米田の補題と極限

この章の目標

• 積・直和・自由群・テンソル積・剰余群を、「ある関手を表現する対象」という一つの型で理解する
• 米田の補題を証明し、「対象はそこへ入る射の全体で決まる」という原理を使えるようになる
• 極限・余極限を定義し、$\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, $R\text{-}\mathbf{Mod}$, $\mathbf{Top}$ での具体形を計算できる
• 積と等化子からすべての極限が作れることを証明できる
• 有向余極限と射影極限を扱い、$p$ 進整数環 $\mathbb{Z}_p$ を射影極限として理解する

前提：第1章。例で 04-algebra 第7章（加群）、02-linear-algebra 第9章（テンソル積）、03-topology 第3章（積位相・商位相）を使う。

2.1 普遍性

数学の基本的な構成の多くは、中身を具体的に書くよりも「そこから（またはそこへ）の射がどう決まるか」で特徴づけるほうが扱いやすい。以下の表で $B$ は任意の対象である。

$\operatorname{Bil}_R(M \times N, B)$ は $R$ 双線形写像の全体である。どの行でも右辺は $B$ についての関手であり（双線形写像に線形写像 $B \to B'$ を合成すれば双線形写像になる）、左辺は Hom 関手で、全単射は $B$ について自然である。剰余群の行は準同型定理（04-algebra 第2章）そのもの、テンソル積の行はテンソル積の定義そのものである。

このように「ある関手が Hom 関手と自然同型になる」という形の特徴づけを普遍性 (universal property) という。本章の前半では、普遍性が対象を同型を除いて一意に決めること（米田の補題）を示す。後半では積や商を一般化した極限・余極限を扱う。

2.2 表現可能関手

定義 2.1（表現可能関手, representable functor）$\mathcal{C}$ を局所的に小さい圏とする。関手 $F\colon \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ は、対象 $A$ と自然同型 $\operatorname{Hom}(A, -) \cong F$ が存在するとき表現可能であるといい、$A$ を $F$ の表現対象という。反変関手 $F\colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ は、$\operatorname{Hom}(-, A) \cong F$ のとき表現可能という。

例 2.2（表現可能関手の例）

1. 忘却関手 $U\colon \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ は $\mathbb{Z}$ で表現される。$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}, G) \to U(G)$, $f \mapsto f(1)$ は全単射であり（準同型 $\mathbb{Z} \to G$ は $1$ の行き先で決まり、行き先は任意にとれる）、準同型 $g\colon G \to H$ について $g(f(1)) = (g \circ f)(1)$ だから自然である。同様に $U\colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$ は 1 点空間で、$U\colon \mathbf{Ring} \to \mathbf{Set}$ は多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ で（$f \mapsto f(x)$）表現される。
2. 単元群をとる関手 $\mathbf{CRing} \to \mathbf{Set}$, $A \mapsto A^{\times}$ は $\mathbb{Z}[x, x^{-1}]$ で表現される。$A \mapsto \operatorname{GL}_n(A)$ は、$n^2$ 変数の多項式環 $\mathbb{Z}[x_{ij}]$ に $1/\det(x_{ij})$ を添加した環で表現される。代数幾何学では、このように表現される群値関手を群スキームとして扱う。
3. 冪集合をとる反変関手 $\mathcal{P}\colon \mathbf{Set}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$（$f\colon X \to Y$ に逆像 $f^{-1}\colon \mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)$ を対応）は 2 点集合 $\lbrace 0, 1 \rbrace$ で表現される。部分集合 $A \subset X$ に定義関数 $\mathbf{1}_A$ を対応させればよく、$\mathbf{1}_{f^{-1}(B)} = \mathbf{1}_B \circ f$ が自然性である。同様に、開集合全体をとる反変関手 $\mathcal{O}\colon \mathbf{Top}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ は、開集合が $\emptyset, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 0, 1 \rbrace$ である 2 点空間 $\mathbb{S}$（シェルピンスキー空間, Sierpiński space）で表現される。開集合 $V \subset X$ と連続写像 $\chi\colon X \to \mathbb{S}$ が $V = \chi^{-1}(1)$ で対応する。
4. $\mathbf{hTop}_{\ast} \to \mathbf{Set}$, $(X, x_0) \mapsto \pi_1(X, x_0)$ は $(S^1, 1)$ で表現される。基点付きループは $S^1$ からの基点付き写像と同じものだからである。
5. （表現可能でない例）像をとる共変冪集合関手 $\mathcal{P}_{\ast}\colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$（$f$ に $A \mapsto f(A)$ を対応）は表現可能でない。$\operatorname{Hom}(A, -) \cong \mathcal{P}_{\ast}$ とすると、$\mathcal{P}_{\ast}(\emptyset) = \lbrace \emptyset \rbrace$ は空でないので $\operatorname{Hom}(A, \emptyset) \neq \emptyset$、よって $A = \emptyset$ である。すると $\operatorname{Hom}(A, X)$ はつねに 1 元集合だが、$\mathcal{P}_{\ast}(\lbrace 1 \rbrace)$ は 2 元集合なので矛盾する。

2.3 米田の補題

表現可能関手 $\operatorname{Hom}(A, -)$ は $\mathrm{id}_A$ という一つの元で「生成」されている。実際、任意の $f\colon A \to X$ は $f = \operatorname{Hom}(A, f)(\mathrm{id}_A)$ と書ける。したがって $\operatorname{Hom}(A, -)$ からの自然変換は $\mathrm{id}_A$ の行き先だけで決まるはずである。これは、1 元 $1$ で生成される自由加群 $R$ からの準同型が $1$ の行き先で決まることの類似である。

関手 $F, G$ の間の自然変換全体を $\operatorname{Nat}(F, G)$ と書く。

定理 2.3（米田の補題, Yoneda lemma）$\mathcal{C}$ を局所的に小さい圏、$A \in \mathcal{C}$、$F\colon \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ を関手とする。写像

$$\Phi\colon \operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}(A, -), F) \to F(A), \qquad \Phi(\alpha) = \alpha_A(\mathrm{id}_A)$$

は全単射であり、逆写像は $x \in F(A)$ に自然変換 $\alpha^x$, $\alpha^x_X(f) = F(f)(x)$（$f\colon A \to X$）を対応させる。さらに $\Phi$ は $A$ と $F$ の両方について自然である。

証明. (i) $\alpha^x$ が自然変換であること。$g\colon X \to Y$ と $f\colon A \to X$ に対し

であり、右辺は $\alpha^x_Y(\operatorname{Hom}(A, g)(f))$ に等しい。

(ii) $\Phi(\alpha^x) = F(\mathrm{id}_A)(x) = x$ である。

(iii) 自然変換 $\alpha$ に対し $x = \Phi(\alpha)$ とおく。$f\colon A \to X$ について $\alpha$ の自然性（$f$ に関する可換図式）を $\mathrm{id}_A$ で追うと

となり、$\alpha = \alpha^{\Phi(\alpha)}$ である。(ii), (iii) より $\Phi$ は全単射である。

(iv) 自然性。$\beta\colon F \Rightarrow F'$ に対し $\Phi(\beta \circ \alpha) = \beta_A(\alpha_A(\mathrm{id}_A)) = \beta_A(\Phi(\alpha))$ である。また $h\colon A \to A'$ は自然変換 $h^{\ast} = - \circ h\colon \operatorname{Hom}(A', -) \Rightarrow \operatorname{Hom}(A, -)$ を誘導し、(iii) の計算により

となる。すなわち $\alpha \mapsto \alpha \circ h^{\ast}$ は $\Phi$ を通して $F(h)\colon F(A) \to F(A')$ に対応する。$\square$

特に $\operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}(A, -), F)$ は（先験的にはクラスかもしれないが）集合である。定理を $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ に適用すると反変版を得る。

系 2.4 関手 $F\colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ に対し、$\alpha \mapsto \alpha_A(\mathrm{id}_A)$ は全単射 $\operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}(-, A), F) \to F(A)$ であり、逆写像は $x$ に $\alpha^x_X(f) = F(f)(x)$（$f\colon X \to A$）を対応させる。

例 2.5（自然な演算の決定）米田の補題は「すべての準同型と両立する演算」をすべて求める道具になる。

1. $U\colon \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ は $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}, -)$ と同型だから $\operatorname{Nat}(U, U) \cong U(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$ である。$n \in \mathbb{Z}$ に対応する自然変換は、$g \in G$ を $1 \mapsto g$ で定まる準同型 $f\colon \mathbb{Z} \to G$ と同一視して $f(n) = g^n$ を返すもの、すなわち $g \mapsto g^n$ である。群の元から元を作る自然な操作はべき乗に限る。
2. 2 元 $x, y$ 上の自由群を $F(x, y)$ とすると $U \times U \cong \operatorname{Hom}(F(x, y), -)$ なので、自然変換 $U \times U \Rightarrow U$ は語 $w(x, y) \in F(x, y)$ と 1 対 1 に対応する（$(g, h) \mapsto w(g, h)$）。積 $xy$ や交換子 $x^{-1}y^{-1}xy$ がその例である。
3. （ケイリーの定理）群 $G$ を 1 対象の圏 $\mathbf{B}G$ とみて、系 2.4 を $F = \operatorname{Hom}(-, \star)$ に適用する。$F$ は集合 $G$ に右からの積で $G$ が作用したもの（$F(g)(x) = xg$）であり、自然変換 $F \Rightarrow F$ とは右作用と可換な写像 $G \to G$ である。系 2.4 によりそれは $\operatorname{Hom}(\star, \star) = G$ と 1 対 1 に対応し、$h \in G$ に対応するのは左からの積 $x \mapsto hx$ である。こうして $h \mapsto (x \mapsto hx)$ は単射準同型 $G \to \operatorname{Sym}(G)$ を与える。

2.4 米田埋め込みと普遍性による一意性

系 2.6（米田埋め込み, Yoneda embedding）$\mathcal{C}$ を小さい圏とする。$y(A) = \operatorname{Hom}(-, A)$, $y(f) = f \circ -$ で定まる関手 $y\colon \mathcal{C} \to \operatorname{Fun}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set})$ は忠実充満である。特に、$A \cong B$ であることと、自然同型 $\operatorname{Hom}(-, A) \cong \operatorname{Hom}(-, B)$ が存在することは同値である。

証明. 系 2.4 を $F = \operatorname{Hom}(-, B)$ に適用すると全単射 $\operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}(-, A), \operatorname{Hom}(-, B)) \to \operatorname{Hom}(A, B)$ を得る。その逆写像は $f\colon A \to B$ に $\alpha^f_X(g) = \operatorname{Hom}(g, B)(f) = f \circ g$、すなわち $y(f)$ を対応させる。よって $y$ は Hom 集合の上で全単射である。後半は、関手が同型を保つこと（命題 1.18）と、忠実充満な関手が同型を反映すること（補題 1.34）から従う。$\square$

$\mathcal{C}$ が小さいという仮定は $\operatorname{Fun}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set})$ を圏にするためだけに使い、後半の主張は局所的に小さい圏で成り立つ。米田埋め込みは、群 $G$ を置換群 $\operatorname{Sym}(G)$ に埋め込むケイリーの定理の圏版である。「対象 $A$ は、他の対象から $A$ への射の集まり $\operatorname{Hom}(-, A)$ で決まる」という原理は、代数幾何学でスキームをその「点の関手」と同一視する考え方（14-algebraic-geometry 第4章）の基礎である。

定義 2.7（普遍元, universal element）関手 $F\colon \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ の普遍元とは、対象 $A$ と $a \in F(A)$ の組で、任意の $X$ について $\operatorname{Hom}(A, X) \to F(X)$, $f \mapsto F(f)(a)$ が全単射になるものである。

米田の補題により、自然同型 $\operatorname{Hom}(A, -) \cong F$ を与えることと普遍元 $(A, a)$ を与えることは同じである（$a$ は $\mathrm{id}_A$ の像）。2.1 節の表では、テンソル積の普遍元は双線形写像 $\otimes\colon M \times N \to M \otimes_R N$、自由群の普遍元は生成元の包含 $\eta\colon S \to U(F(S))$、剰余群の普遍元は射影 $\pi\colon G \to G/N$ である。

系 2.8（普遍性による一意性）$(A, a)$, $(B, b)$ がともに $F$ の普遍元ならば、$F(\varphi)(a) = b$ を満たす射 $\varphi\colon A \to B$ がただ一つ存在し、$\varphi$ は同型である。

証明. 普遍元に対応する自然同型を $\alpha\colon \operatorname{Hom}(A, -) \Rightarrow F$, $\beta\colon \operatorname{Hom}(B, -) \Rightarrow F$ とすると、$\gamma = \alpha^{-1} \circ \beta\colon \operatorname{Hom}(B, -) \Rightarrow \operatorname{Hom}(A, -)$ は自然同型である。定理 2.3 を関手 $\operatorname{Hom}(A, -)$ に適用すると、$\gamma$ は $\varphi = \gamma_B(\mathrm{id}_B) = \alpha_B^{-1}(b) \in \operatorname{Hom}(A, B)$ を用いて $\gamma = - \circ \varphi$ と書ける。$\alpha_B(\varphi) = F(\varphi)(a)$ なので、$\varphi$ は $F(\varphi)(a) = b$ を満たす唯一の射である（$\alpha_B$ は全単射）。$A \mapsto \operatorname{Hom}(A, -)$ は（系 2.6 の双対版により）忠実充満だから同型を反映し、$- \circ \varphi$ が同型なので $\varphi$ も同型である。$\square$

具体的には、$F(\psi)(b) = a$ となる $\psi\colon B \to A$ をとると $F(\psi \circ \varphi)(a) = a = F(\mathrm{id}_A)(a)$ なので、普遍性の一意性の部分から $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}_A$ となる（$\varphi \circ \psi = \mathrm{id}_B$ も同様）。

例 2.9（テンソル積の結合律）$R$ を可換環とする。$R$ 加群 $P$ に対し、双線形写像 $(M \otimes N) \times L \to P$ を与えることは、各 $l \in L$ に線形写像 $M \otimes N \to P$、すなわち双線形写像 $M \times N \to P$ を $l$ について線形に与えることであり、それは 3 重線形写像 $M \times N \times L \to P$ を与えることと同じである。よって

が $P$ について自然に成り立つ。$M \otimes (N \otimes L)$ も同じ関手を表現し、普遍元はそれぞれ $(m, n, l) \mapsto (m \otimes n) \otimes l$ と $(m, n, l) \mapsto m \otimes (n \otimes l)$ である。系 2.8 により、$(m \otimes n) \otimes l \mapsto m \otimes (n \otimes l)$ を満たす同型がただ一つ存在する。元による表示の well-definedness を一つ一つ確かめる必要はない。同じ論法で、積をもつ任意の圏で $(X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z)$ が成り立つ。

2.5 極限と余極限

積・等化子・引き戻しはすべて「図式の上の普遍的な錐」として統一される。

定義 2.10（図式・錐・極限）$I$ を小さい圏とし、関手 $D\colon I \to \mathcal{C}$ を $I$ 型の図式 (diagram) という。対象 $W$ と射の族 $(\lambda_i\colon W \to D(i))_{i \in I}$ で、任意の $u\colon i \to j$ について $D(u) \circ \lambda_i = \lambda_j$ を満たすものを $D$ 上の錐 (cone) という。錐 $(L, (\pi_i))$ であって、任意の錐 $(W, (\lambda_i))$ に対しすべての $i$ で $\pi_i \circ h = \lambda_i$ となる $h\colon W \to L$ がただ一つ存在するものを $D$ の極限 (limit) といい、$\lim D$ または $\varprojlim D$ と書く。

双対的に、$\lambda_j \circ D(u) = \lambda_i$ を満たす族 $(\lambda_i\colon D(i) \to W)$ を余錐 (cocone) といい、普遍的な余錐を余極限 (colimit) といって $\operatorname{colim} D$ または $\varinjlim D$ と書く。

$W$ 上の錐の全体 $\operatorname{Cone}(W, D)$ は $W$ について反変関手をなし、極限とはその表現対象にほかならない（普遍元は $(\pi_i)$）。よって極限は、存在すれば同型を除いて一意である（系 2.8）。添字圏 $I$ の形によって、次の特別な場合がある。

たとえば $f, g\colon X \to Y$ の等化子は、$f \circ e = g \circ e$ を満たす $e\colon E \to X$ で、$f \circ k = g \circ k$ を満たす任意の $k\colon W \to X$ が $k = e \circ h$ とただ一通りに分解するものである。$f\colon X \to Z$, $g\colon Y \to Z$ の引き戻しは、次の可換図式を普遍的にする対象 $X \times_Z Y$ である。

例 2.11（具体形）$\sim$ は $f(x) \sim g(x)$ で生成される同値関係、$N$ は $\lbrace f(x) g(x)^{-1} \rbrace$ で生成される正規部分群とする。

引き戻しは $\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, $R\text{-}\mathbf{Mod}$, $\mathbf{Top}$ のいずれでも $X \times_Z Y = \lbrace (x, y) \in X \times Y \mid f(x) = g(y) \rbrace$（部分群・部分加群・部分空間）である。これら四つの圏では、極限はどれも「集合としての極限に構造を入れたもの」であり、位相は射影を連続にする最弱の位相である（一般の圏では極限が下部集合で計算されるとは限らない）。一方、余極限は圏ごとに大きく異なる。いくつか例を挙げる。

• 写像 $f\colon X \to Y$ の点 $y$ 上のファイバー $f^{-1}(y)$ は、$f$ と包含 $\lbrace y \rbrace \to Y$ の引き戻しである。群準同型 $f\colon G \to H$ の核は、$f$ と $\lbrace 1 \rbrace \to H$ の引き戻しである。二つの部分集合の共通部分 $A \cap B$ は、包含写像どうしの引き戻しである。
• $\mathbf{Top}$ で包含 $S^{n-1} \to D^n$ 二つの押し出しは、二つの円板を境界で貼り合わせた $S^n$ である。CW 複体の胞体の接着はすべて押し出しである。
• $\mathbf{Grp}$ での押し出し $G \leftarrow K \to H$ は融合積 $G \ast_K H$ である。ファン・カンペンの定理（09-algebraic-topology 第2章）は、$X = U \cup V$（$U, V$ は開集合、$U$, $V$, $U \cap V$ は弧状連結、基点は $U \cap V$ 内）のとき、$\mathbf{Top}_{\ast}$ での押し出しの図式が $\pi_1$ によって $\mathbf{Grp}$ での押し出しの図式に写ることを主張している。

2.6 積と等化子による極限の構成

極限は一般の図式について定義されるが、存在を確かめるには積と等化子だけで十分である。

定理 2.12 圏 $\mathcal{C}$ が任意の小さい族の積と、任意の平行な射の組の等化子をもつならば、$\mathcal{C}$ は任意の小さい圏 $I$ 上の極限をもつ。このような圏を完備 (complete) という。双対的に、余積と余等化子をもつ圏は任意の小さい余極限をもつ（余完備, cocomplete）。

証明. 図式 $D\colon I \to \mathcal{C}$ に対し、$P = \prod_{i \in \operatorname{Ob} I} D(i)$（射影 $p_i$）と、$I$ の射全体で添字づけた積 $Q = \prod_{u\colon i \to j} D(j)$（射影 $q_u$）をとる。射 $s, t\colon P \to Q$ を、各 $u\colon i \to j$ について

となるように（$Q$ の普遍性で）定める。$s, t$ の等化子を $e\colon L \to P$ とし、$\pi_i = p_i \circ e$ とおく。

(a) $(L, (\pi_i))$ は錐である。$u\colon i \to j$ に対し $D(u) \circ \pi_i = q_u \circ s \circ e = q_u \circ t \circ e = p_j \circ e = \pi_j$。

(b) 普遍性。錐 $(W, (\lambda_i))$ に対し、$p_i \circ \lambda = \lambda_i$ となる $\lambda\colon W \to P$ をとる。各 $u\colon i \to j$ で $q_u \circ s \circ \lambda = D(u) \circ \lambda_i = \lambda_j = q_u \circ t \circ \lambda$ なので、$Q$ の普遍性の一意性の部分から $s \circ \lambda = t \circ \lambda$。よって $e \circ h = \lambda$ となる $h\colon W \to L$ がただ一つ存在し、$\pi_i \circ h = p_i \circ \lambda = \lambda_i$ である。逆に $h'$ がすべての $i$ で $\pi_i \circ h' = \lambda_i$ を満たせば、$p_i \circ (e \circ h') = \lambda_i$ より $e \circ h' = \lambda$（$P$ の普遍性）、よって等化子の一意性から $h' = h$。$\square$

$\mathbf{Set}$ でこの構成をたどると、極限と（双対的に）余極限の具体的な公式が得られる：

ここで $\approx$ は $x \approx D(u)(x)$（$x \in D(i)$, $u\colon i \to j$）で生成される同値関係である。

系 2.13 $\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, $\mathbf{Ab}$, $R\text{-}\mathbf{Mod}$, $\mathbf{Top}$ は完備かつ余完備である。

証明. 例 2.11 の表により、いずれの圏も積・等化子・余積・余等化子をもつ。定理 2.12 とその双対を適用すればよい。$\square$

一方、体の圏は完備でない。$\mathbb{F}_2$ と $\mathbb{F}_3$ の積 $P$ があれば体の準同型 $P \to \mathbb{F}_2$, $P \to \mathbb{F}_3$ が存在するが、体の準同型は標数を保つので不可能である。有限集合の圏も一般には無限個の積をもたない（2 点集合の可算個の積 $P$ があれば、1 点集合からの射を考えて $P$ の元の集合が $\lbrace 0, 1 brace^{\mathbb{N}}$ と全単射になり、有限性に反する）。

2.7 有向余極限と射影極限

「近似の列の極限」として現れる余極限・極限は、添字が有向集合のものである。

定義 2.14 空でない前順序集合 $(\Lambda, \leq)$ の任意の 2 元が上界をもつとき、$\Lambda$ を有向集合 (directed set) という。$\Lambda$（を圏とみたもの）からの図式、すなわち $\lambda \leq \mu$ ごとの射 $f_{\mu\lambda}\colon X_\lambda \to X_\mu$ で $f_{\lambda\lambda} = \mathrm{id}$, $f_{\nu\mu} \circ f_{\mu\lambda} = f_{\nu\lambda}$ を満たすものを有向系といい、その余極限を有向余極限（帰納極限, direct limit）という。$\Lambda^{\mathrm{op}}$ からの図式（射の向きが逆）の極限を射影極限 (inverse limit) という。

より一般に、空でなく、任意の $i, j$ に対し射 $i \to k$, $j \to k$ をもつ $k$ があり、任意の平行な射 $u, v\colon i \to j$ に対し $w \circ u = w \circ v$ となる $w\colon j \to k$ がある圏をフィルター付き圏 (filtered category) といい、その上の余極限をフィルター付き余極限という。有向集合はその典型例である。

命題 2.15 有向集合 $\Lambda$ 上の $\mathbf{Set}$ の有向系 $(X_\lambda, f_{\mu\lambda})$ について、$\bigsqcup_\lambda X_\lambda$ 上の関係

$$(x \in X_\lambda) \sim (y \in X_\mu) \iff \text{ある } \nu \geq \lambda, \mu \text{ で } f_{\nu\lambda}(x) = f_{\nu\mu}(y)$$

は同値関係であり、$\varinjlim X_\lambda = \bigsqcup_\lambda X_\lambda / {\sim}$ である。$R$ 加群の有向系では、この集合に $[x] + [y] = [f_{\nu\lambda}(x) + f_{\nu\mu}(y)]$（$\nu \geq \lambda, \mu$）、$r[x] = [rx]$ で加群の構造が入り、それが $R\text{-}\mathbf{Mod}$ での有向余極限である。

証明. 反射律・対称律は明らか。$x \sim y$ が $\nu$ で、$y \sim z$（$z \in X_\kappa$）が $\nu'$ で成り立つとき、$\nu'' \geq \nu, \nu'$ をとれば $f_{\nu''\lambda}(x) = f_{\nu''\mu}(y) = f_{\nu''\kappa}(z)$ となり推移律が従う。$\sim$ は $x \sim f_{\mu\lambda}(x)$ を含み、$x \sim y$ なら $x \approx f_{\nu\lambda}(x) = f_{\nu\mu}(y) \approx y$ なので、$\sim$ は定理 2.12 の後の公式の $\approx$ と一致する。加群の場合、演算が代表元と $\nu$ の選び方によらないことは、同じ論法でさらに大きい添字に移ればわかる。$R$ 線形写像の余錐 $g_\lambda\colon X_\lambda \to W$ が誘導する写像 $[x] \mapsto g_\lambda(x)$ は線形であり、これが普遍性を与える。$\square$

要するに、有向余極限の元はどれもある段階 $X_\lambda$ から来ており、二つの元が等しいのは、ある先の段階で等しくなるときである。この「集合の上で計算できる」性質は有向余極限に特有で、加群の直和の下部集合は非交和ではない。

例 2.16（有向余極限）(1) $\mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \cdots$ の余極限は $\mathbb{Z}[1/2]$ である（第 $n$ 段の $x$ を $x/2^n$ に対応させる）。(2) $\mathbb{Z}/p \xrightarrow{p} \mathbb{Z}/p^2 \xrightarrow{p} \mathbb{Z}/p^3 \xrightarrow{p} \cdots$ の余極限はプリューファー群 $\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$ である（$a \bmod p^n \mapsto a/p^n$）。(3) 位相空間 $X$ の点 $x$ の開近傍全体を逆包含で順序づけると有向集合になり、$\varinjlim_{U \ni x} C(U)$（$C(U)$ は $U$ 上の連続関数環）は $x$ における関数の芽 (germ) の環である。これが層の茎の原型である（14-algebraic-geometry 第3章）。(4) 任意の加群は、その有限生成部分加群全体の有向余極限（和集合）である。

例 2.17（$p$ 進整数）$p$ を素数とする。自然な射影の列 $\cdots \to \mathbb{Z}/p^3 \to \mathbb{Z}/p^2 \to \mathbb{Z}/p$ の射影極限を $\mathbb{Z}_p = \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n$ と書き、$p$ 進整数環という。$\mathbf{Ring}$ の極限は集合として計算されるので

であり、演算は成分ごとである。$a \mapsto (a \bmod p^n)_n$ は単射 $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p$ を与える（$0$ でない整数はすべての $p^n$ で割り切れはしない）。$\mathbb{Z}_p$ には $\mathbb{Z}$ にない元がある。たとえば $p = 5$ で $x = (2, 7, 57, 182, \dots)$ とすると、

であり、$7 \equiv 2 \pmod 5$, $57 \equiv 7 \pmod{25}$, $182 \equiv 57 \pmod{125}$ である。この列は（ヘンゼルの補題により）どこまでも延長でき、$x^2 = -1$ を満たす $x \in \mathbb{Z}_5$ を定める。各 $\mathbb{Z}/p^n$ に離散位相を入れて $\mathbf{Top}$ で極限をとると、$\mathbb{Z}_p$ はコンパクト空間 $\prod_n \mathbb{Z}/p^n$（チコノフの定理）の閉部分空間なのでコンパクトである。同様に形式的べき級数環 $K[[x]] = \varprojlim K[x]/(x^n)$ も射影極限である（13-commutative-algebra 第6章、15-algebraic-number-theory 第5章）。

2.8 極限の交換

関手 $D\colon I \times J \to \mathcal{C}$ について、$\lim_I \lim_J D$ と $\lim_J \lim_I D$ はどちらも $I \times J$ 上の錐の関手を表現するので、存在すれば自然に同型である（極限どうしは可換）。双対的に余極限どうしも可換である。しかし極限と余極限は一般には可換でない。$I = J = \lbrace 1, 2 \rbrace$（離散圏）で $D$ の値をすべて 1 点集合とすると、

である。ところが、フィルター付き余極限と有限極限の組合せは例外的に可換である。

定理 2.18（主張のみ）$I$ をフィルター付き圏、$J$ を有限圏（射が有限個）とする。$D\colon I \times J \to \mathbf{Set}$ に対し、自然な写像 $\operatorname{colim}_I \lim_J D \to \lim_J \operatorname{colim}_I D$ は全単射である。

証明は Mac Lane の第 IX 章を参照。有向集合上で 2 項積と等化子の場合を問題 2.6 で扱う（有限極限は有限個の積と等化子から作れるので、これが本質的な部分である）。$R\text{-}\mathbf{Mod}$ の有向余極限は下部集合で計算されるので（命題 2.15）、定理 2.18 は $R\text{-}\mathbf{Mod}$ でも成り立つ。特に、有向余極限は完全列を保つ：各 $\lambda$ で $0 \to A_\lambda \to B_\lambda \to C_\lambda \to 0$ が（有向系として両立する）完全列なら、$0 \to \varinjlim A_\lambda \to \varinjlim B_\lambda \to \varinjlim C_\lambda \to 0$ も完全である。これは第4章以降で平坦性や $\operatorname{Tor}$ を扱うときに使う。

フィルター付きという仮定も有限という仮定も外せない。前者は上の例が示す。後者については、$D(n, k)$ を $k \leq n$ なら 1 点集合、$k > n$ なら空集合とする（$I = \mathbb{N}$ は有向、$J = \mathbb{N}$ は離散）と、各 $n$ で $\prod_k D(n, k) = \emptyset$ なので $\varinjlim_n \prod_k D(n, k) = \emptyset$ だが、各 $k$ で $\varinjlim_n D(n, k)$ は 1 点なので $\prod_k \varinjlim_n D(n, k)$ は 1 点である。

まとめ

• 積・直和・自由群・テンソル積・剰余群は、ある関手を表現する対象として特徴づけられる（普遍性）。
• 米田の補題：$\operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}(A, -), F) \cong F(A)$。自然変換は $\mathrm{id}_A$ の行き先で決まる。
• 米田埋め込みは忠実充満であり、対象はそこへの射の全体で決まる。普遍性で定まる対象は、唯一の同型を除いて一意である。
• 米田の補題で「自然な演算」を決定できる（群のべき乗、語、ケイリーの定理）。
• 極限・余極限は普遍的な錐・余錐であり、積・等化子・引き戻しとその双対を含む。$\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, $R ext{-}\mathbf{Mod}$, $\mathbf{Top}$ では極限は下部集合で計算されるが、余極限は圏ごとに異なる。
• 積と等化子があればすべての極限が作れる。$\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, $R\text{-}\mathbf{Mod}$, $\mathbf{Top}$ は完備かつ余完備である。
• 有向余極限は「ある段階から来て、先で一致する」元からなる。$p$ 進整数環は射影極限 $\varprojlim \mathbb{Z}/p^n$ である。
• フィルター付き余極限と有限極限は $\mathbf{Set}$ や $R\text{-}\mathbf{Mod}$ で可換であり、有向余極限は完全である。

演習問題