フーリエ級数

この章の目標

• フーリエ係数を計算でき、ベッセルの不等式とリーマン–ルベーグの補題を証明できる
• ディリクレ核を用いて、区分的に滑らかな関数のフーリエ級数の各点収束を証明できる
• フェイエールの定理とパーセヴァルの等式を証明し、三角関数系の完全性を説明できる
• 滑らかさと係数の減衰の関係を理解し、一様収束・項別微分の条件を述べられる
• バーゼル問題・等周不等式・ワイエルシュトラスの近似定理にフーリエ級数を応用できる

前提：第5章、微分積分学 第5章、第6章

フーリエは 1807 年頃、棒の中の熱の伝わり方を研究し、「任意の」関数が三角関数の和 $\sum(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$ で表せると主張した。熱方程式を変数分離すると $\sin nx$ という固有関数が現れる（第5章、第7章）ので、初期温度分布をこれらの和に展開できれば、熱方程式が解けるからである。この主張がどのような意味で正しいかを明らかにする試みから、関数の概念、リーマン積分、一様収束、集合論、ルベーグ積分が生まれた。本章では、フーリエ級数が「どの関数について」「どの意味で」元の関数を表すかを調べる。

以下、関数は $\mathbb{R}$ 上の周期 $2\pi$ の複素数値関数で、$[-\pi, \pi]$ 上リーマン積分可能なものとする（このような関数は有界である）。内積とノルムを

とおく（$\lVert f \rVert_2 = 0$ でも $f = 0$ とは限らないので、厳密には半ノルムである）。$e_n(x) = e^{inx}$ とすると $\langle e_m, e_n \rangle$ は $m = n$ なら 1、そうでなければ 0 である。

6.1 三角級数とフーリエ係数

定義 6.1（フーリエ級数, Fourier series）$n \in \mathbb{Z}$ に対し

$$\hat{f}(n) = \langle f, e_n \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,dx$$

を $f$ のフーリエ係数、形式的な級数 $\sum_{n \in \mathbb{Z}}\hat{f}(n)e^{inx}$ をフーリエ級数といい、$f \sim \sum\hat{f}(n)e^{inx}$ と書く。部分和を $S_Nf(x) = \sum_{\lvert n \rvert \leq N}\hat{f}(n)e^{inx}$ とおく。

実数値関数では、$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\ dx$, $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\ dx$ とおくと $\hat{f}(\pm n) = (a_n \mp ib_n)/2$ で、$S_Nf = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$ である。$f$ が奇関数なら $a_n = 0$、偶関数なら $b_n = 0$。

例 6.2 周期 $2\pi$ に拡張した次の関数を考える（部分積分で計算できる）。

• のこぎり波 $f(x) = x$（$-\pi < x < \pi$）：$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin nx\ dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ で、$x \sim 2\sum_{n \geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$。
• 方形波 $f(x) = \operatorname{sgn}x$：$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin nx\ dx = \frac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n}$ で、$\operatorname{sgn}x \sim \frac{4}{\pi}\sum_{k \geq 0}\frac{\sin(2k + 1)x}{2k + 1}$。
• $f(x) = x^2$（$\lvert x \rvert \leq \pi$）：$a_0 = \frac{2\pi^2}{3}$、$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^2\cos nx\ dx = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ で、$x^2 \sim \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n \geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$。

注意 6.3（区間 $[0, \ell]$ 上の正弦級数・余弦級数）$[0, \ell]$ 上の関数 $f$ を奇関数として $[-\ell, \ell]$ に拡張し、周期 $2\ell$ に延長して変数を $\pi x/\ell$ に取り替えると、正弦級数 $f(x) \sim \sum_{n \geq 1}b_n\sin\frac{n\pi x}{\ell}$, $b_n = \frac{2}{\ell}\int_0^\ell f(x)\sin\frac{n\pi x}{\ell}dx$ が得られる。偶関数として拡張すれば余弦級数 $\frac{a_0}{2} + \sum a_n\cos\frac{n\pi x}{\ell}$, $a_n = \frac{2}{\ell}\int_0^\ell f(x)\cos\frac{n\pi x}{\ell}dx$ が得られる。これらは $-y'' = \lambda y$ のディリクレ条件・ノイマン条件の固有関数展開（例 5.8）であり、第7章で使う。奇関数拡張が連続になるのは $f(0) = f(\ell) = 0$ のときである。

6.2 ベッセルの不等式とリーマン–ルベーグの補題

命題 6.4（最良近似）$\mathcal{T}_N$ を $e_n$（$\lvert n \rvert \leq N$）の一次結合（$N$ 次以下の三角多項式）全体とする。

$$\lVert f - S_Nf \rVert_2^2 = \lVert f \rVert_2^2 - \sum_{\lvert n \rvert \leq N}\lvert \hat{f}(n) \rvert^2$$

であり、任意の $P \in \mathcal{T}_N$ に対し $\lVert f - S_Nf \rVert_2 \leq \lVert f - P \rVert_2$ が成り立つ。

証明. $\lvert n \rvert \leq N$ なら $\langle f - S_Nf, e_n \rangle = \hat{f}(n) - \hat{f}(n) = 0$ なので、$f - S_Nf$ は $\mathcal{T}_N$ と直交する。ピタゴラスの定理より $\lVert f \rVert_2^2 = \lVert f - S_Nf \rVert_2^2 + \lVert S_Nf \rVert_2^2$ で、$\lVert S_Nf \rVert_2^2 = \sum_{\lvert n \rvert \leq N}\lvert \hat{f}(n) \rvert^2$。また $S_Nf - P \in \mathcal{T}_N$ なので $\lVert f - P \rVert_2^2 = \lVert f - S_Nf \rVert_2^2 + \lVert S_Nf - P \rVert_2^2$。$\square$

$S_Nf$ は $f$ の $\mathcal{T}_N$ への直交射影であり、$L^2$ の意味での最良近似である。

系 6.5（ベッセルの不等式, Bessel's inequality）$\sum_{n \in \mathbb{Z}}\lvert \hat{f}(n) \rvert^2 \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\lvert f(x) \rvert^2dx$。特に $\hat{f}(n) \to 0$（$\lvert n \rvert \to \infty$）。

より一般に次が成り立つ。

定理 6.6（リーマン–ルベーグの補題, Riemann–Lebesgue lemma）$f$ が $[a, b]$ 上リーマン積分可能なら、$\lambda \in \mathbb{R}$ について

$$\lim_{\lvert \lambda \rvert \to \infty}\int_a^b f(x)e^{i\lambda x}\,dx = 0$$

証明. 区間の特性関数 $\mathbf{1}_{[c, d]}$ については $\left\lvert \int_c^d e^{i\lambda x}dx \right\rvert = \left\lvert \frac{e^{i\lambda d} - e^{i\lambda c}}{i\lambda} \right\rvert \leq \frac{2}{\lvert \lambda \rvert}$ なので、階段関数 $s = \sum_j m_j\mathbf{1}_{I_j}$ については積分は $2\sum_j\lvert m_j \rvert/\lvert \lambda \rvert \to 0$ である。$\varepsilon > 0$ に対し、上ダルブー和と下ダルブー和の差が $\varepsilon$ より小さい分割をとり、各小区間で $f$ の下限をとる階段関数を $s$ とすると、$\int_a^b\lvert f - s \rvert\ dx < \varepsilon$。よって $\limsup\left\lvert \int_a^b fe^{i\lambda x}dx \right\rvert \leq \varepsilon + \limsup\left\lvert \int_a^b se^{i\lambda x}dx \right\rvert = \varepsilon$。$\square$

速く振動する関数との積の積分は、正負が打ち消し合って 0 に近づく。

6.3 ディリクレ核と各点収束

補題 6.7 $S_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x - t)D_N(t)\ dt$。ここでディリクレ核 (Dirichlet kernel) は

$$D_N(t) = \sum_{\lvert n \rvert \leq N}e^{int} = \frac{\sin\left(N + \frac{1}{2}\right)t}{\sin\frac{t}{2}}$$

であり、偶関数で $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi D_N(t)\ dt = 1$ をみたす。

証明. $S_Nf(x) = \sum_{\lvert n \rvert \leq N}\frac{1}{2\pi}\int f(y)e^{in(x - y)}dy = \frac{1}{2\pi}\int f(y)D_N(x - y)\ dy$ で、$t = x - y$ と置換し周期性を使う。等比数列の和から $D_N(t) = \frac{e^{i(N + 1)t} - e^{-iNt}}{e^{it} - 1}$ で、分子分母に $e^{-it/2}$ を掛ければ右の形になる。積分が 1 なのは $n = 0$ の項だけが残るからである。$\square$

定義 6.8 周期 $2\pi$ の関数 $f$ が区分的に滑らか (piecewise smooth) であるとは、分割 $-\pi = x_0 < x_1 < \cdots < x_m = \pi$ があって、各開区間 $(x_{j-1}, x_j)$ で $f$ は $C^1$ 級、かつ $f$ と $f'$ が各端点で有限の片側極限をもつことをいう。

定理 6.9（ディリクレの定理）$f$ が区分的に滑らかなら、各点 $x$ で

$$\lim_{N \to \infty}S_Nf(x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}{2}$$

が成り立つ。特に $f$ が $x$ で連続なら $S_Nf(x) \to f(x)$。

証明. $D_N$ は偶関数なので $S_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x + t) + f(x - t)\bigr)D_N(t)\ dt$、また $\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi D_N = \frac{1}{2}$。よって

$f$ の $x$ の右側の $C^1$ 級の部分に平均値の定理を使うと、$f'$ の片側極限が有限なので、小さい $t > 0$ で $\lvert f(x + t) - f(x + 0) \rvert \leq Ct$。左側も同様で、$0 < t \leq \pi$ では $\sin(t/2) \geq t/\pi$ なので $g$ は $(0, \pi]$ 上有界であり、区分的に連続なので $[0, \pi]$ 上リーマン積分可能である。リーマン–ルベーグの補題（$\sin\lambda t = (e^{i\lambda t} - e^{-i\lambda t})/(2i)$ に適用する）により右辺は 0 に収束する。$\square$

収束が $x$ の近くの $f$ の値だけで決まることに注意する（局所化原理）。

例 6.10 のこぎり波の級数で $x = \pi/2$ とおくと、$\frac{\pi}{2} = 2\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots\right)$、すなわちライプニッツの級数 $\sum_{k \geq 0}\frac{(-1)^k}{2k + 1} = \frac{\pi}{4}$ を得る。$x = \pi$ ではのこぎり波は $\pi$ から $-\pi$ に跳び、級数の値は $\sin n\pi = 0$ より 0、すなわち跳びの中点である。

6.4 ギブス現象

不連続点の近くで部分和はどう振る舞うか。方形波 $f = \operatorname{sgn}x$ の部分和 $S(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{M-1}\frac{\sin(2k + 1)x}{2k + 1}$ を考える。$2\sin x\sum_{k=0}^{M-1}\cos(2k + 1)x = \sin 2Mx$ より $S'(x) = \frac{2\sin 2Mx}{\pi\sin x}$ なので、$S$ は $x_M = \frac{\pi}{2M}$ で最初の極大をとる。$u_k = (2k + 1)\frac{\pi}{2M}$ とおくと

（区間 $[0, \pi]$ を $M$ 等分した中点でのリーマン和）。部分和は跳びの近くで、跳びの大きさ 2 のおよそ 9% だけ行き過ぎ、項を増やしてもこの行き過ぎは消えない。行き過ぎる位置 $x_M$ が不連続点に近づくだけである。これをギブス現象 (Gibbs phenomenon) という。特に、フーリエ級数は不連続点の近くで一様収束しない。

6.5 フェイエールの定理

ディリクレ核は正負に大きく振動し、$\frac{1}{2\pi}\int\lvert D_N \rvert$ は $N \to \infty$ で発散する（問題 6.4）。これが部分和の収束を難しくしている。そこで部分和の算術平均（チェザロ平均）

を考える（$f \ast F_N(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x - t)F_N(t)\ dt$）。$F_N$ をフェイエール核 (Fejér kernel) という。

補題 6.11 $F_N(t) = \dfrac{1}{N + 1}\left(\dfrac{\sin\frac{(N + 1)t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\right)^2$。したがって (i) $F_N \geq 0$、(ii) $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi F_N = 1$、(iii) $0 < \delta \leq \lvert t \rvert \leq \pi$ で $F_N(t) \leq \frac{1}{(N + 1)\sin^2(\delta/2)} \to 0$。

証明. $2\sin\frac{t}{2}\sin\left(k + \frac{1}{2}\right)t = \cos kt - \cos(k + 1)t$ を $k = 0, \dots, N$ で足すと $1 - \cos(N + 1)t = 2\sin^2\frac{(N + 1)t}{2}$。両辺を $2\sin^2\frac{t}{2}$ で割れば $\sum_k D_k(t)$ の式を得る。(ii) は各 $D_k$ の積分が 1 だから。(iii) は $\sin^2(t/2) \geq \sin^2(\delta/2)$ から。$\square$

(i)〜(iii) をみたす核の列を近似単位元 (approximate identity, good kernel) という。質量 1 の非負の山が原点に集中していく。

定理 6.12（フェイエールの定理, Fejér's theorem）$f$ が連続なら、$\sigma_Nf$ は $f$ に一様収束する。

証明. (ii) より $\sigma_Nf(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\bigl(f(x - t) - f(x)\bigr)F_N(t)\ dt$。$\varepsilon > 0$ に対し、一様連続性から $\lvert t \rvert < \delta$ なら $\lvert f(x - t) - f(x) \rvert < \varepsilon$（$x$ によらない）となる $\delta$ をとる。$\lvert t \rvert < \delta$ の部分は (i)(ii) より $\varepsilon$ 以下、$\delta \leq \lvert t \rvert \leq \pi$ の部分は (iii) より $2\sup\lvert f \rvert/\bigl((N + 1)\sin^2(\delta/2)\bigr)$ 以下である。よって $\limsup_N\sup_x\lvert \sigma_Nf(x) - f(x) \rvert \leq \varepsilon$。$\square$

系 6.13

1. （一意性）連続関数 $f$ のフーリエ係数がすべて 0 なら $f = 0$。
2. 三角多項式全体は、周期 $2\pi$ の連続関数全体の中で一様ノルムについて稠密である。
3. 連続関数 $f$ について、$S_Nf(x)$ がある点 $x$ で収束すれば、その極限は $f(x)$ である。

証明. 1：$\sigma_Nf = 0$ で、$f = \lim\sigma_Nf = 0$。2：$\sigma_Nf$ は三角多項式である。3：収束する数列の算術平均は同じ極限に収束するので、$\lim S_Nf(x) = \lim\sigma_Nf(x) = f(x)$。$\square$

系 6.14（ワイエルシュトラスの近似定理）$[a, b]$ 上の連続関数は、多項式で一様に近似できる。

証明. 1 次変換で $[a, b] = [0, \pi]$ としてよい。$f$ を偶関数として $[-\pi, \pi]$ に拡張し周期 $2\pi$ に延長すると連続関数 $g$ を得る。系 6.13 の 2 より $\sup\lvert g - P \rvert < \varepsilon/2$ となる三角多項式 $P$ がある。$e^{inx}$ のテイラー級数は $[-\pi, \pi]$ 上で一様収束するので、$P$ のテイラー展開を十分先で打ち切った多項式 $Q$ は $\sup_{[-\pi, \pi]}\lvert P - Q \rvert < \varepsilon/2$ をみたす。実部をとれば、$[0, \pi]$ 上で $\lvert f - \operatorname{Re}Q \rvert < \varepsilon$。$\square$

6.6 $L^2$ 理論：完全性とパーセヴァルの等式

定理 6.15（パーセヴァルの等式, Parseval's identity）リーマン積分可能な $f$ について $\lVert f - S_Nf \rVert_2 \to 0$ であり、

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\lvert f(x) \rvert^2dx = \sum_{n \in \mathbb{Z}}\lvert \hat{f}(n) \rvert^2$$

が成り立つ。より一般に $\langle f, g \rangle = \sum_n\hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)}$。

証明. まず $f$ が連続のとき：フェイエールの定理より、$\varepsilon > 0$ に対し $\sup\lvert f - \sigma_Mf \rvert < \varepsilon$ となる $M$ がある。$N \geq M$ なら $\sigma_Mf \in \mathcal{T}_N$ なので、命題 6.4 より $\lVert f - S_Nf \rVert_2 \leq \lVert f - \sigma_Mf \rVert_2 \leq \sup\lvert f - \sigma_Mf \rvert < \varepsilon$。

一般の $f$（$\lvert f \rvert \leq B$）では、定理 6.6 の証明の階段関数 $s$（$\lvert s \rvert \leq B$, $\int\lvert f - s \rvert < \varepsilon$）の跳びを短い線分でつなぎ、両端の値をそろえると、周期的な連続関数 $h$ で $\lvert h \rvert \leq B$, $\int_{-\pi}^\pi\lvert f - h \rvert < 2\varepsilon$ となるものが得られる。すると $\lVert f - h \rVert_2^2 \leq \frac{2B}{2\pi}\int\lvert f - h \rvert < \frac{2B\varepsilon}{\pi}$。命題 6.4 より $\lVert f - S_Nf \rVert_2 \leq \lVert f - S_Nh \rVert_2 \leq \lVert f - h \rVert_2 + \lVert h - S_Nh \rVert_2$ で、第 2 項は前半より 0 に収束する。よって $\lVert f - S_Nf \rVert_2 \to 0$ で、命題 6.4 の等式からパーセヴァルの等式を得る。一般形は $\lvert \cdot \rvert^2$ の等式を $f + g$, $f + ig$ などに適用すれば（偏極恒等式）得られる。$\square$

$\lbrace e_n \rbrace$ は「完全」である：どの関数も $L^2$ の意味で展開でき、係数の 2 乗和がノルムの 2 乗に等しい。これは有限次元の正規直交基底の性質そのものである。

例 6.16（バーゼル問題）$f(x) = x$ に適用すると、例 6.2 より $\lvert \hat{f}(\pm n) \rvert^2 = b_n^2/4 = 1/n^2$ なので

注意 6.17 逆に、$\sum\lvert c_n \rvert^2 < \infty$ となる任意の数列 $(c_n)$ に対し、フーリエ係数が $c_n$ である関数が存在するか。リーマン積分可能な関数の範囲では答えは否定的だが、ルベーグ積分を用いた $L^2(-\pi, \pi)$ の中では肯定的であり（リース–フィッシャーの定理）、$L^2$ は数列空間 $\ell^2(\mathbb{Z})$ と同型なヒルベルト空間になる（測度と積分 第4章、関数解析 第2章）。

6.7 一様収束と項別微分

定理 6.18 $f$ が連続かつ区分的に滑らかなら、$\sum_n\lvert \hat{f}(n) \rvert < \infty$ であり、$S_Nf$ は $f$ に一様収束する。

証明. $f'$（有限個の点を除いて定義される）はリーマン積分可能である。各小区間で部分積分すると、$f$ の連続性と周期性から境界項は打ち消し合い、$\widehat{f'}(n) = in\hat{f}(n)$ を得る。コーシー–シュワルツの不等式とベッセルの不等式（$f'$ に適用）より

よってワイエルシュトラスの M 判定法によりフーリエ級数は一様収束し、その和 $g$ は連続である。一様収束なので項別に積分でき、$\hat{g}(n) = \hat{f}(n)$。系 6.13 の 1 より $g = f$。$\square$

例 6.19 $f(x) = x^2$（$\lvert x \rvert \leq \pi$）の周期拡張は連続で区分的に滑らかなので、例 6.2 の級数はすべての $x$ で $f$ に収束する。$x = \pi$ とおくと $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{1}{n^2}$ となり、再び $\sum\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。$x = 0$ とおけば $\sum_{n \geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$。

滑らかさとフーリエ係数の減衰は、次のように対応する。

命題 6.20 (1) $f$ が $C^k$ 級（周期 $2\pi$）なら、$\widehat{f^{(k)}}(n) = (in)^k\hat{f}(n)$ であり、$\lvert n \rvert^k\lvert \hat{f}(n) \rvert \to 0$ かつ $\sum\lvert n \rvert^{2k}\lvert \hat{f}(n) \rvert^2 < \infty$。(2) 連続関数 $f$ について $\sum\lvert n \rvert^k\lvert \hat{f}(n) \rvert < \infty$ なら、$f$ は $C^k$ 級で、フーリエ級数を $k$ 回まで項別微分できる。

証明. (1) 部分積分を $k$ 回行い、$f^{(k)}$ にリーマン–ルベーグの補題とベッセルの不等式を適用する。(2) $j \leq k$ 回項別微分した級数は M 判定法で一様収束するので、和は $C^k$ 級で項別微分できる（微分積分学 第6章）。和は $f$ とフーリエ係数が一致する連続関数なので、系 6.13 の 1 より $f$ に等しい。$\square$

6.8 応用：等周不等式

長さ $L$ の閉曲線で囲める面積 $A$ は最大でいくらか。答えは円のときで $A = L^2/(4\pi)$ である。

定理 6.21（等周不等式, isoperimetric inequality）$C^1$ 級の単純閉曲線（速さが 0 にならないもの）の長さを $L$、囲む領域の面積を $A$ とすると $4\pi A \leq L^2$ であり、等号は円のときに限る。

証明.（フルヴィッツ）弧長に比例するパラメータで、反時計回りに $z(s) = x(s) + iy(s)$（$0 \leq s \leq 2\pi$）と表すと、$\lvert z'(s) \rvert = L/(2\pi)$ である。$z$ は周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数なので、$z = \sum c_ne^{ins}$、$z' \sim \sum inc_ne^{ins}$。パーセヴァルの等式より

グリーンの定理より $A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(xy' - yx')\ ds = \frac{1}{2}\operatorname{Im}\int_0^{2\pi}\overline{z}z'\ ds$ であり、パーセヴァルの等式の一般形より $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}z'\overline{z}\ ds = \sum_n inc_n\overline{c_n}$ なので $A = \pi\sum_n n\lvert c_n \rvert^2$。よって

（整数 $n$ について $n^2 - n \geq 0$）。等号は $n \neq 0, 1$ で $c_n = 0$、すなわち $z = c_0 + c_1e^{is}$（円）のときに限る。$\square$

6.9 発散する例

フェイエールの定理と定理 6.18 は、連続関数のフーリエ級数が各点で収束することまでは主張していない。実際、次が知られている（主張のみ）。

• 連続関数でフーリエ級数がある点で発散するものが存在する（デュ・ボア–レイモン, 1873 年）。$S_Nf(0) = \frac{1}{2\pi}\int fD_N$ は連続関数の空間上の有界線形汎関数で、そのノルムは $\frac{1}{2\pi}\int\lvert D_N \rvert$（ルベーグ定数）に等しく、$N \to \infty$ で対数的に発散する（問題 6.4）。関数解析の一様有界性原理（バナッハ–シュタインハウスの定理）から、$\sup_N\lvert S_Nf(0) \rvert = \infty$ となる連続関数 $f$ の存在が従う（関数解析 第3章）。
• ルベーグ可積分な関数で、フーリエ級数がいたるところ発散するものが存在する（コルモゴロフ）。
• 一方、$L^2$ に属する関数のフーリエ級数はほとんどいたるところ収束する（カールソン, 1966 年）。これは非常に深い定理である。

各点収束は微妙だが、チェザロ平均による収束（フェイエール）と $L^2$ 収束（パーセヴァル）は非常に扱いやすい。現代の解析学がフーリエ級数を $L^2$ の枠組みで扱う理由の一つである。

まとめ

• フーリエ係数は正規直交系 $e^{inx}$ に関する内積であり、部分和 $S_Nf$ は $N$ 次三角多項式の中での $L^2$ 最良近似である。ベッセルの不等式が成り立ち、係数は 0 に収束する（リーマン–ルベーグ）。
• 部分和はディリクレ核との畳み込みで、区分的に滑らかな関数では各点で左右の極限の平均に収束する。不連続点の近くでは約 9% の行き過ぎが残る（ギブス現象）。
• チェザロ平均はフェイエール核（近似単位元）との畳み込みで、連続関数に一様収束する。ここから一意性と三角多項式の稠密性、ワイエルシュトラスの近似定理が従う。
• パーセヴァルの等式 $\frac{1}{2\pi}\int\lvert f \rvert^2 = \sum\lvert \hat{f}(n) \rvert^2$ が成り立ち、三角関数系は完全である。バーゼル問題 $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ はその帰結である。
• 連続で区分的に滑らかな関数のフーリエ級数は絶対かつ一様に収束する。滑らかなほど係数は速く減衰する。
• パーセヴァルの等式から等周不等式 $4\pi A \leq L^2$ が得られる。
• 連続関数のフーリエ級数が発散することもある。

演習問題