可測関数と積分・収束定理

この章の目標

• 可測関数を扱い、単関数による近似を証明できる
• 単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理を証明できる
• 優関数を見つけて極限と積分の交換を正当化でき、収束定理が破綻する典型例を説明できる
• パラメータを含む積分の連続性・微分可能性を示せる
• リーマン可積分性に関するルベーグの判定条件を証明できる

前提：第1章、第2章、01-calculus 第5章

この章で積分を定義し、ルベーグ積分の最大の利点である収束定理を証明する。収束定理は証明よりも使い方が大切なので、優関数の見つけ方と、仮定を外すと結論が崩れる例を詳しく扱う。以下 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ は測度空間とする。

3.1 可測関数

定義 3.1（可測写像, measurable map）可測空間の間の写像 $f\colon (X, \mathcal{M}) \to (Y, \mathcal{N})$ が、すべての $B \in \mathcal{N}$ について $f^{-1}(B) \in \mathcal{M}$ を満たすとき、可測であるという。$f\colon X \to \overline{\mathbb{R}}$（または $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$）については、値域にボレル集合族を考えて可測性を定め、$\mathcal{M}$-可測関数という。$X = \mathbb{R}^n$ で $\mathcal{M} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ のときボレル可測、$\mathcal{M} = \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ のときルベーグ可測という。

命題 3.2 (1) $\mathcal{N} = \sigma(\mathcal{E})$ ならば、$f$ が可測であるためには、すべての $E \in \mathcal{E}$ について $f^{-1}(E) \in \mathcal{M}$ であれば十分である。 (2) $f\colon X \to \overline{\mathbb{R}}$ が可測であることは、すべての $a \in \mathbb{R}$ について $\lbrace f > a \rbrace \in \mathcal{M}$ であることと同値である（$>$ を $\geq, <, \leq$ に替えてもよい）。 (3) 位相空間の間の連続写像はボレル可測である。可測写像の合成は可測である。

証明. (1) $\lbrace B \subset Y \mid f^{-1}(B) \in \mathcal{M} \rbrace$ は σ-加法族で $\mathcal{E}$ を含むから $\mathcal{N}$ を含む。(2) 命題 1.13 と同様に $(a, \infty]$（$a \in \mathbb{R}$）全体は $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$ を生成するので (1) による。$\lbrace f \geq a \rbrace = \bigcap_n \lbrace f > a - 1/n \rbrace$ などで言い換えられる。(3) 開集合の逆像は開集合だから (1) による。合成は定義から明らか。$\square$

命題 3.3 $f, g\colon X \to \mathbb{R}$ が可測、$\varphi\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ が連続ならば、$\varphi(f, g)$ は可測である。特に $f + g$、$fg$、$\max\lbrace f, g \rbrace$、$f^{\pm}$、$\lvert f \rvert$ は可測である。複素数値関数が可測であることは、実部と虚部が可測であることと同値である。

証明. $F = (f, g)\colon X \to \mathbb{R}^2$ について $F^{-1}((a,b] \times (c,d]) = f^{-1}((a,b]) \cap g^{-1}((c,d]) \in \mathcal{M}$ で、半開長方形は $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ を生成する（命題 1.14）から、$F$ は可測である。$\varphi \circ F$ は命題 3.2 (3) より可測。$\square$

命題 3.4 $f_n\colon X \to \overline{\mathbb{R}}$ が可測ならば、$\sup_n f_n$、$\inf_n f_n$、$\limsup_n f_n$、$\liminf_n f_n$ は可測である。特に各点極限 $\lim_n f_n$ は（存在すれば）可測である。

証明. $\lbrace \sup_n f_n > a \rbrace = \bigcup_n \lbrace f_n > a \rbrace$。$\inf_n f_n = -\sup_n (-f_n)$、$\limsup_n f_n = \inf_k \sup_{n \geq k} f_n$ である。$\square$

連続関数の各点極限は連続とは限らないが、可測関数の各点極限は可測である。これが可測関数の族の強みである。

注意 3.5 $\mu$ が完備で、$f$ が可測、$\mu$-a.e. で $g = f$ ならば $g$ も可測である（$\lbrace g > a \rbrace$ と $\lbrace f > a \rbrace$ の差は零集合の部分集合）。そこで完備な測度空間（ルベーグ測度など）では、零集合の上で定義されていない関数や、a.e. でしか収束しない列の極限も、零集合上で値を適当に定めて可測関数として扱う。ただし、ルベーグ可測関数 $h$ と連続関数 $k$ の合成 $h \circ k$（先に $k$、次に $h$）はルベーグ可測とは限らない（問題 7.6）。逆順の $k \circ h$ は、開集合の逆像 $h^{-1}(k^{-1}(U))$ が可測なので可測である。

3.2 単関数近似

定義 3.6（単関数, simple function）有限個の値しかとらない可測関数 $s = \sum_{j=1}^{m} a_j \mathbf{1}_{A_j}$（$a_j \in \mathbb{C}$、$A_j \in \mathcal{M}$）を単関数という。$a_j$ を相異なる値、$A_j = \lbrace s = a_j \rbrace$ としたものを標準形という。

定理 3.7（単関数近似）$f\colon X \to [0, \infty]$ が可測ならば、単関数の列 $0 \leq s_1 \leq s_2 \leq \cdots$ で各点で $s_n \to f$ となるものが存在する。収束は $f$ が有界な集合の上で一様である。実数値・複素数値の可測関数 $f$ についても、$\lvert s_n \rvert \leq \lvert f \rvert$ かつ $s_n \to f$ となる単関数列が存在する。

証明. $n \in \mathbb{N}$ に対し

とおく。$s_n$ は $f$ の値を $2^{-n}$ 刻みで切り捨てたもの（ただし $n$ で頭打ち）であり、$0 \leq s_n \leq f$。刻みを半分にすれば切り捨て値は減らず、頭打ちの値も $n$ から $n + 1$ に上がるだけなので $s_n \leq s_{n+1}$。$f(x) < \infty$ なら $n > f(x)$ で $0 \leq f(x) - s_n(x) < 2^{-n}$、$f(x) = \infty$ なら $s_n(x) = n \to \infty$。$\lbrace f \leq M \rbrace$ 上では $n > M$ で $\sup (f - s_n) \leq 2^{-n}$ だから一様収束する。実数値なら $f^{+}, f^{-}$ に、複素数値なら実部・虚部の正部分と負部分にそれぞれ適用して組み合わせればよい。$\square$

3.3 非負可測関数の積分

定義 3.8 標準形の非負単関数 $s = \sum_{j} a_j \mathbf{1}_{A_j}$ に対し $\int_X s\ d\mu = \sum_j a_j \mu(A_j)$ と定める（$0 \cdot \infty = 0$）。$E \in \mathcal{M}$ に対し $\int_E s\ d\mu = \int_X s \mathbf{1}_E\ d\mu$。

補題 3.9 非負単関数 $s, t$ と $c \geq 0$ について：(1) $B_i$ が互いに交わらないとき、$s = \sum_i b_i \mathbf{1}_{B_i}$ ならば $\int s = \sum_i b_i \mu(B_i)$。(2) $\int (s + t) = \int s + \int t$、$\int cs = c \int s$。(3) $s \leq t$ ならば $\int s \leq \int t$。(4) $E \mapsto \int_E s\ d\mu$ は測度である。

証明. (1) 同じ値 $b_i$ をもつ $B_i$ をまとめれば標準形になり、加法性から値は変わらない。(2) $s = \sum_j a_j \mathbf{1}_{A_j}$、$t = \sum_k b_k \mathbf{1}_{B_k}$（標準形）とすると、$s + t = \sum_{j,k} (a_j + b_k) \mathbf{1}_{A_j \cap B_k}$ で $A_j \cap B_k$ は互いに交わらないから、(1) より $\int(s + t) = \sum_{j,k} (a_j + b_k)\mu(A_j \cap B_k) = \int s + \int t$。(3) 同じ分割で、$A_j \cap B_k \neq \emptyset$ なら $a_j \leq b_k$。(4) $\int_E s = \sum_j a_j \mu(A_j \cap E)$ は測度 $\mu(\cdot \cap A_j)$ の非負結合である。$\square$

定義 3.10（積分）可測関数 $f\colon X \to [0, \infty]$ に対し

$$\int_X f\ d\mu = \sup\left\lbrace \int_X s\ d\mu \mid s \text{ は単関数},\ 0 \leq s \leq f \right\rbrace$$

と定める。$\int_E f\ d\mu = \int_X f \mathbf{1}_E\ d\mu$ とし、$\int f\ d\mu$ や $\int f(x)\ d\mu(x)$ とも書く。ルベーグ測度の場合は $\int f\ dx$ とも書く。

補題 3.9 (3) より、単関数についてはこの定義は定義 3.8 と一致する。また $0 \leq f \leq g$ ならば $\int f \leq \int g$ である。

3.4 単調収束定理とファトゥの補題

定理 3.11（単調収束定理, monotone convergence theorem）可測関数の列 $0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \cdots$ が各点で $f$ に収束するならば、$\int f_n\ d\mu \to \int f\ d\mu$。

証明. $f$ は可測で、$\int f_n$ は増加列だから極限 $L \leq \int f$ をもつ。逆向きを示すため、単関数 $0 \leq s \leq f$ と $0 < c < 1$ をとり、$E_n = \lbrace f_n \geq cs \rbrace$ とおく。$E_n$ は増加列で $\bigcup_n E_n = X$ である（$s(x) = 0$ なら $x \in E_1$。$s(x) > 0$ なら $cs(x) < s(x) \leq f(x) = \lim_n f_n(x)$ より、ある $n$ で $f_n(x) \geq cs(x)$）。補題 3.9 (4) と下からの連続性より

よって $L \geq c \int s$。$c \uparrow 1$ として $s$ について上限をとれば $L \geq \int f$。$\square$

系 3.12 $f, g, f_n\colon X \to [0, \infty]$ を可測とする。

1. $a, b \geq 0$ に対し $\int (af + bg) = a\int f + b\int g$。
2. （項別積分）$\int \sum_n f_n = \sum_n \int f_n$。
3. $\nu(E) = \int_E f\ d\mu$ は測度であり、可測な $g \geq 0$ について $\int g\ d\nu = \int g f\ d\mu$。
4. （チェビシェフの不等式）$a > 0$ に対し $\mu(\lbrace f \geq a \rbrace) \leq \frac{1}{a} \int f\ d\mu$。特に $\int f = 0 \Leftrightarrow f = 0$（a.e.）、$\int f < \infty \Rightarrow f < \infty$（a.e.）。また a.e. で $f = g$ ならば $\int f = \int g$。

証明. 1. 単関数近似 $s_n \uparrow f$、$t_n \uparrow g$ をとると $as_n + bt_n \uparrow af + bg$ だから、補題 3.9 と単調収束定理による。2. 部分和に 1 と単調収束定理を適用する。3. 可算加法性は 2 から。第2式は $g = \mathbf{1}_E$ で定義そのもので、単関数、単調収束定理の順に拡張する。4. $a \mathbf{1}_{\lbrace f \geq a \rbrace} \leq f$ を積分する。$\int f = 0$ なら $\mu(\lbrace f \geq 1/k \rbrace) = 0$ がすべての $k$ で成り立つ。逆に $f = 0$（a.e.）なら $0 \leq s \leq f$ の単関数は a.e. で 0 なので $\int s = 0$。$\mu(\lbrace f = \infty \rbrace) \leq \mu(\lbrace f \geq k \rbrace) \leq \frac{1}{k}\int f$。最後の主張は、零集合 $N$ の外で $f = g$ なら $\int f = \int f \mathbf{1}_{N^c} = \int g \mathbf{1}_{N^c} = \int g$（$\int f \mathbf{1}_N = 0$ と 1 による）。$\square$

例 3.13 $x > 0$ で $\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} x e^{-nx}$（各項は非負）だから、項別積分と $\int_0^\infty x e^{-nx}\ dx = \frac{1}{n^2}$ より

リーマン積分でこれを正当化するには、級数の一様収束と広義積分の処理が必要になるが、非負項なら系 3.12 の 2 だけで済む（リーマン積分との一致は 3.8 節）。数え上げ測度に適用すれば、非負項の二重級数の和の順序交換 $\sum_m \sum_n a_{mn} = \sum_n \sum_m a_{mn}$ も系 3.12 の 2 の特別な場合である。

定理 3.14（ファトゥの補題, Fatou's lemma）可測関数 $f_n \geq 0$ について $\int \liminf_n f_n\ d\mu \leq \liminf_n \int f_n\ d\mu$。

証明. $g_k = \inf_{n \geq k} f_n$ は増加して $\liminf_n f_n$ に収束し、$n \geq k$ なら $g_k \leq f_n$ だから $\int g_k \leq \inf_{n \geq k} \int f_n$。単調収束定理より $\int \liminf_n f_n = \lim_k \int g_k \leq \lim_k \inf_{n \geq k} \int f_n = \liminf_n \int f_n$。$\square$

例 3.15（ファトゥの補題の不等号は等号にならない）$\mathbb{R}$ 上で $f_n = \mathbf{1}_{[n, n+1]}$（逃げる質量）とすると、各点で $f_n \to 0$ だが $\int f_n = 1$。$[0,1]$ 上で $f_n = n \mathbf{1}_{(0, 1/n)}$（集中する山）も同様である。極限へ移るときに「質量が失われる」ことはあっても「湧き出す」ことはない、というのがファトゥの補題の内容である。非負性も外せない：$f_n = -n\mathbf{1}_{(0, 1/n)}$ なら左辺は 0、右辺は $-1$ である。また単調収束定理は減少列では成り立たない：$f_n = \mathbf{1}_{[n, \infty)} \downarrow 0$ だが $\int f_n = \infty$。

3.5 可積分関数と優収束定理

定義 3.16（可積分関数）可測関数 $f\colon X \to \overline{\mathbb{R}}$ が $\int \lvert f \rvert\ d\mu < \infty$ を満たすとき、可積分 (integrable) であるといい、$\int f\ d\mu = \int f^{+}\ d\mu - \int f^{-}\ d\mu$ と定める。複素数値なら $\int f = \int \operatorname{Re} f + i \int \operatorname{Im} f$ とする。可積分関数全体を $\mathcal{L}^1(\mu)$ と書く。

可積分な $f$ は a.e. で有限値をとる（系 3.12 の 4）ので、零集合の上で値を変えて有限値としてよい。

命題 3.17 $\mathcal{L}^1(\mu)$ はベクトル空間で、積分は線形である。$\lvert \int f \rvert \leq \int \lvert f \rvert$ が成り立ち、a.e. で $f = g$ ならば $\int f = \int g$。

証明. 実数値の場合、$h = f + g$ とすると $h^{+} - h^{-} = f^{+} - f^{-} + g^{+} - g^{-}$ より $h^{+} + f^{-} + g^{-} = h^{-} + f^{+} + g^{+}$。両辺を積分し（系 3.12 の 1）、有限値を移項すれば $\int h = \int f + \int g$。定数倍は符号で場合分けすればよい。不等式は、$\int f = r e^{i\theta}$ と書くと $\lvert \int f \rvert = \int e^{-i\theta} f = \int \operatorname{Re}(e^{-i\theta} f) \leq \int \lvert f \rvert$。最後の主張は $f^{\pm}$ などに系 3.12 の 4 を適用する。$\square$

定理 3.18（優収束定理, dominated convergence theorem）可測関数の列 $f_n$ が a.e. で可測関数 $f$ に収束し、可積分な $g$ で、各 $n$ について a.e. で $\lvert f_n \rvert \leq g$ となるものが存在するならば、$f$ は可積分で

$$\lim_{n \to \infty} \int \lvert f_n - f \rvert\ d\mu = 0, \qquad \lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu = \int f\ d\mu$$

証明. 可算個の零集合の和の上で $f_n, f, g$ を 0 に取り替えれば、至るところで $f_n \to f$、$\lvert f_n \rvert \leq g$ としてよい。$\lvert f \rvert \leq g$ だから $f$ は可積分である。$2g - \lvert f_n - f \rvert \geq 0$ にファトゥの補題を適用すると

$\int 2g < \infty$ を両辺から引いて $\limsup_n \int \lvert f_n - f \rvert \leq 0$。後半は $\lvert \int f_n - \int f \rvert \leq \int \lvert f_n - f \rvert$ による。$\square$

$\mu$ が有限なら、定数関数は可積分だから「一様有界で a.e. 収束 ⇒ 積分も収束」が成り立つ（有界収束定理）。

3.6 収束定理が破綻する例と優関数の見つけ方

例 3.19（四つの典型例）次の列はどれも優収束定理の仮定を満たさない。$\sup_n \lvert f_n \rvert$ を包絡関数 (envelope) と呼ぶ。

最初の三つでは極限と積分が交換できない。無限測度の空間では一様収束でさえ不十分である（広がる山）。最後の動く山（タイプライター列）は、$0 \leq j < 2^k$ について $[0,1]$ を幅 $2^{-k}$ の区間で左から右へ走査し、幅を半分にして繰り返す。$\int f_n = 2^{-k} \to 0$ だが、各 $x \in [0,1]$ は各段階 $k$ で少なくとも一つの区間に含まれるから $f_n(x) = 1$ となる $n$ が無限個あり、$f_n(x) = 0$ となる $n$ も無限個ある。「積分の収束」から「各点収束」は導けない（第4章）。

注意 3.20 包絡関数 $G = \sup_n \lvert f_n \rvert$ は可測で、$\lvert f_n \rvert \leq g$ を満たす $g$ はすべて $G \leq g$ を満たす。したがって優関数が存在することと $\int G < \infty$ は同値であり、優関数を探すことは包絡関数を評価することにほかならない。ただし優収束定理は十分条件にすぎない。$[0,1]$ 上の $f_n = n \mathbf{1}_{(1/(n+1), 1/n]}$ は台が互いに交わらず、$G = \sum_n n \mathbf{1}_{(1/(n+1), 1/n]}$ の積分は $\sum_n \frac{1}{n+1} = \infty$ だが、$\int f_n = \frac{1}{n+1} \to 0 = \int \lim f_n$ である。必要十分条件は第4章の一様可積分性で与えられる。

例 3.21（優関数の見つけ方）

(1) $\lim_{n \to \infty} \int_0^n \left(1 - \frac{x}{n}\right)^n dx$。$f_n = (1 - x/n)^n \mathbf{1}_{[0,n]}$ は $f_n \to e^{-x}$ で、$1 - t \leq e^{-t}$ より $0 \leq f_n \leq e^{-x}$（可積分）。よって極限は $\int_0^\infty e^{-x}\ dx = 1$。検算：$t = 1 - x/n$ と置換すると $\int_0^n (1 - x/n)^n dx = n \int_0^1 t^n dt = \frac{n}{n+1} \to 1$。

(2) $\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty \frac{n \sin(x/n)}{x(1 + x^2)}\ dx$。$\lvert \sin t \rvert \leq \lvert t \rvert$ より被積分関数の絶対値は $\frac{1}{1 + x^2}$ 以下で、$n \sin(x/n) \to x$。極限は $\int_0^\infty \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{\pi}{2}$。

(3) 変数のスケールを合わせて包絡関数を求める。$f_n(x) = \frac{n^{3/2} x}{1 + n^2 x^2}$ を $(0, 1]$ 上で考える。$u = nx$ とおくと $f_n(x) = \frac{u^{3/2}}{1 + u^2} x^{-1/2}$ で、$u \leq 1$ なら $u^{3/2} \leq 1$、$u \geq 1$ なら $u^{3/2} \leq u^2$ だから $\frac{u^{3/2}}{1 + u^2} \leq 1$。よって $0 \leq f_n \leq x^{-1/2}$（可積分）で、$f_n \to 0$ だから $\int_0^1 f_n \to 0$。検算：$\int_0^1 f_n = \frac{\log(1 + n^2)}{2\sqrt{n}} \to 0$。一方、同じ形の $g_n(x) = \frac{n^2 x}{1 + n^2 x^2} = \frac{u^2}{1 + u^2} \cdot \frac{1}{x}$ では包絡関数が $\frac{1}{2x}$ 以上（$n - 1 < 1/x \leq n$ となる $n$ では $u = nx \geq 1$ なので $\frac{u^2}{1 + u^2} \geq \frac{1}{2}$）となって非可積分であり、実際 $\int_0^1 g_n = \frac{1}{2}\log(1 + n^2) \to \infty$ である。山の集中の速さが勝負を分ける。

(4) 不等式で減衰を取り出す。$\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty \frac{1 + nx^2}{(1 + x^2)^n}\ dx$。$x > 0$ で被積分関数は 0 に収束する。$n \geq 3$ のとき、二項定理より $(1 + x^2)^{n-2} \geq 1 + (n-2)x^2$ で、$1 + nx^2 \leq 3(1 + (n-2)x^2)$ だから

右辺は可積分なので、極限は 0 である。

3.7 項別積分とパラメータを含む積分

系 3.22（項別積分）可測関数 $f_n$ が $\sum_n \int \lvert f_n \rvert\ d\mu < \infty$ を満たせば、$\sum_n f_n$ は a.e. で絶対収束し、可積分で、$\int \sum_n f_n\ d\mu = \sum_n \int f_n\ d\mu$。

証明. $G = \sum_n \lvert f_n \rvert$ は系 3.12 の 2 より $\int G = \sum_n \int \lvert f_n \rvert < \infty$ だから、a.e. で $G < \infty$。部分和は $G$ で押さえられるので、優収束定理を適用すればよい。$\square$

例 3.23 $x > 0$ で $\frac{\sin x}{e^x - 1} = \sum_{n \geq 1} e^{-nx} \sin x$ であり、$\int_0^\infty \lvert e^{-nx} \sin x \rvert\ dx \leq \int_0^\infty x e^{-nx}\ dx = \frac{1}{n^2}$ は総和が有限である。$\int_0^\infty e^{-nx} \sin x\ dx = \frac{1}{n^2 + 1}$ だから

（最後の等式は留数定理による。05-complex-analysis 第5章）。一方 $f_n = \mathbf{1}_{[n-1, n)} - \mathbf{1}_{[n, n+1)}$ では、部分和が $\mathbf{1}_{[0,1)} - \mathbf{1}_{[N, N+1)}$ となるので $\int \sum_n f_n = 1$ だが $\sum_n \int f_n = 0$。ここでは $\sum_n \int \lvert f_n \rvert = \infty$ である。

定理 3.24（連続性）$T$ を距離空間、$f\colon X \times T \to \mathbb{C}$ とし、各 $t$ で $f(\cdot, t)$ は可測とする。$t_0 \in T$ について、(i) a.e. の $x$ で $t \mapsto f(x, t)$ が $t_0$ で連続であり、(ii) $t_0$ のある近傍 $W$ と可積分な $g$ があって、各 $t \in W$ について a.e. で $\lvert f(x, t) \rvert \leq g(x)$ ならば、$F(t) = \int f(x, t)\ d\mu(x)$ は $t_0$ で連続である。

証明. $t_n \to t_0$ とすると、十分大きい $n$ で $t_n \in W$。$f(\cdot, t_n)$ に優収束定理を適用して $F(t_n) \to F(t_0)$。距離空間では点列連続性と連続性は同値である。$\square$

定理 3.25（微分可能性）$I \subset \mathbb{R}$ を開区間とし、$f\colon X \times I \to \mathbb{R}$ は各 $t$ で $f(\cdot, t) \in \mathcal{L}^1(\mu)$ を満たすとする。零集合 $N$ と可積分な $g$ があって、$x \notin N$ ならば $t \mapsto f(x, t)$ は $I$ で微分可能かつ $\lvert \partial_t f(x, t) \rvert \leq g(x)$（$t \in I$）とする。このとき $F(t) = \int f(x, t)\ d\mu(x)$ は $I$ で微分可能で、$F'(t) = \int \partial_t f(x, t)\ d\mu(x)$。

証明. $t \in I$、$h_n \to 0$（$h_n \neq 0$、$t + h_n \in I$）とし、$q_n(x) = (f(x, t + h_n) - f(x, t))/h_n$ とおく。$x \notin N$ で $q_n(x) \to \partial_t f(x, t)$ だから $\partial_t f(\cdot, t)$ は（a.e. で定まる）可測関数であり、平均値の定理より $\lvert q_n(x) \rvert \leq g(x)$。優収束定理より $(F(t + h_n) - F(t))/h_n = \int q_n \to \int \partial_t f(\cdot, t)$。$\square$

微分可能性は局所的な性質だから、優関数は $I$ の各コンパクト部分区間ごとに見つければ十分である。

例 3.26 (1) ガンマ関数 $\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x}\ dx$ は $(0, \infty)$ で $C^\infty$ 級である。$[\alpha, \beta] \subset (0, \infty)$ 上では、$x \leq 1$ なら $x^{s-1} \leq x^{\alpha - 1}$、$x \geq 1$ なら $x^{s-1} \leq x^{\beta - 1}$ だから

であり、右辺は $(0, \infty)$ で可積分である。定理 3.25 を繰り返し使って $\Gamma^{(k)}(s) = \int_0^\infty (\log x)^k x^{s-1} e^{-x}\ dx$。特に $\Gamma'' > 0$ なので $\Gamma$ は凸である。$(0, \infty)$ 全体で一つの優関数をとることはできない（$s \to 0$ で $\Gamma(s) \to \infty$）ので、局所化が本質的である。

(2) $F(t) = \int_0^\infty e^{-x^2} \cos(tx)\ dx$。$\lvert \partial_t (e^{-x^2}\cos tx) \rvert \leq x e^{-x^2}$（可積分）だから、部分積分と合わせて

よって $(e^{t^2/4} F(t))' = 0$ で、$F(t) = F(0) e^{-t^2/4} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-t^2/4}$（$F(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ は第5章で示す）。

(3)（反例）$F(t) = \int_0^\infty t e^{-tx}\ dx$ は $t > 0$ で 1、$t = 0$ で 0 となり、$t = 0$ で不連続である。$t \to 0$ で被積分関数は「広がる山」になり、$\sup_{0 < t \leq 1} t e^{-tx} = \frac{1}{ex}$（$x \geq 1$、$t = 1/x$ で最大）は可積分でない。

3.8 リーマン積分との関係

定理 3.27（ルベーグの判定条件）$f\colon [a, b] \to \mathbb{R}$ について、次は同値である。

1. $f$ はリーマン可積分である。
2. $f$ は有界であり、$f$ の不連続点全体 $D_f$ はルベーグ零集合である。

このとき $f$ はルベーグ可積分で、リーマン積分とルベーグ積分は一致する。

証明. $f$ は有界（$\lvert f \rvert \leq M$）としてよい（リーマン積分は有界関数に対して定義される）。$[a, b]$ の分割の列 $P_1, P_2, \dots$ を、$P_{k+1}$ が $P_k$ の細分で、最大幅が 0 に収束するようにとる。分点全体 $Z$ は可算なので零集合である。$x \notin Z$ は $P_k$ のただ一つの小区間 $I_k(x)$ の内部にあり、$I_{k+1}(x) \subset I_k(x)$。$x \notin Z$ で $\ell_k(x) = \inf_{I_k(x)} f$、$u_k(x) = \sup_{I_k(x)} f$ とおき（$Z$ 上では 0 とする）、$\ell = \lim_k \ell_k$、$u = \lim_k u_k$ とおく。$Z$ の外で $\ell_k \leq \ell_{k+1} \leq f \leq u_{k+1} \leq u_k$ であり、$\ell_k, u_k$ は階段関数で、$\int \ell_k\ d\lambda = L(f, P_k)$、$\int u_k\ d\lambda = U(f, P_k)$（下限和と上限和）。有界収束定理より

（主張）$x \notin Z$ について、$f$ が $x$ で連続 $\Leftrightarrow$ $u(x) = \ell(x)$。実際、連続なら $I_k(x)$ の幅が 0 に収束するので $u_k(x) - \ell_k(x) \to 0$。逆に $u(x) = \ell(x)$ なら、$\varepsilon > 0$ に対して $u_k(x) - \ell_k(x) < \varepsilon$ となる $k$ があり、$x$ の近傍 $I_k(x)$ の内部で $\lvert f(y) - f(x) \rvert < \varepsilon$。

(2 ⇒ 1) $u = \ell$ が $D_f \cup Z$ の外で成り立つので $\int u = \int \ell$、すなわち $\lim_k U(f, P_k) = \lim_k L(f, P_k)$。上積分と下積分はこの間にあるから一致し、$f$ はリーマン可積分である。

(1 ⇒ 2) リーマン可積分なら、分割を細分していくことで $U(f, P_k) - L(f, P_k) \to 0$ となるように $P_k$ をとれる。すると $\int (u - \ell) = 0$、$u - \ell \geq 0$ だから a.e. で $u = \ell$ となり、主張より $D_f \subset \lbrace u \neq \ell \rbrace \cup Z$ は零集合である。

最後に、いずれの場合も a.e. で $\ell = f = u$ だから、$f$ はルベーグ可測（注意 3.5）で $\int f\ d\lambda = \int \ell\ d\lambda = \lim_k L(f, P_k)$ はリーマン積分に等しい。$\square$

例 3.28 (1) トマエ関数（$x = p/q$ 既約分数なら $1/q$、無理数なら 0）は不連続点が $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ だけなのでリーマン可積分である。ディリクレ関数は至るところ不連続なのでリーマン可積分でないが、ルベーグ積分は 0 である。

(2) カントール集合の定義関数 $\mathbf{1}_C$ の不連続点はちょうど $C$ の点であり（$C$ は閉集合で内点をもたない）、零集合だからリーマン可積分で積分は 0。太ったカントール集合 $F$（例 2.18）の定義関数は不連続点集合 $F$ の測度が $\frac{1}{2}$ なのでリーマン可積分でないが、ルベーグ積分は $\frac{1}{2}$ である。

命題 3.29（広義積分）$f\colon [a, \infty) \to \mathbb{R}$ が各 $[a, b]$ でリーマン可積分とする。(1) $f \geq 0$ ならば、$\int_{[a, \infty)} f\ d\lambda = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\ dx$（両辺 $\infty$ も許す）。(2) 広義積分 $\int_a^\infty \lvert f(x) \rvert\ dx$ が有限ならば、$f$ はルベーグ可積分で、ルベーグ積分は広義積分に等しい。有界区間上の広義積分についても同様である。