数列と級数

この章の目標

• ε-N 論法で数列の収束・発散を証明でき、その否定を正しく書ける
• 上極限・下極限を定義し、ε による特徴づけと部分列による特徴づけを使える
• ネイピア数 $e$ を厳密に定義し、$e = \sum 1/n!$ と $e$ の無理性を証明できる
• 正項級数の収束を比較・比・根の判定法で判定できる
• 絶対収束と条件収束の違いを、並べ替え（リーマンの再配列定理）と級数の積（メルテンスの定理）を通して理解する

前提：第1章 実数の連続性（特に定義 1.25、補題 1.28〜1.32、系 1.35）

2.1 収束の定義と例

高校では「$n$ を限りなく大きくすると $a_n$ は $\alpha$ に限りなく近づく」ことを $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と書き、極限は主に計算するものだった。大学の解析学では、極限が存在することを証明し、さらに極限についての一般的な定理（はさみうちの原理、単調収束定理など）そのものを証明する。そのための言葉が第1章で導入した ε-N 論法である。

定義 2.1（収束・発散）実数列 $(a_n)$ と $\alpha \in \mathbb{R}$ について

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ \lvert a_n - \alpha \rvert < \varepsilon$$

が成り立つとき、$(a_n)$ は $\alpha$ に収束するといい、$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ と書く。ある実数に収束するとき $(a_n)$ は収束する (convergent)、どの実数にも収束しないとき発散する (divergent) という。

極限は存在すればただ一つである（補題 1.28 (1)）。また、量化子の否定の規則（00-foundations 第1章）により、「$(a_n)$ が $\alpha$ に収束しない」ことは

と書ける。言い換えると「ある $\varepsilon > 0$ について、$\lvert a_n - \alpha \rvert \geq \varepsilon$ となる $n$ が無限個ある」ということである。

注意 2.2 定義の $\lvert a_n - \alpha \rvert < \varepsilon$ を $\lvert a_n - \alpha \rvert \leq \varepsilon$ や $\lvert a_n - \alpha \rvert < C\varepsilon$（$C > 0$ は $\varepsilon$ にも $n$ にもよらない定数）に置き換えても同値な定義になる。任意の $\varepsilon$ について成り立つのだから、$\varepsilon$ の代わりに $\varepsilon/2$ や $\varepsilon/C$ に対して条件を使えばよい。以後、この自由を断りなく使う。また、最初の有限個の項を変えても収束・発散と極限は変わらない。

ε-N 論法の証明は、第1章と同様に下書き（$N$ を逆算する）と清書に分けて示す。下書きでは、$\lvert a_n - \alpha \rvert$ を簡単な式で上から評価することが鍵になる。正確な値を求める必要はない。

補題 2.3（ベルヌーイの不等式）$h \geq 0$、$n \in \mathbb{N}$ ならば $(1 + h)^n \geq 1 + nh$。さらに $n \geq 2$ ならば $(1 + h)^n \geq \frac{n(n-1)}{2} h^2$。

証明. 二項定理 $(1 + h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} h^k$ の各項は $0$ 以上なので、$k = 0, 1$ の項だけ、あるいは $k = 2$ の項だけを残せばよい。$\square$

例 2.4 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n}{n^2 + 1} = 3$。

下書き. $\left\lvert \frac{3n^2 + n}{n^2 + 1} - 3 \right\rvert = \frac{\lvert n - 3 \rvert}{n^2 + 1}$。分子は $\lvert n - 3 \rvert \leq n + 3 \leq 4n$、分母は $n^2 + 1 > n^2$ と粗く評価すると、全体は $\frac{4}{n}$ 未満。$\frac{4}{n} \leq \varepsilon$ となるには $n \geq \frac{4}{\varepsilon}$ ならよい。

証明. $\varepsilon > 0$ を任意にとり、$N > \frac{4}{\varepsilon}$ となる $N \in \mathbb{N}$ をとる（アルキメデスの性質）。$n \geq N$ ならば

である。$\square$

例 2.5 $\lvert r \rvert < 1$ ならば $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$。

下書き. $r = 0$ なら明らかなので $r \neq 0$ とする。$\frac{1}{\lvert r \rvert} = 1 + h$（$h > 0$）とおくと、ベルヌーイの不等式より $(1 + h)^n \geq 1 + nh > nh$、よって $\lvert r \rvert^n < \frac{1}{nh}$。これが $\varepsilon$ 以下になるには $n \geq \frac{1}{h\varepsilon}$ ならよい。

証明. $r \neq 0$ とし、$h = \frac{1}{\lvert r \rvert} - 1 > 0$ とおく。$\varepsilon > 0$ に対して $N > \frac{1}{h\varepsilon}$ となる $N$ をとる。$n \geq N$ ならば、補題 2.3 より $\lvert r^n - 0 \rvert = \frac{1}{(1+h)^n} < \frac{1}{nh} \leq \frac{1}{Nh} < \varepsilon$。$\square$

例 2.6 $a \geq 1$ ならば $\lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1$（$a^{1/n}$ は正の $n$ 乗根。存在は問題 1.6）。$h_n = a^{1/n} - 1$ とおくと、$a^{1/n} < 1$ なら $a < 1$ となるので $h_n \geq 0$。ベルヌーイの不等式より $a = (1 + h_n)^n \geq 1 + nh_n$、よって $0 \leq h_n \leq \frac{a - 1}{n}$。$\varepsilon > 0$ に対し $N > \frac{a-1}{\varepsilon}$ をとれば、$n \geq N$ で $\lvert a^{1/n} - 1 \rvert \leq \frac{a-1}{n} < \varepsilon$。$0 < a < 1$ の場合は例 2.11 で扱う。

例 2.7 $\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$。

下書き. $h_n = n^{1/n} - 1 \geq 0$ とおく。例 2.6 と同じように $1 + nh_n$ で評価すると $h_n \leq \frac{n-1}{n}$ となって役に立たない。そこで補題 2.3 の後半を使う：$n \geq 2$ なら $n = (1 + h_n)^n \geq \frac{n(n-1)}{2}h_n^2$、よって $h_n \leq \sqrt{\frac{2}{n-1}}$。これが $\varepsilon$ 未満になるには $n - 1 > \frac{2}{\varepsilon^2}$ ならよい。

証明. $\varepsilon > 0$ に対して $N > 1 + \frac{2}{\varepsilon^2}$ となる $N \in \mathbb{N}$ をとる（$N \geq 2$ となる）。$n \geq N$ ならば、補題 2.3 より $h_n^2 \leq \frac{2}{n-1} \leq \frac{2}{N-1} < \varepsilon^2$、よって $\lvert n^{1/n} - 1 \rvert = h_n < \varepsilon$。$\square$

命題 2.8 収束する数列は有界である。

証明. $a_n \to \alpha$ とし、$\varepsilon = 1$ に対する $N$ をとると、$n \geq N$ で $\lvert a_n \rvert \leq \lvert a_n - \alpha \rvert + \lvert \alpha \rvert < 1 + \lvert \alpha \rvert$。$M = \max\lbrace \lvert a_1 \rvert, \dots, \lvert a_{N-1} \rvert, 1 + \lvert \alpha \rvert \rbrace$ とおけば、すべての $n$ で $\lvert a_n \rvert \leq M$。$\square$

2.2 極限の基本性質

高校では「$\lim (a_n + b_n) = \lim a_n + \lim b_n$」などを公式として使った。これらを ε-N 論法で証明しておく。

定理 2.9（極限の四則）$a_n \to \alpha$、$b_n \to \beta$ とする。

1. $a_n + b_n \to \alpha + \beta$、$c a_n \to c\alpha$（$c \in \mathbb{R}$）。
2. $a_n b_n \to \alpha\beta$。
3. $\beta \neq 0$ ならば、ある $N_0$ 以降 $b_n \neq 0$ であり、$\frac{a_n}{b_n} \to \frac{\alpha}{\beta}$（$n \geq N_0$ で考える）。

証明. (1) $\varepsilon > 0$ に対し、$n \geq N_1$ で $\lvert a_n - \alpha \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$、$n \geq N_2$ で $\lvert b_n - \beta \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$ となる $N_1, N_2$ をとる。$n \geq \max\lbrace N_1, N_2 \rbrace$ なら $\lvert (a_n + b_n) - (\alpha + \beta) \rvert \leq \lvert a_n - \alpha \rvert + \lvert b_n - \beta \rvert < \varepsilon$。$c a_n$ については $\lvert ca_n - c\alpha \rvert = \lvert c \rvert \lvert a_n - \alpha \rvert$ から従う。

(2) 下書き. 差を「$a_n$ の誤差」と「$b_n$ の誤差」に分ける：

$\lvert a_n \rvert$ は命題 2.8 より定数 $M$ で抑えられる。各項を $\frac{\varepsilon}{2}$ 未満にするには、$\lvert b_n - \beta \rvert < \frac{\varepsilon}{2M}$、$\lvert a_n - \alpha \rvert < \frac{\varepsilon}{2(\lvert \beta \rvert + 1)}$ とすればよい（$\lvert \beta \rvert = 0$ のときも割り算できるように $+1$ しておく）。

清書. 命題 2.8 より、すべての $n$ で $\lvert a_n \rvert \leq M$ となる $M > 0$ がある。$\varepsilon > 0$ に対し、$n \geq N_1$ で $\lvert b_n - \beta \rvert < \frac{\varepsilon}{2M}$、$n \geq N_2$ で $\lvert a_n - \alpha \rvert < \frac{\varepsilon}{2(\lvert \beta \rvert + 1)}$ となる $N_1, N_2$ をとる。$n \geq \max\lbrace N_1, N_2 \rbrace$ なら、上の不等式より $\lvert a_n b_n - \alpha\beta \rvert < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + \lvert \beta \rvert \cdot \frac{\varepsilon}{2(\lvert \beta \rvert + 1)} < \varepsilon$。

(3) (2) より $\frac{1}{b_n} \to \frac{1}{\beta}$ を示せば十分である。$\varepsilon_0 = \frac{\lvert \beta \rvert}{2}$ に対する $N_0$ をとると、$n \geq N_0$ で $\lvert b_n \rvert \geq \lvert \beta \rvert - \lvert b_n - \beta \rvert > \frac{\lvert \beta \rvert}{2}$、特に $b_n \neq 0$。このとき

$\varepsilon > 0$ に対し、$n \geq N_1$ で $\lvert b_n - \beta \rvert < \frac{\lvert \beta \rvert^2 \varepsilon}{2}$ となる $N_1$ をとれば、$n \geq \max\lbrace N_0, N_1 \rbrace$ で右辺は $\varepsilon$ 未満になる。$\square$

定理 2.10（はさみうちの原理, squeeze theorem）ある $n_0$ 以降 $a_n \leq c_n \leq b_n$ であり、$a_n \to \alpha$、$b_n \to \alpha$ ならば、$c_n \to \alpha$ である。

証明. $\varepsilon > 0$ に対し、$n \geq N$ で $\lvert a_n - \alpha \rvert < \varepsilon$ かつ $\lvert b_n - \alpha \rvert < \varepsilon$ となる $N \geq n_0$ をとる。$n \geq N$ なら $\alpha - \varepsilon < a_n \leq c_n \leq b_n < \alpha + \varepsilon$。$\square$

補題 1.28 (2) とあわせると、$a_n \to \alpha$、$b_n \to \beta$ で $a_n \leq b_n$ なら $\alpha \leq \beta$ である（$b_n - a_n \geq 0$ に適用する）。

例 2.11 (1) $0 < a < 1$ なら $a^{1/n} = \frac{1}{(1/a)^{1/n}} \to 1$（例 2.6 と定理 2.9 (3)）。 (2) $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ であり、$0 < \sqrt{n+1} - \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}}$。$\frac{1}{\sqrt{n}} < \varepsilon \Leftrightarrow n > \frac{1}{\varepsilon^2}$ から $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ なので、はさみうちにより $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \to 0$。 (3) $3 \leq (2^n + 3^n)^{1/n} \leq (2 \cdot 3^n)^{1/n} = 3 \cdot 2^{1/n}$ であり、右辺は $3$ に収束するので $(2^n + 3^n)^{1/n} \to 3$。一般に、$a_1, \dots, a_k > 0$ なら $(a_1^n + \dots + a_k^n)^{1/n} \to \max_i a_i$ である。

2.3 発散

定義 2.12 実数列 $(a_n)$ が

$$\forall M \in \mathbb{R},\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ a_n > M$$

を満たすとき、$(a_n)$ は正の無限大に発散する (diverge to $+\infty$) といい、$\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty$ または $a_n \to +\infty$ と書く。$-\infty$ への発散も同様に定める。収束せず、$\pm\infty$ にも発散しないとき、振動する (oscillate) という。

$+\infty$ は実数ではないので、$a_n \to +\infty$ は「収束」ではなく発散の一種である。

例 2.13 (1) $r > 1$ なら $r^n \to +\infty$：$r = 1 + h$ とおくと $r^n \geq 1 + nh > nh$ なので、$M$ に対して $N > \frac{M}{h}$ をとればよい。 (2) $a_n = (-1)^n$ は振動する。有界なので $\pm\infty$ に発散しない。$\alpha$ に収束したとすると、$\varepsilon = 1$ に対する $N$ について $2 = \lvert a_{N+1} - a_N \rvert \leq \lvert a_{N+1} - \alpha \rvert + \lvert \alpha - a_N \rvert < 2$ となり矛盾する。

命題 2.14 (1) 単調増加数列は、上に有界ならば収束し（系 1.35）、上に有界でなければ $+\infty$ に発散する。 (2) $a_n \to +\infty$ で $(b_n)$ が下に有界ならば $a_n + b_n \to +\infty$。$a_n \to +\infty$ で、ある $c > 0$ についてすべての $n$ で $b_n \geq c$ ならば $a_n b_n \to +\infty$。 (3) $a_n > 0$ のとき、$a_n \to +\infty \Leftrightarrow \frac{1}{a_n} \to 0$。

証明. (1) 上に有界でないなら、任意の $M$ に対して $a_N > M$ となる $N$ があり、単調性より $n \geq N$ で $a_n \geq a_N > M$。(2) $b_n \geq -L$ とすると、$M$ に対して $n \geq N$ で $a_n > M + L$ となる $N$ をとれば $a_n + b_n > M$。積も同様（$a_n > M/c$ となる $N$ をとる、$M > 0$ としてよい）。(3) $a_n > \frac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{a_n} < \varepsilon$ から直ちに従う。$\square$

2.4 部分列と上極限・下極限

振動する数列、例えば $(-1)^n$ や $(-1)^n\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ は極限をもたないが、「上の方では $1$ に、下の方では $-1$ に近づく」という構造がある。これをとらえるのが部分列と上極限・下極限である。

命題 2.15 (1) $a_n \to \alpha$ ならば、任意の部分列も $\alpha$ に収束する。 (2) $(a_n)$ の任意の部分列が、$\alpha$ に収束する部分列（部分列の部分列）をもつならば、$a_n \to \alpha$ である。

証明. (1) は補題 1.30。(2) 対偶を示す。$a_n \not\to \alpha$ なら、ある $\varepsilon > 0$ について $\lvert a_n - \alpha \rvert \geq \varepsilon$ となる $n$ が無限個ある。それらを小さい順に $n_1 < n_2 < \cdots$ とすると、部分列 $(a_{n_k})$ のどの部分列も、すべての項が $\alpha$ から $\varepsilon$ 以上離れているので $\alpha$ に収束しない。$\square$

特に、異なる極限に収束する二つの部分列があれば、もとの数列は発散する。例えば $(-1)^n$ は偶数番目が $1$ に、奇数番目が $-1$ に収束するので発散する。

定義 2.16（上極限・下極限, limit superior / limit inferior）実数列 $(a_n)$ が上に有界なとき、$s_n = \sup\lbrace a_k \mid k \geq n \rbrace$ とおくと $(s_n)$ は単調減少である。$(s_n)$ が下に有界なら

$$\limsup_{n \to \infty} a_n := \lim_{n \to \infty} s_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} \sup_{k \geq n} a_k$$

と定め、下に有界でなければ $\limsup a_n = -\infty$ と定める。$(a_n)$ が上に有界でなければ $\limsup a_n = +\infty$ と定める。同様に $i_n = \inf\lbrace a_k \mid k \geq n \rbrace$ を使って $\liminf_{n \to \infty} a_n := \lim i_n = \sup_n \inf_{k \geq n} a_k$ を定める。

$s_n$ は「$n$ 番目以降の最大値（の代わり）」であり、$n$ を増やすと範囲が狭まるので減少する。$\lim s_n = \inf s_n$ は系 1.35 (1) による。上極限・下極限は、$\pm\infty$ を許せばどんな数列に対しても必ず存在する。これが極限と比べた最大の利点である。常に $\liminf a_n \leq \limsup a_n$ が成り立つ（$i_n \leq s_n$ より）。

例 2.17 $a_n = (-1)^n\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ のとき、$s_n$ は $n$ 以上の最初の偶数 $k$ に対する $1 + \frac{1}{k}$ なので $s_n \to 1$、よって $\limsup a_n = 1$。同様に $\liminf a_n = -1$。一方 $\sup_n a_n = a_2 = \frac{3}{2}$ であり、$\sup$ と $\limsup$ は異なる。上極限は「最初の有限個の項」に左右されない。

定理 2.18（上極限の特徴づけ）$(a_n)$ を有界な実数列、$\alpha \in \mathbb{R}$ とする。次は同値である。

1. $\alpha = \limsup_{n \to \infty} a_n$。
2. 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、(i) ある $N$ が存在して $n \geq N$ ならば $a_n < \alpha + \varepsilon$、かつ (ii) $a_n > \alpha - \varepsilon$ となる $n$ が無限個存在する。
3. $\alpha$ に収束する $(a_n)$ の部分列が存在し、かつ $(a_n)$ の収束部分列の極限はすべて $\alpha$ 以下である。

すなわち、$\limsup a_n$ は部分列の極限として現れる値の最大値である。下極限についても、不等号を逆にして同様の特徴づけが成り立つ（部分列の極限の最小値）。

証明. (1)⇒(2)：$s_n \downarrow \alpha$ なので、$\varepsilon > 0$ に対して $s_N < \alpha + \varepsilon$ となる $N$ があり、$n \geq N$ で $a_n \leq s_N < \alpha + \varepsilon$。これが (i)。また任意の $n$ で $s_n \geq \alpha > \alpha - \varepsilon$ なので、上限の性質（命題 1.12）より $a_k > \alpha - \varepsilon$ となる $k \geq n$ がある。$n$ は任意なので、そのような $k$ は無限個ある。これが (ii)。

(2)⇒(1)：(i) より $s_N \leq \alpha + \varepsilon$ となる $N$ があり、$(s_n)$ は減少するので $\lim s_n \leq \alpha + \varepsilon$。(ii) より、任意の $n$ に対して $a_k > \alpha - \varepsilon$ となる $k \geq n$ があるので $s_n > \alpha - \varepsilon$、よって $\lim s_n \geq \alpha - \varepsilon$。$\varepsilon$ は任意なので $\lim s_n = \alpha$（系 1.20 (3)）。

(2)⇒(3)：各 $k$ について、(ii) の「$a_n > \alpha - \frac{1}{k}$ となる無限個の $n$」のうち、(i) により有限個を除いたものは $\lvert a_n - \alpha \rvert < \frac{1}{k}$ を満たす。よって帰納的に $n_1 < n_2 < \cdots$ を $\lvert a_{n_k} - \alpha \rvert < \frac{1}{k}$ となるように選べ、$a_{n_k} \to \alpha$。次に $a_{m_j} \to \beta$ とすると、(i) より十分大きな $j$ で $a_{m_j} < \alpha + \varepsilon$ なので $\beta \leq \alpha + \varepsilon$。$\varepsilon$ は任意なので $\beta \leq \alpha$。

(3)⇒(2)：(ii) は $\alpha$ に収束する部分列の十分先の項が $\alpha - \varepsilon$ より大きいことから従う。(i) が成り立たないとすると、ある $\varepsilon > 0$ について $a_n \geq \alpha + \varepsilon$ となる $n$ が無限個あり、それらからなる部分列は有界なので、ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理（系 1.35 (3)）により収束部分列をもつ。その極限 $\beta$ は $\beta \geq \alpha + \varepsilon > \alpha$ を満たし（補題 1.28 (2)）、(3) に反する。$\square$

系 2.19 有界な数列 $(a_n)$ が収束するための必要十分条件は $\limsup a_n = \liminf a_n$ であり、このとき極限はこの共通の値に等しい。

証明. $a_n \to \alpha$ なら、命題 2.15 (1) より収束部分列の極限はすべて $\alpha$ なので、定理 2.18 (3) より $\limsup a_n = \liminf a_n = \alpha$。逆に両者が $\alpha$ に等しければ、定理 2.18 (2)(i) とその下極限版より、$\varepsilon > 0$ に対して十分大きな $n$ で $\alpha - \varepsilon < a_n < \alpha + \varepsilon$。$\square$

2.5 コーシー列

第1章で、実数列が収束するための必要十分条件はコーシー列であることだと示した（系 1.35 (4)）。この判定法の利点は、極限の値を知らなくても収束が示せることである。

例 2.20 $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ は収束する。$m > n$ なら、$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$（$k \geq 2$）より

よって $\varepsilon > 0$ に対して $N > \frac{1}{\varepsilon}$ をとれば、$m > n \geq N$ で $\lvert a_m - a_n \rvert < \varepsilon$。$(a_n)$ はコーシー列なので収束する。極限は $\frac{\pi^2}{6}$ であることが知られている（フーリエ級数や留数定理を用いて示される。08-differential-equations 第6章 を参照）。

例 2.21 調和級数の部分和 $H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ はコーシー列でない。実際

なので、$\varepsilon = \frac{1}{2}$ に対してどんな $N$ をとっても $m = 2N$、$n = N$ で条件が破れる。$(H_n)$ は単調増加で収束しないので、命題 2.14 (1) より $H_n \to +\infty$ である。$H_n - H_{n-1} = \frac{1}{n} \to 0$ であっても収束するとは限らない。コーシー列の条件は隣り合う項の差だけでなく、任意の二項の差についての条件である。

命題 2.22（縮小的な数列）ある $0 \leq r < 1$ についてすべての $n$ で $\lvert a_{n+2} - a_{n+1} \rvert \leq r \lvert a_{n+1} - a_n \rvert$ ならば、$(a_n)$ はコーシー列であり、したがって収束する。

証明. 帰納法で $\lvert a_{k+1} - a_k \rvert \leq r^{k-1} d$（$d = \lvert a_2 - a_1 \rvert$）。$m > n$ なら

右辺は例 2.5 より $n \to \infty$ で $0$ に収束するので、コーシー列の条件が成り立つ。$\square$

例 2.23 $a_1 = 1$、$a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}$ で定まる数列 $1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \dots$（フィボナッチ数の比）は単調ではないが収束する。帰納法ですべての $n$ で $a_n \geq 1$ であり、$a_n a_{n-1} = \left(1 + \frac{1}{a_{n-1}}\right) a_{n-1} = a_{n-1} + 1 \geq 2$ なので

命題 2.22 より $a_n \to \varphi$ となる $\varphi$ があり、$\varphi \geq 1$。漸化式で極限をとると（定理 2.9）$\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$、すなわち $\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$ なので $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$（黄金比）。この論法は第8章の縮小写像の原理の原型である。

2.6 ネイピア数 e

高校では $e = \lim\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ と定義したが、この極限の存在は証明しなかった。ここで証明し、同時に $e = \sum \frac{1}{k!}$ を示す。

定理 2.24 $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$、$b_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ とおく（$0! = 1$）。

1. $(a_n)$ は狭義単調増加で、$a_n \leq b_n < 3$。
2. $(a_n)$ と $(b_n)$ はともに収束し、$\lim a_n = \lim b_n$ である。

この共通の極限をネイピア数 (Napier's constant) といい $e$ と書く：$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$。

証明. (1) 二項定理より

（$k = 0, 1$ のとき積は空で $1$ とする）。$a_{n+1}$ も同様に展開すると、$k \leq n$ の各項で $1 - \frac{j}{n+1} > 1 - \frac{j}{n}$ なので $a_{n+1}$ の項の方が大きいか等しく、さらに $a_{n+1}$ には正の項（$k = n+1$）が一つ多い。よって $a_n < a_{n+1}$。また積は $1$ 以下なので $a_n \leq b_n$。$k \geq 1$ で $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k \geq 2^{k-1}$ なので

(2) $(a_n)$、$(b_n)$ は単調増加で上に有界なので、単調収束定理により収束する。極限をそれぞれ $e$、$e'$ とおくと、$a_n \leq b_n$ より $e \leq e'$。逆向きの不等式を示す。$m$ を固定し、$n \geq m$ とすると、$k > m$ の項を捨てて

右辺は $m$ を固定した有限和なので、$n \to \infty$ のとき定理 2.9 により $\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!} = b_m$ に収束する。よって $e \geq b_m$（補題 1.28 (2)）。これがすべての $m$ で成り立つので $e \geq e'$。$\square$

命題 2.25 すべての $n \in \mathbb{N}$ について $0 < e - b_n < \frac{1}{n \cdot n!}$。

証明. $m > n$ に対して

$m \to \infty$ として $e - b_n \leq \frac{n+2}{(n+1)!(n+1)}$。$n(n+2) < (n+1)^2$ より右辺は $\frac{1}{n \cdot n!}$ より小さい。また $e - b_n \geq b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$。$\square$

数値で比べると違いがよくわかる。$b_{10} = 2.7182818011\ldots$ であり、命題 2.25 より誤差は $\frac{1}{10 \cdot 10!} < 2.8 \times 10^{-8}$ である（実際 $e = 2.7182818284\ldots$）。一方 $a_{10} = 1.1^{10} = 2.5937\ldots$、$a_{1000} = 2.7169\ldots$ であり、$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ の収束は非常に遅い。

定理 2.26 $e$ は無理数である。

証明. $e = \frac{p}{q}$（$p, q \in \mathbb{N}$）と仮定する。$x = q!\ (e - b_q)$ とおくと、$q!\ e = p \cdot (q-1)!$ も $q!\ b_q = \sum_{k=0}^{q} \frac{q!}{k!}$ も整数なので、$x$ は整数である。一方、命題 2.25 より $0 < x < \frac{q!}{q \cdot q!} = \frac{1}{q} \leq 1$。$0$ と $1$ の間に整数はないので矛盾する。$\square$

2.7 級数の収束

高校では無限等比級数を扱った。一般の無限和を正確に定義しよう。

定義 2.27（級数, series）数列 $(a_n)$ に対して、部分和 (partial sum) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ の列が $S$ に収束するとき、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は収束するといい、$S$ をその和と呼んで $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$ と書く。$(S_n)$ が収束しないとき級数は発散するという。

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ という記号は、級数そのもの（部分和の列）とその和の両方を表す。添字が $0$ から始まる場合も同様である。

命題 2.28 $\sum a_n$ が収束すれば $a_n \to 0$ である。

証明. $S_n \to S$ なら $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$。$\square$

逆は成り立たない。調和級数 $\sum \frac{1}{n}$ は $\frac{1}{n} \to 0$ だが発散する（例 2.21）。命題 2.28 は発散を示すための道具として使う。

例 2.29（等比級数, geometric series）$\sum_{n=0}^{\infty} r^n$ は $\lvert r \rvert < 1$ のとき収束して和は $\frac{1}{1-r}$、$\lvert r \rvert \geq 1$ のとき発散する。実際 $r \neq 1$ なら $S_n = \sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$ であり、$\lvert r \rvert < 1$ なら例 2.5 より $\frac{1}{1-r}$ に収束する。$\lvert r \rvert \geq 1$ なら $\lvert r^n \rvert \geq 1$ で項が $0$ に収束しない。

例 2.30（望遠鏡和）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$。$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ より $S_n = 1 - \frac{1}{n+1} \to 1$。

定理 2.31（級数のコーシーの判定法）$\sum a_n$ が収束するための必要十分条件は、次が成り立つことである。

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall m > n \geq N,\ \left\lvert \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right\rvert < \varepsilon$$