アーベル圏と完全列

この章の目標

• 加法圏とアーベル圏の定義を述べ、加群の圏・層の圏が例になり、ある種の圏が例にならない理由を説明できる
• 蛇の補題と 5 項補題を図式追跡で証明できる
• Hom 関手の左完全性とテンソル積の右完全性を証明し、完全性が崩れる具体例を挙げられる
• 射影加群・入射加群・平坦加群を理解し、ベーアの判定法と「入射加群が十分あること」を証明できる

前提：第1章〜第3章、04-algebra 第7章（加群と準同型定理）、00-foundations 第6章（ツォルンの補題）。

4.1 動機

ホモロジー代数の道具（完全列、蛇の補題、長完全列）は、加群だけでなく、群の表現、鎖複体、位相空間上の層など、さまざまな場面で同じ形で使われる。これらを一度に扱うには、「核・余核・完全性」を圏の言葉で定義する必要がある。

とくに層の場合、素朴な定義では済まない。$X = \mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上の正則関数の層 $\mathcal{O}$（加法）と、零点をもたない正則関数の層 $\mathcal{O}^{\times}$（乗法）の間の準同型 $\exp\colon \mathcal{O} \to \mathcal{O}^{\times}$ を考える。各点の近傍（円板）では零点のない正則関数は対数をもつので、$\exp$ は「局所的には全射」である。しかし大域切断 $z \in \mathcal{O}^{\times}(X)$ は $\exp g$ の形に書けない（書ければ $g' = 1/z$ となり、$\oint_{\lvert z \rvert = 1} dz/z = 2\pi i \neq 0$ に反する）。層の圏での「全射」「余核」は、各開集合ごとの全射・余核とは異なる概念として定義しなければならない。アーベル圏はそのための枠組みである。

4.2 加法圏

定義 4.1（加法圏, additive category）各 $\operatorname{Hom}(X, Y)$ がアーベル群の構造をもち、合成が双線形（$(g + g') \circ f = g \circ f + g' \circ f$ など）である圏を前加法圏 (preadditive category) という。前加法圏が零対象と任意の 2 対象の積をもつとき加法圏という。前加法圏の間の関手 $F$ が $F(f + g) = F(f) + F(g)$ を満たすとき加法関手 (additive functor) という。

命題 4.2（双積）前加法圏で積 $X \times Y$（射影 $p_1, p_2$）が存在するとする。$\iota_1 = (\mathrm{id}_X, 0)\colon X \to X \times Y$, $\iota_2 = (0, \mathrm{id}_Y)$ とおくと

$$p_k \circ \iota_l = \delta_{kl}, \qquad \iota_1 \circ p_1 + \iota_2 \circ p_2 = \mathrm{id}_{X \times Y}$$

であり（$\delta_{kl}$ は恒等射または $0$）、$(X \times Y, \iota_1, \iota_2)$ は余積でもある。これを双積 (biproduct) といい $X \oplus Y$ と書く。

証明. 第 1 式は定義から。$e = \iota_1 p_1 + \iota_2 p_2$ とおくと $p_1 e = p_1$, $p_2 e = p_2$ なので、積の普遍性の一意性から $e = \mathrm{id}$。余積であること：$f\colon X \to Z$, $g\colon Y \to Z$ に対し $h = f p_1 + g p_2$ は $h \iota_1 = f$, $h \iota_2 = g$ を満たし、逆にこれを満たす $h$ は $h = h(\iota_1 p_1 + \iota_2 p_2) = f p_1 + g p_2$ に限る。$\square$

双積は等式だけで特徴づけられるので、加法関手は双積を保つ。$R\text{-}\mathbf{Mod}$、有限生成自由加群の圏、行列の圏 $\mathbf{Mat}_K$（例 1.7）、群の表現の圏は加法圏である。$\mathbf{Grp}$ は前加法圏でない（非可換群 $H$ への準同型の点ごとの積は準同型とは限らない。それどころか Hom 集合にどんなアーベル群の構造を入れても前加法圏にはならない：なれば命題 4.2 により直積 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ が余積になるが、$\mathbf{Grp}$ の余積は非可換な自由積 $\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$ である）。

4.3 核・余核とアーベル圏

定義 4.3（核・余核）零対象をもつ圏で、射 $f\colon X \to Y$ と零射 $0$ の等化子 $k\colon \ker f \to X$ を $f$ の核 (kernel)、余等化子 $c\colon Y \to \operatorname{coker} f$ を余核 (cokernel) という。すなわち $f \circ k = 0$ であり、$f \circ u = 0$ を満たす任意の $u$ は $k$ を通ってただ一通りに分解する。

一意性の部分から、核はモノ射、余核はエピ射である。前加法圏では、核をもつ $f$ がモノ射であることと $\ker f = 0$ は同値である（$f \circ g = f \circ h$ は $f \circ (g - h) = 0$ と同じだから）。

核と余核をもつ加法圏で、$f\colon X \to Y$ の像を $\operatorname{Im} f = \ker(\operatorname{coker} f)$、余像を $\operatorname{Coim} f = \operatorname{coker}(\ker f)$ と定める。$f \circ \ker f = 0$ より $f = f' \circ q$（$q\colon X \to \operatorname{Coim} f$）と分解し、$\operatorname{coker}(f) \circ f' \circ q = 0$ で $q$ はエピ射だから $\operatorname{coker}(f) \circ f' = 0$、よって $f'$ は $\operatorname{Im} f \to Y$ を通る。こうして $f$ は

と分解する。$R\text{-}\mathbf{Mod}$ では $\operatorname{Coim} f = X/\ker f$, $\operatorname{Im} f = f(X)$ であり、$\bar{f}$ が同型であることが準同型定理である。

定義 4.4（アーベル圏, abelian category）加法圏 $\mathcal{A}$ が次を満たすときアーベル圏という：すべての射が核と余核をもち、すべての射 $f$ について標準射 $\bar{f}\colon \operatorname{Coim} f \to \operatorname{Im} f$ が同型である。

アーベル圏では、モノ射かつエピ射である射は同型である（$\ker f = 0$ なら $\operatorname{Coim} f = X$、$\operatorname{coker} f = 0$ なら $\operatorname{Im} f = Y$ となり、$f = \bar{f}$ が同型）。

例 4.5（アーベル圏）(1) $R\text{-}\mathbf{Mod}$、特に $\mathbf{Ab}$ と $\mathbf{Vect}_K$。(2) ネーター環上の有限生成加群の圏、有限アーベル群の圏（部分加群・商加群で閉じているから）。(3) $\mathcal{A}$ がアーベル圏で $I$ が小さい圏なら、関手圏 $\operatorname{Fun}(I, \mathcal{A})$ もアーベル圏である（核・余核は各点で計算される）。群の表現の圏 $\operatorname{Fun}(\mathbf{B}G, \mathbf{Vect}_K)$ や、第5章の鎖複体の圏がその例である。(4) 位相空間 $X$ 上のアーベル群の層の圏はアーベル圏である（主張のみ）。核は開集合ごとの核であるが、余核は開集合ごとの余核（前層）を層化したものである。4.1 節の例では、$0 \to 2\pi i \mathbb{Z} \to \mathcal{O} \xrightarrow{\exp} \mathcal{O}^{\times} \to 0$ は層の完全列（次節）だが、大域切断をとると全射性が崩れる。

例 4.6（アーベル圏でない加法圏）(1) 有限生成自由アーベル群の圏で $f\colon \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z}$ を考える。$\ker f = 0$ であり、自由アーベル群への準同型 $g$ で $2g = 0$ となるのは $g = 0$ だけなので、この圏での余核は $\mathbb{Z} \to 0$ である。よって $\operatorname{Coim} f = \mathbb{Z} = \operatorname{Im} f$ で $\bar{f} = f$ は同型でない（$f$ はモノ射かつエピ射だが同型でない）。$\mathbb{Z}/2$ がこの圏にないことが原因である。(2) 位相アーベル群の圏で、恒等写像 $\mathbb{R}_{\text{離散}} \to \mathbb{R}$ は核も余核も $0$ なので $\bar{f} = f$ だが、同相でない。

4.4 完全列と分裂

定義 4.7（完全列, exact sequence）アーベル圏の列 $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ は、$g \circ f = 0$ かつ（そのとき得られる）標準射 $\operatorname{Im} f \to \ker g$ が同型のとき、$B$ で完全であるという。$R\text{-}\mathbf{Mod}$ では $f(A) = \ker g$ のことである。各項で完全な列を完全列といい、$0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ の形の完全列を短完全列という。これは $f$ が単射、$g$ が全射、$f(A) = \ker g$ であることを意味する。

$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n \to 0$ は短完全列である。$0 \to \mathbb{Z}/2 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}/4 \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ と $0 \to \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ は両端が同じだが中央が異なる。両端から中央がどれだけ決まるかという拡大問題は、第5章で $\operatorname{Ext}^1$ によって答えられる。

命題 4.8（分裂補題, splitting lemma）$R$ 加群の短完全列 $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ について、次は同値である。

1. $r \circ f = \mathrm{id}_A$ となる $r\colon B \to A$ が存在する。
2. $g \circ s = \mathrm{id}_C$ となる $s\colon C \to B$ が存在する。
3. 同型 $\theta\colon B \to A \oplus C$ で、$\theta \circ f$ が第 1 成分への包含、$g \circ \theta^{-1}$ が第 2 成分への射影になるものが存在する。

このとき短完全列は分裂する (split) という。

証明. (3)⇒(1), (2)：$r$ を $\theta$ と第 1 射影の合成、$s$ を第 2 成分の包含と $\theta^{-1}$ の合成とすればよい。(1)⇒(3)：$\theta(b) = (r(b), g(b))$ とおく。$\theta(b) = 0$ なら $g(b) = 0$ より $b = f(a)$、$a = r(f(a)) = r(b) = 0$ なので単射。$(a, c)$ に対し $g(b_0) = c$ となる $b_0$ をとり $b = b_0 + f(a - r(b_0))$ とすれば $\theta(b) = (a, c)$ なので全射。$\theta f(a) = (a, 0)$, $g \theta^{-1}(a, c) = c$ も確かめられる。(2)⇒(3)：$\psi(a, c) = f(a) + s(c)$ とおく。$\psi(a, c) = 0$ なら $g$ を施して $c = 0$、すると $f(a) = 0$ より $a = 0$。$b - s(g(b)) \in \ker g = f(A)$ より全射。$\theta = \psi^{-1}$ とすればよい。$\square$

4.5 蛇の補題と 5 項補題

以下の二つの補題は、ホモロジー代数の計算のほとんどすべてで使われる。$R\text{-}\mathbf{Mod}$ で元を追って証明する（一般のアーベル圏での扱いは 4.8 節）。

定理 4.9（蛇の補題, snake lemma）$R$ 加群の可換図式

$$\begin{array}{ccccccccc} & & A & \xrightarrow{f} & B & \xrightarrow{g} & C & \to & 0 \\ & & \downarrow{\scriptstyle a} & & \downarrow{\scriptstyle b} & & \downarrow{\scriptstyle c} & & \\ 0 & \to & A' & \xrightarrow{f'} & B' & \xrightarrow{g'} & C' & & \end{array}$$

の 2 つの行が完全ならば、次の完全列が存在する（$\delta$ を連結射 (connecting homomorphism) という）：

$$\ker a \to \ker b \to \ker c \xrightarrow{\ \delta\ } \operatorname{coker} a \to \operatorname{coker} b \to \operatorname{coker} c$$

ここで $\delta$ 以外の射は $f, g, f', g'$ から誘導されるものである。さらに $f$ が単射なら $\ker a \to \ker b$ は単射、$g'$ が全射なら $\operatorname{coker} b \to \operatorname{coker} c$ は全射である。

証明. 可換性から $f(\ker a) \subset \ker b$, $f'(\operatorname{Im} a) \subset \operatorname{Im} b$ などが従うので、$\delta$ 以外の射は well-defined である。

$\delta$ の定義：$z \in \ker c$ に対し、$g$ は全射なので $g(y) = z$ となる $y \in B$ をとる。$g'(b(y)) = c(g(y)) = c(z) = 0$ なので $b(y) = f'(x')$ となる $x' \in A'$ がただ一つある（$f'$ は単射）。$\delta(z) = [x'] \in \operatorname{coker} a$ とおく。別の $y_1$ をとると $y - y_1 \in \ker g = f(A)$ で、$y - y_1 = f(x)$ なら $b(y) - b(y_1) = f'(a(x))$ となり、$x'$ は $a(x)$ だけずれるので $[x']$ は変わらない。$\delta$ が線形であることも同様にわかる。

$\ker b$ での完全性：$g f = 0$ より合成は $0$。$y \in \ker b$, $g(y) = 0$ なら $y = f(x)$ で、$f'(a(x)) = b(f(x)) = 0$ より $a(x) = 0$、すなわち $x \in \ker a$。

$\ker c$ での完全性：$y \in \ker b$ なら $b(y) = 0 = f'(0)$ なので $\delta(g(y)) = 0$。逆に $\delta(z) = 0$ なら $x' = a(x)$ となる $x$ があり、$y_1 = y - f(x)$ とおくと $g(y_1) = z$ かつ $b(y_1) = f'(x') - f'(a(x)) = 0$。

$\operatorname{coker} a$ での完全性：$\delta(z) = [x']$ の像は $[f'(x')] = [b(y)] = 0$。逆に $[x']$ の像が $0$、すなわち $f'(x') = b(y)$ となる $y$ があれば、$c(g(y)) = g'(f'(x')) = 0$ なので $z = g(y) \in \ker c$ で $\delta(z) = [x']$。

$\operatorname{coker} b$ での完全性：$g' f' = 0$ より合成は $0$。$y' \in B'$ について $g'(y') = c(z)$ とし、$z = g(y)$ ととると $g'(y' - b(y)) = 0$ なので $y' - b(y) = f'(x')$、よって $[y'] = [f'(x')]$ は $\operatorname{coker} a$ から来る。

最後の主張：$f$ が単射なら $\ker a \to \ker b$ は $f$ の制限なので単射。$g'$ が全射なら $C' \to \operatorname{coker} c$ は全射なので、$\operatorname{coker} b \to \operatorname{coker} c$ も全射である。$\square$

定理 4.10（5 項補題, five lemma）行が完全な $R$ 加群の可換図式

$$\begin{array}{ccccccccc} A_1 & \xrightarrow{f_1} & A_2 & \xrightarrow{f_2} & A_3 & \xrightarrow{f_3} & A_4 & \xrightarrow{f_4} & A_5 \\ \downarrow{\scriptstyle \alpha_1} & & \downarrow{\scriptstyle \alpha_2} & & \downarrow{\scriptstyle \alpha_3} & & \downarrow{\scriptstyle \alpha_4} & & \downarrow{\scriptstyle \alpha_5} \\ B_1 & \xrightarrow{g_1} & B_2 & \xrightarrow{g_2} & B_3 & \xrightarrow{g_3} & B_4 & \xrightarrow{g_4} & B_5 \end{array}$$

において、(i) $\alpha_2, \alpha_4$ が全射で $\alpha_5$ が単射なら $\alpha_3$ は全射、(ii) $\alpha_2, \alpha_4$ が単射で $\alpha_1$ が全射なら $\alpha_3$ は単射である。特に $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4, \alpha_5$ が同型なら $\alpha_3$ も同型である。

証明. (ii) $\alpha_3(x) = 0$ とする。$\alpha_4(f_3(x)) = g_3(\alpha_3(x)) = 0$ で $\alpha_4$ は単射だから $f_3(x) = 0$、よって $x = f_2(y)$。$g_2(\alpha_2(y)) = \alpha_3(x) = 0$ なので $\alpha_2(y) = g_1(w')$ で、$\alpha_1$ が全射だから $w' = \alpha_1(w)$。$\alpha_2(f_1(w)) = g_1(\alpha_1(w)) = \alpha_2(y)$ と $\alpha_2$ の単射性から $y = f_1(w)$、よって $x = f_2 f_1(w) = 0$。

(i) $v \in B_3$ をとる。$g_3(v) = \alpha_4(u)$ となる $u \in A_4$ があり、$\alpha_5(f_4(u)) = g_4 g_3(v) = 0$ と $\alpha_5$ の単射性から $f_4(u) = 0$、よって $u = f_3(x)$。$g_3(v - \alpha_3(x)) = \alpha_4(u) - \alpha_4(f_3(x)) = 0$ なので $v - \alpha_3(x) = g_2(t')$、$t' = \alpha_2(t)$ とすれば $v = \alpha_3(x + f_2(t))$。$\square$

たとえば短完全列の射 $(\alpha, \beta, \gamma)$ で $\alpha, \gamma$ が同型なら $\beta$ も同型である（両端に $0$ を補って 5 項補題を使う）。この形は第5章で繰り返し使う。

4.6 完全関手

定義 4.11（完全関手）アーベル圏の間の加法関手 $F$ は、短完全列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ を完全列 $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)$ に写すとき左完全 (left exact)、完全列 $F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ に写すとき右完全 (right exact)、短完全列に写すとき完全 (exact) という。反変関手 $F$ は $0 \to F(C) \to F(B) \to F(A)$ が完全のとき左完全という。

左完全関手は核を、右完全関手は余核を保つ。第3章の定理 3.11 から、右随伴は左完全、左随伴は右完全である（核・余核は極限・余極限だから）。加群の場合を直接確かめよう。

定理 4.12 (1) $R$ 加群 $M$ について $\operatorname{Hom}_R(M, -)$ は左完全である。(2) $\operatorname{Hom}_R(-, N)$ は左完全である。より強く、$A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ が完全なら $0 \to \operatorname{Hom}(C, N) \xrightarrow{g^{\ast}} \operatorname{Hom}(B, N) \xrightarrow{f^{\ast}} \operatorname{Hom}(A, N)$ は完全である。(3) $R$ が可換環なら $- \otimes_R M$ は右完全である。より強く、$A \to B \to C \to 0$ が完全なら $A \otimes M \to B \otimes M \to C \otimes M \to 0$ は完全である。

証明. (1) $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ を完全列とする。$f$ が単射なので $f \circ -$ は単射で、$g f = 0$ より合成は $0$。$h\colon M \to B$ が $g \circ h = 0$ を満たせば $h(M) \subset \ker g = f(A)$ なので、$h' = f^{-1} \circ h\colon M \to A$ は線形で $h = f \circ h'$。

(2) $g$ が全射なので $h \circ g = 0$ なら $h = 0$。$f^{\ast} g^{\ast} = (g f)^{\ast} = 0$。$k\colon B \to N$ が $k \circ f = 0$ を満たせば、$k$ は $f(A) = \ker g$ 上で $0$ なので、準同型定理により $B/\ker g \cong C$ を経由し、$k = h \circ g$ と書ける。

(3) まず次を示す：$A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ が完全であることは、すべての $N$ について (2) の列が完全であることと同値である。(⇐) $N = C/g(B)$ と射影 $\pi$ をとると $g^{\ast}(\pi) = \pi g = 0$ なので $\pi = 0$、すなわち $g$ は全射。$N = C$ とすると $f^{\ast} g^{\ast}(\mathrm{id}_C) = g f = 0$。$N = B/f(A)$ と射影 $\pi$ をとると $f^{\ast}(\pi) = 0$ なので $\pi = h \circ g$ と書け、$\ker g \subset \ker \pi = f(A)$。 次にテンソル–Hom 随伴（例 3.5）により、$N$ ごとに自然な同型

がある。$A \to B \to C \to 0$ に右辺の関手を施した列は (2) により完全なので、左辺の列も完全であり、上の同値性から $A \otimes M \to B \otimes M \to C \otimes M \to 0$ は完全である。$\square$

例 4.13（完全性が崩れる例）短完全列 $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ に施すと：

• $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2, -)$：$0 \to 0 \to 0 \to \mathbb{Z}/2$ となり、最後の射 $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}) = 0 \to \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2$ は全射でない。
• $\operatorname{Hom}(-, \mathbb{Z})$：$0 \to 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z}$ となり、最後の射は全射でない。
• $- \otimes \mathbb{Z}/2$：$\mathbb{Z}/2 \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ となり、最初の射は単射でない。

どれも「欠けた部分」は $\mathbb{Z}/2$ である。これを測るのが第5章の $\operatorname{Ext}^1$ と $\operatorname{Tor}_1$ である。

4.7 射影加群・入射加群・平坦加群

Hom とテンソル積が完全になる加群を特別扱いする。これらは第5章で「分解」の材料になる。

定義 4.14 $R$ 加群 $P$ は $\operatorname{Hom}_R(P, -)$ が完全なとき射影的 (projective)、$I$ は $\operatorname{Hom}_R(-, I)$ が完全なとき入射的 (injective)、$M$ は（$R$ 可換として）$- \otimes_R M$ が完全なとき平坦 (flat) という。

定理 4.12 により、$P$ が射影的であることは「全射 $g\colon B \to C$ と $h\colon P \to C$ に対し $h = g \circ \tilde{h}$ となる $\tilde{h}\colon P \to B$ がある（持ち上げ）」ことと同値であり、$I$ が入射的であることは「単射 $f\colon A \to B$ と $h\colon A \to I$ に対し $h = \tilde{h} \circ f$ となる $\tilde{h}\colon B \to I$ がある（延長）」ことと同値である。$M$ が平坦であることは、$- \otimes M$ が単射を保つことと同値である。

命題 4.15 (1) 自由加群は射影的である。$P$ が射影的であることと、ある自由加群の直和因子であることは同値である。(2) 任意の加群は自由加群の商である。(3) $C$ が射影的なら短完全列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ は分裂し、$A$ が入射的でも分裂する。(4) 射影加群の直和は射影的、入射加群の直積は入射的である。

証明. (1) 基底 $(e_s)$ をもつ自由加群からの $h$ は、各 $h(e_s)$ の $g$ による逆像を一つ選べば持ち上がる。$F = P \oplus Q$ が自由なら、$h\colon P \to C$ を $Q$ 上 $0$ として $F$ に延ばして持ち上げ、$P$ に制限すればよい。逆に $P$ が射影的なら、全射 $R^{(P)} \to P$（$e_p \mapsto p$）に沿って $\mathrm{id}_P$ を持ち上げると切断が得られ、命題 4.8 により $P$ は $R^{(P)}$ の直和因子である。(2) は今の全射 $R^{(M)} \to M$。(3) $\mathrm{id}_C$ を持ち上げる（$\mathrm{id}_A$ を延長する）と命題 4.8 の切断（引き込み）が得られる。(4) $\operatorname{Hom}(\bigoplus_\lambda P_\lambda, -) \cong \prod_\lambda \operatorname{Hom}(P_\lambda, -)$, $\operatorname{Hom}(-, \prod_\lambda I_\lambda) \cong \prod_\lambda \operatorname{Hom}(-, I_\lambda)$ であり、全射の直積は全射だから。$\square$

$\mathbb{Z}/2$ は $\mathbb{Z}$ 上射影的でない（$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2$ が分裂しない）。一方 $\mathbb{Z}/6 \cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3$ なので、$\mathbb{Z}/2$ は $\mathbb{Z}/6$ 上射影的だが自由でない。単項イデアル整域上では射影加群は自由である（有限生成なら構造定理から従う。一般の場合は自由加群の部分加群が自由であることによる。主張のみ）。

入射性を確かめるには、次の判定法が基本的である。

定理 4.16（ベーアの判定法, Baer's criterion）$R$ 加群 $E$ が入射的であるための必要十分条件は、$R$ の任意の左イデアル $J$ と任意の $R$ 線形写像 $h\colon J \to E$ が $R$ 上へ延長できることである。

証明. 必要性は定義から。十分性を示す。$A \subset B$ を部分加群、$h\colon A \to E$ とする。$A \subset A' \subset B$ と $h$ の延長 $h'\colon A' \to E$ の組 $(A', h')$ の全体に、延長関係で順序を入れる。空でなく（$(A, h)$ を含む）、鎖には和集合が上界を与えるので、ツォルンの補題により極大元 $(A_0, h_0)$ がある。$A_0 \neq B$ と仮定して $b \in B \setminus A_0$ をとり、左イデアル $J = \lbrace r \in R \mid rb \in A_0 \rbrace$ と線形写像 $g\colon J \to E$, $g(r) = h_0(rb)$ を考える。仮定から $g$ は $\tilde{g}\colon R \to E$ に延長でき、$e = \tilde{g}(1)$ とおくと $r \in J$ に対し $h_0(rb) = re$。そこで $A_0 + Rb$ 上に $h_1(a + rb) = h_0(a) + re$ と定める。$a + rb = a' + r'b$ なら $(r - r')b = a' - a \in A_0$ なので $r - r' \in J$ で、$h_0(a' - a) = (r - r')e$、すなわち $h_0(a) + re = h_0(a') + r'e$。よって $h_1$ は well-defined な延長であり、極大性に反する。したがって $A_0 = B$ である。$\square$

整域 $R$ 上の加群 $M$ は、任意の $m \in M$ と $0 \neq a \in R$ に対し $ax = m$ となる $x \in M$ があるとき可除 (divisible) であるという。

系 4.17 単項イデアル整域 $R$ 上の加群が入射的であるための必要十分条件は、可除であることである。特に $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は入射的アーベル群である。

証明. $a \neq 0$ のとき $R \to (a)$, $r \mapsto ra$ は同型なので、準同型 $h\colon (a) \to M$ は $m = h(a)$ で決まり、$m$ は任意にとれる。$h$ が $R$ 上へ延長できることは $x = \tilde{h}(1)$ が $ax = m$ を満たすことと同値である。$J = 0$ の場合は自明なので、ベーアの判定法から主張が従う。$\mathbb{Q}$ は明らかに可除で、可除群の商は可除である。$\square$

$\mathbb{Z}$ や $\mathbb{Z}/n$（$n \geq 2$）は可除でないので入射的でない。

定理 4.18（入射加群は十分ある）任意の $R$ 加群は、ある入射的 $R$ 加群の部分加群と同型である。

証明. 段階 1（$R = \mathbb{Z}$ の場合）。アーベル群 $A$ の $0$ でない元 $a$ に対し、$\varphi(a) \neq 0$ となる $\varphi\colon A \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ がある。実際、$\langle a \rangle$ 上で $a$ の位数が無限なら $a \mapsto 1/2$、位数 $n \geq 2$ なら $a \mapsto 1/n$ と定め、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の入射性で $A$ に延長すればよい。よって $A \to D = \prod_{\varphi \in \operatorname{Hom}(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})} \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, $x \mapsto (\varphi(x))_\varphi$ は単射で、$D$ は命題 4.15 (4) により入射的である。

段階 2。入射的アーベル群 $D$ に対し、$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R, D)$ に $(r\psi)(s) = \psi(sr)$ で左 $R$ 加群の構造を入れると、$R$ 加群 $M$ について自然な全単射

がある（逆写像は $\chi \mapsto (m \mapsto (s \mapsto \chi(sm)))$。$\Psi(rm)(s) = \chi(srm) = (r\Psi(m))(s)$ より $R$ 線形）。右辺は $M$ について完全なので、$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R, D)$ は入射的 $R$ 加群である。

段階 3。$M$ の下部アーベル群を段階 1 で入射的アーベル群 $D$ に埋め込み $\iota$ とする。$\iota$ に段階 2 の全単射で対応する $R$ 線形写像 $M \to \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R, D)$, $m \mapsto (s \mapsto \iota(sm))$ は、$s = 1$ での値が $\iota(m)$ なので単射である。$\square$

平坦性について。自由加群 $R^{(S)}$ は $L \otimes R^{(S)} \cong L^{(S)}$ なので平坦であり、直和因子も平坦だから、射影加群は平坦である。$\mathbb{Z}/n$（$n \geq 2$）は $\mathbb{Z}$ 上平坦でない（例 4.13）。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}$ 上平坦だが射影的でない（問題 4.4, 4.5）。一般に単項イデアル整域上の加群が平坦であることと、ねじれ元をもたないことは同値である（主張のみ。13-commutative-algebra 第1章）。$\mathbb{Z}$ 上ではまとめて次のようになる。

4.8 フレイド–ミッチェルの埋め込み定理

蛇の補題や 5 項補題を加群の元を使って証明したが、アーベル圏には一般に「元」がない。この隙間を埋めるのが次の定理である。

定理 4.19（フレイド–ミッチェルの埋め込み定理, 主張のみ）小さいアーベル圏 $\mathcal{A}$ に対し、ある環 $R$ と、完全かつ忠実充満な関手 $\mathcal{A} \to R\text{-}\mathbf{Mod}$ が存在する。

証明は長いので省略する（Weibel の第 1 章に主張と使い方の説明がある）。有限個の対象と射からなる図式についての「可換性」「完全性」の主張は、それらを含む小さいアーベル部分圏をとって $R\text{-}\mathbf{Mod}$ に埋め込めば、元を追って証明してよいことになる。完全忠実充満な関手は完全性を保ち、しかも反映するからである。こうして蛇の補題・5 項補題・第5章の長完全列は、層の圏を含む任意のアーベル圏で成り立つ。ただし層の圏そのものが加群の圏になるわけではなく、「大域切断をとる」ような関手が完全でないという現象は消えない。それを測るのが次章の導来関手である。

まとめ

• 加法圏では Hom がアーベル群で、有限の積と余積が一致する（双積）。
• アーベル圏は、核と余核をもち、余像から像への標準射が同型（準同型定理）となる加法圏である。加群・表現・複体・層の圏が例で、有限生成自由加群の圏や位相アーベル群の圏は例でない。
• 短完全列の分裂は、切断・引き込み・直和分解のどれでも判定できる。
• 蛇の補題と 5 項補題は図式追跡で証明され、埋め込み定理により任意のアーベル圏で使える。
• $\operatorname{Hom}(M, -)$ と $\operatorname{Hom}(-, N)$ は左完全、$- \otimes M$ は右完全である（随伴の帰結）。完全性の崩れは $\mathbb{Z}/2$ などで具体的に見える。
• 射影加群は自由加群の直和因子であり、入射性はベーアの判定法で確かめられる。単項イデアル整域上では入射的 $\iff$ 可除。
• $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ を使って、任意の加群が入射加群に埋め込めることが示される。

演習問題