Lemma数学ロードマップ

04 代数学（群・環・体） · 第 7 章

加群と単項イデアル整域上の構造定理

目安 11〜14 時間定理など 11演習 9 問

この章の目標

  • 加群の定義を理解し、ベクトル空間・アーベル群・線形変換がすべて加群の例であることを理解する
  • 部分加群・剰余加群・準同型定理・直和・自由加群・完全列を扱える
  • 単項イデアル整域上の行列の単因子標準形（スミス標準形）の存在と一意性を証明し、計算できる
  • 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理を証明し、有限生成アーベル群の基本定理と、有理標準形・ジョルダン標準形を導ける

前提：第5章（環とイデアル、中国剰余定理）、第6章（単項イデアル整域、一意分解整域）、02-linear-algebra 第4章（行列式）、第6章 ジョルダン標準形

ベクトル空間は「体の元でスカラー倍できる可換群」であった。スカラーを体から一般の環に置き換えたものが加群である。この一般化によって、一見無関係な 2 つの分類問題が同じ定理の特別な場合になる。

  • 有限生成アーベル群の分類（第4章の基本定理）：アーベル群は Z\mathbb{Z} 上の加群である。
  • 正方行列の相似による分類（ジョルダン標準形）：線形変換 TT をもつベクトル空間 VV は、f(x)⋅v=f(T)vf(x) \cdot v = f(T)v によって多項式環 K[x]K[x] 上の加群になる。

Z\mathbb{Z} も K[x]K[x] も単項イデアル整域である。本章の主定理「単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理」は、この 2 つの分類を一挙に与える。その証明の核心は、単項イデアル整域上の行列を行・列の基本変形で対角化する単因子標準形である。

本章では RR は可換環とし、7.4 節以降は単項イデアル整域とする。

7.1 加群の定義と例

定義 7.1（加群, module）RR を可換環とする。可換群 (M,+)(M, +) と写像 R×M→MR \times M \to M, (r,m)↦rm(r, m) \mapsto rm（スカラー倍）が、任意の r,s∈Rr, s \in R, m,m′∈Mm, m' \in M について

r(m+m′)=rm+rm′,(r+s)m=rm+sm,(rs)m=r(sm),1m=mr(m + m') = rm + rm', \quad (r + s)m = rm + sm, \quad (rs)m = r(sm), \quad 1m = m

をみたすとき、MM を RR 加群 (RR-module) という。

例 7.2

  1. R=KR = K が体なら、KK 加群とは KK 上のベクトル空間のことである。
  2. アーベル群は Z\mathbb{Z} 加群である：可換群 AA に対し n⋅a=a+⋯+an \cdot a = a + \cdots + a（nn 個）、(−n)⋅a=−(n⋅a)(-n) \cdot a = -(n \cdot a) と定めれば Z\mathbb{Z} 加群になり、公理から Z\mathbb{Z} 加群の構造はこれ以外にない。
  3. RR 自身、RR のイデアル II、剰余環 R/IR/I（r(a+I)=ra+Ir(a + I) = ra + I）、RnR^n（成分ごとのスカラー倍）は RR 加群である。
  4. 線形変換と K[x]K[x] 加群：VV を KK 上のベクトル空間、T ⁣:V→VT\colon V \to V を線形変換とすると、f(x)⋅v:=f(T)vf(x) \cdot v := f(T)v により VV は K[x]K[x] 加群になる。これを VTV_T と書く。逆に K[x]K[x] 加群 MM は、K⊂K[x]K \subset K[x] のスカラー倍で KK ベクトル空間になり、T(m):=xmT(m) := xm は線形変換で、M=MTM = M_T である。すなわち
{K[x] 加群}⟷{(V,T)∣V はベクトル空間,T∈End⁡K(V)}\lbrace K[x] \text{ 加群} \rbrace \longleftrightarrow \lbrace (V, T) \mid V \text{ はベクトル空間}, T \in \operatorname{End}_K(V) \rbrace

最後の例が本章の応用 2 の出発点である。

定義 7.3 M,NM, N を RR 加群とする。

  1. MM の部分群 NN が rN⊂NrN \subset N（r∈Rr \in R）をみたすとき、NN を部分加群 (submodule) という。このとき剰余群 M/NM/N は r(m+N)=rm+Nr(m + N) = rm + N で RR 加群になり、剰余加群 (quotient module) という。
  2. 写像 f ⁣:M→Nf\colon M \to N が f(m+m′)=f(m)+f(m′)f(m + m') = f(m) + f(m'), f(rm)=rf(m)f(rm) = rf(m) をみたすとき、RR 準同型（RR 線形写像）という。その全体を Hom⁡R(M,N)\operatorname{Hom}_R(M, N) と書く。全単射な準同型を同型写像という。

RR のイデアルとは、RR 自身の部分加群のことである。K[x]K[x] 加群 VTV_T の部分加群は TT 不変部分空間であり、K[x]K[x] 準同型 φ ⁣:VT→WS\varphi\colon V_T \to W_S は φT=Sφ\varphi T = S\varphi をみたす線形写像である。特に次が成り立つ。

命題 7.4 A,B∈M⁡n(K)A, B \in \operatorname{M}_n(K) とし、KnK^n を AA, BB で K[x]K[x] 加群とみたものを VAV_A, VBV_B とする。VA≅VBV_A \cong V_B（K[x]K[x] 加群として）  ⟺  \iff AA と BB は相似（B=PAP−1B = PAP^{-1} となる P∈GL⁡n(K)P \in \operatorname{GL}_n(K) が存在する）。

証明. K[x]K[x] 同型写像 φ ⁣:VA→VB\varphi\colon V_A \to V_B は φA=Bφ\varphi A = B\varphi をみたす線形同型写像、すなわち B=PAP−1B = PAP^{-1} をみたす正則行列 PP にほかならない。□\square

したがって、正方行列の相似類の分類は、K[x]K[x] 加群の同型類の分類と同じ問題である。

定理 7.5（準同型定理）f ⁣:M→Nf\colon M \to N を RR 準同型とすると、Ker⁡f\operatorname{Ker} f, Im⁡f\operatorname{Im} f は部分加群であり、M/Ker⁡f≅Im⁡fM/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f である。

証明. 加群としての第 1 同型定理（第2章 定理 2.41）により、m+Ker⁡f↦f(m)m + \operatorname{Ker} f \mapsto f(m) は well-defined な加法群の同型写像である。rm+Ker⁡f↦f(rm)=rf(m)rm + \operatorname{Ker} f \mapsto f(rm) = rf(m) より RR 線形でもある。□\square

第 2・第 3 同型定理、対応定理も群の場合と同じ形で成り立つ。

定義 7.6（直和）RR 加群 M1,…,MnM_1, \dots, M_n の直積集合に成分ごとの演算を入れた加群を直和 (direct sum) といい、M1⊕⋯⊕MnM_1 \oplus \cdots \oplus M_n と書く。MM の部分加群 N1,…,NnN_1, \dots, N_n について、写像 N1⊕⋯⊕Nn→MN_1 \oplus \cdots \oplus N_n \to M, (xi)↦∑xi(x_i) \mapsto \sum x_i が同型のとき、MM は NiN_i の（内部）直和であるといい M=N1⊕⋯⊕NnM = N_1 \oplus \cdots \oplus N_n と書く。

M=N1⊕N2M = N_1 \oplus N_2（内部直和）  ⟺  \iff N1+N2=MN_1 + N_2 = M かつ N1∩N2=0N_1 \cap N_2 = 0 である（第4章 定理 4.3 と同様。可換なので正規性の条件は不要）。VTV_T の直和分解は TT 不変部分空間への分解であり、行列をブロック対角化することに対応する。

7.2 自由加群と階数

定義 7.7（生成系・基底・自由加群）RR 加群 MM の部分集合 SS について、SS の元の RR 係数の有限一次結合全体 ∑sRs\sum_{s} Rs を SS で生成される部分加群という。これが MM に一致するとき SS を生成系といい、有限の生成系をもつ加群を有限生成 (finitely generated) という。1 元で生成される加群を巡回加群 (cyclic module) という。SS が一次独立（∑risi=0\sum r_is_i = 0, sis_i 相異なる ⇒\Rightarrow すべての ri=0r_i = 0）な生成系のとき基底 (basis) といい、基底をもつ加群を自由加群 (free module) という。

e1,…,ene_1, \dots, e_n を基底とする自由加群は、(ri)↦∑riei(r_i) \mapsto \sum r_ie_i により RnR^n と同型である。巡回加群 M=RmM = Rm は、r↦rmr \mapsto rm の核を II とすると M≅R/IM \cong R/I である。

例 7.8

  1. Zn\mathbb{Z}^n は自由 Z\mathbb{Z} 加群。Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}（n≥2n \geq 2）は自由でない：任意の元 aa について na=0na = 0 なので、一次独立な元がない。
  2. Q\mathbb{Q} は Z\mathbb{Z} 加群として自由でない（問題 7.1）。
  3. ベクトル空間と違い、加群では次のことが起こる：Z\mathbb{Z} で {2}\lbrace 2 \rbrace は一次独立だが基底に延長できない。{2,3}\lbrace 2, 3 \rbrace は Z\mathbb{Z} を生成するが、そのどの部分集合も基底でない（極小生成系が基底とは限らない）。

定理 7.9（階数の well-defined 性）R≠0R \neq 0 を可換環とする。Rm≅RnR^m \cong R^n ならば m=nm = n である。この nn を自由加群の階数 (rank) という。

証明. 第5章 定理 5.20 より極大イデアル m\mathfrak{m} がとれ、k=R/mk = R/\mathfrak{m} は体である。Rn/mRn≅(R/m)nR^n/\mathfrak{m}R^n \cong (R/\mathfrak{m})^n は、m\mathfrak{m} の元がスカラー倍で 00 として働くので kk 上の nn 次元ベクトル空間になる。同型 φ ⁣:Rm→Rn\varphi\colon R^m \to R^n は φ(mRm)=mRn\varphi(\mathfrak{m}R^m) = \mathfrak{m}R^n をみたすので、kk 線形同型 km≅knk^m \cong k^n を誘導する。ベクトル空間の次元の一意性より m=nm = n。□\square

自由加群 FF の基底 e1,…,ene_1, \dots, e_n と任意の加群 MM の元 m1,…,mnm_1, \dots, m_n に対し、ei↦mie_i \mapsto m_i となる準同型 F→MF \to M がただ一つ存在する（∑riei↦∑rimi\sum r_ie_i \mapsto \sum r_im_i）。特に、m1,…,mnm_1, \dots, m_n で生成される加群 MM は全射 Rn→MR^n \to M をもち、準同型定理から M≅Rn/NM \cong R^n/N（NN はその核）と表される。

定義 7.10（ねじれ）RR を整域とする。m∈Mm \in M について rm=0rm = 0 となる r≠0r \neq 0 が存在するとき、mm をねじれ元 (torsion element) という。ねじれ元全体 tor⁡(M)\operatorname{tor}(M) は部分加群であり（rm=0rm = 0, sm′=0sm' = 0 なら rs(m+m′)=0rs(m + m') = 0）、tor⁡(M)=M\operatorname{tor}(M) = M のときねじれ加群、tor⁡(M)=0\operatorname{tor}(M) = 0 のときねじれがない (torsion-free) という。

有限アーベル群はねじれ Z\mathbb{Z} 加群である。有限次元ベクトル空間 VV と線形変換 TT に対し、VTV_T はねじれ K[x]K[x] 加群である：dim⁡V=n\dim V = n なら v,Tv,…,Tnvv, Tv, \dots, T^nv は一次従属なので、00 でない多項式 ff で f(T)v=0f(T)v = 0 となるものがある。

7.3 完全列

加群の関係を見通しよく記述するのが完全列の言葉である（本格的な扱いは圏論とホモロジー代数 第4章）。

定義 7.11（完全列, exact sequence）RR 準同型の列 ⋯→Mi−1→fi−1Mi→fiMi+1→⋯\cdots \to M_{i-1} \xrightarrow{f_{i-1}} M_i \xrightarrow{f_i} M_{i+1} \to \cdots が各 ii で Im⁡fi−1=Ker⁡fi\operatorname{Im} f_{i-1} = \operatorname{Ker} f_i をみたすとき、完全 (exact) であるという。特に

0→M′→fM→gM′′→00 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0

が完全（ff は単射、gg は全射、Im⁡f=Ker⁡g\operatorname{Im} f = \operatorname{Ker} g）であるとき、短完全列という。

N⊂MN \subset M なら 0→N→M→M/N→00 \to N \to M \to M/N \to 0 は短完全列である。0→Z→×nZ→Z/nZ→00 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to 0 も短完全列である。

命題 7.12（分裂）短完全列 0→M′→fM→gF→00 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} F \to 0 で FF が自由加群ならば、M=f(M′)⊕NM = f(M') \oplus N となる部分加群 N≅FN \cong F が存在する。特に M≅M′⊕FM \cong M' \oplus F。

証明. FF の基底 (eλ)(e_\lambda) について g(mλ)=eλg(m_\lambda) = e_\lambda となる mλm_\lambda を選び、s ⁣:F→Ms\colon F \to M を s(eλ)=mλs(e_\lambda) = m_\lambda で定めると g∘s=idFg \circ s = \mathrm{id}_F。N=s(F)N = s(F) とおく。m∈Mm \in M に対し m−s(g(m))∈Ker⁡g=f(M′)m - s(g(m)) \in \operatorname{Ker} g = f(M') なので M=f(M′)+NM = f(M') + N。x∈f(M′)∩Nx \in f(M') \cap N なら x=s(y)x = s(y) で 0=g(x)=y0 = g(x) = y より x=0x = 0。ss は単射（g∘s=idg \circ s = \mathrm{id}）なので N≅FN \cong F。□\square

注意

自由でない M′′M'' では分裂するとは限らない。0→Z→×2Z→Z/2Z→00 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0 で Z≇Z⊕Z/2Z\mathbb{Z} \not\cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}（右辺はねじれ元をもつ）。

7.4 単項イデアル整域上の自由加群の部分加群

以下、RR は単項イデアル整域とする。ベクトル空間の部分空間がベクトル空間であるように、単項イデアル整域上では自由加群の部分加群は自由である。

定理 7.13 RR を単項イデアル整域とする。階数 nn の自由 RR 加群 FF の部分加群 NN は、階数 nn 以下の自由加群である。

証明. F=RnF = R^n として nn についての帰納法で示す。n=1n = 1 なら NN は RR のイデアルなので N=(a)N = (a) と書け、a=0a = 0 なら N=0N = 0（階数 0）、a≠0a \neq 0 なら r↦rar \mapsto ra は整域なので単射で N≅RN \cong R（階数 1）。

n≥2n \geq 2 とし、π ⁣:Rn→R\pi\colon R^n \to R を第 nn 成分への射影とする。N′=N∩Ker⁡πN' = N \cap \operatorname{Ker} \pi は Ker⁡π≅Rn−1\operatorname{Ker} \pi \cong R^{n-1} の部分加群なので、帰納法の仮定より階数 n−1n - 1 以下の自由加群である。π(N)\pi(N) は RR のイデアルなので π(N)=(a)\pi(N) = (a)。a=0a = 0 なら N=N′N = N'。a≠0a \neq 0 なら π(y)=a\pi(y) = a となる y∈Ny \in N をとる。x∈Nx \in N について π(x)=ra\pi(x) = ra なら x−ry∈N′x - ry \in N' なので N=N′+RyN = N' + Ry。ry∈N′ry \in N' なら ra=0ra = 0 より r=0r = 0 なので N′∩Ry=0N' \cap Ry = 0 で、Ry≅RRy \cong R。よって N=N′⊕RyN = N' \oplus Ry は階数 nn 以下の自由加群である。□\square

したがって、m1,…,mnm_1, \dots, m_n で生成される RR 加群 MM は、全射 Rn→MR^n \to M の核 NN の基底 u1,…,uku_1, \dots, u_k（k≤nk \leq n）をとることで

M≅Rn/N,N=ARk(A=(u1⋯uk)∈M⁡n×k(R))M \cong R^n/N, \qquad N = AR^k \quad (A = (u_1 \cdots u_k) \in \operatorname{M}_{n \times k}(R))

と、行列 AA で「表示」される。AA の列は生成元 mim_i の間の関係式を表している。

7.5 単因子標準形

行列 AA を簡単にするために、基底を取り替える。P∈GL⁡n(R)P \in \operatorname{GL}_n(R)（RR 成分の可逆行列。det⁡P∈R×\det P \in R^\times と同値）、Q∈GL⁡k(R)Q \in \operatorname{GL}_k(R) について、P ⁣:Rn→RnP\colon R^n \to R^n は同型で P(ARk)=PARk=PAQRkP(AR^k) = PAR^k = PAQR^k なので

Rn/ARk≅Rn/PAQRk(1)R^n/AR^k \cong R^n/PAQR^k \tag{1}

となる。PAQPAQ ができるだけ簡単な形になるように P,QP, Q を選べばよい。

定理 7.14（単因子標準形, Smith normal form）RR を単項イデアル整域、A∈M⁡m×n(R)A \in \operatorname{M}_{m \times n}(R) とする。ある P∈GL⁡m(R)P \in \operatorname{GL}_m(R), Q∈GL⁡n(R)Q \in \operatorname{GL}_n(R) により

PAQ=(d1⋱drO),di≠0,d1∣d2∣⋯∣drPAQ = \begin{pmatrix} d_1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & d_r & \\ & & & O \end{pmatrix}, \qquad d_i \neq 0, \quad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r

（対角成分以外は 00）とできる。rr と d1,…,drd_1, \dots, d_r（単元倍を除く）は AA から一意に定まり、AA の単因子 (invariant factors) という。より詳しく、AA の kk 次小行列式すべての最大公約数を Δk(A)\Delta_k(A) とおくと

Δk(A)∼d1d2⋯dk(1≤k≤r),Δk(A)=0(k>r)\Delta_k(A) \sim d_1d_2\cdots d_k \quad (1 \leq k \leq r), \qquad \Delta_k(A) = 0 \quad (k > r)

証明. 存在：次の変形はいずれも左または右から可逆行列を掛ける操作である。

  • (a) 2 つの行（列）の入れ替え、(b) ある行（列）の cc 倍を別の行（列）に加える、(c) 行（列）を単元倍する。
  • (d) 第 ii 行と第 jj 行を、RR の元 x,y,a′,b′x, y, a', b'（xa′+yb′=1xa' + yb' = 1）により (第 i 行,第 j 行)↦(x⋅第 i 行+y⋅第 j 行, −b′⋅第 i 行+a′⋅第 j 行)(\text{第 } i \text{ 行}, \text{第 } j \text{ 行}) \mapsto (x \cdot \text{第 } i \text{ 行} + y \cdot \text{第 } j \text{ 行},\ -b' \cdot \text{第 } i \text{ 行} + a' \cdot \text{第 } j \text{ 行}) と置き換える。列についても同様。

(d) は、第 ii 行と第 jj 行に行列式 xa′+yb′=1xa' + yb' = 1 の行列を左から掛ける操作である。その逆行列も RR 成分であるから、(d) も可逆な変形である：

(xy−b′a′)−1=(a′−yb′x)\begin{pmatrix} x & y \\ -b' & a' \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} a' & -y \\ b' & x \end{pmatrix}

(d) の用途：a,b∈Ra, b \in R（a≠0a \neq 0）の最大公約数を dd とし、a=da′a = da', b=db′b = db'、ベズーの等式 ax+by=dax + by = d から a′x+b′y=1a'x + b'y = 1 となる。ii 行目の成分が aa、jj 行目の成分が bb の列に (d) を施すと、その成分は (ax+by,−b′a+a′b)=(d,0)(ax + by, -b'a + a'b) = (d, 0) になる。

RR は一意分解整域（第6章 定理 6.13）なので、00 でない aa に対し、aa の既約元分解に現れる既約元の個数（重複を込める）を ℓ(a)\ell(a) とおく。d∣ad \mid a かつ d≁ad \not\sim a なら ℓ(d)<ℓ(a)\ell(d) < \ell(a) である。

A=OA = O なら示すことはない。A≠OA \neq O とし、AA から上の変形で得られる行列のうち、(1,1)(1, 1) 成分が 00 でなく、その ℓ\ell が最小のもの B=(bij)B = (b_{ij}) をとる（(a) により AA の 00 でない成分を (1,1)(1, 1) に移せるので、そのような行列は存在する）。

  • b11b_{11} は第 1 列のすべての成分を割る。そうでない bi1b_{i1} があれば、第 1 行と第 ii 行に (d) を施すと (1,1)(1, 1) 成分が gcd⁡(b11,bi1)\gcd(b_{11}, b_{i1}) になり、これは b11b_{11} の同伴でない約元なので ℓ\ell が小さくなり、最小性に反する。同様に b11b_{11} は第 1 行のすべての成分を割る。
  • よって (b) で第 1 行・第 1 列の他の成分を 00 にでき、ブロック対角行列 B′=diag⁡(b11,B1)B' = \operatorname{diag}(b_{11}, B_1)（B1B_1 は (m−1)×(n−1)(m - 1) \times (n - 1) 行列）の形になる（(1,1)(1, 1) 成分は変わらないので B′B' も最小性をもつ）。
  • b11b_{11} は B1B_1 のすべての成分を割る。そうでない成分があれば、その行を第 1 行に加えると、第 1 行に b11b_{11} で割れない成分が現れ、上の議論と矛盾する。

B1B_1 に帰納法（行列のサイズについての）を適用すると、P1B1Q1=diag⁡(d2,…,dr,0,… )P_1B_1Q_1 = \operatorname{diag}(d_2, \dots, d_r, 0, \dots)、d2∣⋯∣drd_2 \mid \cdots \mid d_r となる。P1B1Q1P_1B_1Q_1 の成分は B1B_1 の成分の RR 係数一次結合なので d1:=b11d_1 := b_{11} で割り切れ、特に d1∣d2d_1 \mid d_2。ブロック表示で

(100P1)(d100B1)(100Q1)=(d100P1B1Q1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & P_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & B_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & P_1B_1Q_1 \end{pmatrix}

となり、これが主張の形である。

一意性：PP が可逆なら Δk(PA)∼Δk(A)\Delta_k(PA) \sim \Delta_k(A) である。実際、PAPA の各行は AA の行の一次結合なので、行列式の各行についての多重線形性（線形代数 第4章）により、PAPA の kk 次小行列式は AA の kk 次小行列式の RR 係数一次結合である。よって Δk(A)∣Δk(PA)\Delta_k(A) \mid \Delta_k(PA) で、P−1P^{-1} についても同様なので Δk(PA)∼Δk(A)\Delta_k(PA) \sim \Delta_k(A)。列についても同様。したがって Δk(A)∼Δk(PAQ)\Delta_k(A) \sim \Delta_k(PAQ)。一方、対角行列 D=PAQD = PAQ の 00 でない kk 次小行列式は di1⋯dikd_{i_1} \cdots d_{i_k}（i1<⋯<ik≤ri_1 < \cdots < i_k \leq r）の形で、dj∣dijd_j \mid d_{i_j} よりすべて d1⋯dkd_1 \cdots d_k で割り切れ、d1⋯dkd_1 \cdots d_k 自身も小行列式である。よって Δk(D)∼d1⋯dk\Delta_k(D) \sim d_1 \cdots d_k（k≤rk \leq r）、Δk(D)=0\Delta_k(D) = 0（k>rk > r）。これから rr と dk∼Δk/Δk−1d_k \sim \Delta_k/\Delta_{k-1} が AA だけで決まる。□\square

RR がユークリッド整域なら、(d) の代わりに割り算（(b) の繰り返し）で gcd⁡\gcd を作れるので、行列の単因子標準形は具体的に計算できる。

例 7.15

  1. Z\mathbb{Z} 上の 2×22 \times 2 行列 AA（下の式の左端）について、第 1 列から第 2 列を引き、次に第 2 列から第 1 列の 2 倍を引き、最後に第 2 行に第 1 行を加えると
A=(6446)→(24−26)→(20−210)→(20010)A = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 10 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}

検算：Δ1=gcd⁡(6,4,4,6)=2\Delta_1 = \gcd(6, 4, 4, 6) = 2、Δ2=∣det⁡A∣=20=2⋅10\Delta_2 = \lvert \det A \rvert = 20 = 2 \cdot 10。

  1. Z\mathbb{Z} 上の次の行列 AA を考える。
A=(244−661210−4−16)A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 4 \\ -6 & 6 & 12 \\ 10 & -4 & -16 \end{pmatrix}

成分の最大公約数は Δ1=2\Delta_1 = 2、2 次小行列式は 36,48,24,−48,−72,−48,−36,−24,−4836, 48, 24, -48, -72, -48, -36, -24, -48 でその最大公約数は Δ2=12\Delta_2 = 12、det⁡A=−144\det A = -144 より Δ3=144\Delta_3 = 144。よって単因子は 2,12/2=6,144/12=122, 12/2 = 6, 144/12 = 12 で、単因子標準形は diag⁡(2,6,12)\operatorname{diag}(2, 6, 12)。

7.6 構造定理

定理 7.16（単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理）RR を単項イデアル整域、MM を有限生成 RR 加群とする。

  1. （単因子型）00 でも単元でもない d1,…,dk∈Rd_1, \dots, d_k \in R（d1∣d2∣⋯∣dkd_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_k）と s≥0s \geq 0 により
M≅Rs⊕R/(d1)⊕⋯⊕R/(dk)M \cong R^s \oplus R/(d_1) \oplus \cdots \oplus R/(d_k)

と表される。 2. （準素分解型）素元 p1,…,plp_1, \dots, p_l（重複を許す）と ej≥1e_j \geq 1 により

M≅Rs⊕R/(p1e1)⊕⋯⊕R/(plel)M \cong R^s \oplus R/(p_1^{e_1}) \oplus \cdots \oplus R/(p_l^{e_l})

と表される。 3. （一意性）ss は MM から一意に定まる（MM の階数）。(1) の d1,…,dkd_1, \dots, d_k は単元倍を除いて一意に定まり（単因子）、(2) の pjejp_j^{e_j} の組は順序と同伴を除いて一意に定まる（準素因子, elementary divisors）。さらに tor⁡(M)≅R/(d1)⊕⋯⊕R/(dk)\operatorname{tor}(M) \cong R/(d_1) \oplus \cdots \oplus R/(d_k) である。

証明. (1) の存在：7.4 節より、M≅Rn/ARkM \cong R^n/AR^k となる A∈M⁡n×k(R)A \in \operatorname{M}_{n \times k}(R) がある。定理 7.14 で PAQ=DPAQ = D を単因子標準形とすると、(1) 式より M≅Rn/DRkM \cong R^n/DR^k。DRk=d1R⊕⋯⊕drR⊕0⊕⋯⊕0⊂RnDR^k = d_1R \oplus \cdots \oplus d_rR \oplus 0 \oplus \cdots \oplus 0 \subset R^n なので

M≅R/(d1)⊕⋯⊕R/(dr)⊕Rn−rM \cong R/(d_1) \oplus \cdots \oplus R/(d_r) \oplus R^{n-r}

did_i が単元なら R/(di)=0R/(d_i) = 0 なので取り除き、残りの番号を付け直せばよい。

(2) の存在：d=up1a1⋯ptatd = up_1^{a_1} \cdots p_t^{a_t}（uu は単元、pip_i は同伴でない素元）と分解すると、イデアル (piai)(p_i^{a_i}) はどの 2 つも互いに素なので（最大公約数が 11、ベズーの等式による）、中国剰余定理（第5章 定理 5.23）より

R/(d)≅R/(p1a1)⊕⋯⊕R/(ptat)R/(d) \cong R/(p_1^{a_1}) \oplus \cdots \oplus R/(p_t^{a_t})

これを (1) の各 R/(di)R/(d_i) に適用すればよい。

(3) の一意性：M≅Rs⊕TM \cong R^s \oplus T、T=⨁jR/(pjej)T = \bigoplus_j R/(p_j^{e_j}) とする。TT の元は dkd_k で消されるのでねじれ元であり、RsR^s はねじれがないので、この同型で tor⁡(M)\operatorname{tor}(M) は TT に対応する。よって M/tor⁡(M)≅RsM/\operatorname{tor}(M) \cong R^s となり、定理 7.9 より ss は MM だけで決まる。

次に素元 pp に対し M(p)={x∈M∣ある n で pnx=0}M(p) = \lbrace x \in M \mid \text{ある } n \text{ で } p^nx = 0 \rbrace とおく（MM だけで定まる部分加群）。qq が pp と同伴でない素元なら、(p)+(qe)=R(p) + (q^e) = R なので pp は R/(qe)R/(q^e) の上で可逆に作用し、R/(qe)R/(q^e) の 00 でない元は pnp^n で消えない。よって M(p)≅⨁pj∼pR/(pjej)M(p) \cong \bigoplus_{p_j \sim p} R/(p_j^{e_j})。ここで N=R/(pe)N = R/(p^e) について

pi−1N/piN≅{R/(p)(e≥i)0(e<i)p^{i-1}N/p^iN \cong \begin{cases} R/(p) & (e \geq i) \\ 0 & (e < i) \end{cases}

である（e≥ie \geq i なら r↦rpi−1r \mapsto rp^{i-1} が全射 R→(pi−1)/(pi)R \to (p^{i-1})/(p^i) を与え、その核は (p)(p)。e<ie < i なら pi−1N=0p^{i-1}N = 0）。したがって体 R/(p)R/(p) 上の次元

dim⁡R/(p)pi−1M(p)/piM(p)=#{j∣pj∼p, ej≥i}\dim_{R/(p)} p^{i-1}M(p)/p^iM(p) = \#\lbrace j \mid p_j \sim p,\ e_j \geq i \rbrace

は MM だけで定まり、各 ii についてこれらの個数がわかれば、pp に対する指数 eje_j の組が決まる。これで準素因子の一意性が示された。

最後に単因子の一意性：(1) の分解で di=ui∏ppap,id_i = u_i \prod_p p^{a_{p,i}} とすると ap,1≤⋯≤ap,ka_{p,1} \leq \cdots \leq a_{p,k} であり、準素因子は pap,ip^{a_{p,i}}（ap,i>0a_{p,i} > 0）全体である。d1d_1 は単元でないのである素元 pp で割り切れ、その pp に対する準素因子はちょうど kk 個、どの素元に対しても kk 個以下なので、kk は準素因子から決まる。各 pp について、準素因子の指数を小さい順に並べ、左に 00 を補って長さ kk にしたものが (ap,1,…,ap,k)(a_{p,1}, \dots, a_{p,k}) である。よって d1,…,dkd_1, \dots, d_k は単元倍を除いて準素因子から決まる。□\square

系 7.17 単項イデアル整域上の有限生成加群がねじれがなければ自由加群である。

証明. tor⁡(M)=0\operatorname{tor}(M) = 0 なら k=0k = 0 で M≅RsM \cong R^s。□\square

注意

「有限生成」は必要である：Q\mathbb{Q} はねじれのない Z\mathbb{Z} 加群だが自由でない。「単項イデアル整域」も必要である：Z[x]\mathbb{Z}[x] のイデアル (2,x)(2, x) はねじれのない有限生成 Z[x]\mathbb{Z}[x] 加群だが自由でない（問題 7.6）。

7.7 応用 1：有限生成アーベル群の基本定理

R=ZR = \mathbb{Z} とすると、定理 7.16 はそのまま第4章 定理 4.8（有限生成アーベル群の基本定理）である。証明は以上で完結した。

例 7.18 生成元 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 と関係式

2x1−6x2+10x3=0,4x1+6x2−4x3=0,4x1+12x2−16x3=02x_1 - 6x_2 + 10x_3 = 0, \qquad 4x_1 + 6x_2 - 4x_3 = 0, \qquad 4x_1 + 12x_2 - 16x_3 = 0

で定まるアーベル群 GG（すなわち G=Z3/NG = \mathbb{Z}^3/N、NN は 3 つの関係式の係数ベクトルで生成される部分群）を決定する。関係式の係数ベクトルを列に並べた行列は例 7.15(2) の AA であり、その単因子標準形は diag⁡(2,6,12)\operatorname{diag}(2, 6, 12) だから

G≅Z/2Z⊕Z/6Z⊕Z/12ZG \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}

である。∣G∣=144=∣det⁡A∣\lvert G \rvert = 144 = \lvert \det A \rvert。準素分解型は Z/2⊕Z/2⊕Z/4⊕Z/3⊕Z/3\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/4 \oplus \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/3（6=2⋅36 = 2 \cdot 3, 12=4⋅312 = 4 \cdot 3）。

一般に、AA が nn 次正方行列で det⁡A≠0\det A \neq 0 なら ∣Zn/AZn∣=∣det⁡A∣\lvert \mathbb{Z}^n/A\mathbb{Z}^n \rvert = \lvert \det A \rvert である（単因子の積が Δn=∣det⁡A∣\Delta_n = \lvert \det A \rvert）。

7.8 応用 2：有理標準形とジョルダン標準形

VV を体 KK 上の nn 次元ベクトル空間、TT を VV の線形変換とし、基底をとって TT を行列 A∈M⁡n(K)A \in \operatorname{M}_n(K) で表す。VTV_T は有限生成（KK 上の基底が K[x]K[x] 上でも生成系）なねじれ K[x]K[x] 加群なので、構造定理より

VT≅K[x]/(f1)⊕⋯⊕K[x]/(fk),f1∣f2∣⋯∣fkV_T \cong K[x]/(f_1) \oplus \cdots \oplus K[x]/(f_k), \qquad f_1 \mid f_2 \mid \cdots \mid f_k

となる（fif_i は 1 次以上のモニック多項式にとれ、一意的）。これを TT（または AA）の単因子という。各成分を具体的に調べよう。

巡回加群 K[x]/(f)K[x]/(f) とコンパニオン行列. f=xd+ad−1xd−1+⋯+a0f = x^d + a_{d-1}x^{d-1} + \cdots + a_0 とすると、K[x]/(f)K[x]/(f) は 1,x‾,…,x‾d−11, \overline{x}, \dots, \overline{x}^{d-1} を KK 上の基底にもつ（除法の原理）。xx 倍は x‾i↦x‾i+1\overline{x}^i \mapsto \overline{x}^{i+1}（i<d−1i < d - 1）、x‾d−1↦x‾d=−a0−a1x‾−⋯−ad−1x‾d−1\overline{x}^{d-1} \mapsto \overline{x}^d = -a_0 - a_1\overline{x} - \cdots - a_{d-1}\overline{x}^{d-1} なので、その表現行列は

C(f)=(00⋯0−a010⋯0−a101⋯0−a2⋮⋱⋮00⋯1−ad−1)C(f) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{d-1} \end{pmatrix}

である。これを ff のコンパニオン行列 (companion matrix) という。

単因子の計算法. 次の補題により、TT の単因子は xE−AxE - A の単因子標準形から計算できる。

補題 7.19 A∈M⁡n(K)A \in \operatorname{M}_n(K) とすると、K[x]K[x] 加群として VA≅K[x]n/(xE−A)K[x]nV_A \cong K[x]^n/(xE - A)K[x]^n である。

証明. e1,…,ene_1, \dots, e_n を KnK^n の標準基底とし、φ ⁣:K[x]n→VA\varphi\colon K[x]^n \to V_A を (g1,…,gn)↦∑igi(A)ei(g_1, \dots, g_n) \mapsto \sum_i g_i(A)e_i で定めると全射 K[x]K[x] 準同型である。xE−AxE - A の第 jj 列 xej−∑iaijeixe_j - \sum_i a_{ij}e_i は Aej−∑iaijei=0Ae_j - \sum_i a_{ij}e_i = 0 に写るので、N=(xE−A)K[x]n⊂Ker⁡φN = (xE - A)K[x]^n \subset \operatorname{Ker} \varphi。一方、K[x]n/NK[x]^n/N では xej≡∑iaijeixe_j \equiv \sum_i a_{ij}e_i なので、任意の元は e1,…,ene_1, \dots, e_n の KK 係数一次結合と合同である。よって dim⁡KK[x]n/N≤n\dim_K K[x]^n/N \leq n。φ\varphi が誘導する全射 K[x]n/N→VAK[x]^n/N \to V_A の像は nn 次元なので、これは同型である。□\square

det⁡(xE−A)\det(xE - A) は 00 でないモニック多項式なので、xE−AxE - A の単因子標準形は diag⁡(1,…,1,f1,…,fk)\operatorname{diag}(1, \dots, 1, f_1, \dots, f_k)（fif_i は 1 次以上のモニック多項式に正規化する）の形である。

定理 7.20（有理標準形, rational canonical form）A∈M⁡n(K)A \in \operatorname{M}_n(K) の単因子を f1∣⋯∣fkf_1 \mid \cdots \mid f_k とする。

  1. AA はブロック対角行列 diag⁡(C(f1),…,C(fk))\operatorname{diag}(C(f_1), \dots, C(f_k)) に相似であり、この形（有理標準形、フロベニウス標準形）は一意的である。
  2. A,B∈M⁡n(K)A, B \in \operatorname{M}_n(K) が相似   ⟺  \iff 単因子が一致する   ⟺  \iff xE−AxE - A と xE−BxE - B の単因子標準形が一致する。
  3. AA の最小多項式は fkf_k、固有多項式は f1f2⋯fkf_1f_2 \cdots f_k である。特に固有多項式は最小多項式で割り切れ（ケイリー–ハミルトンの定理）、両者は同じ既約因子をもつ。

証明. (1) 構造定理の分解の各成分 K[x]/(fi)K[x]/(f_i) の基底 1,x‾,…1, \overline{x}, \dots を並べれば、TT の表現行列は diag⁡(C(f1),…,C(fk))\operatorname{diag}(C(f_1), \dots, C(f_k)) となる。一意性は単因子の一意性による。(2) 命題 7.4、構造定理の一意性、補題 7.19 による。(3) g(A)=0  ⟺  g⋅VA=0g(A) = 0 \iff g \cdot V_A = 0 で、K[x]/(fi)K[x]/(f_i) を消す多項式全体は (fi)(f_i)、fi∣fkf_i \mid f_k なので、VAV_A を消す多項式全体は (fk)(f_k)。最小多項式はそのモニックな生成元 fkf_k である。固有多項式 det⁡(xE−A)\det(xE - A) は Δn(xE−A)\Delta_n(xE - A) で、定理 7.14 より単因子の積 1⋯1⋅f1⋯fk1 \cdots 1 \cdot f_1 \cdots f_k と単元倍（00 でない定数倍）を除いて一致し、ともにモニックなので等しい。fkf_k の既約因子は各 fif_i の既約因子を含むので、最後の主張も従う。□\square

ジョルダン標準形. KK が代数的閉体（たとえば C\mathbb{C}）なら既約多項式は 1 次式なので、準素因子は (x−λ)e(x - \lambda)^e の形である。K[x]/((x−λ)e)K[x]/((x - \lambda)^e) の基底を v1=(x‾−λ)e−1,v2=(x‾−λ)e−2,…,ve=1v_1 = (\overline{x} - \lambda)^{e-1}, v_2 = (\overline{x} - \lambda)^{e-2}, \dots, v_e = 1 ととると、(x−λ)v1=0(x - \lambda)v_1 = 0, (x−λ)vj=vj−1(x - \lambda)v_j = v_{j-1}（j≥2j \geq 2）、すなわち xv1=λv1xv_1 = \lambda v_1, xvj=λvj+vj−1xv_j = \lambda v_j + v_{j-1} なので、xx 倍の表現行列はジョルダン細胞

Je(λ)=(λ1λ⋱⋱1λ)J_e(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}

である。構造定理の準素分解型から次が従う。

定理 7.21（ジョルダン標準形, Jordan normal form）KK を代数的閉体とすると、任意の A∈M⁡n(K)A \in \operatorname{M}_n(K) はジョルダン細胞のブロック対角行列 diag⁡(Je1(λ1),…,Jel(λl))\operatorname{diag}(J_{e_1}(\lambda_1), \dots, J_{e_l}(\lambda_l)) に相似であり、ジョルダン細胞の組は順序を除いて一意的である。ここで (x−λj)ej(x - \lambda_j)^{e_j} は AA の準素因子である。

これは線形代数 第6章の定理の、加群論による別証明である。行列が対角化可能であるための必要十分条件が「最小多項式が重根をもたない」ことも、準素因子がすべて 1 次式であることとして理解される。

例 7.22 次の AA を考える。

A=(210020002),xE−A=(x−2−100x−2000x−2)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad xE - A = \begin{pmatrix} x - 2 & -1 & 0 \\ 0 & x - 2 & 0 \\ 0 & 0 & x - 2 \end{pmatrix}

成分に −1-1 があるので Δ1=1\Delta_1 = 1。2 次小行列式は (x−2)2(x - 2)^2, −(x−2)-(x - 2), 00 などで Δ2=x−2\Delta_2 = x - 2。Δ3=(x−2)3\Delta_3 = (x - 2)^3。よって単因子は 1,x−2,(x−2)21, x - 2, (x - 2)^2 で、VA≅K[x]/(x−2)⊕K[x]/((x−2)2)V_A \cong K[x]/(x - 2) \oplus K[x]/((x - 2)^2)。最小多項式は (x−2)2(x - 2)^2、固有多項式は (x−2)3(x - 2)^3。有理標準形は (x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 より

diag⁡(C(x−2),C((x−2)2))=(20000−4014)\operatorname{diag}\left(C(x - 2), C((x - 2)^2)\right) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}

ジョルダン標準形は J1(2)⊕J2(2)J_1(2) \oplus J_2(2) で、AA 自身の形と一致する。

例 7.23 R\mathbb{R} 上で次の AA を考える。

A=(0−110)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

VA≅R[x]/(x2+1)V_A \cong \mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) は既約多項式による巡回加群で、有理標準形は C(x2+1)=AC(x^2 + 1) = A 自身である。R\mathbb{R} 上ではジョルダン標準形は存在しないが、C\mathbb{C} 上では x2+1=(x−i)(x+i)x^2 + 1 = (x - i)(x + i) より準素因子は x−i,x+ix - i, x + i で、AA は diag⁡(i,−i)\operatorname{diag}(i, -i) に相似である。有理標準形は係数体を広げても変わらない（単因子標準形の計算は係数体によらない）ので、相似性の判定には係数体を広げてもよいことがわかる。

まとめ

  • RR 加群はスカラーを環に一般化したベクトル空間である。アーベル群は Z\mathbb{Z} 加群、線形変換 TT をもつベクトル空間は K[x]K[x] 加群 VTV_T であり、VA≅VB  ⟺  A,BV_A \cong V_B \iff A, B は相似。
  • 自由加群の階数は well-defined。加群では一次独立な集合が基底に延長できるとは限らない。自由加群への全射は分裂する。
  • 単項イデアル整域上では、自由加群の部分加群は自由で階数は増えない。よって有限生成加群は行列 AA で Rn/ARkR^n/AR^k と表示される。
  • 単因子標準形：PAQ=diag⁡(d1,…,dr,0,… )PAQ = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_r, 0, \dots), d1∣⋯∣drd_1 \mid \cdots \mid d_r。d1⋯dkd_1 \cdots d_k は kk 次小行列式の最大公約数であり、単因子は一意的。
  • 構造定理：M≅Rs⊕⨁R/(di)M \cong R^s \oplus \bigoplus R/(d_i)（単因子型）≅Rs⊕⨁R/(pjej)\cong R^s \oplus \bigoplus R/(p_j^{e_j})（準素分解型）。どちらも一意的。
  • R=ZR = \mathbb{Z} で有限生成アーベル群の基本定理。R=K[x]R = K[x] で有理標準形（コンパニオン行列のブロック対角）、代数的閉体上ではジョルダン標準形。
  • AA の単因子は xE−AxE - A の単因子標準形で計算でき、最小多項式は最大の単因子、固有多項式は単因子の積である。

演習問題

問題 7.1 ★ Q\mathbb{Q} は自由 Z\mathbb{Z} 加群でないことを示せ。

解答

00 でない a/b,c/d∈Qa/b, c/d \in \mathbb{Q} は (bc)⋅ab−(ad)⋅cd=0(bc) \cdot \frac{a}{b} - (ad) \cdot \frac{c}{d} = 0 をみたし、bcbc, adad は 00 でないので一次従属である。よって Q\mathbb{Q} が自由なら基底は 1 元 {q}\lbrace q \rbrace で、Q=Zq\mathbb{Q} = \mathbb{Z}q は巡回群になる。しかし q/2∉Zqq/2 \notin \mathbb{Z}q なので矛盾（第2章 問題 2.9）。

問題 7.2 ★ 位数 360 のアーベル群の同型類を、単因子型と準素分解型の両方ですべて挙げよ。

解答

360=23⋅32⋅5360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5。2 の部分は (8),(4,2),(2,2,2)(8), (4, 2), (2, 2, 2)、3 の部分は (9),(3,3)(9), (3, 3)、5 の部分は (5)(5) で、3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6 個ある（Z/m\mathbb{Z}/m は Z/mZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}）。

準素分解型 単因子型
Z/8⊕Z/9⊕Z/5\mathbb{Z}/8 \oplus \mathbb{Z}/9 \oplus \mathbb{Z}/5 Z/360\mathbb{Z}/360
Z/8⊕Z/3⊕Z/3⊕Z/5\mathbb{Z}/8 \oplus \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/5 Z/3⊕Z/120\mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/120
Z/4⊕Z/2⊕Z/9⊕Z/5\mathbb{Z}/4 \oplus \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/9 \oplus \mathbb{Z}/5 Z/2⊕Z/180\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/180
Z/4⊕Z/2⊕Z/3⊕Z/3⊕Z/5\mathbb{Z}/4 \oplus \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/5 Z/6⊕Z/60\mathbb{Z}/6 \oplus \mathbb{Z}/60
(Z/2)3⊕Z/9⊕Z/5(\mathbb{Z}/2)^3 \oplus \mathbb{Z}/9 \oplus \mathbb{Z}/5 Z/2⊕Z/2⊕Z/90\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/90
(Z/2)3⊕Z/3⊕Z/3⊕Z/5(\mathbb{Z}/2)^3 \oplus \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/5 Z/2⊕Z/6⊕Z/30\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/6 \oplus \mathbb{Z}/30

問題 7.3 ★★ 次の行列 AA の Z\mathbb{Z} 上の単因子標準形を求め、アーベル群 Z3/AZ3\mathbb{Z}^3/A\mathbb{Z}^3 の構造を決定せよ。

A=(123456789)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
解答

Δ1=1\Delta_1 = 1。2 次小行列式は −3,−6,−3,−6,−12,−6,−3,−6,−3-3, -6, -3, -6, -12, -6, -3, -6, -3 で Δ2=3\Delta_2 = 3。det⁡A=0\det A = 0 なので Δ3=0\Delta_3 = 0。よって単因子標準形は diag⁡(1,3,0)\operatorname{diag}(1, 3, 0) で、Z3/AZ3≅Z/3Z⊕Z\mathbb{Z}^3/A\mathbb{Z}^3 \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}。

基本変形でも確かめられる。第 2 列 −- 2 × 第 1 列、第 3 列 −- 3 × 第 1 列、第 2 行 −- 4 × 第 1 行、第 3 行 −- 7 × 第 1 行により

A→(1000−3−60−6−12)A \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}

となり、さらに第 3 列 −- 2 × 第 2 列、第 3 行 −- 2 × 第 2 行で diag⁡(1,−3,0)\operatorname{diag}(1, -3, 0) になる。

問題 7.4 ★★ 次の行列 AA の単因子、最小多項式、有理標準形、ジョルダン標準形を求めよ。

A=(110010002)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
解答
xE−A=(x−1−100x−1000x−2)xE - A = \begin{pmatrix} x - 1 & -1 & 0 \\ 0 & x - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x - 2 \end{pmatrix}

Δ1=1\Delta_1 = 1。2 次小行列式には (x−1)2(x - 1)^2 と −(x−2)-(x - 2)（第 1, 3 行と第 2, 3 列）があり、これらは互いに素なので Δ2=1\Delta_2 = 1。Δ3=(x−1)2(x−2)\Delta_3 = (x - 1)^2(x - 2)。よって単因子は 1,1,f1, 1, f、f=(x−1)2(x−2)=x3−4x2+5x−2f = (x - 1)^2(x - 2) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 で、VAV_A は巡回加群 K[x]/(f)K[x]/(f)。最小多項式も固有多項式も ff。

有理標準形は

C(f)=(00210−5014)C(f) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}

である。準素因子は (x−1)2,x−2(x - 1)^2, x - 2 なので、ジョルダン標準形は J2(1)⊕J1(2)J_2(1) \oplus J_1(2)（AA 自身）。

問題 7.5 ★★ (1) A,B∈M⁡3(K)A, B \in \operatorname{M}_3(K) が相似であるための必要十分条件は、固有多項式と最小多項式がともに一致することであることを示せ。 (2) 4 次正方行列では (1) が成り立たないことを例で示せ。

解答

(1) 必要性は明らか。単因子標準形を diag⁡(g1,g2,g3)\operatorname{diag}(g_1, g_2, g_3)（g1∣g2∣g3g_1 \mid g_2 \mid g_3、モニック、単元は 11）とすると、g3g_3 は最小多項式、g1g2g3g_1g_2g_3 は固有多項式である。h=g1g2h = g_1g_2 は固有多項式を最小多項式で割ったもので、deg⁡h≤2\deg h \leq 2。deg⁡h=0\deg h = 0 なら g1=g2=1g_1 = g_2 = 1。deg⁡h=1\deg h = 1 なら g1∣g2g_1 \mid g_2 より g1=1g_1 = 1, g2=hg_2 = h。deg⁡h=2\deg h = 2 なら deg⁡g3=1\deg g_3 = 1 で、g2∣g3g_2 \mid g_3 より deg⁡g2≤1\deg g_2 \leq 1、よって g1=g2=g3g_1 = g_2 = g_3。いずれの場合も g1,g2g_1, g_2 は 2 つの多項式から決まり、定理 7.20(2) より相似性が決まる。

(2) A=J2(0)⊕J2(0)A = J_2(0) \oplus J_2(0), B=J2(0)⊕J1(0)⊕J1(0)B = J_2(0) \oplus J_1(0) \oplus J_1(0) はともに固有多項式 x4x^4、最小多項式 x2x^2 だが、rank⁡A=2≠1=rank⁡B\operatorname{rank} A = 2 \neq 1 = \operatorname{rank} B なので相似でない（単因子はそれぞれ 1,1,x2,x21, 1, x^2, x^2 と 1,x,x,x21, x, x, x^2）。

問題 7.6 ★★ Z[x]\mathbb{Z}[x] のイデアル I=(2,x)I = (2, x) は、Z[x]\mathbb{Z}[x] 加群として有限生成でねじれがないが、自由でないことを示せ。

解答

II は 2,x2, x で生成され、整域 Z[x]\mathbb{Z}[x] の部分加群なのでねじれがない。II が自由だとする。II の任意の 2 元 f,gf, g は g⋅f−f⋅g=0g \cdot f - f \cdot g = 0 をみたすので一次従属であり、基底は 1 元 {h}\lbrace h \rbrace となる。すると I=(h)I = (h) は単項イデアルだが、これは第5章 問題 5.2 に矛盾する。

問題 7.7 ★★ 任意の A∈M⁡n(K)A \in \operatorname{M}_n(K) は転置行列 tA{}^tA と相似であることを示せ。

解答

xE−tA=t(xE−A)xE - {}^tA = {}^t(xE - A) であり、転置行列の kk 次小行列式全体は元の行列の kk 次小行列式全体と一致する（行列式は転置で不変）。よって Δk(xE−A)=Δk(xE−tA)\Delta_k(xE - A) = \Delta_k(xE - {}^tA) がすべての kk で成り立ち、単因子標準形が一致する。定理 7.20(2) より AA と tA{}^tA は相似である。

問題 7.8 ★★ 有限アーベル群 GG が巡回群であるための必要十分条件は、各素数 pp について px=0px = 0 をみたす x∈Gx \in G が高々 pp 個であることを示せ。

解答

G≅⨁jZ/pjejZG \cong \bigoplus_{j} \mathbb{Z}/p_j^{e_j}\mathbb{Z}（準素分解型）とする。Z/peZ\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z} で px=0px = 0 をみたす元は pp 個、q≠pq \neq p なら Z/qeZ\mathbb{Z}/q^e\mathbb{Z} でそのような元は 00 だけである。よって px=0px = 0 となる xx の個数は pcpp^{c_p}（cpc_p は pj=pp_j = p となる成分の個数）。

GG が巡回群なら単因子は 1 個で、各 cp≤1c_p \leq 1、個数は pp 以下。逆に各 cp≤1c_p \leq 1 なら、G≅⨁pZ/pepZG \cong \bigoplus_p \mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}（相異なる素数）で、中国剰余定理より巡回群である。

（第4章 問題 4.9 の「体の乗法群の有限部分群は巡回群」は、xp=1x^p = 1 の解が高々 pp 個であることから、これからも従う。）

問題 7.9 ★★★ KK を代数的閉体、A∈M⁡n(K)A \in \operatorname{M}_n(K)、λ∈K\lambda \in K とする。AA のジョルダン標準形における固有値 λ\lambda のサイズ kk 以上のジョルダン細胞の個数は、dim⁡Ker⁡(A−λE)k−dim⁡Ker⁡(A−λE)k−1\dim \operatorname{Ker}(A - \lambda E)^k - \dim \operatorname{Ker}(A - \lambda E)^{k-1} に等しいことを示せ。

解答

VA≅⨁jK[x]/((x−λj)ej)V_A \cong \bigoplus_j K[x]/((x - \lambda_j)^{e_j}) とする。N=K[x]/((x−μ)e)N = K[x]/((x - \mu)^e) 上で (x−λ)k(x - \lambda)^k の核の次元を求める。μ≠λ\mu \neq \lambda なら x−λx - \lambda と (x−μ)e(x - \mu)^e は互いに素なので x−λx - \lambda は NN 上可逆で、核は 00。μ=λ\mu = \lambda なら、基底 v1,…,vev_1, \dots, v_e（本文の記号）に対し (x−λ)k(x - \lambda)^k の核は v1,…,vmin⁡(k,e)v_1, \dots, v_{\min(k, e)} で張られ、次元は min⁡(k,e)\min(k, e)。よって

dim⁡Ker⁡(A−λE)k=∑j:λj=λmin⁡(k,ej)\dim \operatorname{Ker}(A - \lambda E)^k = \sum_{j : \lambda_j = \lambda} \min(k, e_j)

min⁡(k,e)−min⁡(k−1,e)\min(k, e) - \min(k - 1, e) は e≥ke \geq k なら 11、そうでなければ 00 なので、差をとると ∣{j∣λj=λ, ej≥k}∣\lvert \lbrace j \mid \lambda_j = \lambda,\ e_j \geq k \rbrace \rvert が得られる。

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