圏と関手

この章の目標

• 圏・関手・自然変換の定義を述べ、集合・群・加群・位相空間・ベクトル空間の具体例で確かめられる
• モノ射・エピ射が集合論的な単射・全射とずれる例を挙げられる
• 「自然な同型」と「自然でない同型」の違いを、$V \cong V^{\ast\ast}$ と $V \cong V^{\ast}$ で説明できる
• 圏同値の特徴づけ（忠実充満かつ本質的全射）を証明し、行列の圏と有限次元ベクトル空間の圏の同値に応用できる

前提：04-algebra 第2章（群と準同型）、第7章（加群）、03-topology 第2章（連続写像）。例の一部で 09-algebraic-topology 第1章（基本群）と第4章（ホモロジー）を使う。

1.1 動機：対象より射を見る

群を調べるとき、私たちは元の計算だけでなく準同型を多用する。正規部分群は準同型の核として現れ、剰余群 $G/N$ は「$N$ を潰す準同型をすべて受け止める群」として特徴づけられる（04-algebra 第2章 の準同型定理）。加群の直和、位相空間の積、ベクトル空間のテンソル積なども、中身を具体的に構成するより「その対象への（またはその対象からの）写像がどう振る舞うか」で特徴づけるほうが見通しがよい。

代数的位相幾何学ではこの発想がさらに進む。空間 $X$ に群 $\pi_1(X)$ を対応させるだけでなく、連続写像 $f$ に準同型 $f_{\ast}$ を対応させ、それが合成と恒等写像を保つこと（関手性）こそが、ブラウアーの不動点定理のような応用を生んだ。

圏論 (category theory) は、この「対象・射・合成」という共通の骨組みを取り出して研究する。得られるものは三つある。

1. 積・自由対象・核・商などの概念を一度だけ定義すれば、集合・群・加群・位相空間のすべてに適用できる（第2章）。
2. 分野をまたぐ対応（空間 → 群、加群 → 加群、など）そのものを関手として比較・研究できる。
3. 数学者が昔から使ってきた「自然な」という言葉に正確な意味を与えられる（1.5 節）。

1.2 圏の定義と例

定義 1.1（圏, category）圏 $\mathcal{C}$ は次のデータからなる。

1. 対象 (object) の集まり $\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$。
2. 対象の各組 $X, Y$ に対する射 (morphism) の集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$。$f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ を $f\colon X \to Y$ と書く。
3. 合成 (composition) $\operatorname{Hom}(Y, Z) \times \operatorname{Hom}(X, Y) \to \operatorname{Hom}(X, Z)$, $(g, f) \mapsto g \circ f$。
4. 各対象 $X$ の恒等射 (identity) $\mathrm{id}_X \in \operatorname{Hom}(X, X)$。

これらは結合律 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ と単位律 $f \circ \mathrm{id}_X = f = \mathrm{id}_Y \circ f$（$f\colon X \to Y$）を満たすとする。

注意 1.2（集合論的な注意）集合全体は集合にならない（ラッセルの逆理）ので、$\operatorname{Ob}(\mathbf{Set})$ は集合ではなく「クラス」である。本教材では対象の集まりはクラスでもよいとし、各 $\operatorname{Hom}$ は集合であると仮定する（局所的に小さい圏, locally small）。対象全体も集合である圏を小さい圏 (small category) という。グロタンディーク宇宙を用いる流儀もあるが、本教材の範囲ではこの区別に深入りしない。

例 1.3（構造をもつ集合の圏）次の表の圏では、射は構造を保つ写像、合成は写像の合成である。

しかし、射は写像である必要はない。次の例が圏の概念の柔軟さを示す。

例 1.4（ホモトピー圏）対象を位相空間とし、$\operatorname{Hom}(X, Y) = [X, Y]$（連続写像のホモトピー類全体）とする。$f \simeq f'$, $g \simeq g'$ ならば $g \circ f \simeq g' \circ f'$ なので、合成 $[g] \circ [f] = [g \circ f]$ は代表元によらない。これを $\mathbf{hTop}$ と書く。射はもはや写像ではなく写像の同値類である。$\mathbf{hTop}$ における同型はホモトピー同値写像のホモトピー類にほかならない。基点付きの版 $\mathbf{hTop}_{\ast}$ も同様に定まる。

例 1.5（前順序集合）前順序集合 $(P, \leq)$ に対し、$x \leq y$ のとき $\operatorname{Hom}(x, y)$ をただ 1 元の集合、そうでなければ空集合とする。合成は推移律、恒等射は反射律から得られる。たとえば $(\mathbb{Z}, \leq)$、冪集合 $(\mathcal{P}(X), \subset)$、位相空間 $X$ の開集合全体を包含で順序づけた $\mathbf{Open}(X)$ はすべて圏である。$\mathbf{Open}(X)$ は層の理論（14-algebraic-geometry 第3章）の出発点になる。

例 1.6（群を圏とみる）群 $G$ に対し、対象がただ一つ $\star$ で $\operatorname{Hom}(\star, \star) = G$、合成を群の積とする圏 $\mathbf{B}G$ が定まる。逆に対象が一つの圏はモノイドと同じものであり、すべての射が可逆なら群である。すべての射が同型である圏を亜群 (groupoid) という。位相空間 $X$ の基本亜群 $\Pi_1(X)$ は、対象を $X$ の点、$x$ から $y$ への射を端点を固定した道のホモトピー類とする亜群で、$\operatorname{Hom}(x, x) = \pi_1(X, x)$ である。

例 1.7（行列の圏）体 $K$ に対し、対象を $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$、$\operatorname{Hom}(n, m)$ を $m \times n$ 行列全体 $\operatorname{M}_{m, n}(K)$、合成を行列の積 $B \circ A = BA$、恒等射を単位行列 $I_n$ とする圏を $\mathbf{Mat}_K$ と書く。結合律は行列の積の結合律である（$\operatorname{Hom}(0, m)$ は空行列 1 個からなる）。

定義 1.8（部分圏, subcategory）圏 $\mathcal{C}$ の対象と射の一部からなり、合成と恒等射で閉じているものを部分圏という。部分圏 $\mathcal{D}$ がすべての $X, Y \in \mathcal{D}$ で $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ を満たすとき充満部分圏 (full subcategory) という。

$\mathbf{Ab}$ は $\mathbf{Grp}$ の、有限次元ベクトル空間の圏 $\mathbf{FinVect}_K$ は $\mathbf{Vect}_K$ の、ハウスドルフ空間の圏 $\mathbf{Haus}$ は $\mathbf{Top}$ の充満部分圏である。集合と全単射のなす圏は $\mathbf{Set}$ の充満でない部分圏である。

1.3 同型・モノ射・エピ射

定義 1.9 射 $f\colon X \to Y$ について：

1. $g \circ f = \mathrm{id}_X$, $f \circ g = \mathrm{id}_Y$ となる $g\colon Y \to X$ が存在するとき同型 (isomorphism) という（$g$ は一意で $f^{-1}$ と書く）。
2. 任意の $g, h\colon W \to X$ について $f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h$ のときモノ射 (monomorphism) という。
3. 任意の $g, h\colon Y \to Z$ について $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$ のときエピ射 (epimorphism) という。

同型は $\mathbf{Set}$ では全単射、$\mathbf{Grp}$ では全単射準同型、$\mathbf{Top}$ では同相写像（連続な全単射では足りない）、$\mathbf{hTop}$ ではホモトピー同値である。モノ射・エピ射は単射・全射を「写像の言葉だけで」言い換えたものだが、一般には一致しない。

命題 1.10 (1) $\mathbf{Set}$ ではモノ射と単射、エピ射と全射はそれぞれ同値である。(2) $\mathbf{Grp}$ と $R\text{-}\mathbf{Mod}$ ではモノ射と単射は同値である。(3) $R\text{-}\mathbf{Mod}$ ではエピ射と全射は同値である。

証明. 単射ならモノ射であること、全射ならエピ射であることは、どの圏でも（射が写像なら）直ちにわかる：$f(g(w)) = f(h(w))$ から $g(w) = h(w)$、また $y = f(x)$ なら $g(y) = g(f(x)) = h(f(x)) = h(y)$。逆を示す。

(1) $f\colon X \to Y$ がモノ射で $f(x) = f(x')$ とする。1 点集合 $W$ からの定値写像 $g \equiv x$, $h \equiv x'$ は $f \circ g = f \circ h$ を満たすので $g = h$、すなわち $x = x'$。$f$ がエピ射のとき、$g\colon Y \to \lbrace 0, 1 \rbrace$ を $f(X)$ の定義関数、$h \equiv 1$ とすると $g \circ f = h \circ f$ なので $g = h$、すなわち $f(X) = Y$。

(2) 1 点集合の代わりに $\mathbb{Z}$（または $R$）を使う。準同型 $\mathbb{Z} \to G$ は $1$ の行き先で決まり、任意の $x \in G$ に対し $n \mapsto x^n$ が準同型である。$f(x) = f(x')$ なら、$1 \mapsto x$ と $1 \mapsto x'$ で定まる $g, h$ は $f \circ g = f \circ h$ を満たすので $g = h$、よって $x = x'$。加群では $r \mapsto rx$ を使う。

(3) $f\colon M \to N$ がエピ射なら、射影 $g\colon N \to N/f(M)$ と $h = 0$ は $g \circ f = 0 = h \circ f$ を満たすので $g = 0$、すなわち $N = f(M)$。$\square$

$\mathbf{Grp}$ でもエピ射は全射であるが、像 $f(G)$ が正規部分群とは限らないので (3) の議論は使えない（問題 1.3）。

例 1.11（$\mathbf{Ring}$ では全射でないエピ射がある）包含 $\iota\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ はエピ射である。実際、環準同型 $g, h\colon \mathbb{Q} \to R$ が $\mathbb{Z}$ 上で一致すれば、$n \neq 0$ に対し $g(1/n) g(n) = g(1) = 1$ より $g(1/n) = g(n)^{-1} = h(n)^{-1} = h(1/n)$ となり、$g(m/n) = g(m)g(1/n) = h(m/n)$。$\iota$ はモノ射でもあるが同型ではない。

例 1.12（位相空間）恒等写像 $(\mathbb{R}, \text{離散位相}) \to (\mathbb{R}, \text{通常の位相})$ は $\mathbf{Top}$ でモノ射かつエピ射だが同型ではない。また $\mathbf{Haus}$ では包含 $\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ がエピ射である：ハウスドルフ空間への連続写像 $g, h$ について $\lbrace x \mid g(x) = h(x) \rbrace$ は閉集合なので、稠密な $\mathbb{Q}$ 上で一致すれば全体で一致する。

例 1.13（単射でないモノ射）可除アーベル群（任意の $x$ と $n \in \mathbb{N}$ に対し $ny = x$ となる $y$ がある群）のなす $\mathbf{Ab}$ の充満部分圏 $\mathbf{Div}$ で、射影 $\pi\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ はモノ射である。実際、可除群 $D$ からの $g, h\colon D \to \mathbb{Q}$ が $\pi \circ g = \pi \circ h$ を満たせば、$(g - h)(D)$ は $\ker \pi = \mathbb{Z}$ に含まれる可除部分群である。$\mathbb{Z}$ の可除部分群は $0$ しかない（$n \neq 0$ を含めば $n = 2n \cdot y$ となる整数 $y$ が必要になる）ので $g = h$。しかし $\ker \pi = \mathbb{Z} \neq 0$ だから $\pi$ は単射ではない。

1.4 関手

定義 1.14（関手, functor）圏 $\mathcal{C}$ から $\mathcal{D}$ への関手 $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ とは、各対象 $X$ に対象 $F(X)$ を、各射 $f\colon X \to Y$ に射 $F(f)\colon F(X) \to F(Y)$ を対応させ、

$$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f), \qquad F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}$$

を満たすものである。射の向きを逆にし、$F(f)\colon F(Y) \to F(X)$, $F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$ を満たすものを反変関手 (contravariant functor) という。区別するとき前者を共変関手という。

例 1.15（忘却関手, forgetful functor）構造を忘れて下部集合をとる $U\colon \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$, $\mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$ や、スカラー倍を忘れる $R\text{-}\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$、積を忘れる $\mathbf{Ring} \to \mathbf{Ab}$ などは関手である。

例 1.16（自由関手, free functor）集合 $S$ に自由加群 $R^{(S)} = \bigoplus_{s \in S} R e_s$ を対応させ、写像 $\varphi\colon S \to T$ に基底の行き先 $e_s \mapsto e_{\varphi(s)}$ で定まる線形写像を対応させると、関手 $\mathbf{Set} \to R\text{-}\mathbf{Mod}$ が得られる（関手性は基底上で確かめればよい）。同様に集合 $S$ 上の自由群 $F(S)$ は関手 $\mathbf{Set} \to \mathbf{Grp}$ を与える（09-algebraic-topology 第2章）。

例 1.17（基本群とホモロジー）$\pi_1\colon \mathbf{Top}_{\ast} \to \mathbf{Grp}$ は $f$ に $f_{\ast}[\gamma] = [f \circ \gamma]$ を対応させる関手である。ホモトピックな写像は同じ準同型を誘導するので、$\pi_1$ は関手 $\mathbf{hTop}_{\ast} \to \mathbf{Grp}$ を経由する。特異ホモロジー $H_n\colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Ab}$ も関手で、$\mathbf{hTop}$ を経由する。

命題 1.18 関手は同型を同型に写す。

証明. $f$ が同型なら $F(f^{-1}) \circ F(f) = F(f^{-1} \circ f) = F(\mathrm{id}) = \mathrm{id}$、同様に $F(f) \circ F(f^{-1}) = \mathrm{id}$。$\square$

例 1.19（関手性の威力）円板 $D^2$ から境界 $S^1$ へのレトラクション（$r \circ i = \mathrm{id}_{S^1}$ となる $r\colon D^2 \to S^1$、$i$ は包含）は存在しない。実際、存在すれば関手 $\pi_1$ を施して $r_{\ast} \circ i_{\ast} = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$ となるが、$i_{\ast}$ は $\pi_1(D^2) = 0$ を経由するので矛盾する。この議論で使ったのは「関手である」ことだけであり、$\pi_1$ の代わりに $H_1$ を使っても同じ結論が出る。これがブラウアーの不動点定理の核心である。

例 1.20（双対空間：反変関手）$V \mapsto V^{\ast} = \operatorname{Hom}_K(V, K)$、$f\colon V \to W \mapsto f^{\ast}\colon W^{\ast} \to V^{\ast}$, $f^{\ast}(\xi) = \xi \circ f$ は反変関手 $\mathbf{Vect}_K \to \mathbf{Vect}_K$ である。$(g \circ f)^{\ast} = f^{\ast} \circ g^{\ast}$ は、行列でいえば $(BA)^{T} = A^{T} B^{T}$ にあたる。

例 1.21（Hom 関手）局所的に小さい圏 $\mathcal{C}$ の対象 $A$ に対し、$\operatorname{Hom}(A, -)\colon \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$（$f$ に $f \circ -$ を対応）は共変関手、$\operatorname{Hom}(-, A)$（$f$ に $- \circ f$ を対応）は反変関手である。$R$ が可換環なら $R\text{-}\mathbf{Mod}$ の Hom 関手は $R\text{-}\mathbf{Mod}$ に値をとる。双対空間はその特別な場合である。

例 1.22（作用・表現・準同型を関手とみる）関手 $\rho\colon \mathbf{B}G \to \mathbf{Set}$ は、集合 $X = \rho(\star)$ と写像 $\rho(g)\colon X \to X$ で $\rho(gh) = \rho(g)\rho(h)$, $\rho(1) = \mathrm{id}$ を満たすもの、すなわち $G$ の左作用にほかならない。$\mathbf{B}G \to \mathbf{Vect}_K$ は $G$ の線形表現、$\mathbf{B}G \to \mathbf{B}H$ は群準同型、前順序集合の間の関手は単調写像である。こうして関手の概念は作用・表現・準同型・単調写像をすべて含む。

定義 1.23（忠実・充満）関手 $F$ が各 $X, Y$ について写像 $\operatorname{Hom}(X, Y) \to \operatorname{Hom}(F(X), F(Y))$ を単射にするとき忠実 (faithful)、全射にするとき充満 (full)、全単射にするとき忠実充満 (fully faithful) という。

$U\colon \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ は忠実だが充満でない。充満部分圏の包含は忠実充満である。

1.5 自然変換

有限次元ベクトル空間 $V$ について $V \cong V^{\ast}$ と $V \cong V^{\ast\ast}$ はどちらも正しいが、数学者は昔から後者だけを「自然な」同型と呼んできた。前者は基底を選ばないと書けないが、後者は $v \mapsto (\xi \mapsto \xi(v))$ と何も選ばずに書ける。アイレンベルグとマクレーンが圏論を創始した動機は、この区別を正確に述べることであった。

定義 1.24（自然変換, natural transformation）関手 $F, G\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ に対し、自然変換 $\alpha\colon F \Rightarrow G$ とは、射の族 $\alpha_X\colon F(X) \to G(X)$（$X \in \mathcal{C}$）で、任意の $f\colon X \to Y$ について次の図式が可換（$G(f) \circ \alpha_X = \alpha_Y \circ F(f)$）となるものである。

$$\begin{array}{ccc} F(X) & \xrightarrow{\alpha_X} & G(X) \\ {\scriptstyle F(f)}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle G(f)} \\ F(Y) & \xrightarrow{\alpha_Y} & G(Y) \end{array}$$

すべての $\alpha_X$ が同型のとき自然同型 (natural isomorphism) といい、$F \cong G$ と書く。

例 1.25（二重双対）$\mathrm{ev}_V\colon V \to V^{\ast\ast}$, $\mathrm{ev}_V(v)(\xi) = \xi(v)$ は自然変換 $\mathrm{Id} \Rightarrow (-)^{\ast\ast}$ である。実際、$f\colon V \to W$ と $\xi \in W^{\ast}$ に対し

なので $f^{\ast\ast} \circ \mathrm{ev}_V = \mathrm{ev}_W \circ f$。$\mathrm{ev}_V$ は常に単射で、$\dim V < \infty$ なら次元が等しいので同型である。よって $\mathbf{FinVect}_K$ 上で $\mathrm{Id} \cong (-)^{\ast\ast}$ は自然同型である。

例 1.26（$V \cong V^{\ast}$ は自然でない）恒等関手は共変、$(-)^{\ast}$ は反変なので、そもそも自然変換 $\mathrm{Id} \Rightarrow (-)^{\ast}$ は定義されない。そこで比べられるように、射を同型に限った圏 $\mathbf{FinVect}_K^{\cong}$（コア, core）を考え、共変関手 $D(V) = V^{\ast}$, $D(f) = (f^{-1})^{\ast}$ を考える。$K$ に $c^2 \neq 1$ となる $c \neq 0$ があれば（$K = \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ など）、自然同型 $\eta\colon \mathrm{Id} \Rightarrow D$ は存在しない。

実際、$V = K$, $f = c \cdot \mathrm{id}$ に自然性 $\eta_K \circ f = D(f) \circ \eta_K$ を適用し、$\xi := \eta_K(1) \in K^{\ast}$ とおくと、左辺は $1 \mapsto c\xi$、右辺は $1 \mapsto \xi \circ f^{-1} = c^{-1}\xi$ である。よって $(c^2 - 1)\xi = 0$、$\xi = 0$ となり $\eta_K$ は同型でない。残りの体 $\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3$ でも（3 次元空間を使えば）同じ結論が成り立つ（問題 1.4）。基底 $e_i$ から双対基底 $e_i^{\ast}$ への同型を作っても、基底を取り替えると別の同型になってしまうことの正確な表現がこれである。

例 1.27（その他の自然変換）(a) 可換環 $R$ に群 $\operatorname{GL}_n(R)$ と $R^{\times}$ を対応させる関手 $\mathbf{CRing} \to \mathbf{Grp}$ の間で、$\det\colon \operatorname{GL}_n(R) \to R^{\times}$ は自然変換である（環準同型 $\varphi$ について $\varphi(\det A) = \det \varphi(A)$）。(b) 射影 $G \to G^{\mathrm{ab}} = G/[G, G]$ は自然変換 $\mathrm{Id}_{\mathbf{Grp}} \Rightarrow (-)^{\mathrm{ab}}$ である。(c) フレヴィッツ準同型 $\pi_1(X, x_0) \to H_1(X)$ は $\mathbf{Top}_{\ast}$ 上の自然変換である。(d) 関手 $\mathbf{B}G \to \mathbf{Set}$（$G$ 集合）の間の自然変換は、$G$ 同変写像にほかならない。

1.6 関手圏

定義 1.28（関手圏, functor category）$\mathcal{C}$ を小さい圏とする。関手 $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を対象、自然変換を射、$(\beta \circ \alpha)_X = \beta_X \circ \alpha_X$ を合成とする圏を $\operatorname{Fun}(\mathcal{C}, \mathcal{D})$ と書く。

$\beta \circ \alpha$ が自然であることは、二つの可換な正方形を縦に並べればわかる。

命題 1.29 自然変換 $\alpha\colon F \Rightarrow G$ が $\operatorname{Fun}(\mathcal{C}, \mathcal{D})$ の同型であるための必要十分条件は、すべての成分 $\alpha_X$ が同型であることである。

証明. 必要性は明らか。逆に各 $\alpha_X$ が同型なら、$G(f) \circ \alpha_X = \alpha_Y \circ F(f)$ に左から $\alpha_Y^{-1}$、右から $\alpha_X^{-1}$ を掛けて $\alpha_Y^{-1} \circ G(f) = F(f) \circ \alpha_X^{-1}$ を得る。よって $(\alpha_X^{-1})_X$ は自然変換 $G \Rightarrow F$ で、$\alpha$ の逆である。$\square$

例 1.30 $\operatorname{Fun}(\mathbf{B}G, \mathbf{Set})$ は $G$ 集合と同変写像の圏、$\operatorname{Fun}(\mathbf{B}G, \mathbf{Vect}_K)$ は $G$ の表現と絡作用素（同変線形写像）の圏である（16-lie-groups-representations 第1章）。$\operatorname{Fun}(\mathbf{Open}(X)^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set})$（記号 $\mathrm{op}$ は 1.8 節）は $X$ 上の前層の圏である。表現論や層の理論は、関手圏の中で行われる数学だといえる。

定義 1.31（ホイスカリング）$\alpha\colon F \Rightarrow G\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ と関手 $H\colon \mathcal{D} \to \mathcal{E}$, $K\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ に対し、$(H\alpha)_X = H(\alpha_X)$ で自然変換 $H\alpha\colon HF \Rightarrow HG$ を、$(\alpha K)_W = \alpha_{K(W)}$ で $\alpha K\colon FK \Rightarrow GK$ を定める。

これは第3章の随伴の議論で使う。

1.7 圏同値

$\mathbf{Mat}_K$ と $\mathbf{FinVect}_K$ は「同じ線形代数」を表しているが、圏として同型ではない。$\mathbf{FinVect}_K$ には $n$ 次元の空間が（互いに同型なものが）限りなくあるのに、$\mathbf{Mat}_K$ には各次元に対象が一つしかない。関手 $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$, $G\colon \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ で $GF = \mathrm{Id}$, $FG = \mathrm{Id}$ となるもの（圏の同型）を要求するのは厳しすぎるので、等号を自然同型に緩める。

定義 1.32（圏同値, equivalence of categories）関手 $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ に対し、関手 $G\colon \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ と自然同型 $\eta\colon \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \Rightarrow GF$, $\varepsilon\colon FG \Rightarrow \mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$ が存在するとき、$F$ を圏同値といい、$G$ を準逆 (quasi-inverse) という。このとき $\mathcal{C} \simeq \mathcal{D}$ と書く。

定義 1.33 関手 $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ は、$\mathcal{D}$ の任意の対象 $d$ がある $F(c)$ と同型になるとき本質的全射 (essentially surjective) であるという。

補題 1.34 忠実充満な関手 $F$ は同型を反映する：$F(f)$ が同型なら $f$ も同型である。

証明. $f\colon c \to c'$ とし、$F(f)$ の逆を $k$ とする。$F$ は充満なので $k = F(g)$ となる $g\colon c' \to c$ がある。$F(g \circ f) = k \circ F(f) = \mathrm{id} = F(\mathrm{id}_c)$ で $F$ は忠実だから $g \circ f = \mathrm{id}_c$。同様に $f \circ g = \mathrm{id}_{c'}$。$\square$

定理 1.35 関手 $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が圏同値であるための必要十分条件は、$F$ が忠実充満かつ本質的全射であることである。

証明. (⇒) $G, \eta, \varepsilon$ を定義 1.32 のとおりとする。任意の $d$ に対し $\varepsilon_d\colon F(G(d)) \to d$ は同型なので $F$ は本質的全射である。$f, f'\colon c \to c'$ が $F(f) = F(f')$ を満たすとする。$\eta$ の自然性 $GF(f) \circ \eta_c = \eta_{c'} \circ f$ より $f = \eta_{c'}^{-1} \circ GF(f) \circ \eta_c$ で、右辺は $F(f)$ だけで決まるから $f = f'$。よって $F$ は忠実で、同じ議論を $\varepsilon$ に使えば $G$ も忠実である。充満性：$h\colon F(c) \to F(c')$ に対し $f := \eta_{c'}^{-1} \circ G(h) \circ \eta_c$ とおく。自然性から $GF(f) = \eta_{c'} \circ f \circ \eta_c^{-1} = G(h)$ で、$G$ は忠実だから $F(f) = h$。

(⇐) 選択公理により、各 $d \in \mathcal{D}$ に対し対象 $G(d) \in \mathcal{C}$ と同型 $\varepsilon_d\colon F(G(d)) \to d$ を選ぶ。射 $h\colon d \to d'$ に対し、$\varepsilon_{d'}^{-1} \circ h \circ \varepsilon_d\colon FG(d) \to FG(d')$ は $F$ が忠実充満だからただ一つの射の像である。すなわち

を満たす $G(h)\colon G(d) \to G(d')$ がただ一つ存在する。$F(G(k) \circ G(h)) = \varepsilon_{d''}^{-1} \circ k \circ h \circ \varepsilon_d$ と一意性から $G(k \circ h) = G(k) \circ G(h)$、同様に $G(\mathrm{id}) = \mathrm{id}$ なので $G$ は関手であり、(1) は $\varepsilon\colon FG \Rightarrow \mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$ が自然同型であることを意味する。次に $c \in \mathcal{C}$ に対し、$F$ が忠実充満なので $F(\eta_c) = \varepsilon_{F(c)}^{-1}$ となる $\eta_c\colon c \to GF(c)$ がただ一つあり、補題 1.34 より $\eta_c$ は同型である。$f\colon c \to c'$ に対し、(1) を $h = F(f)$ に適用すると $\varepsilon_{F(c')} \circ FGF(f) = F(f) \circ \varepsilon_{F(c)}$ なので

となり、$F$ の忠実性から $GF(f) \circ \eta_c = \eta_{c'} \circ f$。よって $\eta$ は自然同型である。$\square$

例 1.36（行列と線形写像）$F\colon \mathbf{Mat}_K \to \mathbf{FinVect}_K$ を $F(n) = K^n$、$F(A) = L_A$（$x \mapsto Ax$）で定める。$L_{BA} = L_B \circ L_A$ なので関手である。線形写像 $K^n \to K^m$ は標準基底の像を並べた $m \times n$ 行列と 1 対 1 に対応するので $F$ は忠実充満であり（02-linear-algebra 第3章）、$n$ 次元空間は基底を選べば $K^n$ と同型なので本質的全射である。定理 1.35 より $F$ は圏同値である。

証明 (⇐) で選んだ同型 $\varepsilon_V\colon K^{\dim V} \to V$ は、まさに $V$ の基底の選択である。準逆 $G$ は $V$ に $\dim V$ を、線形写像にその表現行列を対応させる。つまり「すべての空間に一斉に基底を選ぶこと」が準逆を選ぶことであり、選び方によらず圏同値という結論は変わらない。圏同値は同型・モノ射・エピ射・（第2章の）極限など、Hom の言葉で定義される性質をすべて保つので、行列についての定理と線形写像についての定理は互いに翻訳できる。

例 1.37（その他の圏同値：主張のみ）(1) 単位元をもつ可換 $C^{\ast}$ 環（射は単位元を保つ $\ast$ 準同型）の圏はコンパクトハウスドルフ空間の圏の双対圏と同値である（ゲルファント–ナイマルクの定理）。(2) 可換環の圏の双対圏はアフィンスキームの圏と同値である（14-algebraic-geometry 第4章）。(3) 環 $R$ と行列環 $\operatorname{M}_n(R)$ は同型でなくても $R\text{-}\mathbf{Mod} \simeq \operatorname{M}_n(R)\text{-}\mathbf{Mod}$ である（森田同値の典型例）。

1.8 双対圏と双対原理

定義 1.38（双対圏, opposite category）圏 $\mathcal{C}$ の双対圏 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ とは、対象は $\mathcal{C}$ と同じで $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X)$、合成を $\mathcal{C}$ での合成の順序を逆にしたものとする圏である。

反変関手 $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ は共変関手 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}$ と同じものである。以後、反変関手はこの形で扱う。

圏についての命題の矢印をすべて逆にすると双対命題が得られる。すべての圏で成り立つ命題は $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ にも適用できるので、その双対命題もすべての圏で成り立つ（双対原理, duality principle）。たとえば $f$ が $\mathcal{C}$ でモノ射であることと $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ でエピ射であることは同値なので、「モノ射の合成はモノ射」から「エピ射の合成はエピ射」が自動的に従う。

定義 1.39（始対象・終対象）任意の対象 $X$ への射がただ一つ存在する対象を始対象 (initial object)、任意の対象からの射がただ一つ存在する対象を終対象 (terminal object) という。両方である対象を零対象 (zero object) という。

例 1.40 $\mathbf{Set}$ と $\mathbf{Top}$ では空集合が始対象、1 点が終対象である。$\mathbf{Grp}$ と $R\text{-}\mathbf{Mod}$ では自明な群・零加群が零対象である。$\mathbf{Ring}$ では $\mathbb{Z}$ が始対象（$1 \mapsto 1$ で準同型が一意に決まる）、零環が終対象である。体の圏には始対象がない（標数の異なる体の間に準同型はない）。

命題 1.41 始対象は、存在すれば同型を除いて一意であり、しかもその同型はただ一つである。終対象も同様である。

証明. $I, I'$ を始対象とし、$f\colon I \to I'$, $g\colon I' \to I$ をただ一つの射とする。$g \circ f$ と $\mathrm{id}_I$ はともに $\operatorname{Hom}(I, I)$ の元で、これは 1 元集合なので $g \circ f = \mathrm{id}_I$。同様に $f \circ g = \mathrm{id}_{I'}$。終対象については双対原理による。$\square$

この単純な命題が、第2章で見る「普遍性で定まる対象は、同型を除いて一意」の原型である。

例 1.42（有限次元ベクトル空間の自己双対性）$(-)^{\ast}\colon \mathbf{FinVect}_K^{\mathrm{op}} \to \mathbf{FinVect}_K$ は圏同値である。実際、$f \mapsto f^{\ast}$ は線形写像 $\operatorname{Hom}(W, V) \to \operatorname{Hom}(V^{\ast}, W^{\ast})$ で、$f^{\ast} = 0$ なら（線形形式は点を分離するので）$f = 0$ だから単射であり、両辺の次元はともに $\dim V \cdot \dim W$ なので全単射である。また $V \cong (V^{\ast})^{\ast}$ だから本質的全射である。よって $\mathbf{FinVect}_K \simeq \mathbf{FinVect}_K^{\mathrm{op}}$。一方 $\mathbf{Set}$ は $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ と同値でない（問題 1.5）。

まとめ

• 圏は対象・射・合成・恒等射からなり、結合律と単位律を満たす。射は写像とは限らない（ホモトピー類、順序関係、群の元、行列）。
• 同型・モノ射・エピ射は射の言葉で定義され、モノ射・エピ射は単射・全射と一般には一致しない（$\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ in $\mathbf{Ring}$、$\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ in $\mathbf{Div}$）。
• 関手は対象と射を合成を保って対応させる。忘却関手・自由関手・基本群・ホモロジー・双対空間・Hom 関手が基本例で、群作用や表現も関手である。
• 関手は同型を保つ。このことだけでレトラクションの非存在などが証明できる。
• 自然変換は「すべての対象で一斉に、射と整合的に」定まる射の族である。$V \to V^{\ast\ast}$ は自然だが、$V \cong V^{\ast}$ は自然にはとれない。
• 関手圏の中で表現論や前層の理論が展開される。
• 圏同値は「同型を自然同型に緩めた同一視」であり、忠実充満かつ本質的全射と同値である。$\mathbf{Mat}_K \simeq \mathbf{FinVect}_K$ では、準逆の選択が基底の選択にあたる。
• 双対圏を使うと、すべての概念と定理に双対版が得られる（双対原理）。

演習問題