実数の連続性

この章の目標

• 実数全体 $\mathbb{R}$ を「連続性公理を満たす順序体」として公理的にとらえる
• 上界・上限・下限を正確に扱い、上限の ε による特徴づけを使えるようになる
• アルキメデスの性質と有理数の稠密性を連続性公理から証明できる
• 連続性公理と同値な条件（単調収束定理・区間縮小法・ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理・コーシー列の収束）の同値性を証明できる
• 有理数体 $\mathbb{Q}$ ではこれらがすべて成り立たないことを具体例で確かめる

前提：00-foundations 第1章 命題と論理（量化子とその否定）、第2章 集合、第4章 同値関係と順序（全順序）

1.1 高校の微分積分と大学の微分積分

高校の微分積分では、次のような事実を証明なしに使ってきた。

1. 増加し続け、しかも上に有界な数列は収束する。たとえば $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ は増加して $3$ を超えないので収束し、その極限を $e$ と定めた。
2. 連続関数 $f$ が $f(a) < 0 < f(b)$ を満たせば、$f(c) = 0$ となる $c$ が $a$ と $b$ の間に存在する（中間値の定理）。
3. 閉区間で連続な関数は最大値と最小値をとる。

どれも「数直線には隙間がない」という直観に支えられている。ところがこの直観は、有理数だけの世界では成り立たない。$f(x) = x^2 - 2$ を有理数 $x$ だけで考えると、$f(1) = -1 < 0 < 2 = f(2)$ であるのに、$f(c) = 0$ となる有理数 $c$ は存在しない（$\sqrt{2}$ は無理数である。例 1.17 で証明する）。つまり中間値の定理は、関数の連続性だけでなく、数の体系に隙間がないことに依存している。

では「隙間がない」とは正確にはどういうことか。高校では実数を「無限小数で表される数」として導入したが、無限小数どうしの足し算や掛け算を正確に定義するのは意外に面倒であり、そもそも「無限に続く小数」という言葉自体が極限の考え方を前提にしている。そこで本科目では、実数を次の三つの性質で公理的に特徴づける。

• 四則演算ができる（体である）。
• 大小関係が四則演算と両立する（順序体である）。
• 隙間がない（連続性公理を満たす）。

以後、微分積分学のすべての定理を、この三つの性質だけから証明していく。本章の中心は三つ目の性質であり、それを「上限の存在」として定式化したうえで、単調有界数列の収束・区間縮小法・有界数列の収束部分列の存在・コーシー列の収束と同値であることを示す（定理 1.34）。

1.2 順序体

まず「四則演算ができて大小が比べられる数の体系」を正確に定義する。

定義 1.1（体, field）集合 $K$ に加法 $+$ と乗法 $\cdot$ が定められ、相異なる二つの元 $0, 1 \in K$ があって、任意の $a, b, c \in K$ について次が成り立つとき、$K$ を体 (field) という。

• 加法：$(a + b) + c = a + (b + c)$、$a + b = b + a$、$a + 0 = a$、各 $a$ に対して $a + a' = 0$ となる $a' \in K$ が存在する（$a' = -a$ と書く）。
• 乗法：$(ab)c = a(bc)$、$ab = ba$、$a \cdot 1 = a$、各 $a \neq 0$ に対して $a a' = 1$ となる $a' \in K$ が存在する（$a' = a^{-1}$ と書く）。
• 分配法則：$a(b + c) = ab + ac$。

$b - a := b + (-a)$、$b/a := b a^{-1}$ と書く。これらの公理から $0 \cdot a = 0$、$(-a)b = -(ab)$、$(-1)(-1) = 1$ など、通常の計算規則がすべて導かれる（ここでは認める）。

定義 1.2（順序体, ordered field）体 $K$ に全順序 $\leq$ が与えられ、任意の $a, b, c \in K$ について

• (O1) $a \leq b$ ならば $a + c \leq b + c$
• (O2) $0 \leq a$ かつ $0 \leq b$ ならば $0 \leq ab$

が成り立つとき、$K$ を順序体 (ordered field) という。$a \leq b$ かつ $a \neq b$ のとき $a < b$ と書き、$0 < a$ となる $a$ を正 (positive)、$a < 0$ となる $a$ を負 (negative) という。

全順序なので、任意の $a, b$ について $a < b$、$a = b$、$b < a$ のちょうど一つが成り立つ。

命題 1.3 順序体 $K$ の任意の元 $a, b, c$ について次が成り立つ。

1. $a \leq b \Leftrightarrow 0 \leq b - a \Leftrightarrow -b \leq -a$。
2. $a \leq b$ かつ $0 \leq c$ ならば $ac \leq bc$。さらに $a < b$ かつ $0 < c$ ならば $ac < bc$。また $a \leq b$ かつ $c \leq 0$ ならば $bc \leq ac$。
3. $0 \leq a^2$。特に $0 < 1$。
4. $0 < a$ ならば $0 < a^{-1}$。また $0 < a < b$ ならば $0 < b^{-1} < a^{-1}$。
5. $a < b$ ならば $a < \frac{a+b}{2} < b$。

証明. (1) (O1) で両辺に $-a$ を加えると $a \leq b \Rightarrow 0 \leq b - a$、逆に $a$ を加えると $0 \leq b - a \Rightarrow a \leq b$ を得る。同様に $-a-b$ を加えれば $a \leq b \Leftrightarrow -b \leq -a$ である。

(2) $a \leq b$ なら (1) より $0 \leq b - a$ なので、$0 \leq c$ のとき (O2) より $0 \leq (b-a)c = bc - ac$、すなわち $ac \leq bc$。$a < b$、$0 < c$ のとき $ac = bc$ なら $c^{-1}$ を掛けて $a = b$ となり矛盾するから $ac < bc$。$c \leq 0$ のときは $0 \leq -c$ なので $0 \leq (b-a)(-c) = ac - bc$。

(3) $0 \leq a$ なら (O2) より $0 \leq a \cdot a$。$a \leq 0$ なら $0 \leq -a$ なので $0 \leq (-a)(-a) = a^2$。特に $0 \leq 1^2 = 1$ であり、$0 \neq 1$ だから $0 < 1$。

(4) $0 < a$ とする。$a \cdot 0 = 0 \neq 1$ だから $a^{-1} \neq 0$。もし $a^{-1} < 0$ なら、(2) により $a^{-1} \leq 0$ の両辺に $a \geq 0$ を掛けて $1 = a^{-1} a \leq 0$ となり (3) に反する。よって $0 < a^{-1}$。次に $0 < a < b$ なら $a^{-1} b^{-1} > 0$ であり、$a < b$ の両辺にこれを掛けて (2) より $b^{-1} < a^{-1}$。

(5) $2 := 1 + 1$ とおくと (O1) と (3) から $1 < 2$、特に $0 < 2$。$a < b$ から (O1) を 2 回使って $2a = a + a < a + b < b + b = 2b$（等号が成り立たないことは加法の簡約でわかる）。両辺に $2^{-1} > 0$ を掛ければよい。$\square$

注意 1.4 順序体では $0 < 1$ から $1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < \cdots$ となるので、$n \cdot 1 = 1 + \cdots + 1$（$n$ 個）はすべて相異なる正の元である。そこで自然数 $n$ を $n \cdot 1 \in K$ と同一視して $\mathbb{N} \subset K$ とみなす。同様に $\mathbb{Z} \subset K$、さらに $m/n$ を考えて $\mathbb{Q} \subset K$ とみなせる。どの順序体も有理数体を含む。特に、有限体 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は（$1$ を $p$ 回足すと $0$ になるので）どのような順序を入れても順序体にならない。

例 1.5 $\mathbb{Q}$ は通常の大小関係で順序体である。$\mathbb{C}$ にはどんな全順序を入れても順序体にならない。実際、順序体なら命題 1.3 (3) より $i^2 = -1 \geq 0$ であるが、一方 $0 < 1$ と (1) より $-1 < 0$ であり、矛盾する。

例 1.6（アルキメデス的でない順序体）実数係数の有理関数全体 $K = \mathbb{R}(t)$ を考える。$0$ でない $f = p/q$（$p, q$ は多項式）に対し、$p$ と $q$ の最高次の係数の積が正のとき $f > 0$ と定める。直観的には「十分大きな実数 $x$ に対して $f(x) > 0$」ということである。正の元全体が加法・乗法で閉じ、各 $f$ について $f > 0$、$f = 0$、$-f > 0$ のちょうど一つが成り立つことが確かめられ、$f \leq g :\Leftrightarrow g - f > 0 \text{ または } g = f$ によって $K$ は順序体になる（詳細は省略する）。この $K$ では、各 $n \in \mathbb{N}$ について $t - n$ の最高次の係数は $1 > 0$ だから $t > n$ である。つまり $t$ はすべての自然数より大きい「無限大」の元であり、$1/t$ は正なのにすべての $1/n$ より小さい「無限小」の元である。実数にはこのような元がないことを 1.5 節で証明する。

定義 1.7（絶対値, absolute value）順序体 $K$ の元 $a$ に対して、$a \geq 0$ のとき $\lvert a \rvert = a$、$a < 0$ のとき $\lvert a \rvert = -a$ と定める。

命題 1.8 順序体 $K$ の元 $a, b$ と $\varepsilon > 0$ について次が成り立つ。

1. $\lvert a \rvert \geq 0$ であり、$\lvert a \rvert = 0 \Leftrightarrow a = 0$。また $-\lvert a \rvert \leq a \leq \lvert a \rvert$。
2. $\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert$。
3. $\lvert a \rvert < \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon < a < \varepsilon$。
4. （三角不等式, triangle inequality）$\lvert a + b \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$。
5. $\bigl\lvert \lvert a \rvert - \lvert b \rvert \bigr\rvert \leq \lvert a - b \rvert$。

証明. (1)〜(3) は $a, b$ の正負で場合分けすれば直ちに確かめられる。(4) (1) より $-\lvert a \rvert \leq a \leq \lvert a \rvert$、$-\lvert b \rvert \leq b \leq \lvert b \rvert$ であり、辺々加えて $-(\lvert a \rvert + \lvert b \rvert) \leq a + b \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$。$a + b$ と $-(a+b)$ のどちらも $\lvert a \rvert + \lvert b \rvert$ 以下なので $\lvert a + b \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert$。(5) (4) より $\lvert a \rvert = \lvert (a - b) + b \rvert \leq \lvert a - b \rvert + \lvert b \rvert$ なので $\lvert a \rvert - \lvert b \rvert \leq \lvert a - b \rvert$。$a$ と $b$ を入れ替えて $\lvert b \rvert - \lvert a \rvert \leq \lvert a - b \rvert$。$\square$

$\lvert a - b \rvert$ は $a$ と $b$ の「距離」と考えられる。三角不等式 $\lvert a - c \rvert \leq \lvert a - b \rvert + \lvert b - c \rvert$ は、以後ほぼすべての証明で使う最重要の道具である。

1.3 上界と上限

開区間 $(0, 1) = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \rbrace$ には最大値がない（どんな $x \in (0,1)$ をとっても $\frac{x+1}{2}$ の方が大きい）。しかし $1$ はこの集合の「天井」になっている。最大値の代わりにこの天井をとらえるのが上限である。

定義 1.9 順序体 $K$ の部分集合 $S$ について次のように定める。

• $M \in K$ がすべての $x \in S$ に対して $x \leq M$ を満たすとき、$M$ を $S$ の上界 (upper bound) という。上界が存在するとき、$S$ は上に有界 (bounded above) であるという。
• 同様に下界 (lower bound)、下に有界 (bounded below) を定める。上にも下にも有界なとき、$S$ は有界 (bounded) であるという。
• $S$ の上界であって $S$ に属する元を $S$ の最大元（最大値, maximum）といい、$\max S$ と書く。最小元 $\min S$ も同様に定める。

最大元は、存在すればただ一つである（$m, m'$ が最大元なら $m \leq m'$ かつ $m' \leq m$）。

定義 1.10（上限・下限, supremum / infimum）$S \subset K$ の上界全体の集合に最小元が存在するとき、それを $S$ の上限 (supremum, least upper bound) といい、$\sup S$ と書く。同様に、下界全体の集合の最大元を $S$ の下限 (infimum, greatest lower bound) といい、$\inf S$ と書く。

言い換えると、$\alpha = \sup S$ とは次の二条件が成り立つことである。

• (i) $\alpha$ は $S$ の上界である：すべての $x \in S$ に対して $x \leq \alpha$。
• (ii) $\alpha$ は上界の中で最小である：$M$ が $S$ の上界ならば $\alpha \leq M$。

例 1.11 $S = (0, 1) \subset \mathbb{R}$ について $\sup S = 1$、$\inf S = 0$ であり、$\max S$、$\min S$ は存在しない。実際、$1$ は上界である。$M$ を上界とし、$M < 1$ と仮定する。$\frac{1}{2} \in S$ より $M \geq \frac{1}{2} > 0$ なので、$x = \frac{M+1}{2}$ は $0 < M < x < 1$（命題 1.3 (5)）を満たし、$x \in S$ かつ $x > M$ となって $M$ が上界であることに反する。よって上界はすべて $1$ 以上であり、$\sup S = 1$。$1 \notin S$ だから最大元は存在しない（最大元が存在すればそれは上限に等しい）。下限についても同様である。

上限の条件 (ii) は「$\alpha$ より小さい数は上界でない」と言い換えられる。これを ε を使って書くと、実際の証明で非常に使いやすい形になる。

命題 1.12（上限の特徴づけ）$S \subset K$、$\alpha \in K$ とする。$\alpha = \sup S$ であるための必要十分条件は、次の二つが成り立つことである。

• (i) すべての $x \in S$ に対して $x \leq \alpha$。
• (ii') 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$x > \alpha - \varepsilon$ を満たす $x \in S$ が存在する。

下限についても、不等号を逆にした同様の特徴づけが成り立つ。

証明. (必要性) $\alpha = \sup S$ とする。(ii') が成り立たないとすると、ある $\varepsilon > 0$ について、すべての $x \in S$ が $x \leq \alpha - \varepsilon$ を満たす。すると $\alpha - \varepsilon$ は $S$ の上界であって $\alpha$ より小さく、$\alpha$ が上界の最小元であることに反する。

(十分性) (i), (ii') を仮定し、$M$ を $S$ の任意の上界とする。$M < \alpha$ と仮定すると、$\varepsilon = \alpha - M > 0$ に対して (ii') より $x > \alpha - \varepsilon = M$ となる $x \in S$ が存在し、$M$ が上界であることに反する。よって $\alpha \leq M$ であり、$\alpha = \sup S$。$\square$

注意 1.13 (1) 上限は $S$ に属するとは限らない。$\sup S \in S$ であることと $\max S$ が存在することは同値で、そのとき $\max S = \sup S$ である。 (2) $-S := \lbrace -x \mid x \in S \rbrace$ とおくと、命題 1.3 (1) より「$m$ が $S$ の下界 $\Leftrightarrow$ $-m$ が $-S$ の上界」なので、一方が存在すれば他方も存在して $\inf S = -\sup(-S)$ が成り立つ。

1.4 実数の連続性公理

いよいよ「隙間がない」ことを公理として述べる。

公理 1.14（実数の連続性公理, completeness axiom）$\mathbb{R}$ は順序体であって、次の性質をもつ：上に有界な空でない任意の部分集合 $S \subset \mathbb{R}$ は、$\mathbb{R}$ の中に上限をもつ。

この性質を上限性質 (least upper bound property) ともいい、これを満たす順序体を完備順序体 (complete ordered field) という。以後 $\mathbb{R}$ は完備順序体であるとし、$\mathbb{R}$ の元を実数 (real number) と呼ぶ。「空でない」「上に有界」という仮定はどちらも必要である。空集合ではすべての元が上界になり最小の上界はなく、$\mathbb{N}$ は（後で示すように）上に有界でないので上限をもたない。

命題 1.15 下に有界な空でない部分集合 $S \subset \mathbb{R}$ は下限をもつ。

証明. $S$ の下界を $m$ とすると $-m$ は $-S$ の上界であり、$-S$ は空でない。公理 1.14 より $\sup(-S)$ が存在し、注意 1.13 (2) より $\inf S = -\sup(-S)$ が存在する。$\square$

連続性公理の最初の成果として、$\sqrt{2}$ が実数として存在することを証明しよう。ここでは「$h$ をどう選ぶか」を探す下書きと、完成した証明（清書）を分けて示す。

定理 1.16（$\sqrt{2}$ の存在）$\alpha^2 = 2$ を満たす正の実数 $\alpha$ がただ一つ存在する。

下書き. $S = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid x > 0,\ x^2 < 2 \rbrace$ の上限を $\alpha$ とし、$\alpha^2 < 2$ と $\alpha^2 > 2$ をともに否定したい。

• $\alpha^2 < 2$ なら、少し大きい $\alpha + h$ もまだ $S$ に入るはずである。$0 < h \leq 1$ なら $h^2 \leq h$ なので $(\alpha + h)^2 = \alpha^2 + 2\alpha h + h^2 \leq \alpha^2 + (2\alpha + 1)h$。これが $2$ より小さくなるには $h < \frac{2 - \alpha^2}{2\alpha + 1}$ ならよい。余裕をもって $h = \frac{2 - \alpha^2}{2(2\alpha + 1)}$ とする。$\alpha \geq 1$ なら $2 - \alpha^2 \leq 1$、$2\alpha + 1 \geq 3$ だから $h \leq \frac{1}{6}$ となり、$h \leq 1$ も自動的に満たされる。
• $\alpha^2 > 2$ なら、少し小さい $\alpha - h$ がまだ $S$ の上界になるはずである。$(\alpha - h)^2 = \alpha^2 - 2\alpha h + h^2 > \alpha^2 - 2\alpha h$ なので、$2\alpha h = \alpha^2 - 2$、すなわち $h = \frac{\alpha^2 - 2}{2\alpha}$ とすれば $(\alpha - h)^2 > 2$ となる。

証明. $S = \lbrace x \in \mathbb{R} \mid x > 0,\ x^2 < 2 \rbrace$ とおく。$1 \in S$ だから $S$ は空でない。$x \geq 2$ なら $x^2 \geq 4 > 2$ なので $x \notin S$、したがって $2$ は $S$ の上界である。公理 1.14 より $\alpha = \sup S$ が存在し、$1 \in S$ より $\alpha \geq 1$。

$\alpha^2 < 2$ と仮定する。$h = \frac{2 - \alpha^2}{2(2\alpha + 1)}$ とおくと $0 < h \leq \frac{1}{6}$ であり、$h^2 \leq h$ より

となる。よって $\alpha + h \in S$ だが、$\alpha + h > \alpha$ は $\alpha$ が上界であることに反する。

$\alpha^2 > 2$ と仮定する。$h = \frac{\alpha^2 - 2}{2\alpha} > 0$ とおくと $\alpha - h = \frac{\alpha^2 + 2}{2\alpha} > 0$ であり、$(\alpha - h)^2 > \alpha^2 - 2\alpha h = 2$。もし $x \in S$ が $x > \alpha - h$ を満たせば、両辺とも正なので $x^2 > (\alpha - h)^2 > 2$ となり $x \in S$ に反する。よって $\alpha - h$ は $S$ の上界であるが、$\alpha - h < \alpha$ は $\alpha$ が最小の上界であることに反する。

以上より $\alpha^2 = 2$。一意性：$\alpha, \beta > 0$ が $\alpha^2 = \beta^2 = 2$ を満たせば $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = 0$ で $\alpha + \beta > 0$ だから $\alpha = \beta$。$\square$

この $\alpha$ を $\sqrt{2}$ と書く。同じ方法で、任意の $a > 0$ と $n \in \mathbb{N}$ に対して $b^n = a$ となる $b > 0$ がただ一つ存在することが示せる（問題 1.6。第3章では中間値の定理を使ってより簡単に示す）。

例 1.17（$\mathbb{Q}$ は連続性公理を満たさない）まず $\sqrt{2}$ が無理数であることを示す。$p, q \in \mathbb{N}$ が互いに素で $(p/q)^2 = 2$ とすると $p^2 = 2q^2$ なので $p^2$ は偶数、よって $p$ は偶数である（奇数の平方は奇数）。$p = 2p'$ とおくと $2p'^2 = q^2$ となり $q$ も偶数で、互いに素であることに反する。

次に $S_{\mathbb{Q}} = \lbrace x \in \mathbb{Q} \mid x > 0,\ x^2 < 2 \rbrace$ を考える。$S_{\mathbb{Q}}$ は空でなく、$2$ を上界にもつ。もし $\mathbb{Q}$ の中に上限 $\alpha \in \mathbb{Q}$ があったとすると、定理 1.16 の証明がそのまま $\mathbb{Q}$ の中で通用する。実際、証明で使った $h$ は $\alpha$ から四則演算だけで作られるので $\alpha \in \mathbb{Q}$ なら $h \in \mathbb{Q}$ であり、議論はすべて $\mathbb{Q}$ の中で完結する。すると $\alpha^2 = 2$ となり、$\sqrt{2}$ の無理性に反する。したがって $S_{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ の中に上限をもたない。$\mathbb{Q}$ は順序体だが、完備順序体ではない。

1.5 アルキメデスの性質と有理数の稠密性

高校では「$n$ を大きくすると $\frac{1}{n}$ は $0$ に近づく」ことを当然としてきた。しかし例 1.6 の順序体 $\mathbb{R}(t)$ では、正の元 $1/t$ がすべての $1/n$ より小さいので、$1/n$ は $0$ に「いくらでも近づく」ことができない。$\mathbb{R}$ にこのような無限小が存在しないことは、公理から証明すべき事実である。

定義 1.18（アルキメデス的, Archimedean）順序体 $K$ がアルキメデス的であるとは、任意の $a > 0$ と $b \in K$ に対して $na > b$ となる $n \in \mathbb{N}$ が存在することをいう。

定理 1.19（アルキメデスの性質, Archimedean property）$\mathbb{R}$ はアルキメデス的である。

証明. 結論を否定すると、ある $a > 0$ と $b$ について、すべての $n \in \mathbb{N}$ で $na \leq b$ となる。すると $S = \lbrace na \mid n \in \mathbb{N} \rbrace$ は空でなく上に有界だから、公理 1.14 より $\alpha = \sup S$ が存在する。$a > 0$ より $\alpha - a < \alpha$ なので $\alpha - a$ は $S$ の上界でなく、$na > \alpha - a$ となる $n \in \mathbb{N}$ がある。すると $(n+1)a > \alpha$ かつ $(n+1)a \in S$ となり、$\alpha$ が上界であることに反する。$\square$

系 1.20 (1) $\mathbb{N}$ は $\mathbb{R}$ の中で上に有界でない。 (2) 任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\frac{1}{n} < \varepsilon$ となる $n \in \mathbb{N}$ が存在する。 (3) $x \in \mathbb{R}$ がすべての $\varepsilon > 0$ に対して $x \leq \varepsilon$ を満たせば $x \leq 0$ である。特に、$\lvert a - b \rvert \leq \varepsilon$ がすべての $\varepsilon > 0$ について成り立てば $a = b$ である。

証明. (1) 定理 1.19 で $a = 1$ とすれば、任意の $b$ に対して $n > b$ となる $n \in \mathbb{N}$ がある。(2) $a = \varepsilon$、$b = 1$ として $n\varepsilon > 1$ となる $n$ をとれば $\frac{1}{n} < \varepsilon$。(3) $x > 0$ なら $\varepsilon = x/2$ に対して $x \leq x/2$ となり矛盾。後半は $x = \lvert a - b \rvert$ に適用する。$\square$

系 1.20 (3) は解析学で最も頻繁に使う論法の一つである。二つの数が等しいことを示すには、差の絶対値が任意の $\varepsilon > 0$ 以下であることを示せばよい。

例 1.21 $S = \left\lbrace 1 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\rbrace$ について $\sup S = 1$、$\min S = 0$ である。$1$ が上界であることは明らか。任意の $\varepsilon > 0$ に対して、系 1.20 (2) より $\frac{1}{n} < \varepsilon$ となる $n$ があり、$1 - \frac{1}{n} > 1 - \varepsilon$。命題 1.12 より $\sup S = 1$。一方、例 1.6 の $\mathbb{R}(t)$ では $\mathbb{N}$ が $t$ を上界にもつが、上限はもたない（もし上限 $\alpha$ があれば、$\alpha - 1$ は上界でないので $n > \alpha - 1$ となる $n$ があり、$n + 1 > \alpha$ となって矛盾）。$\mathbb{R}(t)$ はアルキメデス的でなく、完備でもない。

整数部分（ガウス記号）の存在もアルキメデスの性質から従う。

命題 1.22（整数部分, floor）任意の $x \in \mathbb{R}$ に対して、$m \leq x < m + 1$ を満たす整数 $m$ がただ一つ存在する。この $m$ を $\lfloor x \rfloor$ と書く（高校の記号では $[x]$）。$\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の整数のうち最大のものである。

証明. 存在：系 1.20 (1) より $k > -x$ となる $k \in \mathbb{N}$ があり、$y = x + k > 0$ である。$y$ について $m' \leq y < m' + 1$ となる整数 $m'$ が見つかれば、$m = m' - k$ が求めるものである。$A = \lbrace j \in \mathbb{N} \mid j > y \rbrace$ は系 1.20 (1) より空でないので、自然数の整列性により最小元 $j_0$ をもつ。$j_0 = 1$ なら $m' = 0$ とすれば $0 < y < 1$。$j_0 \geq 2$ なら $j_0 - 1 \in \mathbb{N} \setminus A$ だから $j_0 - 1 \leq y < j_0$ で、$m' = j_0 - 1$ とすればよい。

一意性：$m, m'$ がともに条件を満たせば $m \leq x < m' + 1$ かつ $m' \leq x < m + 1$ より $\lvert m - m' \rvert < 1$ となり、整数なので $m = m'$。最後の主張：整数 $j$ が $j \leq x$ を満たすとき、$j \geq m + 1$ なら $j > x$ となり矛盾するので $j \leq m$。$\square$

定理 1.23（有理数の稠密性, density of the rationals）$a < b$ を満たす任意の実数 $a, b$ に対して、$a < r < b$ となる有理数 $r$ が存在する。

下書き. 分母を $n$ に固定すると、$\frac{m}{n}$（$m \in \mathbb{Z}$）は間隔 $\frac{1}{n}$ で数直線上に並ぶ。間隔が区間の幅 $b - a$ より小さければ、どれかが区間 $(a, b)$ に落ちるはずである。候補は「$a$ を超える最初の $\frac{m}{n}$」、すなわち $m = \lfloor na \rfloor + 1$ である。

証明. 定理 1.19 より $n(b - a) > 1$ となる $n \in \mathbb{N}$ をとり、$m = \lfloor na \rfloor + 1$ とおく。命題 1.22 より $m - 1 \leq na < m$ なので $a < \frac{m}{n}$。また $m \leq na + 1 < na + n(b - a) = nb$ なので $\frac{m}{n} < b$。$r = \frac{m}{n}$ とすればよい。$\square$

系 1.24 $a < b$ を満たす任意の実数 $a, b$ に対して、$a < x < b$ となる無理数 $x$ が存在する。

証明. 定理 1.23 を $\frac{a}{\sqrt{2}} < \frac{b}{\sqrt{2}}$ に適用して有理数 $r$ をとる。$r = 0$ となった場合は、区間 $\left(0, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ に（このとき $0 < \frac{b}{\sqrt{2}}$ である）改めて定理 1.23 を適用し、$0$ でない有理数 $r$ をとり直す。$x = r\sqrt{2}$ とおくと $a < x < b$ であり、$x$ が有理数なら $\sqrt{2} = x/r$ も有理数となって例 1.17 に反する。$\square$

どんなに短い区間にも有理数と無理数が（実は無限個）含まれる。数直線上で有理数は「びっしり」並んでいるが、それでも例 1.17 のように隙間だらけである。この微妙な状況を正確に扱えることが、公理的な方法の強みである。

1.6 数列の収束（準備）

連続性公理と同値な条件を述べるには数列の収束が必要になる。ここでは第2章に先立って定義と最小限の性質を準備する。$\mathbb{Q}$ などとの比較のため、しばらく一般の順序体 $K$ で考える。

高校では「$n$ を限りなく大きくするとき $a_n$ が $\alpha$ に限りなく近づく」ことを $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と書いた。「限りなく近づく」を不等式で言い直すと、「どんなに小さな誤差 $\varepsilon > 0$ を指定されても、番号 $N$ を十分大きくとれば、$N$ 番目以降のすべての $a_n$ が $\alpha$ から誤差 $\varepsilon$ 未満に収まる」となる。

定義 1.25（数列の収束, convergence）順序体 $K$ の元の列 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と $\alpha \in K$ について

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ \lvert a_n - \alpha \rvert < \varepsilon$$

が成り立つとき（$\varepsilon$ は $K$ の正の元を動く）、$(a_n)$ は $\alpha$ に収束する (converge) といい、$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ または $a_n \to \alpha \ (n \to \infty)$ と書く。$\alpha$ を極限 (limit) という。

この形の論法を ε-N 論法 (epsilon-N argument) という。$N$ は $\varepsilon$ に応じて選んでよい（$N$ は $\varepsilon$ の関数である）ことが要点である。本教材では、ε-N 論法・ε-δ 論法による証明を下書きと清書に分けて示す。下書きは「$\varepsilon$ が与えられたとき $N$ をどう選べばよいか」を結論から逆算する作業であり、答案には書かない。清書では、選んだ $N$ を先に宣言し、上から順に不等式を確かめる。

例 1.26 $\mathbb{R}$ において $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ である。

下書き. $\left\lvert \frac{1}{n} - 0 \right\rvert = \frac{1}{n} < \varepsilon$ となるのは $n > \frac{1}{\varepsilon}$ のとき。そこで $N > \frac{1}{\varepsilon}$ となる自然数 $N$ をとればよい（アルキメデスの性質で存在する）。

証明. $\varepsilon > 0$ を任意にとる。定理 1.19 より $N > \frac{1}{\varepsilon}$ となる $N \in \mathbb{N}$ が存在する。$n \geq N$ ならば $\left\lvert \frac{1}{n} - 0 \right\rvert = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon$。$\square$

例 1.6 の $\mathbb{R}(t)$ では、$\varepsilon = \frac{1}{t}$ に対してすべての $n$ で $\frac{1}{n} > \frac{1}{t}$ なので、$\frac{1}{n}$ は $0$ に収束しない。「$\frac{1}{n} \to 0$」はアルキメデスの性質そのものである（補題 1.33）。

例 1.27 $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n + 3} = 2$ である。

下書き. $\left\lvert \frac{2n+1}{n+3} - 2 \right\rvert = \frac{5}{n + 3}$。これを $\varepsilon$ 未満にする $n$ の範囲を正確に求める必要はなく、大きめに評価して簡単な式にしてよい：$\frac{5}{n+3} < \frac{5}{n}$ なので、$\frac{5}{n} \leq \varepsilon$、つまり $n \geq \frac{5}{\varepsilon}$ なら十分である。

証明. $\varepsilon > 0$ を任意にとり、$N > \frac{5}{\varepsilon}$ となる $N \in \mathbb{N}$ をとる。$n \geq N$ ならば

である。$\square$

補題 1.28 順序体 $K$ の数列について次が成り立つ。

1. （極限の一意性）$a_n \to \alpha$ かつ $a_n \to \beta$ ならば $\alpha = \beta$。
2. （極限は不等号を保つ）$a_n \to \alpha$ であり、ある $n_0$ 以降のすべての $n$ で $a_n \leq c$ ならば $\alpha \leq c$。$a_n \geq c$ についても同様。

証明. (1) $\alpha \neq \beta$ と仮定し、$\varepsilon = \frac{\lvert \alpha - \beta \rvert}{2} > 0$ とおく。$n \geq N_1$ で $\lvert a_n - \alpha \rvert < \varepsilon$、$n \geq N_2$ で $\lvert a_n - \beta \rvert < \varepsilon$ となる $N_1, N_2$ をとり、$n = \max\lbrace N_1, N_2 \rbrace$ とすると、三角不等式より $\lvert \alpha - \beta \rvert \leq \lvert \alpha - a_n \rvert + \lvert a_n - \beta \rvert < 2\varepsilon = \lvert \alpha - \beta \rvert$ となり矛盾。

(2) $\alpha > c$ と仮定し、$\varepsilon = \alpha - c > 0$ とおく。$n \geq N$ で $\lvert a_n - \alpha \rvert < \varepsilon$ となる $N$ をとり、$n \geq \max\lbrace N, n_0 \rbrace$ とすると $a_n > \alpha - \varepsilon = c$ となり、$a_n \leq c$ に反する。$\square$

定義 1.29 数列 $(a_n)$ が、すべての $n$ で $a_n \leq a_{n+1}$ を満たすとき単調増加 (monotonically increasing)、$a_n < a_{n+1}$ を満たすとき狭義単調増加 (strictly increasing) という。単調減少も同様に定める。集合 $\lbrace a_n \mid n \in \mathbb{N} \rbrace$ が上に有界・有界であるとき、数列が上に有界・有界であるという。狭義単調増加な自然数の列 $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ に対して、数列 $(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ を $(a_n)$ の部分列 (subsequence) という。

部分列の番号について、帰納法により $n_k \geq k$ がすべての $k$ で成り立つ（$n_1 \geq 1$ で、$n_{k+1} > n_k \geq k$ より $n_{k+1} \geq k + 1$）。

補題 1.30 $a_n \to \alpha$ ならば、$(a_n)$ の任意の部分列 $(a_{n_k})$ も $\alpha$ に収束する。

証明. $\varepsilon > 0$ に対し、$n \geq N$ で $\lvert a_n - \alpha \rvert < \varepsilon$ となる $N$ をとる。$k \geq N$ ならば $n_k \geq k \geq N$ なので $\lvert a_{n_k} - \alpha \rvert < \varepsilon$。$\square$

収束の定義には極限 $\alpha$ が現れるが、極限の値を知らずに「収束しそうか」を判定したいことが多い。そのための概念がコーシー列である。

定義 1.31（コーシー列, Cauchy sequence）数列 $(a_n)$ が

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall m, n \geq N,\ \lvert a_m - a_n \rvert < \varepsilon$$

を満たすとき、コーシー列という。

補題 1.32 順序体 $K$ の数列について次が成り立つ。

1. 収束する数列はコーシー列である。
2. コーシー列は有界である。
3. コーシー列が収束する部分列をもてば、もとの数列もその極限に収束する。

証明. (1) $a_n \to \alpha$ とし、$\varepsilon > 0$ に対して $n \geq N$ で $\lvert a_n - \alpha \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$ となる $N$ をとる。$m, n \geq N$ なら $\lvert a_m - a_n \rvert \leq \lvert a_m - \alpha \rvert + \lvert \alpha - a_n \rvert < \varepsilon$。

(2) $\varepsilon = 1$ に対する $N$ をとると、$n \geq N$ で $\lvert a_n \rvert \leq \lvert a_n - a_N \rvert + \lvert a_N \rvert < 1 + \lvert a_N \rvert$。よって $M = \max\lbrace \lvert a_1 \rvert, \dots, \lvert a_{N-1} \rvert, 1 + \lvert a_N \rvert \rbrace$ とおけば、すべての $n$ で $\lvert a_n \rvert \leq M$。