ガロア理論

この章の目標

• 体の自己同型群（ガロア群）を計算し、多項式の根の置換として理解する
• ガロア拡大の同値な特徴づけとアルティンの定理を証明する
• ガロア理論の基本定理を証明し、具体的な拡大の中間体をすべて決定できる
• 有限体・円分体のガロア群を決定し、円分多項式の既約性を証明できる
• 冪根による可解性とガロア群の可解性の同値性を証明し、5 次方程式の非可解性、正 17 角形の作図可能性、代数学の基本定理を導ける

前提：第8章（分解体、準同型の延長、正規拡大・分離拡大、有限体、原始元定理）、第3章（軌道–固定部分群定理、シローの定理）、第4章（可解群、対称群）

2 次方程式には根の公式がある。16 世紀には、3 次方程式（デル・フェッロとタルターリャ）と 4 次方程式（フェラーリ）の根を係数から四則演算と冪根（$\sqrt{\ }$, $\sqrt[3]{\ }$ など）で表す公式が見つかり、カルダノの著書『アルス・マグナ』（1545 年）で公表された。しかし 5 次方程式の公式は 250 年以上見つからず、1824 年にアーベルが一般の 5 次方程式にはそのような公式がないことを示した。ガロアはさらに、個々の方程式が冪根で解けるかどうかが、根の置換のなす群の構造（可解性）で決まることを見抜いた。

本章の中心は、ガロア拡大 $L/K$ について「$L/K$ の中間体」と「ガロア群 $\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群」が 1 対 1 に対応するというガロア理論の基本定理である。これにより体の問題が有限群の問題に翻訳され、第2章〜第4章の群論がそのまま使えるようになる。

9.1 体の自己同型とガロア群

定義 9.1（自己同型群・固定体）$L/K$ を拡大とする。$K$ 同型 $L \to L$ を $L$ の $K$ 自己同型 (automorphism) といい、その全体を $\operatorname{Aut}(L/K)$ と書く。これは写像の合成で群をなす。$L$ の自己同型からなる群 $H$ に対し

$$L^H = \lbrace a \in L \mid \text{すべての } \sigma \in H \text{ について } \sigma(a) = a \rbrace$$

は $L$ の部分体である。これを $H$ の固定体 (fixed field) という。

命題 9.2 $L/K$ を拡大、$\sigma \in \operatorname{Aut}(L/K)$ とする。

1. $\alpha \in L$ が $f \in K[x]$ の根ならば、$\sigma(\alpha)$ も $f$ の根である。
2. $L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ ならば、$\sigma$ は $\sigma(\alpha_1), \dots, \sigma(\alpha_n)$ で決まる。
3. $L/K$ が有限次ならば $\lvert \operatorname{Aut}(L/K) \rvert \leq [L : K]$。

証明. (1) $f$ の係数は $\sigma$ で動かないので $f(\sigma(\alpha)) = \sigma(f(\alpha)) = 0$。(2) $L$ の元は $\alpha_i$ の $K$ 係数多項式の商で書ける。(3) 第8章 定理 8.26(1) を包含写像 $K \to L$ に適用すればよい。$\square$

特に $L$ が $f \in K[x]$ の分解体で $f$ の相異なる根が $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ なら、$\sigma \in \operatorname{Aut}(L/K)$ は根を置換し、単射準同型 $\operatorname{Aut}(L/K) \to \mathfrak{S}_n$ が得られる。こうして体の自己同型を「根の置換」として具体的に扱える。

例 9.3

1. $\operatorname{Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = \lbrace \mathrm{id}, c \rbrace$（$c$ は複素共役）。$\sigma(i)$ は $x^2 + 1$ の根 $\pm i$ で、$\sigma$ はそれで決まる。
2. $\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}) = \lbrace \mathrm{id}, \sigma \rbrace$、$\sigma(a + b\sqrt{2}) = a - b\sqrt{2}$。$\sigma$ の存在は第8章 補題 8.25 による。固定体は $\mathbb{Q}$ である。
3. $\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}) = \lbrace \mathrm{id} \rbrace$。$\sigma(\sqrt[3]{2})$ は $x^3 - 2$ の根で $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subset \mathbb{R}$ に属するから $\sqrt[3]{2}$ に限る。この場合 $\lvert \operatorname{Aut} \rvert = 1 < 3 = [L : K]$ で、固定体は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 自身である。原因は拡大が正規でないことにある。
4. $K = \mathbb{F}_p(t)$, $L = K(\beta)$, $\beta^p = t$ とすると、$x^p - t = (x - \beta)^p$ の根は $\beta$ だけなので $\operatorname{Aut}(L/K) = \lbrace \mathrm{id} \rbrace$ で、$1 < p = [L : K]$。原因は拡大が分離的でないことにある（第8章 例 8.37）。

9.2 アルティンの定理

まず、自己同型の有限群を与えるとその固定体上の拡大が完全に制御できることを示す。

定理 9.4（アルティンの定理, Artin's theorem）$L$ を体、$G$ を $L$ の自己同型からなる有限群とし、$K = L^G$ とする。このとき $L/K$ は有限次の正規かつ分離的な拡大であり、$[L : K] = \lvert G \rvert$、$\operatorname{Aut}(L/K) = G$ である。

証明. $n = \lvert G \rvert$ とする。$\alpha \in L$ の $G$ 軌道を $\lbrace \alpha_1, \dots, \alpha_r \rbrace$（相異なる元、$\alpha_1 = \alpha$、$r \leq n$）とし、$g_\alpha(x) = \prod_{i=1}^{r} (x - \alpha_i)$ とおく。$\sigma \in G$ は軌道を置換するので $g_\alpha^\sigma = g_\alpha$、すなわち $g_\alpha$ の係数は $G$ で固定され、$g_\alpha \in K[x]$。よって $\alpha$ は $K$ 上代数的で $m_{\alpha, K} \mid g_\alpha$。逆に各 $\alpha_i = \sigma(\alpha)$ は $m_{\alpha, K}$ の根なので（命題 9.2(1)）$g_\alpha \mid m_{\alpha, K}$、したがって $m_{\alpha, K} = g_\alpha$。これは $L$ で相異なる 1 次式の積に分解するから、$L/K$ は代数的・分離的・正規であり、各元の $K$ 上の次数は $n$ 以下である。

次に $[L : K] \leq n$ を示す。$L$ の有限個の元で生成される中間体 $M$ は $K$ 上有限次の分離拡大なので、原始元定理（第8章 定理 8.43）により $M = K(\gamma)$ と書け、$[M : K] = \deg m_{\gamma, K} \leq n$。そこで、このような $M$ で $[M : K]$ が最大のものをとる。任意の $\beta \in L$ について $M(\beta)$ も同じ形の中間体で $[M(\beta) : K] \geq [M : K]$ なので、最大性より $M(\beta) = M$、すなわち $\beta \in M$。よって $L = M$ で、$[L : K] \leq n$。

最後に、$G \subset \operatorname{Aut}(L/K)$ と命題 9.2(3) より $n \leq \lvert \operatorname{Aut}(L/K) \rvert \leq [L : K] \leq n$。よって $[L : K] = n$、$\operatorname{Aut}(L/K) = G$。$\square$

証明の中で、$\alpha$ の最小多項式が $\prod_{\beta \in G\alpha} (x - \beta)$（$\beta$ は $\alpha$ の $G$ 軌道を動く）であることも示された。これは最小多項式を計算する実用的な方法である。

9.3 ガロア拡大

定義 9.5（ガロア拡大, Galois extension）有限次拡大 $L/K$ が正規かつ分離的であるとき、ガロア拡大という。このとき $\operatorname{Aut}(L/K)$ を $\operatorname{Gal}(L/K)$ と書き、$L/K$ のガロア群 (Galois group) という。分離的な多項式 $f \in K[x]$ の分解体 $L$ について、$\operatorname{Gal}(L/K)$ を $f$ のガロア群といい、$\operatorname{Gal}(f)$ とも書く。

定理 9.6（ガロア拡大の特徴づけ）有限次拡大 $L/K$ について、次は同値である。

1. $L/K$ はガロア拡大（正規かつ分離的）である。
2. $L$ はある分離的な多項式 $f \in K[x]$ の $K$ 上の分解体である。
3. $\lvert \operatorname{Aut}(L/K) \rvert = [L : K]$。
4. $L^{\operatorname{Aut}(L/K)} = K$。

証明. (1)⇒(2)：$L = K(\alpha_1, \dots, \alpha_r)$ とし、$m_{\alpha_1, K}, \dots, m_{\alpha_r, K}$ のうち相異なるものの積を $f$ とする。各因子は分離的で、相異なるモニック既約多項式は共通根をもたない（共通根があれば、両者はその根の最小多項式に一致する）ので、$f$ は分離的である。正規性より $f$ は $L$ で 1 次式の積に分解し、$L$ は $f$ の根で生成されるので、$L$ は $f$ の分解体である。

(2)⇒(3)：第8章 定理 8.26(2) を包含写像 $K \to L$ と $L' = L$ に適用すると、$K$ 準同型 $L \to L$ はちょうど $[L : K]$ 個ある。$K$ 準同型 $L \to L$ は単射な $K$ 線形写像で、$L$ は $K$ 上有限次元なので全射であり、自己同型である。

(3)⇒(4)：$G = \operatorname{Aut}(L/K)$, $K' = L^G \supset K$ とすると、アルティンの定理より $[L : K'] = \lvert G \rvert = [L : K]$ なので $K' = K$。

(4)⇒(1)：アルティンの定理より $L/L^G = L/K$ は正規かつ分離的である。$\square$

標数 0 の体上では有限次拡大はつねに分離的なので、ガロア拡大であることと正規拡大（ある多項式の分解体）であることは同値である。また $L/K$ がガロア拡大で $M$ が中間体なら、$L$ は同じ多項式の $M$ 上の分解体なので、$L/M$ もガロア拡大である。

命題 9.7（根への推移的な作用）$L/K$ をガロア拡大、$g \in K[x]$ を $L$ に根をもつ既約多項式とする。$g$ の任意の根 $\alpha, \beta \in L$ に対し、$\sigma(\alpha) = \beta$ となる $\sigma \in \operatorname{Gal}(L/K)$ が存在する。

証明. 第8章 補題 8.25 より $K$ 同型 $\tau\colon K(\alpha) \to K(\beta)$, $\alpha \mapsto \beta$ がある。$L$ は定理 9.6(2) の多項式 $f$ の $K(\alpha)$ 上の分解体でも $K(\beta)$ 上の分解体でもあり、$f^\tau = f$ なので、第8章 系 8.27 より $\tau$ は $L$ の自己同型 $\sigma$ に延長される。$\square$

注意 9.8 分離的な $n$ 次多項式 $f \in K[x]$ の根を $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ とすると、$\operatorname{Gal}(f)$ は $\mathfrak{S}_n$ の部分群とみなせる。命題 9.7 より、$f$ が既約なら $\operatorname{Gal}(f)$ は根全体に推移的に作用する。逆に推移的なら $f$ は既約である（$f = gh$ と分解すれば、$g$ の根全体は $\operatorname{Gal}(f)$ で保たれる）。

9.4 ガロア理論の基本定理

定理 9.9（ガロア理論の基本定理, fundamental theorem of Galois theory）$L/K$ をガロア拡大、$G = \operatorname{Gal}(L/K)$ とする。

1. 写像 $H \mapsto L^H$ と $M \mapsto \operatorname{Gal}(L/M)$ は、$G$ の部分群全体と $L/K$ の中間体全体の間の、互いに逆で包含関係を逆転する全単射である。
2. 部分群 $H$ について $[L : L^H] = \lvert H \rvert$、$[L^H : K] = [G : H]$。
3. $\sigma \in G$ と部分群 $H$ について $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$。
4. 中間体 $M$ について、$M/K$ がガロア拡大 $\iff$ $\operatorname{Gal}(L/M) \trianglelefteq G$。このとき制限写像 $\sigma \mapsto \sigma\vert_M$ は同型 $G/\operatorname{Gal}(L/M) \cong \operatorname{Gal}(M/K)$ を誘導する。

証明. (1)(2) 中間体 $M$ について、$L/M$ はガロア拡大（定理 9.6 の後の注意）なので、定理 9.6(4) より $L^{\operatorname{Gal}(L/M)} = M$。部分群 $H$ について、アルティンの定理より $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$、$[L : L^H] = \lvert H \rvert$。よって 2 つの写像は互いに逆である。$H_1 \subset H_2 \Rightarrow L^{H_1} \supset L^{H_2}$ は定義から明らか。$[L^H : K] = [L : K]/[L : L^H] = \lvert G \rvert/\lvert H \rvert = [G : H]$。

(3) $a \in L$ について、$a \in \sigma(L^H) \iff$ すべての $\tau \in H$ で $\tau\sigma^{-1}(a) = \sigma^{-1}(a) \iff$ すべての $\tau \in H$ で $\sigma\tau\sigma^{-1}(a) = a \iff a \in L^{\sigma H\sigma^{-1}}$。

(4) $H = \operatorname{Gal}(L/M)$ とおく（$M = L^H$）。$M/K$ がガロア拡大なら正規なので、$\sigma \in G$, $a \in M$ について、$\sigma(a)$ は $m_{a, K}$ の根（命題 9.2(1)）であり $M$ に属する。よって $\sigma(M) \subset M$ で、$K$ 上の次元を比べて $\sigma(M) = M$。(3) と (1) の全単射性より $\sigma H\sigma^{-1} = H$ となり、$H \trianglelefteq G$。逆に $H \trianglelefteq G$ なら、(3) よりすべての $\sigma \in G$ で $\sigma(M) = M$ なので、制限 $r\colon G \to \operatorname{Aut}(M/K)$, $\sigma \mapsto \sigma\vert_M$ は準同型で、$\operatorname{Ker} r = H$。よって $\lvert \operatorname{Aut}(M/K) \rvert \geq \lvert G/H \rvert = [M : K]$ で、命題 9.2(3) と合わせて等号が成り立つ。定理 9.6(3) より $M/K$ はガロア拡大で、$r$ は全射だから $G/H \cong \operatorname{Gal}(M/K)$。$\square$

注意 9.10（1 元で生成される中間体）$\alpha \in L$ について、$\sigma \in G$ が $K(\alpha)$ の元をすべて固定することは $\sigma(\alpha) = \alpha$ と同値なので、$\operatorname{Gal}(L/K(\alpha)) = \operatorname{Stab}_G(\alpha)$（$\alpha$ の固定部分群）であり、軌道–固定部分群定理（第3章 定理 3.6）より $[K(\alpha) : K] = [G : \operatorname{Stab}_G(\alpha)] = \lvert G\alpha \rvert$。したがって、部分群 $H$ に対し、$H$ で固定される元 $\alpha$ で軌道の長さが $[G : H]$ のものを見つければ $L^H = K(\alpha)$ である。$H$ で固定される元は、たとえば $\sum_{\tau \in H} \tau(\beta)$（$\beta \in L$）の形で得られる。

9.5 計算例

以下の 3 つの例では、ガロア群を根の置換として決定し、基本定理と注意 9.10 によって中間体をすべて求める。

例 9.11（$\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$）$L = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ は分離的な多項式 $(x^2 - 2)(x^2 - 3)$ の分解体なのでガロア拡大で、$\lvert G \rvert = [L : \mathbb{Q}] = 4$（第8章 例 8.15）。$\sigma \in G$ は $\sqrt{2} \mapsto \pm\sqrt{2}$, $\sqrt{3} \mapsto \pm\sqrt{3}$ で決まり（命題 9.2）、候補は 4 つなのですべて実現する。

とおくと $G = \lbrace 1, \sigma, \tau, \sigma\tau \rbrace \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。$\sigma\tau(\sqrt{6}) = (-\sqrt{2})(-\sqrt{3}) = \sqrt{6}$ などから次の表を得る。

たとえば $\langle \sigma \rangle$ は $\sqrt{3}$ を固定し、$\sqrt{3}$ の軌道 $\lbrace \pm\sqrt{3} \rbrace$ の長さは $2 = [G : \langle \sigma \rangle]$ なので $L^{\langle \sigma \rangle} = \mathbb{Q}(\sqrt{3})$。$G$ は可換なので、すべての中間体は $\mathbb{Q}$ 上ガロア拡大である。基本定理により、$L$ の 2 次の部分体はちょうど 3 つであることがわかる。また $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ の軌道 $\lbrace \pm\sqrt{2} \pm \sqrt{3} \rbrace$ は 4 元からなるので、$\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = L$ である（第8章 例 8.15 の別証明）。

例 9.12（$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$）$L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$（$\omega = e^{2\pi i/3}$）は $x^3 - 2$ の分解体で、$[L : \mathbb{Q}] = 6$（第8章 例 8.28）。$\sigma \in G$ は $\sigma(\sqrt[3]{2}) \in \lbrace \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2 \rbrace$ と $\sigma(\omega) \in \lbrace \omega, \omega^2 \rbrace$（$x^2 + x + 1$ の根）で決まり、候補は 6 つなのですべて実現する。

とおく（$\tau$ は複素共役の制限）。根に $\alpha_1 = \sqrt[3]{2}$, $\alpha_2 = \sqrt[3]{2}\omega$, $\alpha_3 = \sqrt[3]{2}\omega^2$ と番号をつけると、$\sigma(\alpha_2) = \sqrt[3]{2}\omega \cdot \omega = \alpha_3$ などから $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $\tau = (2\ 3)$ であり、$G \cong \mathfrak{S}_3$、$\tau\sigma\tau^{-1} = \sigma^{-1}$ である。$\sigma\tau = (1\ 2)$, $\sigma^2\tau = (1\ 3)$ で、互換はその置換で動かない根を固定する。

3 次の部分体の固定体は、固定される根の軌道の長さが 3 であることから決まる（注意 9.10）。$\langle \sigma \rangle$ は $\omega$ を固定し、$[G : \langle \sigma \rangle] = 2 = [\mathbb{Q}(\omega) : \mathbb{Q}]$。基本定理 (4) により、$\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}$ はガロア拡大で $\operatorname{Gal} \cong G/\langle \sigma \rangle \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、3 つの 3 次体は $\mathbb{Q}$ 上ガロア拡大でない（第8章 例 8.34(2)）。さらに (3) により、それらは互いに共役である：$\sigma\langle \tau \rangle\sigma^{-1} = \langle \sigma^2\tau \rangle$ に対応して $\sigma(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})) = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\omega)$。

例 9.13（$x^4 - 2$ の分解体）$\alpha = \sqrt[4]{2} > 0$、$L = \mathbb{Q}(\alpha, i)$ とする。$[L : \mathbb{Q}] = 8$（第8章 例 8.28）で、$\sigma \in G$ は $\sigma(\alpha) \in \lbrace \pm\alpha, \pm i\alpha \rbrace$ と $\sigma(i) \in \lbrace \pm i \rbrace$ で決まるので、8 つの候補がすべて実現する。

とおく。根に $\alpha_1 = \alpha$, $\alpha_2 = i\alpha$, $\alpha_3 = -\alpha$, $\alpha_4 = -i\alpha$ と番号をつけると、$\sigma(\alpha_k) = i\alpha_k$ より $\sigma = (1\ 2\ 3\ 4)$、$\tau = (2\ 4)$ である。$\sigma$ の位数は 4、$\tau$ の位数は 2、$\tau\sigma\tau^{-1} = (1\ 4\ 3\ 2) = \sigma^{-1}$ なので、$G$ は位数 8 の二面体群 $D_4$ と同型である。これは複素平面上の正方形 $\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4$ の対称性の群にほかならない。残りの元は

である（積は右の置換から先に施す）。$D_4$ の部分群は 10 個あり、それぞれの固定体は次のとおりである。

いくつか確かめておく。$\sigma^2$ は $\alpha^2 = \sqrt{2}$ と $i$ を固定し、$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, i) : \mathbb{Q}] = 4 = [G : \langle \sigma^2 \rangle]$。$\sigma\tau$ は $\alpha_1 \leftrightarrow \alpha_2$ と入れかえるので $\alpha_1 + \alpha_2 = (1 + i)\alpha$ を固定する（注意 9.10 の和）。その軌道は $\lbrace \pm(1 + i)\alpha, \pm(1 - i)\alpha \rbrace$ で長さ 4 なので、$L^{\langle \sigma\tau \rangle} = \mathbb{Q}((1 + i)\alpha)$。$\langle \sigma^2, \sigma\tau \rangle$ については、$\sigma\tau(i\sqrt{2}) = (-i)(i\alpha)^2 = (-i)(-\sqrt{2}) = i\sqrt{2}$ かつ $\sigma^2(i\sqrt{2}) = i\sqrt{2}$ なので、固定体は $\mathbb{Q}(i\sqrt{2}) = \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$。

正規でない 4 つの部分群は 2 組の共役類 $\lbrace \langle \tau \rangle, \langle \sigma^2\tau \rangle \rbrace$, $\lbrace \langle \sigma\tau \rangle, \langle \sigma^3\tau \rangle \rbrace$ をなし、対応して $\sigma(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})) = \mathbb{Q}(i\sqrt[4]{2})$ などとなる。2 次の部分体 $\mathbb{Q}(i), \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ と $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, i)$ は $\mathbb{Q}$ 上ガロア拡大である。

9.6 有限体のガロア群

定理 9.14 $q = p^n$ とすると、$\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p$ はガロア拡大であり、$\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)$ はフロベニウス写像 $\operatorname{Fr}(a) = a^p$ で生成される位数 $n$ の巡回群である。中間体は各 $d \mid n$ に対する $\mathbb{F}_{p^d} = \mathbb{F}_q^{\langle \operatorname{Fr}^d \rangle}$ で尽くされる。

証明. $\mathbb{F}_q$ は分離的な多項式 $x^q - x$ の分解体（第8章 定理 8.41）なのでガロア拡大で、ガロア群の位数は $n$。$\operatorname{Fr}$ は単射な環準同型（第5章 命題 5.36）で $\mathbb{F}_q$ は有限なので自己同型であり、$\mathbb{F}_p$ の元を固定する（フェルマーの小定理）。$\operatorname{Fr}^k = \mathrm{id}$ は「$\mathbb{F}_q$ の $q$ 個の元がすべて $x^{p^k} - x$ の根」を意味するので、$k < n$ ではありえない。よって $\operatorname{Fr}$ の位数は $n$ で、$\operatorname{Gal} = \langle \operatorname{Fr} \rangle$。位数 $n$ の巡回群の部分群は各 $d \mid n$ に対する $\langle \operatorname{Fr}^d \rangle$（位数 $n/d$）だけであり（第2章 定理 2.23）、その固定体 $\lbrace a \mid a^{p^d} = a \rbrace$ は $p^d$ 個の元からなる部分体 $\mathbb{F}_{p^d}$ である（第8章 定理 8.41(4)）。$\square$

同様に、$\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{q^m}/\mathbb{F}_q)$ は $a \mapsto a^q$ で生成される位数 $m$ の巡回群である。

例 9.15

1. $\mathbb{F}_{p^6}/\mathbb{F}_p$ では $G = \langle \operatorname{Fr} \rangle \cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ で、対応は次のとおり。$\mathbb{F}_{p^2} \cap \mathbb{F}_{p^3} = \mathbb{F}_p$ は $\langle \operatorname{Fr}^2 \rangle$ と $\langle \operatorname{Fr}^3 \rangle$ で生成される部分群 $G$ に対応する。

2. $\mathbb{F}_p$ 上の $d$ 次既約多項式 $f$ の根 $\alpha$ について、$\mathbb{F}_p(\alpha) = \mathbb{F}_{p^d}$ は正規なので、$f$ の根は $\alpha$ の $\operatorname{Fr}$ 軌道 $\alpha, \alpha^p, \dots, \alpha^{p^{d-1}}$ である（命題 9.7）。たとえば第8章 例 8.42 の $\mathbb{F}_8$ で、$x^3 + x + 1$ の根は $\alpha, \alpha^2, \alpha^4 = \alpha^2 + \alpha$ であり、実際 $(\alpha^4)^3 + \alpha^4 + 1 = \alpha^5 + \alpha^4 + 1 = (\alpha^2 + \alpha + 1) + (\alpha^2 + \alpha) + 1 = 0$。

9.7 円分体

1 の $n$ 乗根全体は位数 $n$ の巡回群 $\langle \zeta_n \rangle$（$\zeta_n = e^{2\pi i/n}$）をなし、位数がちょうど $n$ のもの $\zeta_n^k$（$\gcd(k, n) = 1$）を 1 の原始 $n$ 乗根という（第2章 系 2.25）。

定義 9.16（円分多項式, cyclotomic polynomial）

$$\Phi_n(x) = \prod_{1 \leq k \leq n,\ \gcd(k, n) = 1} (x - \zeta_n^k)$$

を $n$ 次の円分多項式という。$\deg \Phi_n = \varphi(n)$ である。$\mathbb{Q}(\zeta_n)$ を円分体 (cyclotomic field) という。

各 $n$ 乗根はその位数 $d$（$d \mid n$）の原始 $d$ 乗根なので、$x^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(x)$ である。これと $n$ についての帰納法により $\Phi_n \in \mathbb{Z}[x]$ がわかる（モニックな整数係数多項式による割り算の商は整数係数。第5章 定理 5.28）。たとえば

$n = p$ が素数なら $\Phi_p = x^{p-1} + \cdots + x + 1$ で、その既約性は第6章 定理 6.26 で示した。一般の $n$ では $\Phi_n(x + 1)$ にアイゼンシュタインの判定法が使えるとは限らず、別の方法が要る。

定理 9.17（円分多項式の既約性）すべての $n \in \mathbb{N}$ について、$\Phi_n$ は $\mathbb{Q}[x]$ の既約多項式である。

証明. $\zeta$ を 1 の原始 $n$ 乗根、$f = m_{\zeta, \mathbb{Q}}$ とする。$f \mid x^n - 1$ なので $x^n - 1 = fg$（$f, g$ はモニック）と書ける。ガウスの補題により $f, g \in \mathbb{Z}[x]$ である：実際 $f = c_1f_0$, $g = c_2g_0$（$c_i \in \mathbb{Q}^\times$、$f_0, g_0$ は最高次係数が正の原始多項式）と書くと、$f_0g_0$ は原始的なので（第6章 補題 6.18）第6章 補題 6.19 より $c_1c_2 = \pm 1$、最高次係数を比べて $f_0, g_0$ はモニック、$c_1 = c_2 = 1$。

主張：$p$ が $n$ を割らない素数なら、$\zeta^p$ も $f$ の根である。$\zeta^p$ が $f$ の根でないとすると、$\zeta^p$ は $x^n - 1 = fg$ の根なので $g(\zeta^p) = 0$。よって $\zeta$ は $g(x^p)$ の根で、$f(x) \mid g(x^p)$。$f$ はモニックなので、第5章 定理 5.28 の割り算の一意性から、$g(x^p) = f(x)h(x)$ となる $h \in \mathbb{Z}[x]$ がある。係数を $\bmod p$ で還元したものを $\overline{\ \cdot\ }$ で表すと、$\mathbb{F}_p[x]$ でフロベニウス準同型を使って $\overline{g}(x^p) = \overline{g}(x)^p$（$\mathbb{F}_p$ の元 $c$ は $c^p = c$ をみたす）なので、$\overline{f} \mid \overline{g}^p$。$\overline{f}$ の既約因子 $\pi$ をとると $\pi \mid \overline{g}$ で、$\pi^2 \mid \overline{f}\ \overline{g} = x^n - 1$。一方 $p \nmid n$ より $(x^n - 1)' = nx^{n-1}$ と $x^n - 1$ は共通根をもたないので、$x^n - 1$ は $\mathbb{F}_p$ 上重根をもたない（第8章 命題 8.36）。これは $\pi^2 \mid x^n - 1$ に矛盾する。

$\gcd(k, n) = 1$ となる $k$ は、$n$ を割らない素数の積 $k = p_1p_2\cdots p_r$ に書ける。主張を $\zeta$, $\zeta^{p_1}$, $\zeta^{p_1p_2}$, … に順に適用すると（$f$ はこれらの原始 $n$ 乗根の最小多項式でもある）、$\zeta^k$ はすべて $f$ の根である。よって $\Phi_n \mid f$ で、$f \mid \Phi_n$（$\Phi_n(\zeta) = 0$）と合わせて $f = \Phi_n$。$\square$

定理 9.18 $\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ はガロア拡大で $[\mathbb{Q}(\zeta_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n)$ である。$\sigma \in \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})$ に $\sigma(\zeta_n) = \zeta_n^a$ となる $a \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ を対応させる写像は同型

$$\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}) \xrightarrow{\ \cong\ } (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$$

である。$a$ に対応する元を $\sigma_a$ と書く。

証明. $x^n - 1$ の根はすべて $\zeta_n$ のべきなので、$\mathbb{Q}(\zeta_n)$ は $x^n - 1$ の分解体であり、ガロア拡大である。次数は定理 9.17 より $\deg \Phi_n = \varphi(n)$。$\sigma(\zeta_n)$ は位数 $n$ の元なので $\zeta_n^a$（$a \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$）と書け、$\sigma$ は $a$ で決まる。$\sigma(\zeta_n) = \zeta_n^a$, $\tau(\zeta_n) = \zeta_n^b$ なら $\sigma\tau(\zeta_n) = \sigma(\zeta_n)^b = \zeta_n^{ab}$ なので準同型であり、単射。両辺の位数はともに $\varphi(n)$ なので同型である。$\square$