線形写像

この章の目標

• 線形写像の核と像を計算し、次元定理を証明して使える
• 基底を選ぶと線形写像が行列で表されること（表現行列）を理解し、「行列は線形写像の座標表示」という視点を身につける
• 基底変換の公式を導き、行列の同値・相似の意味と階数標準形を理解する
• 商空間を構成し、準同型定理を証明できる
• 双対空間・双対基底・転置写像を扱い、行ランク＝列ランクを証明できる

前提：第1章、第2章、数学の言葉 第4章 同値関係と順序（商集合）

3.1 線形写像

ベクトル空間の本質は「和とスカラー倍」という構造である。構造をもつ対象を比べるには、その構造を保つ写像を考えるのが数学の常套手段である（群なら準同型、位相空間なら連続写像）。ベクトル空間の場合、それが線形写像である。第1章で見たように、行列 $A$ は写像 $L_A\colon x \mapsto Ax$ を定め、行列の積は写像の合成に対応した。本章では逆に、抽象的な線形写像が、基底を選ぶと必ず行列で表されることを示す。これが「行列は線形写像の座標表示」という標語の正確な意味である。

以下、$K$ は体、ベクトル空間はすべて $K$ 上のものとする。

定義 3.1（線形写像, linear map）ベクトル空間 $V, W$ の間の写像 $f\colon V \to W$ が

$$f(u + v) = f(u) + f(v), \qquad f(cv) = c f(v) \qquad (u, v \in V,\ c \in K)$$

を満たすとき、$f$ を線形写像という。$V = W$ のとき、$f$ を $V$ の線形変換（一次変換, 線形作用素）ともいう。

線形写像は $f(0) = f(0 \cdot 0) = 0 f(0) = 0$ を満たし、一次結合を保つ：$f(\sum c_i v_i) = \sum c_i f(v_i)$。

例 3.2

1. $A \in \operatorname{M}_{m,n}(K)$ の定める $L_A\colon K^n \to K^m$。
2. 微分 $D\colon K[x] \to K[x]$, $D(\sum a_k x^k) = \sum k a_k x^{k-1}$。
3. 積分 $C([a, b]) \to \mathbb{R}$, $f \mapsto \int_a^b f(x)\ dx$。
4. 代入（評価）$\mathrm{ev}_a\colon K[x] \to K$, $p \mapsto p(a)$。
5. 数列の左シフト $S\colon K^{\mathbb{N}} \to K^{\mathbb{N}}$, $(a_1, a_2, a_3, \dots) \mapsto (a_2, a_3, \dots)$ と右シフト $T\colon (a_1, a_2, \dots) \mapsto (0, a_1, a_2, \dots)$。
6. トレース $\operatorname{tr}\colon \operatorname{M}_n(K) \to K$、転置 $\operatorname{M}_{m,n}(K) \to \operatorname{M}_{n,m}(K)$, $X \mapsto {}^t X$。
7. 複素共役 $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$, $z \mapsto \bar{z}$ は $\mathbb{R}$ 上の線形写像だが、$\mathbb{C}$ 上の線形写像ではない（$\overline{iz} = -i\bar{z} \neq i \bar{z}$）。線形性は体に依存する。

線形でない例：平行移動 $x \mapsto x + b$ $(b \neq 0)$ は $0$ を $0$ に写さない。$x \mapsto x^2$ は和を保たない。$2$ 次正方行列の行列式 $\det$ も和を保たない（$\det(I_2) = 1$ だが $\det(E_{11}) + \det(E_{22}) = 0$）。

命題 3.3

1. 線形写像の合成は線形写像である。
2. $V$ から $W$ への線形写像全体 $\operatorname{Hom}(V, W)$ は、$(f + g)(v) = f(v) + g(v)$、$(cf)(v) = c f(v)$ によりベクトル空間になる。$\operatorname{End}(V) := \operatorname{Hom}(V, V)$ と書く。

証明. 1：$g(f(u + v)) = g(f(u) + f(v)) = g(f(u)) + g(f(v))$、スカラー倍も同様。2：$f + g$ と $cf$ が線形であることは直接確かめられ、公理は $W$ の公理から従う。$\square$

線形写像は基底での値で完全に決まり、しかもその値は自由に指定できる。

定理 3.4 $(v_1, \dots, v_n)$ を $V$ の基底、$w_1, \dots, w_n \in W$ を任意の元とする。$f(v_i) = w_i$ $(i = 1, \dots, n)$ を満たす線形写像 $f\colon V \to W$ がただ一つ存在する。

証明. 一意性：$f$ が線形なら $f(\sum c_i v_i) = \sum c_i w_i$ なので、$V$ の各元での値が決まる。存在：$V$ の各元は $v = \sum c_i v_i$ と一意に書ける（命題 2.24）ので、$f(v) := \sum c_i w_i$ は写像として定義でき、座標が和とスカラー倍を保つことから線形である。$\square$

（基底が無限集合でも、同じ証明で同じ主張が成り立つ。）

3.2 核と像

定義 3.5（核と像）線形写像 $f\colon V \to W$ に対し

$$\operatorname{Ker} f = \lbrace v \in V \mid f(v) = 0 \rbrace, \qquad \operatorname{Im} f = \lbrace f(v) \mid v \in V \rbrace$$

をそれぞれ $f$ の核 (kernel)、像 (image) という。

命題 3.6 $\operatorname{Ker} f$ は $V$ の、$\operatorname{Im} f$ は $W$ の部分空間である。また $f$ が単射であるための必要十分条件は $\operatorname{Ker} f = \lbrace 0 \rbrace$ である。

証明. 部分空間であることは線形性から直ちに従う。$f$ が単射なら、$f(v) = 0 = f(0)$ から $v = 0$。逆に $\operatorname{Ker} f = \lbrace 0 \rbrace$ とし $f(u) = f(v)$ なら、$f(u - v) = 0$ より $u = v$。$\square$

単射性を「$f(u) = f(v) \Rightarrow u = v$」ではなく「$f(v) = 0 \Rightarrow v = 0$」で確かめればよいのは、線形性の大きな恩恵である。

例 3.7 $f = L_A$ のとき、$\operatorname{Ker} L_A$ は $Ax = 0$ の解空間、$\operatorname{Im} L_A$ は $A$ の列空間である（例 2.17）。第1章の行列

では、例 1.32 と例 2.25 より $\operatorname{Ker} L_A$ の基底は ${}^t(-2, 1, 0, 0)$, ${}^t(-1, 0, 1, 1)$ であり、命題 2.33 より $\operatorname{Im} L_A$ の基底は主列に対応する $A$ の第 1 列 ${}^t(1, 2, 3)$ と第 3 列 ${}^t(1, 1, -1)$ である。$\dim \operatorname{Ker} L_A + \dim \operatorname{Im} L_A = 2 + 2 = 4$ は定義域の次元に等しい。これは偶然ではない（定理 3.9）。

例 3.8（無限次元での現象）$K = \mathbb{R}$ とする。

1. 微分 $D\colon \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x]$ は全射だが（$\sum a_k x^k$ は $\sum \frac{a_k}{k+1} x^{k+1}$ の微分）、$\operatorname{Ker} D$ は定数全体なので単射でない。
2. 左シフト $S$ は全射だが単射でなく、右シフト $T$ は単射だが全射でない。$S \circ T = \mathrm{id}$ であるが $T \circ S \neq \mathrm{id}$ である。

有限次元では、このような「片側だけの逆」は起こらない（系 3.12、定理 1.34）。

3.3 次元定理

定理 3.9（次元定理, rank–nullity theorem）$V$ を有限次元、$f\colon V \to W$ を線形写像とすると、$\operatorname{Im} f$ は有限次元で

$$\dim V = \dim \operatorname{Ker} f + \dim \operatorname{Im} f$$

証明. $\operatorname{Ker} f$ の基底 $u_1, \dots, u_k$ をとり、$V$ の基底 $u_1, \dots, u_k, v_1, \dots, v_r$ に延長する（定理 2.31）。$f(v_1), \dots, f(v_r)$ が $\operatorname{Im} f$ の基底であることを示せばよい。

生成：$v \in V$ を $v = \sum a_i u_i + \sum b_j v_j$ と書くと、$f(u_i) = 0$ より $f(v) = \sum b_j f(v_j)$。

一次独立：$\sum b_j f(v_j) = 0$ とすると $f(\sum b_j v_j) = 0$、すなわち $\sum b_j v_j \in \operatorname{Ker} f$ なので $\sum b_j v_j = \sum a_i u_i$ と書ける。$u_1, \dots, u_k, v_1, \dots, v_r$ は一次独立なので、すべての $b_j$（と $a_i$）は 0 である。$\square$

定義 3.10（階数）$\dim \operatorname{Im} f$ を線形写像 $f$ の階数 (rank) といい $\operatorname{rank} f$ と書く。$\dim \operatorname{Ker} f$ を退化次数 (nullity) という。

命題 2.33 より $\dim \operatorname{Im} L_A = \operatorname{rank} A$（第1章の意味の階数）であり、二つの「階数」は一致する：$\operatorname{rank} L_A = \operatorname{rank} A$。次元定理を $L_A$ に適用すると $n = \dim(\text{解空間}) + \operatorname{rank} A$ であり、これは「自由変数の個数は $n - \operatorname{rank} A$」という第1章の結果の言い換えである。

系 3.11 $f\colon V \to W$ を線形写像、$V, W$ を有限次元とする。

1. $f$ が単射なら $\dim V \leq \dim W$。$f$ が全射なら $\dim V \geq \dim W$。
2. $\dim V > \dim W$ なら $f$ は単射でない。$\dim V < \dim W$ なら $f$ は全射でない。

証明. 単射なら $\dim V = \dim \operatorname{Im} f \leq \dim W$（系 2.32）。全射なら $\dim V \geq \dim \operatorname{Im} f = \dim W$。2 は 1 の対偶である。$\square$

系 3.12 $\dim V = \dim W < \infty$ とし、$f\colon V \to W$ を線形写像とする。次は同値である：(1) $f$ は単射、(2) $f$ は全射、(3) $f$ は全単射。

証明. $\dim V = \dim W = n$ とする。(1) $\iff$ $\dim \operatorname{Ker} f = 0$ $\iff$（次元定理）$\dim \operatorname{Im} f = n$ $\iff$（系 2.32）$\operatorname{Im} f = W$ $\iff$ (2)。(3) は (1) かつ (2) である。$\square$

例 3.13（ラグランジュ補間）$a_0, \dots, a_n \in K$ を相異なる元とする。線形写像

は単射である：$E(p) = 0$ なら $p$ は $n + 1$ 個の相異なる根をもつ次数 $n$ 以下の多項式なので零多項式である（代数学 第5章で扱う因数定理から、零でない $n$ 次以下の多項式の根は $n$ 個以下）。両辺の次元はともに $n + 1$ なので、系 3.12 より $E$ は全単射である。すなわち、任意の値 $b_0, \dots, b_n$ に対し、$p(a_i) = b_i$ を満たす次数 $n$ 以下の多項式がただ一つ存在する。存在を具体的な式を書かずに次元だけで示した点に注意する。具体的な式は例 3.40 で与える。

3.4 同型

定義 3.14（同型）全単射な線形写像を同型写像 (isomorphism) という。$V$ から $W$ への同型写像が存在するとき、$V$ と $W$ は同型であるといい $V \cong W$ と書く。

命題 3.15 同型写像 $f\colon V \to W$ の逆写像 $f^{-1}$ は線形写像である。

証明. $w, w' \in W$ に対し $v = f^{-1}(w)$、$v' = f^{-1}(w')$ とおくと、$f(v + v') = w + w'$ より $f^{-1}(w + w') = v + v' = f^{-1}(w) + f^{-1}(w')$。スカラー倍も同様。$\square$

定理 3.16 有限次元ベクトル空間 $V, W$ について、$V \cong W \iff \dim V = \dim W$。特に $\dim V = n$ なら $V \cong K^n$。

証明. ($\Rightarrow$) 同型写像は基底を基底に写す（一次独立性と生成性が保たれる）ので次元は等しい。($\Leftarrow$) それぞれの基底 $(v_1, \dots, v_n)$, $(w_1, \dots, w_n)$ をとり、定理 3.4 で $f(v_i) = w_i$ となる $f$ を作ると、$w_i$ たちが $W$ を生成するので $f$ は全射であり、系 3.12 より同型である。$\square$

$V$ の基底 $\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_n)$ に対し、同型写像

を座標写像という（命題 2.24）。その逆 $\varphi_{\mathcal{B}}^{-1}(v)$ を $[v]_{\mathcal{B}}$ と書き、$v$ の $\mathcal{B}$ に関する座標ベクトルという。

注意 3.17（自然な同型とそうでない同型）$n$ 次元空間 $V$ は $K^n$ と同型だが、その同型 $\varphi_{\mathcal{B}}$ は基底 $\mathcal{B}$ の選び方に依存し、「どれか一つが特別」ということはない。例えば、平面 $\lbrace x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 + x_3 = 0 \rbrace$ は $\mathbb{R}^2$ と同型だが、標準的な座標の入れ方はない。一方、後で見る $V \to V^{\ast\ast}$（定理 3.42）のように、基底を選ばずに定義できる同型もあり、自然な同型 (natural isomorphism) と呼ばれる。この区別は圏論 第1章で「自然変換」として定式化される。

3.5 表現行列

いよいよ抽象的な線形写像を行列で表す。

定義 3.18（表現行列, representation matrix）$\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_n)$ を $V$ の基底、$\mathcal{C} = (w_1, \dots, w_m)$ を $W$ の基底、$f\colon V \to W$ を線形写像とする。各 $f(v_j)$ を $\mathcal{C}$ で展開して

$$f(v_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} w_i \qquad (j = 1, \dots, n)$$

と書くとき、$m \times n$ 行列 $A = (a_{ij})$ を、基底 $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ に関する $f$ の表現行列といい、$[f]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}$ と書く。$V = W$、$\mathcal{B} = \mathcal{C}$ のときは $[f]_{\mathcal{B}}$ と書く。

覚え方：表現行列の第 $j$ 列は、第 $j$ 基底ベクトルの像 $f(v_j)$ の座標ベクトル $[f(v_j)]_{\mathcal{C}}$ である。

命題 3.19 $A = [f]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}$ とすると、すべての $v \in V$ で $[f(v)]_{\mathcal{C}} = A [v]_{\mathcal{B}}$。すなわち $f \circ \varphi_{\mathcal{B}} = \varphi_{\mathcal{C}} \circ L_A$ であり、次の図式が可換になる。

$$\begin{array}{ccc} V & \xrightarrow{f} & W \\ {\scriptstyle \varphi_{\mathcal{B}}}\uparrow & & \uparrow{\scriptstyle \varphi_{\mathcal{C}}} \\ K^n & \xrightarrow{L_A} & K^m \end{array}$$

証明. $v = \sum_j c_j v_j$ なら $f(v) = \sum_j c_j f(v_j) = \sum_j c_j \sum_i a_{ij} w_i = \sum_i \left( \sum_j a_{ij} c_j \right) w_i$ であり、$w_i$ の係数 $\sum_j a_{ij} c_j$ は $A c$ の第 $i$ 成分である。$\square$

この図式が本教材の中心的な視点を表している：基底（＝座標系）を選べば、抽象的な線形写像 $f$ は数ベクトルに行列を掛ける写像 $L_A$ として計算できる。$V = K^n$、$W = K^m$ で $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ が標準基底なら、$[L_A]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} = A$ である（$A e_j$ は $A$ の第 $j$ 列）。

命題 3.20 基底 $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ を固定すると、$\operatorname{Hom}(V, W) \to \operatorname{M}_{m,n}(K)$, $f \mapsto [f]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}$ は同型写像である。特に $\dim \operatorname{Hom}(V, W) = (\dim V)(\dim W)$。

証明. 線形であることは定義から明らか。定理 3.4 により、表現行列（すなわち各 $f(v_j)$ の座標）を任意に与えると $f$ がただ一つ決まるので全単射である。$\square$

定理 3.21（合成と積）$U, V, W$ の基底 $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ と線形写像 $f\colon U \to V$、$g\colon V \to W$ に対し

$$[g \circ f]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{A}} = [g]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} [f]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{A}}$$

証明. 命題 3.19 を二回使うと、任意の $u \in U$ で $[g(f(u))]_{\mathcal{C}} = [g]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} [f(u)]_{\mathcal{B}} = [g]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} [f]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{A}} [u]_{\mathcal{A}}$。$u$ として $\mathcal{A}$ の第 $j$ 元をとると $[u]_{\mathcal{A}} = e_j$ なので、両辺の第 $j$ 列が一致する。$\square$

記号 $[\cdot]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}$ は、隣り合う基底が「打ち消し合う」ように書けるよう工夫したものである。

例 3.22（微分の表現行列）$V = K[x]_{\leq 3}$、基底 $\mathcal{B} = (1, x, x^2, x^3)$ とする。$D(1) = 0$、$D(x) = 1$、$D(x^2) = 2x$、$D(x^3) = 3x^2$ なので

（標数 0 の体で）$\operatorname{rank} D = 3$、$\operatorname{Ker} D$ は定数全体で次元 1、$3 + 1 = 4$ である。$p = 1 + 2x + 5x^3$ なら $[p]_{\mathcal{B}} = {}^t(1, 2, 0, 5)$ で、$[D]_{\mathcal{B}} [p]_{\mathcal{B}} = {}^t(2, 0, 15, 0)$、すなわち $p' = 2 + 15x^2$ である。$[D]_{\mathcal{B}}^4 = O$ は、4 回微分すると 3 次以下の多項式は消えることに対応する。

例 3.23（基底の選び方で行列が変わる）$\mathbb{R}^2$ で、直線 $\ell_1 = \operatorname{span}(u_1)$、$\ell_2 = \operatorname{span}(u_2)$（$u_1 = {}^t(1, 1)$、$u_2 = {}^t(1, -1)$）とし、$\mathbb{R}^2 = \ell_1 \oplus \ell_2$ に沿った $\ell_1$ への射影 $p$（$v = a u_1 + b u_2$ に $a u_1$ を対応させる写像）を考える。基底 $\mathcal{U} = (u_1, u_2)$ に関しては $p(u_1) = u_1$、$p(u_2) = 0$ なので

と極めて単純である。一方、標準基底 $\mathcal{E}$ では $e_1 = (u_1 + u_2)/2$、$e_2 = (u_1 - u_2)/2$ より $p(e_1) = p(e_2) = u_1/2$ なので

となる。同じ写像でも、写像の幾何学的な性質に合った基底を選べば行列は簡単になる。「よい基底を選んで行列を簡単にする」ことが、第5章以降の固有値・ジョルダン標準形・スペクトル定理・特異値分解の共通のテーマである。

3.6 基底変換

基底を取り替えると表現行列はどう変わるか。

定義 3.24（基底変換行列）$\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ を $V$ の二つの基底とする。$P = [\mathrm{id}_V]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}$ を、$\mathcal{B}$ から $\mathcal{B}'$ への基底変換行列（変換行列）という。$P$ の第 $j$ 列は、新しい基底の第 $j$ 元 $v_j'$ の、古い基底 $\mathcal{B}$ に関する座標である。

命題 3.19 より $[v]_{\mathcal{B}} = P [v]_{\mathcal{B}'}$ である。新しい座標を古い座標で表すには $P^{-1}$ が必要になることに注意する。

命題 3.25 基底変換行列は正則で、$[\mathrm{id}_V]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}^{-1} = [\mathrm{id}_V]_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}}$。

証明. 定理 3.21 より $[\mathrm{id}]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} [\mathrm{id}]_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}} = [\mathrm{id}]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}} = I_n$。逆順も同様。$\square$

定理 3.26（基底変換の公式）$f\colon V \to W$ を線形写像、$\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ を $V$ の基底、$\mathcal{C}, \mathcal{C}'$ を $W$ の基底とし、$P = [\mathrm{id}_V]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}$、$Q = [\mathrm{id}_W]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{C}'}$ とおく。このとき

$$[f]_{\mathcal{C}' \leftarrow \mathcal{B}'} = Q^{-1} [f]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} P$$

特に $V = W$ の線形変換 $f$ と基底 $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ について $[f]_{\mathcal{B}'} = P^{-1} [f]_{\mathcal{B}} P$。

証明. $f = \mathrm{id}_W \circ f \circ \mathrm{id}_V$ に定理 3.21 を適用すると $[f]_{\mathcal{C}' \leftarrow \mathcal{B}'} = [\mathrm{id}_W]_{\mathcal{C}' \leftarrow \mathcal{C}} [f]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} [\mathrm{id}_V]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}$ であり、命題 3.25 より右辺の最初の行列は $Q^{-1}$ である。$\square$

定義 3.27（同値と相似）$A, B \in \operatorname{M}_{m,n}(K)$ について、$B = QAP$ となる $Q \in \operatorname{GL}_m(K)$、$P \in \operatorname{GL}_n(K)$ が存在するとき、$A$ と $B$ は同値 (equivalent) であるという。$A, B \in \operatorname{M}_n(K)$ について、$B = P^{-1}AP$ となる $P \in \operatorname{GL}_n(K)$ が存在するとき、$A$ と $B$ は相似 (similar) であるという。

定理 3.26 は、同じ線形写像を異なる基底で表した行列どうしは同値であり、同じ線形変換を（定義域と値域で同じ）異なる基底で表した行列どうしは相似であることを示す。逆に、任意の正則行列は基底変換行列として実現できる（正則行列の列は一次独立で基底をなす）ので、相似な行列は同じ線形変換の異なる基底での表示である。したがって、線形変換そのものの性質は、相似で変わらない行列の量（相似不変量）として現れる。階数、トレース（問題 1.6 より $\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(APP^{-1}) = \operatorname{tr} A$）、行列式（第4章）、固有多項式（第5章）がその例である。

例 3.28 次の行列を考える。

$P$ は標準基底から新しい基底 $\mathcal{U} = (u_1, u_2) = ({}^t(1, 1), {}^t(1, -1))$ への基底変換行列である。$AP$ を列ごとに計算すると $Au_1 = {}^t(3, 3) = 3u_1$、$Au_2 = {}^t(1, -1) = u_2$ であり、

となる。$L_A$ は $u_1$ 方向に 3 倍、$u_2$ 方向に 1 倍する変換だったのである。このような基底を系統的に探すのが第5章の固有値の理論である。

3.7 階数標準形

基底を定義域と値域で独立に選んでよいなら、行列はどこまで簡単になるか。答えは驚くほど単純である。

定理 3.29（階数標準形）$V, W$ を有限次元、$f\colon V \to W$ を階数 $r$ の線形写像とする。$V, W$ の基底 $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ をうまく選ぶと

$$[f]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} = \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$$

とできる（$O$ は適切なサイズの零行列）。

証明. $n = \dim V$ とする。次元定理より $\dim \operatorname{Ker} f = n - r$ なので、$\operatorname{Ker} f$ の基底 $u_{r+1}, \dots, u_n$ をとり、$V$ の基底 $\mathcal{B} = (u_1, \dots, u_r, u_{r+1}, \dots, u_n)$ に延長する。定理 3.9 の証明より $f(u_1), \dots, f(u_r)$ は $\operatorname{Im} f$ の基底なので、これを $W$ の基底 $\mathcal{C} = (f(u_1), \dots, f(u_r), w_{r+1}, \dots, w_m)$ に延長する。$f(u_j)$ は $j \leq r$ なら $\mathcal{C}$ の第 $j$ 元、$j > r$ なら $0$ なので、表現行列は主張の形になる。$\square$

系 3.30 $A \in \operatorname{M}_{m,n}(K)$、$r = \operatorname{rank} A$ とすると、

$$QAP = \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$$

となる $Q \in \operatorname{GL}_m(K)$、$P \in \operatorname{GL}_n(K)$ が存在する（右辺を階数標準形という）。また

1. 正則行列 $Q, P$ に対し $\operatorname{rank}(QAP) = \operatorname{rank} A$。
2. 同じサイズの二つの行列が同値であるための必要十分条件は、階数が等しいことである。

証明. 前半は定理 3.29 を $L_A$ と標準基底からの基底変換に適用し、定理 3.26 を使えばよい。1：$L_P$ は全単射なので $\operatorname{Im}(L_A \circ L_P) = \operatorname{Im} L_A$、$L_Q$ は単射なので $L_Q$ は $\operatorname{Im} L_A$ からその像への同型を与え、$\dim \operatorname{Im}(L_Q \circ L_A \circ L_P) = \dim \operatorname{Im} L_A$。2：同値なら 1 より階数は等しい。階数が等しければ両者は同じ階数標準形と同値であり、同値は同値関係なので互いに同値である。$\square$

つまり、定義域と値域の基底を独立に選べる状況では、線形写像の不変量は階数ただ一つである。これに対し、線形変換 $V \to V$ で同じ基底を両側に使う（相似）場合には、はるかに豊かな不変量があり、それが第5章・第6章の主題となる。

例 3.31（行と列の基本変形による計算）$Q, P$ は行基本変形と列基本変形を組み合わせて求められる。例えば

に行基本変形 $R_2 - 2R_1$ を施すと第 2 行が 0 になり、続けて列基本変形 $C_2 - 2C_1$、$C_3 - 3C_1$ を施すと、第 1 行が $(1, 0, 0)$、第 2 行が 0 の階数標準形になる。対応する基本行列の積をとると

である（検算：$QA$ は第 1 行 $(1, 2, 3)$、第 2 行 $0$ で、これに $P$ を右から掛けると第 1 行は $(1,\ -2 + 2,\ -3 + 3) = (1, 0, 0)$）。

3.8 商空間と準同型定理

$\mathbb{R}^2$ の中の直線 $W$ を考え、「$W$ 方向の違いを無視する」ことにすると、$W$ に平行な直線たちがそれぞれ一つの「点」とみなされ、その全体はまた直線（1 次元）のように振る舞う。これを正確にしたものが商空間である。連立方程式 $Ax = b$ の解の集合が $x_0 + \operatorname{Ker} L_A$ の形であったこと（定理 1.30）も、この見方と関係している。

定義 3.32（商空間, quotient space）$W$ を $V$ の部分空間とする。$v, v' \in V$ に対し $v - v' \in W$ のとき $v \sim v'$ と定めると、$\sim$ は同値関係である。$v$ の同値類は $v + W = \lbrace v + w \mid w \in W \rbrace$ であり、これを $v$ の $W$ による剰余類 (coset) という。剰余類全体 $V/W$ に

$$(v + W) + (v' + W) = (v + v') + W, \qquad c(v + W) = cv + W$$

で演算を定めたものを、$V$ の $W$ による商空間という。$\pi\colon V \to V/W$, $v \mapsto v + W$ を自然な射影（商写像）という。

同値関係であること：$v - v = 0 \in W$、$v - v' \in W \Rightarrow v' - v \in W$、$v - v', v' - v'' \in W \Rightarrow v - v'' \in W$。

演算が well-defined（代表元の選び方によらない）であることを確かめる必要がある。$v + W = u + W$、$v' + W = u' + W$ とすると $v - u, v' - u' \in W$ なので $(v + v') - (u + u') \in W$、$cv - cu = c(v - u) \in W$ である。

命題 3.33 $V/W$ はベクトル空間であり（零ベクトルは $0 + W = W$）、$\pi$ は $\operatorname{Ker} \pi = W$ を満たす全射線形写像である。$V$ が有限次元なら

$$\dim V/W = \dim V - \dim W$$

証明. 公理は $V$ の公理から代表元ごとに従う。$\pi$ の線形性・全射性は演算の定義から、$\pi(v) = W \iff v \in W$ から $\operatorname{Ker} \pi = W$。次元の式は $\pi$ に次元定理を適用すればよい。$\square$

定理 3.34（準同型定理, first isomorphism theorem）$f\colon V \to U$ を線形写像とすると、

$$\bar{f}\colon V / \operatorname{Ker} f \to \operatorname{Im} f, \qquad v + \operatorname{Ker} f \mapsto f(v)$$

は well-defined な同型写像である。より一般に、$W \subset \operatorname{Ker} f$ を満たす部分空間 $W$ に対し、$f = \tilde{f} \circ \pi$ を満たす線形写像 $\tilde{f}\colon V/W \to U$ がただ一つ存在する。

証明. 後半から示す。$v + W = v' + W$ なら $v - v' \in W \subset \operatorname{Ker} f$ なので $f(v) = f(v')$。よって $\tilde{f}(v + W) := f(v)$ は well-defined で、線形性は $f$ の線形性から従う。$\pi$ は全射なので、$f = \tilde{f} \circ \pi$ を満たす $\tilde{f}$ は一つしかない。前半：$W = \operatorname{Ker} f$ とし、値域を $\operatorname{Im} f$ に制限したものが $\bar{f}$ である。全射は明らか。$\bar{f}(v + \operatorname{Ker} f) = 0$ なら $v \in \operatorname{Ker} f$、すなわち $v + \operatorname{Ker} f$ は零ベクトルなので単射である。$\square$

次の図式で、$f$ は「全射 $\pi$」と「単射 $\iota \circ \bar{f}$」（$\iota$ は包含写像）に分解される：

有限次元なら、命題 3.33 と組み合わせて $\dim V - \dim \operatorname{Ker} f = \dim \operatorname{Im} f$ となり、次元定理の別証明が得られる。準同型定理は無限次元でも成り立つ点が重要である。群・環・加群にも同じ形の準同型定理があり（代数学 第2章、第7章）、その原型がここにある。

例 3.35

1. $a \in K$ に対し $\mathrm{ev}_a\colon K[x] \to K$ は全射で、因数定理により $\operatorname{Ker} \mathrm{ev}_a = (x - a)K[x]$（$x - a$ で割り切れる多項式全体）である。よって $K[x]/(x - a)K[x] \cong K$。
2. $\mathbb{R}^3$ の直線 $\ell$ について、$\mathbb{R}^3/\ell$ は 2 次元である。$\ell$ の補空間 $U$（例えば原点を通る平面で、$\ell$ と原点以外で交わらないもの）をとると $\pi\vert_U\colon U \to \mathbb{R}^3/\ell$ は同型である（単射性は $U \cap \ell = \lbrace 0 \rbrace$ から、全射性は $\mathbb{R}^3 = U + \ell$ から）。しかし補空間は一つに決まらない（命題 2.42 の後の注意）。商空間は選択を必要としない「標準的な補空間の代わり」である。

系 3.36（第二同型定理）$W_1, W_2$ を $V$ の部分空間とすると $(W_1 + W_2)/W_2 \cong W_1/(W_1 \cap W_2)$。

証明. $g\colon W_1 \to (W_1 + W_2)/W_2$, $w \mapsto w + W_2$ は線形である。全射：$(w_1 + w_2) + W_2 = w_1 + W_2 = g(w_1)$。$\operatorname{Ker} g = W_1 \cap W_2$。準同型定理を適用すればよい。$\square$

有限次元なら両辺の次元を比べて $\dim(W_1 + W_2) - \dim W_2 = \dim W_1 - \dim(W_1 \cap W_2)$ となり、次元公式（定理 2.38）が再び得られる。

3.9 双対空間と双対基底

$V$ の元に数を対応させる線形写像——「ベクトルの測定」——を考える。座標の第 $i$ 成分を取り出す操作、多項式の値を取り出す操作、関数の積分、行列のトレースはいずれもそうである。これらを集めたものが双対空間である。

定義 3.37（双対空間, dual space）$V^{\ast} := \operatorname{Hom}(V, K)$ を $V$ の双対空間といい、その元を $V$ 上の線形形式（一次形式, linear functional）という。

定理 3.38（双対基底）$\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_n)$ を $V$ の基底とする。$v_i^{\ast} \in V^{\ast}$ を $v_i^{\ast}(v_j) = \delta_{ij}$ で定める（定理 3.4）と、$(v_1^{\ast}, \dots, v_n^{\ast})$ は $V^{\ast}$ の基底である。これを $\mathcal{B}$ の双対基底 (dual basis) という。特に $\dim V^{\ast} = \dim V$ であり、任意の $\varphi \in V^{\ast}$、$v \in V$ について

$$\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi(v_i)\ v_i^{\ast}, \qquad v = \sum_{i=1}^n v_i^{\ast}(v)\ v_i$$