記法と用語の約束

全科目を通じて使う記法です。各章で特に断らない限り、この約束に従います。教科書によって流儀が異なるものもあるので、他の本を読むときは冒頭の記法の説明を必ず確認してください。

数の集合

記号	意味
$\mathbb{N}$	自然数全体 $\lbrace 1, 2, 3, \dots \rbrace$ （0 を含まない）
$\mathbb{Z}_{\geq 0}$	0 以上の整数全体 $\lbrace 0, 1, 2, \dots \rbrace$
$\mathbb{Z}$	整数全体
$\mathbb{Q}$	有理数全体
$\mathbb{R}$	実数全体
$\mathbb{C}$	複素数全体
$\mathbb{F}_q$	$q$ 元体（ $q$ は素数べき）
$\mathbb{Z}_p$ , $\mathbb{Q}_p$	$p$ 進整数環, $p$ 進数体（剰余環 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}_p$ と書かない）
$\mathbb{K}$	$\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ （どちらでもよい場面で）

注意

論理学・計算機科学の本では $\mathbb{N}$ に 0 を含めることが多いです。本教材では 0 を含めません。

集合と写像

記号	意味
$A \subset B$	$A$ は $B$ の部分集合（ $A = B$ の場合も含む）
$A \subsetneq B$	真部分集合
$A \setminus B$	差集合
$A^c$	補集合（全体集合が明らかなとき）
$\mathcal{P}(X)$	冪集合（ $X$ の部分集合全体）
$\lvert A \rvert$	集合 $A$ の元の個数・濃度（本によっては `#A` や $\operatorname{card} A$ とも書く）
$A \sqcup B$	非交和（交わらない和集合であることを強調するとき）
$\prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$	直積
$f\colon X \to Y$	$X$ から $Y$ への写像
$x \mapsto f(x)$	元の対応
$f(A)$ , $f^{-1}(B)$	像, 逆像（ $f$ が全単射でなくても逆像は定義される）
$f\vert_A$	$f$ の $A$ への制限
$\mathrm{id}_X$	恒等写像
$g \circ f$	合成（先に $f$ 、次に $g$ ）
$Y^X$	$X$ から $Y$ への写像全体
$X/{\sim}$	同値関係 $\sim$ による商集合
$:=$	左辺を右辺で定義する

論理

記号	意味
$P \Rightarrow Q$	$P$ ならば $Q$
$P \Leftrightarrow Q$	$P$ と $Q$ は同値
$\forall$ , $\exists$	任意の, 存在する
$\exists !$	ただ一つ存在する
$\neg P$	$P$ の否定

解析

記号	意味
$[a, b]$ , $(a, b)$	閉区間, 開区間（開区間を $]a, b[$ と書く流儀もある）
$\sup$ , $\inf$	上限, 下限
$\limsup$ , $\liminf$	上極限, 下極限
$C^k(U)$	$U$ 上の $k$ 回連続微分可能な関数全体（ $C^\infty$ は無限回）
$C_c(X)$	コンパクト台をもつ連続関数全体
$\lVert \cdot \rVert$	ノルム
$\langle \cdot, \cdot \rangle$	内積。複素内積は第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形とする
$o(\cdot)$ , $O(\cdot)$	ランダウの記号
$\operatorname{Re} z$ , $\operatorname{Im} z$	実部, 虚部
$\mathbf{1}_A$	集合 $A$ の定義関数（指示関数）
$\mu$ -a.e.	$\mu$ -ほとんど至るところ

補足

内積の線形性をどちらの変数にとるかは分野で逆になります（物理学や一部の関数解析の本では第 2 変数について線形）。本教材は数学で多数派の「第 1 変数について線形」を採用します。

代数

記号	意味
$H \leq G$	$H$ は $G$ の部分群
$N \trianglelefteq G$	$N$ は $G$ の正規部分群
$[G : H]$	指数
$\mathfrak{S}_n$ , $\mathfrak{A}_n$	$n$ 次対称群, 交代群（ $S_n$ , $A_n$ とも書く）
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$	$n$ を法とする剰余環（剰余群）
$R^\times$	環 $R$ の単元群
$(a)$ , $aR$	$a$ で生成される単項イデアル
$\mathfrak{p}$ , $\mathfrak{m}$	素イデアル, 極大イデアル
$\operatorname{Hom}_R(M, N)$	$R$ -加群準同型の全体
$M \otimes_R N$	テンソル積
$[L : K]$	体の拡大次数
$\operatorname{Gal}(L/K)$	ガロア群
$\operatorname{GL}_n(K)$ , $\operatorname{SL}_n(K)$	一般線形群, 特殊線形群
$\operatorname{M}_n(K)$	$K$ 成分の $n$ 次正方行列全体

環は単位元 1 をもつとし、環準同型は 1 を 1 に写すとする。「可換環論」「代数幾何学」「代数的整数論」の科目では、環はすべて可換とする。
群の作用は特に断らない限り左作用とする。

幾何・位相

記号	意味
$\overline{A}$ , $A^\circ$ , $\partial A$	閉包, 内部, 境界
$S^n$	$n$ 次元球面 $\lbrace x \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \lVert x \rVert = 1 \rbrace$
$D^n$	$n$ 次元閉円板（閉球体）
$\mathbb{R}P^n$ , $\mathbb{C}P^n$	実・複素射影空間
$T^n$	$n$ 次元トーラス
$\simeq$	ホモトピー同値
$\cong$	同型・同相・微分同相（文脈による）
$T_pM$ , $T_p^{\ast}M$	接空間, 余接空間
$\Omega^k(M)$	$k$ 次微分形式全体
$\pi_1(X, x_0)$	基本群
$H_n(X)$ , $H^n(X)$	ホモロジー群, コホモロジー群

多様体は特に断らない限りハウスドルフかつ第二可算とし、「滑らか」は $C^\infty$ 級を意味する。

難易度の表示

記号	意味
★	定義・定理の確認（基本）
★★	標準的な問題（大学院入試の基本レベルを含む）
★★★	発展的な問題