可換環論

概要

可換環論は、可換環とその上の加群を調べる分野であり、代数幾何学と代数的整数論の共通の土台である。出発点は、代数学で学んだイデアル・素イデアル・一意分解整域の理論だが、この科目ではそれらを空間の言葉で読み直す。環 $A$ に対し素イデアル全体の空間 $\operatorname{Spec} A$ を考えると、

• 素イデアルは点、元は点での値をもつ関数、イデアルは方程式で定まる図形
• 局所化は開集合への制限、あるいは 1 点のまわりへのズーム
• クルル次元は図形の次元、正則局所環は滑らかな点、それ以外は特異点
• 完備化は点のまわりでのべき級数展開（解析的な局所構造）

という辞書が成り立つ。$\mathbb{Z}$ も $\mathbb{C}[x, y]$ も、尖点をもつ曲線の座標環 $K[x, y]/(y^2 - x^3)$ も、一意分解が壊れる $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ も、この同じ言葉で扱える。

科目の前半（第1〜4章）では、テンソル積・局所化・ネーター環・準素分解・整拡大といった基本的な道具を整え、ヒルベルトの零点定理に至る。後半（第5〜8章）では、次元論・完備化・デデキント環・コーエン–マコーレー環を扱い、「特異点とは何か」「素因数分解はなぜイデアルで回復するか」という問いに可換環論の答えを与える。

学び方の基本方針：すべての定義と定理を、(1) 具体的な環（$\mathbb{Z}$、$K[x, y]$、$K[x, y]/(y^2 - x^3)$、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ など）で計算して確かめ、(2) $\operatorname{Spec}$ 上の絵として解釈し、(3) 仮定（ネーター性・局所性・有限生成性）を外したときの反例を確認する、という 3 つの面から理解すること。環はすべて可換で単位元をもつとする。

前提知識

• 代数学 第5章 環とイデアル：イデアル・剰余環・素イデアル・極大イデアル・中国剰余定理・分数体
• 代数学 第6章 環における因数分解：一意分解整域・ガウスの補題（第2章・第4章・第7章で使う）
• 代数学 第7章 加群と単項イデアル整域上の構造定理：加群・完全列・自由加群
• 代数学 第8章 体の拡大：代数拡大・最小多項式・超越次数の基本（第4章・第5章）
• 線形代数 第4章 行列式：余因子行列（第1章の行列式トリック）
• 集合と位相 第2章・第5章：位相空間・コンパクト性（第2章のザリスキー位相）
• 圏論とホモロジー代数 第1〜5章（あれば望ましい）：普遍性・射影極限・随伴・完全関手・$\operatorname{Ext}$ と $\operatorname{Tor}$（第1章・第6章・第8章）

到達目標

• [ ] イデアルの演算と $\operatorname{Spec} A$ 上の閉集合の演算を対応させ、冪零元根基・ジャコブソン根基を計算できる
• [ ] 行列式トリックと中山の補題を証明し、局所環上の加群の極小生成系を扱える
• [ ] テンソル積の普遍性と右完全性を証明し、係数拡大によってファイバー（例：$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の素数 $p$ 上の点）を計算できる
• [ ] 局所化の構成・完全性・素イデアルの対応を証明し、局所的性質を使った議論ができる
• [ ] $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$、$\operatorname{Spec} K[x]$、$\operatorname{Spec} \mathbb{C}[x, y]$ の点を分類し、ザリスキー位相の生成点・既約成分を説明できる
• [ ] ヒルベルトの基底定理と、アルティン環 ＝ 次元 0 のネーター環であることを証明できる
• [ ] ネーター環のイデアルの準素分解を求め、随伴素イデアル・埋没素イデアルを幾何的に解釈できる
• [ ] 整拡大の上昇定理・ネーターの正規化定理・ヒルベルトの零点定理を証明できる
• [ ] クルルの単項イデアル定理を証明し、パラメータ系・超越次数・ヒルベルト–サミュエル関数で次元を計算できる
• [ ] ヤコビアン判定法で代数多様体の特異点を求め、正則局所環を判定できる
• [ ] アルティン–リースの補題・クルルの交叉定理・ヘンゼルの補題を証明し、$p$ 進数やべき級数の計算に使える
• [ ] 離散付値環とデデキント整域の同値な特徴づけを証明し、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ のイデアルを素イデアルに分解できる
• [ ] 深さを $\operatorname{Ext}$ で特徴づけ、コーエン–マコーレー環の例・非例を挙げ、セールの判定法で正規性を判定できる

章立て

1. 第1章 環と加群の基礎 イデアルの演算と $V(I)$、素イデアル回避、冪零元根基とジャコブソン根基、局所環、行列式トリックと中山の補題、有限表示加群、テンソル積（構成・普遍性・右完全性）、係数拡大とファイバー、平坦加群。
2. 第2章 局所化と素スペクトル 積閉集合と分数環、分数加群と完全性、局所的性質（零・単射・全射・平坦性）、素イデアルの対応、台、ザリスキー位相（準コンパクト性・生成点・関手性）、$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$・$\operatorname{Spec} K[x]$・$\operatorname{Spec} \mathbb{C}[x, y]$ の点の分類。
3. 第3章 ネーター環・アルティン環と準素分解 昇鎖条件、ヒルベルトの基底定理、既約成分の有限性、アルティン環の特徴づけと構造定理、加群の長さと交点の重複度、準素イデアル、ラスカー–ネーターの準素分解と一意性定理、随伴素イデアルと零因子。
4. 第4章 整拡大と零点定理 整元と整閉包、正規環と正規化（尖点・結節点）、lying over・going up・比較不能性、going down（概略）、ネーターの正規化定理、ザリスキーの補題、ヒルベルトの零点定理、ジャコブソン環。
5. 第5章 次元論 クルル次元と高さ、クルルの単項イデアル定理と高さ定理、パラメータ系、ヒルベルト–サミュエル関数と次元定理（概略）、次元 ＝ 超越次数、正則局所環、ヤコビアン判定法と特異点。
6. 第6章 完備化 $I$ 進位相と完備化、アルティン–リースの補題、クルルの交叉定理、完備化の完全性と平坦性、ヘンゼルの補題、結節点の解析的分解、コーエンの構造定理（主張）。
7. 第7章 離散付値環とデデキント環 付値環、離散付値環の特徴づけ、デデキント整域と分数イデアル、イデアルの一意素分解、イデアル類群（$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$・アフィン曲線）、有限次拡大での整閉包（概略）。
8. 第8章 深さとコーエン–マコーレー環 正則列、深さと $\operatorname{Ext}$、$\operatorname{depth} \leq \dim$、コーエン–マコーレー環、アンミックスドネス定理、アウスランダー–ブックスバウムの公式とセールの定理（主張・概略）、セールの正規性判定法、ゴレンシュタイン環への入口。

学習時間の目安と進め方

• 1 章あたり 12〜18 時間（本文の精読 7〜10 時間、演習 5〜8 時間）、全体で 110〜140 時間程度を想定している。大学院修士 1 年の通年講義 1 科目分に相当する。
• 章の依存関係はおおよそ次のとおりである。
  • 第1章 → 第2章 → 第3章 → 第4章（基礎：どの後続章にも必要）
  • 第3章・第4章 → 第5章 → 第8章（次元とホモロジー的方法の流れ）
  • 第3章・第5章 → 第6章（第6章のアルティン–リースの補題は第5章の次元定理の概略でも使う）
  • 第4章・第5章・第6章 → 第7章（数論と曲線の流れ）
• 代数的整数論を主目標とする場合は、第1〜4章の後に第7章へ進み、第5章・第6章は必要に応じて参照してよい。代数幾何学を主目標とする場合は、第1〜5章を丁寧に学んだあと 代数幾何学 と並行して第6〜8章を読むとよい。
• 定理を読んだら、(1) 尖点・結節点・錐・$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ などの手持ちの例で確かめる、(2) $\operatorname{Spec}$ の絵を描く、(3) 仮定を 1 つ外した反例を探す、の 3 点を習慣にすること。本文にも反例を多数挙げてある。
• 演習問題は ★ で定義を確認し、★★ で標準的な計算と証明を、★★★ で発展的な内容を扱う。★★★ の多くは本文で「主張のみ」とした事実の一部の証明になっている。

参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra (Addison-Wesley)（邦訳『可換代数入門』新妻弘訳、共立出版） 薄く簡潔な標準的入門書。本科目の第1〜7章の範囲をほぼ網羅し、演習問題が非常に充実している。最初の一冊に最適。
• 松村英之『可換環論』（共立出版）／H. Matsumura, Commutative Ring Theory (Cambridge University Press) 修士レベルの標準的な教科書（英語版は日本語版を改訂したもの）。次元論・正則列・コーエン–マコーレー環・完備化まで、証明が簡潔かつ完全。第5〜8章の主な参考書。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry (Springer) 幾何的な動機づけを重視した大部の教科書。本科目の「Spec の絵で考える」方針に最も近い。ヘンゼルの補題・正規化・セールの判定法・自由分解の話題が詳しい。
• 後藤四郎・渡辺敬一『可換環論』（日本評論社） 日本語で書かれた本格的な教科書。深さ・コーエン–マコーレー環・ゴレンシュタイン環など第8章以降の内容に詳しい。
• 堀田良之『可換環と体』（岩波書店） 体論と可換環論を統一的に扱う。零点定理・整拡大・付値論の理解を深めるのに適する。
• 雪江明彦『代数学3 代数学のひろがり』（日本評論社） 代数学の基礎から可換環論・代数幾何への橋渡しを丁寧に行う。第1〜4章の復習と補足に向く。
• W. Bruns, J. Herzog, Cohen–Macaulay Rings (Cambridge University Press) コーエン–マコーレー環・ゴレンシュタイン環の専門書。第8章で主張のみとした定理（アウスランダー–ブックスバウム、セールの定理、アンミックスドネス定理）の証明はここにある。

次に学ぶもの

• 14-algebraic-geometry 代数幾何学：$\operatorname{Spec} A$ を貼り合わせてスキームを作り、局所化・次元・正則性・平坦性を大域的な幾何に使う。第8章のゴレンシュタイン性は層のコホモロジーの双対性と結びつく。
• 15-algebraic-number-theory 代数的整数論：第7章のデデキント環の理論を代数体の整数環に適用し、素イデアル分解・類群の有限性・$p$ 進体を学ぶ。
• 12-category-homological-algebra 圏論とホモロジー代数：第8章で使った $\operatorname{Ext}$・$\operatorname{Tor}$・射影次元を体系的に扱う。未習なら並行して学ぶとよい。
• 20-problems 第8章 修士レベルの総合演習：大学院レベルの問題で本科目の内容を総復習する。