群の作用とシローの定理

この章の目標

• 群の作用の言葉を理解し、軌道–固定部分群定理と類等式を使って数え上げができる
• $p$ 群の中心が非自明であることを証明し、位数 $p^2$ の群を決定できる
• コーシーの定理とシローの定理を証明し、それを使って与えられた位数の群の構造を調べられる
• バーンサイドの補題で「回転・裏返しで重なるものを同一視した」数え上げができる

前提：第2章（剰余類、ラグランジュの定理、正規部分群、準同型定理、対応定理）

群はもともと「何かを動かすもの」として現れた。正多角形の対称性の群は頂点を動かし、$\operatorname{GL}_n(K)$ はベクトルを動かし、ガロア群は方程式の根を動かす。群がある集合を動かす様子を群の作用という。

作用を考える利点は、群の構造についての情報が「数え上げ」に変換されることである。作用で動く点の集まり（軌道）の大きさは群の位数の約数であり、集合全体の大きさは軌道の大きさの和である。この単純な事実から、$p$ 群の中心の非自明性、コーシーの定理、そして有限群論の基本定理であるシローの定理が次々に導かれる。シローの定理は「位数 $n$ の群はどんな構造をもちうるか」という問いに対する最も強力な道具である。

3.1 群の作用

定義 3.1（群の作用, group action）群 $G$ と集合 $X$ に対し、写像 $G \times X \to X$, $(g, x) \mapsto g \cdot x$ が

1. 任意の $x \in X$ について $e \cdot x = x$
2. 任意の $g, h \in G$, $x \in X$ について $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$

をみたすとき、これを $G$ の $X$ への（左）作用といい、$G$ は $X$ に作用する (act) という。$X$ を $G$-集合 ($G$-set) ともいう。

命題 3.2 $G$ の $X$ への作用が与えられたとき、$\rho(g)(x) = g \cdot x$ で定まる $\rho\colon G \to \mathfrak{S}(X)$ は準同型写像である。逆に、準同型写像 $\rho\colon G \to \mathfrak{S}(X)$ から $g \cdot x := \rho(g)(x)$ により作用が定まる。

証明. 作用の条件 2 は $\rho(g) \circ \rho(h) = \rho(gh)$ を意味し、条件 1 は $\rho(e) = \mathrm{id}_X$ を意味する。よって $\rho(g) \circ \rho(g^{-1}) = \rho(g^{-1}) \circ \rho(g) = \mathrm{id}_X$ で、$\rho(g)$ は全単射、すなわち $\rho(g) \in \mathfrak{S}(X)$ であり、$\rho$ は準同型である。逆に準同型 $\rho$ が与えられれば、$\rho(e) = \mathrm{id}_X$（命題 2.39）と $\rho(g)\rho(h) = \rho(gh)$ が作用の 2 条件そのものである。$\square$

$\operatorname{Ker} \rho = \lbrace g \in G \mid \text{すべての } x \text{ について } g \cdot x = x \rbrace$ を作用の核といい、$\operatorname{Ker} \rho = \lbrace e \rbrace$ のとき作用は忠実 (faithful) であるという。忠実な作用は $G$ を $\mathfrak{S}(X)$ の部分群と同一視することを可能にする。

例 3.3

1. $\mathfrak{S}_n$ は $\lbrace 1, \dots, n \rbrace$ に $\sigma \cdot i = \sigma(i)$ で作用する。$\operatorname{GL}_n(K)$ は $K^n$ に $A \cdot v = Av$ で作用する。
2. $D_n$ は正 $n$ 角形の頂点の集合に作用する。これは忠実なので（頂点の行き先で合同変換は決まる）、$D_n$ は $\mathfrak{S}_n$ の位数 $2n$ の部分群と同一視できる。
3. 左乗法：$G$ は $G$ 自身に $g \cdot x = gx$ で作用する。
4. 共役作用：$G$ は $G$ 自身に $g \cdot x = gxg^{-1}$ で作用する。$g \cdot (h \cdot x) = ghxh^{-1}g^{-1} = (gh) \cdot x$ である。
5. 剰余類への作用：$H \leq G$ に対し、$G$ は左剰余類の集合 $G/H$ に $g \cdot aH = gaH$ で作用する。
6. 部分群への共役作用：$G$ は $G$ の部分群全体の集合に $g \cdot H = gHg^{-1}$ で作用する。
7. 作用でない例：$g \cdot x = xg$（右からの積）は、$g \cdot (h \cdot x) = xhg$ と $(gh) \cdot x = xgh$ が一般に異なるので左作用ではない。$g \cdot x = xg^{-1}$ とすれば左作用になる。

3.2 軌道と固定部分群

定義 3.4（軌道と固定部分群）$G$ が $X$ に作用しているとする。$x \in X$ に対し

$$G \cdot x = \lbrace g \cdot x \mid g \in G \rbrace, \qquad G_x = \lbrace g \in G \mid g \cdot x = x \rbrace$$

をそれぞれ $x$ の軌道 (orbit)、固定部分群（安定化群, stabilizer）という。軌道がただ一つ（$X$ 全体）のとき、作用は推移的 (transitive) であるという。$G \cdot x = \lbrace x \rbrace$ となる $x$ を固定点 (fixed point) といい、固定点全体を $X^G$ と書く。

命題 3.5

1. $x \sim y \iff$ ある $g \in G$ で $y = g \cdot x$、で定まる関係は同値関係で、同値類は軌道である。特に $X$ は軌道の非交和である。
2. $G_x$ は $G$ の部分群であり、$G_{g \cdot x} = gG_xg^{-1}$ が成り立つ。

証明. (1) $x = e \cdot x$、$y = g \cdot x \Rightarrow x = g^{-1} \cdot y$、$y = g \cdot x$, $z = h \cdot y \Rightarrow z = (hg) \cdot x$ から反射律・対称律・推移律が従う。(2) $g, h \in G_x$ なら $(gh^{-1}) \cdot x = g \cdot (h^{-1} \cdot x) = g \cdot x = x$（$h \cdot x = x$ の両辺に $h^{-1}$ を作用させると $x = h^{-1} \cdot x$）。また $h \in G_{g \cdot x} \iff hg \cdot x = g \cdot x \iff g^{-1}hg \in G_x \iff h \in gG_xg^{-1}$。$\square$

定理 3.6（軌道–固定部分群定理, orbit-stabilizer theorem）$G$ が $X$ に作用しているとき、$x \in X$ に対し

$$G/G_x \to G \cdot x, \qquad gG_x \mapsto g \cdot x$$

は well-defined な全単射である。特に $\lvert G \cdot x \rvert = [G : G_x]$ であり、$G$ が有限群なら $\lvert G \cdot x \rvert \lvert G_x \rvert = \lvert G \rvert$、したがって軌道の大きさは $\lvert G \rvert$ の約数である。

証明. $gG_x = hG_x \iff g^{-1}h \in G_x \iff g^{-1}h \cdot x = x \iff h \cdot x = g \cdot x$。左から右が well-defined 性、右から左が単射性を与える。全射性は軌道の定義から明らか。後半はラグランジュの定理による。$\square$

$X$ が有限集合で、軌道の代表元を $x_1, \dots, x_r$ とすると、命題 3.5 と定理 3.6 から

が成り立つ。これを軌道分解の式とよぶ。本章の議論はすべてこの式の応用である。

例 3.7

1. $\mathfrak{S}_n$ の $\lbrace 1, \dots, n \rbrace$ への作用は推移的で、$n$ の固定部分群は $\lbrace 1, \dots, n-1 \rbrace$ の置換全体（$\mathfrak{S}_{n-1}$ と同一視できる）である。定理 3.6 より $n! = n \cdot (n-1)!$。
2. $D_n$ の頂点への作用は推移的で、頂点 $P_0$ の固定部分群は $\lbrace e, s \rbrace$ である。$2n = n \cdot 2$。
3. 立方体の回転群：立方体を自分自身に重ねる空間の回転全体を $G$ とする。$G$ は 6 つの面に推移的に作用し、1 つの面の固定部分群はその面の中心を通る軸のまわりの $0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$ 回転の 4 個である。よって $\lvert G \rvert = 6 \cdot 4 = 24$。頂点への作用（8 頂点、固定部分群は頂点を通る対角線のまわりの 3 個の回転）で数えても $8 \cdot 3 = 24$、辺への作用（12 辺、固定部分群は 2 個）で数えても $12 \cdot 2 = 24$ となる。具体的には、$G$ は恒等変換 1 個、面の中心を通る 3 本の軸のまわりの $\pm 90^\circ$ 回転 6 個と $180^\circ$ 回転 3 個、頂点を通る 4 本の軸のまわりの $\pm 120^\circ$ 回転 8 個、向かい合う辺の中点を通る 6 本の軸のまわりの $180^\circ$ 回転 6 個からなる（$1 + 6 + 3 + 8 + 6 = 24$）。

3.3 ケイリーの定理と剰余類への作用

定理 3.8（ケイリーの定理, Cayley's theorem）任意の群 $G$ は $\mathfrak{S}(G)$ のある部分群と同型である。特に位数 $n$ の有限群は $\mathfrak{S}_n$ のある部分群と同型である。

証明. 左乗法による作用（例 3.3(3)）に対応する準同型 $\rho\colon G \to \mathfrak{S}(G)$ を考える。$\rho(g) = \mathrm{id}$ なら $g = g \cdot e = e$ なので $\rho$ は単射であり、第 1 同型定理より $G \cong \rho(G) \leq \mathfrak{S}(G)$。$\lvert G \rvert = n$ なら $G$ の元に $1, \dots, n$ と番号をつけて $\mathfrak{S}(G) \cong \mathfrak{S}_n$ とすればよい。$\square$

たとえば $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \lbrace \overline{0}, \overline{1}, \overline{2} \rbrace$ で元に番号 $1, 2, 3$ をつけると、$\overline{1}$ の左乗法（加法）は $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1$ なので、$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \cong \langle (1\ 2\ 3) \rangle \leq \mathfrak{S}_3$ となる。ケイリーの定理は「対称群を調べればすべての有限群を調べたことになる」ことを意味するが、$\mathfrak{S}_n$ は $n$ に比べて巨大なので、実用上は次のように小さな集合への作用を使うことが多い。

命題 3.9 $H \leq G$, $[G : H] = n < \infty$ とし、$\rho\colon G \to \mathfrak{S}(G/H) \cong \mathfrak{S}_n$ を剰余類への作用（例 3.3(5)）に対応する準同型とする。このとき

$$\operatorname{Ker} \rho = \bigcap_{g \in G} gHg^{-1} \subset H$$

であり、$G/\operatorname{Ker} \rho$ は $\mathfrak{S}_n$ の部分群と同型である。特に $G$ が有限群で $\lvert G \rvert$ が $n!$ を割り切らなければ、$G$ は $H$ に含まれる $\lbrace e \rbrace$ でない正規部分群をもつ。

証明. $x \in \operatorname{Ker} \rho \iff$ 任意の $g$ で $xgH = gH \iff$ 任意の $g$ で $g^{-1}xg \in H \iff$ 任意の $g$ で $x \in gHg^{-1}$。$g = e$ の項から $\operatorname{Ker} \rho \subset H$。第 1 同型定理より $G/\operatorname{Ker} \rho \cong \rho(G) \leq \mathfrak{S}_n$ なので、ラグランジュの定理より $\lvert G/\operatorname{Ker} \rho \rvert$ は $n!$ を割る。$\lvert G \rvert \nmid n!$ なら $\operatorname{Ker} \rho \neq \lbrace e \rbrace$ である。$\square$

系 3.10 有限群 $G$ の位数を割る最小の素数を $p$ とする。指数 $p$ の部分群 $H$ は正規部分群である。

証明. 命題 3.9 の $K = \operatorname{Ker} \rho \subset H$ をとる。$G/K$ は $\mathfrak{S}_p$ の部分群と同型なので $\lvert G/K \rvert = [G : H][H : K] = p[H : K]$ は $p!$ を割り、$[H : K]$ は $(p-1)!$ を割る。一方 $[H : K]$ は $\lvert G \rvert$ の約数なので、その素因数はすべて $p$ 以上である。$(p-1)!$ の素因数はすべて $p$ 未満なので $[H : K] = 1$、すなわち $H = K \trianglelefteq G$。$\square$

$p = 2$ の場合が「指数 2 の部分群は正規」（例 2.35）である。

3.4 共役類と類等式

群 $G$ の自分自身への共役作用 $g \cdot x = gxg^{-1}$ を考える。$x$ の軌道 $\lbrace gxg^{-1} \mid g \in G \rbrace$ を $x$ の共役類 (conjugacy class) といい、$x$ の固定部分群は中心化群 $C_G(x) = \lbrace g \mid gx = xg \rbrace$ である。定理 3.6 より、共役類の大きさは $[G : C_G(x)]$ である。$x$ の共役類が $\lbrace x \rbrace$ だけ $\iff$ $x \in Z(G)$ である。

定理 3.11（類等式, class equation）$G$ を有限群とし、$Z(G)$ に含まれない元の共役類の代表元を $x_1, \dots, x_r$ とすると

$$\lvert G \rvert = \lvert Z(G) \rvert + \sum_{i=1}^{r} [G : C_G(x_i)]$$

が成り立つ。右辺の各 $[G : C_G(x_i)]$ は $1$ より大きい $\lvert G \rvert$ の約数である。

証明. 共役作用に軌道分解の式 (1) を適用し、大きさ 1 の軌道（中心の元）をまとめればよい。$\square$

共役類を計算するには、置換の共役についての次の公式が便利である。

補題 3.12 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ と巡回置換 $(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)$ について

$$\sigma (a_1\ a_2\ \cdots\ a_k) \sigma^{-1} = (\sigma(a_1)\ \sigma(a_2)\ \cdots\ \sigma(a_k))$$

証明. $c = (a_1\ \cdots\ a_k)$ とおく。$\sigma c \sigma^{-1}(\sigma(a_i)) = \sigma(c(a_i)) = \sigma(a_{i+1})$（添字は $k$ を法とする）。$b \notin \lbrace \sigma(a_1), \dots, \sigma(a_k) \rbrace$ なら $\sigma^{-1}(b) \notin \lbrace a_1, \dots, a_k \rbrace$ なので $c$ で動かず、$\sigma c \sigma^{-1}(b) = b$。$\square$

特に、置換を互いに素な巡回置換の積に分解したときの「巡回置換の長さの組」（型）は共役で変わらない。逆に同じ型の置換は共役である（第4章で示す）。

例 3.13（類等式の計算）

1. $\mathfrak{S}_3$（第2章の記号で $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $\tau = (1\ 2)$）：共役類は $\lbrace e \rbrace$, $\lbrace \sigma, \sigma^2 \rbrace$, $\lbrace \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau \rbrace$ で、$6 = 1 + 2 + 3$。実際 $\tau\sigma\tau^{-1} = \sigma^2$、$\sigma\tau\sigma^{-1} = \sigma^2\tau$、$\sigma^2\tau\sigma^{-2} = \sigma\tau$。
2. $D_4$：$srs^{-1} = r^3$、$rsr^{-1} = r^2s$、$r(rs)r^{-1} = r^3s$ などから、共役類は $\lbrace e \rbrace$, $\lbrace r^2 \rbrace$, $\lbrace r, r^3 \rbrace$, $\lbrace s, r^2s \rbrace$, $\lbrace rs, r^3s \rbrace$ で、類等式は $8 = \lvert Z(D_4) \rvert + 2 + 2 + 2$（$Z(D_4) = \lbrace e, r^2 \rbrace$）。
3. $Q_8$：$jij^{-1} = -i$ などから、共役類は $\lbrace 1 \rbrace$, $\lbrace -1 \rbrace$, $\lbrace \pm i \rbrace$, $\lbrace \pm j \rbrace$, $\lbrace \pm k \rbrace$ で、類等式は $8 = \lvert Z(Q_8) \rvert + 2 + 2 + 2$（$Z(Q_8) = \lbrace \pm 1 \rbrace$）。$D_4$ と $Q_8$ は同型でないが、類等式は同じ形である。
4. $\mathfrak{S}_4$：型ごとに数えると、単位元 1 個、互換 $\binom{4}{2} = 6$ 個、$(a\ b)(c\ d)$ の形 3 個、長さ 3 の巡回置換 $4 \cdot 2 = 8$ 個、長さ 4 の巡回置換 $3! = 6$ 個で、$24 = 1 + 6 + 3 + 8 + 6$。各項が 24 の約数であることを確かめよ。

3.5 $p$ 群

以下 $p$ は素数とする。

定義 3.14（$p$ 群）位数が $p$ のべき $p^n$（$n \geq 0$）である有限群を $p$ 群 ($p$-group) という。

命題 3.15（固定点の個数）$p$ 群 $G$ が有限集合 $X$ に作用するならば、$\lvert X \rvert \equiv \lvert X^G \rvert \pmod{p}$。

証明. 軌道分解の式 (1) で、大きさ 1 の軌道はちょうど固定点に対応する。それ以外の軌道の大きさは $\lvert G \rvert = p^n$ の $1$ でない約数なので $p$ で割り切れる。$\square$

定理 3.16 $G \neq \lbrace e \rbrace$ を $p$ 群とすると、$Z(G) \neq \lbrace e \rbrace$ である。

証明. 共役作用に命題 3.15 を適用すると、固定点全体は $Z(G)$ なので $\lvert Z(G) \rvert \equiv \lvert G \rvert \equiv 0 \pmod{p}$。$e \in Z(G)$ より $\lvert Z(G) \rvert \geq 1$ なので $\lvert Z(G) \rvert \geq p$。$\square$

系 3.17 位数 $p^2$ の群は可換であり、$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ または $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ に同型である。

証明. $\lvert G \rvert = p^2$ とする。定理 3.16 より $\lvert Z(G) \rvert \in \lbrace p, p^2 \rbrace$。$\lvert Z(G) \rvert = p$ なら $G/Z(G)$ は位数 $p$ で巡回群となり、第2章 問題 2.5 より $G$ は可換、すると $Z(G) = G$ で矛盾。よって $Z(G) = G$、$G$ は可換である。

$G$ が位数 $p^2$ の元をもてば $G \cong \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$。もたなければ、$e$ 以外の元の位数はすべて $p$ である。$a \neq e$ をとり $b \notin \langle a \rangle$ をとると、$\langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ は位数 $p$ の群 $\langle b \rangle$ の真部分群なので $\lbrace e \rbrace$。$f\colon \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to G$, $(\overline{i}, \overline{j}) \mapsto a^ib^j$ は $G$ が可換なので準同型であり、$a^ib^j = e$ なら $a^i = b^{-j} \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \lbrace e \rbrace$ より $\overline{i} = \overline{j} = \overline{0}$ なので単射。位数が等しいので $f$ は同型である。$\square$

位数 $p^3$ になると非可換な群が現れる（$D_4$, $Q_8$ は位数 $2^3$）。

命題 3.18 $\lvert G \rvert = p^n$ ならば、各 $0 \leq k \leq n$ に対し $G$ は位数 $p^k$ の正規部分群をもつ。

証明. $n$ についての帰納法。$n = 0$ は明らか。$n \geq 1$ とし、$k \geq 1$ とする（$k = 0$ は $\lbrace e \rbrace$）。定理 3.16 より $Z(G)$ は $e$ 以外の元 $z$ をもち、その位数を $p^m$（$m \geq 1$）とすると $z_0 = z^{p^{m-1}}$ は位数 $p$ である。$N = \langle z_0 \rangle$ は中心に含まれるので $G$ の正規部分群で、$\lvert G/N \rvert = p^{n-1}$。帰納法の仮定より $G/N$ は位数 $p^{k-1}$ の正規部分群 $\overline{H}$ をもつ。対応定理（定理 2.47）より $H = \pi^{-1}(\overline{H})$ は $N$ を含む $G$ の正規部分群で、$\lvert H \rvert = \lvert N \rvert \lvert \overline{H} \rvert = p^k$。$\square$

3.6 コーシーの定理

ラグランジュの定理の逆は一般には成り立たないが（例 2.32）、素数については成り立つ。

定理 3.19（コーシーの定理, Cauchy's theorem）$G$ を有限群、$p$ を $\lvert G \rvert$ を割る素数とすると、$G$ は位数 $p$ の元をもつ。

証明. 集合

を考える。$x_1, \dots, x_{p-1}$ を任意に選ぶと $x_p = (x_1 \cdots x_{p-1})^{-1}$ が決まるので $\lvert X \rvert = \lvert G \rvert^{p-1}$ であり、これは $p$ で割り切れる。$x_1 x_2 \cdots x_p = e$ ならば $x_2 \cdots x_p x_1 = x_1^{-1}(x_1 x_2 \cdots x_p)x_1 = e$ なので、巡回シフト $(x_1, x_2, \dots, x_p) \mapsto (x_2, \dots, x_p, x_1)$ は $X$ からそれ自身への写像を定める。これを $p$ 回繰り返すと恒等写像なので、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が「$\overline{k}$ は $k$ 回シフトする」ことで $X$ に作用する。この作用の固定点は $(x, x, \dots, x)$（$x^p = e$）の形の元である。命題 3.15 より固定点の個数は $\lvert X \rvert \equiv 0 \pmod p$ と合同であり、$(e, \dots, e)$ が固定点なので、固定点は少なくとも $p$ 個ある。したがって $x \neq e$, $x^p = e$ となる $x$ が存在し、$p$ は素数なので $\operatorname{ord}(x) = p$ である。$\square$

例 3.20 位数 6 の群 $G$ は $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ か $\mathfrak{S}_3$ に同型である。実際、コーシーの定理より位数 3 の元 $a$ と位数 2 の元 $b$ がある。$N = \langle a \rangle$ は指数 2 なので正規であり、$bab^{-1} \in N$ は位数 3 だから $a$ または $a^2$。$G = \lbrace a^ib^j \mid 0 \leq i < 3, 0 \leq j < 2 \rbrace$（6 個は相異なる）であり、$bab^{-1} = a$ なら $G$ は可換で $ab$ の位数は 6（第2章 問題 2.3）、よって $G \cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。$bab^{-1} = a^2 = a^{-1}$ なら積の規則が $\mathfrak{S}_3$（$\sigma \leftrightarrow a$, $\tau \leftrightarrow b$）と一致し、$G \cong \mathfrak{S}_3$。

3.7 シローの定理

定義 3.21（シロー部分群）$G$ を有限群、$p$ を素数とし、$\lvert G \rvert = p^a m$（$p \nmid m$）と書く。位数 $p^a$ の部分群を $G$ のシロー $p$ 部分群 (Sylow $p$-subgroup) という。その全体を $\operatorname{Syl}_p(G)$ と書き、$n_p = \lvert \operatorname{Syl}_p(G) \rvert$ とおく。また部分群 $H$ に対し $N_G(H) = \lbrace g \in G \mid gHg^{-1} = H \rbrace$ を $H$ の正規化群 (normalizer) という。

$N_G(H)$ は部分群への共役作用（例 3.3(6)）における $H$ の固定部分群であり、$H \trianglelefteq N_G(H)$ である。定理 3.6 より、$H$ と共役な部分群の個数は $[G : N_G(H)]$ である。

定理 3.22（シローの定理, Sylow theorems）$G$ を有限群、$p$ を素数とし、$\lvert G \rvert = p^a m$（$p \nmid m$）とする。

1. （存在）$G$ はシロー $p$ 部分群をもつ。
2. （共役性）$P$ を $G$ のシロー $p$ 部分群とすると、$G$ の任意の $p$ 部分群 $H$（位数が $p$ のべきの部分群）に対し、$H \subset gPg^{-1}$ となる $g \in G$ が存在する。特に、シロー $p$ 部分群はすべて互いに共役である。
3. （個数）$n_p \equiv 1 \pmod{p}$ かつ $n_p \mid m$ である。より詳しく、$n_p = [G : N_G(P)]$ である。

証明. (1) $\lvert G \rvert$ についての帰納法で示す。$a = 0$ なら $\lbrace e \rbrace$ がシロー部分群なので、$a \geq 1$ とする。

(i) $p \mid \lvert Z(G) \rvert$ の場合：コーシーの定理より位数 $p$ の $z \in Z(G)$ がある。$N = \langle z \rangle$ は中心に含まれるので正規で、$\lvert G/N \rvert = p^{a-1}m$。帰納法の仮定より $G/N$ は位数 $p^{a-1}$ の部分群 $\overline{P}$ をもち、対応定理より $P = \pi^{-1}(\overline{P})$ は位数 $p \cdot p^{a-1} = p^a$ の部分群である。

(ii) $p \nmid \lvert Z(G) \rvert$ の場合：類等式 $\lvert G \rvert = \lvert Z(G) \rvert + \sum_i [G : C_G(x_i)]$ で、左辺は $p$ で割り切れ、$\lvert Z(G) \rvert$ は割り切れないので、ある $i$ について $p \nmid [G : C_G(x_i)]$。$C = C_G(x_i)$ とおくと $\lvert C \rvert = \lvert G \rvert/[G : C]$ は $p^a$ で割り切れ、$[G : C] > 1$ より $\lvert C \rvert < \lvert G \rvert$。帰納法の仮定より $C$ は位数 $p^a$ の部分群をもち、それが $G$ のシロー $p$ 部分群である。

(2) $H$ を左乗法で $G/P$ に作用させる（例 3.3(5) の制限）。$\lvert G/P \rvert = m$ は $p$ で割り切れないので、命題 3.15 より固定点 $gP$ が存在する。すべての $h \in H$ について $hgP = gP$、すなわち $g^{-1}hg \in P$ だから $H \subset gPg^{-1}$。$H$ もシロー $p$ 部分群なら、位数が等しいので $H = gPg^{-1}$。

(3) (2) より $\operatorname{Syl}_p(G)$ は $P$ の共役全体なので、$n_p = [G : N_G(P)]$。$P \leq N_G(P)$ より $[G : P] = [G : N_G(P)][N_G(P) : P]$ なので $n_p \mid m$。

次に $P$ を共役で $\operatorname{Syl}_p(G)$ に作用させる。$Q \in \operatorname{Syl}_p(G)$ が固定点 $\iff$ すべての $x \in P$ について $xQx^{-1} = Q$ $\iff P \leq N_G(Q)$。このとき $P$ と $Q$ はどちらも $N_G(Q)$ のシロー $p$ 部分群であり（位数 $p^a$ は $\lvert N_G(Q) \rvert$ を割る $p$ の最大べき）、$N_G(Q)$ に (2) を適用すると $P = nQn^{-1}$（$n \in N_G(Q)$）$= Q$。よって固定点は $P$ だけであり、命題 3.15 より $n_p \equiv 1 \pmod p$。$\square$

系 3.23 $P \in \operatorname{Syl}_p(G)$ について、$P \trianglelefteq G \iff n_p = 1$。

証明. $n_p = [G : N_G(P)]$ であり、$n_p = 1 \iff N_G(P) = G \iff P \trianglelefteq G$。$\square$

例 3.24

1. $\mathfrak{S}_3$（$6 = 2 \cdot 3$）：$n_3 \mid 2$, $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ より $n_3 = 1$（$\langle \sigma \rangle$）。$n_2 \mid 3$ より $n_2 \in \lbrace 1, 3 \rbrace$ で、実際には $\langle \tau \rangle, \langle \sigma\tau \rangle, \langle \sigma^2\tau \rangle$ の 3 個。
2. $\mathfrak{A}_4$（$12 = 2^2 \cdot 3$）：位数 3 の元は長さ 3 の巡回置換 8 個で、位数 3 の部分群は $8/2 = 4$ 個なので $n_3 = 4$（$\equiv 1 \pmod 3$, $4 \mid 4$）。位数 4 の部分群は $V = \lbrace e, (1\ 2)(3\ 4), (1\ 3)(2\ 4), (1\ 4)(2\ 3) \rbrace$ ただ一つで、$n_2 = 1$、$V \trianglelefteq \mathfrak{A}_4$。
3. $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p)$（位数 $(p^2-1)(p^2-p) = p(p-1)^2(p+1)$）：上三角で対角成分がともに 1 の行列全体 $U$（$(1, 2)$ 成分 $b \in \mathbb{F}_p$ だけが自由）は位数 $p$ でシロー $p$ 部分群である。$U$ の正規化群は上三角行列全体 $B$（位数 $(p-1)^2p$）であることが計算で確かめられ、$n_p = [\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p) : B] = p + 1$。これは $\mathbb{F}_p^2$ の 1 次元部分空間の個数に等しい（各シロー $p$ 部分群はちょうど一つの直線を固定する）。

3.8 シローの定理の応用

定理 3.25（位数 $pq$ の群）$p < q$ を素数とし、$\lvert G \rvert = pq$ とする。

1. シロー $q$ 部分群は $G$ の正規部分群である。
2. $p \nmid q - 1$ ならば $G$ は巡回群であり、$G \cong \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$。

証明. (1) $n_q \mid p$ かつ $n_q \equiv 1 \pmod q$。$n_q \in \lbrace 1, p \rbrace$ だが $1 < p < q$ なので $p \not\equiv 1 \pmod q$、よって $n_q = 1$。

(2) $n_p \mid q$ かつ $n_p \equiv 1 \pmod p$ で、$n_p = q$ は $p \mid q - 1$ を意味するので除外され、$n_p = 1$。よってシロー部分群 $P = \langle x \rangle$（位数 $p$）、$Q = \langle y \rangle$（位数 $q$）はともに正規で、ラグランジュの定理より $P \cap Q = \lbrace e \rbrace$。$xyx^{-1}y^{-1}$ は $(xyx^{-1})y^{-1} \in Q$ かつ $x(yx^{-1}y^{-1}) \in P$ なので $e$ であり、$xy = yx$。第2章 問題 2.3 より $\operatorname{ord}(xy) = pq$ で、$G = \langle xy \rangle$。$\square$

例 3.26

1. 位数 15 の群は巡回群である（$p = 3$, $q = 5$, $3 \nmid 4$）。同様に位数 $33 = 3 \cdot 11$, $35 = 5 \cdot 7$, $51 = 3 \cdot 17$, $65 = 5 \cdot 13$ の群はすべて巡回群である。
2. 位数 $6 = 2 \cdot 3$ や $21 = 3 \cdot 7$ では $p \mid q - 1$ であり、実際に非可換な群（$\mathfrak{S}_3$ や、第4章で半直積として構成する位数 21 の群）が存在する。
3. 位数 $2q$（$q$ は奇素数）の群は $\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}$ か $D_q$ に同型である（例 3.20 と同様の議論。問題 3.4）。

例 3.27（位数 12 の群）位数 12 の群 $G$ は、正規なシロー 3 部分群か正規なシロー 2 部分群をもつ。実際、$n_3 \mid 4$, $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ より $n_3 \in \lbrace 1, 4 \rbrace$。$n_3 = 4$ とすると、4 つの位数 3 の部分群はどの 2 つも $\lbrace e \rbrace$ でしか交わらない（位数 3 の群の真部分群は自明）ので、位数 3 の元が $4 \cdot 2 = 8$ 個ある。残りは $12 - 8 = 4$ 個である。シロー 2 部分群（位数 4）は位数 3 の元を含まないので、この残りの 4 個に含まれ、したがってこの 4 個に一致する。よって $n_2 = 1$。$\mathfrak{A}_4$ はまさにこの場合である（例 3.24）。特に位数 12 の単純群は存在しない。

例 3.28（位数 20 と 30 の群）

1. $\lvert G \rvert = 20 = 2^2 \cdot 5$：$n_5 \mid 4$, $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ より $n_5 = 1$。シロー 5 部分群は正規であり、$G$ は単純でない。
2. $\lvert G \rvert = 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$：$n_3 \in \lbrace 1, 10 \rbrace$, $n_5 \in \lbrace 1, 6 \rbrace$。$n_3 = 10$ かつ $n_5 = 6$ なら、位数 3 の元が $10 \cdot 2 = 20$ 個、位数 5 の元が $6 \cdot 4 = 24$ 個となり、合計 $44 > 30$ で矛盾。よって $n_3 = 1$ または $n_5 = 1$ で、$G$ は単純でない。さらに、$P_3$, $P_5$ をシロー 3, 5 部分群とすると、どちらかが正規なので $P_3P_5$ は位数 15 の部分群（第2章 定理 2.43、問題 2.4）で、指数 2 だから正規である。位数 15 の群は巡回群なので、$P_3$, $P_5$ は $P_3P_5$ の唯一の位数 3, 5 の部分群であり、共役で $P_3P_5$ に写されるから $G$ で正規である。結局、位数 30 の群では $n_3 = n_5 = 1$ である。