導来関手

この章の目標

• 鎖複体・鎖ホモトピー・ホモロジー長完全列を扱える
• 射影分解・入射分解を作り、比較定理と馬蹄補題を証明できる
• 導来関手を構成して well-definedness と長完全列を証明し、$\operatorname{Ext}$ と $\operatorname{Tor}$ を計算できる
• $\operatorname{Ext}^1$ が拡大を分類することを理解する
• 射影次元・大域次元と、群のコホモロジー（$H^1$ と交叉準同型）を具体例で扱える

前提：第4章。例で 09-algebraic-topology 第4章（特異ホモロジー）と第6章（普遍係数定理）に触れる。

5.1 動機

第4章で見たように、$\operatorname{Hom}_R(M, -)$ は左完全だが完全ではない。短完全列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ に対し、$\operatorname{Hom}(M, B) \to \operatorname{Hom}(M, C)$ の全射性が崩れる。その「崩れ」を測る加群 $\operatorname{Ext}^1(M, A)$ を作り、さらに列を

と長完全列に延ばしたい。発想は、$M$ を Hom が完全になる加群（射影加群）の複体 $P_\bullet$ で「近似」し、$\operatorname{Hom}(P_\bullet, -)$ のホモロジーをとることである。位相幾何学で空間を CW 複体で置き換えて計算するのに似ている。近似の選び方によらないことを保証するのが比較定理である。

5.2 鎖複体とホモロジー

定義 5.1（鎖複体）アーベル圏（以下では $R$ 加群の圏）の対象と射の列 $C_\bullet = (\cdots \to C_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} C_n \xrightarrow{d_n} C_{n-1} \to \cdots)$ で $d_n \circ d_{n+1} = 0$ を満たすものを鎖複体 (chain complex) という。$Z_n(C) = \ker d_n$ を輪体、$\operatorname{Im} d_{n+1}$ を境界といい、$H_n(C) = Z_n(C)/\operatorname{Im} d_{n+1}$ をホモロジーという。添字を上につけ $d^n\colon C^n \to C^{n+1}$ とした余鎖複体とそのコホモロジー $H^n(C)$ も同様である。鎖複体の間の鎖写像 $f\colon C \to D$ とは、$d \circ f_n = f_{n-1} \circ d$ を満たす射の族であり、ホモロジーの間の射 $H_n(f)$ を誘導する。すべての $H_n(f)$ が同型である鎖写像を擬同型 (quasi-isomorphism) という。

鎖複体と鎖写像は、各次数で核・余核をとることでアーベル圏 $\mathbf{Ch}(R)$ をなす。特異鎖複体 $C_\bullet(X)$ が典型例である（09-algebraic-topology 第4章）。

定義 5.2（鎖ホモトピー）鎖写像 $f, g\colon C \to D$ について、射の族 $h_n\colon C_n \to D_{n+1}$ で $f_n - g_n = d_{n+1} h_n + h_{n-1} d_n$ を満たすものがあるとき、$f$ と $g$ は鎖ホモトピックであるといい $f \simeq g$ と書く。$g \circ f \simeq \mathrm{id}$, $f \circ g \simeq \mathrm{id}$ となる $g$ があるとき $f$ をホモトピー同値という。

命題 5.3 $f \simeq g$ ならば $H_n(f) = H_n(g)$ である。したがってホモトピー同値は擬同型である。また加法関手 $F$ は鎖ホモトピーを保つ（$F(h)$ が $F(f)$ と $F(g)$ の鎖ホモトピーになる）。

証明. $z \in Z_n(C)$ なら $f(z) - g(z) = d h(z) + h(dz) = d h(z)$ は境界である。後半は $F(f) - F(g) = F(d)F(h) + F(h)F(d)$ から明らか。$\square$

逆は成り立たない。$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to 0$ から $\mathbb{Z}/2$（次数 0 に置いた複体）への自然な射は擬同型だが、ホモトピー同値ではない（問題 5.2）。この差は第7章の導来圏で重要になる。

5.3 ホモロジー長完全列

定理 5.4（ホモロジー長完全列）鎖複体の短完全列 $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$（各次数で短完全）に対し、自然な完全列

$$\cdots \to H_n(A) \xrightarrow{f_{\ast}} H_n(B) \xrightarrow{g_{\ast}} H_n(C) \xrightarrow{\ \partial\ } H_{n-1}(A) \xrightarrow{f_{\ast}} H_{n-1}(B) \to \cdots$$

が存在する。連結射は $\partial[c] = [a]$（$c = g(b)$, $f(a) = d b$）で与えられる。

証明. $\overline{A}_n = A_n/\operatorname{Im} d_{n+1}$ とおく（$B, C$ も同様）。各 $n$ で、行が $0 \to A_n \to B_n \to C_n \to 0$ と $0 \to A_{n-1} \to B_{n-1} \to C_{n-1} \to 0$ で縦が $d_n$ の図式に蛇の補題（定理 4.9）を使うと、完全列

を得る。$d_n$ は $\overline{A}_n \to Z_{n-1}(A)$ を誘導し、その核は $Z_n(A)/\operatorname{Im} d_{n+1} = H_n(A)$、余核は $Z_{n-1}(A)/\operatorname{Im} d_n = H_{n-1}(A)$ である。そこで行を $\overline{A}_n \to \overline{B}_n \to \overline{C}_n \to 0$ と $0 \to Z_{n-1}(A) \to Z_{n-1}(B) \to Z_{n-1}(C)$（上で得た完全列）とする図式

に再び蛇の補題を使うと、完全列 $H_n(A) \to H_n(B) \to H_n(C) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \to H_{n-1}(B) \to H_{n-1}(C)$ が得られる。これらを $n$ についてつなげれば長完全列になる。$\partial$ の式は蛇の補題の $\delta$ の定義そのものである。自然性（短完全列の射と $\partial$ が可換であること）は $\partial$ の式から直接確かめられる。$\square$

位相空間の対 $(X, A)$ の長完全列や、マイヤー–ヴィートリス完全列は、特異鎖複体の短完全列にこの定理を適用したものである。

5.4 分解と比較定理

定義 5.5（分解）$R$ 加群 $M$ の射影分解 (projective resolution) とは、射影加群 $P_n$ からなる完全列

$$\cdots \to P_2 \xrightarrow{d_2} P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\varepsilon} M \to 0$$

である。$M$ を除いた鎖複体 $P_\bullet$ も射影分解と呼び、$P_\bullet \to M$ と書く（$H_0(P_\bullet) \cong M$, $H_n(P_\bullet) = 0$（$n \geq 1$）であり、$\varepsilon$ は $P_\bullet$ から次数 0 の $M$ への擬同型である）。双対的に、入射加群からなる完全列 $0 \to N \to I^0 \to I^1 \to \cdots$ を入射分解という。

任意の加群は射影分解をもつ：自由加群からの全射 $P_0 \to M$ をとり（命題 4.15）、その核への全射 $P_1 \to \ker \varepsilon$ をとり、と続ければよい。同様に定理 4.18 から入射分解も存在する。

例 5.6（分解の例）(1) $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n \to 0$ は $\mathbb{Z}/n$ の長さ 1 の射影分解である。(2) $R = \mathbb{Z}/4$ 上では、$\cdots \xrightarrow{2} \mathbb{Z}/4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}/4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}/4 \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ が $\mathbb{Z}/2$ の射影（自由）分解である（2 倍写像の核と像はともに $\lbrace 0, 2 \rbrace$）。これは無限に続き、短くできない（5.9 節）。(3) $0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0$ は $\mathbb{Z}$ の入射分解である（系 4.17）。(4) $R = K[x, y]$（$K$ は体）上で、$K = R/(x, y)$ の分解（コシュル複体, Koszul complex）

は完全である。実際 $xf + yg = 0$ なら、$R$ は一意分解整域なので $y \mid f$ であり、$f = -yh$ とおくと $g = xh$、すなわち $(f, g) = h(-y, x)$ となる。

分解は一意ではないが、次の定理により「ホモトピーを除いて」一意である。

定理 5.7（比較定理, comparison theorem）$P_\bullet \xrightarrow{\varepsilon} M$ を各 $P_n$ が射影的な複体（$\varepsilon d_1 = 0$ だけを仮定し、完全性は仮定しない）、$Q_\bullet \xrightarrow{\varepsilon'} N$ を分解（完全）とする。任意の $f\colon M \to N$ に対し、$\varepsilon' f_0 = f \varepsilon$ を満たす鎖写像 $f_\bullet\colon P_\bullet \to Q_\bullet$ が存在し、そのような鎖写像は鎖ホモトピーを除いて一意である。

証明. 便宜上 $P_{-1} = M$, $Q_{-1} = N$, $d_0 = \varepsilon$, $d'_0 = \varepsilon'$, $f_{-1} = f$ とおく。

存在：$\varepsilon'$ は全射で $P_0$ は射影的なので、$f \varepsilon$ を持ち上げて $\varepsilon' f_0 = f \varepsilon$ となる $f_0$ を得る。$f_{n-1}, f_n$ まで作ったとする。$d'_n f_n d_{n+1} = f_{n-1} d_n d_{n+1} = 0$ なので、$f_n d_{n+1}$ の像は $\ker d'_n = \operatorname{Im} d'_{n+1}$ に含まれる。$P_{n+1}$ は射影的なので、全射 $d'_{n+1}\colon Q_{n+1} \to \operatorname{Im} d'_{n+1}$ に沿って持ち上げ、$d'_{n+1} f_{n+1} = f_n d_{n+1}$ となる $f_{n+1}$ を得る。

一意性：二つの持ち上げの差を考えれば、$f = 0$ のとき任意の持ち上げ $g_\bullet$ が零ホモトピックであることを示せばよい。$h_{-1} = 0$ とし、$h_n\colon P_n \to Q_{n+1}$ を $g_n = d'_{n+1} h_n + h_{n-1} d_n$ となるように帰納的に作る。$n = 0$：$\varepsilon' g_0 = f \varepsilon = 0$ なので $g_0$ の像は $\operatorname{Im} d'_1$ に含まれ、持ち上げて $d'_1 h_0 = g_0$ とできる。$h_{n-1}, h_n$ まで作ったとすると

なので $g_{n+1} - h_n d_{n+1}$ の像は $\operatorname{Im} d'_{n+2}$ に含まれ、持ち上げて $d'_{n+2} h_{n+1} = g_{n+1} - h_n d_{n+1}$ とできる。$\square$

入射分解についても、矢印をすべて逆にした双対版が成り立つ（証明も双対的である）。

5.5 導来関手の構成

以下 $F$ は $R$ 加群の圏から $S$ 加群の圏（$S$ は別の環。$\mathbf{Ab}$ でもよい）への加法関手とする。

定義 5.8（導来関手, derived functor）(1) $F$ が右完全のとき、$M$ の射影分解 $P_\bullet \to M$ をとり、$F$ の左導来関手を $L_n F(M) = H_n(F(P_\bullet))$（$n \geq 0$）と定める。 (2) $F$ が左完全のとき、入射分解 $N \to I^\bullet$ をとり、右導来関手を $R^n F(N) = H^n(F(I^\bullet))$ と定める。 (3) $F$ が反変かつ左完全のとき（$\operatorname{Hom}(-, N)$ など）、射影分解 $P_\bullet \to M$ をとり $R^n F(M) = H^n(F(P_\bullet))$ と定める。

命題 5.9 (1) $L_n F(M)$ は射影分解の取り方によらず、標準的な同型を除いて定まり、$M$ について関手的である。(2) $L_0 F \cong F$。(3) $P$ が射影的なら $n \geq 1$ で $L_n F(P) = 0$。右導来関手についても同様である。

証明. (1) 二つの射影分解 $P_\bullet, P'_\bullet$ に対し、比較定理（定理 5.7）で $\mathrm{id}_M$ を持ち上げた鎖写像 $\alpha\colon P \to P'$, $\beta\colon P' \to P$ をとる。$\beta \alpha$ と $\mathrm{id}_P$ はどちらも $\mathrm{id}_M$ の持ち上げなので、一意性により $\beta \alpha \simeq \mathrm{id}$、同様に $\alpha \beta \simeq \mathrm{id}$。加法関手は鎖ホモトピーを保つ（命題 5.3）ので、$H_n(F(\alpha))$ は同型であり、しかも $\alpha$ の取り方によらない。$f\colon M \to N$ に対しても、持ち上げ $f_\bullet$ が誘導する $H_n(F(f_\bullet))$ は持ち上げの取り方によらず、合成は持ち上げの合成なので関手性が従う。(2) 分解の完全列 $P_1 \to P_0 \to M \to 0$ に右完全な $F$ を施すと $F(P_1) \to F(P_0) \to F(M) \to 0$ が完全なので、$H_0(F(P_\bullet)) = \operatorname{coker}(F(P_1) \to F(P_0)) \cong F(M)$。(3) $0 \to P \xrightarrow{\mathrm{id}} P \to 0$ を分解にとればよい。$\square$

導来関手の要点は長完全列である。それには分解を短完全列と両立するように選ぶ必要がある。

補題 5.10（馬蹄補題, horseshoe lemma）短完全列 $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ と射影分解 $P^A_\bullet \to A$, $P^C_\bullet \to C$ に対し、$P^B_n = P^A_n \oplus P^C_n$ を項とする $B$ の射影分解で、$0 \to P^A_\bullet \to P^B_\bullet \to P^C_\bullet \to 0$（各次数で標準的な包含と射影）が鎖複体の短完全列となり、$A, B, C$ への増大射と両立するものが存在する。

証明. $P^C_0$ は射影的なので、$\varepsilon^C\colon P^C_0 \to C$ を $g$ に沿って $\lambda\colon P^C_0 \to B$ に持ち上げる。$\varepsilon^B\colon P^A_0 \oplus P^C_0 \to B$ を $\varepsilon^B(a, c) = f(\varepsilon^A(a)) + \lambda(c)$ と定めると、$\varepsilon^B(a, 0) = f \varepsilon^A(a)$, $g \varepsilon^B(a, c) = \varepsilon^C(c)$ なので、次の図式は可換で行は完全である。

蛇の補題により $\ker \varepsilon^A \to \ker \varepsilon^B \to \ker \varepsilon^C \to \operatorname{coker} \varepsilon^A = 0$ と $0 = \operatorname{coker} \varepsilon^A \to \operatorname{coker} \varepsilon^B \to \operatorname{coker} \varepsilon^C = 0$ が完全である。よって $\varepsilon^B$ は全射で、$0 \to \ker \varepsilon^A \to \ker \varepsilon^B \to \ker \varepsilon^C \to 0$ は短完全列である（左端の単射性は包含の制限だから）。$P^A_{\geq 1}$ と $P^C_{\geq 1}$ はそれぞれ $\ker \varepsilon^A$, $\ker \varepsilon^C$ の射影分解なので、この短完全列に同じ構成を繰り返せばよい。$\square$

定理 5.11（導来関手の長完全列）$F$ を右完全な加法関手とする。短完全列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ に対し、完全列

$$\cdots \to L_n F(A) \to L_n F(B) \to L_n F(C) \xrightarrow{\ \partial\ } L_{n-1} F(A) \to \cdots \to L_0 F(B) \to L_0 F(C) \to 0$$

が存在し、短完全列について自然である。左完全な $F$ の右導来関手についても、同様の長完全列 $0 \to R^0 F(A) \to R^0 F(B) \to R^0 F(C) \to R^1 F(A) \to \cdots$ が存在する。

証明. 馬蹄補題の分解をとると、$0 \to P^A_n \to P^B_n \to P^C_n \to 0$ は各次数で分裂するので、加法関手 $F$ を施しても短完全列である（分裂は等式 $r f = \mathrm{id}$ などで表され、加法関手はそれを保つ）。よって $0 \to F(P^A) \to F(P^B) \to F(P^C) \to 0$ は鎖複体の短完全列であり、定理 5.4 の長完全列が求めるものである（命題 5.9 により、$P^B$ で計算したものは $L_n F(B)$ と標準的に同型）。末尾が $L_0 F(C) \to 0$ で終わるのは $L_{-1} F = 0$ だからである。自然性の確認は省略する。右導来関手の場合は入射分解についての双対な馬蹄補題を使う。$\square$

5.6 Ext と Tor

定義 5.12 $R$ 加群 $M, N$ に対し、$M$ の射影分解 $P_\bullet$ をとって

$$\operatorname{Ext}^n_R(M, N) = H^n(\operatorname{Hom}_R(P_\bullet, N)), \qquad \operatorname{Tor}_n^R(M, N) = H_n(P_\bullet \otimes_R N)$$

と定める（$\operatorname{Tor}$ では $R$ は可換とする）。すなわち $\operatorname{Ext}^n(-, N)$ は反変関手 $\operatorname{Hom}(-, N)$ の、$\operatorname{Tor}_n(-, N)$ は $- \otimes N$ の導来関手である。

命題 5.9 により $\operatorname{Ext}^0 = \operatorname{Hom}$, $\operatorname{Tor}_0 = \otimes$ であり、$M$ が射影的なら $n \geq 1$ で $\operatorname{Ext}^n(M, -) = 0 = \operatorname{Tor}_n(M, -)$。定理 5.11 により第 1 変数についての長完全列がある。第 2 変数についても、$P_n$ が射影的なので $\operatorname{Hom}(P_n, -)$ と $P_n \otimes -$ は完全であり、$N$ の短完全列から複体の短完全列が得られ、定理 5.4 により長完全列が得られる。こうして 5.1 節で望んだ長完全列が構成された。

定理 5.13（平衡性, 主張のみ）$N$ の入射分解 $N \to I^\bullet$ と射影分解 $Q_\bullet \to N$ について、

$$\operatorname{Ext}^n_R(M, N) \cong H^n(\operatorname{Hom}_R(M, I^\bullet)), \qquad \operatorname{Tor}_n^R(M, N) \cong H_n(M \otimes_R Q_\bullet)$$

である。特に $\operatorname{Tor}_n(M, N) \cong \operatorname{Tor}_n(N, M)$。

$\operatorname{Tor}$ の場合は第6章でスペクトル系列を用いて証明し、$\operatorname{Ext}$ の場合は 5.8 節で普遍 δ 関手を用いた証明の筋道を述べる。

例 5.14（$\mathbb{Z}/n$ についての計算）$\mathbb{Z}/n$ の射影分解 $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \to 0$ に $\operatorname{Hom}(-, N)$ と $- \otimes N$ を施すと、どちらも $N \xrightarrow{n} N$ という 2 項の複体になる（前者は次数 0, 1、後者は次数 1, 0）。$N[n] = \lbrace x \in N \mid nx = 0 \rbrace$ とおくと

で、2 次以上はすべて $0$ である。たとえば $\operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/n, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/n$、$\operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}/n) \cong \operatorname{Tor}_1(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}/n) \cong \mathbb{Z}/\gcd(m, n)$。$\operatorname{Tor}$ の名はねじれ (torsion) に由来する：$\operatorname{Tor}_1(\mathbb{Z}/n, N)$ は $N$ の $n$ ねじれ部分である。例 4.13 で $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2, -)$ を $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ に施したときの欠けた部分は、長完全列

の中で $\partial$ によって $\operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2$ に同型に写される（中央の 2 倍写像は $\mathbb{Z}/2$ 上で $0$ である）。

例 5.15（$\mathbb{Z}/4$ 上の $\operatorname{Tor}$）例 5.6 (2) の分解に $- \otimes_{\mathbb{Z}/4} \mathbb{Z}/2$ を施すと $\cdots \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2 \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2 \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2$ となるので、すべての $n \geq 0$ で $\operatorname{Tor}_n^{\mathbb{Z}/4}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2$ である。$\operatorname{Hom}(-, \mathbb{Z}/2)$ を施しても同様に、すべての $n$ で $\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z}/4}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2$ となる。

位相幾何学の普遍係数定理（09-algebraic-topology 第6章）は、分裂する（ただし自然には分裂しない）短完全列

を与える。たとえば $H_1(\mathbb{R}P^2) = \mathbb{Z}/2$, $H_2(\mathbb{R}P^2) = 0$ なので $H^2(\mathbb{R}P^2; \mathbb{Z}) \cong \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2$ である。

5.7 $\operatorname{Ext}^1$ と拡大の分類

$\operatorname{Ext}$ の名は拡大 (extension) に由来する。

定義 5.16 $R$ 加群 $M$ の $N$ による拡大とは短完全列 $0 \to N \xrightarrow{j} E \xrightarrow{p} M \to 0$ のことである。二つの拡大 $E, E'$ は、$N$ と $M$ 上で恒等射となる準同型 $E \to E'$ があるとき同値であるという（5 項補題によりそれは同型である）。

定理 5.17 $M$ の $N$ による拡大の同値類の集合と $\operatorname{Ext}^1_R(M, N)$ の間に自然な全単射があり、分裂する拡大は $0$ に対応する。

証明の概略. 射影加群 $P$ と短完全列 $0 \to K \xrightarrow{i} P \xrightarrow{\pi} M \to 0$ をとる。$\operatorname{Hom}(-, N)$ についての長完全列と $\operatorname{Ext}^1(P, N) = 0$ から

である。拡大 $E$ が与えられたら、$\pi$ を $p$ に沿って $\beta\colon P \to E$ に持ち上げる（$P$ は射影的）。$p \beta i = \pi i = 0$ なので $\beta i = j \alpha$ となる $\alpha\colon K \to N$ がただ一つあり、$\beta$ を取り替えると（差は $j \circ \gamma$ の形）$\alpha$ は $\gamma i$ だけずれるので、類 $[\alpha]$ が定まる。逆に $\alpha\colon K \to N$ に対し、押し出し $E_\alpha = (N \oplus P)/\lbrace (\alpha(k), -i(k)) \mid k \in K \rbrace$ は $n \mapsto [(n, 0)]$, $[(n, x)] \mapsto \pi(x)$ により拡大になる。$E_\alpha$ に対し $\beta(x) = [(0, x)]$ をとると $\beta(i(k)) = [(\alpha(k), 0)]$ なので $E_\alpha$ の類は $[\alpha]$ である。逆に $E$ の類が $[\alpha]$ なら、$[(n, x)] \mapsto j(n) + \beta(x)$ は well-defined な拡大の射 $E_\alpha \to E$ を与える。$\alpha' = \alpha + \gamma i$ なら $[(n, x)] \mapsto [(n - \gamma(x), x)]$ が $E_\alpha \to E_{\alpha'}$ を与える。以上から二つの対応は互いに逆である。分裂する拡大では $\beta$ として $\pi$ の持ち上げを切断 $s$ を使って $s \pi$ ととれ、$\beta i = 0$ となる。$\square$

例 5.18 $\operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/p, \mathbb{Z}/p) = \mathbb{Z}/p$（$p$ は素数）。定理 5.17 の構成で $K = P = \mathbb{Z}$, $i = p$, $\alpha_k(1) = k$ とすると $E_k = (\mathbb{Z}/p \oplus \mathbb{Z})/\langle (k, -p) \rangle$ である。$k = 0$ なら $E_0 = \mathbb{Z}/p \oplus \mathbb{Z}/p$（分裂）。$k \neq 0$ なら $(0, 1)$ は $p(0, 1) = (k, 0) \neq 0$, $p^2(0, 1) = 0$ を満たし、$\lvert E_k \rvert = p^2$ なので $E_k \cong \mathbb{Z}/p^2$。こうして $p - 1$ 個の互いに同値でない拡大が、中央の群としてはすべて $\mathbb{Z}/p^2$ と同型になる。拡大の同値は中央の同型より細かい。

5.8 普遍 δ 関手

定義 5.19（δ 関手）加法関手の列 $T = (T^n)_{n \geq 0}$ と、各短完全列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ に対する射 $\delta\colon T^n(C) \to T^{n+1}(A)$ の組で、長完全列 $0 \to T^0(A) \to T^0(B) \to T^0(C) \xrightarrow{\delta} T^1(A) \to \cdots$ を与え、$\delta$ が短完全列について自然なものを（コホモロジー的）δ 関手という。任意の δ 関手 $S$ と自然変換 $T^0 \Rightarrow S^0$ が、δ と可換な自然変換の族 $T^n \Rightarrow S^n$ に一意的に延長されるとき、$T$ は普遍的であるという。

定理 5.20（グロタンディーク, 主張のみ）δ 関手 $T$ で、各 $n \geq 1$ と各 $A$ に対し $T^n(I) = 0$ となる単射 $A \to I$ が存在するもの（消去可能, effaceable）は普遍的である。特に左完全関手 $F$ の右導来関手 $(R^n F)$ は普遍 δ 関手であり、$F$ だけから同型を除いて一意に決まる。

証明は Weibel の第 2 章を参照。この定理は「同じ導来関手を別の方法で計算してよい」ことの一般原理になる。たとえば $M$ を固定し $N$ の関手 $N \mapsto H^n(\operatorname{Hom}(P_\bullet, N))$ を考えると、5.6 節で見たように δ 関手であり、$N = I$ が入射的なら $\operatorname{Hom}(-, I)$ が完全なので完全列 $P_\bullet \to M \to 0$ を完全列に写し、$n \geq 1$ で $0$ になる。よって消去可能であり、$\operatorname{Hom}(M, -)$ の右導来関手（入射分解で計算したもの）と一致する。これが定理 5.13 の $\operatorname{Ext}$ の部分の証明である。

5.9 射影次元と大域次元

定義 5.21 長さ $n$ の射影分解 $0 \to P_n \to \cdots \to P_0 \to M \to 0$ をもつ最小の $n$ を $M$ の射影次元 $\operatorname{pd} M$ という（なければ $\infty$）。$\sup_M \operatorname{pd} M$ を $R$ の大域次元 (global dimension) $\operatorname{gl.dim} R$ という。

$\operatorname{pd} M \leq n$ であることは $\operatorname{Ext}^{n+1}(M, -) = 0$ と同値であり、また $\operatorname{Tor}_{m}(M, -) = 0$（$m > n$）を導く（次元ずらしによる。証明は Weibel の第 4 章を参照）。

• 体 $K$：すべての加群は自由なので $\operatorname{gl.dim} K = 0$。
• $\mathbb{Z}$（一般に体でない単項イデアル整域）：自由加群の部分加群は自由なので、$0 \to \ker \to R^{(M)} \to M \to 0$ が長さ 1 の射影分解になり $\operatorname{gl.dim} \leq 1$。$\operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}) \neq 0$ なので $= 1$。
• $\mathbb{Z}/4$：例 5.15 により $\operatorname{Tor}_n(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) \neq 0$ がすべての $n$ で成り立つので $\operatorname{pd} \mathbb{Z}/2 = \infty$、$\operatorname{gl.dim} = \infty$。
• $K[x_1, \dots, x_n]$：大域次元は $n$ である（ヒルベルトのシジジー定理、主張のみ）。下からの評価は、$K = R/(x_1, \dots, x_n)$ のコシュル複体（例 5.6 (4) の一般化）に $- \otimes_R K$ を施すと微分がすべて $0$ になり、$\operatorname{Tor}_n^R(K, K) \cong K \neq 0$ となることからわかる。$n = 2$ なら $\operatorname{Tor}_i(K, K) = K, K^2, K$（$i = 0, 1, 2$）である。

大域次元が有限であることは、可換環論では「正則性」（幾何学的には非特異性）と結びつく（セールの定理。13-commutative-algebra 第8章）。

5.10 群のコホモロジー

群 $G$ がアーベル群 $A$ に（左から、準同型として）作用するとき、$A$ を $G$ 加群という。これは群環 $\mathbb{Z}[G]$ 上の加群と同じである。$\mathbb{Z}$ に $G$ が自明に作用するとみて

を群のコホモロジーという。$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, A) = A^G$（不変元）なので、$H^n(G, -)$ は不変元をとる関手の右導来関手である。

写像 $f\colon G \to A$ で $f(gh) = f(g) + g f(h)$ を満たすものを交叉準同型 (crossed homomorphism) といい、その全体を $Z^1(G, A)$ と書く。$a \in A$ に対し $f(g) = ga - a$ は交叉準同型であり、この形のもの（主交叉準同型）の全体を $B^1(G, A)$ と書く。

命題 5.22 $H^1(G, A) \cong Z^1(G, A)/B^1(G, A)$。特に $G$ が $A$ に自明に作用すれば $H^1(G, A) = \operatorname{Hom}(G, A)$。

証明. 添加写像 $\mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}$, $\sum n_g g \mapsto \sum n_g$ の核を $I_G$（添加イデアル）とすると、$I_G$ は $\lbrace g - 1 \mid g \neq 1 \rbrace$ を基底とする自由アーベル群である。短完全列 $0 \to I_G \to \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z} \to 0$ の長完全列と、$\mathbb{Z}[G]$ が自由なので $\operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}[G], A) = 0$ であることから、

$G$ 線形写像 $\varphi\colon I_G \to A$ に $f(g) = \varphi(g - 1)$ を対応させる。$h(g - 1) = (hg - 1) - (h - 1)$ なので、$G$ 線形性 $\varphi(h(g - 1)) = h \varphi(g - 1)$ は $f(hg) = f(h) + h f(g)$ と同値である。逆に交叉準同型 $f$（$f(1) = f(1) + f(1)$ より $f(1) = 0$）は基底上の値 $\varphi(g - 1) = f(g)$ で $G$ 線形写像を定める。こうして $\operatorname{Hom}_G(I_G, A) \cong Z^1(G, A)$。$\psi\colon \mathbb{Z}[G] \to A$ は $a = \psi(1)$ で決まり、$I_G$ への制限は $g - 1 \mapsto ga - a$ なので、像は $B^1(G, A)$ である。自明な作用なら $B^1 = 0$ で、交叉準同型は準同型である。$\square$

$G = \langle t \rangle$ が位数 $n$ の巡回群なら、$N = 1 + t + \cdots + t^{n-1}$ として周期的な自由分解

がある（$\ker(t - 1) = \mathbb{Z} N$, $\ker N = I_G$ を確かめればよい）。自明な $G$ 加群 $\mathbb{Z}$ に対し $\operatorname{Hom}_G(-, \mathbb{Z})$ を施すと $\mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{n} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{n} \cdots$ となり、

を得る。$n = 2$ のとき、これは $\mathbb{R}P^\infty$ のコホモロジーと一致する。一般に、$G$ が $A$ に自明に作用するとき $H^n(G, A)$ は $K(G, 1)$ 空間の $A$ 係数コホモロジーに等しい（09-algebraic-topology 第8章）。また有限次ガロア拡大 $L/K$ について $H^1(\operatorname{Gal}(L/K), L^{\times}) = 0$（ヒルベルトの定理 90）であり、類体論は群のコホモロジーの言葉で定式化される（15-algebraic-number-theory 第7章）。