環とイデアル

この章の目標

• 環・整域・体の定義を理解し、$\mathbb{Z}$、多項式環、行列環、関数環、ガウス整数、四元数で具体的に計算できる
• イデアルと剰余環を扱い、環の準同型定理を証明して剰余環を具体的に決定できる
• 素イデアル・極大イデアルを剰余環によって特徴づけ、極大イデアルの存在をツォルンの補題で証明できる
• 環の中国剰余定理・分数体・多項式環の代入・標数と素体を理解する

前提：第1章（整数と合同式）、第2章（剰余群と準同型定理）、00-foundations 第6章（ツォルンの補題）

群は 1 つの演算をもつ集合であった。整数・多項式・行列には足し算と掛け算の 2 つの演算があり、分配法則で結びついている。この構造を抽象化したものが環である。

環論の中心的な概念はイデアルである。$\mathbb{Z}$ の「$n$ の倍数全体」$n\mathbb{Z}$ は、足し算で閉じているだけでなく、任意の整数を掛けても外に出ない。この性質をもつ部分集合がイデアルであり、イデアルで割ることで剰余環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ のような新しい環が作られる。19 世紀にクンマーとデデキントは、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ のような環で素因数分解の一意性が崩れる現象を、「数」の代わりにイデアルを考えることで救った（第6章、代数的整数論 第2章）。

5.1 環の定義と例

定義 5.1（環, ring）集合 $R$ と 2 つの演算 $+$（加法）、$\cdot$（乗法）の組が次をみたすとき、$R$ を環という。

1. $(R, +)$ は可換群である。その単位元を $0$、$a$ の逆元を $-a$ と書く。
2. 乗法は結合法則 $(ab)c = a(bc)$ をみたし、単位元 $1$（$1a = a1 = a$）をもつ。
3. 分配法則 $a(b + c) = ab + ac$, $(a + b)c = ac + bc$ が成り立つ。

任意の $a, b$ について $ab = ba$ が成り立つ環を可換環 (commutative ring) という。

本教材では環は必ず乗法の単位元 $1$ をもつとする（NOTATION）。$\lbrace 0 \rbrace$ も $1 = 0$ である環とみなし、零環 (zero ring) という。

命題 5.2 環 $R$ の任意の元 $a, b$ について

1. $0a = a0 = 0$
2. $(-a)b = a(-b) = -(ab)$、$(-a)(-b) = ab$、特に $(-1)a = -a$
3. $1 = 0$ ならば $R = \lbrace 0 \rbrace$

証明. (1) $0a = (0 + 0)a = 0a + 0a$ の両辺に $-0a$ を加えて $0a = 0$。$a0$ も同様。(2) $ab + (-a)b = (a + (-a))b = 0b = 0$ より $(-a)b = -(ab)$。$a(-b)$ も同様で、$(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = ab$。(3) $a = 1a = 0a = 0$。$\square$

定義 5.3（部分環）環 $R$ の部分集合 $S$ が $1$ を含み、減法と乗法で閉じているとき、$S$ を $R$ の部分環 (subring) という。

例 5.4（環の例）

1. $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ は可換環であり、$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ は部分環の列である。$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ も可換環である。
2. 多項式環 (polynomial ring)：可換環 $R$ に対し、$R$ 係数の $x$ の多項式 $f = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$ 全体 $R[x]$ は通常の和と積

で可換環になる（厳密な定義は 5.9 節）。$a_n \neq 0$ のとき $n$ を $f$ の次数 (degree) $\deg f$、$a_n$ を最高次係数 (leading coefficient) といい、$a_n = 1$ のとき $f$ をモニック (monic) という。$\deg 0 = -\infty$ と約束する。繰り返して多変数多項式環 $R[x_1, \dots, x_n] = R[x_1, \dots, x_{n-1}][x_n]$ が定まる。 3. 行列環：環 $R$ に対し $R$ 成分の $n$ 次正方行列全体 $\operatorname{M}_n(R)$ は行列の和と積で環になる。$n \geq 2$ なら可換でない：$(i, j)$ 成分だけが $1$ で他が $0$ の行列を $E_{ij}$ とすると $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22} = E_{21}E_{12}$。 4. 関数環：集合 $X$ から環 $R$ への写像全体 $R^X$ は、各点ごとの和と積 $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$, $(fg)(x) = f(x)g(x)$ で環になる。$[0, 1]$ 上の実数値連続関数全体 $C([0, 1])$ はその部分環である。 5. ガウス整数環 (ring of Gaussian integers)：$\mathbb{Z}[i] = \lbrace a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \rbrace$ は $\mathbb{C}$ の部分環である（$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$）。同様に $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \lbrace a + b\sqrt{-5} \mid a, b \in \mathbb{Z} \rbrace$, $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ なども $\mathbb{C}$ の部分環である。 6. 四元数環 (quaternions)：$\mathbb{H} = \lbrace a + bi + cj + dk \mid a, b, c, d \in \mathbb{R} \rbrace$ に、第2章 例 2.8 の関係式 $i^2 = j^2 = k^2 = -1$, $ij = -ji = k$, $jk = -kj = i$, $ki = -ik = j$ と分配法則で積を定めたものは可換でない環である（第2章と同様に $\operatorname{M}_2(\mathbb{C})$ の部分環として実現すれば環の公理が従う）。$q = a + bi + cj + dk$ に対し $\overline{q} = a - bi - cj - dk$ とおくと、展開して $q\overline{q} = \overline{q}q = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ が確かめられる。 7. 直積：環 $R, S$ に対し $R \times S$ は成分ごとの演算で環になる（単位元は $(1, 1)$）。 8. 部分環でない例：$2\mathbb{Z}$ は加法と乗法で閉じているが $1$ を含まないので、本教材の約束では $\mathbb{Z}$ の部分環ではない。

5.2 単元・零因子・整域・体

定義 5.5 $R$ を環とする。

1. $ab = ba = 1$ となる $b \in R$ が存在する $a$ を単元（可逆元, unit）という。単元全体 $R^\times$ は乗法で群をなし、単元群 (group of units) という。
2. $a \neq 0$ で、$ab = 0$ または $ba = 0$ となる $b \neq 0$ が存在するとき、$a$ を零因子 (zero divisor) という。$a^n = 0$ となる $n \in \mathbb{N}$ が存在する $a$ を冪零元 (nilpotent element) という。
3. $1 \neq 0$ で零因子をもたない可換環を整域 (integral domain) という。
4. $1 \neq 0$ で $0$ 以外のすべての元が単元である環を斜体（可除環, division ring）といい、可換な斜体を体 (field) という。

整域では簡約律が成り立つ：$a \neq 0$, $ab = ac$ なら $a(b - c) = 0$ より $b = c$。

命題 5.6

1. 体は整域である。
2. 有限な整域は体である。

証明. (1) $a \neq 0$, $ab = 0$ なら $b = a^{-1}ab = 0$。(2) $R$ を有限整域、$a \neq 0$ とする。写像 $R \to R$, $x \mapsto ax$ は簡約律により単射で、$R$ は有限なので全射。よって $ax = 1$ となる $x$ があり、可換性より $a$ は単元。$\square$

例 5.7

1. $\mathbb{Z}$ は整域だが体でなく、$\mathbb{Z}^\times = \lbrace \pm 1 \rbrace$。$\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ は体。
2. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ が整域 $\iff$ 体 $\iff$ $n$ が素数（第1章 系 1.24）。$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ では $\overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{0}$。$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ では $\overline{2}^3 = \overline{0}$ で $\overline{2}$ は冪零元。
3. $R$ が整域なら $R[x]$ も整域で、$\deg(fg) = \deg f + \deg g$、$R[x]^\times = R^\times$ である。実際、$f, g$ の最高次係数 $a, b$ について $ab \neq 0$ なので $fg$ の最高次係数は $ab$ である。$fg = 1$ なら $\deg f + \deg g = 0$ で $f, g$ は定数。
4. 整域でない係数環では (3) は成り立たない：$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]$ で $(1 + 2x)^2 = 1 + 4x + 4x^2 = 1$ なので、$1 + 2x$ は 1 次の単元である。
5. $\operatorname{M}_n(K)$（$K$ は体, $n \geq 2$）では $E_{11}E_{22} = 0$ で、単元群は $\operatorname{GL}_n(K)$。
6. $C([0, 1])$ で $f(x) = \max(0, \frac{1}{2} - x)$, $g(x) = \max(0, x - \frac{1}{2})$ とすると $fg = 0$ なので零因子をもつ。単元は零点をもたない関数である。
7. $\mathbb{Z}[i]$ は $\mathbb{C}$ の部分環なので整域である。ノルム $N(a + bi) = a^2 + b^2 = \lvert a + bi \rvert^2$ は乗法的（$N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$）であり、$\alpha$ が単元なら $N(\alpha)N(\alpha^{-1}) = 1$ から $N(\alpha) = 1$、よって $\mathbb{Z}[i]^\times = \lbrace \pm 1, \pm i \rbrace$。
8. $\mathbb{H}$ は斜体だが体でない：$q \neq 0$ なら $q^{-1} = \overline{q}/(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)$。
9. $R \times S$（$R, S \neq 0$）は $(1, 0)(0, 1) = (0, 0)$ なので整域でない。
10. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \lbrace a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \rbrace$ は体である：$(a, b) \neq (0, 0)$ なら $\sqrt{2}$ の無理性から $a^2 - 2b^2 \neq 0$ で、$(a + b\sqrt{2})^{-1} = (a - b\sqrt{2})/(a^2 - 2b^2)$。

以下、特に断らない限り環は可換環とする。

5.3 イデアルと剰余環

剰余群 $G/N$ を作るには $N$ が正規部分群である必要があった。剰余環 $R/I$ で積 $(a + I)(b + I) = ab + I$ が well-defined であるための条件がイデアルである。

定義 5.8（イデアル, ideal）可換環 $R$ の部分集合 $I$ が

1. $I$ は $(R, +)$ の部分群である
2. 任意の $r \in R$, $a \in I$ について $ra \in I$

をみたすとき、$I$ を $R$ のイデアルという。非可換環では、2 の代わりに $ra \in I$（左イデアル）、$ar \in I$（右イデアル）、両方（両側イデアル）を考える。

$\lbrace 0 \rbrace$（$(0)$ とも書く）と $R$ はイデアルである。$I = R \iff 1 \in I \iff I$ が単元を含む（$u \in I$ が単元なら $1 = u^{-1}u \in I$）。$I \neq R$ となるイデアルを真のイデアルという。

$a_1, \dots, a_n \in R$ で生成されるイデアルを

と書く。1 つの元で生成されるイデアル $(a) = aR$ を単項イデアル (principal ideal) という。イデアル $I, J$ に対し、$I + J = \lbrace a + b \mid a \in I, b \in J \rbrace$、$I \cap J$、$IJ$（積 $ab$（$a \in I$, $b \in J$）の有限和全体）もイデアルであり、$IJ \subset I \cap J$ である。

命題 5.9 $1 \neq 0$ の可換環 $R$ が体であるための必要十分条件は、$R$ のイデアルが $(0)$ と $R$ だけであることである。

証明. 体なら、$(0)$ でないイデアルは $0$ でない元、すなわち単元を含むので $R$ に等しい。逆に $a \neq 0$ なら $(a) \neq (0)$ なので $(a) = R \ni 1$、すなわち $ab = 1$ となる $b$ がある。$\square$

例 5.10

1. $\mathbb{Z}$ のイデアルは $n\mathbb{Z} = (n)$（$n \geq 0$）に限る。イデアルは加法部分群であり、$\mathbb{Z}$ の部分群は $n\mathbb{Z}$ の形に限る（第2章 定理 2.23）からである。$(m) + (n) = (\gcd(m, n))$, $(m) \cap (n) = (\operatorname{lcm}(m, n))$, $(m)(n) = (mn)$。
2. $\mathbb{Z}[x]$ で $(2, x) = \lbrace 2f + xg \rbrace$ は定数項が偶数の多項式全体である。これは単項イデアルでない（問題 5.2）。
3. $C([0, 1])$ で $\mathfrak{m}_c = \lbrace f \mid f(c) = 0 \rbrace$（$c \in [0, 1]$）はイデアルである。
4. $\operatorname{M}_n(K)$ の両側イデアルは $0$ と全体だけである（問題 5.7）。一方、第 1 列以外が $0$ の行列全体は左イデアルである。

定理 5.11（剰余環）$I$ を可換環 $R$ のイデアルとする。加法群としての剰余群 $R/I$ に、積 $(a + I)(b + I) := ab + I$ を定めると well-defined であり、$R/I$ は可換環になる。これを剰余環（商環, quotient ring）という。自然な射影 $\pi\colon R \to R/I$, $a \mapsto a + I$ は環準同型（定義 5.12）である。

証明. $a' = a + x$, $b' = b + y$（$x, y \in I$）なら $a'b' = ab + (ay + xb + xy)$ で、括弧内はイデアルの性質 2 により $I$ に属する。よって $a'b' + I = ab + I$。環の公理は $R$ の公理から直ちに従う。$\square$

$a + I$ を $\overline{a}$ と書き、$a - b \in I$ を $a \equiv b \pmod{I}$ と書くことが多い。

5.4 環準同型と準同型定理

定義 5.12（環準同型, ring homomorphism）環 $R, S$ の間の写像 $f\colon R \to S$ が

$$f(a + b) = f(a) + f(b), \qquad f(ab) = f(a)f(b), \qquad f(1) = 1$$

をみたすとき、$f$ を環準同型写像という。全単射な環準同型を同型写像といい、同型写像が存在するとき $R \cong S$ と書く。

$\operatorname{Ker} f = f^{-1}(0)$ は $R$ のイデアルであり（$a \in \operatorname{Ker} f$ なら $f(ra) = f(r) \cdot 0 = 0$）、$\operatorname{Im} f$ は $S$ の部分環である。群の場合と同様に、$f$ が単射 $\iff \operatorname{Ker} f = (0)$。

例 5.13

1. 自然な射影 $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。複素共役 $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ は同型写像である。
2. 任意の環 $R$ に対し、環準同型 $\mathbb{Z} \to R$ はただ一つ存在する：$f(1) = 1$ から $f(n) = n \cdot 1 = 1 + \cdots + 1$（$n$ 個）と決まる。
3. 代入：$a \in R$ に対し $R[x] \to R$, $f \mapsto f(a)$ は環準同型である（5.9 節）。$\mathbb{R}[x] \to \mathbb{C}$, $f \mapsto f(i)$ も環準同型。
4. 準同型でない例：$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $n \mapsto 2n$ は加法を保つが積を保たない。$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $x \mapsto 3x$ は和と積を保つ（$9 \equiv 3 \pmod 6$ による）が、$1$ を $3$ に写すので本教材の約束では環準同型でない。

定理 5.14（環の準同型定理）$f\colon R \to S$ を環準同型とすると、$\overline{f}\colon R/\operatorname{Ker} f \to \operatorname{Im} f$, $a + \operatorname{Ker} f \mapsto f(a)$ は well-defined な環の同型写像である。

証明. 加法群としての第 1 同型定理（第2章 定理 2.41）により、$\overline{f}$ は well-defined な加法群の同型写像である。さらに $\overline{f}((a + I)(b + I)) = \overline{f}(ab + I) = f(ab) = f(a)f(b)$、$\overline{f}(1 + I) = 1$ なので環準同型である。$\square$

群の場合と同様に、対応定理が成り立つ：$I$ を含む $R$ のイデアル $J$ と $R/I$ のイデアルは $J \mapsto J/I = \pi(J)$ で 1 対 1 に対応し、$(R/I)/(J/I) \cong R/J$ である（第 3 同型定理）。証明は第2章 定理 2.45, 2.47 と同様で、$\pi(J)$ がイデアルになることは $\pi$ の全射性から、$\pi^{-1}$ でイデアルがイデアルに写ることは直接確かめられる。

例 5.15（剰余環の決定）

1. $\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}$：$\varphi\colon \mathbb{R}[x] \to \mathbb{C}$, $f \mapsto f(i)$ は $a + bx \mapsto a + bi$ より全射。$x^2 + 1 \in \operatorname{Ker} \varphi$ であり、逆に $f(i) = 0$ なら、$f$ を $x^2 + 1$ で割って $f = (x^2 + 1)q + (a + bx)$（5.9 節の除法の原理）とすると $a + bi = 0$ より $a = b = 0$。よって $\operatorname{Ker} \varphi = (x^2 + 1)$。同じ議論で $\mathbb{Z}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{Z}[i]$（モニック多項式による割り算は $\mathbb{Z}$ 係数でできる）。
2. $\mathbb{Z}[i]/(2 + i) \cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$：$\psi\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[i]/(2 + i)$ を考える。剰余環で $i \equiv -2$ なので $a + bi \equiv a - 2b$ となり $\psi$ は全射。$5 = (2 + i)(2 - i) \in (2 + i)$ なので $5\mathbb{Z} \subset \operatorname{Ker} \psi$。逆に $n = (2 + i)\beta$ なら $n^2 = N(n) = 5N(\beta)$ で、$5$ は素数なので $5 \mid n$。よって $\operatorname{Ker} \psi = 5\mathbb{Z}$。
3. $\mathbb{Z}[x]/(n) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[x]$（係数を $n$ で割った余りに写す準同型の核が $(n)$）。$\mathbb{Z}[x]/(2, x) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（$f \mapsto f(0) \bmod 2$ の核が $(2, x)$）。
4. $K$ を体、$a \in K$ とすると $K[x]/(x - a) \cong K$（$f \mapsto f(a)$ の核が $(x - a)$。因数定理（系 5.29）による）。
5. $C([0, 1])/\mathfrak{m}_c \cong \mathbb{R}$（$f \mapsto f(c)$ は全射で核は $\mathfrak{m}_c$）。

5.5 素イデアルと極大イデアル

素数 $p$ は「$p \mid ab \Rightarrow p \mid a$ または $p \mid b$」という性質をもつ（第1章 補題 1.14）。これをイデアルの言葉にしたものが素イデアルである。

定義 5.16（素イデアルと極大イデアル）$R$ を可換環とする。

1. 真のイデアル $\mathfrak{p}$ が「$ab \in \mathfrak{p} \Rightarrow a \in \mathfrak{p}$ または $b \in \mathfrak{p}$」をみたすとき、$\mathfrak{p}$ を素イデアル (prime ideal) という。
2. 真のイデアル $\mathfrak{m}$ で、$\mathfrak{m} \subsetneq J \subsetneq R$ となるイデアル $J$ が存在しないものを極大イデアル (maximal ideal) という。

定理 5.17 $R$ を可換環、$I$ をイデアルとする。

1. $I$ が素イデアル $\iff R/I$ が整域。
2. $I$ が極大イデアル $\iff R/I$ が体。

特に、極大イデアルは素イデアルである。

証明. (1) $R/I$ で $1 \neq 0 \iff 1 \notin I \iff I \neq R$。また $(a + I)(b + I) = 0 \iff ab \in I$ なので、「$R/I$ に零因子がない」は「$ab \in I \Rightarrow a \in I$ または $b \in I$」と同値である。

(2) $I$ が極大とし、$a \notin I$ とする。$I \subsetneq I + (a)$ なので極大性より $I + (a) = R$、よって $1 = x + ra$（$x \in I$, $r \in R$）と書け、$(r + I)(a + I) = 1 + I$。$I \neq R$ より $R/I$ において $1 \neq 0$ なので、$R/I$ は体である。逆に $R/I$ が体なら $I \neq R$ で、$I \subsetneq J$ となるイデアル $J$ から $a \in J \setminus I$ をとると、$a + I$ が可逆なので $ab - 1 \in I \subset J$ となる $b$ があり、$1 = ab - (ab - 1) \in J$、$J = R$。

最後の主張は、体が整域であること（命題 5.6）から従う。$\square$

例 5.18

1. $\mathbb{Z}$ の素イデアルは $(0)$ と $(p)$（$p$ は素数）であり、極大イデアルは $(p)$ である。$n \geq 2$ が合成数なら $n = ab$（$1 < a, b < n$）で $ab \in (n)$, $a, b \notin (n)$ なので $(n)$ は素イデアルでない。$(0)$ は素イデアルだが極大でない。
2. $K$ を体とすると $(x - a) \subset K[x]$ は極大イデアル（$K[x]/(x - a) \cong K$）。$\mathbb{R}[x]$ の $(x^2 + 1)$ も極大イデアル（$\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}$）。
3. $\mathbb{Z}[x]$ で、$(x)$ は素イデアル（$\mathbb{Z}[x]/(x) \cong \mathbb{Z}$ は整域）だが極大でない（$(x) \subsetneq (2, x) \subsetneq \mathbb{Z}[x]$）。$(2, x)$ は極大（剰余環は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$）。$(x^2 + 1)$ は素イデアル（剰余環は $\mathbb{Z}[i]$）で、$x^2 + 1 = (x - 2)(x + 2) + 5$ より $(x^2 + 1) \subsetneq (5, x - 2)$、$\mathbb{Z}[x]/(5, x - 2) \cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ なので $(5, x - 2)$ は極大である。こうして素イデアルの列 $(0) \subsetneq (x^2 + 1) \subsetneq (5, x - 2)$ が得られる。
4. $C([0, 1])$ の $\mathfrak{m}_c$ は極大イデアル（剰余環は $\mathbb{R}$）。実は $C([0, 1])$ の極大イデアルはこれで尽きる（問題 5.9）。
5. $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の素イデアルは、対応定理により $12\mathbb{Z}$ を含む $\mathbb{Z}$ の素イデアル $(2), (3)$ に対応する $(\overline{2}), (\overline{3})$ であり、これらは極大でもある。

命題 5.19 $f\colon R \to S$ を可換環の準同型、$\mathfrak{q}$ を $S$ の素イデアルとすると、$f^{-1}(\mathfrak{q})$ は $R$ の素イデアルである。

証明. $f(1) = 1 \notin \mathfrak{q}$ より $f^{-1}(\mathfrak{q}) \neq R$。$ab \in f^{-1}(\mathfrak{q})$ なら $f(a)f(b) \in \mathfrak{q}$ で、$f(a) \in \mathfrak{q}$ または $f(b) \in \mathfrak{q}$。$\square$

5.6 極大イデアルの存在

定理 5.20（クルル, Krull）$R$ を零環でない可換環、$I$ を真のイデアルとすると、$I$ を含む極大イデアルが存在する。特に $R$ は極大イデアルをもつ。

証明. $\mathcal{S} = \lbrace J \mid J \text{ は } R \text{ のイデアルで } I \subset J \neq R \rbrace$ を包含関係で順序づける。$I \in \mathcal{S}$ なので $\mathcal{S} \neq \emptyset$。$\mathcal{C} \subset \mathcal{S}$ を空でない全順序部分集合（鎖）とし、$U = \bigcup_{J \in \mathcal{C}} J$ とおく。$a, b \in U$ なら $a \in J_1$, $b \in J_2$（$J_1, J_2 \in \mathcal{C}$）で、全順序性からたとえば $J_1 \subset J_2$ なので $a - b \in J_2 \subset U$。また $r \in R$ なら $ra \in J_1 \subset U$。よって $U$ はイデアルであり、$I \subset U$。さらに各 $J \in \mathcal{C}$ は $1$ を含まないので $1 \notin U$、すなわち $U \neq R$。よって $U \in \mathcal{S}$ は $\mathcal{C}$ の上界である（空の鎖の上界としては $I$ がとれる）。ツォルンの補題（00-foundations 第6章）により $\mathcal{S}$ は極大元 $\mathfrak{m}$ をもつ。$\mathfrak{m} \subsetneq J \subsetneq R$ となるイデアル $J$ があれば $J \in \mathcal{S}$ となり極大性に反するので、$\mathfrak{m}$ は極大イデアルである。$\square$

系 5.21 $a \in R$ が単元であるための必要十分条件は、$a$ がどの極大イデアルにも属さないことである。

証明. 単元はどの真のイデアルにも属さない。単元でなければ $(a) \neq R$ なので、定理 5.20 より $(a)$ を含む極大イデアルがある。$\square$

5.7 中国剰余定理

第1章の中国剰余定理は、環とイデアルの言葉で一般化される。

定義 5.22 可換環 $R$ のイデアル $I, J$ が $I + J = R$ をみたすとき、$I$ と $J$ は互いに素 (coprime, comaximal) であるという。

$\mathbb{Z}$ では $(m) + (n) = (\gcd(m, n))$ なので、$(m), (n)$ が互いに素 $\iff \gcd(m, n) = 1$ である。

定理 5.23（中国剰余定理, Chinese remainder theorem）可換環 $R$ のイデアル $I_1, \dots, I_n$ がどの 2 つも互いに素ならば、$I_1 \cap \cdots \cap I_n = I_1I_2\cdots I_n$ であり、

$$R/(I_1 \cap \cdots \cap I_n) \to R/I_1 \times \cdots \times R/I_n, \qquad a + \textstyle\bigcap_k I_k \mapsto (a + I_1, \dots, a + I_n)$$

は環の同型写像である。

証明. $n = 2$ の場合：$I + J = R$ より $1 = a + b$（$a \in I$, $b \in J$）と書ける。$IJ \subset I \cap J$ であり、逆に $x \in I \cap J$ なら $x = xa + xb$ で、$xa \in JI$、$xb \in IJ$ なので $x \in IJ$。環準同型 $\varphi\colon R \to R/I \times R/J$, $r \mapsto (r + I, r + J)$ の核は $I \cap J$ である。全射性：$(x + I, y + J)$ に対し $r = xb + ya$ とおくと、$r = x(1 - a) + ya \equiv x \pmod I$、$r = xb + y(1 - b) \equiv y \pmod J$。準同型定理より主張が従う。

一般の場合：$n$ についての帰納法。各 $k \geq 2$ について $1 = a_k + b_k$（$a_k \in I_1$, $b_k \in I_k$）と書くと

（展開すると $b_2 \cdots b_n$ 以外の項は $I_1$ に属する）なので、$I_1$ と $I_2 \cdots I_n$ は互いに素である。帰納法の仮定より $I_2 \cap \cdots \cap I_n = I_2 \cdots I_n$ で、$n = 2$ の場合を $I_1$ と $I_2 \cdots I_n$ に適用すれば $\bigcap_k I_k = I_1 I_2 \cdots I_n$、および $R/\bigcap_k I_k \cong R/I_1 \times R/(I_2 \cdots I_n) \cong R/I_1 \times R/I_2 \times \cdots \times R/I_n$（後者は帰納法の仮定）。$\square$

例 5.24

1. $R = \mathbb{Z}$ なら第1章 定理 1.28 そのものである。
2. ラグランジュ補間：$K$ を体、$a_1, \dots, a_n \in K$ を相異なる元とすると、$(x - a_i) + (x - a_j) \ni a_j - a_i$（単元）なので互いに素であり、$K[x]/((x - a_1)\cdots(x - a_n)) \cong K^n$。すなわち、$n$ 個の点で任意の値をとる $n - 1$ 次以下の多項式がただ一つ存在する。
3. $\mathbb{R}[x]/(x^2 - 1) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$（$f \mapsto (f(1), f(-1))$）。
4. $\mathbb{Z}[i]$ で $(2 + i) + (2 - i) \ni 5 - (2 + i) - (2 - i) = 1$ なので $(2 + i)$ と $(2 - i)$ は互いに素であり、$(2 + i)(2 - i) = (5)$。例 5.15(2) と同様に $\mathbb{Z}[i]/(2 - i) \cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ なので、$\mathbb{Z}[i]/(5) \cong \mathbb{F}_5 \times \mathbb{F}_5$。

5.8 分数体

$\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Q}$ を作るように、整域には分数を付け加えて体を作ることができる。

定理 5.25（分数体, field of fractions）$R$ を整域とする。$R \times (R \setminus \lbrace 0 \rbrace)$ 上の関係 $(a, b) \sim (c, d) \iff ad = bc$ は同値関係である。$(a, b)$ の同値類を $a/b$ と書き、商集合を $\operatorname{Frac}(R)$ とおくと、

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}, \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

は well-defined で、$\operatorname{Frac}(R)$ は体になる。$\iota\colon R \to \operatorname{Frac}(R)$, $a \mapsto a/1$ は単射な環準同型である。さらに、体 $L$ への単射な環準同型 $f\colon R \to L$ は $\tilde{f}(a/b) = f(a)f(b)^{-1}$ によって $\operatorname{Frac}(R)$ からの環準同型に一意的に拡張される。

証明. 反射律・対称律は明らか。推移律：$ad = bc$, $cf = de$ なら $adf = bcf = bde$ で、$d(af - be) = 0$, $d \neq 0$ と $R$ が整域であることから $af = be$。$b, d \neq 0$ なら $bd \neq 0$（整域）なので演算の右辺は意味をもつ。和の well-defined 性：$(a, b) \sim (a', b')$ なら $(ad + bc)b'd = ab'dd + bb'cd = a'bdd + bb'cd = (a'd + b'c)bd$ より $(ad + bc, bd) \sim (a'd + b'c, b'd)$。積も同様である。環の公理は分数の通常の計算と同じく直接確かめられ、零元は $0/1$、単位元は $1/1$。$a/b \neq 0$（すなわち $a \neq 0$）なら $(a/b)(b/a) = ab/ab = 1/1$ なので体である。$\iota$ が準同型であることは明らかで、$a/1 = 0/1 \iff a = 0$ より単射。

拡張：$f$ が単射なので $b \neq 0$ なら $f(b) \neq 0$ で、$\tilde{f}(a/b) = f(a)f(b)^{-1}$ は意味をもつ。$ad = bc$ なら $f(a)f(d) = f(b)f(c)$ より $f(a)f(b)^{-1} = f(c)f(d)^{-1}$ なので well-defined であり、準同型性は計算で確かめられる。$\tilde{f}(b/1) = f(b)$ と $\tilde{f}(a/b)\tilde{f}(b/1) = \tilde{f}(a/1)$ から、拡張は $f$ の値だけで決まり一意である。$\square$