ネーター環・アルティン環と準素分解

この章の目標

• 昇鎖条件の同値な言い換えを証明し、ヒルベルトの基底定理によりネーター環の例を量産できる
• アルティン環が次元 0 のネーター環にほかならないことを証明し、その構造を理解する
• 加群の長さを計算し、交点の重複度として解釈できる
• ネーター環で準素分解の存在と 2 つの一意性定理を証明し、随伴素イデアルと零因子の関係を使える

前提：第1章、第2章

$\mathbb{Z}$ の元が素数べきの積に分解されるように、ネーター環のイデアルは準素イデアルの共通部分に分解される。幾何的には、図形 $V(I)$ を既約成分に分けることにあたるが、それだけでは終わらない。第1章の例 1.6 で見た $(x^2, xy)$ のように、イデアルは図形の上に「埋め込まれた点」をもちうる。準素分解は、既約成分と埋め込まれた部分を合わせて記述する道具である。その前提となるのが、イデアルの昇鎖が必ず止まるというネーター性である。

3.1 ネーター加群

定義 3.1 $A$ 加群 $M$ の部分加群の任意の昇鎖 $M_1 \subset M_2 \subset \cdots$ がある番号から先で一定になるとき（昇鎖条件, ACC）、$M$ をネーター加群 (Noetherian module) という。$A$ 自身がネーター $A$ 加群のとき、$A$ をネーター環という。降鎖条件（DCC）をみたすものをアルティン加群・アルティン環という。

命題 3.2 次は同値である。(a) $M$ はネーター加群 (b) 部分加群からなる空でない集合は必ず極大元をもつ (c) $M$ の部分加群はすべて有限生成。

証明. (a)⇒(b)：極大元がなければ、選択公理により真の昇鎖が無限に続く。(b)⇒(c)：部分加群 $N$ の有限生成部分加群全体の極大元 $N_0$ をとると、任意の $x \in N$ について $N_0 + Ax$ も有限生成なので $N_0 + Ax = N_0$、よって $N = N_0$。(c)⇒(a)：昇鎖の和集合 $\bigcup M_i$ は部分加群で有限生成だから、生成元はすべてある $M_n$ に含まれ、$M_n = M_{n+1} = \cdots$。$\square$

命題 3.3 $0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ を完全列とすると、$M$ がネーター $\iff$ $M'$ と $M''$ がネーター。アルティンについても同様である。

証明. ($\Rightarrow$) $M'$ の昇鎖は $f$ で $M$ の昇鎖に、$M''$ の昇鎖は $g^{-1}$ で $M$ の昇鎖に写る。($\Leftarrow$) $M$ の昇鎖 $L_i$ に対し $f^{-1}(L_i)$ と $g(L_i)$ はある番号から一定になる。$L_i \subset L_{i+1}$ で $f^{-1}(L_i) = f^{-1}(L_{i+1})$, $g(L_i) = g(L_{i+1})$ なら $L_i = L_{i+1}$ である（$x \in L_{i+1}$ に対し $g(x) = g(y)$ となる $y \in L_i$ をとると $x - y \in f(M') \cap L_{i+1} = f(f^{-1}(L_{i+1})) \subset L_i$）。降鎖も同じ。$\square$

系 3.4 $A$ がネーター環なら、有限生成 $A$ 加群はネーター加群であり、特に有限表示である。

証明. $A^n$ は命題 3.3 と帰納法でネーター、その剰余加群もネーター。有限生成 $M$ に対する全射 $A^n \to M$ の核は有限生成なので $M$ は有限表示。$\square$

例 3.5（ネーターでない環）(1) 無限変数の多項式環 $K[x_1, x_2, \dots]$：$(x_1) \subsetneq (x_1, x_2) \subsetneq \cdots$。 (2) $C([0, 1])$：$I_n = \lbrace f \mid [0, 1/n] \text{ 上で } f = 0 \rbrace$ は真の昇鎖をなす。 (3) 代数的整数全体の環 $\overline{\mathbb{Z}}$：$(2) \subsetneq (2^{1/2}) \subsetneq (2^{1/4}) \subsetneq \cdots$（真であることは $2^{-1/2^{n+1}}$ が代数的整数でないことから、第4章）。 (4) ネーター環の部分環はネーターとは限らない：$K[x, xy, xy^2, \dots] \subset K[x, y]$（問題 3.6）。

3.2 ヒルベルトの基底定理

定理 3.6（ヒルベルトの基底定理, Hilbert's basis theorem）$A$ がネーター環ならば $A[x]$ もネーター環である。

証明. $I \subset A[x]$ をイデアルとし、$L_n$ を「$I$ に属する次数 $n$ の多項式の最高次係数と $0$」の集合とする。$L_n$ は $A$ のイデアルで、$x$ を掛けることにより $L_0 \subset L_1 \subset \cdots$。$A$ はネーターなのでこれは $L_N$ で止まり、各 $L_n$ $(n \leq N)$ は有限生成である。$L_n$ の生成元 $a_{n1}, \dots, a_{nk_n}$ を最高次係数にもつ次数 $n$ の $f_{nj} \in I$ をとり、$J = (f_{nj})_{n \leq N, j} \subset I$ とおく。$f \in I$ が $J$ に属することを次数 $d$ に関する帰納法で示す。$d > N$ なら $f$ の最高次係数は $L_d = L_N$ に属し $\sum c_j a_{Nj}$ と書けるので、$f - \sum c_j x^{d - N} f_{Nj}$ は次数 $< d$ で $I$ に属する。$d \leq N$ なら $f - \sum c_j f_{dj}$ で同様。帰納法の仮定よりそれは $J$ に属し、$f \in J$。よって $I = J$ は有限生成である。$\square$

系 3.7 ネーター環 $A$ について、(1) 有限型 $A$ 代数はネーター環 (2) 剰余環 $A/I$ はネーター環 (3) 局所化 $S^{-1}A$ はネーター環。

証明. (1) 定理 3.6 と帰納法で $A[x_1, \dots, x_n]$ はネーター、その剰余環もネーター（(2)）。(2) $A/I$ のイデアルは $I$ を含む $A$ のイデアルに対応する。(3) $S^{-1}A$ のイデアル $J$ は $J = S^{-1}(\iota^{-1}J)$ をみたす（定理 2.17 の証明）ので、$S^{-1}A$ の昇鎖は $A$ の昇鎖 $\iota^{-1}(J_i)$ から得られる。$\square$

$\mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n]$、$K[x, y]/(y^2 - x^3)$、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$、$\mathbb{Z}_{(p)}$、$K[x, y]_{(x, y)}$ はすべてネーター環である。幾何的には、任意の図形 $V(I)$ は有限個の方程式で定義される。

命題 3.8 $A$ をネーター環とすると、$\operatorname{Spec} A$ の閉集合は有限個の既約閉集合の和集合に書け、互いに包含関係のない書き方は順序を除き一意的である。特に $A$ の極小素イデアルは有限個である。

証明. 閉集合 $V(I)$ の降鎖は根基イデアル $I(V)$ の昇鎖に対応する（命題 2.23）ので止まる。有限和に書けない閉集合の全体が空でなければ極小元 $Y$ がある。$Y$ は既約でないので $Y = Y_1 \cup Y_2$（真の閉部分集合）と書け、極小性から $Y_1, Y_2$ は有限和に書けるので $Y$ も書けて矛盾。一意性：$Y_1 \cup \cdots \cup Y_r = Z_1 \cup \cdots \cup Z_s$ なら、$Y_1 = \bigcup_j (Y_1 \cap Z_j)$ と既約性より $Y_1 \subset Z_j$、同様に $Z_j \subset Y_k$ となり、包含関係がないことから $Y_1 = Z_j$。後半は、$\operatorname{Spec} A$ の既約成分 $V(\mathfrak{p})$ が極小素イデアル $\mathfrak{p}$ に対応することによる（定理 2.25）。$\square$

例：$V(xy) \subset \operatorname{Spec} K[x, y]$ の既約成分は 2 本の軸 $V(x), V(y)$。$V(xy, xz) \subset \operatorname{Spec} K[x, y, z]$ は $(xy, xz) = (x) \cap (y, z)$ より平面 $V(x)$ と直線 $V(y, z)$ の和で、次元の異なる成分をもつ。

3.3 アルティン環

補題 3.9 $A$ をアルティン環とする。(1) 素イデアルはすべて極大イデアル。(2) 極大イデアルは有限個。(3) $\operatorname{nil}(A)$ は冪零イデアル（$\operatorname{nil}(A)^k = 0$ となる $k$ がある）。

証明. (1) $B = A/\mathfrak{p}$ はアルティン整域。$0 \neq x \in B$ について $(x) \supset (x^2) \supset \cdots$ は止まり、$x^n = x^{n+1}y$ から $1 = xy$。よって $B$ は体。(2) 有限個の極大イデアルの共通部分全体の極小元 $\mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_n$ をとる。任意の極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $\mathfrak{m} \cap \mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_n = \mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_n$ なので $\mathfrak{m} \supset \mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_n$、よって $\mathfrak{m} \supset \mathfrak{m}_i$、$\mathfrak{m} = \mathfrak{m}_i$。(3) $\mathfrak{N} = \operatorname{nil}(A)$ の降鎖 $\mathfrak{N} \supset \mathfrak{N}^2 \supset \cdots$ は $\mathfrak{a} = \mathfrak{N}^k = \mathfrak{N}^{k+1} = \cdots$ で止まる。$\mathfrak{a} \neq 0$ と仮定し、$\mathfrak{b}\mathfrak{a} \neq 0$ となるイデアル $\mathfrak{b}$ 全体（$\mathfrak{a}^2 = \mathfrak{a}$ より $\mathfrak{a}$ を含む）の極小元 $\mathfrak{c}$ をとる。$x\mathfrak{a} \neq 0$ となる $x \in \mathfrak{c}$ があり、極小性から $\mathfrak{c} = (x)$。$(x\mathfrak{a})\mathfrak{a} = x\mathfrak{a} \neq 0$ で $x\mathfrak{a} \subset (x)$ だから $x\mathfrak{a} = (x)$ となり、$x = xy$ $(y \in \mathfrak{a})$。$y$ は冪零なので $x = xy = xy^2 = \cdots = 0$ となり矛盾。$\square$

補題 3.10 極大イデアル（重複を許す）の積が $\mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_n = 0$ ならば、$A$ がネーター $\iff$ $A$ がアルティン。

証明. 列 $A \supset \mathfrak{m}_1 \supset \mathfrak{m}_1\mathfrak{m}_2 \supset \cdots \supset \mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_n = 0$ の各商は $A/\mathfrak{m}_i$ 上のベクトル空間であり、ベクトル空間では ACC $\iff$ 有限次元 $\iff$ DCC。命題 3.3 を繰り返し使う。$\square$

定理 3.11 $A$ がアルティン環 $\iff$ $A$ はネーター環で、すべての素イデアルが極大（クルル次元 $0$、第5章）。

証明. ($\Rightarrow$) 補題 3.9 の記号で、(1) より $\operatorname{rad}(A) = \operatorname{nil}(A)$。$(\mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_n)^k \subset \operatorname{nil}(A)^k = 0$ なので補題 3.10 よりネーター。($\Leftarrow$) 命題 3.8 より極小素イデアルは有限個で、それらは極大なので素イデアル全体 $\mathfrak{m}_1, \dots, \mathfrak{m}_n$ である。$\operatorname{nil}(A) = \bigcap \mathfrak{m}_i$ は有限生成なので冪零（生成元 $x_i$ が $x_i^{e_i} = 0$ なら $\operatorname{nil}(A)^{\sum (e_i - 1) + 1} = 0$）。$(\mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_n)^k = 0$ となり補題 3.10 を使う。$\square$

定理 3.12（アルティン環の構造定理）アルティン環 $A$ は有限個のアルティン局所環の直積に同型であり、その因子は $A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}_i$ での局所化 $A_{\mathfrak{m}_i}$ として一意的に定まる。

証明の概略. 上の証明の $k$ について $\prod_i \mathfrak{m}_i^k = 0$ で、$\mathfrak{m}_i^k$ たちはどの 2 つも互いに素（和の根基が $\mathfrak{m}_i + \mathfrak{m}_j = A$ を含む）。中国剰余定理（代数学 第5章 定理 5.23）より $A \cong \prod_i A/\mathfrak{m}_i^k$ で、$A/\mathfrak{m}_i^k$ の素イデアルは $\mathfrak{m}_i$ だけだから局所環である。一意性は、直積 $\prod B_j$（$B_j$ 局所）の各極大イデアルでの局所化が $B_j$ に一致すること（問題 2.4）から従う。$\square$

幾何的には、アルティン環の $\operatorname{Spec}$ は有限個の点からなる離散空間で、各点に冪零元による「太さ」がついている。

例 3.13 $\mathbb{Z}/12 \cong \mathbb{Z}/4 \times \mathbb{Z}/3$、$K[x]/(x^2(x - 1)) \cong K[x]/(x^2) \times K$。$K[x, y]/(x^2, xy, y^2)$ は局所アルティン環。$\mathbb{Z}$ はネーターだがアルティンでない（$(2) \supsetneq (4) \supsetneq \cdots$、次元 $1$）。加群では、$\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$ はアルティンだがネーターでない $\mathbb{Z}$ 加群である（問題 3.5）。

3.4 加群の長さ

定義 3.14 部分加群の列 $M = M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq \cdots \supsetneq M_n = 0$ で各 $M_{i-1}/M_i$ が単純加群（$0$ でなく、$0$ と自身以外の部分加群をもたない）であるものを組成列 (composition series) という。組成列をもつとき、その長さ $n$ を $M$ の長さ (length) といい $\ell_A(M)$ と書く。

単純 $A$ 加群は $A/\mathfrak{m}$（$\mathfrak{m}$ 極大）に同型である。

定理 3.15 $M$ が長さ $n$ の組成列をもてば、$M$ の部分加群の真の降鎖の長さは $n$ 以下で、組成列はすべて長さ $n$ である。$M$ が組成列をもつ $\iff$ $M$ はネーターかつアルティン。完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ に対し $\ell(M) = \ell(M') + \ell(M'')$。

証明の概略. 組成列の最小の長さを $\ell(M)$ とし、真の部分加群 $N \subsetneq M$ について $\ell(N) < \ell(M)$ を示せば前半が従う。最短の組成列 $(M_i)$ と $N_i = N \cap M_i$ をとると、$N_{i-1}/N_i \hookrightarrow M_{i-1}/M_i$ は $0$ か同型なので、重複を除いて $N$ の組成列が得られ、長さが $n$ に等しければ下から順に $N_i = M_i$ となって $N = M$ となる。組成列をもてば鎖の長さが有界なので ACC と DCC をみたす。逆に ACC から極大な真部分加群を次々ととり、DCC によりその列が $0$ で止まる。加法性は $M'$ と $M''$ の組成列をつなげばよい（詳しくは [Atiyah–Macdonald] 第6章）。$\square$

例 3.16 (1) 体上のベクトル空間の長さは次元。(2) $\ell_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/12) = 3$（$\mathbb{Z}/12 \supset 2\mathbb{Z}/12 \supset 4\mathbb{Z}/12 \supset 0$）。一般に $\ell(\mathbb{Z}/n)$ は $n$ の素因数の重複込みの個数。(3) $\ell(K[x]/(x^n)) = n$、$\ell(K[x, y]/(x, y)^n) = n(n+1)/2$（次数 $< n$ の単項式の個数）。

長さは交点の重複度を与える。放物線 $y = x^2$ と接線 $y = 0$ の原点での交わりは $K[x, y]/(y - x^2, y) \cong K[x]/(x^2)$ で長さ $2$、尖点 $y^2 = x^3$ と直線 $y = 0$ では $K[x, y]/(y^2 - x^3, y) \cong K[x]/(x^3)$ で長さ $3$ である。「接する」ことが冪零元として代数的にとらえられる。

3.5 準素イデアル

素イデアルが素数、準素イデアルが素数べきの一般化である。

定義 3.17（準素イデアル, primary ideal）イデアル $\mathfrak{q} \neq A$ が「$xy \in \mathfrak{q}$ かつ $x \notin \mathfrak{q}$ ならば $y^n \in \mathfrak{q}$ となる $n$ がある」をみたすとき準素という。言い換えると、$A/\mathfrak{q}$ の零因子はすべて冪零である。

命題 3.18 (1) $\mathfrak{q}$ が準素なら $\mathfrak{p} = \sqrt{\mathfrak{q}}$ は $\mathfrak{q}$ を含む最小の素イデアルである。このとき $\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{p}$ 準素という。 (2) $\sqrt{I}$ が極大イデアル $\mathfrak{m}$ ならば $I$ は $\mathfrak{m}$ 準素。特に $\mathfrak{m}^n$ は $\mathfrak{m}$ 準素。 (3) $\mathfrak{p}$ 準素イデアルの有限個の共通部分は $\mathfrak{p}$ 準素。

証明. (1) $xy \in \sqrt{\mathfrak{q}}$, $x \notin \sqrt{\mathfrak{q}}$ なら $x^m y^m \in \mathfrak{q}$ で $x^m \notin \mathfrak{q}$ なので $y^{mn} \in \mathfrak{q}$。最小性は系 1.10。(2) $A/I$ の素イデアルは $\mathfrak{m}/I$ だけなので、$A/I$ の元は単元か冪零（冪零元根基 $= \mathfrak{m}/I$）。零因子は単元でないので冪零。(3) $\sqrt{\bigcap \mathfrak{q}_i} = \bigcap \sqrt{\mathfrak{q}_i} = \mathfrak{p}$。$xy \in \bigcap \mathfrak{q}_i$, $x \notin \bigcap \mathfrak{q}_i$ なら、ある $i$ で $x \notin \mathfrak{q}_i$ なので $y \in \mathfrak{p}$。$\square$

例 3.19 (1) $\mathbb{Z}$ の準素イデアルは $(0)$ と $(p^n)$。 (2) $K[x, y]$ の $(x, y^2)$ は根基が極大 $(x, y)$ なので準素だが、$(x, y)^2 \subsetneq (x, y^2) \subsetneq (x, y)$ より素イデアルのべきではない。幾何的には「原点にある、$y$ 方向に長さ 2 の太った点」である。 (3) 根基が素でも準素とは限らない：$I = (x^2, xy)$ は $\sqrt{I} = (x)$ だが、$xy \in I$, $x \notin I$, $y \notin \sqrt{I}$。 (4) 素イデアルのべきは準素とは限らない：$A = K[x, y, z]/(xy - z^2)$、$\mathfrak{p} = (x, z)$ では $xy = z^2 \in \mathfrak{p}^2$ だが $x \notin \mathfrak{p}^2$, $y \notin \mathfrak{p}$（問題 3.3）。

補題 3.20 $\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{p}$ 準素、$x \in A$ とする。(1) $x \in \mathfrak{q}$ なら $(\mathfrak{q} : x) = A$。(2) $x \notin \mathfrak{q}$ なら $(\mathfrak{q} : x)$ は $\mathfrak{p}$ 準素。(3) $x \notin \mathfrak{p}$ なら $(\mathfrak{q} : x) = \mathfrak{q}$。

証明. (1) は明らか。(2) $y \in (\mathfrak{q} : x)$ なら $xy \in \mathfrak{q}$, $x \notin \mathfrak{q}$ より $y \in \mathfrak{p}$。よって $\mathfrak{q} \subset (\mathfrak{q} : x) \subset \mathfrak{p}$ で根基は $\mathfrak{p}$。$yz \in (\mathfrak{q} : x)$, $y \notin \mathfrak{p}$ なら $y(xz) \in \mathfrak{q}$ で $y$ のべきは $\mathfrak{q}$ に入らないので $xz \in \mathfrak{q}$、すなわち $z \in (\mathfrak{q} : x)$。(3) $xy \in \mathfrak{q}$ で $x$ のべきは $\mathfrak{q}$ に入らないので $y \in \mathfrak{q}$。$\square$

3.6 準素分解

定義 3.21 $I = \mathfrak{q}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{q}_n$（$\mathfrak{q}_i$ 準素）を $I$ の準素分解 (primary decomposition) という。$\sqrt{\mathfrak{q}_i}$ が相異なり、どの $\mathfrak{q}_i$ も残りの共通部分を含まないとき最短であるという。

命題 3.18 (3) により、同じ根基をもつ成分をまとめ、余分な成分を除けば、準素分解は最短にできる。

定理 3.22（ラスカー–ネーター, Lasker–Noether）ネーター環のイデアルは準素分解をもつ。

証明. $I$ が $I = J \cap J'$（$J, J' \supsetneq I$）と書けないとき既約とよぶ。 (i) 任意のイデアルは有限個の既約イデアルの共通部分：そうでないイデアル全体に極大元 $I$ があれば、$I$ は既約でないので $I = J \cap J'$ $(J, J' \supsetneq I)$ で、$J, J'$ は極大性より有限個の既約イデアルの共通部分となり矛盾。 (ii) 既約イデアルは準素：$A/I$ に移って $(0)$ が既約として示す。$xy = 0$, $y \neq 0$ とする。$\operatorname{Ann}(x) \subset \operatorname{Ann}(x^2) \subset \cdots$ は $\operatorname{Ann}(x^n) = \operatorname{Ann}(x^{n+1})$ で止まる。$a \in (x^n) \cap (y)$ を $a = bx^n = cy$ と書くと、$ax = cxy = 0$ より $bx^{n+1} = 0$、$b \in \operatorname{Ann}(x^{n+1}) = \operatorname{Ann}(x^n)$ で $a = 0$。よって $(x^n) \cap (y) = 0$ で、$(0)$ の既約性と $(y) \neq 0$ から $x^n = 0$。$\square$

定理 3.23（第一一意性定理）$I = \bigcap_{i=1}^n \mathfrak{q}_i$ を最短準素分解、$\mathfrak{p}_i = \sqrt{\mathfrak{q}_i}$ とする。$\lbrace \mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n \rbrace$ は、$x \in A$ を動かしたときに $\sqrt{(I : x)}$ として現れる素イデアル全体に一致する。特に分解によらない。

証明. $(I : x) = \bigcap_i (\mathfrak{q}_i : x)$ なので、補題 3.20 より $\sqrt{(I : x)} = \bigcap_{x \notin \mathfrak{q}_i} \mathfrak{p}_i$。これが素イデアル $\mathfrak{p}$ なら、$\mathfrak{p} \supset \prod_{x \notin \mathfrak{q}_i} \mathfrak{p}_i$ よりある $\mathfrak{p}_j \subset \mathfrak{p}$ で、逆の包含もあるので $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_j$。逆に最短性から $x_i \in \bigcap_{j \neq i} \mathfrak{q}_j \setminus \mathfrak{q}_i$ がとれ、$\sqrt{(I : x_i)} = \mathfrak{p}_i$。$\square$

$\mathfrak{p}_i$ のうち包含に関して極小なものを孤立素イデアル (isolated prime)、そうでないものを埋没素イデアル (embedded prime) という。$I$ を含む素イデアルはある $\mathfrak{q}_i$、したがって $\mathfrak{p}_i$ を含むので、孤立素イデアルは $I$ を含む極小素イデアル、すなわち $V(I)$ の既約成分に対応する。

定理 3.24（第二一意性定理）$\mathfrak{p}_i$ が孤立素イデアルならば、成分 $\mathfrak{q}_i$ は $I$ だけで決まる：$\mathfrak{q}_i = \lbrace x \in A \mid sx \in I \ (\exists s \notin \mathfrak{p}_i) \rbrace$。

証明. $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_i$ で局所化する。系 2.8 より $IA_{\mathfrak{p}} = \bigcap_j \mathfrak{q}_j A_{\mathfrak{p}}$。$j \neq i$ なら極小性より $\mathfrak{p}_j \not\subset \mathfrak{p}$、よって $\mathfrak{q}_j \not\subset \mathfrak{p}$ で $\mathfrak{q}_jA_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$。ゆえに $IA_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{q}_iA_{\mathfrak{p}}$ で、両辺を $A$ に引き戻すと右辺の引き戻しは補題 3.20 (3) より $\mathfrak{q}_i$、左辺は主張の集合である。$\square$

例 3.25（埋没成分は一意でない）$K[x, y]$ で

実際 $xf \in (x, y)^2 \iff f \in (x, y)$、$xf \in (x^2, y) \iff f \in (x, y)$ なので、どちらの右辺も $x(x, y)$ に等しい。随伴素イデアルは $(x)$（孤立：$y$ 軸）と $(x, y)$（埋没：原点）で、孤立成分 $(x)$ は一意だが、原点の成分は $(x, y)^2$ とも $(x^2, y)$ とも選べる。埋没素イデアル自体（原点）は一意に決まる。

3.7 随伴素イデアルと零因子

定義 3.26（随伴素イデアル, associated prime）$A$ 加群 $M$ について、ある $x \in M$ により $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(x)$ と書ける素イデアル $\mathfrak{p}$ を $M$ の随伴素イデアルといい、その全体を $\operatorname{Ass}_A M$ と書く。$\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M$ は単射 $A/\mathfrak{p} \hookrightarrow M$ の存在と同値である。

定理 3.27 $A$ をネーター環、$M$ を $A$ 加群とする。 (1) $\lbrace \operatorname{Ann}(x) \mid 0 \neq x \in M \rbrace$ の極大元は素イデアルで $\operatorname{Ass} M$ に属する。特に $M \neq 0$ なら $\operatorname{Ass} M \neq \emptyset$。 (2) $M$ の零因子（$ax = 0$ となる $0 \neq x \in M$ が存在する $a$）全体は $\bigcup_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass} M} \mathfrak{p}$ に等しい。 (3) $I = \bigcap \mathfrak{q}_i$ が最短準素分解なら $\operatorname{Ass}(A/I) = \lbrace \sqrt{\mathfrak{q}_i} \rbrace$。 (4) $M$ が有限生成なら $\operatorname{Ass} M$ は有限集合である。

証明. (1) $\operatorname{Ann}(y)$ が極大で $bc \in \operatorname{Ann}(y)$, $c \notin \operatorname{Ann}(y)$ とすると、$cy \neq 0$ で $\operatorname{Ann}(cy) \supset \operatorname{Ann}(y)$ だから等号が成り立ち、$b \in \operatorname{Ann}(cy) = \operatorname{Ann}(y)$。$y \neq 0$ より $\operatorname{Ann}(y) \neq A$。 (2) $a \in \operatorname{Ann}(x)$ $(x \neq 0)$ なら、$\operatorname{Ann}(x)$ を含む $\operatorname{Ann}(y)$ $(y \neq 0)$ の極大元（ネーター性より存在）が (1) より随伴素イデアルで $a$ を含む。逆は明らか。 (3) $\bar{x} \in A/I$ について $\operatorname{Ann}(\bar{x}) = (I : x)$ なので、これが素なら定理 3.23 より $\mathfrak{p}_i$ のどれか。逆に $x_i \in \bigcap_{j \neq i} \mathfrak{q}_j \setminus \mathfrak{q}_i$ をとると $(I : x_i) = (\mathfrak{q}_i : x_i)$ は $\mathfrak{p}_i$ 準素（補題 3.20）。$\mathfrak{p}_i$ は有限生成なので $\mathfrak{p}_i^N x_i \subset \mathfrak{q}_i$ となる最小の $N \geq 1$ があり、$y \in \mathfrak{p}_i^{N-1}x_i \setminus \mathfrak{q}_i$ をとると $y \in \bigcap_{j \neq i}\mathfrak{q}_j$、$\mathfrak{p}_i y \subset \mathfrak{q}_i$ なので $\mathfrak{p}_i \subset (\mathfrak{q}_i : y) \subset \mathfrak{p}_i$、すなわち $(I : y) = \mathfrak{p}_i$。 (4) 完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ について $\operatorname{Ass} M \subset \operatorname{Ass} M' \cup \operatorname{Ass} M''$ である（$\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(x)$ で $Ax \cap M' \ni ax \neq 0$ なら $\operatorname{Ann}(ax) = (\mathfrak{p} : a) = \mathfrak{p}$、$Ax \cap M' = 0$ なら $x$ の $M''$ での像の零化イデアルが $\mathfrak{p}$）。(1) を繰り返し使うと、ネーター性により $0 = M_0 \subset M_1 \subset \cdots \subset M_n = M$、$M_i/M_{i-1} \cong A/\mathfrak{p}_i$ となる列がとれ、$\operatorname{Ass}(A/\mathfrak{p}) = \lbrace \mathfrak{p} \rbrace$ から $\operatorname{Ass} M \subset \lbrace \mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n \rbrace$。$\square$

$\operatorname{Ass}(A/I)$ の極小元は $I$ の極小素イデアル（既約成分）、それ以外が埋没素イデアルである。

幾何的意味. $\operatorname{Ass}(A/I)$ は「$V(I)$ の既約成分」と「冪零な構造が埋め込まれている部分多様体」をあわせたものである。定理 3.27 (2) は「$f$ が $A/I$ の零因子 $\iff$ $f$ がある随伴成分（埋没成分を含む）上で恒等的に $0$」と読める。例 3.25 の $A = K[x, y]/(x^2, xy)$ では $\operatorname{Ass} A = \lbrace (x), (x, y) \rbrace$ である。$y$ は $y$ 軸上で恒等的に $0$ ではないが、埋没点（原点）で $0$ になるため零因子である（$y \cdot \bar{x} = 0$）。一方 $y + 1$ はどちらの素イデアルにも属さず零因子でない。

まとめ

• ネーター性は「昇鎖条件」「極大元の存在」「部分加群の有限生成性」と同値で、完全列・剰余・局所化・有限型代数で保たれる（ヒルベルトの基底定理）。
• ネーター環の $\operatorname{Spec}$ は有限個の既約成分をもち、極小素イデアルは有限個。
• アルティン環 ＝ 次元 $0$ のネーター環。アルティン環はアルティン局所環の有限直積に一意的に分解する。
• 加群の長さは組成列の長さで、完全列について加法的。交点の重複度を与える。
• ネーター環のイデアルは準素分解をもつ（既約イデアル経由）。随伴素イデアルの集合（第一一意性）と孤立成分（第二一意性）は一意だが、埋没成分は一意でない。
• ネーター環上で零因子全体は随伴素イデアルの和集合。幾何的には埋没点も零因子を生む。

演習問題