第2章群の基礎（代数学（群・環・体）） | Lemma

この章の目標

群の公理を理解し、対称群・二面体群・行列群・四元数群・ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ で具体的に計算できる

元の位数と巡回群を理解し、巡回群の部分群をすべて決定できる

剰余類を使ってラグランジュの定理を証明し、群の位数・部分群・元の位数の関係を使える

正規部分群・剰余群・準同型の関係を理解し、第 1〜第 3 同型定理と対応定理を証明して使える

前提：第1章（ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 、ベズーの等式、オイラー関数）、00-foundations 第3章（写像）、00-foundations 第4章（同値関係と商集合）、02-linear-algebra 第4章（置換と行列式）

正三角形を自分自身に重ねる操作を考えよう。中心のまわりの $0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$ 回転と、3 本の対称軸に関する裏返しの計 6 個がある。2 つの操作を続けて行うと再びこの 6 個のどれかになり、「何もしない」操作があり、どの操作も元に戻す操作をもつ。これは整数の足し算（ $0$ を足すと変わらない、 $a$ に $-a$ を足すと $0$ に戻る）とまったく同じ形の構造である。

群は「可逆な操作の集まり」を抽象化した概念である。第1章の $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の加法や $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ の乗法、行列の積、置換の合成はすべて群の例であり、そこで個別に行っていた議論――たとえばオイラーの定理――は群の一般論（ラグランジュの定理）の特別な場合として理解される。

2.1 群の定義と基本的な例

定義 2.1（群, group）集合 $G$ と写像 $G \times G \to G$ , $(a, b) \mapsto ab$ （演算, operation）の組が次の 3 条件をみたすとき、 $G$ を群という。

(G1) 結合法則 (associativity)：任意の $a, b, c \in G$ について $(ab)c = a(bc)$ 。

(G2) 単位元 (identity element) の存在：ある $e \in G$ があって、任意の $a \in G$ について $ea = ae = a$ 。

(G3) 逆元 (inverse element) の存在：任意の $a \in G$ に対し、 $ab = ba = e$ となる $b \in G$ が存在する。

さらに任意の $a, b \in G$ について $ab = ba$ が成り立つとき、 $G$ を可換群またはアーベル群 (abelian group) という。 $G$ の元の個数 $\lvert G \rvert$ を $G$ の位数 (order) といい、 $\lvert G \rvert < \infty$ のとき $G$ を有限群 (finite group) という。

演算を積の形 $ab$ で書く流儀を乗法的記法という。可換群では演算を $a + b$ 、単位元を $0$ 、逆元を $-a$ と書く加法的記法もよく使う。

命題 2.2（群の基本性質） $G$ を群とする。

単位元はただ一つである。

各 $a \in G$ の逆元はただ一つである。これを $a^{-1}$ と書く。

$(a^{-1})^{-1} = a$ 、 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ 。

（簡約律） $ab = ac$ ならば $b = c$ であり、 $ba = ca$ ならば $b = c$ である。

任意の $a, b \in G$ に対し、 $ax = b$ をみたす $x \in G$ は $x = a^{-1}b$ ただ一つであり、 $ya = b$ をみたす $y \in G$ は $y = ba^{-1}$ ただ一つである。

証明. (1) $e, e'$ がともに単位元なら $e = ee' = e'$ 。(2) $b, b'$ がともに $a$ の逆元なら $b = be = b(ab') = (ba)b' = eb' = b'$ 。(3) $a^{-1}a = aa^{-1} = e$ は $a$ が $a^{-1}$ の逆元であることを意味するので、(2) より $(a^{-1})^{-1} = a$ 。また $(ab)(b^{-1}a^{-1}) = a(bb^{-1})a^{-1} = aa^{-1} = e$ 、同様に $(b^{-1}a^{-1})(ab) = e$ だから $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ 。(4) $ab = ac$ の両辺に左から $a^{-1}$ を掛ければよい。右側も同様。(5) $x = a^{-1}b$ が解であることは代入すればわかり、逆に $ax = b$ なら左から $a^{-1}$ を掛けて $x = a^{-1}b$ 。 $y$ についても同様である。 $\square$

結合法則により、3 個以上の元の積は括弧のつけ方によらない（一般結合法則。元の個数についての帰納法で示せる）ので、括弧を省略して $abc$ などと書く。 $n \in \mathbb{N}$ に対し $a^n = aa\cdots a$ （ $n$ 個の積）、 $a^0 = e$ 、 $a^{-n} = (a^{-1})^n$ と定めると、任意の $m, n \in \mathbb{Z}$ について指数法則 $a^m a^n = a^{m+n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ が成り立つ（ $m, n$ の符号で場合分けして確かめる）。ただし $(ab)^n = a^n b^n$ は、 $ab = ba$ でなければ一般には成り立たない。加法的記法では $a^n$ を $na$ と書く。

例 2.3（数の群）

$(\mathbb{Z}, +)$ , $(\mathbb{Q}, +)$ , $(\mathbb{R}, +)$ , $(\mathbb{C}, +)$ は可換群である。
$\mathbb{Q}^\times = \mathbb{Q} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ , $\mathbb{R}^\times$ , $\mathbb{C}^\times$ は乗法で可換群である。正の実数全体 $\mathbb{R}_{>0}$ 、単位円周 $S^1 = \lbrace z \in \mathbb{C} \mid \lvert z \rvert = 1 \rbrace$ 、 $1$ の $n$ 乗根全体 $\mu_n = \lbrace z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1 \rbrace = \lbrace e^{2\pi i k/n} \mid 0 \leq k < n \rbrace$ も乗法で可換群である。
群でない例： $(\mathbb{N}, +)$ は単位元をもたない（ $0 \notin \mathbb{N}$ ）。 $(\mathbb{Z}_{\geq 0}, +)$ は単位元 $0$ をもつが $1$ の逆元がない。 $(\mathbb{Z}, \times)$ では $2$ の逆元がない。 $(\mathbb{Z}, -)$ は $(1 - 1) - 1 \neq 1 - (1 - 1)$ なので結合法則をみたさない。

例 2.4（剰余類の群） $n \in \mathbb{N}$ とする。第1章の $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は加法で位数 $n$ の可換群であり、 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ は乗法で位数 $\varphi(n)$ の可換群である（第1章定理 1.23）。たとえば $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times = \lbrace \overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7} \rbrace$ では、どの元も 2 乗すると $\overline{1}$ になる（ $9, 25, 49 \equiv 1 \pmod 8$ ）。

例 2.5（対称群, symmetric group）集合 $X$ からそれ自身への全単射全体 $\mathfrak{S}(X)$ は、写像の合成を演算として群をなす。単位元は恒等写像、逆元は逆写像であり、結合法則は写像の合成の結合法則である。 $X = \lbrace 1, 2, \dots, n \rbrace$ のとき $\mathfrak{S}(X)$ を $\mathfrak{S}_n$ と書き、 $n$ 次対称群という。その元を置換 (permutation) とよぶ。 $\lvert \mathfrak{S}_n \rvert = n!$ である。

置換の積 $\sigma\tau$ は合成 $\sigma \circ \tau$ 、すなわち先に $\tau$ 、次に $\sigma$ を施すものとする。相異なる $a_1, \dots, a_k$ を $a_1 \mapsto a_2 \mapsto \cdots \mapsto a_k \mapsto a_1$ と巡回させ、他の元を動かさない置換を $(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)$ と書き、長さ $k$ の巡回置換 (cycle) という。長さ 2 の巡回置換を互換 (transposition) という（巡回置換分解の一般論は第4章で扱う）。

$\mathfrak{S}_3$ で $\sigma = (1\ 2\ 3)$ , $\tau = (1\ 2)$ とおく。 $\sigma\tau$ は $1 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 3$ , $2 \xrightarrow{\tau} 1 \xrightarrow{\sigma} 2$ , $3 \xrightarrow{\tau} 3 \xrightarrow{\sigma} 1$ と動かすので $\sigma\tau = (1\ 3)$ であり、同様に $\tau\sigma = (2\ 3)$ である。よって $\sigma\tau \neq \tau\sigma$ で、 $\mathfrak{S}_3$ は可換でない（ $n \geq 3$ なら $\mathfrak{S}_n$ も同じ理由で可換でない）。さらに $\sigma^3 = \tau^2 = e$ 、 $\tau\sigma = \sigma^2\tau$ が成り立ち、

\mathfrak{S}_3 = \lbrace e, \sigma, \sigma^2, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau \rbrace, \qquad \sigma^2 = (1\ 3\ 2), \quad \sigma\tau = (1\ 3), \quad \sigma^2\tau = (2\ 3)

である。関係式 $\tau\sigma^k = \sigma^{-k}\tau$ を繰り返し使うと、次の群表（乗積表, group table）が得られる。行 $x$ 、列 $y$ の欄に積 $xy$ を書いている。

	$e$	$\sigma$	$\sigma^2$	$\tau$	$\sigma\tau$	$\sigma^2\tau$
$e$	$e$	$\sigma$	$\sigma^2$	$\tau$	$\sigma\tau$	$\sigma^2\tau$
$\sigma$	$\sigma$	$\sigma^2$	$e$	$\sigma\tau$	$\sigma^2\tau$	$\tau$
$\sigma^2$	$\sigma^2$	$e$	$\sigma$	$\sigma^2\tau$	$\tau$	$\sigma\tau$
$\tau$	$\tau$	$\sigma^2\tau$	$\sigma\tau$	$e$	$\sigma^2$	$\sigma$
$\sigma\tau$	$\sigma\tau$	$\tau$	$\sigma^2\tau$	$\sigma$	$e$	$\sigma^2$
$\sigma^2\tau$	$\sigma^2\tau$	$\sigma\tau$	$\tau$	$\sigma^2$	$\sigma$	$e$

たとえば $\sigma\tau \cdot \sigma^2\tau = \sigma(\tau\sigma^2)\tau = \sigma(\sigma\tau)\tau = \sigma^2$ である。命題 2.2(5) により、群表の各行・各列には $G$ の元がちょうど 1 回ずつ現れる。

例 2.6（二面体群, dihedral group） $n \geq 3$ とし、原点を中心とし頂点 $P_k = (\cos(2\pi k/n), \sin(2\pi k/n))$ （ $k = 0, 1, \dots, n-1$ ）をもつ正 $n$ 角形を考える。これを自分自身に移す平面の合同変換（距離を保つ全単射）全体を $D_n$ と書き、二面体群という。 $r$ を原点のまわりの角 $\theta = 2\pi/n$ の回転、 $s$ を $x$ 軸に関する折り返しとすると、行列で

r = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \qquad s = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad srs^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = r^{-1}

であり、

D_n = \lbrace e, r, r^2, \dots, r^{n-1}, s, rs, r^2s, \dots, r^{n-1}s \rbrace, \qquad r^n = s^2 = e, \quad srs^{-1} = r^{-1}

となる。実際、 $D_n$ の元は頂点の集合を保つので頂点の重心である原点を固定し、原点を固定する合同変換は線形変換（直交変換）である。線形変換は一次独立な $P_0, P_1$ の行き先で決まり、 $P_0$ の行き先は $n$ 通り、隣接する頂点 $P_1$ の行き先は $P_0$ の行き先の両隣の 2 通りなので、 $\lvert D_n \rvert \leq 2n$ 。一方、 $r^k$ と $r^k s$ はどちらも $P_0$ を $P_k$ に移し、前者は向きを保ち（行列式 $1$ ）後者は向きを反転する（行列式 $-1$ ）ので、上の $2n$ 個は相異なる。よって $\lvert D_n \rvert = 2n$ である。

関係式 $sr = r^{-1}s$ から $sr^k = r^{-k}s$ が従い、どんな積も $r^i s^j$ （ $0 \leq i < n$ , $j \in \lbrace 0, 1 \rbrace$ ）の形に直せる。 $D_n$ は $n \geq 3$ で可換でない。

注意

位数 $2n$ の二面体群を $D_{2n}$ と書く本も多い（添字が位数を表す流儀）。本教材では $D_n$ は正 $n$ 角形の対称性の群で、位数は $2n$ である。

例 2.7（行列群） $K$ を体（ $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ など）とし、 $E$ を単位行列とする。

一般線形群 (general linear group) $\operatorname{GL}_n(K) = \lbrace A \in \operatorname{M}_n(K) \mid \det A \neq 0 \rbrace$ は行列の積で群をなす（ $\det(AB) = \det A \det B$ による）。 $n \geq 2$ なら可換でない。
特殊線形群 (special linear group) $\operatorname{SL}_n(K) = \lbrace A \in \operatorname{M}_n(K) \mid \det A = 1 \rbrace$ 、直交群 $\operatorname{O}(n) = \lbrace A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \mid {}^t A A = E \rbrace$ 、特殊直交群 $\operatorname{SO}(n) = \operatorname{O}(n) \cap \operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ 、ユニタリ群 $\operatorname{U}(n) = \lbrace A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{C}) \mid A^{\ast} A = E \rbrace$ も行列の積で群をなす。
$p$ を素数とすると $\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ は有限群で

\lvert \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_p) \rvert = (p^n - 1)(p^n - p)(p^n - p^2) \cdots (p^n - p^{n-1})

である。実際、正則行列であることは列ベクトルが一次独立であることと同値であり、第 1 列は零ベクトル以外の $p^n - 1$ 通り、第 $k$ 列は第 $1, \dots, k-1$ 列の張る部分空間（ $p^{k-1}$ 個の元をもつ）の外から選ぶので $p^n - p^{k-1}$ 通りある。たとえば $\lvert \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2) \rvert = 3 \cdot 2 = 6$ 、 $\lvert \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_3) \rvert = 8 \cdot 6 = 48$ 。

例 2.8（四元数群, quaternion group）8 個の元 $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$ からなり、 $-1$ は他のすべての元と可換で $(-1)^2 = 1$ 、さらに

i^2 = j^2 = k^2 = -1, \qquad ij = -ji = k, \quad jk = -kj = i, \quad ki = -ik = j

で積が定まる群を四元数群 $Q_8$ という。結合法則を直接確かめるのは面倒だが、

\pm 1 \mapsto \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \pm i \mapsto \pm \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \quad \pm j \mapsto \pm \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \pm k \mapsto \pm \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}

と $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$ の 8 個の行列で実現すれば（右辺の行列が上の関係式をみたすことは直接の計算で確かめられる）、行列の積の結合法則から従う。 $ij = k \neq -k = ji$ なので $Q_8$ は可換でない。

例 2.9（直積）群 $G, H$ に対し、直積集合 $G \times H$ は成分ごとの演算 $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ で群をなす。これを $G$ と $H$ の直積 (direct product) という（詳しくは第4章）。 $V = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ をクラインの四元群 (Klein four-group) という。

2 つの群が「元の名前が違うだけで演算の構造は同じ」であることを表す言葉を用意しておく（一般の準同型は 2.6 節で扱う）。

定義 2.10（同型, isomorphism）群 $G, H$ の間の全単射 $f\colon G \to H$ で、任意の $a, b \in G$ について $f(ab) = f(a)f(b)$ をみたすものを同型写像という。同型写像が存在するとき $G$ と $H$ は同型 (isomorphic) であるといい、 $G \cong H$ と書く。

同型写像の逆写像も同型写像である（ $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y)$ は両辺を $f$ で写せば確かめられる）。同型な群は、元の名前を付け替えれば群表が一致する。たとえば

$\mu_n \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ （ $e^{2\pi i k/n} \leftrightarrow \overline{k}$ ）、 $(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}_{>0}, \times)$ （ $x \mapsto e^x$ ）。
$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times \cong V$ （ $\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}$ を $(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)$ に対応させる。 $3 \cdot 5 = 15 \equiv 7$ などを確かめよ）。
$D_3 \cong \mathfrak{S}_3$ ：正三角形の頂点 $P_0, P_1, P_2$ を $1, 2, 3$ と名付けると、各合同変換は頂点の置換を引き起こし、 $r \mapsto (1\ 2\ 3)$ , $s \mapsto (2\ 3)$ となる。これが同型写像を与える。

2.2 部分群

二面体群 $D_n$ の中で、回転だけを集めた $\lbrace e, r, \dots, r^{n-1} \rbrace$ はそれ自身が群になっている。このように、群の中に含まれる小さな群を調べることが群の構造を理解する第一歩である。

定義 2.11（部分群, subgroup）群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ の演算で群になるとき、 $H$ を $G$ の部分群といい、 $H \leq G$ と書く。

$H \leq G$ ならば $H$ の単位元は $G$ の単位元 $e$ に一致する。実際、 $H$ の単位元 $e_H$ は $e_H e_H = e_H$ をみたすので、 $G$ の中で両辺に $e_H^{-1}$ を掛けて $e_H = e$ である。したがって $H$ における逆元も $G$ における逆元と一致する。

命題 2.12（部分群の判定法）群 $G$ の空でない部分集合 $H$ について、次は同値である。

$H \leq G$ 。

$a, b \in H$ ならば $ab \in H$ かつ $a^{-1} \in H$ 。

$a, b \in H$ ならば $ab^{-1} \in H$ 。

さらに $H$ が有限集合ならば、これらは「 $a, b \in H$ ならば $ab \in H$ 」とも同値である。

証明. (1)⇒(2)：部分群の単位元・逆元は $G$ のものと一致するので明らか。(2)⇒(3)： $b^{-1} \in H$ だから $ab^{-1} \in H$ 。(3)⇒(1)： $H \neq \emptyset$ から $a \in H$ をとると $e = aa^{-1} \in H$ 。 $b \in H$ なら $b^{-1} = eb^{-1} \in H$ 。 $a, b \in H$ なら $ab = a(b^{-1})^{-1} \in H$ 。結合法則は $G$ で成り立つので $H$ でも成り立つ。よって $H$ は群である。

最後の主張： $H$ が有限で積について閉じているとする。 $a \in H$ に対し $a, a^2, a^3, \dots$ はすべて $H$ に属するから、ある $i < j$ で $a^i = a^j$ となり、 $m = j - i \geq 1$ について $a^m = e$ 。よって $e = a^m \in H$ であり、 $a^{-1} = a^{m-1} \in H$ （ $m = 1$ のときは $a^0 = e \in H$ ）。したがって (2) が成り立つ。 $\square$

例 2.13

$n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対し $n\mathbb{Z} = \lbrace nk \mid k \in \mathbb{Z} \rbrace \leq \mathbb{Z}$ 。後で見るように、 $\mathbb{Z}$ の部分群はこれで尽くされる。
$\operatorname{SL}_n(K) \leq \operatorname{GL}_n(K)$ 、 $\operatorname{SO}(n) \leq \operatorname{O}(n) \leq \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ 、 $\mu_n \leq S^1 \leq \mathbb{C}^\times$ 。
$D_n$ の回転全体 $\langle r \rangle = \lbrace e, r, \dots, r^{n-1} \rbrace \leq D_n$ 。
$\mathfrak{S}_n$ の偶置換（符号 $\operatorname{sgn}$ が $+1$ の置換。線形代数第4章）全体 $\mathfrak{A}_n$ は、 $\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$ により部分群である。これを $n$ 次交代群 (alternating group) という。
群 $G$ の中心 (center) $Z(G) = \lbrace z \in G \mid \text{任意の } g \in G \text{ について } zg = gz \rbrace$ と、 $a \in G$ の中心化群 (centralizer) $C_G(a) = \lbrace g \in G \mid ga = ag \rbrace$ は部分群である（ $zg = gz$ の両辺に左右から $z^{-1}$ を掛けると $gz^{-1} = z^{-1}g$ となることに注意して判定法を使う）。 $G$ が可換 $\iff Z(G) = G$ 。
部分群でない例：奇数全体（ $1 + 1 = 2$ が奇数でない）、 $\lbrace A \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{R}) \mid \det A = 2 \rbrace$ （単位元を含まない）、 $2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}$ （ $2 + 3 = 5$ を含まない）、 $\mathbb{Z}_{\geq 0} \subset \mathbb{Z}$ （加法で閉じているが逆元で閉じていない。無限集合なので命題 2.12 の最後の主張は使えない）。

命題 2.14 群 $G$ の部分群の族 $\lbrace H_\lambda \rbrace_{\lambda \in \Lambda}$ の共通部分 $\bigcap_{\lambda} H_\lambda$ は $G$ の部分群である。

証明. 各 $H_\lambda$ が $e$ を含むので共通部分は空でない。 $a, b$ が共通部分に属せば、各 $\lambda$ について $ab^{-1} \in H_\lambda$ だから $ab^{-1}$ も共通部分に属する。命題 2.12 による。 $\square$

定義 2.15（生成される部分群） $S \subset G$ に対し、 $S$ を含む $G$ の部分群全体の共通部分を $\langle S \rangle$ と書き、 $S$ で生成される部分群 (subgroup generated by $S$ ) という。 $\langle S \rangle = G$ のとき $S$ を $G$ の生成系 (generating set) という。 $S = \lbrace a_1, \dots, a_k \rbrace$ のときは $\langle a_1, \dots, a_k \rangle$ と書く。有限集合を生成系にもつ群を有限生成 (finitely generated) という。

命題 2.14 により、 $\langle S \rangle$ は $S$ を含む最小の部分群である。

命題 2.16 $\langle S \rangle$ は、 $S$ の元とその逆元の有限個の積 $a_1^{\varepsilon_1} a_2^{\varepsilon_2} \cdots a_m^{\varepsilon_m}$ （ $m \geq 0$ , $a_i \in S$ , $\varepsilon_i = \pm 1$ 。 $m = 0$ のときは $e$ と約束する）全体 $W$ に一致する。

証明. $W$ は $e$ を含み、 $w = a_1^{\varepsilon_1} \cdots a_m^{\varepsilon_m} \in W$ の逆元 $w^{-1} = a_m^{-\varepsilon_m} \cdots a_1^{-\varepsilon_1}$ も $W$ に属し、 $W$ の 2 元の積も $W$ に属する。よって $W$ は $S$ を含む部分群であり、 $\langle S \rangle \subset W$ 。逆に $S$ を含む任意の部分群は $S$ の元とその逆元の積をすべて含むから、 $W \subset \langle S \rangle$ 。 $\square$

例 2.17

$\mathbb{Z}$ で $\langle a, b \rangle = \lbrace ax + by \mid x, y \in \mathbb{Z} \rbrace = \gcd(a, b)\mathbb{Z}$ （ベズーの等式、第1章定理 1.7）。たとえば $\langle 4, 6 \rangle = 2\mathbb{Z}$ 。
$\mathfrak{S}_3 = \langle \sigma, \tau \rangle$ （例 2.5 の全元が $\sigma^i\tau^j$ の形）、 $D_n = \langle r, s \rangle$ 、 $Q_8 = \langle i, j \rangle$ 。
$\mathfrak{S}_n$ は互換全体で生成される（線形代数第4章、第4章）。
$(\mathbb{Q}, +)$ は有限生成でない（問題 2.9）。

2.3 元の位数と巡回群

定義 2.18（元の位数, order of an element）群 $G$ の元 $a$ について、 $a^m = e$ となる $m \in \mathbb{N}$ が存在するとき、その最小値を $a$ の位数といい $\operatorname{ord}(a)$ と書く。存在しないとき $a$ の位数は無限であるといい、 $\operatorname{ord}(a) = \infty$ と書く。

命題 2.19 $a \in G$ とする。

$\operatorname{ord}(a) = \infty$ ならば、 $a^m$ （ $m \in \mathbb{Z}$ ）はすべて相異なる。

$\operatorname{ord}(a) = n < \infty$ ならば、 $a^m = e \iff n \mid m$ であり、 $a^m = a^{m'} \iff m \equiv m' \pmod{n}$ である。特に $\langle a \rangle = \lbrace e, a, \dots, a^{n-1} \rbrace$ はちょうど $n$ 個の元からなる。

$\operatorname{ord}(a) = n < \infty$ ならば、 $k \in \mathbb{Z}$ に対し $\operatorname{ord}(a^k) = n/\gcd(n, k)$ である。

証明. (1) $m > m'$ で $a^m = a^{m'}$ なら $a^{m-m'} = e$ となり、位数が有限になってしまう。(2) $m = qn + r$ （ $0 \leq r < n$ ）と割ると $a^m = (a^n)^q a^r = a^r$ 。 $a^m = e$ なら $a^r = e$ で、 $n$ の最小性から $r = 0$ 。逆は明らか。 $a^m = a^{m'} \iff a^{m-m'} = e$ なので後半も従う。命題 2.16 より $\langle a \rangle = \lbrace a^m \mid m \in \mathbb{Z} \rbrace$ だから、最後の主張も従う。(3) $d = \gcd(n, k)$ とおく。(2) より

(a^k)^m = e \iff n \mid km \iff \frac{n}{d} \Bigm| \frac{k}{d} m \iff \frac{n}{d} \Bigm| m

であり（最後の同値は $\gcd(n/d, k/d) = 1$ と第1章命題 1.9 による）、 $\operatorname{ord}(a^k) = n/d$ 。 $\square$

例 2.20

$\mathfrak{S}_3$ ： $\sigma, \sigma^2$ は位数 3、互換 3 個は位数 2。一般に長さ $k$ の巡回置換の位数は $k$ である。
$Q_8$ ： $\pm i, \pm j, \pm k$ は位数 4、 $-1$ は位数 2。 $D_n$ ： $r^k$ の位数は $n/\gcd(n, k)$ 、 $r^k s$ はすべて位数 2（ $(r^ks)^2 = r^k(sr^ks) = r^k r^{-k} = e$ ）。
$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ ： $\overline{8}$ の位数は $12/\gcd(12, 8) = 3$ （ $\overline{8} + \overline{8} + \overline{8} = \overline{24} = \overline{0}$ ）。
$\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ で

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

とすると、 $A^2 = -E$ より $A$ の位数は 4 である。また

B^2 = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B^3 = E, \qquad (AB)^m = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (m \in \mathbb{Z})

より $B$ の位数は 3 であるが、 $AB$ の位数は無限である。

注意

非可換群では、 $a, b$ の位数から $ab$ の位数は決まらない。上の例のように、有限位数の元の積が無限位数になることさえある。可換群で $\gcd(\operatorname{ord}(a), \operatorname{ord}(b)) = 1$ ならば $\operatorname{ord}(ab) = \operatorname{ord}(a)\operatorname{ord}(b)$ が成り立つ（問題 2.3）。

定義 2.21（巡回群, cyclic group）ある $a \in G$ により $G = \langle a \rangle$ となるとき、 $G$ を巡回群といい、 $a$ をその生成元 (generator) という。

巡回群は可換である（ $a^m a^n = a^{m+n} = a^n a^m$ ）。 $\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle$ 、 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \langle \overline{1} \rangle$ 、 $\mu_n = \langle e^{2\pi i/n} \rangle$ は巡回群である。第1章の原始根の存在（定理 1.44）は $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ が巡回群であることを主張している。一方 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times$ は位数 4 だがどの元も位数 2 以下なので、巡回群でない。

定理 2.22（巡回群の分類） $G = \langle a \rangle$ を巡回群とする。

$\operatorname{ord}(a) = \infty$ ならば $G \cong \mathbb{Z}$ 。

$\operatorname{ord}(a) = n < \infty$ ならば $G \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 。

特に、位数の等しい巡回群は互いに同型である。

証明. (1) $f\colon \mathbb{Z} \to G$ , $m \mapsto a^m$ は指数法則により $f(m + m') = f(m)f(m')$ をみたし、命題 2.16 により全射、命題 2.19(1) により単射である。(2) $f\colon \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to G$ , $\overline{m} \mapsto a^m$ は命題 2.19(2) の「 $a^m = a^{m'} \iff m \equiv m' \pmod n$ 」によって well-defined かつ単射であり、全射で演算を保つ。 $\square$

定理 2.23（巡回群の部分群）

巡回群の部分群は巡回群である。

$\mathbb{Z}$ の部分群は $d\mathbb{Z}$ （ $d \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ ）の形のものに限り、 $d$ は部分群から一意に定まる。

$G = \langle a \rangle$ を位数 $n$ の巡回群とする。 $n$ の各正の約数 $d$ に対し、位数 $d$ の $G$ の部分群はただ一つ存在し、それは $\langle a^{n/d} \rangle$ である。 $G$ の部分群はこれらで尽くされる。

証明. (1) $G = \langle a \rangle$ , $H \leq G$ とする。 $H = \lbrace e \rbrace$ なら $H = \langle e \rangle$ である。そうでなければ $a^m \in H$ となる $m \neq 0$ があり、 $a^{-m} \in H$ でもあるから、 $a^m \in H$ となる正の整数 $m$ が存在する。その最小値を $d$ とする。 $a^k \in H$ とし $k = qd + r$ （ $0 \leq r < d$ ）と割ると $a^r = a^k(a^d)^{-q} \in H$ で、 $d$ の最小性から $r = 0$ 。よって $a^k = (a^d)^q$ で $H = \langle a^d \rangle$ である。

(2) (1) の証明を $G = \mathbb{Z}$ , $a = 1$ に適用すると、 $H \leq \mathbb{Z}$ は $H = \lbrace 0 \rbrace = 0\mathbb{Z}$ であるか $H = d\mathbb{Z}$ （ $d$ は $H$ の最小の正の元）である。 $d\mathbb{Z} = d'\mathbb{Z}$ （ $d, d' \geq 0$ ）なら $d \mid d'$ かつ $d' \mid d$ なので $d = d'$ 。

(3) $d \mid n$ なら命題 2.19(3) より $\operatorname{ord}(a^{n/d}) = n/\gcd(n, n/d) = d$ なので、 $\langle a^{n/d} \rangle$ は位数 $d$ の部分群である。逆に $H \leq G$ とする。 $H = \lbrace e \rbrace = \langle a^n \rangle$ なら $d = 1$ の場合にあたる。 $H \neq \lbrace e \rbrace$ なら (1) の証明より $H = \langle a^m \rangle$ （ $m$ は $a^m \in H$ となる最小の正の整数）であり、 $a^n = e \in H$ に同じ割り算の議論を適用すると $m \mid n$ 。命題 2.19(3) より $\lvert H \rvert = \operatorname{ord}(a^m) = n/m$ である。したがって $\lvert H \rvert = d$ ならば $m = n/d$ 、すなわち $H = \langle a^{n/d} \rangle$ である。 $\square$

例 2.24 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の部分群は、 $12$ の正の約数 $d = 1, 2, 3, 4, 6, 12$ に対応して

\lbrace \overline{0} \rbrace, \quad \langle \overline{6} \rangle = \lbrace \overline{0}, \overline{6} \rbrace, \quad \langle \overline{4} \rangle = \lbrace \overline{0}, \overline{4}, \overline{8} \rbrace, \quad \langle \overline{3} \rangle = \lbrace \overline{0}, \overline{3}, \overline{6}, \overline{9} \rbrace, \quad \langle \overline{2} \rangle, \quad \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}

の 6 個である。位数 $d, d'$ の部分群 $H_d, H_{d'}$ について $H_d \subset H_{d'} \iff d \mid d'$ となる。実際、 $H_d \subset H_{d'}$ なら $H_d$ は位数 $d'$ の巡回群 $H_{d'}$ の部分群なので (3) より $d \mid d'$ 。逆に $d \mid d'$ なら $H_{d'}$ は位数 $d$ の部分群をもち、それは $G$ の位数 $d$ の部分群として $H_d$ に等しい。

系 2.25 位数 $n$ の巡回群 $G = \langle a \rangle$ の生成元は $a^k$ （ $\gcd(n, k) = 1$ ）であり、ちょうど $\varphi(n)$ 個ある。また $\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$ が成り立つ。

証明. 命題 2.19 より、 $\langle a^k \rangle = G \iff \operatorname{ord}(a^k) = n \iff \gcd(n, k) = 1$ 。 $0 \leq k < n$ の範囲にそのような $k$ は $\varphi(n)$ 個ある。次に、 $G$ の各元 $x$ について $\langle x \rangle$ は $G$ の部分群であり、定理 2.23(3) よりそれは $n$ のある約数 $d$ に対する唯一の位数 $d$ の部分群 $H_d$ である。 $x$ は $H_d$ の生成元であり、巡回群 $H_d$ の生成元は前半より $\varphi(d)$ 個ある。 $G$ の元を「どの $H_d$ を生成するか」で分類して数えると $n = \sum_{d \mid n} \varphi(d)$ 。 $\square$

これは第1章命題 1.33 の群論的な証明である。

2.4 剰余類とラグランジュの定理

$\mathbb{Z}$ は $n$ を法とする剰余類 $a + n\mathbb{Z}$ によって互いに交わらない $n$ 個の部分集合に分割された。これを一般の群と部分群に拡張すると、群の位数についての強い制約（ラグランジュの定理）が得られる。

定義 2.26（剰余類, coset） $H \leq G$ , $a \in G$ に対し、 $aH = \lbrace ah \mid h \in H \rbrace$ を $H$ の左剰余類 (left coset)、 $Ha = \lbrace ha \mid h \in H \rbrace$ を右剰余類 (right coset) という。左剰余類全体の集合を $G/H$ 、右剰余類全体の集合を $H \backslash G$ と書く。 $G/H$ の元の個数を $H$ の $G$ における指数 (index) といい、 $[G : H]$ と書く。

命題 2.27 $H \leq G$ とする。

$a \sim b \iff a^{-1}b \in H$ で定まる関係 $\sim$ は $G$ 上の同値関係であり、 $a$ の同値類は $aH$ である。特に、2 つの左剰余類は一致するか交わらないかのいずれかであり、 $G$ は左剰余類の非交和である。

$aH = bH \iff a^{-1}b \in H \iff b \in aH$ 。同様に $Ha = Hb \iff ab^{-1} \in H$ 。

写像 $H \to aH$ , $h \mapsto ah$ は全単射である。特に $\lvert aH \rvert = \lvert H \rvert$ 。

$aH \mapsto Ha^{-1}$ は $G/H$ から $H \backslash G$ への well-defined な全単射である。特に左剰余類と右剰余類の個数は等しい。

証明. (1) 反射律： $a^{-1}a = e \in H$ 。対称律： $a^{-1}b \in H$ なら $b^{-1}a = (a^{-1}b)^{-1} \in H$ 。推移律： $a^{-1}b, b^{-1}c \in H$ なら $a^{-1}c = (a^{-1}b)(b^{-1}c) \in H$ 。 $a$ の同値類は $\lbrace b \mid a^{-1}b \in H \rbrace = \lbrace ah \mid h \in H \rbrace = aH$ 。同値類は商集合の元として一致するか交わらないかのいずれかである。(2) (1) から従う。右剰余類も同様。(3) 逆写像は $x \mapsto a^{-1}x$ 。(4) (2) より $aH = bH \iff a^{-1}b \in H \iff a^{-1}(b^{-1})^{-1} \in H \iff Ha^{-1} = Hb^{-1}$ 。左から右が well-defined 性、右から左が単射性である。 $Hc$ は $c^{-1}H$ の像なので全射である。 $\square$

例 2.28 $G = \mathfrak{S}_3$ , $H = \langle \tau \rangle = \lbrace e, \tau \rbrace$ とする。群表を使うと左剰余類は

H = \lbrace e, \tau \rbrace, \qquad \sigma H = \lbrace \sigma, \sigma\tau \rbrace, \qquad \sigma^2 H = \lbrace \sigma^2, \sigma^2\tau \rbrace

であり、右剰余類は

H = \lbrace e, \tau \rbrace, \qquad H\sigma = \lbrace \sigma, \tau\sigma \rbrace = \lbrace \sigma, \sigma^2\tau \rbrace, \qquad H\sigma^2 = \lbrace \sigma^2, \tau\sigma^2 \rbrace = \lbrace \sigma^2, \sigma\tau \rbrace

である。 $\sigma H \neq H\sigma$ で、左右の剰余類分割は異なる。一方 $N = \langle \sigma \rangle = \lbrace e, \sigma, \sigma^2 \rbrace$ では $\tau N = N\tau = \lbrace \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau \rbrace$ となり、左右の分割が一致する。この違いが 2.5 節の正規部分群につながる。

定理 2.29（ラグランジュの定理, Lagrange's theorem） $G$ を有限群、 $H \leq G$ とすると
$\lvert G \rvert = [G : H] \lvert H \rvert$
が成り立つ。特に $\lvert H \rvert$ と $[G : H]$ はともに $\lvert G \rvert$ の約数である。

証明. 命題 2.27(1) より $G$ は $[G : H]$ 個の左剰余類の非交和であり、同 (3) よりそれぞれの左剰余類はちょうど $\lvert H \rvert$ 個の元をもつ。 $\square$

系 2.30 $G$ を位数 $n$ の有限群とする。

任意の $a \in G$ について $\operatorname{ord}(a) \mid n$ 。したがって $a^n = e$ 。

$n$ が素数ならば $G$ は巡回群で $G \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ であり、単位元以外のどの元も生成元である。

（オイラーの定理） $m \in \mathbb{N}$ , $\gcd(a, m) = 1$ ならば $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$ 。

証明. (1) 命題 2.19(2) より $\operatorname{ord}(a) = \lvert \langle a \rangle \rvert$ であり、これはラグランジュの定理により $n$ を割る。(2) $a \neq e$ なら $\operatorname{ord}(a)$ は $1$ でない $n$ の約数なので $n$ に等しく、 $\langle a \rangle = G$ 。定理 2.22 による。(3) (1) を位数 $\varphi(m)$ の群 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ に適用する。 $\square$

実験群の演算表巡回群・二面体群・対称群の演算表を色で眺め、元の位数・部分群・剰余類を探します。

この実験は JavaScript を有効にすると動きます。

命題 2.31（指数の乗法性） $K \leq H \leq G$ で $[G : H]$ , $[H : K]$ が有限ならば、 $[G : K] = [G : H][H : K]$ である。

証明. $G = \bigsqcup_{i=1}^{m} g_i H$ , $H = \bigsqcup_{j=1}^{l} h_j K$ と左剰余類に分解する。 $g \in G$ は $g = g_i h$ （ $h \in H$ ）と書け、 $h \in h_j K$ なので $g \in g_i h_j K$ 。よって $G = \bigcup_{i, j} g_i h_j K$ 。これが非交和であることを示す。 $g_i h_j K = g_{i'} h_{j'} K$ とすると、右から $H$ を掛けて（集合として $KH = H$ , $h_j H = H$ に注意） $g_i H = g_{i'} H$ 、よって $i = i'$ 。左から $g_i^{-1}$ を掛けて $h_j K = h_{j'} K$ 、よって $j = j'$ 。したがって $[G : K] = ml$ 。 $\square$

注意

ラグランジュの定理の逆は成り立たない。 $d \mid \lvert G \rvert$ であっても位数 $d$ の部分群があるとは限らない（例 2.32）。ただし $d$ が素数べきなら存在する（第3章のシローの定理）。

例 2.32 交代群 $\mathfrak{A}_4$ は、単位元、 $(1\ 2)(3\ 4)$ , $(1\ 3)(2\ 4)$ , $(1\ 4)(2\ 3)$ 、および長さ 3 の巡回置換 8 個（ $(1\ 2\ 3)$ など）の計 12 個の元からなる。 $\mathfrak{A}_4$ は位数 6 の部分群をもたない。実際、 $H \leq \mathfrak{A}_4$ , $\lvert H \rvert = 6$ と仮定すると $[\mathfrak{A}_4 : H] = 2$ なので、左剰余類は $H$ と $\mathfrak{A}_4 \setminus H$ の 2 つである。長さ 3 の巡回置換 $c$ が $H$ に属さないとすると、 $c^2 = c^{-1}$ も $H$ に属さない（ $H$ は逆元で閉じている）ので $cH = c^2H = \mathfrak{A}_4 \setminus H$ となり、命題 2.27(2) より $c^{-1}c^2 = c \in H$ となって矛盾する。よって 8 個の巡回置換はすべて $H$ に属し、単位元と合わせて $\lvert H \rvert \geq 9$ となり矛盾である。

2.5 正規部分群と剰余群

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ では剰余類どうしの和 $(a + n\mathbb{Z}) + (b + n\mathbb{Z}) = (a + b) + n\mathbb{Z}$ が定義できた。一般の $H \leq G$ でも $(aH)(bH) := abH$ と定義したいが、これは代表元のとり方によってしまうことがある。例 2.28 の $H = \langle \tau \rangle \leq \mathfrak{S}_3$ では $eH = \tau H$ なのに、 $(eH)(\sigma H) = \sigma H$ と $(\tau H)(\sigma H) = \tau\sigma H = \sigma^2\tau H = \sigma^2 H$ は異なる。代表元によらずに積が定まるための条件が正規性である。

定義 2.33（正規部分群, normal subgroup） $N \leq G$ が、任意の $g \in G$ について $gNg^{-1} = N$ （ここで $gNg^{-1} = \lbrace gng^{-1} \mid n \in N \rbrace$ ）をみたすとき、 $N$ を $G$ の正規部分群といい、 $N \trianglelefteq G$ と書く。

命題 2.34 $N \leq G$ について次は同値である。

$N \trianglelefteq G$ 。

任意の $g \in G$ について $gNg^{-1} \subset N$ 。

任意の $g \in G$ について $gN = Ng$ （左剰余類と右剰余類が一致する）。

証明. (1)⇒(2) は明らか。(2)⇒(1)：(2) を $g^{-1}$ に適用すると $g^{-1}Ng \subset N$ で、左から $g$ 、右から $g^{-1}$ を掛けると $N \subset gNg^{-1}$ 。(1)⇒(3)： $gN = (gNg^{-1})g = Ng$ 。(3)⇒(1)： $gNg^{-1} = (Ng)g^{-1} = N$ 。 $\square$

例 2.35

可換群のすべての部分群は正規部分群である。
$\lbrace e \rbrace$ と $G$ は正規部分群である。 $G \neq \lbrace e \rbrace$ で、これら以外に正規部分群をもたない群を単純群 (simple group) という。素数位数の巡回群は単純群である（ラグランジュの定理より部分群自体が $\lbrace e \rbrace$ と $G$ しかない）。
$\operatorname{SL}_n(K) \trianglelefteq \operatorname{GL}_n(K)$ ： $\det(gAg^{-1}) = \det A$ による。
中心 $Z(G) \trianglelefteq G$ ： $z \in Z(G)$ なら $gzg^{-1} = z$ 。
指数 2 の部分群は正規である： $[G : H] = 2$ で $g \notin H$ なら、左剰余類は $H$ と $gH$ 、右剰余類は $H$ と $Hg$ であり、 $gH = G \setminus H = Hg$ 。 $g \in H$ なら $gH = H = Hg$ 。よって $\langle \sigma \rangle \trianglelefteq \mathfrak{S}_3$ 、 $\langle r \rangle \trianglelefteq D_n$ 、 $\mathfrak{A}_n \trianglelefteq \mathfrak{S}_n$ 。
$\langle \tau \rangle$ は $\mathfrak{S}_3$ の正規部分群でない： $\sigma\tau\sigma^{-1} = \sigma\tau\sigma^2 = \sigma(\sigma\tau) = \sigma^2\tau \notin \langle \tau \rangle$ 。
$Q_8$ は可換でないが、すべての部分群が正規である。実際、 $Q_8$ の位数 2 の元は $-1$ だけなので位数 2 の部分群は $\lbrace \pm 1 \rbrace = Z(Q_8)$ のみ。位数 4 の部分群は位数 4 の元 $x$ を含み（含まなければ元はすべて位数 2 以下で $\lbrace \pm 1 \rbrace$ に含まれてしまう） $\langle x \rangle$ に等しいので、 $\langle i \rangle, \langle j \rangle, \langle k \rangle$ の 3 つであり、いずれも指数 2 である。(4), (5) により、これらはすべて正規である。

注意

正規性は推移的でない： $K \trianglelefteq H \trianglelefteq G$ でも $K \trianglelefteq G$ とは限らない。 $D_4$ で $H = \lbrace e, r^2, s, r^2s \rbrace$ , $K = \langle s \rangle = \lbrace e, s \rbrace$ とすると、どちらも指数 2 なので $K \trianglelefteq H \trianglelefteq D_4$ だが、 $sr^{-1} = rs$ より $rsr^{-1} = r^2s \notin K$ である。

定理 2.36（剰余群, quotient group） $N \trianglelefteq G$ とする。 $G/N$ 上の演算 $(aN)(bN) := abN$ は well-defined であり、 $G/N$ はこの演算で群になる。単位元は $N = eN$ 、 $aN$ の逆元は $a^{-1}N$ である。この群を $G$ の $N$ による剰余群（商群）という。写像 $\pi\colon G \to G/N$ , $a \mapsto aN$ を自然な射影 (canonical projection) という。

証明. $aN = a'N$ , $bN = b'N$ とすると、 $a' = an_1$ , $b' = bn_2$ （ $n_1, n_2 \in N$ ）と書ける。

a'b' = an_1bn_2 = ab(b^{-1}n_1b)n_2

で、正規性より $b^{-1}n_1b \in N$ だから $a'b' \in abN$ 、すなわち $a'b'N = abN$ 。群の公理は $G$ の公理から従う： $(aN\ bN)cN = (ab)cN = a(bc)N = aN(bN\ cN)$ 、 $eN\ aN = aN\ eN = aN$ 、 $a^{-1}N\ aN = aN\ a^{-1}N = eN$ 。 $\square$

$G$ が有限なら、ラグランジュの定理より $\lvert G/N \rvert = [G : N] = \lvert G \rvert/\lvert N \rvert$ である。

補足

積が well-defined であるためには正規性が必要である。実際、 $H \leq G$ について $(aH)(bH) := abH$ が well-defined ならば、 $h \in H$ , $g \in G$ に対し $hH = eH$ だから $(hH)(g^{-1}H) = (eH)(g^{-1}H)$ 、すなわち $hg^{-1}H = g^{-1}H$ 。命題 2.27(2) より $ghg^{-1} \in H$ となり、 $H \trianglelefteq G$ である。

例 2.37

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の $n\mathbb{Z}$ による剰余群そのものである。
$\mathfrak{S}_3/\langle \sigma \rangle = \lbrace \langle \sigma \rangle, \tau\langle \sigma \rangle \rbrace$ は位数 2 の群で、 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型である。同様に $D_n/\langle r \rangle \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。
$Q_8/\lbrace \pm 1 \rbrace = \lbrace \overline{1}, \overline{i}, \overline{j}, \overline{k} \rbrace$ （ $\overline{x} = \lbrace \pm x \rbrace$ ）では $\overline{i}^2 = \overline{-1} = \overline{1}$ などよりどの元も位数 2 以下であり、 $\overline{i}\ \overline{j} = \overline{k}$ などが成り立つ。 $\overline{1}, \overline{i}, \overline{j}, \overline{k}$ を $(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)$ に対応させると $V$ との同型写像になる。
$D_4/\langle r^2 \rangle = \lbrace \overline{e}, \overline{r}, \overline{s}, \overline{rs} \rbrace$ でも $\overline{r}^2 = \overline{s}^2 = \overline{rs}^2 = \overline{e}$ であり、同様に $V$ と同型である。
$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の元は $x + \mathbb{Z}$ で、代表元を $[0, 1)$ にとれる。演算は「足して整数部分を捨てる」ことである。

2.6 準同型と同型定理

群どうしを比較するには、演算を保つ写像（準同型）を使う。準同型の核は正規部分群になり、準同型定理によって「像」と「剰余群」が結びつく。これは線形代数の次元定理 $\dim V = \dim \operatorname{Ker} f + \operatorname{rank} f$ の背後にある同型 $V/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$ の群版である（線形代数第3章）。

定義 2.38（準同型, homomorphism）群 $G, H$ の間の写像 $f\colon G \to H$ が、任意の $a, b \in G$ について $f(ab) = f(a)f(b)$ をみたすとき、 $f$ を（群の）準同型写像という。 $\operatorname{Ker} f = \lbrace a \in G \mid f(a) = e_H \rbrace$ を $f$ の核 (kernel)、 $\operatorname{Im} f = f(G)$ を像 (image) という。全単射な準同型写像が同型写像（定義 2.10）である。

命題 2.39 $f\colon G \to H$ を準同型写像とする。

$f(e_G) = e_H$ 、 $f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$ 、 $f(a^m) = f(a)^m$ （ $m \in \mathbb{Z}$ ）。

$K \leq G$ なら $f(K) \leq H$ 。 $L \leq H$ なら $f^{-1}(L) \leq G$ であり、 $L \trianglelefteq H$ なら $f^{-1}(L) \trianglelefteq G$ 。特に $\operatorname{Im} f \leq H$ 、 $\operatorname{Ker} f \trianglelefteq G$ 。

$f$ が単射 $\iff \operatorname{Ker} f = \lbrace e_G \rbrace$ 。

$\operatorname{ord}(a) < \infty$ ならば $\operatorname{ord}(f(a)) \mid \operatorname{ord}(a)$ 。

準同型写像の合成は準同型写像である。

証明. (1) $f(e) = f(ee) = f(e)f(e)$ の両辺に $f(e)^{-1}$ を掛けて $f(e) = e_H$ 。 $f(a)f(a^{-1}) = f(e) = e_H$ から $f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$ 。 $m \geq 0$ は帰納法で、 $m < 0$ はこれと合わせて従う。(2) $f(a)f(b)^{-1} = f(ab^{-1})$ より $f(K)$ は部分群。 $a, b \in f^{-1}(L)$ なら $f(ab^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} \in L$ 。 $L \trianglelefteq H$ なら、 $g \in G$ , $a \in f^{-1}(L)$ に対し $f(gag^{-1}) = f(g)f(a)f(g)^{-1} \in L$ 。 $\operatorname{Ker} f = f^{-1}(\lbrace e_H \rbrace)$ はその特別な場合である。(3) 単射なら $f(a) = e_H = f(e)$ から $a = e$ 。逆に核が自明なら、 $f(a) = f(b) \Rightarrow f(a^{-1}b) = e_H \Rightarrow a^{-1}b = e$ 。(4) $a^n = e$ なら $f(a)^n = e_H$ なので命題 2.19(2) による。(5) $g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b))$ 。 $\square$

例 2.40

$\det\colon \operatorname{GL}_n(K) \to K^\times$ は全射準同型で、核は $\operatorname{SL}_n(K)$ 。
$\operatorname{sgn}\colon \mathfrak{S}_n \to \lbrace \pm 1 \rbrace$ は準同型で、核は $\mathfrak{A}_n$ 。 $n \geq 2$ なら（互換の符号が $-1$ なので）全射。
$\exp\colon (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_{>0}, \times)$ は同型写像。 $\mathbb{R} \to S^1$ , $t \mapsto e^{2\pi i t}$ は全射準同型で、核は $\mathbb{Z}$ 。
$\mathbb{C}^\times \to \mathbb{R}_{>0}$ , $z \mapsto \lvert z \rvert$ は全射準同型で、核は $S^1$ 。
自然な射影 $\pi\colon G \to G/N$ は全射準同型で $\operatorname{Ker} \pi = N$ 。命題 2.39(2) と合わせると、正規部分群とは、ちょうど準同型写像の核になる部分群のことである。
$a \in G$ に対し、 $\mathbb{Z} \to G$ , $m \mapsto a^m$ は準同型写像。
準同型でない例： $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , $x \mapsto x + 1$ （ $0$ を $0$ に写さない）。群 $G$ で $x \mapsto x^2$ が準同型であることは $G$ が可換であることと同値である（ $abab = aabb \iff ba = ab$ ）。たとえば $\mathfrak{S}_3$ では $(\sigma\tau)^2 = e \neq \sigma^2 = \sigma^2\tau^2$ 。

定理 2.41（第 1 同型定理, 準同型定理, first isomorphism theorem） $f\colon G \to H$ を準同型写像とすると、
$\overline{f}\colon G/\operatorname{Ker} f \to \operatorname{Im} f, \qquad a\operatorname{Ker} f \mapsto f(a)$
は well-defined な同型写像である。特に $G/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$ 。

証明. $K = \operatorname{Ker} f$ とおくと、

aK = bK \iff a^{-1}b \in K \iff f(a)^{-1}f(b) = e_H \iff f(a) = f(b)

である。左から右の含意が $\overline{f}$ の well-defined 性を、右から左の含意が単射性を与える。 $\overline{f}(aK\ bK) = \overline{f}(abK) = f(ab) = f(a)f(b)$ なので準同型であり、全射性は $\operatorname{Im} f$ の定義から明らかである。 $\square$

$\pi\colon G \to G/\operatorname{Ker} f$ を自然な射影、 $\iota\colon \operatorname{Im} f \to H$ を包含写像とすると、 $f = \iota \circ \overline{f} \circ \pi$ が成り立つ：

\begin{array}{ccc} G & \xrightarrow{f} & H \\ {\scriptstyle \pi}\downarrow & & \uparrow{\scriptstyle \iota} \\ G/\operatorname{Ker} f & \xrightarrow{\overline{f}} & \operatorname{Im} f \end{array}

すなわち、どんな準同型も「全射（剰余群への射影）」「同型」「単射（包含）」に分解される。

例 2.42

$\operatorname{GL}_n(K)/\operatorname{SL}_n(K) \cong K^\times$ 、 $\mathfrak{S}_n/\mathfrak{A}_n \cong \lbrace \pm 1 \rbrace$ （ $n \geq 2$ ）。特に $\lvert \mathfrak{A}_n \rvert = n!/2$ （ $n \geq 2$ ）。
$\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$ 、 $\mathbb{C}^\times/S^1 \cong \mathbb{R}_{>0}$ 。
定理 2.22 の別証明： $f\colon \mathbb{Z} \to G = \langle a \rangle$ , $m \mapsto a^m$ は全射準同型で、定理 2.23(2) より $\operatorname{Ker} f = n\mathbb{Z}$ （ $n \geq 0$ ）と書ける。 $n = 0$ なら $G \cong \mathbb{Z}$ 、 $n \geq 1$ なら $n = \operatorname{ord}(a)$ で $G \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 。

定理 2.43（第 2 同型定理, second isomorphism theorem） $H \leq G$ , $N \trianglelefteq G$ とする。このとき $HN = \lbrace hn \mid h \in H, n \in N \rbrace$ は $G$ の部分群で $N \trianglelefteq HN$ 、 $H \cap N \trianglelefteq H$ であり、
$H/(H \cap N) \cong HN/N$
が成り立つ。

証明. $h_1, h_2 \in H$ , $n_1, n_2 \in N$ について

(h_1n_1)(h_2n_2)^{-1} = h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1} = (h_1h_2^{-1})\bigl(h_2n_1n_2^{-1}h_2^{-1}\bigr) \in HN

（正規性より第 2 因子は $N$ に属する）なので $HN \leq G$ 。 $N \subset HN$ で、 $N$ は $G$ で正規だから $HN$ でも正規である。写像 $\varphi\colon H \to HN/N$ , $h \mapsto hN$ は自然な射影の制限なので準同型であり、 $hnN = hN$ より全射である。 $\operatorname{Ker} \varphi = \lbrace h \in H \mid hN = N \rbrace = H \cap N$ 。よって $H \cap N \trianglelefteq H$ であり、第 1 同型定理から主張が従う。 $\square$

例 2.44 $G = \mathbb{Z}$ , $H = a\mathbb{Z}$ , $N = b\mathbb{Z}$ （ $a, b \in \mathbb{N}$ ）とすると、 $H + N = \gcd(a, b)\mathbb{Z}$ （例 2.17）、 $H \cap N = \operatorname{lcm}(a, b)\mathbb{Z}$ であり、

a\mathbb{Z}/\operatorname{lcm}(a, b)\mathbb{Z} \cong \gcd(a, b)\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}

を得る。 $d \mid m$ のとき $\lvert d\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \rvert = m/d$ だから、両辺の位数を比べると $\operatorname{lcm}(a, b)/a = b/\gcd(a, b)$ 、すなわち $\gcd(a, b)\operatorname{lcm}(a, b) = ab$ が再び得られる。

定理 2.45（第 3 同型定理, third isomorphism theorem） $N, M \trianglelefteq G$ , $N \subset M$ とする。このとき $M/N \trianglelefteq G/N$ であり、
$(G/N)/(M/N) \cong G/M$
が成り立つ。

証明. $\psi\colon G/N \to G/M$ , $aN \mapsto aM$ を考える。 $aN = bN$ なら $a^{-1}b \in N \subset M$ なので $aM = bM$ となり、 $\psi$ は well-defined である。 $\psi$ は明らかに全射準同型で、 $\operatorname{Ker} \psi = \lbrace aN \mid a \in M \rbrace = M/N$ 。命題 2.39(2) と第 1 同型定理から主張が従う。 $\square$

例 2.46 $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})/(4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。ここで $4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} = \lbrace \overline{0}, \overline{4}, \overline{8} \rbrace$ である。

定理 2.47（対応定理, correspondence theorem） $N \trianglelefteq G$ とし、 $\pi\colon G \to G/N$ を自然な射影とする。写像
$\lbrace H \mid N \subset H \leq G \rbrace \to \lbrace \overline{H} \mid \overline{H} \leq G/N \rbrace, \qquad H \mapsto \pi(H) = H/N$
は全単射で、逆写像は $\overline{H} \mapsto \pi^{-1}(\overline{H})$ である。この対応は包含関係を保ち、 $H \trianglelefteq G \iff H/N \trianglelefteq G/N$ 、および $[G : H] = [G/N : H/N]$ が成り立つ。

証明. $N \subset H \leq G$ なら $\pi(H)$ は準同型の像として $G/N$ の部分群。 $\overline{H} \leq G/N$ なら $\pi^{-1}(\overline{H})$ は $N = \pi^{-1}(\lbrace eN \rbrace)$ を含む $G$ の部分群である（命題 2.39(2)）。 $\pi$ は全射なので $\pi(\pi^{-1}(\overline{H})) = \overline{H}$ 。また $x \in \pi^{-1}(\pi(H)) \iff xN = hN$ （ある $h \in H$ ） $\iff x \in HN$ で、 $N \subset H$ より $HN = H$ だから $\pi^{-1}(\pi(H)) = H$ 。よって 2 つの写像は互いに逆である。包含関係を保つことは明らか。

正規性： $H \trianglelefteq G$ なら $\pi(g)\pi(H)\pi(g)^{-1} = \pi(gHg^{-1}) = \pi(H)$ で、 $\pi$ は全射だから $\pi(H) \trianglelefteq G/N$ 。逆に $\pi(H) \trianglelefteq G/N$ なら $H = \pi^{-1}(\pi(H)) \trianglelefteq G$ （命題 2.39(2)）。

指数： $gH \mapsto \pi(g)\pi(H)$ が $G/H$ から $(G/N)/(H/N)$ への全単射であることを示す。 $gH = g'H \iff g^{-1}g' \in H = \pi^{-1}(\pi(H)) \iff \pi(g)^{-1}\pi(g') \in \pi(H) \iff \pi(g)\pi(H) = \pi(g')\pi(H)$ より well-defined かつ単射であり、 $\pi$ の全射性から全射である。 $\square$

例 2.48

$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の部分群は、 $12\mathbb{Z}$ を含む $\mathbb{Z}$ の部分群 $d\mathbb{Z}$ 、すなわち $d \mid 12$ となる $d\mathbb{Z}$ と 1 対 1 に対応し、 $d\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} = \langle \overline{d} \rangle$ である。例 2.24 の結果と一致する。
$D_4/\langle r^2 \rangle \cong V$ （例 2.37）の部分群は 5 個（自明な 2 個と位数 2 の 3 個）なので、 $\langle r^2 \rangle$ を含む $D_4$ の部分群も 5 個ある： $\langle r^2 \rangle$ 、 $\langle r \rangle$ 、 $\lbrace e, r^2, s, r^2s \rbrace$ 、 $\lbrace e, r^2, rs, r^3s \rbrace$ 、 $D_4$ 。

2.7 自己同型群と内部自己同型

図形の対称性が群をなしたように、群自身の「対称性」、すなわち群からそれ自身への同型写像全体も群をなす。これは第4章の半直積の構成で本質的に使われる。

定義 2.49（自己同型, automorphism）群 $G$ から $G$ 自身への同型写像を $G$ の自己同型といい、その全体を $\operatorname{Aut}(G)$ と書く。 $\operatorname{Aut}(G)$ は写像の合成で群をなし（ $\mathfrak{S}(G)$ の部分群）、 $G$ の自己同型群という。 $g \in G$ に対し $c_g(x) = gxg^{-1}$ で定まる $c_g$ を内部自己同型 (inner automorphism) といい、その全体を $\operatorname{Inn}(G)$ と書く。

$c_g$ は準同型（ $c_g(xy) = gxyg^{-1} = gxg^{-1} \cdot gyg^{-1}$ ）で、 $c_{g^{-1}}$ が逆写像だから自己同型である。 $x$ と $gxg^{-1}$ は共役 (conjugate) であるという。

命題 2.50 $c\colon G \to \operatorname{Aut}(G)$ , $g \mapsto c_g$ は準同型写像で、 $\operatorname{Ker} c = Z(G)$ である。よって $\operatorname{Inn}(G) \leq \operatorname{Aut}(G)$ かつ $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$ 。さらに $\operatorname{Inn}(G) \trianglelefteq \operatorname{Aut}(G)$ である。

証明. $c_g c_h(x) = g(hxh^{-1})g^{-1} = (gh)x(gh)^{-1} = c_{gh}(x)$ より $c$ は準同型。 $c_g = \mathrm{id}_G \iff$ 任意の $x$ について $gxg^{-1} = x \iff g \in Z(G)$ 。第 1 同型定理より $\operatorname{Inn}(G) = \operatorname{Im} c \cong G/Z(G)$ 。最後に、 $\varphi \in \operatorname{Aut}(G)$ に対し

\varphi c_g \varphi^{-1}(x) = \varphi\bigl(g\varphi^{-1}(x)g^{-1}\bigr) = \varphi(g)x\varphi(g)^{-1}

すなわち $\varphi c_g \varphi^{-1} = c_{\varphi(g)} \in \operatorname{Inn}(G)$ 。 $\square$

剰余群 $\operatorname{Out}(G) = \operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)$ を外部自己同型群 (outer automorphism group) という。可換群では $\operatorname{Inn}(G) = \lbrace \mathrm{id}_G \rbrace$ である。

自己同型群を決定する基本的な道具は次の 2 点である：(i) 自己同型は元の位数を保つ（命題 2.39(4) を $\varphi$ と $\varphi^{-1}$ に適用する）。(ii) 準同型は生成系の行き先で決まる（命題 2.16）。

命題 2.51 $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}) = \lbrace \pm\mathrm{id} \rbrace \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 、 $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ 。

証明. $\varphi \in \operatorname{Aut}(\mathbb{Z})$ は $a = \varphi(1)$ で決まり $\varphi(m) = ma$ 。全射性より $1 \in a\mathbb{Z}$ なので $a = \pm 1$ 。逆に $\pm\mathrm{id}$ は自己同型である。

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ から自身への準同型 $\varphi$ は $\varphi(\overline{1}) = \overline{a}$ で決まり、 $\varphi(\overline{m}) = \overline{am}$ である。逆に各 $\overline{a}$ に対し $\varphi_a(\overline{m}) = \overline{am}$ は well-defined な準同型である。 $\varphi_a$ が全単射 $\iff$ 像 $\langle \overline{a} \rangle$ が全体 $\iff \gcd(a, n) = 1$ （系 2.25）。こうして $\Phi\colon (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ , $\overline{a} \mapsto \varphi_a$ は全単射であり、 $\varphi_a \circ \varphi_b = \varphi_{ab}$ だから同型写像である。 $\square$

例 2.52

$\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times \cong V$ は巡回群でない。 $p$ が素数なら $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ （原始根の存在、第1章定理 1.44）。
$\operatorname{Aut}(V) \cong \mathfrak{S}_3$ ： $V$ の $0$ 以外の 3 元 $a, b, c$ は、どの 2 つの和も残りの 1 つになる。自己同型はこの 3 元を置換する。逆に、3 元の任意の置換（ $0 \mapsto 0$ と合わせる）は「 $x + x = 0$ 」「相異なる 2 元の和は第 3 の元」という関係を保つので自己同型になる。 $V$ は可換なので $\operatorname{Inn}(V)$ は自明、 $\operatorname{Out}(V) \cong \mathfrak{S}_3$ 。
$\operatorname{Aut}(\mathfrak{S}_3) = \operatorname{Inn}(\mathfrak{S}_3) \cong \mathfrak{S}_3$ ：群表から $\sigma$ と可換な元は $e, \sigma, \sigma^2$ で、そのうち $\tau$ とも可換なのは $e$ だけなので $Z(\mathfrak{S}_3) = \lbrace e \rbrace$ 、よって $\operatorname{Inn}(\mathfrak{S}_3) \cong \mathfrak{S}_3$ は位数 6。一方、自己同型 $\varphi$ は生成元 $\sigma, \tau$ の行き先で決まり、 $\varphi(\sigma)$ は位数 3 の元（2 通り）、 $\varphi(\tau)$ は位数 2 の元（3 通り）なので $\lvert \operatorname{Aut}(\mathfrak{S}_3) \rvert \leq 6$ 。したがって $\operatorname{Aut}(\mathfrak{S}_3) = \operatorname{Inn}(\mathfrak{S}_3)$ 。
$Z(Q_8) = \lbrace \pm 1 \rbrace$ なので $\operatorname{Inn}(Q_8) \cong Q_8/\lbrace \pm 1 \rbrace \cong V$ （例 2.37）。

ヒント

群の問題で迷ったら、まず「元の位数の分布」を調べるとよい。同型写像は位数を保つので、位数の分布が異なる群は同型でない。逆に位数の分布が同じでも同型とは限らないが（位数 16 以上で反例がある）、小さな群を区別するにはたいていこれで足りる。

まとめ

群は結合法則・単位元・逆元をみたす演算をもつ集合である。基本例は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ , 対称群 $\mathfrak{S}_n$ （位数 $n!$ ）、二面体群 $D_n$ （位数 $2n$ 、 $srs^{-1} = r^{-1}$ ）、行列群 $\operatorname{GL}_n(K)$ , $\operatorname{SL}_n(K)$ 、四元数群 $Q_8$ 。
部分群の判定は「 $ab^{-1} \in H$ 」。部分群の共通部分は部分群で、 $\langle S \rangle$ は $S$ の元とその逆元の積全体である。
$\operatorname{ord}(a^k) = n/\gcd(n, k)$ 。巡回群は $\mathbb{Z}$ か $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ に同型で、位数 $n$ の巡回群は $n$ の各約数 $d$ に対し位数 $d$ の部分群をちょうど一つもつ。
左剰余類は $G$ を同じ大きさの部分集合に分割する。ここからラグランジュの定理 $\lvert G \rvert = [G:H]\lvert H \rvert$ が従い、元の位数は群の位数を割る。逆は成り立たない（ $\mathfrak{A}_4$ ）。
正規部分群とは左右の剰余類が一致する部分群であり、剰余群 $G/N$ が定義できる条件である。指数 2 の部分群と中心は正規。
準同型の核は正規部分群であり、逆に正規部分群は自然な射影の核である。
第 1 同型定理 $G/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$ 、第 2 同型定理 $H/(H \cap N) \cong HN/N$ 、第 3 同型定理 $(G/N)/(M/N) \cong G/M$ 、対応定理（ $N$ を含む部分群と $G/N$ の部分群の 1 対 1 対応）。
$\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$ は $\operatorname{Aut}(G)$ の正規部分群。 $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ 、 $\operatorname{Aut}(\mathfrak{S}_3) \cong \mathfrak{S}_3$ 。

群の概念は数学のあらゆる場所に現れる。たとえば位相空間から作られる基本群（位相幾何学第1章）や、線形変換による群の表現（リー群と表現論第1章）がその代表例である。

演習問題

問題 2.1 ★ $D_4$ と $Q_8$ のすべての元の位数と中心を求め、 $D_4 \not\cong Q_8$ を示せ。

解答

$D_4$ ： $e$ は位数 1、 $r, r^3$ は位数 4、 $r^2$ は位数 2、 $s, rs, r^2s, r^3s$ は位数 2（例 2.20）。位数 2 の元が 5 個、位数 4 の元が 2 個。

$Q_8$ ： $1$ は位数 1、 $-1$ は位数 2、 $\pm i, \pm j, \pm k$ は位数 4。位数 2 の元は 1 個、位数 4 の元は 6 個。

同型写像は元の位数を保つ（命題 2.39(4) を同型写像とその逆に適用）ので、位数 2 の元の個数が異なる $D_4$ と $Q_8$ は同型でない。

中心： $sr^k = r^{-k}s$ より $r^k$ が $s$ と可換 $\iff r^{2k} = e \iff 4 \mid 2k$ なので、 $r^k$ のうち中心に入りうるのは $e, r^2$ で、実際これらは $r$ とも可換である。 $r^ks$ は $r$ と可換でない（ $r \cdot r^ks = r^{k+1}s$ 、 $r^ks \cdot r = r^{k-1}s$ で $r^2 \neq e$ ）。よって $Z(D_4) = \lbrace e, r^2 \rbrace$ 。 $Q_8$ では $\pm 1$ は中心に入り、 $i$ は $j$ と、 $j$ は $k$ と、 $k$ は $i$ と可換でないので $Z(Q_8) = \lbrace \pm 1 \rbrace$ 。

問題 2.2 ★ $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$ の部分群をすべて求めよ。また、位数 4 の元と位数 10 の元をすべて挙げよ。

解答

定理 2.23(3) より、 $20$ の約数 $d = 1, 2, 4, 5, 10, 20$ に対応して、部分群は $\langle \overline{20/d} \rangle$ の 6 個：

\lbrace \overline{0} \rbrace, \quad \langle \overline{10} \rangle = \lbrace \overline{0}, \overline{10} \rbrace, \quad \langle \overline{5} \rangle = \lbrace \overline{0}, \overline{5}, \overline{10}, \overline{15} \rbrace, \quad \langle \overline{4} \rangle = \lbrace \overline{0}, \overline{4}, \overline{8}, \overline{12}, \overline{16} \rbrace, \quad \langle \overline{2} \rangle, \quad \mathbb{Z}/20\mathbb{Z}

命題 2.19(3) より $\overline{k}$ の位数は $20/\gcd(20, k)$ 。位数 4 $\iff \gcd(20, k) = 5$ なので $\overline{5}, \overline{15}$ （ $\varphi(4) = 2$ 個）。位数 10 $\iff \gcd(20, k) = 2$ なので $\overline{2}, \overline{6}, \overline{14}, \overline{18}$ （ $\varphi(10) = 4$ 個）。

問題 2.3 ★ (1) すべての元 $x$ が $x^2 = e$ をみたす群は可換であることを示せ。 (2) 可換群 $G$ の元 $a, b$ が $\operatorname{ord}(a) = m$ , $\operatorname{ord}(b) = n$ , $\gcd(m, n) = 1$ をみたすならば、 $\operatorname{ord}(ab) = mn$ であることを示せ。

解答

(1) 仮定より各元は自分自身の逆元である。よって $ab = (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = ba$ 。

(2) 可換性より $(ab)^{mn} = (a^m)^n(b^n)^m = e$ なので、 $k = \operatorname{ord}(ab)$ は $mn$ を割る。 $(ab)^k = e$ より $a^k = b^{-k} \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ 。 $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ は位数 $m$ の群と位数 $n$ の群の共通の部分群なので、ラグランジュの定理よりその位数は $\gcd(m, n) = 1$ を割り、 $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \lbrace e \rbrace$ 。よって $a^k = e$ , $b^k = e$ で、 $m \mid k$ , $n \mid k$ 。 $\gcd(m, n) = 1$ より $mn \mid k$ 。したがって $k = mn$ 。

問題 2.4 ★★ $H, K$ を有限群 $G$ の部分群とし、 $HK = \lbrace hk \mid h \in H, k \in K \rbrace$ とおく。 (1) $\lvert HK \rvert = \lvert H \rvert\lvert K \rvert/\lvert H \cap K \rvert$ を示せ。 (2) $\mathfrak{S}_3$ で $H = \langle (1\ 2) \rangle$ , $K = \langle (1\ 3) \rangle$ とすると、 $HK$ は部分群でないことを示せ。

解答

(1) 写像 $\mu\colon H \times K \to HK$ , $(h, k) \mapsto hk$ は全射である。 $hk$ の逆像が $\lbrace (hx, x^{-1}k) \mid x \in H \cap K \rbrace$ に一致することを示す。 $(hx)(x^{-1}k) = hk$ は明らか。逆に $h'k' = hk$ なら $x := h^{-1}h' = kk'^{-1}$ は $H$ と $K$ の両方に属し、 $h' = hx$ , $k' = x^{-1}k$ 。また $x$ が異なれば $hx$ も異なる。よって各逆像はちょうど $\lvert H \cap K \rvert$ 個の元をもち、 $\lvert H \times K \rvert = \lvert HK \rvert \lvert H \cap K \rvert$ 。

(2) $H \cap K = \lbrace e \rbrace$ なので $\lvert HK \rvert = 4$ 。実際 $HK = \lbrace e, (1\ 2), (1\ 3), (1\ 2)(1\ 3) \rbrace$ で、 $(1\ 2)(1\ 3) = (1\ 3\ 2)$ 。 $4$ は $6$ を割らないので、ラグランジュの定理より $HK$ は部分群でない。

問題 2.5 ★★ $G/Z(G)$ が巡回群ならば $G$ は可換群であることを示せ。これを用いて、可換でない有限群 $G$ について $[G : Z(G)]$ は素数でないことを示せ。

解答

$Z = Z(G)$ とし、 $G/Z = \langle gZ \rangle$ とする。任意の $x, y \in G$ は $x = g^iz$ , $y = g^jw$ （ $i, j \in \mathbb{Z}$ , $z, w \in Z$ ）と書ける。 $z, w$ は中心の元なので

xy = g^izg^jw = g^{i+j}zw, \qquad yx = g^jwg^iz = g^{i+j}wz = g^{i+j}zw

よって $xy = yx$ 。

$G$ が可換でなく $[G : Z]$ が素数 $p$ だとすると、系 2.30(2) より $G/Z$ は巡回群であり、前半より $G$ は可換となって矛盾する。

問題 2.6 ★★ $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2) \cong \mathfrak{S}_3$ を示せ。

解答

$\mathbb{F}_2^2$ の零でないベクトルは $v_1 = {}^t(1, 0)$ , $v_2 = {}^t(0, 1)$ , $v_3 = {}^t(1, 1)$ の 3 個である。 $A \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ は $\mathbb{F}_2^2$ 上の全単射で $0$ を $0$ に写すので、 $\lbrace v_1, v_2, v_3 \rbrace$ を置換する。これを $\rho(A) \in \mathfrak{S}_3$ （ $Av_i = v_{\rho(A)(i)}$ ）とおくと、 $(AB)v_i = A(Bv_i)$ より $\rho(AB) = \rho(A)\rho(B)$ で、 $\rho$ は準同型である。 $\rho(A) = e$ なら $Av_1 = v_1$ , $Av_2 = v_2$ より $A = E$ 。よって $\rho$ は単射で、 $\lvert \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2) \rvert = 6 = \lvert \mathfrak{S}_3 \rvert$ （例 2.7）なので全単射、したがって同型である。

問題 2.7 ★★ 第 1 同型定理を用いて、次の同型を示せ。 (1) $\mathbb{C}^\times/\mu_n \cong \mathbb{C}^\times$ 　(2) $\mathbb{R}^\times/\lbrace \pm 1 \rbrace \cong \mathbb{R}_{>0}$

解答

(1) $f\colon \mathbb{C}^\times \to \mathbb{C}^\times$ , $z \mapsto z^n$ は $\mathbb{C}^\times$ が可換なので準同型である。 $w = \rho e^{i\theta}$ （ $\rho > 0$ ）に対し $z = \rho^{1/n}e^{i\theta/n}$ とおけば $z^n = w$ なので全射。 $\operatorname{Ker} f = \mu_n$ 。第 1 同型定理より $\mathbb{C}^\times/\mu_n \cong \mathbb{C}^\times$ 。

(2) $x \mapsto \lvert x \rvert$ は $\mathbb{R}^\times$ から $\mathbb{R}_{>0}$ への全射準同型で、核は $\lbrace \pm 1 \rbrace$ 。

（(1) は、剰余群がもとの群と同型になりうることを示している。有限群ではこのようなことは起こらない。）

問題 2.8 ★★ $n \geq 3$ とする。 $D_n$ の中心を求めよ。

解答

$r^k$ （ $0 \leq k < n$ ）について： $sr^k = r^{-k}s$ なので $r^k$ が $s$ と可換 $\iff r^{2k} = e \iff n \mid 2k$ 。 $0 \leq k < n$ でこれをみたすのは $k = 0$ と、 $n$ が偶数のときの $k = n/2$ である。これらは $r$ とも可換なので $\langle r, s \rangle = D_n$ の全元と可換である。

$r^ks$ について： $r \cdot r^ks = r^{k+1}s$ 、 $r^ks \cdot r = r^kr^{-1}s = r^{k-1}s$ で、これらが等しいのは $r^2 = e$ のときだが $n \geq 3$ なので成り立たない。

よって $n$ が奇数なら $Z(D_n) = \lbrace e \rbrace$ 、 $n$ が偶数なら $Z(D_n) = \lbrace e, r^{n/2} \rbrace$ 。

問題 2.9 ★★★ (1) $(\mathbb{Q}, +)$ の有限生成部分群は巡回群であることを示せ。 (2) $(\mathbb{Q}, +)$ は有限生成でないことを示せ。

解答

(1) $H = \langle a_1/b_1, \dots, a_k/b_k \rangle$ （ $a_i \in \mathbb{Z}$ , $b_i \in \mathbb{N}$ ）とし、 $b = b_1b_2\cdots b_k$ とおく。各生成元は $1/b$ の整数倍なので $H \subset \langle 1/b \rangle$ 。 $\langle 1/b \rangle$ は巡回群であり、定理 2.23(1) よりその部分群 $H$ も巡回群である。

(2) $\mathbb{Q}$ が有限生成なら (1) より $\mathbb{Q} = \langle x \rangle$ と書ける。 $x \neq 0$ であり、 $x/2 \in \mathbb{Q}$ なので $x/2 = mx$ となる $m \in \mathbb{Z}$ があるが、 $m = 1/2$ となって矛盾する。

問題 2.10 ★★ (1) 有限群 $G$ の部分群 $H$ が、位数 $\lvert H \rvert$ の $G$ の部分群としてただ一つのものならば、 $H \trianglelefteq G$ であることを示せ。 (2) $N \trianglelefteq G$ （ $G$ は有限群）で $\lvert N \rvert$ と $[G : N]$ が互いに素ならば、 $N$ は位数 $\lvert N \rvert$ の唯一の部分群であることを示せ。

解答

(1) 任意の $g \in G$ について、 $gHg^{-1} = c_g(H)$ は自己同型 $c_g$ による $H$ の像なので、 $H$ と同じ位数の部分群である。一意性より $gHg^{-1} = H$ 。

(2) $H \leq G$ , $\lvert H \rvert = \lvert N \rvert$ とする。第 2 同型定理より $HN/N \cong H/(H \cap N)$ 。左辺は $G/N$ の部分群なので位数は $[G : N]$ を割り、右辺の位数は $\lvert H \rvert = \lvert N \rvert$ を割る。両者は互いに素なので $\lvert HN/N \rvert = 1$ 、すなわち $HN = N$ で $H \subset N$ 。位数が等しいので $H = N$ 。