線形代数

概要

線形代数は、数学のほぼすべての分野で使われる「共通語」です。この科目では、連立一次方程式の解法から出発して、ベクトル空間と線形写像の理論、行列式、固有値と対角化、ジョルダン標準形、内積空間とスペクトル定理、二次形式と特異値分解、そしてテンソル積と外積代数までを、証明をつけながら順に学びます。

この科目には二つの顔があります。一つは計算です。行基本変形、行列式、固有値、ジョルダン標準形、グラム–シュミットの直交化、特異値分解など、具体的な行列について手を動かして答えを出す技術は、それ自体が強力な道具であり、理論を理解するための足場にもなります。もう一つは抽象です。ベクトル空間と線形写像の言葉を使うと、多項式・関数・数列のような一見ばらばらな対象が同じ理論で扱え、基底の選び方によらない「本当の性質」が見えてきます。本教材では両者を往復し、各章で具体的な数値例（必ず検算つき）と、基底によらない定式化の両方を示します。

全体を貫く視点は、「行列は線形写像の座標表示である」というものです。第1章で行列の積が写像の合成を表すことを見たあと、第3章で基底を選べば任意の線形写像が行列で表されることを示します。すると、基底の取り替えは行列の変換 $P^{-1}AP$ や ${}^t PAP$ に対応し、「よい基底を選んで行列を簡単にする」ことが、対角化（第5章）、ジョルダン標準形（第6章）、スペクトル定理（第7章）、特異値分解（第8章）に共通するテーマとして浮かび上がります。第9章ではテンソルの添字記法によって、さまざまな変換規則が一つの原理にまとめられます。

線形代数は、微分積分学（01-calculus）とともに教材全体の土台です。代数学の加群の理論、多様体の接空間と微分形式、微分方程式の線形系、関数解析のヒルベルト空間とスペクトル理論、リー群の表現論は、いずれも本科目の内容を日常的に使い、それを無限次元や非可換な状況へ拡張していきます。

前提知識

論理と集合の言葉：00-foundations 第1章命題と論理、第2章集合、第3章写像（単射・全射・全単射、合成、逆写像）
同値関係と商集合：00-foundations 第4章（第1章の行同値、第3章の商空間で使う）
選択公理とツォルンの補題：00-foundations 第6章（第2章 2.9 節の無限次元空間の基底の存在でのみ使う。後回しにしてよい）
高校数学（平面ベクトル、複素数、多項式の割り算）
微分積分の初歩（第6章の行列の指数関数と微分方程式、第7章の関数空間の例で使う）。01-calculus と並行して学んでかまいません。

到達目標

[ ] 行基本変形で行列を簡約階段行列に変形し、連立一次方程式の解の存在判定と一般解の記述、逆行列の計算ができる
[ ] ベクトル空間・部分空間・一次独立・基底・次元を定義に基づいて扱い、シュタイニッツの交換定理と次元公式を証明できる
[ ] 線形写像の核と像を計算し、次元定理・準同型定理を証明できる
[ ] 表現行列と基底変換の公式を導き、「行列は線形写像の座標表示」という視点で相似・同値を説明できる
[ ] 双対空間・双対基底・転置写像を扱い、行ランク＝列ランクを証明できる
[ ] 行列式を多重線形交代形式として特徴づけ、積公式・余因子展開・クラメルの公式を証明し、計算に使える
[ ] 固有値・固有ベクトルを計算し、対角化可能性を重複度と最小多項式で判定できる。ケーリー–ハミルトンの定理を証明できる
[ ] 一般固有空間分解とヤング図形を用いてジョルダン標準形の存在と一意性を理解し、変換行列まで含めて計算できる
[ ] 行列の指数関数を計算し、定数係数線形微分方程式を解ける
[ ] グラム–シュミットの直交化・QR 分解・直交射影・最小二乗法を計算できる
[ ] シューア分解と正規行列のスペクトル定理を証明し、実対称行列を直交行列で対角化できる
[ ] シルベスターの慣性法則と正定値性の判定条件を証明し、二次曲線・二次曲面を分類できる
[ ] 特異値分解を証明・計算し、極分解・擬逆行列・低ランク近似・ミニマックス原理に応用できる
[ ] テンソル積と外積代数を普遍性で定義・構成し、テンソルの共変・反変の変換則を添字記法で扱える

章立て

第1章行列と連立一次方程式 — 行列の演算と積の意味（写像の合成）、行基本変形と基本行列、簡約階段行列とその一意性、階数、解の存在条件と「特殊解＋同次方程式の解」、正則性の同値条件と逆行列の計算、ブロック行列。
第2章ベクトル空間 — 体、ベクトル空間の公理と例（多項式・関数・数列）、部分空間、一次独立と基底、シュタイニッツの交換定理と次元、和空間と直和、次元公式、ツォルンの補題による基底の存在。
第3章線形写像 — 核と像、次元定理、同型、表現行列と基底変換、階数標準形、商空間と準同型定理、双対空間と双対基底、転置写像、零化空間、行ランク＝列ランク。
第4章行列式 — 置換の符号、行列式の定義と多重線形交代形式としての特徴づけ、積公式、余因子展開と余因子行列、クラメルの公式、ヴァンデルモンドの行列式、ブロック行列、線形写像の行列式、向きつき体積。
第5章固有値と対角化 — 固有値と固有多項式、重複度と対角化可能性、三角化、ケーリー–ハミルトンの定理、最小多項式と核の分解、同時対角化、行列のべき・漸化式・マルコフ連鎖。
第6章ジョルダン標準形 — 一般固有空間分解、冪零変換の標準形とヤング図形、ジョルダン標準形の存在と一意性、計算手順（3 つの例題）、行列の指数関数、線形微分方程式への応用、有理標準形と加群の構造定理。
第7章内積空間とスペクトル定理 — 内積とノルム、コーシー–シュワルツの不等式、グラム–シュミットと QR 分解、直交射影と最小二乗法、随伴写像、正規・エルミート・ユニタリ変換、シューア分解、スペクトル定理、スペクトル分解。
第8章二次形式と特異値分解 — 双線形形式と合同変換、シルベスターの慣性法則、正定値性の判定、二次曲線・二次曲面の分類、特異値分解、極分解、擬逆行列、エッカート–ヤングの低ランク近似、クーラント–フィッシャーのミニマックス原理。
第9章多重線形代数 — 多重線形写像、テンソル積の普遍性・構成・一意性、 $\operatorname{Hom}(V, W) \cong V^{\ast} \otimes W$ 、テンソル代数、対称テンソルと交代テンソル、外積代数と行列式、共変・反変と添字記法、多様体への準備。

学習時間の目安と進め方

各章の本文と演習（★と★★）に、1 章あたり 12〜18 時間程度、全体で 130〜160 時間程度を見込んでください。

進む順序：第1章から順に読むのが基本です。第1〜3章が理論の骨格、第4〜6章が「一つの線形変換をよく調べる」理論、第7〜8章が「長さと角度のある空間」の理論、第9章がその先への橋渡しです。
1 周目の目安（大学 1 年程度）：第1〜5章と第7章の前半（7.1〜7.5 節、7.9 節の実対称行列の対角化）を中心に学び、証明の細部よりも定義・例・計算に慣れることを優先してかまいません。第2章 2.9 節（無限次元の基底）は後回しにしてよいです。
2 周目（大学 2 年程度）：第6章、第7章の後半、第8章を学び、1 周目で飛ばした証明（簡約階段行列の一意性、シュタイニッツの交換定理、行列式の一意性、冪零変換の標準形など）を自分で再現できるようにします。
第9章は多様体（07-manifolds）や可換環論に進む前に読むのが効果的です。
計算の習慣：本文の数値例は必ず自分の手で再計算し、答えを出したら「 $AP = PJ$ を列ごとに確かめる」「逆行列を元の行列に掛ける」などの検算をしてください。線形代数の計算は符号の誤りが起こりやすい一方、検算は簡単にできます。
抽象の習慣：定理を読むたびに、「基底を選ぶとこれは行列についてのどんな主張になるか」「逆に、この行列の計算は線形写像についてのどんな事実を表しているか」を考えてください。
演習の★は定義と定理の確認、★★は大学院入試の基本レベルを含む標準問題、★★★は発展問題です。★★★の解答は詳しいヒントの形のものもあります。

参考文献

齋藤正彦『線型代数入門』（東京大学出版会）— 計算と理論の両方を丁寧に扱う、標準的な教科書。
佐武一郎『線型代数学』（裳華房）— 古典的で網羅的な教科書。二次形式やテンソルまで広く扱う。
斎藤毅『線形代数の世界』（東京大学出版会）— 抽象的なベクトル空間と普遍性の観点を重視した教科書。本科目の第3章・第9章の見方を深めるのに向く。
三宅敏恒『入門線形代数』（培風館）— 入門的で、計算練習に向く。
長谷川浩司『線型代数』（日本評論社）— 幅広い話題を扱う教科書。
S. Axler, Linear Algebra Done Right (Springer) — 行列式に頼らずに固有値の理論を展開する構成で知られる。
P. R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces (Springer) — 有限次元ベクトル空間の古典的な教科書で、無限次元（関数解析）への一般化を見据えた書き方をしている。

次に学ぶもの

03-topology 集合と位相 — 次の科目。ノルム空間（第7章の内積空間）は距離空間の重要な例です。
04-algebra 代数学 — 第7章「加群と単項イデアル整域上の構造定理」で、ジョルダン標準形と有理標準形（本科目第6章）を加群の言葉で証明し直します。群論では $\operatorname{GL}_n$ 、 $\operatorname{O}(n)$ 、 $\operatorname{U}(n)$ が重要な例になります。
07-manifolds 多様体 — 接空間・余接空間・微分形式は、本科目第3章の双対空間と第9章の外積代数を各点に載せたものです。
08-differential-equations 微分方程式 — 線形微分方程式系の理論は、本科目第6章の行列の指数関数とジョルダン標準形を使います。
10-functional-analysis 関数解析 — ヒルベルト空間とスペクトル理論は、本科目第7〜8章の無限次元版です。
16-lie-groups-representations リー群と表現論 — 群の表現は群から $\operatorname{GL}(V)$ への準同型であり、線形代数の言葉で群を調べる理論です。

章の一覧

概要

前提知識

到達目標

章立て

学習時間の目安と進め方

参考文献

次に学ぶもの