解の存在と一意性

この章の目標

• 初期値問題を積分方程式に書き直し、リプシッツ条件のもとでの解の存在と一意性を、逐次近似と縮小写像の 2 通りの方法で証明できる
• グロンウォールの不等式を証明し、一意性や解の誤差評価に使える
• 最大存在区間と解の延長定理を理解し、解の爆発を説明できる
• 解が初期値とパラメータに連続に依存することを証明できる
• ペアノの存在定理をアスコリ–アルツェラの定理から証明できる

前提：第1章、微分積分学 第6章、集合と位相 第5章、第7章

第1章では、$y' = y^2$ の解が有限の時刻で爆発すること（例 1.10）、トリチェリの法則 $h' = -k\sqrt{h}$ では解が一意でないこと（例 1.11）、$y' = x^2 + y^2$ は求積法で解けないこと（注意 1.6）を見た。本章では、解の式を書かずに次の問いに答える。解は存在するか。一意か。どこまで延長できるか。初期値を変えると解はどう変わるか。

以下 $D \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon D \to \mathbb{R}^n$ を連続写像とし、$\mathbb{R}^n$ のノルム $\lVert \cdot \rVert$ を一つ固定する（どのノルムも同値である）。$n$ 階の方程式は 1 階の連立方程式に書き直せる（第1章 1.1 節）ので、$x' = f(t, x)$ の形だけを考えれば十分である。ベクトル値関数の積分は成分ごとに定義し、$\left\lVert \int_a^b g(s)\ ds \right\rVert \leq \int_a^b \lVert g(s) \rVert\ ds$（$a \leq b$）を使う（リーマン和に三角不等式を適用して極限をとればよい）。

2.1 初期値問題と積分方程式

$(t_0, x_0) \in D$ とし、初期値問題 $x' = f(t, x)$, $x(t_0) = x_0$ を考える。$t_0$ を含む区間 $J$ 上の解とは、微分可能な $x\colon J \to \mathbb{R}^n$ で、グラフ $\lbrace (t, x(t)) \rbrace$ が $D$ に含まれ、方程式と初期条件をみたすものである。

補題 2.1 $x\colon J \to \mathbb{R}^n$ を連続でグラフが $D$ に含まれる写像とする。$x$ が初期値問題の解であるための必要十分条件は、すべての $t \in J$ で

$$x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, x(s))\,ds$$

が成り立つことである。このとき $x$ は $C^1$ 級である。

証明. 解ならば $x'(t) = f(t, x(t))$ は連続なので $x$ は $C^1$ 級で、微分積分学の基本定理から等式が従う。逆に等式が成り立てば、被積分関数は連続なので右辺は微分可能で $x' = f(t, x)$、また $x(t_0) = x_0$。$\square$

この書き直しにより、微分が、一様収束と交換できる積分に置き換わる。

2.2 リプシッツ条件

定義 2.2（リプシッツ条件, Lipschitz condition）定数 $L \geq 0$ があって、$(t, x), (t, y) \in D$ ならば常に

$$\lVert f(t, x) - f(t, y) \rVert \leq L\lVert x - y \rVert$$

が成り立つとき、$f$ は $D$ 上で $x$ についてリプシッツ条件をみたすといい、$L$ をリプシッツ定数という。$D$ の各点が、その上で $f$ がリプシッツ条件をみたす近傍をもつとき、$f$ は $x$ について局所リプシッツ (locally Lipschitz) であるという。

命題 2.3 $f$ と偏導関数 $\partial f_i/\partial x_j$ が $D$ 上で連続なら、$f$ は $x$ について局所リプシッツである。

証明. $(t_1, x_1) \in D$ に対し、$D$ は開集合なので $C = [t_1 - r, t_1 + r] \times \overline{B}(x_1, r) \subset D$ となる $r > 0$ がある。$C$ はコンパクトなので、ヤコビ行列 $D_xf$ の作用素ノルムは $C$ 上で最大値 $L$ をとる。$(t, x), (t, y) \in C$ なら線分 $y + \theta(x - y)$（$0 \leq \theta \leq 1$）は凸集合 $\overline{B}(x_1, r)$ に含まれ、$\theta \mapsto f(t, y + \theta(x - y))$ に微分積分学の基本定理を使うと

$C$ は $(t_1, x_1)$ の近傍なので主張が従う。$\square$

例 2.4 (a) $f(x) = \lvert x \rvert$ は微分可能でないがリプシッツ条件をみたす（$L = 1$）。(b) $f(x) = x^2$ は局所リプシッツだが、$\lvert x^2 - y^2 \rvert = \lvert x + y \rvert\lvert x - y \rvert$ なので $\mathbb{R}$ 全体ではリプシッツでない。(c) $f(x) = \sqrt{\lvert x \rvert}$ は 0 の近傍でリプシッツでない。$\lvert f(x) - f(0) \rvert/\lvert x \rvert = \lvert x \rvert^{-1/2}$ が $x \to 0$ で有界でないからである。

補題 2.5 $f$ が $x$ について局所リプシッツなら、$D$ の任意のコンパクト部分集合 $K$ 上でリプシッツ条件をみたす。すなわち $(t, x), (t, y) \in K$ なら $\lVert f(t, x) - f(t, y) \rVert \leq L_K\lVert x - y \rVert$ となる定数 $L_K$ がある。

証明. そうでないとすると、$(t_k, x_k), (t_k, y_k) \in K$ で $\lVert f(t_k, x_k) - f(t_k, y_k) \rVert > k\lVert x_k - y_k \rVert$ となるものがある。$M = \max_K \lVert f \rVert$ とすると $\lVert x_k - y_k \rVert < 2M/k \to 0$。部分列をとって $(t_k, x_k) \to (t^{\ast}, x^{\ast}) \in K$ としてよく、このとき $y_k \to x^{\ast}$。$(t^{\ast}, x^{\ast})$ の近傍で $f$ がリプシッツ定数 $L'$ をもつとすると、十分大きい $k$ で $k\lVert x_k - y_k \rVert < L'\lVert x_k - y_k \rVert$ となり（$x_k \neq y_k$ に注意）、$k < L'$ に矛盾する。$\square$

2.3 ピカール–リンデレフの定理

本節では次を仮定する。

仮定 (A)：$a, b > 0$ に対し $R = \lbrace (t, x) \mid \lvert t - t_0 \rvert \leq a,\ \lVert x - x_0 \rVert \leq b \rbrace \subset D$ とし、$M = \max_R \lVert f \rVert$、$h = \min(a, b/M)$（$M = 0$ なら $h = a$）、$I = [t_0 - h, t_0 + h]$ とおく。

補題 2.6 仮定 (A) のもとで、$t_0$ を含む区間 $J \subset I$ 上の解 $x$ は $\lVert x(t) - x_0 \rVert \leq M\lvert t - t_0 \rvert$ をみたす。特にそのグラフは $R$ に含まれる。

証明. $t \geq t_0$ の側を示す（逆側も同様）。$S = \lbrace \tau \in J \mid \tau \geq t_0,\ [t_0, \tau] \text{ 上で } \lVert x(t) - x_0 \rVert \leq b \rbrace$ とおく。$S$ は $t_0$ を含む区間で、連続性から閉である。$\tau \in S$ なら $[t_0, \tau]$ 上でグラフは $R$ に含まれるので、補題 2.1 より $\lVert x(t) - x_0 \rVert \leq \int_{t_0}^t \lVert f(s, x(s)) \rVert\ ds \leq M(t - t_0)$。$S$ が $J \cap [t_0, \infty)$ 全体でないとすると、$\tau^{\ast} = \max S$ の右にも $J$ の点があるので $\tau^{\ast} < t_0 + h$ であり、$\lVert x(\tau^{\ast}) - x_0 \rVert \leq M(\tau^{\ast} - t_0) < b$（$M > 0$ なら $M(\tau^{\ast} - t_0) < Mh \leq b$、$M = 0$ なら左辺は 0）。連続性から $\tau^{\ast}$ の少し右でも $\lVert x(t) - x_0 \rVert < b$ となり、$\tau^{\ast}$ の最大性に矛盾する。$\square$

定理 2.7（ピカール–リンデレフの定理, Picard–Lindelöf theorem）仮定 (A) に加えて、$f$ が $R$ 上で $x$ についてリプシッツ条件（定数 $L$）をみたすとする。このとき初期値問題 $x' = f(t, x)$, $x(t_0) = x_0$ は $I$ 上の解 $\varphi$ をもつ。また $t_0$ を含む区間 $J \subset I$ 上の解は、$J$ 上で $\varphi$ と一致する。

証明 1（逐次近似）. $\varphi_0(t) = x_0$ とし、$t \in I$ に対して

で逐次近似 (successive approximation) $\varphi_k$ を定める。

(i) $\varphi_k$ は連続でグラフは $R$ に含まれる。帰納法による：$\varphi_k$ がそうなら $\varphi_{k+1}$ は定義できて連続で、$\lVert \varphi_{k+1}(t) - x_0 \rVert \leq M\lvert t - t_0 \rvert \leq Mh \leq b$。

(ii) $\lVert \varphi_{k+1}(t) - \varphi_k(t) \rVert \leq \dfrac{ML^k\lvert t - t_0 \rvert^{k+1}}{(k+1)!}$。$k = 0$ は (i) の評価そのものである。$k$ で成り立てば、$t \geq t_0$ として

（$t \leq t_0$ も同様）。

(iii) (ii) より $\sum_k \sup_I \lVert \varphi_{k+1} - \varphi_k \rVert \leq \sum_k \frac{ML^kh^{k+1}}{(k+1)!} < \infty$ なので、ワイエルシュトラスの M 判定法により $\varphi_k = \varphi_0 + \sum_{j < k}(\varphi_{j+1} - \varphi_j)$ は $I$ 上で一様収束する。極限 $\varphi$ は連続で、$R$ は閉集合なのでグラフは $R$ に含まれる。

(iv) $\lVert f(s, \varphi_k(s)) - f(s, \varphi(s)) \rVert \leq L\lVert \varphi_k(s) - \varphi(s) \rVert \to 0$（一様）なので、漸化式で $k \to \infty$ とすると $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, \varphi(s))\ ds$。補題 2.1 より $\varphi$ は解である。

(v) 一意性：$\psi$ を $J$ 上の解とすると、補題 2.6 よりグラフは $R$ に含まれる。$t_0$ を含むコンパクト区間 $J' \subset J$ 上で $K = \sup_{J'}\lVert \psi - \varphi \rVert$ とおくと、$\lVert \psi(t) - \varphi(t) \rVert \leq \left\lvert \int_{t_0}^t L\lVert \psi - \varphi \rVert\ ds \right\rvert$ の繰り返しにより $\lVert \psi(t) - \varphi(t) \rVert \leq KL^k\lvert t - t_0 \rvert^k/k! \to 0$。よって $J$ 上で $\psi = \varphi$。$\square$

例 2.8 $x' = x$, $x(0) = 1$ の逐次近似は $\varphi_k(t) = \sum_{j=0}^k t^j/j!$ であり、$e^t$ のテイラー展開の部分和が現れる。

証明 2（縮小写像の原理）. $L > 0$ としてよい。$C(I, \mathbb{R}^n)$ の閉部分集合 $X = \lbrace \varphi \mid \lVert \varphi(t) - x_0 \rVert \leq b\ (t \in I) \rbrace$ に、重みつきの距離

を入れる。$e^{-2Lh}d_\infty \leq d \leq d_\infty$（$d_\infty$ は一様距離）なので $d$ は一様距離と同値であり、$C(I, \mathbb{R}^n)$ は一様距離で完備（集合と位相 定理 7.6）だから $(X, d)$ も完備である。$(T\varphi)(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, \varphi(s))\ ds$ とおくと、証明 1 の (i) と同様に $T(X) \subset X$。$t \geq t_0$ では

であり、$t \leq t_0$ でも同様なので $d(T\varphi, T\psi) \leq \frac{1}{2}d(\varphi, \psi)$。縮小写像の原理（集合と位相 定理 7.14）より $T$ は $X$ 内にただ一つの不動点 $\varphi$ をもち、補題 2.1 より $\varphi$ は解である。$J \subset I$ 上の解 $\psi$ は補題 2.6 より $J$ 上の $X$ に対応する空間に属し、$J$ 上で同じ議論をすれば不動点の一意性から $\psi = \varphi\vert_J$。$\square$

注意 2.9 一様距離のままでは、同じ評価から得られるのは $d_\infty(T\varphi, T\psi) \leq Lh\ d_\infty(\varphi, \psi)$ であり、$T$ が縮小写像であることが保証されるのは $Lh < 1$ のとき（区間を短くとったとき）だけである。重み $e^{-2L\lvert t - t_0 \rvert}$ はこの制限を取り除く工夫である。証明 1 の逐次近似は反復 $\varphi_{k+1} = T\varphi_k$ にほかならない。

2.4 グロンウォールの不等式

一意性や誤差の評価に繰り返し使う不等式を用意する。

定理 2.10（グロンウォールの不等式, Gronwall's inequality）$u, \beta$ を $[t_0, t_1]$ 上の連続関数、$\beta \geq 0$、$\alpha \in \mathbb{R}$ とする。すべての $t \in [t_0, t_1]$ で

$$u(t) \leq \alpha + \int_{t_0}^t \beta(s)u(s)\,ds$$

ならば、$u(t) \leq \alpha\exp\left(\int_{t_0}^t \beta(s)\ ds\right)$ が成り立つ。

証明. 右辺を $\Phi(t) = \alpha + \int_{t_0}^t \beta u\ ds$、$B(t) = \int_{t_0}^t \beta\ ds$ とおく。$\beta \geq 0$ と $u \leq \Phi$ より $\Phi' = \beta u \leq \beta\Phi$ なので、$(\Phi e^{-B})' = (\Phi' - \beta\Phi)e^{-B} \leq 0$。よって $\Phi(t)e^{-B(t)} \leq \Phi(t_0) = \alpha$ で、$u(t) \leq \Phi(t) \leq \alpha e^{B(t)}$。$\square$

$t \leq t_0$ の側（$u(t) \leq \alpha + \int_t^{t_0}\beta u\ ds$）でも、$t$ を $2t_0 - t$ に置き換えれば同じ結論 $u(t) \leq \alpha\exp\int_t^{t_0}\beta\ ds$ を得る。

系 2.11（解の誤差評価）区間 $J \ni t_0$ 上で、$x$ は $x' = f(t, x)$ の解、$y$ は $y' = g(t, y)$ の解とする。$f$ は両者のグラフを含む集合上で $x$ について定数 $L > 0$ のリプシッツ条件をみたし、$y$ のグラフ上で $\lVert f(t, y) - g(t, y) \rVert \leq \varepsilon$ とする。このとき $t \in J$ で

$$\lVert x(t) - y(t) \rVert \leq \lVert x(t_0) - y(t_0) \rVert e^{L\lvert t - t_0 \rvert} + \frac{\varepsilon}{L}\left(e^{L\lvert t - t_0 \rvert} - 1\right)$$

特に $g = f$ で $x(t_0) = y(t_0)$ なら $x = y$ である。

証明. $t \geq t_0$ とする。$x(t) - y(t) = x(t_0) - y(t_0) + \int_{t_0}^t\bigl(f(s, x) - f(s, y) + f(s, y) - g(s, y)\bigr)ds$ より、$u = \lVert x - y \rVert$ は $u(t) \leq u(t_0) + \int_{t_0}^t (Lu + \varepsilon)\ ds$ をみたす。$w = u + \varepsilon/L$ とおくと $w(t) \leq w(t_0) + \int_{t_0}^t Lw\ ds$ なので、定理 2.10 より $w(t) \leq w(t_0)e^{L(t - t_0)}$。これが主張である。$t \leq t_0$ も同様。$\square$

誤差は時間とともに高々指数関数的にしか増えないが、$L$ が大きい系では初期値のわずかな誤差が急速に拡大しうる。

2.5 一意性が崩れる例

例 2.12 $x' = \sqrt{\lvert x \rvert}$, $x(0) = 0$ を考える。$x \equiv 0$ は解である。さらに $0 \leq c \leq \infty$, $0 \leq d \leq \infty$ に対し

も解である。実際 $t > c$ では $x' = (t - c)/2 = \sqrt{x}$、$t < -d$ では $x' = -(t + d)/2 = \sqrt{\lvert x \rvert}$ であり、つなぎ目の微分係数は 0 である。解は無数にあり、「いつ動き出すか」が決まらない。右辺は $x = 0$ でリプシッツ連続でない（例 2.4 (c)）。$x_0 > 0$ から出発した解 $(t/2 + \sqrt{x_0})^2$ も、過去にさかのぼって $x = 0$ に達すると枝分かれする。トリチェリの法則（例 1.11）と同じ現象である。

注意 2.13 リプシッツ条件は一意性の十分条件であって必要条件ではない。たとえば $f$ が $x$ について単調減少なら、未来向き（$t \geq t_0$）の一意性が成り立つ（問題 2.4）。

2.6 解の延長と最大存在区間

本節と次節では次を仮定する。

仮定 (B)：$f\colon D \to \mathbb{R}^n$ は連続で、$x$ について局所リプシッツである。

補題 2.14（大域的な一意性）仮定 (B) のもとで、$x_1$（区間 $J_1$ 上）と $x_2$（区間 $J_2$ 上）が同じ初期値問題の解なら、$J_1 \cap J_2$ 上で $x_1 = x_2$。

証明. $S = \lbrace t \in J_1 \cap J_2 \mid x_1(t) = x_2(t) \rbrace$ は $t_0$ を含み、連続性から $J_1 \cap J_2$ で閉である。$t_1 \in S$ なら、$(t_1, x_1(t_1))$ の近傍の長方形で定理 2.7 を適用すると、$t_1$ の近くで $x_1$ と $x_2$ は一致するので、$S$ は開でもある。区間 $J_1 \cap J_2$ は連結なので $S = J_1 \cap J_2$。$\square$

定理 2.15（最大解）仮定 (B) のもとで、各 $(t_0, x_0) \in D$ に対し、開区間 $(\omega_-, \omega_+) \ni t_0$（$-\infty \leq \omega_- < \omega_+ \leq \infty$）上の解 $x$ で、初期値問題の任意の解が $x$ の制限になっているものがただ一つ存在する。

この $x$ を最大解 (maximal solution)、$(\omega_-, \omega_+)$ を最大存在区間 (maximal interval of existence) という。

証明. 初期値問題のすべての解の定義域の和集合を $J^{\ast}$ とすると、$J^{\ast}$ は $t_0$ を含む区間である。$t \in J^{\ast}$ で定義された解の $t$ での値を $x(t)$ とおくと、補題 2.14 によりこれは解の選び方によらない。$x$ は各点の近くで何らかの解と一致するので $J^{\ast}$ 上の解であり、どの解も $x$ の制限である。$J^{\ast}$ が右端 $\omega_+$ を含むとすると、$(\omega_+, x(\omega_+)) \in D$ で定理 2.7 を使って $[\omega_+, \omega_+ + h]$ 上の解 $y$ を作り、$x$ とつなげた関数は積分方程式をみたす（補題 2.1）ので、$J^{\ast}$ より長い区間上の解になり矛盾する。左端も同様で、$J^{\ast}$ は開区間である。$\square$

定理 2.16（延長定理）仮定 (B) のもとで、$x$ を最大解とする。$\omega_+ < \infty$ ならば、任意のコンパクト集合 $K \subset D$ に対し、ある $t_K < \omega_+$ があって、$t_K < t < \omega_+$ なら $(t, x(t)) \notin K$ となる。$\omega_-$ についても同様である。

つまり、最大解のグラフは有限時刻で終わるなら、$D$ のどのコンパクト集合からも最終的に出ていく。

証明. $D$ は開、$K$ はコンパクトなので、$r > 0$ を小さくとれば、$K$ の点 $(s, y)$ から $\lvert t - s \rvert \leq r$, $\lVert x - y \rVert \leq r$ の範囲にある点全体 $K_r$ は $D$ に含まれるコンパクト集合になる（$K_r$ は有界閉集合であり、$K$ と $D$ の補集合との距離は正だから）。$M = \max_{K_r}\lVert f \rVert$、$L$ を $K_r$ 上のリプシッツ定数（補題 2.5）、$h = \min(r, r/M)$（$M = 0$ なら $h = r$）とする。各 $(s, y) \in K$ で長方形 $[s - r, s + r] \times \overline{B}(y, r)$ は $K_r$ に含まれるので、定理 2.7 より $(s, y)$ を通る解が $[s - h, s + h]$ 上に存在する。$h$ は $(s, y)$ によらないことが要点である。いま $t_k \to \omega_+$ かつ $(t_k, x(t_k)) \in K$ となる列があったとし、$\omega_+ - t_k < h$ となる $k$ をとる。$(t_k, x(t_k))$ を通る $[t_k - h, t_k + h]$ 上の解は補題 2.14 により $x$ と共通部分で一致するので、$x$ は $t_k + h > \omega_+$ まで延長でき、最大性に矛盾する。$\square$

系 2.17（爆発）$D = J \times \mathbb{R}^n$（$J$ は開区間）で $\omega_+ < \sup J$ ならば、$t \to \omega_+$ で $\lVert x(t) \rVert \to \infty$。

証明. 任意の $\rho > 0$ に対し $K = [t_0, \omega_+] \times \overline{B}(0, \rho)$ は $D$ のコンパクト部分集合なので、定理 2.16 より $\omega_+$ の十分近くで $\lVert x(t) \rVert > \rho$。$\square$

例 2.18 (a) $x' = x^2$, $x(0) = x_0 > 0$ の最大解は $x = x_0/(1 - x_0t)$ で $\omega_+ = 1/x_0$。初期値が大きいほど早く爆発する。(b) $D = \mathbb{R} \times (0, \infty)$ 上の $x' = -1/(2x)$, $x(0) = 1$ の最大解は $x = \sqrt{1 - t}$ で $\omega_+ = 1$。解は有界だが、$D$ の境界 $x = 0$ に近づくことで $D$ のコンパクト集合から出ていく。(c) $x' = -x^3$ の解は $(x^2)' = -2x^4 \leq 0$ より $t \geq t_0$ で有界なので、系 2.17 より $\omega_+ = \infty$。解を求めずに得られるこのような評価をアプリオリ評価 (a priori estimate) という。

系 2.19（線形増大条件）$D = J \times \mathbb{R}^n$ とし、仮定 (B) に加えて $J$ 上の連続関数 $\alpha, \beta \geq 0$ により $\lVert f(t, x) \rVert \leq \alpha(t) + \beta(t)\lVert x \rVert$ が成り立つとする。このとき最大解は $J$ 全体で定義される。特に、連続な係数をもつ線形系 $x' = A(t)x + b(t)$ の解は $J$ 全体に延長できる。

証明. $\omega_+ < \sup J$ とし、$[t_0, \omega_+]$ 上で $\alpha \leq A$, $\beta \leq B$ とする。$t \in [t_0, \omega_+)$ で $\lVert x(t) \rVert \leq \lVert x_0 \rVert + A(\omega_+ - t_0) + \int_{t_0}^t B\lVert x(s) \rVert\ ds$ なので、定理 2.10 より $\lVert x(t) \rVert \leq (\lVert x_0 \rVert + A(\omega_+ - t_0))e^{B(\omega_+ - t_0)}$ と有界になり、系 2.17 に矛盾する。$\omega_-$ も同様。線形系では $\lVert A(t)x + b(t) \rVert \leq \lVert b(t) \rVert + \lVert A(t) \rVert\lVert x \rVert$ である。$\square$

2.7 初期値とパラメータへの連続依存性

現実の初期値や係数（パラメータ）は誤差を含む。それらを少し変えたとき解が少ししか変わらないことは、微分方程式をモデルとして使うための最低限の条件である。

定理 2.20（連続依存性）$\Lambda \subset \mathbb{R}^m$ を開集合、$f\colon D \times \Lambda \to \mathbb{R}^n$ を連続とし、$D \times \Lambda$ の各点の近傍 $U$ と定数 $L$ で、$(t, x, \lambda), (t, y, \lambda) \in U$ なら $\lVert f(t, x, \lambda) - f(t, y, \lambda) \rVert \leq L\lVert x - y \rVert$ となるものがあるとする。$x' = f(t, x, \lambda)$, $x(t_0) = \xi$ の最大解を $x(t; \xi, \lambda)$ と書く。$x^{\ast}(t) = x(t; \xi_0, \lambda_0)$ がコンパクト区間 $[a, b] \ni t_0$ 上で定義されているとする。このとき任意の $\varepsilon > 0$ に対し $\delta > 0$ があって、$\lVert \xi - \xi_0 \rVert < \delta$, $\lVert \lambda - \lambda_0 \rVert < \delta$ なら $x(t; \xi, \lambda)$ は $[a, b]$ 上で定義され

$$\sup_{a \leq t \leq b}\lVert x(t; \xi, \lambda) - x^{\ast}(t) \rVert < \varepsilon$$

証明. (i) $\Gamma = \lbrace (t, x^{\ast}(t), \lambda_0) \mid a \leq t \leq b \rbrace$ はコンパクトなので、$0 < \rho < \varepsilon$ を小さくとれば

は $D \times \Lambda$ に含まれるコンパクト集合になる。補題 2.5 と同じ議論で、$U$ 上で $x$ についてのリプシッツ定数 $L > 0$ がとれる。$f$ は $U$ 上で一様連続なので、$\eta > 0$ と $\delta \in (0, \rho]$ を $(\delta + \eta/L)e^{L(b - a)} < \rho$ となるように、かつ $\lVert \lambda - \lambda_0 \rVert < \delta$ なら $U$ 上で $\lVert f(t, x, \lambda) - f(t, x, \lambda_0) \rVert \leq \eta$ となるようにとれる。

(ii) $\lVert \xi - \xi_0 \rVert < \delta$, $\lVert \lambda - \lambda_0 \rVert < \delta$ とし、$y(t) = x(t; \xi, \lambda)$ の最大存在区間を $(\omega_-, \omega_+)$ とする。$[t_0, \min(b, \omega_+))$ のうち、$[t_0, \tau]$ 上で $\lVert y(t) - x^{\ast}(t) \rVert \leq \rho$ となる $\tau$ の上限を $T$ とする。$[t_0, T)$ 上では $(t, y(t), \lambda) \in U$ なので、系 2.11（$g = f(\cdot, \cdot, \lambda)$、比較する方程式は $f(\cdot, \cdot, \lambda_0)$）より

もし $T < \omega_+$ かつ $T < b$ なら、連続性からこの不等式は $T$ の少し先でも成り立ち、$T$ の定義に矛盾する。もし $T = \omega_+ \leq b$ なら、$[t_0, \omega_+)$ 上で $y$ のグラフはコンパクト集合 $\lbrace (t, x) \mid (t, x, \lambda) \in U \rbrace \subset D$ に留まり、定理 2.16 に矛盾する。よって $T = b < \omega_+$ で、評価は $[t_0, b]$ で成り立つ。$[a, t_0]$ も同様であり、$\rho < \varepsilon$ から主張が従う。$\square$

$\lambda = \lambda_0$ の場合、証明から $\sup_{[a, b]}\lVert x(t; \xi, \lambda_0) - x^{\ast}(t) \rVert \leq e^{L(b - a)}\lVert \xi - \xi_0 \rVert$ というリプシッツ連続性が得られる。同様に、$(t, t_0, \xi, \lambda) \mapsto x(t; t_0, \xi, \lambda)$ はその定義域（開集合になる）上で連続であることが示される（証明は省略）。これは第4章でフローを扱う基礎である。

注意 2.21 定数 $e^{L(b - a)}$ は時間とともに指数関数的に増える。ローレンツ方程式のようなカオス的な系では、解は初期値に連続に依存するが、長時間の予測は事実上不可能になる。連続依存性とカオスは矛盾しない。

さらに滑らかさを仮定すると、解は初期値について微分可能になる。

定理 2.22（初期値についての微分可能性）$f$ が $(x, \lambda)$ について $C^1$ 級で、その偏導関数が $(t, x, \lambda)$ について連続なら、$x(t; \xi, \lambda)$ は $(t, \xi, \lambda)$ について $C^1$ 級である。$Y(t) = \partial x/\partial\xi\ (t; \xi_0, \lambda_0)$ は変分方程式 (variational equation)

$$Y' = D_xf(t, x^{\ast}(t), \lambda_0)\,Y, \qquad Y(t_0) = I$$

の解であり、$Z = \partial x/\partial\lambda$ は $Z' = D_xf\ Z + D_\lambda f$, $Z(t_0) = O$ の解である。

証明の方針. 方程式を形式的に $\xi$ で微分すれば変分方程式が得られる。正当化には、差分商 $q_h(t) = \bigl(x(t; \xi_0 + hv, \lambda_0) - x^{\ast}(t)\bigr)/h$ が、平均値の定理から $q_h(t) = v + \int_{t_0}^t A_h(s)q_h(s)\ ds$、$A_h(s) = \int_0^1 D_xf\bigl(s, x^{\ast} + \theta(x_h - x^{\ast}), \lambda_0\bigr)d\theta$ をみたすことに注目する。定理 2.20 から $A_h \to D_xf(s, x^{\ast}(s), \lambda_0)$ が一様に成り立つので、系 2.11 と同様のグロンウォール評価によって $q_h$ は変分方程式の解 $Y(t)v$ に一様収束する。詳細は常微分方程式の標準的な教科書（README の参考文献）を参照のこと。

例 2.23 $x' = x^2$, $x(0) = \xi$ の解は $x = \xi/(1 - \xi t)$ で、$\partial x/\partial\xi = (1 - \xi t)^{-2}$ である。一方、変分方程式 $Y' = 2x(t)Y$, $Y(0) = 1$ を解くと $Y = \exp\int_0^t \frac{2\xi}{1 - \xi s}ds = (1 - \xi t)^{-2}$ となり、一致する。

2.8 ペアノの存在定理

リプシッツ条件がなくても、解の存在だけは保証される。

定理 2.24（ペアノの存在定理, Peano existence theorem）$f$ が $R = [t_0 - a, t_0 + a] \times \overline{B}(x_0, b)$ 上で連続なら、$M = \max_R\lVert f \rVert$, $h = \min(a, b/M)$（$M = 0$ なら $h = a$）として、初期値問題 $x' = f(t, x)$, $x(t_0) = x_0$ は $[t_0 - h, t_0 + h]$ 上に少なくとも一つの解をもつ。

証明. $[t_0, t_0 + h]$ 上の解を作る（左側も同様に作り、$t_0$ でつなげれば、補題 2.1 の積分方程式をみたすので全体で解になる）。$N \in \mathbb{N}$ に対し $t_k = t_0 + kh/N$（$0 \leq k \leq N$）とおき、折れ線 $\varphi_N$ を

で定める（オイラー折れ線, Euler polygon）。

(i) $k$ についての帰納法により、節点 $(t_k, \varphi_N(t_k))$ は $R$ に含まれ、各線分の傾きのノルムは $M$ 以下なので、$\lVert \varphi_N(t) - x_0 \rVert \leq M(t - t_0) \leq b$ である。よって $\varphi_N$ のグラフは $R$ に含まれる。