写像

この章の目標

• 写像をグラフとして定義し、定義域・終域まで含めて写像を扱える
• 像と逆像を計算し、逆像が和・共通部分・補集合を保つこと、像はそうでないことを証明できる
• 単射・全射・全単射を定義に従って証明・反証できる
• 合成・逆写像・左逆写像・右逆写像の関係を理解し、右逆写像の存在に選択公理が関わることを説明できる
• 定義関数、写像の集合 $Y^X$、族と直積を写像の言葉で理解する

前提：第1章、第2章

高校では「関数」を $y = x^2$ のような式として学んだ。しかし大学の数学では、式で書けない対応（たとえば集合に集合を対応させるもの）や、定義域・値の範囲の違いが決定的に効く場面を扱う。そこで対応そのものを集合の言葉で定義し直す。写像は、線形写像・連続写像・準同型など、以後のすべての科目で主役となる概念である。

3.1 写像とは

「$X$ の各元 $x$ に $Y$ の元 $f(x)$ をただ一つ対応させる規則」が写像である。「規則」を曖昧さなく言うために、対応を $(x, f(x))$ という組の集合、つまりグラフとして捉える。

定義 3.1（写像）$X, Y$ を集合とする。直積の部分集合 $G \subset X \times Y$ で

$$\forall x \in X,\ \exists ! y \in Y,\ (x, y) \in G$$

を満たすものが与えられたとき、三つ組 $f = (X, Y, G)$ を $X$ から $Y$ への写像 (map, mapping) といい、$f\colon X \to Y$ と書く。$x \in X$ に対し $(x, y) \in G$ となるただ一つの $y$ を $f(x)$ と書き、$x$ における $f$ の値 (value) という。$X$ を $f$ の定義域 (domain)、$Y$ を終域 (codomain)、$G$ を $f$ のグラフ (graph) という。

グラフは $G = \lbrace (x, f(x)) \mid x \in X \rbrace$ である。二つの写像 $f, g\colon X \to Y$ は、すべての $x \in X$ で $f(x) = g(x)$ となるとき（グラフが一致するとき）に等しいと定める。終域が異なる写像は、値が同じでも別の写像とみなす。

注意 3.2（用語）日本語の「値域」は、本によって終域 $Y$ を指すことも、次節の像 $f(X)$ を指すこともあるので、本教材では使わず「終域」「像」と言う。$Y$ が数の集合のとき写像を関数 (function) と呼ぶことが多いが、本質的な違いはない。写像を具体的に与えるときは「$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$」のように書く。$\mapsto$ は元の対応を表す矢印で、「$x$ を $x^2$ に写す」と読む。

例 3.3

1. $G = \lbrace (x, x^2) \mid x \in \mathbb{R} \rbrace \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ はグラフの条件を満たし、写像 $x \mapsto x^2$ を定める。
2. $G = \lbrace (x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid y^2 = x \rbrace$ は写像 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ のグラフではない。$x = 4$ には $y = \pm 2$ の二つが対応し（一意性が破れる）、$x = -1$ には何も対応しない（存在が破れる）。「$x \mapsto \pm\sqrt{x}$」は写像ではない。
3. 「$x \mapsto 1/x$」は $0$ での値がないので写像 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ではないが、$\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace \to \mathbb{R}$ としては写像である。定義域を明示することは省略できない。
4. 恒等写像 $\mathrm{id}_X\colon X \to X,\ x \mapsto x$、定値写像 $x \mapsto c$、射影 $p_1\colon X \times Y \to X,\ (x, y) \mapsto x$ はいずれも写像である。
5. 「$f\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{Z},\ m/n \mapsto m + n$」は写像を定めない。$1/2 = 2/4$ なのに、表し方によって値が $3$ にも $6$ にもなるからである。値が表し方によらないこと（well-definedness）の確認は第4章の主題である。

例 3.4（空写像）任意の集合 $Y$ について、$G = \emptyset \subset \emptyset \times Y$ はグラフの条件を空虚に満たす。よって $\emptyset$ から $Y$ への写像はちょうど一つある（空写像）。一方 $X \neq \emptyset$ なら、$X$ から $\emptyset$ への写像は存在しない（$x \in X$ に対応させる $y \in \emptyset$ がない）。

3.2 像と逆像

写像によって、部分集合が「どこへ写るか」「どこから来るか」を考える。

定義 3.5（像と逆像）$f\colon X \to Y$ を写像とする。

• $A \subset X$ に対し、$f(A) := \lbrace f(a) \mid a \in A \rbrace = \lbrace y \in Y \mid \exists a \in A,\ f(a) = y \rbrace$ を $A$ の $f$ による像 (image) という。特に $f(X)$ を $f$ の像といい、$\operatorname{Im} f$ とも書く。
• $B \subset Y$ に対し、$f^{-1}(B) := \lbrace x \in X \mid f(x) \in B \rbrace$ を $B$ の $f$ による逆像 (inverse image, preimage) という。一点 $y$ の逆像 $f^{-1}(\lbrace y \rbrace)$ を $y$ 上のファイバー (fiber) という。

元が属する条件を並べると、両者の違いがはっきりする。

逆像の条件には量化子がないが、像の条件には $\exists$ が入る。以下で見る「逆像は扱いやすく、像は扱いにくい」という現象の原因はここにある。なお逆像 $f^{-1}(B)$ は、$f$ が全単射でなくても（逆写像がなくても）常に定義される。

例 3.6 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$、$f(x) = x^2$ とする。

• $f([-1, 2]) = [0, 4]$。実際、$-1 \leq x \leq 2$ なら $\lvert x \rvert \leq 2$ より $0 \leq x^2 \leq 4$。逆に $y \in [0, 4]$ なら $x := \sqrt{y} \in [0, 2] \subset [-1, 2]$ で $f(x) = y$。
• $f^{-1}([1, 4]) = [-2, -1] \cup [1, 2]$、$f^{-1}([-2, -1]) = \emptyset$。
• $f^{-1}(f([0, 1])) = f^{-1}([0, 1]) = [-1, 1]$ はもとの $[0, 1]$ より大きい。
• $f(f^{-1}([-1, 1])) = f([-1, 1]) = [0, 1]$ はもとの $[-1, 1]$ より小さい。

定理 3.7（像の性質）$f\colon X \to Y$、$A, A' \subset X$、$(A_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ を $X$ の部分集合の族（$\Lambda \neq \emptyset$）とする。

1. $A \subset A'$ ならば $f(A) \subset f(A')$
2. $f \bigl( \bigcup_{\lambda} A_\lambda \bigr) = \bigcup_{\lambda} f(A_\lambda)$。特に $f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')$
3. $f \bigl( \bigcap_{\lambda} A_\lambda \bigr) \subset \bigcap_{\lambda} f(A_\lambda)$。特に $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$

証明. (1) $y \in f(A)$ なら $y = f(a)$ となる $a \in A$ があり、$a \in A'$ なので $y \in f(A')$。

(2) 定理 1.21（同種の量化子は入れ替えられる）を使うと

(3) 各 $\mu \in \Lambda$ について $\bigcap_\lambda A_\lambda \subset A_\mu$ なので、(1) より $f(\bigcap_\lambda A_\lambda) \subset f(A_\mu)$。これがすべての $\mu$ で成り立つので $f(\bigcap_\lambda A_\lambda) \subset \bigcap_\mu f(A_\mu)$。$\square$

(3) で逆向きが言えない理由も量化子の順序で説明できる。$y \in \bigcap_\lambda f(A_\lambda)$ は「$\forall \lambda,\ \exists x_\lambda \in A_\lambda,\ f(x_\lambda) = y$」であり、$x_\lambda$ は $\lambda$ ごとに違ってよい。一方 $y \in f(\bigcap_\lambda A_\lambda)$ は「$\exists x,\ \forall \lambda,\ x \in A_\lambda$ かつ $f(x) = y$」であり、共通の $x$ が必要である（定理 1.21）。

例 3.8 $f(x) = x^2$ とし、$A = [-1, 0]$、$A' = [0, 1]$ とすると、$f(A \cap A') = f(\lbrace 0 \rbrace) = \lbrace 0 \rbrace$ だが $f(A) \cap f(A') = [0, 1]$ である。さらに $A = [-1, 0)$、$A' = (0, 1]$ とすると $A \cap A' = \emptyset$ なのに $f(A) \cap f(A') = (0, 1]$ となる。等号がすべての $A, A'$ で成り立つのは $f$ が単射のときに限る（問題 3.4）。

定理 3.9（逆像の性質）$f\colon X \to Y$、$B, B' \subset Y$、$(B_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ を $Y$ の部分集合の族（$\Lambda \neq \emptyset$）とする。

1. $B \subset B'$ ならば $f^{-1}(B) \subset f^{-1}(B')$
2. $f^{-1} \bigl( \bigcup_{\lambda} B_\lambda \bigr) = \bigcup_{\lambda} f^{-1}(B_\lambda)$
3. $f^{-1} \bigl( \bigcap_{\lambda} B_\lambda \bigr) = \bigcap_{\lambda} f^{-1}(B_\lambda)$
4. $f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)$、より一般に $f^{-1}(B \setminus B') = f^{-1}(B) \setminus f^{-1}(B')$

証明. (2) $x \in f^{-1}(\bigcup_\lambda B_\lambda) \iff f(x) \in \bigcup_\lambda B_\lambda \iff \exists \lambda,\ f(x) \in B_\lambda \iff \exists \lambda,\ x \in f^{-1}(B_\lambda) \iff x \in \bigcup_\lambda f^{-1}(B_\lambda)$。(3) は $\exists$ を $\forall$ に変えて同じである。(4) $x \in X$ について $x \in f^{-1}(B \setminus B') \iff (f(x) \in B \land f(x) \notin B') \iff (x \in f^{-1}(B) \land x \notin f^{-1}(B'))$。$B = Y$ とおけば前半を得る。(1) は定義から明らかである。$\square$

逆像はすべての集合演算と両立するが、像は和集合としか両立しない。このため、位相空間論では連続写像を「開集合の逆像が開集合になる写像」と定義し（位相空間論 第2章）、測度論では可測関数を逆像で定義する（測度と積分 第3章）。

定理 3.10 $f\colon X \to Y$、$A \subset X$、$B \subset Y$ とする。

1. $A \subset f^{-1}(f(A))$
2. $f(f^{-1}(B)) = B \cap f(X) \subset B$

証明. (1) $a \in A$ なら $f(a) \in f(A)$ なので $a \in f^{-1}(f(A))$。(2) $y \in f(f^{-1}(B)) \iff \exists x \in X,\ (f(x) \in B \land f(x) = y) \iff (y \in B \land \exists x \in X,\ f(x) = y) \iff y \in B \cap f(X)$。$\square$

例 3.6 のとおり、どちらの包含も一般には等号にならない。等号がつねに成り立つ条件は問題 3.3 で調べる。

3.3 単射・全射・全単射

定義 3.11（単射・全射・全単射）写像 $f\colon X \to Y$ について：

• $f$ が単射 (injection, injective map) であるとは、$\forall x, x' \in X,\ (f(x) = f(x') \Rightarrow x = x')$ が成り立つことをいう。
• $f$ が全射 (surjection, surjective map) であるとは、$\forall y \in Y,\ \exists x \in X,\ f(x) = y$、すなわち $f(X) = Y$ が成り立つことをいう。
• $f$ が単射かつ全射であるとき、全単射 (bijection) であるという。

単射の条件は対偶をとって「$x \neq x' \Rightarrow f(x) \neq f(x')$」（異なる元は異なる元に写る）と言っても同じである。ファイバーの言葉では、単射は「各ファイバーの元が高々一つ」、全射は「各ファイバーが空でない」、全単射は「各ファイバーの元がちょうど一つ」、すなわち $\forall y \in Y,\ \exists ! x \in X,\ f(x) = y$ である。英語では単射を one-to-one、全射を onto とも言う。

注意 3.12（証明の型）第1章 1.7 節の骨組みに従うと、次のようになる。

• 単射の証明：「$x, x' \in X$ とし、$f(x) = f(x')$ と仮定する。$\cdots$ よって $x = x'$ である。」
• 全射の証明：「$y \in Y$ を任意にとる。$x := \cdots$ とおくと、$x \in X$ かつ $f(x) = y$ である。」$x$ は $f(x) = y$ を解いて見つけるが、その計算は下書きであり、答案では見つけた $x$ が定義域に属することと $f(x) = y$ を確かめればよい。
• 単射でないこと：$x \neq x'$ かつ $f(x) = f(x')$ となる $x, x'$ を一組挙げる。
• 全射でないこと：どの $x$ についても $f(x) \neq y$ となる $y \in Y$ を一つ挙げ、それを示す。

例 3.13

(1) $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$、$f(x) = 2x + 1$ は全単射である。単射：$2x + 1 = 2x' + 1$ なら $x = x'$。全射：$y \in \mathbb{R}$ に対し $x := (y - 1)/2 \in \mathbb{R}$ とおくと $f(x) = y$。

(2) 同じ式 $x \mapsto x^2$ でも、定義域と終域によって性質が変わる。

写像は式だけでなく定義域と終域を込めて一つのものである、という定義 3.1 の意味がここに現れている。

(3) $s\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$、$s(n) = n + 1$ は単射だが全射でない（$1 \notin s(\mathbb{N})$）。同じ式で $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ とすると全単射になる。無限集合では、自分自身への単射が全射でないことがありうる（第5章）。

(4) 指数関数 $\exp\colon \mathbb{R} \to (0, \infty)$ は全単射であり、逆写像が対数関数である。

3.4 合成と逆写像

定義 3.14（合成）$f\colon X \to Y$、$g\colon Y \to Z$ に対し、写像 $g \circ f\colon X \to Z$ を $(g \circ f)(x) := g(f(x))$ で定め、$f$ と $g$ の合成 (composition) という。

$g \circ f$ は「先に $f$、次に $g$」であり、右から読む。合成は $f$ の終域と $g$ の定義域が一致するときに定義する。

定理 3.15 $f\colon X \to Y$、$g\colon Y \to Z$、$h\colon Z \to W$ について、$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$（結合法則）、$f \circ \mathrm{id}_X = f = \mathrm{id}_Y \circ f$ が成り立つ。

証明. 各 $x \in X$ で両辺の値はともに $h(g(f(x)))$ である。後半も各点で値を比べればよい。$\square$

結合法則により括弧を省いて $h \circ g \circ f$ と書ける。一方、合成は一般に可換でない。$f(x) = x + 1$、$g(x) = x^2$ なら $(g \circ f)(x) = (x + 1)^2$、$(f \circ g)(x) = x^2 + 1$ である。

定理 3.16 $f\colon X \to Y$、$g\colon Y \to Z$ とする。

1. $f, g$ が単射ならば $g \circ f$ は単射である。
2. $f, g$ が全射ならば $g \circ f$ は全射である。
3. $g \circ f$ が単射ならば $f$ は単射である。
4. $g \circ f$ が全射ならば $g$ は全射である。

証明. (1) $g(f(x)) = g(f(x'))$ なら、$g$ が単射なので $f(x) = f(x')$、$f$ が単射なので $x = x'$。(2) $z \in Z$ に対し、$g(y) = z$ となる $y \in Y$、さらに $f(x) = y$ となる $x \in X$ があり、$(g \circ f)(x) = z$。(3) $f(x) = f(x')$ なら両辺に $g$ を施して $(g \circ f)(x) = (g \circ f)(x')$、よって $x = x'$。(4) $z \in Z$ に対し $g(f(x)) = z$ となる $x$ があり、$y := f(x)$ とおけば $g(y) = z$。$\square$

(3)(4) で「$g$ も単射」「$f$ も全射」とは言えない。$X = Z = \lbrace 1 \rbrace$、$Y = \lbrace 1, 2 \rbrace$、$f(1) = 1$、$g(1) = g(2) = 1$ とすると、$g \circ f = \mathrm{id}_X$ は全単射だが、$f$ は全射でなく $g$ は単射でない。

定義 3.17（逆写像）$f\colon X \to Y$ を全単射とする。各 $y \in Y$ に対し $f(x) = y$ となるただ一つの $x \in X$ を $f^{-1}(y)$ と書く。こうして定まる写像 $f^{-1}\colon Y \to X$ を $f$ の逆写像 (inverse map) という。

$f^{-1}$ のグラフは、$f$ のグラフの成分を入れ替えた $\lbrace (y, x) \mid (x, y) \in G \rbrace$ である。全単射であることが、これが写像のグラフになる（各 $y$ に $x$ がただ一つ対応する）ための条件である。

定理 3.18 写像 $f\colon X \to Y$ について次が成り立つ。

1. $f$ が全単射ならば $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X$、$f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y$ である。
2. 写像 $g\colon Y \to X$ で $g \circ f = \mathrm{id}_X$ かつ $f \circ g = \mathrm{id}_Y$ を満たすものがあれば、$f$ は全単射で $g = f^{-1}$ である。
3. $f\colon X \to Y$、$g\colon Y \to Z$ が全単射ならば、$g \circ f$ も全単射で $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ である。

証明. (1) $f^{-1}(f(x))$ は「$f(x') = f(x)$ となるただ一つの $x'$」だから $x$ に等しい。$f(f^{-1}(y)) = y$ は $f^{-1}(y)$ の定義そのものである。

(2) $g \circ f = \mathrm{id}_X$ は単射なので定理 3.16 (3) より $f$ は単射、$f \circ g = \mathrm{id}_Y$ は全射なので定理 3.16 (4) より $f$ は全射である。さらに $y \in Y$ について $f(g(y)) = y$ だから、$g(y)$ は $f(x) = y$ となるただ一つの $x$、すなわち $f^{-1}(y)$ である。

(3) 結合法則と (1) より $(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X$、同様に $(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = \mathrm{id}_Z$。(2) より結論を得る。$\square$

(1) と (2) から、$f^{-1}$ も全単射で $(f^{-1})^{-1} = f$ である。(3) は「靴下をはいてから靴をはいたら、脱ぐときは靴が先」と覚えるとよい。

注意 3.19（記号 $f^{-1}$ について）逆像 $f^{-1}(B)$ はどんな写像でも定義されるが、逆写像 $f^{-1}$ は全単射に対してだけ定義される。$f$ が全単射のときは、$f$ による $B$ の逆像と、$f^{-1}$ による $B$ の像が一致するので、記号の衝突は起こらない。一点 $y$ のファイバー $f^{-1}(\lbrace y \rbrace)$ を $f^{-1}(y)$ と略記する本もあるので、文脈に注意する。

3.5 左逆写像と右逆写像

全単射でない写像にも、「片側だけの逆」がありうる。

定義 3.20（左逆写像・右逆写像）$f\colon X \to Y$ とする。写像 $g\colon Y \to X$ が $g \circ f = \mathrm{id}_X$ を満たすとき $g$ を $f$ の左逆写像 (left inverse)、写像 $h\colon Y \to X$ が $f \circ h = \mathrm{id}_Y$ を満たすとき $h$ を $f$ の右逆写像 (right inverse) という。

定理 3.21 $X \neq \emptyset$ とする。写像 $f\colon X \to Y$ が単射であるための必要十分条件は、$f$ が左逆写像をもつことである。

証明. ($\Leftarrow$) $g \circ f = \mathrm{id}_X$ は単射なので、定理 3.16 (3) より $f$ は単射である。

($\Rightarrow$) $X \neq \emptyset$ なので $x_0 \in X$ を一つとる。$y \in f(X)$ に対しては、$f$ が単射なので $f(x) = y$ となる $x$ がただ一つあり、それを $g(y)$ とする。$y \in Y \setminus f(X)$ に対しては $g(y) := x_0$ とする。グラフで言えば $\lbrace (f(x), x) \mid x \in X \rbrace \cup \bigl( (Y \setminus f(X)) \times \lbrace x_0 \rbrace \bigr)$ であり、これは写像 $Y \to X$ のグラフの条件を満たす。作り方から $g(f(x)) = x$ である。$\square$

$X \neq \emptyset$ の仮定は必要である。空写像 $\emptyset \to Y$（$Y \neq \emptyset$）は単射だが、$Y \to \emptyset$ という写像は存在しない（例 3.4）。また左逆写像は一般に一意でない（$Y \setminus f(X)$ での値を自由に選べる）。

定理 3.22 写像 $f\colon X \to Y$ が全射であるための必要十分条件は、$f$ が右逆写像をもつことである。ただし「$\Rightarrow$」の証明には選択公理を用いる。

証明. ($\Leftarrow$) $f \circ h = \mathrm{id}_Y$ は全射なので、定理 3.16 (4) より $f$ は全射である。

($\Rightarrow$) $f$ が全射なので、各 $y \in Y$ のファイバー $f^{-1}(\lbrace y \rbrace)$ は空でない。選択公理（空でない集合の族 $(A_y)_{y \in Y}$ に対して、各 $y$ で $h(y) \in A_y$ となる写像 $h$ が存在する。第6章）を $A_y := f^{-1}(\lbrace y \rbrace)$ に適用すると、各 $y$ で $h(y) \in f^{-1}(\lbrace y \rbrace)$、すなわち $f(h(y)) = y$ となる写像 $h\colon Y \to X$ が得られる。これが右逆写像である。$\square$

注意 3.23（なぜ選択公理か）定理 3.21 では「$f(x) = y$ となる $x$」がただ一つなので、$g$ は条件だけから決まった。定理 3.22 では各ファイバーから元を選ぶ必要があり、一般にはそれを指定する規則がない。規則があれば選択公理はいらない。たとえば $Y$ が有限集合なら一つずつ選べばよく（帰納法）、$X = \mathbb{N}$ なら $h(y) := \min f^{-1}(\lbrace y \rbrace)$ とすればよい。$f\colon \mathbb{R} \to [0, \infty)$、$x \mapsto x^2$ なら $h(y) = \sqrt{y}$ も $h(y) = -\sqrt{y}$ も右逆写像である。実は「すべての全射は右逆写像をもつ」という主張は選択公理と同値である（第6章）。

系 3.24 写像 $f\colon X \to Y$ が左逆写像 $g$ と右逆写像 $h$ をもつならば、$g = h$ であり、$f$ は全単射で $f^{-1} = g$ である。

証明. $g = g \circ \mathrm{id}_Y = g \circ (f \circ h) = (g \circ f) \circ h = \mathrm{id}_X \circ h = h$。よって $g \circ f = \mathrm{id}_X$、$f \circ g = \mathrm{id}_Y$ となり、定理 3.18 (2) から結論を得る。$\square$

3.6 制限・拡張・包含写像

定義 3.25（制限・拡張・包含写像）$f\colon X \to Y$ と $A \subset X$ に対し、$A$ 上でだけ考えた写像 $A \to Y,\ a \mapsto f(a)$ を $f$ の $A$ への制限 (restriction) といい、$f\vert_A$ と書く。$X \subset X'$ のとき、$F\vert_X = f$ を満たす写像 $F\colon X' \to Y$ を $f$ の拡張 (extension) という。$A \subset X$ のとき、$\iota\colon A \to X,\ a \mapsto a$ を包含写像 (inclusion map) という。

包含写像を使うと $f\vert_A = f \circ \iota$ と書ける。包含写像は単射であり、$A \hookrightarrow X$ と書くこともある。

例 3.26

1. $f(x) = x^2$ は $\mathbb{R}$ 上で単射でないが、制限 $f\vert_{[0, \infty)}$ は単射である。制限すると単射になりうるし、全射でなくなりうる。
2. $g(x) = (\sin x)/x$ は $\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上の関数である。$0$ での値を何にしても $\mathbb{R}$ への拡張が得られ、拡張は一意でない。$g(0) := 1$ とした拡張だけが連続になる。
3. 終域の取り替え：$f(X) \subset Y'$ なら、$f$ を $X \to Y'$ という写像とみなせる（定義 3.1 の意味では別の写像である）。特に $X \to f(X),\ x \mapsto f(x)$ はつねに全射なので、単射 $f\colon X \to Y$ からは全単射 $X \to f(X)$ が得られる。

3.7 定義関数

部分集合を「$0$ と $1$ の値をとる関数」で表すと、集合の計算を数の計算に置き換えられる。

定義 3.27（定義関数）集合 $X$ とその部分集合 $A$ に対し、写像 $\mathbf{1}_A\colon X \to \lbrace 0, 1 \rbrace$ を、$x \in A$ のとき $\mathbf{1}_A(x) = 1$、$x \notin A$ のとき $\mathbf{1}_A(x) = 0$ で定める。$\mathbf{1}_A$ を $A$ の定義関数（指示関数, indicator function）という。

定理 3.28 $A, B \subset X$ とする。関数の和・差・積・大小は各点ごとに考える。

1. $A = B \iff \mathbf{1}_A = \mathbf{1}_B$
2. $\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B$、$\mathbf{1}_{X \setminus A} = 1 - \mathbf{1}_A$、$\mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B$
3. $A \subset B \iff \mathbf{1}_A \leq \mathbf{1}_B$

証明. (1) $A = \lbrace x \in X \mid \mathbf{1}_A(x) = 1 \rbrace$ なので、$\mathbf{1}_A$ から $A$ が復元できる。(2) 各 $x$ について「$x \in A$ か否か」「$x \in B$ か否か」の 4 通りで両辺の値を比べればよい。たとえば最後の式は、$x$ が両方に属すとき $1 + 1 - 1 = 1$、一方だけに属すとき $1$、どちらにも属さないとき $0$ となり、左辺と一致する。(3) も 4 通りを調べればよい。$\square$

注意 3.29 $\mathbf{1}_A$ を特性関数 (characteristic function) と呼ぶ本も多い。ただし確率論で「特性関数」といえば確率分布のフーリエ変換のことなので（確率論 第3章）、本教材では「定義関数」と呼ぶ。定義関数は測度論における積分の出発点でもある（$\int \mathbf{1}_A \ d\mu = \mu(A)$）。

3.8 写像の集合 $Y^X$

写像そのものを元とする集合を考える。

定義 3.30（写像の集合）集合 $X$ から集合 $Y$ への写像全体の集合を $Y^X$ と書く。

写像はグラフ $G \subset X \times Y$ と同一視できるので、$Y^X$ は $\mathcal{P}(X \times Y)$ の部分集合として分出公理により存在する。

例 3.31 $X$ が $m$ 個、$Y$ が $n$ 個の元からなる有限集合なら、$X$ の各元の行き先を $n$ 通りずつ選べるので、$Y^X$ は $n^m$ 個の元をもつ。この記号はこの事実に由来する。また $Y^{\emptyset}$ は空写像だけからなり $1$ 個の元をもち、$X \neq \emptyset$ なら $\emptyset^X = \emptyset$ である（例 3.4）。$\emptyset^{\emptyset}$ は $1$ 個の元をもつので、$0^0 = 1$ という約束と整合する。$\lbrace 0, 1 \rbrace^{\mathbb{N}}$ は $0$ と $1$ からなる数列全体である。

定理 3.32 集合 $X$ に対し、写像 $\Phi\colon \mathcal{P}(X) \to \lbrace 0, 1 \rbrace^X$、$A \mapsto \mathbf{1}_A$ は全単射であり、逆写像は $\Psi\colon \varphi \mapsto \varphi^{-1}(\lbrace 1 \rbrace)$ である。

証明. $A \subset X$ について $\Psi(\Phi(A)) = \lbrace x \in X \mid \mathbf{1}_A(x) = 1 \rbrace = A$。$\varphi \in \lbrace 0, 1 \rbrace^X$ について $B := \varphi^{-1}(\lbrace 1 \rbrace)$ とおくと、$\varphi(x) = 1$ なら $x \in B$ なので $\mathbf{1}_B(x) = 1$、$\varphi(x) = 0$ なら $x \notin B$ なので $\mathbf{1}_B(x) = 0$。よって $\Phi(\Psi(\varphi)) = \mathbf{1}_B = \varphi$。定理 3.18 (2) より $\Phi$ は全単射で $\Psi = \Phi^{-1}$ である。$\square$

部分集合 $A$ を選ぶことは、各元 $x$ に「$A$ に入れる ($1$)・入れない ($0$)」を割り当てることと同じである。有限集合の場合は例 3.31 から、$n$ 元集合の冪集合が $2^n$ 個の元をもつこと（定理 2.16）が再び得られる。冪集合を $2^X$ と書く本があるのはこのためである。この対応は第5章で $\mathbb{R}$ の濃度を調べるときに活躍する。

3.9 族と写像

第2章では「添字 $\lambda$ ごとに集合 $A_\lambda$ が対応している」ものを族と呼んだ。写像の言葉を使えば、これを正確に定義できる。

定義 3.33（族）集合 $\Lambda$ から集合 $X$ への写像 $x\colon \Lambda \to X$ を、$\Lambda$ を添字集合とする $X$ の元の族 (family) といい、$x(\lambda)$ を $x_\lambda$ と書いて $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ と表す。特に写像 $\mathbb{N} \to X$ を $X$ の点列（数列, sequence）といい $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と書く。$X$ の部分集合の族 $(A_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ は写像 $\Lambda \to \mathcal{P}(X)$ のことである。

族と集合は違う。数列 $(1, 1, 1, \dots)$ は写像 $n \mapsto 1$ であり、その像 $\lbrace 1 \rbrace$ とは別物である。族は「順番」と「重複」の情報をもつ。

定義 3.34（直積）集合族 $(X_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ に対し

$$\prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda := \Bigl\lbrace x \colon \Lambda \to \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda \mid \forall \lambda \in \Lambda,\ x(\lambda) \in X_\lambda \Bigr\rbrace$$

を族の直積 (direct product) という。その元を $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ と書き、各 $\mu \in \Lambda$ に対して写像 $p_\mu\colon \prod_\lambda X_\lambda \to X_\mu$、$(x_\lambda)_\lambda \mapsto x_\mu$ を射影 (projection) という。

$\Lambda = \lbrace 1, 2 \rbrace$ のとき、$x \mapsto (x(1), x(2))$ は $\prod_{\lambda \in \lbrace 1, 2 \rbrace} X_\lambda$ から $X_1 \times X_2$ への全単射なので、両者を同一視する。すべての $\lambda$ で $X_\lambda = X$ なら $\prod_{\lambda \in \Lambda} X = X^\Lambda$ である。たとえば $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ は実数列全体である。

注意 3.35 ある $X_\mu$ が空なら直積は空である。逆に、すべての $X_\lambda$ が空でないとき直積は空でないだろうか。直積の元とは各 $X_\lambda$ から一つずつ元を選んだものだから、$\Lambda$ が有限なら帰納法で元を作れる。しかし $\Lambda$ が無限のとき、これを一般に保証するのがまさに選択公理である（第6章）。直積は位相空間論の積位相（位相空間論 第3章）などで重要になる。

まとめ

• 写像 $f\colon X \to Y$ は、定義域・終域とグラフ $G \subset X \times Y$（各 $x$ に $y$ がただ一つ対応）の組である。同じ式でも定義域・終域が違えば別の写像である。
• 像 $f(A)$ は和集合と両立するが共通部分とは一般に両立しない。逆像 $f^{-1}(B)$ は和・共通部分・補集合をすべて保つ。
• 単射は「$f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$」、全射は「$\forall y\ \exists x,\ f(x) = y$」で、証明の型が決まっている。
• 合成は結合的だが可換でない。$g \circ f$ が単射なら $f$ が単射、全射なら $g$ が全射である。
• 全単射は逆写像をもち、$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ である。単射 $\iff$ 左逆写像をもつ（$X \neq \emptyset$）、全射 $\iff$ 右逆写像をもつ（選択公理を使う）。
• 定義関数により $\mathcal{P}(X)$ と $\lbrace 0, 1 \rbrace^X$ は一対一に対応する。
• 族は添字集合からの写像であり、直積 $\prod X_\lambda$ は「各成分を選んだもの」全体である。

演習問題