σ-加法族と測度

この章の目標

• リーマン積分の限界（極限と積分の交換・ディリクレ関数・完備性の欠如）を具体例で説明できる
• σ-加法族・生成される σ-加法族・ボレル集合族を扱える
• 測度の定義と基本性質（単調性・劣加法性・上下からの連続性）を証明できる
• 零集合・「ほとんど至るところ」・完備化の意味を理解する
• π-λ 定理を証明し、それを用いて測度の一意性を示せる

前提：01-calculus 第5章（リーマン積分）、01-calculus 第6章（一様収束）、00-foundations 第5章（可算・非可算）、03-topology 第2章（開集合）

1.1 リーマン積分の限界

リーマン積分は、区間 $[a, b]$ を細かく分割し、各小区間の上で関数を定数で近似して「長方形の面積の和」の極限をとる積分であった。連続関数を扱う限りこれで十分である。しかし解析学では、関数列の極限・無限級数・パラメータについての極限といった極限操作が絶えず現れ、そこでリーマン積分は本質的な弱点を露呈する。この節ではそれを三つの角度から確かめる。

極限と積分は一般には交換できない

例 1.1（集中する山）$[0, 1]$ 上の関数列 $f_n = n \mathbf{1}_{(0, 1/n)}$ を考える。各 $x \in [0, 1]$ について $f_n(x) \to 0$ である（$x = 0$ なら常に $f_n(0) = 0$、$x > 0$ なら $1/n \leq x$ となる $n$ から先は $f_n(x) = 0$）。一方 $\int_0^1 f_n(x)\ dx = 1$ であるから

となる。各点収束だけでは極限と積分は交換できず、何らかの仮定が必要である。

リーマン積分の理論が用意している仮定は一様収束である（01-calculus 第6章）。しかしこれは強すぎる。たとえば $g_n(x) = x^n$ は $[0, 1]$ 上で $\mathbf{1}_{\lbrace 1 \rbrace}$ に各点収束するが一様収束はしない。それでも $\int_0^1 g_n = 1/(n+1) \to 0 = \int_0^1 \mathbf{1}_{\lbrace 1 \rbrace}$ と交換は成り立っている。例 1.1 と $g_n$ の違いは「$\lvert g_n \rvert \leq 1$ と $n$ によらず抑えられている」ことであり、第3章の優収束定理はまさにこの違いを捉える。

可積分関数の族は極限で閉じていない

例 1.2（ディリクレ関数）$[0, 1]$ の有理数を $r_1, r_2, r_3, \dots$ と番号づけ、$f_n = \mathbf{1}_{\lbrace r_1, \dots, r_n \rbrace}$ とおく。$f_n$ は有限個の点を除いて 0 なのでリーマン可積分で、$\int_0^1 f_n = 0$ である。$0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \cdots \leq 1$ であり、$f_n$ はディリクレ関数 $D = \mathbf{1}_{\mathbb{Q} \cap [0,1]}$ に各点収束する。ところが $[0,1]$ のどんな小区間も有理数と無理数を含むから、任意の分割について上和は 1、下和は 0 であり、$D$ はリーマン可積分でない。

「一様に有界で単調増加」という最も素直な関数列でさえ、その極限はリーマン積分の枠からはみ出してしまうのである。

完備性の欠如

$[0, 1]$ 上のリーマン可積分関数全体を $\mathcal{R}[0,1]$ とし、$d_1(f, g) = \int_0^1 \lvert f - g \rvert\ dx$ とおく（$d_1(f,g) = 0$ でも $f = g$ とは限らないので、正確には擬距離である）。有理数全体が完備でないために実数を導入したように（01-calculus 第1章）、解析学では関数の空間も完備であることが望ましい。しかし次が成り立つ。

命題 1.3 $(\mathcal{R}[0,1], d_1)$ は完備でない。すなわち、$d_1$ に関するコーシー列 $(f_n)$ で、$d_1(f_n, g) \to 0$ となる $g \in \mathcal{R}[0,1]$ が存在しないものがある。

証明. $(0,1)$ の有理数を $r_1, r_2, \dots$ と番号づけ、$I_k = (r_k - 4^{-k}, r_k + 4^{-k}) \cap (0, 1)$ とおく。$I_k$ は長さ $2 \cdot 4^{-k}$ 以下の開区間で、$\sum_{k=1}^{\infty} 2 \cdot 4^{-k} = 2/3$ である。$f_n = \mathbf{1}_{I_1 \cup \cdots \cup I_n}$ とおくと、$f_n$ は有限個の点でしか不連続でないのでリーマン可積分で

である。$m > n$ のとき $0 \leq f_m - f_n \leq \sum_{k=n+1}^{m} \mathbf{1}_{I_k}$ だから $d_1(f_m, f_n) \leq \sum_{k > n} 2 \cdot 4^{-k} < 4^{-n}$ であり、$(f_n)$ はコーシー列である。

$g \in \mathcal{R}[0,1]$ が $d_1(f_n, g) \to 0$ を満たすと仮定して矛盾を導く。まず $\left\lvert \int_0^1 g - \int_0^1 f_n \right\rvert \leq d_1(f_n, g) \to 0$ より $\int_0^1 g \leq 2/3$ である。次に $P$ を $[0, 1]$ の任意の分割とし、$J = [x_{i-1}, x_i]$ をその小区間とする。開区間 $(x_{i-1}, x_i)$ はある有理数 $r_k$ を含むので、$K = I_k \cap (x_{i-1}, x_i)$ は空でない開区間であり、$n \geq k$ ならば $K$ 上で $f_n = 1$ である。よって $n \geq k$ のとき

で、$n \to \infty$ として $\int_K \lvert 1 - g \rvert\ dx = 0$ を得る。もし $s := \sup_K g < 1$ なら $K$ 上で $\lvert 1 - g \rvert \geq 1 - s > 0$ となり、左辺は $(1 - s) \times (K \text{ の長さ}) > 0$ 以上になってしまう。したがって $\sup_J g \geq \sup_K g \geq 1$ である。これがすべての小区間で成り立つから上和は $U(g, P) \geq 1$ であり、$P$ は任意だったので $\int_0^1 g = \inf_P U(g, P) \geq 1$ となる。これは $\int_0^1 g \leq 2/3$ に矛盾する。$\square$

この $f_n$ の「極限」は開集合 $G = \bigcup_k I_k$ の定義関数 $\mathbf{1}_G$ であるべきだが、$G$ は $[0,1]$ で稠密なのに「長さ」は $2/3$ 以下という奇妙な集合で、その定義関数はリーマン積分できない。第4章で見るように、ルベーグ積分に基づく空間 $L^1[0,1]$ は完備であり、$(\mathcal{R}[0,1], d_1)$ の完備化になっている。

ルベーグの発想：値域を分割する

リーマン積分は定義域を分割する。ルベーグは発想を逆転させ、値域を分割した。$0 \leq f < M$ のとき、$0 = y_0 < y_1 < \cdots < y_m = M$ に対して

とすれば、上下の和の差は $\max_j (y_j - y_{j-1})$ と全体の大きさの積以下であり、関数がどれほど激しく振動していても値域の分割を細かくすれば近似できる。ここで $\mu(E_j)$ は集合 $E_j$ の「大きさ」である。ディリクレ関数なら $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ の大きさを知る必要があり、区間の長さだけでは足りない。

そこで複雑な集合にも大きさを与えることが課題になる。大きさ $\mu$ に要求したいのは次の三つである。

1. 区間の大きさはその長さである。
2. 可算加法性：互いに交わらない $A_1, A_2, \dots$ に対して $\mu\left(\bigcup_n A_n\right) = \sum_n \mu(A_n)$。
3. 平行移動で大きさは変わらない。

2 で「有限個」でなく「可算個」を要求するのは、極限を扱うためである（定理 1.20 の連続性を参照）。一方「非可算個」の加法性は要求できない。$[0,1]$ は長さ 0 の一点集合の非可算個の和だからである。

では $\mathbb{R}$ のすべての部分集合に、1〜3 を満たす大きさを与えられるだろうか。答えは否である（第2章のヴィタリの定理）。したがって、大きさを測る集合の範囲を制限しなければならない。その範囲として、可算回の集合演算で閉じた集合族――σ-加法族――を採用する。これが測度論の出発点である。

1.2 σ-加法族

定義 1.4（σ-加法族, σ-algebra）集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal{M} \subset \mathcal{P}(X)$ が次を満たすとき、$\mathcal{M}$ を $X$ 上の σ-加法族（完全加法族ともいう）という。

1. $X \in \mathcal{M}$。
2. $A \in \mathcal{M}$ ならば $A^c = X \setminus A \in \mathcal{M}$。
3. $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{M}$ ならば $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{M}$。

組 $(X, \mathcal{M})$ を可測空間 (measurable space)、$\mathcal{M}$ の元を可測集合 (measurable set) という。3 を「有限個の和で閉じている」に弱めたものを有限加法族 (algebra) という。

命題 1.5 $\mathcal{M}$ を σ-加法族とし、$A, B, A_1, A_2, \dots \in \mathcal{M}$ とする。

1. $\emptyset$, $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$ は $\mathcal{M}$ に属する。
2. $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{M}$。
3. $\limsup_{n} A_n := \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n \geq k} A_n$ と $\liminf_{n} A_n := \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n \geq k} A_n$ は $\mathcal{M}$ に属する。

証明. $\emptyset = X^c$。$A \cup B = A \cup B \cup B \cup \cdots$。ド・モルガンの法則より $\bigcap_n A_n = \left(\bigcup_n A_n^c\right)^c \in \mathcal{M}$ で、特に $A \cap B \in \mathcal{M}$、$A \setminus B = A \cap B^c \in \mathcal{M}$。3 は 2 と定義 1.4 の 3 を組み合わせればよい。$\square$

$\limsup_n A_n$ は「無限個の $A_n$ に属する点」全体、$\liminf_n A_n$ は「有限個を除くすべての $A_n$ に属する点」全体である。確率論では前者を「$A_n$ が無限回起こる」事象と読む。

例 1.6 (1) $\lbrace \emptyset, X \rbrace$ は最小の、$\mathcal{P}(X)$ は最大の σ-加法族である。

(2) $X$ が互いに交わらない集合 $P_1, P_2, \dots$ の和であるとき、$\left\lbrace \bigcup_{j \in S} P_j \mid S \subset \mathbb{N} \right\rbrace$ は σ-加法族である。

(3) $X$ を非可算集合とし、$\mathcal{M} = \lbrace A \subset X \mid A \text{ または } A^c \text{ が可算} \rbrace$ とおく（可算は有限を含む）。条件 1, 2 は明らか。3 は、すべての $A_n$ が可算なら和も可算、ある $A_m$ の補集合が可算なら $\left(\bigcup_n A_n\right)^c \subset A_m^c$ も可算、からわかる。これを可算・補可算 σ-加法族という。

(4)（制限）$E \subset X$ のとき $\mathcal{M}\vert_E := \lbrace A \cap E \mid A \in \mathcal{M} \rbrace$ は $E$ 上の σ-加法族である。

(5)（逆像）写像 $f\colon X \to Y$ と $Y$ 上の σ-加法族 $\mathcal{N}$ に対し、$f^{-1}(\mathcal{N}) := \lbrace f^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{N} \rbrace$ は $X$ 上の σ-加法族である。逆像が補集合・和集合と可換だからである。

例 1.7（有限加法族だが σ-加法族でない例）$X = (0, 1]$ とし、$(a, b] \subset (0,1]$ の形の区間の有限個の和全体（空集合を含む）を $\mathcal{A}$ とする。$(a,b]^c = (0, a] \cup (b, 1]$ だから $\mathcal{A}$ は有限加法族である。しかし $\bigcap_{n} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+2}, \frac{1}{2}\right] = \lbrace 1/2 \rbrace$ は $\mathcal{A}$ に属さない（$\mathcal{A}$ の空でない元は正の長さの区間を含む）。第2章では、このような扱いやすい有限加法族の上で長さを定め、それを σ-加法族へ拡張する。

生成される σ-加法族

区間や開集合のような「基本的な集合」を含む σ-加法族のうち、最小のものを考えたい。

命題 1.8 $X$ 上の σ-加法族の任意個（非可算個でもよい）の共通部分は σ-加法族である。

証明. 定義 1.4 の各条件が共通部分をとる操作で保たれることは、定義からただちにわかる。$\square$

定義 1.9（生成される σ-加法族）$\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)$ に対し、$\mathcal{E}$ を含む σ-加法族すべての共通部分を $\sigma(\mathcal{E})$ と書き、$\mathcal{E}$ が生成する σ-加法族 (σ-algebra generated by $\mathcal{E}$) という。これは $\mathcal{E}$ を含む最小の σ-加法族である（$\mathcal{P}(X)$ が $\mathcal{E}$ を含むので、共通部分をとる族は空でない）。

注意 1.10（良い集合の原理）$\sigma(\mathcal{E})$ のすべての元がある性質をもつことを示すには、「その性質をもつ集合全体 $\mathcal{G}$ が σ-加法族であり、$\mathcal{E} \subset \mathcal{G}$ である」ことを示せばよい。$\sigma(\mathcal{E})$ の最小性から $\sigma(\mathcal{E}) \subset \mathcal{G}$ となるからである。$\sigma(\mathcal{E})$ の元を「$\mathcal{E}$ の元から可算回の操作で作れる集合」として具体的に書き下すのは実は難しく（可算回の操作を超限回繰り返す必要がある）、この間接的な論法が測度論の基本手法になる。

例 1.11 $X$ の一点集合全体を $\mathcal{E}$ とすると、$\sigma(\mathcal{E})$ は可算・補可算 σ-加法族（$X$ が可算なら $\mathcal{P}(X)$）である。実際、可算・補可算 σ-加法族は一点集合を含む σ-加法族なので $\sigma(\mathcal{E})$ を含む。逆に、可算集合は一点集合の可算和として、補可算集合はその補集合として $\sigma(\mathcal{E})$ に属する。

1.3 ボレル集合族

定義 1.12（ボレル集合族, Borel σ-algebra）位相空間 $X$ の開集合全体が生成する σ-加法族を $\mathcal{B}(X)$ と書き、ボレル集合族という。その元をボレル集合 (Borel set) という。

ボレル集合族は開集合・閉集合を含み、閉集合の可算和（$F_\sigma$ 集合）、開集合の可算個の共通部分（$G_\delta$ 集合）、さらに $F_{\sigma\delta}$ 集合、$G_{\delta\sigma}$ 集合などを含む。たとえば $\mathbb{Q}$ は一点集合（閉集合）の可算和なので $F_\sigma$ 集合、$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ は $G_\delta$ 集合である。

命題 1.13 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ は次のどの集合族によっても生成される。

1. 開区間 $(a, b)$ 全体
2. 閉区間 $[a, b]$ 全体
3. 左半開区間 $(a, b]$ 全体
4. $(-\infty, a]$（$a \in \mathbb{R}$）全体
5. $(a, \infty)$（$a \in \mathbb{Q}$）全体

証明. $k$ 番目の族が生成する σ-加法族を $\mathcal{S}_k$ と書く。開区間は開集合だから $\mathcal{S}_1 \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$。逆に、開集合 $U$ の各点 $x$ に対して $x \in (p, q) \subset U$ となる有理数 $p, q$ がとれるから、$U$ は $U$ に含まれる有理数端点の開区間（可算個しかない）の和であり、$U \in \mathcal{S}_1$。よって $\mathcal{S}_1 = \mathcal{B}(\mathbb{R})$。

$[a, b] = \bigcap_n (a - 1/n, b + 1/n)$、$(a, b) = \bigcup_n [a + 1/n, b - 1/n]$ から $\mathcal{S}_2 = \mathcal{S}_1$。$(a, b] = \bigcap_n (a, b + 1/n)$、$(a, b) = \bigcup_n (a, b - 1/n]$ から $\mathcal{S}_3 = \mathcal{S}_1$。$(a, b] = (-\infty, b] \setminus (-\infty, a]$、$(-\infty, a] = \bigcup_n (a - n, a]$ から $\mathcal{S}_4 = \mathcal{S}_3$。最後に、実数 $a$ について $(-\infty, a] = \bigcap_{q \in \mathbb{Q},\ q > a} (q, \infty)^c$ だから $\mathcal{S}_4 \subset \mathcal{S}_5$、また $(a, \infty) = (-\infty, a]^c$ から $\mathcal{S}_5 \subset \mathcal{S}_4$。$\square$

$\mathbb{R}^n$ では区間の代わりに半開直方体 $(a_1, b_1] \times \cdots \times (a_n, b_n]$ を使う。特に、整数 $k_i$ と $m \geq 0$ によって $\prod_{i=1}^{n} (k_i 2^{-m}, (k_i + 1) 2^{-m}]$ と書ける立方体を二進立方体 (dyadic cube) という。

命題 1.14 $\mathbb{R}^n$ の任意の開集合は、それに含まれる二進立方体の可算個の和である。したがって $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ は半開直方体全体によって生成される。

証明. 開集合 $U$ と $x \in U$ をとる。$B(x, r) \subset U$ となる $r > 0$ をとり、$\sqrt{n}\ 2^{-m} < r$ となる $m$ を選ぶ。$x$ を含む一辺 $2^{-m}$ の二進立方体 $Q$ の直径は $\sqrt{n}\ 2^{-m} < r$ なので $Q \subset U$ である。二進立方体は可算個しかないので前半が従う。また半開直方体は開直方体 $\prod_i (a_i, b_i + 1/k)$ の可算個の共通部分なのでボレル集合である。$\square$

例 1.15 連続関数の列 $f_n\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が収束する点全体 $C$ はボレル集合である。実際、コーシーの判定法により

であり、右辺の $\lbrace \cdots \rbrace$ は閉集合である。このように、解析学に自然に現れる集合はほとんどがボレル集合である。

注意 1.16 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ の濃度は連続体濃度 $\mathfrak{c}$ であることが知られている（証明は超限帰納法によるので省略する）。$\mathbb{R}$ の部分集合全体の濃度は $2^{\mathfrak{c}} > \mathfrak{c}$ だから（00-foundations 第5章）、ボレル集合でない集合のほうが「圧倒的に多い」。第2章で構成するルベーグ可測集合全体は濃度 $2^{\mathfrak{c}}$ をもち、ボレル集合族より真に大きい。

1.4 測度

σ-加法族の上で「大きさ」を与える関数を定義する。1.1 節の要請 2（可算加法性）を公理にしたものが測度である。

定義 1.17（測度, measure）$(X, \mathcal{M})$ を可測空間とする。写像 $\mu\colon \mathcal{M} \to [0, \infty]$ が次を満たすとき、$\mu$ を $(X, \mathcal{M})$ 上の測度といい、三つ組 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ を測度空間 (measure space) という。

1. $\mu(\emptyset) = 0$。
2. （可算加法性, countable additivity）互いに交わらない $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{M}$ に対して $\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$。

$\mu(X) < \infty$ のとき $\mu$ は有限 (finite)、$\mu(X) = 1$ のとき確率測度 (probability measure) であるという。$X = \bigcup_{n} X_n$ かつ $\mu(X_n) < \infty$ となる $X_1, X_2, \dots \in \mathcal{M}$ が存在するとき、$\mu$ は σ-有限 (σ-finite) であるという。

右辺は $[0, \infty]$ に値をとる非負項の級数なので、項の順序によらず値が確定する（値 $\infty$ も許す）。σ-有限の定義の $X_n$ は、$X_1 \cup \cdots \cup X_n$ に取り替えれば増加列にでき、$X_n \setminus (X_1 \cup \cdots \cup X_{n-1})$ に取り替えれば互いに交わらないようにできる。

例 1.18 (1)（数え上げ測度, counting measure）任意の集合 $X$ 上で、$A \subset X$ に対し $\mu(A) = \lvert A \rvert$（$A$ が無限集合なら $\infty$）とおくと、$(X, \mathcal{P}(X), \mu)$ は測度空間である。$\mu$ が σ-有限であることと $X$ が可算であることは同値である。

(2)（ディラック測度, Dirac measure）$a \in X$ を固定し、$a \in A$ なら $\delta_a(A) = 1$、$a \notin A$ なら $\delta_a(A) = 0$ とおくと、$\delta_a$ は任意の σ-加法族上の確率測度である。「点 $a$ に置かれた単位質量」を表す。

(3)（離散測度）関数 $p\colon X \to [0, \infty]$ に対し $\mu(A) = \sum_{x \in A} p(x)$ とおく（非負項の和は、$A$ が非可算でも有限部分和の上限として意味をもつ）。$\mu$ は $\mathcal{P}(X)$ 上の測度である。$p \equiv 1$ なら数え上げ測度、$p = \mathbf{1}_{\lbrace a \rbrace}$ なら $\delta_a$ である。$X = \mathbb{Z}_{\geq 0}$、$p(k) = e^{-c} c^k / k!$（$c > 0$）とすればポアソン分布（確率測度）になる。

(4) $X$ を非可算集合、$\mathcal{M}$ を可算・補可算 σ-加法族（例 1.6 (3)）とし、$A$ が可算なら $\mu(A) = 0$、$A^c$ が可算なら $\mu(A) = 1$ とおく。これは測度である。実際、互いに交わらない $A_n \in \mathcal{M}$ のうち補可算なものは高々 1 つである（補可算集合 2 つは、補集合の和が可算で $X$ が非可算だから交わる）。すべてが可算なら和も可算で両辺は 0、ちょうど 1 つが補可算なら和も補可算で両辺は 1 である。

(5)（制限・和・像）$(X, \mathcal{M}, \mu)$ を測度空間とする。$E \in \mathcal{M}$ に対して $\mu\vert_E(A) := \mu(A \cap E)$ は $\mathcal{M}$ 上の測度である。測度 $\mu_1, \mu_2, \dots$ と $c_k \geq 0$ に対して $\sum_k c_k \mu_k$ も測度である（非負項の二重級数は和の順序を交換できる）。写像 $f\colon X \to Y$ と $Y$ 上の σ-加法族 $\mathcal{N}$ について $f^{-1}(\mathcal{N}) \subset \mathcal{M}$ が成り立つなら、$f_{\ast}\mu(B) := \mu(f^{-1}(B))$（$B \in \mathcal{N}$）は $(Y, \mathcal{N})$ 上の測度であり、$\mu$ の $f$ による像測度 (push-forward) という。確率論で確率変数の分布と呼ぶものはこれである。

(6)（有限加法的だが可算加法的でない例）$X = \mathbb{N}$ 上で、有限集合 $A$ には $\nu(A) = 0$、無限集合 $A$ には $\nu(A) = \infty$ を与える。交わらない $A, B$ について、$A \cup B$ が無限集合であることと $A, B$ の一方が無限集合であることは同値だから、$\nu(A \cup B) = \nu(A) + \nu(B)$ が成り立つ。しかし $\nu(\mathbb{N}) = \infty \neq 0 = \sum_n \nu(\lbrace n \rbrace)$ だから、$\nu$ は測度ではない。

最も重要な例であるルベーグ測度（区間に長さを与える測度）は第2章で構成する。

命題 1.19（測度の基本性質）$(X, \mathcal{M}, \mu)$ を測度空間とし、$A, B, A_1, A_2, \dots \in \mathcal{M}$ とする。

1. （有限加法性）$A \cap B = \emptyset$ ならば $\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)$。
2. （単調性）$A \subset B$ ならば $\mu(A) \leq \mu(B)$。さらに $\mu(A) < \infty$ ならば $\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$。
3. $\mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B)$。
4. （可算劣加法性, countable subadditivity）$\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$。

証明. 1. $A_1 = A$、$A_2 = B$、$A_n = \emptyset$（$n \geq 3$）に可算加法性を使い、$\mu(\emptyset) = 0$ を用いる。

2. $B = A \cup (B \setminus A)$ は交わらない和だから、1 より $\mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) \geq \mu(A)$。$\mu(A) < \infty$ なら両辺から $\mu(A)$ を引ける。

3. $A \cup B = A \cup (B \setminus A)$、$B = (A \cap B) \cup (B \setminus A)$ はどちらも交わらない和だから、$\mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B)$。

4. $B_1 = A_1$、$B_n = A_n \setminus (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})$（$n \geq 2$）とおくと、$B_n \in \mathcal{M}$ は互いに交わらず、$B_n \subset A_n$、$\bigcup_n B_n = \bigcup_n A_n$ である（$x \in \bigcup_n A_n$ に対し、$x \in A_n$ となる最小の $n$ をとれば $x \in B_n$）。可算加法性と 2 より $\mu\left(\bigcup_n A_n\right) = \sum_n \mu(B_n) \leq \sum_n \mu(A_n)$。$\square$

2 の後半で $\mu(A) < \infty$ を仮定したのは、$\infty - \infty$ が意味をもたないからである。次の連続性が、有限加法性ではなく可算加法性を要請した最大の理由である。

定理 1.20（測度の連続性, continuity of measure）$(X, \mathcal{M}, \mu)$ を測度空間、$A_1, A_2, \dots \in \mathcal{M}$ とする。

1. （下からの連続性）$A_1 \subset A_2 \subset \cdots$ ならば $\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n)$。
2. （上からの連続性）$A_1 \supset A_2 \supset \cdots$ かつ $\mu(A_1) < \infty$ ならば $\mu\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n)$。

証明. 1. $A_0 = \emptyset$、$B_n = A_n \setminus A_{n-1}$ とおくと、$B_n$ は互いに交わらず、$A_N = \bigcup_{n=1}^{N} B_n$、$\bigcup_{n} A_n = \bigcup_n B_n$ である。よって

2. $C_n = A_1 \setminus A_n$ は増加列で、$\bigcup_n C_n = A_1 \setminus \bigcap_n A_n$ である。1 と命題 1.19 の 2（$\mu(A_1) < \infty$ なので引き算ができる）より

となり、有限値 $\mu(A_1)$ を両辺から消去すればよい。$\square$

2 の仮定は「ある $k$ で $\mu(A_k) < \infty$」に弱めてよい（$A_k, A_{k+1}, \dots$ に適用する）。

注意 1.21 上からの連続性で有限性の仮定は外せない。$\mathbb{N}$ 上の数え上げ測度で $A_n = \lbrace n, n+1, n+2, \dots \rbrace$ とすると、すべての $n$ で $\mu(A_n) = \infty$ だが $\bigcap_n A_n = \emptyset$ である。第2章のルベーグ測度でも、$A_n = [n, \infty)$ は $\lambda(A_n) = \infty$、$\bigcap_n A_n = \emptyset$ となる。質量が無限遠へ「逃げる」この現象は、第3章で収束定理の反例として再び現れる。

連続性と劣加法性から、簡単だが強力な次の結果が従う。

命題 1.22（ボレル–カンテリの補題, Borel–Cantelli lemma）$A_1, A_2, \dots \in \mathcal{M}$ が $\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) < \infty$ を満たすならば、$\mu(\limsup_n A_n) = 0$ である。すなわち、ほとんどすべての点は有限個の $A_n$ にしか属さない。

証明. 任意の $k$ について $\limsup_n A_n \subset \bigcup_{n \geq k} A_n$ だから、劣加法性より $\mu(\limsup_n A_n) \leq \sum_{n \geq k} \mu(A_n)$。右辺は収束級数の残りの和なので $k \to \infty$ で 0 に収束する。$\square$

「ほとんどすべて」の正確な意味は次節で定める。この補題は、第4章（測度収束する列から概収束する部分列を取り出す）や確率論（11-probability 第2章）で基本的な道具になる。

1.5 零集合と完備化

積分論では「測度 0 の集合の上で関数を変えても積分は変わらない」ので、測度 0 の集合を無視できると便利である。そのためには、測度 0 の集合の部分集合も測れてほしい。しかしこれは一般には成り立たない。

定義 1.23（零集合, null set）$(X, \mathcal{M}, \mu)$ を測度空間とする。$\mu(N) = 0$ となる $N \in \mathcal{M}$ を $\mu$-零集合という。点 $x$ に関する性質 $P(x)$ が、ある $\mu$-零集合 $N$ の外のすべての $x$ で成り立つとき、$P$ は $\mu$-ほとんど至るところ (almost everywhere) 成り立つといい、「$\mu$-a.e. で $P$」と書く。

$P$ が成り立たない点の集合そのものは可測でなくてもよい（零集合に含まれていればよい）ことに注意する。劣加法性により可算個の零集合の和は零集合だから、各 $n$ について「$f_n = g_n$（a.e.）」ならば「すべての $n$ について同時に $f_n = g_n$」が a.e. で成り立つ。非可算個ではこうはいかない。

例 1.24 (1) $\delta_a$ に関して $N \in \mathcal{M}$ が零集合であることは $a \notin N$ と同値である。$\lbrace a \rbrace \in \mathcal{M}$ のとき（たとえば $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 上）、「$\delta_a$-a.e. で $f = g$」は $f(a) = g(a)$ を意味する（零集合 $X \setminus \lbrace a \rbrace$ の外で一致すればよい）。

(2) 数え上げ測度の零集合は $\emptyset$ だけであり、「ほとんど至るところ」は「至るところ」と同じである。

(3) 第2章で構成するルベーグ測度 $\lambda$ では一点集合の測度は 0 だから、可算集合は零集合である。特にディリクレ関数 $D$ は $\lambda$-a.e. で 0 に等しい。例 1.2 の $f_n$ もすべて a.e. で 0 に等しいので、$\int D = \lim_n \int f_n = 0$ と定めるのが自然である。第3章の収束定理はまさにこれを保証する。

定義 1.25（完備, complete）測度空間 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ において、$\mu$-零集合の部分集合がすべて $\mathcal{M}$ に属するとき、$\mu$（あるいは測度空間）は完備であるという。

例 1.26 $X = \lbrace a, b, c \rbrace$、$\mathcal{M} = \lbrace \emptyset, \lbrace a \rbrace, \lbrace b, c \rbrace, X \rbrace$、$\mu = \delta_a$ とする。$\lbrace b, c \rbrace$ は零集合だが、その部分集合 $\lbrace b \rbrace$ は $\mathcal{M}$ に属さないので、$\mu$ は完備でない。ボレル集合族上のルベーグ測度も完備でない（第2章）。

次の定理は、どんな測度空間も零集合の部分集合を付け加えるだけで完備にできることを示す。

定理 1.27（完備化, completion）$(X, \mathcal{M}, \mu)$ を測度空間とし、$\mu$-零集合に含まれる $X$ の部分集合全体を $\mathcal{N}$ とおく。

$$\overline{\mathcal{M}} = \lbrace E \cup F \mid E \in \mathcal{M},\ F \in \mathcal{N} \rbrace, \qquad \overline{\mu}(E \cup F) = \mu(E)$$

と定めると、$\overline{\mathcal{M}}$ は $\mathcal{M}$ を含む σ-加法族であり、$\overline{\mu}$ は $\overline{\mathcal{M}}$ 上の完備な測度で $\mu$ の拡張である。さらに、$\overline{\mathcal{M}}$ 上の測度で $\mu$ の拡張になっているものは $\overline{\mu}$ に限る。$(X, \overline{\mathcal{M}}, \overline{\mu})$ を $(X, \mathcal{M}, \mu)$ の完備化という。

証明. 以下 $E, E_n \in \mathcal{M}$、$F, F_n \in \mathcal{N}$ とし、$F \subset N$、$F_n \subset N_n$ となる零集合 $N, N_n$ をとっておく。

（$\overline{\mathcal{M}}$ は σ-加法族）$X = X \cup \emptyset \in \overline{\mathcal{M}}$。可算和は $\bigcup_n (E_n \cup F_n) = \left(\bigcup_n E_n\right) \cup \left(\bigcup_n F_n\right)$ で、$\bigcup_n F_n \subset \bigcup_n N_n$ かつ $\mu\left(\bigcup_n N_n\right) \leq \sum_n \mu(N_n) = 0$ だから $\overline{\mathcal{M}}$ に属する。補集合については

が成り立つ（$x \notin E \cup F$ のとき、$x \notin N$ なら右辺の第1項に、$x \in N$ なら第2項に属する。逆の包含は $F \subset N$ から明らか）。$(E \cup N)^c \in \mathcal{M}$、$N \setminus (E \cup F) \in \mathcal{N}$ だから $(E \cup F)^c \in \overline{\mathcal{M}}$。

（$\overline{\mu}$ が矛盾なく定まること）$E_1 \cup F_1 = E_2 \cup F_2$ とすると $E_1 \subset E_2 \cup N_2$ だから $\mu(E_1) \leq \mu(E_2) + \mu(N_2) = \mu(E_2)$。対称性より $\mu(E_1) = \mu(E_2)$。

（測度であること）$\overline{\mu}(\emptyset) = 0$。$E_n \cup F_n$ が互いに交わらなければ $E_n$ も互いに交わらないから、$\overline{\mu}\left(\bigcup_n (E_n \cup F_n)\right) = \mu\left(\bigcup_n E_n\right) = \sum_n \mu(E_n) = \sum_n \overline{\mu}(E_n \cup F_n)$。$E \in \mathcal{M}$ なら $\overline{\mu}(E) = \overline{\mu}(E \cup \emptyset) = \mu(E)$ なので、$\overline{\mu}$ は $\mu$ の拡張である。

（完備性）$\overline{\mu}(E \cup F) = 0$、すなわち $\mu(E) = 0$ とし、$A \subset E \cup F$ とする。$A \subset E \cup N$ かつ $\mu(E \cup N) = 0$ だから $A \in \mathcal{N}$、よって $A = \emptyset \cup A \in \overline{\mathcal{M}}$。

（一意性）$\nu$ を $\overline{\mathcal{M}}$ 上の測度で $\mu$ の拡張とすると、$\mu(E) = \nu(E) \leq \nu(E \cup F) \leq \nu(E \cup N) \leq \mu(E) + \mu(N) = \mu(E)$。$\square$

1.6 π-λ 定理と測度の一意性

区間 $(a, b]$ に長さ $b - a$ を与える $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 上の測度は一つしかないだろうか。二つの測度 $\mu, \nu$ が区間の上で一致するとき、良い集合の原理（注意 1.10）に従って $\mathcal{G} = \lbrace A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \mid \mu(A) = \nu(A) \rbrace$ が σ-加法族であることを示したくなる。$\mathcal{G}$ は（測度が有限なら）補集合と、互いに交わらない可算和では閉じている。ところが共通部分で閉じているかどうかはわからない。$\mu(A)$ と $\mu(B)$ の値だけからは $\mu(A \cap B)$ は決まらないからである。この困難を回避するのがディンキンの π-λ 定理である。

定義 1.28（π-系と λ-系）集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal{P}$ が共通部分で閉じている（$A, B \in \mathcal{P} \Rightarrow A \cap B \in \mathcal{P}$）とき、π-系 (π-system) という。部分集合族 $\mathcal{D}$ が次を満たすとき、λ-系 (λ-system) またはディンキン族 (Dynkin system) という。

1. $X \in \mathcal{D}$。
2. $A \in \mathcal{D}$ ならば $A^c \in \mathcal{D}$。
3. 互いに交わらない $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{D}$ に対して $\bigcup_{n} A_n \in \mathcal{D}$。

区間 $(a, b]$ 全体に $\emptyset$ を加えた族は π-系である（$(a, b] \cap (c, d]$ は $(\max\lbrace a, c \rbrace, \min\lbrace b, d \rbrace]$ または $\emptyset$）。上の $\mathcal{G}$ は、$\mu(X) = \nu(X) < \infty$ ならば λ-系である。

補題 1.29 π-系でも λ-系でもある集合族は σ-加法族である。

証明. $\mathcal{D}$ を π-系かつ λ-系とする。$A, B \in \mathcal{D}$ なら $A \cup B = (A^c \cap B^c)^c \in \mathcal{D}$ だから、$\mathcal{D}$ は有限和で閉じている。$A_1, A_2, \dots \in \mathcal{D}$ に対し $B_n = A_n \cap (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})^c$ とおくと、$B_n \in \mathcal{D}$ は互いに交わらず、$\bigcup_n A_n = \bigcup_n B_n \in \mathcal{D}$。$\square$

定理 1.30（π-λ 定理, Dynkin's π-λ theorem）$\mathcal{P}$ を π-系、$\mathcal{D}$ を λ-系とし、$\mathcal{P} \subset \mathcal{D}$ とする。このとき $\sigma(\mathcal{P}) \subset \mathcal{D}$ である。

証明. λ-系の共通部分は λ-系だから、$\mathcal{P}$ を含むすべての λ-系の共通部分 $\ell(\mathcal{P})$ は $\mathcal{P}$ を含む最小の λ-系であり、$\ell(\mathcal{P}) \subset \mathcal{D}$ である。$\ell(\mathcal{P})$ が π-系であることを示せば、補題 1.29 より $\ell(\mathcal{P})$ は $\mathcal{P}$ を含む σ-加法族となり、$\sigma(\mathcal{P}) \subset \ell(\mathcal{P}) \subset \mathcal{D}$ が得られる。