深さとコーエン–マコーレー環

この章の目標

• 正則列と深さを定義し、深さが $\operatorname{Ext}$ の消滅で特徴づけられることを証明する
• $\operatorname{depth} \leq \dim$ を証明し、コーエン–マコーレー環の定義・例・非例を幾何的に説明できる
• 正則局所環がコーエン–マコーレーであることを示し、アンミックスドネス定理・アウスランダー–ブックスバウムの公式・セールの定理の内容を理解する
• セールの正規性判定法 $(R_1) + (S_2)$ を使って具体的な曲面の正規性を判定できる

前提：第3章、第5章、圏論 第5章（$\operatorname{Ext}$・$\operatorname{Tor}$・射影次元）

次元は「方程式で何回切れば点になるか」を数える量であった（パラメータ系）。深さは「零因子にならないように何回切れるか」を数える量で、次元以下になる。両者が一致する環がコーエン–マコーレー環であり、幾何的には、埋め込まれた点や次元の違う成分をもたず、超曲面で切る操作が素直にふるまう空間である。正則局所環（滑らかな点）はもちろん、超曲面や完全交叉、正規な曲面もコーエン–マコーレーであり、代数幾何・不変式論・組合せ論で広く現れる。本章では深さをホモロジー代数（$\operatorname{Ext}$）と結びつけ、正則性や正規性のホモロジー的な判定法を概観する。

8.1 正則列

定義 8.1（正則列, regular sequence）$M$ を $A$ 加群とする。$x \in A$ が $M$ の零因子でない（$xm = 0 \Rightarrow m = 0$）とき $M$ 正則元という。$x_1, \dots, x_n \in A$ が、各 $i$ で $x_i$ が $M/(x_1, \dots, x_{i-1})M$ 正則元であり、かつ $M/(x_1, \dots, x_n)M \neq 0$ をみたすとき $M$ 正則列という。

例 8.2 (1) $x_1, \dots, x_n$ は $K[x_1, \dots, x_n]$ の正則列（$A/(x_1, \dots, x_{i-1}) \cong K[x_i, \dots, x_n]$ で $x_i$ は零因子でない）。 (2) $A = K[x, y]/(xy)$ では $\operatorname{Ass} A = \lbrace (x), (y) \rbrace$ で、$x + y$ はどちらにも属さないので正則元（定理 3.27 (2)）。しかし $A/(x + y) \cong K[x]/(x^2)$ では $(x, y)$ の元はすべて零因子で、原点に集中した長さ 2 の正則列はない。 (3) 順序は一般には重要である：$K[x, y, z]$ で $x, y(1 - x), z(1 - x)$ は正則列だが、$y(1 - x), z(1 - x), x$ は正則列でない（問題 8.2）。

幾何的には、正則列は「各段階でどの随伴成分（埋没成分を含む）も含まない超曲面で切る」操作で、次元を 1 ずつ正しく下げる。局所環では順序の問題は起きない。

命題 8.3 $(A, \mathfrak{m})$ をネーター局所環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$x, y \in \mathfrak{m}$ とする。$x, y$ が $M$ 正則列ならば $y, x$ も $M$ 正則列である。したがって $\mathfrak{m}$ の元からなる $M$ 正則列は任意に並べ替えてよい。

証明. $N = \lbrace m \in M \mid ym = 0 \rbrace$ とおく。$m \in N$ なら $ym = 0 \in xM$ で $y$ は $M/xM$ 正則なので $m = xm'$、$xym' = 0$ と $x$ の正則性から $ym' = 0$、$m' \in N$。よって $N = xN$ で、中山の補題より $N = 0$、つまり $y$ は $M$ 正則。次に $xm = ym'$ なら $ym' \in xM$ より $m' = xm''$ と書け、$x(m - ym'') = 0$ から $m = ym'' \in yM$。よって $x$ は $M/yM$ 正則。$M/(x, y)M \neq 0$ は共通。後半は隣接互換の繰り返し（$M/(x_1, \dots, x_{i-1})M$ に前半を適用）。$\square$

8.2 深さと Ext

補題 8.4 $A$ をネーター環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$I$ をイデアルとする。$I$ が $M$ 正則元を含む $\iff$ $\operatorname{Hom}_A(A/I, M) = 0$。

証明. ($\Rightarrow$) $x \in I$ が $M$ 正則で $\varphi\colon A/I \to M$ なら $x\varphi(\bar{1}) = \varphi(\bar{x}) = 0$ より $\varphi(\bar{1}) = 0$。($\Leftarrow$) $I$ が $M$ 正則元を含まなければ、$I$ は $M$ の零因子全体 $\bigcup_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M} \mathfrak{p}$ に含まれ（定理 3.27 (2)）、$\operatorname{Ass} M$ は有限（定理 3.27 (4)）なので、素イデアル回避（補題 1.7）よりある $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(m) \in \operatorname{Ass} M$ が $I$ を含む。$\bar{a} \mapsto am$ は $A/I \to M$ の非零準同型である。$\square$

定理 8.5 $A$ をネーター環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$I$ を $IM \neq M$ となるイデアルとする。$I$ に含まれる $M$ 正則列は極大なものに延長でき、極大な $M$ 正則列の長さはすべて

$$n = \min \lbrace i \mid \operatorname{Ext}^i_A(A/I, M) \neq 0 \rbrace$$

に等しい。この $n$ を $I$ に関する $M$ の深さ (depth) といい $\operatorname{depth}_I M$ と書く。$(A, \mathfrak{m})$ が局所環のとき $\operatorname{depth} M := \operatorname{depth}_{\mathfrak{m}} M$ とする。

証明. 延長可能性：正則列 $x_1, x_2, \dots$ について $x_{i+1} \notin (x_1, \dots, x_i)$（さもなくば $x_{i+1}$ は $M/(x_1, \dots, x_i)M \neq 0$ を零化する）なので、イデアルの真の昇鎖ができ、ネーター性より有限で止まる。

長さ $n$ の極大な正則列 $x_1, \dots, x_n$ について、$\operatorname{Ext}^i(A/I, M) = 0$ $(i < n)$、$\operatorname{Ext}^n(A/I, M) \neq 0$ を $n$ に関する帰納法で示す。$n = 0$ は補題 8.4。$n \geq 1$ のとき、完全列 $0 \to M \xrightarrow{x_1} M \to M_1 \to 0$（$M_1 = M/x_1M$）の $\operatorname{Ext}$ の長完全列において、$x_1 \in I$ は $A/I$ を零化するので $\operatorname{Ext}^i(A/I, M)$ 上の $x_1$ 倍は $0$ である。よって短完全列

が得られる。$x_2, \dots, x_n$ は $M_1$ の極大な正則列なので、帰納法の仮定より $\operatorname{Ext}^i(A/I, M_1)$ は $i < n - 1$ で $0$、$i = n - 1$ で $0$ でない。上の列から $\operatorname{Ext}^j(A/I, M) = 0$ $(1 \leq j \leq n - 1)$、また補題 8.4 より $\operatorname{Ext}^0 = \operatorname{Hom}(A/I, M) = 0$。$i = n - 1$ とすると $\operatorname{Ext}^n(A/I, M) \cong \operatorname{Ext}^{n-1}(A/I, M_1) \neq 0$。右辺の $n$ は列によらないので、極大な列の長さはすべて等しい。$\square$

系 8.6 $x \in I$ が $M$ 正則なら $\operatorname{depth}_I (M/xM) = \operatorname{depth}_I M - 1$。

証明. $x$ から始まる極大な正則列を $x, x_2, \dots, x_n$ とすると、$x_2, \dots, x_n$ は $M/xM$ の極大な正則列である。$\square$

例 8.7 (1) $\operatorname{depth} K[x_1, \dots, x_n]_{(x_1, \dots, x_n)} \geq n$（例 8.2 (1)）で、次の定理 8.9 より $= n$。 (2) アルティン局所環の深さは $0$（$\mathfrak{m}$ の元はすべて冪零）。 (3) $A = K[x, y]_{(x, y)}/(x^2, xy)$ では $\bar{x} \neq 0$ が $\mathfrak{m}$ で零化されるので $\mathfrak{m} \in \operatorname{Ass} A$、補題 8.4 より $\operatorname{depth} A = 0$。一方 $\dim A = 1$。原点の埋没点が深さを下げている。 (4) $A = K[x, y]_{(x, y)}/(xy)$ は $x + y$ が正則元で $A/(x + y)$ はアルティンなので $\operatorname{depth} A = 1 = \dim A$。

8.3 深さは次元を超えない

補題 8.8 $(A, \mathfrak{m})$ をネーター局所環、$M$ を有限生成加群、$x \in \mathfrak{m}$ を $M$ 正則元、$\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M$ とする。$\mathfrak{p} + (x)$ を含む $\mathfrak{q} \in \operatorname{Ass}(M/xM)$ が存在する。

証明. $N = \lbrace m \in M \mid \mathfrak{p}m = 0 \rbrace \cong \operatorname{Hom}(A/\mathfrak{p}, M)$ は $0$ でない有限生成加群。$xm' \in N$ なら $\mathfrak{p}xm' = 0$ と $x$ の正則性から $m' \in N$ なので $N \cap xM = xN$、よって $N/xN \hookrightarrow M/xM$。中山の補題より $N/xN \neq 0$ で、$\operatorname{Ass}(N/xN) \neq \emptyset$（定理 3.27 (1)）。その元 $\mathfrak{q}$ は $\operatorname{Ann}(N/xN) \supset \mathfrak{p} + (x)$ を含み、$\operatorname{Ass}(N/xN) \subset \operatorname{Ass}(M/xM)$。$\square$

定理 8.9 $(A, \mathfrak{m})$ をネーター局所環、$M \neq 0$ を有限生成加群とすると、任意の $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M$ について $\operatorname{depth} M \leq \dim A/\mathfrak{p}$。特に $\operatorname{depth} M \leq \dim M \leq \dim A$。

証明. $\operatorname{depth} M$ に関する帰納法。$0$ なら明らか。$\operatorname{depth} M \geq 1$ なら $M$ 正則元 $x \in \mathfrak{m}$ があり、$x$ は随伴素イデアルに属さないので $x \notin \mathfrak{p}$。補題 8.8 の $\mathfrak{q} \supsetneq \mathfrak{p}$ について $\dim A/\mathfrak{q} \leq \dim A/\mathfrak{p} - 1$。帰納法の仮定と系 8.6 より $\operatorname{depth} M - 1 = \operatorname{depth} M/xM \leq \dim A/\mathfrak{q} \leq \dim A/\mathfrak{p} - 1$。後半は $\operatorname{Ass} M$ の元が $\operatorname{Ann} M$ を含むことによる。$\square$

8.4 コーエン–マコーレー環

定義 8.10（コーエン–マコーレー, Cohen–Macaulay）ネーター局所環 $A$ が $\operatorname{depth} A = \dim A$ をみたすときコーエン–マコーレー環（CM 環）という。一般のネーター環 $A$ は、すべての極大イデアルでの局所化が CM のとき CM という（このときすべての素イデアルでの局所化も CM になる：主張のみ）。

命題 8.11 $(A, \mathfrak{m})$ を $d$ 次元 CM 局所環とする。 (1) すべての $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} A$ について $\dim A/\mathfrak{p} = d$。特に $A$ は埋没素イデアルをもたず、既約成分の次元はすべて等しい。 (2) $x \in \mathfrak{m}$ が $A$ 正則なら、$A/(x)$ は $d - 1$ 次元 CM 局所環。 (3) $x_1, \dots, x_r \in \mathfrak{m}$ が $A$ 正則列 $\iff$ パラメータ系の一部である。

証明. (1) 定理 8.9 より $d = \operatorname{depth} A \leq \dim A/\mathfrak{p} \leq d$。埋没素イデアル $\mathfrak{p} \supsetneq \mathfrak{p}'$ なら $\dim A/\mathfrak{p} < \dim A/\mathfrak{p}'$ となり矛盾。(2) 正則元は極小素イデアル（$\subset$ 随伴素イデアル）に属さないので、命題 5.10 より $\dim A/(x) = d - 1$、系 8.6 より $\operatorname{depth} A/(x) = d - 1$。(3) ($\Rightarrow$) (2) を繰り返すと $\dim A/(x_1, \dots, x_r) = d - r$ で、命題 5.10 の後の注意によりパラメータ系の一部。($\Leftarrow$) は問題 8.7。$\square$

定理 8.12 正則局所環は CM である。

証明. $d = \dim A$、$\mathfrak{m} = (x_1, \dots, x_d)$ とする。$A_i = A/(x_1, \dots, x_i)$ は、命題 5.10 より $\dim A_i \geq d - i$、極大イデアルが $d - i$ 元生成なので $\dim A_i \leq d - i$（系 5.6）、よって $d - i$ 次元正則局所環であり、整域である（定理 5.21）。$i < d$ なら $x_{i+1}$ の $A_i$ での像は $0$ でない（$0$ なら $A_i$ の極大イデアルが $d - i - 1$ 元生成になる）ので正則元。よって $x_1, \dots, x_d$ は正則列で $\operatorname{depth} A = d$。$\square$

例 8.13（CM 環の例と非例）

• 正則局所環、アルティン局所環（$\operatorname{depth} = \dim = 0$）。
• 1 次元の被約ネーター局所環（尖点・結節点など）：被約なら $\operatorname{Ass} A$ は極小素イデアルだけ（$(0) = \bigcap$ 極小素イデアル が準素分解）なので $\mathfrak{m} \notin \operatorname{Ass} A$、補題 8.4 より正則元があり $\operatorname{depth} = 1 = \dim$。特異点でも CM でありうる。
• 完全交叉：正則局所環を正則列で割った環は、命題 8.11 (2) を繰り返して CM。特に超曲面 $K[x_1, \dots, x_n]_{(x)}/(f)$ や錐 $xy = z^2$ は CM。
• 非例：$K[x, y]_{(x, y)}/(x^2, xy)$（$\operatorname{depth} 0 < 1 = \dim$、埋没点あり）。$K[x, y, z]_{(x, y, z)}/(xy, xz)$（平面と直線：随伴素イデアル $(y, z)$ で $\dim A/(y, z) = 1 < 2$ なので命題 8.11 (1) に反する）。原点だけで交わる 2 枚の平面 $K[x, y, z, w]_{(x,y,z,w)}/((x, y) \cap (z, w))$（$\operatorname{depth} 1 < 2 = \dim$、問題 8.4）。

最後の例は、既約成分の次元がそろい埋没点もないのに CM でない。幾何的には、原点を除くと 2 枚の平面がばらばらになる（余次元 2 の点で「つながっている」だけ）ことが原因である。実際、CM 局所環では余次元 2 以上の閉集合を除いても連結性が保たれることが知られている（ハーツホーンの連結性定理、主張のみ）。

定理 8.14（アンミックスドネス定理, unmixedness theorem：主張のみ）ネーター環 $A$ について、$A$ が CM $\iff$ 高さ $r$ のイデアルで $r$ 個の元で生成されるもの $I$ について、$\operatorname{Ass}(A/I)$ の元がすべて高さ $r$ の極小素イデアルである。

多項式環（マコーレー）や正則局所環ではこれが成り立つ。たとえば $K[x, y]$ で $(x, y^2)$ は高さ $2$ で 2 元生成なので、随伴素イデアルは $(x, y)$ だけである。一方、2 枚の平面の環で高さ $1$ の $(x - z)$ は埋没素イデアル $\mathfrak{m}$ をもち（問題 8.4）、CM でないことと整合する。証明は [Bruns–Herzog] 第2章を参照。

8.5 射影次元とアウスランダー–ブックスバウムの公式

$M$ の射影分解の長さの最小値を射影次元 $\operatorname{pd}_A M$、すべての $A$ 加群の射影次元の上限を大域次元 $\operatorname{gl.dim} A$ という（圏論 第5章）。ネーター局所環上では、有限生成射影加群は自由加群であり（問題 1.7）、有限生成加群は行列成分がすべて $\mathfrak{m}$ に入る極小自由分解をもつ。このとき $\operatorname{pd} M = \max \lbrace i \mid \operatorname{Tor}_i^A(M, k) \neq 0 \rbrace$ である。

定理 8.15（アウスランダー–ブックスバウムの公式, Auslander–Buchsbaum formula：主張と証明の概略）$(A, \mathfrak{m})$ をネーター局所環、$M \neq 0$ を有限生成加群で $\operatorname{pd} M < \infty$ とすると

$$\operatorname{pd} M + \operatorname{depth} M = \operatorname{depth} A$$

証明の概略. $\operatorname{depth} A$ に関する帰納法。$\operatorname{depth} A = 0$ なら、$\mathfrak{m} = \operatorname{Ann}(a)$ $(a \neq 0)$ となる $a$ があり、極小自由分解の最後の写像 $F_n \to F_{n-1}$（成分は $\mathfrak{m}$）は $a$ 倍した基底を $0$ に写すので単射でありえず、$n = 0$、$M$ は自由で公式が成り立つ。$\operatorname{depth} A > 0$ のときは、$A$ と $M$（あるいはその第 1 シジジー）の両方に正則な $x \in \mathfrak{m}$ で割って $\operatorname{pd}$ が変わらず $\operatorname{depth}$ が $1$ ずつ下がることを使う。詳しくは [Bruns–Herzog] 第1章を参照。$\square$

例 8.16 (1) $A = K[x, y]_{(x, y)}$ で剰余体 $k$ の極小自由分解（コシュル複体）は

で、$\operatorname{pd} k = 2$、$\operatorname{depth} k = 0$、$\operatorname{depth} A = 2$。$M = A/(x)$ なら $0 \to A \xrightarrow{x} A \to M \to 0$ で $\operatorname{pd} M = 1$、$\operatorname{depth} M = 1$。 (2) 結節点 $B = K[x, y]_{(x, y)}/(xy)$ 上で $M = B/(x)$ を分解すると、$\operatorname{Ann}_B(x) = (y)$、$\operatorname{Ann}_B(y) = (x)$ より

という周期的な極小自由分解が無限に続き、$\operatorname{pd}_B M = \infty$。特異点の上では有限の分解をもたない加群が現れる。

8.6 セールの定理

定理 8.17（セール, Serre：主張のみ）ネーター局所環 $(A, \mathfrak{m}, k)$ について次は同値である：(a) $A$ は正則 (b) $\operatorname{gl.dim} A < \infty$ (c) $\operatorname{pd}_A k < \infty$。このとき $\operatorname{gl.dim} A = \operatorname{pd} k = \dim A$。

(a)⇒(c) は、$\mathfrak{m}$ を生成する正則列（定理 8.12）のコシュル複体が $k$ の自由分解になることによる（例 8.16 (1) はその $d = 2$ の場合）。(c)⇒(a) が深い部分で、証明は [Bruns–Herzog] 第2章を参照。この定理の重要な帰結として、正則局所環の素イデアルでの局所化はまた正則である（$\operatorname{pd}$ の有限性は局所化で保たれる）。幾何的には「滑らかな点の十分近くの点（生成化）も滑らか」であり、正則性の定義（$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ の次元）だけからはこの事実は見えない。ホモロジー代数が可換環論に本質的な役割を果たした初期の代表的な例である（1950 年代半ばのセール、アウスランダー–ブックスバウムによる）。

8.7 セールの正規性判定法

ネーター環 $A$ が正規とは、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $A_{\mathfrak{p}}$ が正規整域であることをいう（ネーター環では正規整域の有限直積と同値）。整域については第4章の定義と一致する（系 4.10）。

定義 8.18 $k \geq 0$ とする。

• $(R_k)$：$\operatorname{ht}\mathfrak{p} \leq k$ なるすべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $A_{\mathfrak{p}}$ が正則。
• $(S_k)$：すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $\operatorname{depth} A_{\mathfrak{p}} \geq \min(k, \operatorname{ht}\mathfrak{p})$。

$(R_k)$ は「特異点の集合の余次元が $k$ より大きい」、$(S_k)$ は「深さが余次元 $k$ まで最大」という条件である。$A$ が CM $\iff$ すべての $k$ で $(S_k)$。

定理 8.19（セールの判定法, Serre's criterion：主張のみ）ネーター環 $A$ について (1) $A$ が被約 $\iff$ $(R_0)$ かつ $(S_1)$。 (2) $A$ が正規 $\iff$ $(R_1)$ かつ $(S_2)$。

証明は [Eisenbud] 第11章や [Bruns–Herzog] 第2章を参照。(1) は「埋没点がなく、生成点で被約」、(2) は「余次元 1 で滑らか、かつ余次元 2 以上の部分で関数が延長できる（ハルトークス型の性質）」と読める。1 次元では $(S_2)$ は $(S_1)$ と同じで、正規 $\iff$ $(R_1)$ $\iff$ 正則（第7章）。

例 8.20 (1) 尖点 $K[x, y]/(y^2 - x^3)$：CM なので $(S_2)$ はみたすが、原点（高さ 1）で正則でないので $(R_1)$ が不成立で正規でない（例 4.8 (4) と一致）。 (2) 錐 $A = K[x, y, z]/(xy - z^2)$（標数 $\neq 2$）：超曲面なので CM、特異点は頂点（高さ 2）だけなので $(R_1)$ も成り立ち、正規である。2 次元正規だが正則でない例であり、1 次元の場合（第7章）と異なり、2 次元以上では正規化しても特異点は残りうる。 (3) 一般に超曲面 $K[x_1, \dots, x_n]/(f)$ は CM なので、正規 $\iff$ 特異点の集合が余次元 $2$ 以上。ホイットニーの傘 $z^2 = x^2y$ は直線 $x = z = 0$ に沿って特異なので正規でない（問題 8.6）。 (4) 2 枚の平面の環は $(R_1)$ をみたす（原点以外は一方の平面上の滑らかな点）が、原点で $(S_2)$ が成り立たない（深さ $1 < 2$）ので正規でない。

8.8 グレードとゴレンシュタイン環

ネーター環のイデアル $I$ について $\operatorname{grade} I := \operatorname{depth}_I A$ を $I$ のグレードという。つねに $\operatorname{grade} I \leq \operatorname{ht} I$ で、$A$ が CM であることはすべての $I$ で等号が成り立つことと同値である（主張のみ）。グレードはイデアルが「正則列でどれだけ近似できるか」を測る。

CM 局所環 $A$ で自分自身の入射次元が有限なものをゴレンシュタイン環 (Gorenstein ring) という。アルティン局所環 $(A, \mathfrak{m}, k)$ では、これはソークル $(0 : \mathfrak{m})$ が $k$ 上 1 次元であることと同値である（主張のみ）。一般に

が成り立ち、どの逆も成り立たない。ゴレンシュタイン環は、双対性（セール双対性・グロタンディーク双対性、代数幾何学 第7章）が最も簡単な形をとる環であり、標準加群が環自身と同型になる。たとえば $K[x, y]/(x^2, y^2)$ はゴレンシュタイン（完全交叉）だが、$K[x, y]/(x^2, xy, y^2)$ は CM（アルティン）だがゴレンシュタインでない（問題 8.5）。

まとめ

• 正則列は零因子にならないように切っていく列。ネーター局所環上の有限生成加群では並べ替えてよい。
• 深さ $\operatorname{depth}_I M$ は極大な正則列の長さで、$\operatorname{Ext}^i(A/I, M)$ が初めて $0$ でなくなる $i$ に等しい。
• $\operatorname{depth} M \leq \dim A/\mathfrak{p}$ $(\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M)$、特に $\operatorname{depth} \leq \dim$。等号が成り立つのが CM 環で、埋没点がなく次元がそろい、パラメータ系が正則列になる。
• 正則局所環・アルティン環・1 次元被約局所環・完全交叉・2 次元正規局所環は CM。埋没点をもつ環や、1 点でだけ交わる 2 枚の平面は CM でない。
• アウスランダー–ブックスバウム：$\operatorname{pd} M + \operatorname{depth} M = \operatorname{depth} A$。セール：正則 $\iff$ 大域次元有限。
• セールの判定法：正規 $\iff (R_1) + (S_2)$、被約 $\iff (R_0) + (S_1)$。2 次元以上では正規でも特異点がありうる。

演習問題