \sim (x, 1)$ と $(0, y) \sim (1, 1 - y)$ による商空間。筒の両端を「逆向きに」貼ったもので、$\mathbb{R}^3$ の中には自己交差なしには実現できない（この事実の証明は本科目の範囲を超える）。

例 3.20（実射影空間, real projective space）$\mathbb{R}^{n+1} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上で「$y = \lambda x$ となる $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ がある」とき $x \sim y$ とし、商空間 $\mathbb{R}P^n = (\mathbb{R}^{n+1} \setminus \lbrace 0 \rbrace)/{\sim}$ を実射影空間という。原点を通る直線全体に位相を入れたものである。これは $S^n$ を対蹠点の同一視 $u \sim -u$ で割った空間 $S^n/{\pm}$ と同相である。

証明. $q_1\colon S^n \to S^n/{\pm}$、$q_2\colon \mathbb{R}^{n+1} \setminus \lbrace 0 \rbrace \to \mathbb{R}P^n$ を商写像、$i\colon S^n \to \mathbb{R}^{n+1} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ を包含、$r(x) = x/\lVert x \rVert$ とする。$q_2 \circ i$ は $u$ と $-u$ で同じ値をとるので、定理 3.16 の 2 より連続な $\varphi\colon S^n/{\pm} \to \mathbb{R}P^n$ で $\varphi \circ q_1 = q_2 \circ i$ となるものがある。$q_1 \circ r$ は $y = \lambda x$ なら $r(y) = \pm r(x)$ なので同値類上で定数であり、連続な $\psi\colon \mathbb{R}P^n \to S^n/{\pm}$ で $\psi \circ q_2 = q_1 \circ r$ となるものがある。$\varphi(\psi(q_2(x))) = q_2(x/\lVert x \rVert) = q_2(x)$、$\psi(\varphi(q_1(u))) = q_1(u/\lVert u \rVert) = q_1(u)$ なので $\varphi, \psi$ は互いに逆写像である。$\square$

同様に $\mathbb{C}^{n+1} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ を $\mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 倍で割ると複素射影空間 $\mathbb{C}P^n$ が得られる。射影空間は多様体 第2章の基本的な例である。

例 3.21（1 点につぶす、錐、懸垂）$A \subset X$ に対し、「$x = y$ または $x, y \in A$」で定まる同値関係による商空間を $X/A$ と書く（$A$ を 1 点につぶした空間）。

• 錐 (cone)：$CX = (X \times [0, 1])/(X \times \lbrace 1 \rbrace)$。$X$ の各点から「頂点」に向かって線分を張ったもので、上面 $X \times \lbrace 1 \rbrace$ が頂点につぶれている。
• 懸垂 (suspension)：$SX = X \times [-1, 1]$ で $X \times \lbrace 1 \rbrace$ と $X \times \lbrace -1 \rbrace$ をそれぞれ別の 1 点につぶしたもの。$X$ の上下に錐を貼り合わせた形である。

$C(S^{n-1}) \cong D^n$、$S(S^n) \cong S^{n+1}$、$D^n/S^{n-1} \cong S^n$ が成り立つ（最初のものは問題 5.6 で示す）。

例 3.22（貼り合わせ空間, adjunction space）$X, Y$ を位相空間、$A \subset X$ を閉集合、$f\colon A \to Y$ を連続写像とする。直和 $X \sqcup Y$（3.4 節）上で $a \sim f(a)$（$a \in A$）で生成される同値関係による商空間を $X \cup_f Y$ と書き、$X$ を $f$ で $Y$ に貼り合わせた空間という。

• $X, Y$ から 1 点ずつ選んで貼り合わせたものをウェッジ和 $X \vee Y$ という。$S^1 \vee S^1$ は 2 つの円周が 1 点で接した「8 の字」である。
• 円板 $D^n$ を境界の写像 $f\colon S^{n-1} \to Y$ で $Y$ に貼り合わせることを「$n$ 胞体を貼る」という。これを繰り返して作られる CW 複体は位相幾何学の基本的な対象である。

商空間がハウスドルフにならない例

距離空間では異なる 2 点は交わらない開球で分離できる。この性質（ハウスドルフ性、第4章で正式に扱う）は商をとると簡単に壊れる。

例 3.23（$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ は密着空間）$\mathbb{R}$ 上で $x \sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}$ とし、商空間 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ を考える。$V$ を空でない開集合とし $W = q^{-1}(V)$ とおくと、$W$ は空でない開集合で、飽和しているので任意の $r \in \mathbb{Q}$ について $W + r = W$ である。$W$ はある区間 $(a, b)$ を含むので、$W \supset \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} (a + r, b + r) = \mathbb{R}$（任意の $x$ について $x - b < r < x - a$ となる有理数 $r$ をとれば $x \in (a + r, b + r)$）。よって $V$ は全体であり、$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ は（連続体濃度の点をもつ）密着空間である。

例 3.24（原点が 2 つある直線, line with two origins）$X = \mathbb{R} \times \lbrace 0, 1 \rbrace$（$\mathbb{R}$ の 2 つのコピーの直和）上で、$t \neq 0$ のとき $(t, 0) \sim (t, 1)$ とする。商空間 $Y$ は「2 本の直線を原点以外で貼り合わせた」もので、原点だけが 2 つ $0_0 = q(0, 0)$, $0_1 = q(0, 1)$ に分かれている。$0_0$ の任意の近傍は $q((-\varepsilon, \varepsilon) \times \lbrace 0 \rbrace)$ を含み、$0_1$ の任意の近傍は $q((-\varepsilon', \varepsilon') \times \lbrace 1 \rbrace)$ を含むので、両者は $q(t, 0) = q(t, 1)$（$0 < \lvert t \rvert < \min(\varepsilon, \varepsilon')$）で交わる。よって $0_0$ と $0_1$ は交わらない近傍で分離できず、点列 $q(1/n, 0)$ は $0_0$ にも $0_1$ にも収束する。それでいて $Y$ の各点は $\mathbb{R}$ と同相な開近傍をもつ（$\sigma(t, i) = (t, 1 - i)$ とおくと、開集合 $U \subset X$ について $q^{-1}(q(U)) = U \cup \sigma(U \setminus \lbrace (0, 0), (0, 1) \rbrace)$ は開なので $q$ は開写像であり、したがって $q$ の各コピー $\mathbb{R} \times \lbrace i \rbrace$ への制限は開集合への埋め込みになる）。「局所的には $\mathbb{R}$ と同じ」でもハウスドルフとは限らないので、多様体の定義ではハウスドルフ性を別に要請する（多様体 第2章）。

3.4 始位相と終位相

部分空間と積空間は「そこから出る写像を連続にする最も弱い位相」、商空間は「そこへ入る写像を連続にする最も強い位相」であった。これを一般化する。

定義 3.25（始位相, initial topology）集合 $X$、位相空間の族 $(Y_\lambda)$、写像 $f_\lambda\colon X \to Y_\lambda$ が与えられたとき、$\lbrace f_\lambda^{-1}(V) \mid \lambda, V \text{ は } Y_\lambda \text{ の開集合} \rbrace$ を準開基とする位相を $(f_\lambda)$ による始位相という。すべての $f_\lambda$ を連続にする最も弱い位相である。

定理 3.26（始位相の普遍性）$X$ に $(f_\lambda)$ による始位相を入れる。任意の位相空間 $Z$ と写像 $g\colon Z \to X$ について、$g$ が連続 $\Leftrightarrow$ すべての $\lambda$ で $f_\lambda \circ g$ が連続。

証明. ($\Rightarrow$) 合成。($\Leftarrow$) 準開基の元の逆像 $g^{-1}(f_\lambda^{-1}(V)) = (f_\lambda \circ g)^{-1}(V)$ が開なので、定理 2.35 の 4 より $g$ は連続。$\square$

例 3.27 (1) 相対位相は包含写像による始位相、積位相は射影の族による始位相である。(2) ノルム空間 $V$ 上の連続線形汎関数全体による始位相を弱位相という（関数解析 第4章）。(3) 関数の集合 $\mathcal{F} \subset \mathbb{R}^X$ 上の、各点での値をとる写像 $\operatorname{ev}_x(f) = f(x)$ の族による始位相は各点収束の位相（$\mathbb{R}^X$ の積位相の相対位相）である。

定義 3.28（終位相, final topology）集合 $X$、位相空間の族 $(Y_\lambda)$、写像 $g_\lambda\colon Y_\lambda \to X$ が与えられたとき、

$$\lbrace V \subset X \mid \text{すべての } \lambda \text{ で } g_\lambda^{-1}(V) \text{ は } Y_\lambda \text{ の開集合} \rbrace$$

は $X$ 上の位相であり、$(g_\lambda)$ による終位相という。すべての $g_\lambda$ を連続にする最も強い位相である。

定理 3.29（終位相の普遍性）$X$ に $(g_\lambda)$ による終位相を入れる。任意の位相空間 $Z$ と写像 $h\colon X \to Z$ について、$h$ が連続 $\Leftrightarrow$ すべての $\lambda$ で $h \circ g_\lambda$ が連続。

証明. 位相であることは定義 3.14 と同じく逆像が和・共通部分を保つことによる。($\Rightarrow$) 合成。($\Leftarrow$) $Z$ の開集合 $W$ について $g_\lambda^{-1}(h^{-1}(W)) = (h \circ g_\lambda)^{-1}(W)$ がすべての $\lambda$ で開なので、終位相の定義より $h^{-1}(W)$ は開。$\square$

例 3.30 (1) 商位相は 1 つの全射による終位相である。(2) 位相空間の族 $(X_\lambda)$ の直和 $\bigsqcup_\lambda X_\lambda$（互いに交わらないように並べた和集合）に、包含写像 $\iota_\lambda\colon X_\lambda \to \bigsqcup X_\lambda$ による終位相を入れたものを直和空間という。$V$ が開 $\Leftrightarrow$ 各 $V \cap X_\lambda$ が $X_\lambda$ で開、であり、直和空間からの写像が連続 $\Leftrightarrow$ 各 $X_\lambda$ への制限が連続である。

積空間と直和空間の普遍性は、圏論における積と余積の典型例である（圏論 第2章）。

まとめ

• 相対位相は包含写像を連続にする最も弱い位相で、「$g\colon Z \to A$ が連続 $\Leftrightarrow$ $i \circ g$ が連続」という普遍性で特徴づけられる。
• 積位相は「有限個の座標だけに条件を課す」開集合からなり、「$f$ が連続 $\Leftrightarrow$ 各成分が連続」という普遍性をもつ。収束は成分ごとの（各点）収束である。
• 箱位相は対角写像が連続にならず、成分ごとに収束する点列も収束しない。積位相が標準である理由はここにある。
• 商位相は $q$ を連続にする最も強い位相で、「$g$ が連続 $\Leftrightarrow$ $g \circ q$ が連続」という普遍性をもつ。同値類上で定数な連続写像は商空間上の連続写像を誘導する。
• 円周・トーラス・メビウスの帯・射影空間・錐・懸垂・貼り合わせ空間は商空間として作られる。$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ や原点が 2 つある直線のように、商空間はハウスドルフにならないことがある。
• これらはすべて始位相（出る写像）・終位相（入る写像）の特別な場合である。

演習問題