体の拡大

この章の目標

• 拡大次数と最小多項式を計算でき、次数の乗法性を使って具体的な拡大の次数を決定できる
• 単純拡大 $K(\alpha) \cong K[x]/(f)$ を理解し、$K(\alpha)$ の中で逆元などを計算できる
• 定規とコンパスによる作図の問題を体の拡大の言葉に翻訳し、古典的な 3 つの作図問題の不可能性を証明できる
• 分解体の存在と一意性を証明し、正規拡大・分離拡大・完全体の概念を理解する
• 有限体の存在と一意性、乗法群の巡回性、原始元定理を証明できる

前提：第5章（剰余環、極大イデアル、標数、フロベニウス準同型）、第6章（既約多項式、アイゼンシュタインの判定法）、02-linear-algebra 第2章（基底と次元）

$x^2 - 2$ は $\mathbb{Q}$ に根をもたないが、$\mathbb{R}$ の中では根 $\sqrt{2}$ をもつ。$x^2 + 1$ は $\mathbb{R}$ に根をもたないが、$\mathbb{C}$ では根 $i$ をもつ。方程式を解くことは、係数の体を広げて根を含む体を作ることだといえる。本章では、体 $K$ とそれを含む体 $L$ の組（体の拡大）を、$L$ を $K$ 上のベクトル空間とみる線形代数と、第5章・第6章の多項式環の理論を組み合わせて調べる。

主な成果は二つある。一つは、ギリシャ以来の作図問題（立方倍積・角の三等分・円積問題）が「拡大次数が 2 のべきでない」という単純な理由で不可能になることである。もう一つは、分解体・正規拡大・分離拡大・有限体といった、第9章のガロア理論の舞台を整えることである。

本章では $K, L, M$ などは体を表す。

8.1 拡大体と拡大次数

体の準同型 $\sigma\colon K \to L$ は必ず単射である。実際 $\operatorname{Ker} \sigma$ は $K$ のイデアルで、$\sigma(1) = 1 \neq 0$ より $K$ 全体ではないから $\lbrace 0 \rbrace$ である（第5章 命題 5.9）。そこで $\sigma$ によって $K$ を $L$ の部分体と同一視することが多い。

定義 8.1（拡大体・拡大次数）体 $L$ が体 $K$ を部分体として含むとき、$L$ を $K$ の拡大体 (extension field) といい、$L/K$ を体の拡大 (field extension) という。$L$ は $K$ 上のベクトル空間であり、その次元 $[L : K] := \dim_K L$ を拡大次数 (degree) という。$[L : K] < \infty$ のとき有限次拡大 (finite extension) という。$K \subset M \subset L$ となる体 $M$ を $L/K$ の中間体 (intermediate field) という。

例 8.2

1. $[\mathbb{C} : \mathbb{R}] = 2$（基底 $1, i$）。
2. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) := \lbrace a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \rbrace$ は $\mathbb{R}$ の部分体である。和・差・積で閉じていることは明らかで、$(a, b) \neq (0, 0)$ なら $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ より $a^2 - 2b^2 \neq 0$ であり、$(a + b\sqrt{2})^{-1} = (a - b\sqrt{2})/(a^2 - 2b^2)$ となる。$1, \sqrt{2}$ は $\mathbb{Q}$ 上一次独立なので $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2$。
3. $[\mathbb{R} : \mathbb{Q}] = \infty$。$\mathbb{Q}$ 上有限次元のベクトル空間は $\mathbb{Q}^n$ と同型で可算集合だが、$\mathbb{R}$ は非可算である（00-foundations 第5章）。
4. 有理関数体 $K(t) = \operatorname{Frac}(K[t])$ について $[K(t) : K] = \infty$（$1, t, t^2, \dots$ が一次独立）。

定理 8.3（次数の乗法性, tower law）$K \subset M \subset L$ を体の拡大とする。$\lbrace \alpha_i \rbrace_{i \in I}$ が $M$ の $K$ 上の基底、$\lbrace \beta_j \rbrace_{j \in J}$ が $L$ の $M$ 上の基底ならば、$\lbrace \alpha_i\beta_j \rbrace_{(i, j) \in I \times J}$ は $L$ の $K$ 上の基底である。特に

$$[L : K] = [L : M]\,[M : K]$$

であり、$L/K$ が有限次 $\iff$ $L/M$ と $M/K$ がともに有限次である。

証明. 生成：$\gamma \in L$ は $\gamma = \sum_j b_j\beta_j$（$b_j \in M$、有限和）と書け、各 $b_j = \sum_i a_{ij}\alpha_i$（$a_{ij} \in K$）と書けるので $\gamma = \sum_{i, j} a_{ij}\alpha_i\beta_j$。一次独立：$\sum_{i, j} a_{ij}\alpha_i\beta_j = 0$（$a_{ij} \in K$ は有限個を除いて $0$）とすると $\sum_j \bigl(\sum_i a_{ij}\alpha_i\bigr)\beta_j = 0$ で、括弧内は $M$ の元だから、$\beta_j$ の $M$ 上の一次独立性より各 $j$ で $\sum_i a_{ij}\alpha_i = 0$、さらに $\alpha_i$ の一次独立性よりすべての $a_{ij} = 0$。基底の濃度は $\lvert I \times J \rvert$ なので次数の等式が従い、有限性の同値もここから従う。$\square$

系 8.4 $L/K$ が有限次拡大で $M$ がその中間体ならば、$[M : K]$ と $[L : M]$ はともに $[L : K]$ を割り切る。

たとえば $[L : K]$ が素数なら、中間体は $K$ と $L$ しかない（問題 8.2）。

8.2 代数的元と最小多項式

$\sqrt{2}$ は有理数係数の多項式 $x^2 - 2$ の根だが、$\pi$ はどんな有理数係数の多項式の根にもならない。この違いを定式化する。

定義 8.5（代数的・超越的）$L/K$ を拡大、$\alpha \in L$ とする。$f(\alpha) = 0$ となる $0$ でない $f \in K[x]$ が存在するとき、$\alpha$ は $K$ 上代数的 (algebraic) であるといい、そうでないとき超越的 (transcendental) であるという。$\mathbb{Q}$ 上代数的な複素数を代数的数、超越的な複素数を超越数という。

$\alpha_1, \dots, \alpha_n \in L$ に対し、$K$ と $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ を含む $L$ の最小の部分環を $K[\alpha_1, \dots, \alpha_n]$、最小の部分体を $K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ と書く。1 元で生成される拡大 $K(\alpha)/K$ を単純拡大 (simple extension) という。

$K[\alpha]$ は代入準同型 $\operatorname{ev}_\alpha\colon K[x] \to L$, $f \mapsto f(\alpha)$ の像であり（第5章 5.9 節）、$K(\alpha)$ は $f(\alpha)/g(\alpha)$（$g(\alpha) \neq 0$）の形の元全体である。$\operatorname{Ker} \operatorname{ev}_\alpha$ は $K[x]$ のイデアルなので単項イデアルであり（第5章 系 5.31）、$\alpha$ が代数的であることは $\operatorname{Ker} \operatorname{ev}_\alpha \neq (0)$ と同値である。

定義 8.6（最小多項式, minimal polynomial）$\alpha$ が $K$ 上代数的なとき、$\operatorname{Ker} \operatorname{ev}_\alpha$ の生成元でモニック（最高次係数が $1$）なものを $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式といい、$m_{\alpha, K}$（$K$ が明らかなら $m_\alpha$）と書く。$\deg m_{\alpha, K}$ を $\alpha$ の $K$ 上の次数という。

命題 8.7 $\alpha$ を $K$ 上代数的とし、$m = m_{\alpha, K}$ とする。

1. $f \in K[x]$ について、$f(\alpha) = 0 \iff m \mid f$。
2. $m$ は既約である。逆に、$\alpha$ を根にもつモニックな既約多項式は $m$ に限る。
3. $m$ は、$\alpha$ を根にもつ $0$ でない多項式のうち次数が最小のモニック多項式である。

証明. (1) は定義そのものである。(2) $m = gh$（$g, h$ は 1 次以上）なら $g(\alpha)h(\alpha) = 0$ で、$L$ は整域なので $g(\alpha) = 0$ または $h(\alpha) = 0$。(1) より $m \mid g$ または $m \mid h$ となり、次数に反する。モニックな既約多項式 $f$ が $f(\alpha) = 0$ をみたせば、(1) より $m \mid f$ で、$f$ は既約かつ $m$ は定数でないので $f = m$。(3) は (1) から従う。$\square$

定理 8.8（単純拡大の構造）$\alpha \in L$ を $K$ 上代数的とし、$m = m_{\alpha, K}$, $n = \deg m$ とする。

1. $K[\alpha] = K(\alpha)$ であり、$x \mapsto \alpha$ により体の同型 $K[x]/(m) \cong K(\alpha)$ が得られる。
2. $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ は $K(\alpha)$ の $K$ 上の基底である。特に $[K(\alpha) : K] = \deg m_{\alpha, K}$。

$\alpha$ が超越的ならば $K[x] \cong K[\alpha]$, $K(x) \cong K(\alpha)$ であり、$[K(\alpha) : K] = \infty$ である。

証明. (1) 準同型定理（第5章 定理 5.14）より $K[x]/(m) \cong \operatorname{Im} \operatorname{ev}_\alpha = K[\alpha]$。$m$ は既約なので $K[x]/(m)$ は体である（第6章 系 6.15）。よって $K[\alpha]$ は $K$ と $\alpha$ を含む体であり、$K[\alpha] \subset K(\alpha)$ と $K(\alpha)$ の最小性から $K[\alpha] = K(\alpha)$。(2) $f(\alpha) \in K[\alpha]$ に対し $f = qm + r$（$\deg r < n$）と割ると $f(\alpha) = r(\alpha)$ なので、$1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ は $K(\alpha)$ を張る。$\sum_{i < n} c_i\alpha^i = 0$ なら、次数 $n$ 未満の多項式 $\sum_i c_ix^i$ が $\alpha$ を根にもつので、命題 8.7(3) よりそれは $0$。超越的な場合は $\operatorname{ev}_\alpha$ が単射なので、第5章 定理 5.25 により $K(x) = \operatorname{Frac}(K[x])$ からの単射準同型に拡張され、その像は $K$ と $\alpha$ を含む最小の体 $K(\alpha)$ である。$\square$

$K(\alpha)$ の元は $a_0 + a_1\alpha + \cdots + a_{n-1}\alpha^{n-1}$ と一意的に書け、積は $m(\alpha) = 0$ を使って次数を下げれば計算できる。逆元は拡張ユークリッド互除法で求まる：$g(\alpha) \neq 0$ なら $m \nmid g$ で、$m$ は既約だから $\gcd(g, m) = 1$。$ug + vm = 1$ となる $u, v \in K[x]$ をとれば $u(\alpha)g(\alpha) = 1$ である。

例 8.9（$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ での計算）$\theta = \sqrt[3]{2}$ とする。$x^3 - 2$ はアイゼンシュタインの判定法（$p = 2$）で既約なので、$m_\theta = x^3 - 2$、$[\mathbb{Q}(\theta) : \mathbb{Q}] = 3$ で、$\mathbb{Q}(\theta) = \lbrace a + b\theta + c\theta^2 \mid a, b, c \in \mathbb{Q} \rbrace$ である。$(\theta^2 + 1)^{-1}$ を求めよう。$g = x^2 + 1$, $m = x^3 - 2$ に互除法を行うと

これを逆にたどると

$x = \theta$ を代入して $(\theta^2 + 1)^{-1} = (1 + 2\theta - \theta^2)/5$ を得る。検算：$\theta^3 = 2$, $\theta^4 = 2\theta$ より $(\theta^2 + 1)(1 + 2\theta - \theta^2) = \theta^2 + 2\theta^3 - \theta^4 + 1 + 2\theta - \theta^2 = 4 - 2\theta + 1 + 2\theta = 5$。

例 8.10（最小多項式）

1. $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ とすると $\alpha^2 = 5 + 2\sqrt{6}$ より $(\alpha^2 - 5)^2 = 24$、すなわち $\alpha$ は $x^4 - 10x^2 + 1$ の根である。これが最小多項式であることは例 8.15 で示す。
2. 最小多項式は基礎体に依存する。$\sqrt{2}$ の最小多項式は $\mathbb{Q}$ 上では $x^2 - 2$、$\mathbb{R}$ 上では $x - \sqrt{2}$ である。一般に $K \subset M$ なら、命題 8.7(1) を $M$ 上で使って $m_{\alpha, M} \mid m_{\alpha, K}$。
3. $p$ を素数、$\zeta_p = e^{2\pi i/p}$ とする。$\zeta_p$ は $\Phi_p(x) = x^{p-1} + \cdots + x + 1$ の根で、$\Phi_p$ は既約（第6章 定理 6.26）なので $m_{\zeta_p, \mathbb{Q}} = \Phi_p$、$[\mathbb{Q}(\zeta_p) : \mathbb{Q}] = p - 1$。
4. $e$ と $\pi$ は超越数である（エルミート 1873 年、リンデマン 1882 年。証明は本教材では扱わない）。

8.3 代数拡大

定義 8.11（代数拡大）$L$ のすべての元が $K$ 上代数的であるとき、$L/K$ を代数拡大 (algebraic extension) という。

命題 8.12

1. 有限次拡大は代数拡大である。
2. $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in L$ が $K$ 上代数的ならば、$K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)/K$ は有限次拡大で、$[K(\alpha_1, \dots, \alpha_n) : K] \leq \prod_i \deg m_{\alpha_i, K}$ である。

証明. (1) $[L : K] = n$ なら、$\alpha \in L$ に対し $n + 1$ 個の元 $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ は一次従属で、その非自明な一次関係が $\alpha$ を根にもつ $0$ でない多項式を与える。(2) $K_i = K(\alpha_1, \dots, \alpha_i)$ とおくと $K_i = K_{i-1}(\alpha_i)$ で、$\alpha_i$ は $K_{i-1}$ 上でも $m_{\alpha_i, K}$ の根だから $[K_i : K_{i-1}] = \deg m_{\alpha_i, K_{i-1}} \leq \deg m_{\alpha_i, K}$（例 8.10(2)）。定理 8.3 を繰り返し使えばよい。$\square$

系 8.13 $L/K$ を拡大とすると、$L$ の元で $K$ 上代数的なもの全体は $L$ の部分体である。特に代数的数全体 $\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{C}$ の部分体である。

証明. $\alpha, \beta$ が代数的なら $K(\alpha, \beta)/K$ は有限次拡大（命題 8.12(2)）なので、その元 $\alpha \pm \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha/\beta$（$\beta \neq 0$）は代数的である（命題 8.12(1)）。$\square$

たとえば $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ や $\sqrt{2}\sqrt[5]{7}$ が代数的数であることは、最小多項式を計算しなくてもわかる。

命題 8.14（代数拡大の推移性）$M/K$ と $L/M$ がともに代数拡大ならば、$L/K$ も代数拡大である。

証明. $\alpha \in L$ の $M$ 上の最小多項式の係数を $c_0, \dots, c_{d-1}$ とし、$K' = K(c_0, \dots, c_{d-1})$ とおく。$K'/K$ は有限次で（命題 8.12(2)）、$\alpha$ は $K'$ 上代数的なので $K'(\alpha)/K'$ も有限次。定理 8.3 より $K'(\alpha)/K$ は有限次で、命題 8.12(1) より $\alpha$ は $K$ 上代数的である。$\square$

例 8.15（$\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$）$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : \mathbb{Q}] = 4$ を示す。$\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ を言えば $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : \mathbb{Q}(\sqrt{2})] = 2$ となり、定理 8.3 より次数は $2 \cdot 2 = 4$ である。$\sqrt{3} = a + b\sqrt{2}$（$a, b \in \mathbb{Q}$）とすると $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}$ で、$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ より $ab = 0$。$b = 0$ なら $\sqrt{3} = a \in \mathbb{Q}$、$a = 0$ なら $\sqrt{6} = 2b \in \mathbb{Q}$ となり、いずれも矛盾する。定理 8.3 の証明から、基底は $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$ である。

さらに $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ について $\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ である。実際 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ より $\alpha^{-1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ で、$\sqrt{3} = (\alpha + \alpha^{-1})/2$, $\sqrt{2} = (\alpha - \alpha^{-1})/2 \in \mathbb{Q}(\alpha)$。よって $\deg m_\alpha = 4$ であり、$\alpha$ を根にもつモニックな 4 次式 $x^4 - 10x^2 + 1$（例 8.10(1)）は $m_\alpha$ で割り切れるから $m_\alpha$ に一致する。特に $x^4 - 10x^2 + 1$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

8.4 定規とコンパスによる作図

古代ギリシャ以来、次の 3 つの作図問題が未解決のまま残されていた。

• 立方倍積問題：与えられた立方体の 2 倍の体積をもつ立方体の辺を作図せよ（辺 $1$ に対し $\sqrt[3]{2}$）。
• 角の三等分問題：与えられた角を三等分せよ。
• 円積問題：与えられた円と同じ面積の正方形を作図せよ（半径 $1$ に対し $\sqrt{\pi}$）。

これらが不可能であることは、19 世紀に体の拡大の言葉で証明された。

定義 8.16（作図可能な数）平面を $\mathbb{C}$ と同一視し、はじめに 2 点 $0, 1$ が与えられているとする。次の操作を有限回繰り返して得られる点を作図された点という。

1. 作図された 2 点を通る直線を引く。
2. 作図された点を中心とし、作図された 2 点間の距離を半径とする円を描く。
3. こうして引いた直線・円どうしの交点を、新たに作図された点とする。

作図された点である複素数を作図可能 (constructible) という。$\zeta_n = e^{2\pi i/n}$ が作図可能であるとき、正 $n$ 角形は作図可能であるという。

定理 8.17（作図可能性の必要条件）$z = x + yi$（$x, y \in \mathbb{R}$）が作図可能ならば、体の列 $\mathbb{Q} = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_m \subset \mathbb{R}$ で、各 $[F_j : F_{j-1}] = 2$ かつ $x, y \in F_m$ となるものが存在する。特に $[\mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q}]$, $[\mathbb{Q}(x) : \mathbb{Q}]$, $[\mathbb{Q}(y) : \mathbb{Q}]$ は 2 のべきである。

証明. ある段階までに作図された点の実部・虚部をすべて $\mathbb{Q}$ に添加した体を $F$ とする（$F \subset \mathbb{R}$）。$F$ の元を座標にもつ 2 点を通る直線の方程式は $ax + by = c$（$a, b, c \in F$）の形である。$F$ の元を座標にもつ点を中心とし、作図された 2 点間の距離 $r$ を半径とする円の方程式は $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$（$d, e, f \in F$）の形である（$r^2 \in F$ だから）。

• 2 直線の交点の座標は、$F$ 係数の連立一次方程式の解なので $F$ に属する。
• 直線と円の交点：直線の式で一方の変数を消去すると $F$ 係数の 2 次方程式になるので、交点の座標は $F(\sqrt{D})$（$D \in F$, $D \geq 0$ は判別式）に属する。
• 2 円の交点：2 つの円の式を引くと直線の式 $(d - d')x + (e - e')y + (f - f') = 0$ を得る（中心が同じ 2 円は交わらないか一致する）ので、直線と円の場合に帰着する。

よって 1 回の操作で新たに得られる点の座標は、$[F' : F] \leq 2$ となる体 $F' \subset \mathbb{R}$ に属する。次数 1 の段階を取り除けば主張の列を得る。さらに $z \in F_m(i)$ で、$F_m \subset \mathbb{R}$ より $[F_m(i) : \mathbb{Q}] = 2^{m+1}$ なので、系 8.4 より $[\mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q}]$ は 2 のべきである。$x, y \in F_m$ についても同様。$\square$

逆向きも成り立つ。こちらは初等幾何の作図を組み合わせるだけなので、概略にとどめる。

定理 8.18（作図可能性の十分条件）作図可能な複素数全体 $\mathcal{C}$ は $\mathbb{C}$ の部分体であり、$z \in \mathcal{C}$ ならば $z$ の平方根も $\mathcal{C}$ に属する。したがって、体の列 $\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_m \subset \mathbb{C}$ で各 $[K_j : K_{j-1}] = 2$ となるものがあれば、$K_m$ の元はすべて作図可能である。

証明の概略. 前半は初等幾何の標準的な作図による：垂線・平行線が引けること、円で長さを写して線分の和・差が作れること、正の実数 $a, b$ に対し相似な三角形を使って $ab$, $a/b$ が作れること、角の和と 2 等分が作れること、直径 $1 + a$ の円を使って $\sqrt{a}$（$a > 0$）が作れること。複素数の積・商・平方根は、極形式 $z = re^{i\theta}$ で $\lvert zw \rvert = \lvert z \rvert \lvert w \rvert$, $\arg(zw) = \arg z + \arg w$, $\sqrt{z} = \sqrt{r}e^{i\theta/2}$ と書けるので、絶対値と偏角の作図に帰着する。後半：$\beta \in K_j \setminus K_{j-1}$ の $K_{j-1}$ 上の最小多項式を $x^2 + bx + c$ とすると、$K_j = K_{j-1}(\beta)$ かつ $\beta = (-b \pm \sqrt{b^2 - 4c})/2$ である。帰納法で $K_{j-1} \subset \mathcal{C}$ とすれば、前半より $\beta \in \mathcal{C}$、よって $K_j \subset \mathcal{C}$。$\square$

定理 8.19（3 つの作図問題の不可能性）

1. （立方倍積）$\sqrt[3]{2}$ は作図可能でない。
2. （角の三等分）$60^\circ$ の角は三等分できない。すなわち $e^{i\pi/9}$ は作図可能でない。
3. （円積）$\sqrt{\pi}$ は作図可能でない。

証明. (1) $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3$ は 2 のべきでない（定理 8.17）。

(2) $e^{i\pi/3} = (1 + \sqrt{3}i)/2$ は作図可能なので（定理 8.18）、$60^\circ$ の角は作図できる。これを三等分できれば、単位円との交点として $e^{i\pi/9}$ が作図され、その実部 $c = \cos 20^\circ$ の次数は 2 のべきになる（定理 8.17）。一方、3 倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ に $\theta = 20^\circ$ を代入すると $4c^3 - 3c = 1/2$、すなわち $y = 2c$ は $y^3 - 3y - 1 = 0$ をみたす。この多項式は既約（第6章 例 6.28）なので $[\mathbb{Q}(c) : \mathbb{Q}] = 3$ となり、矛盾する。

(3) $\sqrt{\pi}$ が作図可能なら $\pi = (\sqrt{\pi})^2$ も作図可能で、特に代数的数となるが、これは次の定理に反する。$\square$

定理 8.20（リンデマン, Lindemann）$\pi$ は超越数である。

この定理の証明は解析的な議論を要し、本教材の範囲を超えるので省略する（主張のみ）。

正多角形については、$[\mathbb{Q}(\zeta_7) : \mathbb{Q}] = 6$ より正 7 角形は作図できない（問題 8.4）。一方、ガウスは正 17 角形が作図可能であることを発見した。これは第9章でガロア理論を使って証明する。

8.5 分解体

多項式のすべての根を含む最小の体を構成する。まず、根を 1 つ付け加える操作から始める。

定理 8.21（クロネッカー, Kronecker）$f \in K[x]$ を 1 次以上の多項式とすると、$f$ が根をもつような $K$ の拡大体 $L$ で $[L : K] \leq \deg f$ となるものが存在する。

証明. $f$ の既約因子 $g$ をとり、$L = K[x]/(g)$ とおく。$L$ は体であり（第6章 系 6.15）、$K \to L$, $a \mapsto a + (g)$ は体の準同型なので単射で、$K$ を $L$ の部分体とみなせる。$\overline{x} = x + (g)$ とおくと $g(\overline{x}) = g(x) + (g) = 0$ なので $f(\overline{x}) = 0$。$L = K(\overline{x})$ で、$\overline{x}$ の最小多項式は $g$ の定数倍（命題 8.7(2)）なので、定理 8.8 より $[L : K] = \deg g \leq \deg f$。$\square$

例 8.22 $\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}$ である。また $x^2 + x + 1$ は $\mathbb{F}_2$ に根をもたないので既約で、$\mathbb{F}_2[x]/(x^2 + x + 1) = \lbrace 0, 1, \omega, \omega + 1 \rbrace$（$\omega = \overline{x}$, $\omega^2 = \omega + 1$）は 4 個の元からなる体である。

定義 8.23（分解体, splitting field）$f \in K[x]$ を $n$ 次（$n \geq 1$）とする。拡大 $L/K$ が次の 2 条件をみたすとき、$L$ を $f$ の $K$ 上の分解体という。

1. $f$ は $L[x]$ で $f = c(x - \alpha_1)\cdots(x - \alpha_n)$ と 1 次式の積に分解する。
2. $L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$。

定理 8.24（分解体の存在）$n$ 次多項式 $f \in K[x]$ の分解体 $L$ が存在し、$[L : K] \leq n!$ である。

証明. $n$ についての帰納法。定理 8.21 により、$f$ の根 $\alpha_1$ を含む拡大 $K_1 = K(\alpha_1)$ で $[K_1 : K] \leq n$ となるものがある。$K_1[x]$ で $f = (x - \alpha_1)g$、$\deg g = n - 1$ と書ける。帰納法の仮定より $g$ の $K_1$ 上の分解体 $L = K_1(\alpha_2, \dots, \alpha_n)$ で $[L : K_1] \leq (n - 1)!$ となるものがある。$L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ は $f$ の分解体で、$[L : K] \leq n \cdot (n - 1)! = n!$。$\square$

分解体の一意性のために、準同型の延長を調べる。体の準同型 $\sigma\colon K \to L'$ と $f = \sum a_ix^i \in K[x]$ に対し $f^\sigma := \sum \sigma(a_i)x^i \in L'[x]$ と書く。$f \mapsto f^\sigma$ は環準同型である。$K \subset L$ のとき、準同型 $\tau\colon L \to L'$ で $\tau\vert_K = \sigma$ となるものを $\sigma$ の延長 (extension) という。$L, L'$ がともに $K$ の拡大体で $\sigma$ が包含写像のとき、その延長を $K$ 準同型（全単射なら $K$ 同型）という。

補題 8.25（単純拡大への延長）$\sigma\colon K \to L'$ を体の準同型、$\alpha$ を $K$ 上代数的な元、$m = m_{\alpha, K}$ とする。$\sigma$ の延長 $\tau\colon K(\alpha) \to L'$ と $m^\sigma$ の $L'$ における根とは、$\tau \mapsto \tau(\alpha)$ により 1 対 1 に対応する。特に、延長の個数は $m^\sigma$ の $L'$ における相異なる根の個数に等しく、$\deg m$ 以下である。

証明. $\tau$ が延長なら $0 = \tau(m(\alpha)) = m^\sigma(\tau(\alpha))$ なので、$\tau(\alpha)$ は $m^\sigma$ の根である。$K(\alpha) = K[\alpha]$ の元は $\alpha$ の多項式なので、$\tau$ は $\tau(\alpha)$ で決まる。逆に $m^\sigma(\beta) = 0$ となる $\beta \in L'$ に対し、$\Phi\colon K[x] \to L'$, $g \mapsto g^\sigma(\beta)$（第5章 定理 5.27）を考える。$\operatorname{Ker} \Phi$ は $m$ を含む真のイデアルで、$(m)$ は極大イデアルなので $\operatorname{Ker} \Phi = (m)$。よって $\Phi$ は $K[x]/(m) \cong K(\alpha)$ からの準同型 $\tau$ を誘導し、$\tau(\alpha) = \beta$, $\tau\vert_K = \sigma$ となる。$\square$

定理 8.26（準同型の延長）$\sigma\colon K \to L'$ を体の準同型とする。

1. $M/K$ が有限次拡大ならば、$\sigma$ の延長 $M \to L'$ の個数は $[M : K]$ 以下である。
2. $L$ を $f \in K[x]$ の $K$ 上の分解体とし、$f^\sigma$ は $L'[x]$ で 1 次式の積に分解するとする。このとき $\sigma$ の延長 $L \to L'$ が存在する。さらに $f^\sigma$ が重根をもたなければ、延長はちょうど $[L : K]$ 個ある。

証明. いずれも拡大次数についての帰納法による。次数が 1 なら明らかである。

(1) $\alpha \in M \setminus K$ をとる。補題 8.25 より、$\sigma$ の延長 $\sigma_1\colon K(\alpha) \to L'$ は $[K(\alpha) : K]$ 個以下であり、各 $\sigma_1$ の $M$ への延長は帰納法の仮定より $[M : K(\alpha)]$ 個以下である。$\sigma$ の延長は、$K(\alpha)$ への制限をとればどれかの $\sigma_1$ の延長なので、その個数は $[K(\alpha) : K][M : K(\alpha)] = [M : K]$ 以下である。

(2) $f$ の根 $\alpha \in L \setminus K$ をとり、$m = m_{\alpha, K}$ とする。$m \mid f$ より $m^\sigma \mid f^\sigma$ なので、$m^\sigma$ も $L'$ で 1 次式の積に分解し、$L'$ に根をもつ。$f^\sigma$ が重根をもたなければ、$m^\sigma$ は $L'$ にちょうど $\deg m$ 個の相異なる根をもつ。補題 8.25 より $\sigma$ の延長 $\sigma_1\colon K(\alpha) \to L'$ が存在する（重根がなければちょうど $[K(\alpha) : K]$ 個）。$L$ は $f$ の $K(\alpha)$ 上の分解体でもあり、$f^{\sigma_1} = f^\sigma$ なので、帰納法の仮定より各 $\sigma_1$ は $L$ に延長される（重根がなければちょうど $[L : K(\alpha)]$ 個）。よって延長が存在し、重根がなければその個数は $[K(\alpha) : K][L : K(\alpha)] = [L : K]$ である。$\square$

系 8.27（分解体の一意性）$\sigma\colon K \to K'$ を体の同型、$f \in K[x]$ とし、$L$ を $f$ の $K$ 上の分解体、$L'$ を $f^\sigma$ の $K'$ 上の分解体とする。このとき $\sigma$ は同型 $L \to L'$ に延長される。特に、$f$ の $K$ 上の分解体は $K$ 同型を除いて一意的である。

証明. 定理 8.26(2) より延長 $\tau\colon L \to L'$ がある。$L[x]$ で $f = c\prod_i (x - \alpha_i)$ なら $f^\sigma = \sigma(c)\prod_i (x - \tau(\alpha_i))$ なので、$f^\sigma$ の根は $\tau(\alpha_i)$ で尽くされ、$L' = K'(\tau(\alpha_1), \dots, \tau(\alpha_n)) = \tau(L)$。よって $\tau$ は全射であり、同型である。$\square$

例 8.28（分解体と次数）

1. $x^3 - 2$ の $\mathbb{Q}$ 上の分解体：$\omega = e^{2\pi i/3} = (-1 + \sqrt{-3})/2$ とすると根は $\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2$ で、分解体は $L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega) = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$ である。$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3$ で、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subset \mathbb{R}$ だから $\omega \notin \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$。$\omega$ は $x^2 + x + 1$ の根なので $[L : \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = 2$。よって $[L : \mathbb{Q}] = 6 = 3!$ で、基底は $(\sqrt[3]{2})^a\omega^b$（$0 \leq a \leq 2$, $0 \leq b \leq 1$）である。
2. $x^4 - 2$ の $\mathbb{Q}$ 上の分解体：$\alpha = \sqrt[4]{2} > 0$ とすると根は $\pm\alpha, \pm i\alpha$ で、分解体は $L = \mathbb{Q}(\alpha, i)$。$x^4 - 2$ はアイゼンシュタインの判定法で既約なので $[\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}] = 4$、$\mathbb{Q}(\alpha) \subset \mathbb{R}$ より $i \notin \mathbb{Q}(\alpha)$ で $[L : \mathbb{Q}(\alpha)] = 2$。よって $[L : \mathbb{Q}] = 8$ であり、$4! = 24$ より小さい。
3. $(x^2 - 2)(x^2 - 3)$ の分解体は $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ で、次数は 4（例 8.15）。
4. $p$ を素数とすると、$x^p - 1$ の根は $\zeta_p^k$（$0 \leq k \leq p - 1$）なので、$\mathbb{Q}$ 上の分解体は $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ で、次数は $p - 1$（例 8.10(3)）。
5. $x^2 + x + 1$ の $\mathbb{F}_2$ 上の分解体は例 8.22 の 4 元体である（もう一つの根は $\omega + 1 = \omega^2$）。

8.6 代数閉包

定義 8.29（代数閉体・代数閉包）体 $\Omega$ 上の 1 次以上の任意の多項式が $\Omega$ に根をもつとき、$\Omega$ を代数閉体 (algebraically closed field) という。このとき $\Omega[x]$ の多項式はすべて 1 次式の積に分解し、$\Omega$ は自分自身以外の代数拡大をもたない。$K$ の代数拡大で代数閉体であるものを $K$ の代数閉包 (algebraic closure) といい、$\overline{K}$ と書く。