第7章古典的偏微分方程式（微分方程式） | Lemma

この章の目標

2 階線形偏微分方程式を楕円型・放物型・双曲型に分類し、代表例（ラプラス・熱・波動方程式）の性質の違いを説明できる

1 階線形方程式を特性曲線法で解ける

熱方程式をフーリエ級数と熱核で解き、最大値原理から一意性と安定性を証明できる

波動方程式のダランベールの公式を証明し、エネルギー保存・一意性・有限伝播速度を示せる

調和関数の平均値の性質と最大値原理を証明し、円板上のディリクレ問題をポアソン核で解ける

アダマールの例を用いて、問題の適切性の意味を説明できる

前提：第5章、第6章、微分積分学第10章

未知関数が複数の変数をもつ微分方程式を偏微分方程式 (partial differential equation) という。常微分方程式と違い、偏微分方程式には「一般論」がほとんどない。方程式の型によって、解の性質も、課すべき条件も、解き方もまったく異なるからである。本章では、応用上も理論上も最も基本的な 3 つの方程式、熱方程式・波動方程式・ラプラス方程式を、第5・6章の道具を使って解き、それぞれに固有の性質を調べる。

7.1 偏微分方程式の例と分類

熱方程式 $u_t = ku_{xx}$ ：棒の温度 $u(x, t)$ について、熱の流れ（熱流束）は温度勾配に比例し（フーリエの法則 $-\kappa u_x$ ）、エネルギーは保存される（ $c\rho u_t = (\kappa u_x)_x$ ）。 $k = \kappa/(c\rho) > 0$ 。
波動方程式 $u_{tt} = c^2u_{xx}$ ：張力 $T$ 、線密度 $\rho$ の弦の微小な横振動で、 $c = \sqrt{T/\rho}$ は波の速さである。
ラプラス方程式 $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$ ：熱方程式の定常状態（ $u_t = 0$ ）であり、静電ポテンシャルや非圧縮・渦なしの流れの速度ポテンシャルもみたす。
輸送方程式 $u_t + cu_x = 0$ ：速さ $c$ の流れに乗って運ばれる物質の濃度。

定義 7.1（2 階線形方程式の分類）実定数 $a, b, c$ （すべては 0 でない）について、 $au_{xx} + 2bu_{xy} + cu_{yy} + (\text{1 階以下の項}) = 0$ は、 $b^2 - ac < 0$ のとき楕円型 (elliptic)、 $b^2 - ac = 0$ のとき放物型 (parabolic)、 $b^2 - ac > 0$ のとき双曲型 (hyperbolic) であるという。

1 次変換 $(\xi, \eta) = P(x, y)$ で変数を変えると、2 階の部分の係数の対称行列 $A$ （第 1 行 $(a, b)$ 、第 2 行 $(b, c)$ ）は $A \mapsto PA\ {}^tP$ と合同変換される。シルヴェスターの慣性法則（線形代数第8章）により型は変わらず、適当な変数変換で主要部を $u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta}$ （楕円型）、 $u_{\xi\xi}$ （放物型）、 $u_{\xi\xi} - u_{\eta\eta}$ （双曲型）にできる。ラプラス方程式は楕円型、熱方程式は放物型、波動方程式は双曲型の代表である。係数が変数に依存するときは点ごとに型が決まり、たとえば遷音速流のモデル $yu_{xx} + u_{yy} = 0$ （トリコミ方程式）は $y > 0$ で楕円型、 $y < 0$ で双曲型になる。

7.2 1 階線形方程式と特性曲線法

命題 7.2 $c \in \mathbb{R}$ 、 $g \in C^1(\mathbb{R})$ とする。 $u_t + cu_x = 0$ , $u(x, 0) = g(x)$ の $C^1$ 級の解は $u(x, t) = g(x - ct)$ に限る。

証明. $u(x, t) = g(x - ct)$ が解であることは代入すればわかる。逆に $u$ を解とすると、直線 $x = x_0 + ct$ に沿って $\frac{d}{dt}u(x_0 + ct, t) = cu_x + u_t = 0$ なので、 $u(x_0 + ct, t) = u(x_0, 0) = g(x_0)$ 。 $\square$

初期の形 $g$ が形を変えずに速さ $c$ で平行移動する。直線 $x - ct =$ 一定を特性曲線 (characteristic curve) という。一般の 1 階線形方程式 $a(x, y)u_x + b(x, y)u_y = f(x, y, u)$ でも同様に、常微分方程式 $\frac{dx}{ds} = a$ , $\frac{dy}{ds} = b$ の解曲線（特性曲線）に沿って $\frac{d}{ds}u(x(s), y(s)) = f$ となるので、偏微分方程式が特性曲線上の常微分方程式に帰着する（特性曲線法, method of characteristics）。初期値は特性曲線と横断的に交わる曲線の上で与える。

例 7.3 (1) $u_t + xu_x = 0$ , $u(x, 0) = g(x)$ ：特性曲線は $\frac{dx}{dt} = x$ より $x = x_0e^t$ で、その上で $u$ は一定なので $u(x, t) = g(xe^{-t})$ 。初期の形が横に引き伸ばされていく。(2) $u_t + cu_x = -\lambda u$ ：特性曲線に沿って $\frac{d}{dt}u = -\lambda u$ なので $u = e^{-\lambda t}g(x - ct)$ （減衰しながら運ばれる）。

注意 7.4（衝撃波の発生）非線形のバーガース方程式 $u_t + uu_x = 0$ , $u(x, 0) = g(x)$ では、特性曲線は $x = x_0 + g(x_0)t$ という直線で、その上で $u = g(x_0)$ は一定である。速さが場所によって違うので、 $g$ が減少する部分では後ろの特性曲線が前に追いつく。実際 $u_x = \frac{g'(x_0)}{1 + g'(x_0)t}$ なので、 $g' < 0$ となる点があれば $t = -1/\min g'$ で $u_x$ が発散し、滑らかな解は存在しなくなる。これが衝撃波の発生であり、その後の解の意味づけには超関数（弱解）の考えが必要になる（偏微分方程式論第6章）。

7.3 熱方程式

区間 $[0, \ell]$ の棒の両端を温度 0 に保つ問題

u_t = ku_{xx} \quad (0 < x < \ell,\ t > 0), \qquad u(0, t) = u(\ell, t) = 0, \qquad u(x, 0) = f(x)

を考える。 $u = X(x)T(t)$ とおいて代入すると $\frac{T'}{kT} = \frac{X''}{X}$ で、左辺は $t$ だけ、右辺は $x$ だけの関数なので定数 $-\lambda$ に等しい。すると $X$ は固有値問題 $-X'' = \lambda X$ , $X(0) = X(\ell) = 0$ （第5章）の解で、 $\lambda_n = (n\pi/\ell)^2$ , $X_n = \sin(n\pi x/\ell)$ 、そして $T_n = e^{-k\lambda_nt}$ である。これらを重ね合わせ、初期条件を正弦級数（注意 6.3）で合わせる：

定理 7.5 $f$ は $[0, \ell]$ 上連続で区分的に滑らか、 $f(0) = f(\ell) = 0$ とし、 $b_n = \frac{2}{\ell}\int_0^\ell f(x)\sin\frac{n\pi x}{\ell}dx$ とおく。
$u(x, t) = \sum_{n=1}^\infty b_ne^{-k(n\pi/\ell)^2t}\sin\frac{n\pi x}{\ell}$
は $[0, \ell] \times [0, \infty)$ で連続、 $[0, \ell] \times (0, \infty)$ で $C^\infty$ 級であり、上の初期値境界値問題の解である。

証明. $f$ の奇関数拡張（周期 $2\ell$ ）は連続で区分的に滑らかなので、定理 6.18 より $\sum\lvert b_n \rvert < \infty$ で、正弦級数は $f$ に一様収束する。級数の各項は $\lvert b_n \rvert$ で抑えられるので、 $u$ は $[0, \ell] \times [0, \infty)$ で一様収束して連続であり、 $u(x, 0) = f(x)$ 。 $t \geq t_0 > 0$ では、 $t$ で $i$ 回、 $x$ で $j$ 回微分した項は $\lvert b_n \rvert(k\lambda_n)^i(n\pi/\ell)^je^{-k\lambda_nt_0}$ で抑えられ、これは $n$ について和が有限である。よってすべての項別微分が一様収束し、 $u$ は $C^\infty$ 級で、各項と同様に熱方程式をみたす。境界条件は明らか。 $\square$

$f$ がリーマン積分可能なだけでも $\lvert b_n \rvert$ は有界なので、証明の後半はそのまま成り立つ：初期値がどれほど粗くても、解は $t > 0$ で直ちに滑らかになる（平滑化効果）。

例 7.6 $k = 1$ , $\ell = \pi$ , $f = x(\pi - x)$ なら、問題 6.8 より $u = \frac{8}{\pi}\sum_{n\ \text{奇数}}\frac{e^{-n^2t}\sin nx}{n^3}$ 。高い振動数の成分ほど速く減衰し、 $t$ が大きいと $u \approx \frac{8}{\pi}e^{-t}\sin x$ となる。温度分布は最小固有値の固有関数の形に近づきながら、 $e^{-\lambda_1kt}$ の速さで 0 に向かう。

最大値原理と一意性

$Q_T = (0, \ell) \times (0, T]$ とし、 $[0, \ell] \times [0, T]$ の「底辺と両側面」 $\Gamma_T = \lbrace (x, t) \mid t = 0 \text{ または } x = 0 \text{ または } x = \ell \rbrace$ を放物境界という。

定理 7.7（弱最大値原理） $u$ は $[0, \ell] \times [0, T]$ 上で連続、 $Q_T$ で $u_t, u_{xx}$ が存在して連続で、 $Q_T$ 上 $u_t - ku_{xx} \leq 0$ とする。このとき $\max_{[0, \ell] \times [0, T]}u = \max_{\Gamma_T}u$ 。

証明. $\varepsilon > 0$ として $v = u + \varepsilon x^2$ とおくと、 $Q_T$ 上 $v_t - kv_{xx} = u_t - ku_{xx} - 2k\varepsilon < 0$ 。 $v$ が最大値を $(x_0, t_0) \in Q_T$ でとったとすると、 $x \mapsto v(x, t_0)$ は内点 $x_0$ で最大なので $v_{xx}(x_0, t_0) \leq 0$ 、また $t \mapsto v(x_0, t)$ は $(0, t_0]$ 上で $t_0$ において最大なので $v_t(x_0, t_0) \geq 0$ （ $t_0 = T$ なら左側からの微分係数を考える）。すると $v_t - kv_{xx} \geq 0$ となり矛盾する。よって $v$ の最大値は $\Gamma_T$ 上でとられ、 $\max u \leq \max v = \max_{\Gamma_T}v \leq \max_{\Gamma_T}u + \varepsilon\ell^2$ 。 $\varepsilon \to 0$ とすればよい。 $\square$

$-u$ に適用すれば最小値についても同様である。熱は内部で自然に高温になることはない、という物理的直観の数学的表現である。

系 7.8（一意性と安定性）初期値境界値問題 $u_t = ku_{xx}$ （ $Q_T$ で）、 $\Gamma_T$ 上で $u$ を指定、の解は（定理 7.7 の正則性の範囲で）一意であり、2 つの解について $\max\lvert u_1 - u_2 \rvert \leq \max_{\Gamma_T}\lvert u_1 - u_2 \rvert$ が成り立つ。また、初期値と境界値が非負なら解も非負である。

証明. $u_1 - u_2$ と $u_2 - u_1$ に定理 7.7 を適用すればよい。 $\square$

熱核

無限に長い棒 $u_t = ku_{xx}$ （ $x \in \mathbb{R}$ , $t > 0$ ）、 $u(x, 0) = g(x)$ を考える。

定理 7.9（熱核）熱核 (heat kernel) を $\Phi(x, t) = \dfrac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-x^2/(4kt)}$ （ $t > 0$ ）とする。 $g$ が $\mathbb{R}$ 上の有界連続関数なら、
$u(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \Phi(x - y, t)g(y)\,dy$
は $t > 0$ で $C^\infty$ 級で熱方程式をみたし、 $(x, t) \to (x_0, 0)$ のとき $u(x, t) \to g(x_0)$ となる。

証明. 直接計算で $\Phi_x = -\frac{x}{2kt}\Phi$ , $\Phi_{xx} = \left(\frac{x^2}{4k^2t^2} - \frac{1}{2kt}\right)\Phi$ , $\Phi_t = \left(\frac{x^2}{4kt^2} - \frac{1}{2t}\right)\Phi$ なので $\Phi_t = k\Phi_{xx}$ 。また $\Phi > 0$ で、ガウス積分 $\int e^{-x^2/(4kt)}dx = \sqrt{4\pi kt}$ より $\int\Phi(x, t)\ dx = 1$ 。 $\Phi$ の各導関数は「多項式 × $\Phi$ 」の形で、 $x$ が有界集合、 $t$ が $(0, \infty)$ のコンパクト集合を動く範囲では $y$ について可積分な関数で一様に抑えられるので、積分記号下で何回でも微分でき、 $u$ は熱方程式をみたす。初期条件： $\lvert u(x, t) - g(x_0) \rvert \leq \int\Phi(x - y, t)\lvert g(y) - g(x_0) \rvert\ dy$ 。 $\varepsilon > 0$ に対し、 $\lvert y - x_0 \rvert < \delta$ で $\lvert g(y) - g(x_0) \rvert < \varepsilon$ となる $\delta$ をとる。 $\lvert x - x_0 \rvert < \delta/2$ なら、 $\lvert y - x_0 \rvert \geq \delta$ の部分は $\lvert x - y \rvert \geq \delta/2$ なので $2\sup\lvert g \rvert\int_{\lvert z \rvert \geq \delta/2}\Phi(z, t)\ dz$ 以下で、これは $t \to 0$ で 0 に近づく（ $z = 2\sqrt{kt}\ s$ と置換すると積分範囲が $\lvert s \rvert \geq \delta/(4\sqrt{kt}) \to \infty$ となる）。残りは $\varepsilon$ 以下である。 $\square$

$\Phi(\cdot, t)$ は $t \to 0$ で原点に集中する近似単位元で、フェイエール核と同じ役割を果たす。熱核の形は 7.6 節のフーリエ変換から自然に導かれる。確率論では、 $\Phi(\cdot, t)$ は平均 0・分散 $2kt$ の正規分布の密度であり、 $k = 1/2$ のとき標準ブラウン運動 $B_t$ の分布の密度、一般の $k$ では $\sqrt{2k}\ B_t$ の分布の密度である（確率論第7章）。

注意 7.10 (1) $g \geq 0$ , $g \not\equiv 0$ なら、すべての $x$ と $t > 0$ で $u(x, t) > 0$ である。熱は無限の速さで伝わる（波動方程式と対照的）。(2) $\mathbb{R}$ 上では、解に増大度の条件を課さないと一意性が崩れる。初期値 0 で恒等的に 0 でない解が存在する（チホノフの例；主張のみ）。有界な解に限れば一意である（問題 7.7）。

7.4 波動方程式

定理 7.11（ダランベールの公式, d'Alembert's formula） $f \in C^2(\mathbb{R})$ , $g \in C^1(\mathbb{R})$ とする。 $u_{tt} = c^2u_{xx}$ （ $c > 0$ ）, $u(x, 0) = f(x)$ , $u_t(x, 0) = g(x)$ の $\mathbb{R}^2$ 上の $C^2$ 級の解はただ一つで、
$u(x, t) = \frac{f(x + ct) + f(x - ct)}{2} + \frac{1}{2c}\int_{x - ct}^{x + ct}g(s)\,ds$

証明. $u$ を $C^2$ 級の解とし、特性座標 $\xi = x + ct$ , $\eta = x - ct$ で $v(\xi, \eta) = u(x, t)$ とおく。連鎖律より $u_{xx} = v_{\xi\xi} + 2v_{\xi\eta} + v_{\eta\eta}$ , $u_{tt} = c^2(v_{\xi\xi} - 2v_{\xi\eta} + v_{\eta\eta})$ なので $u_{tt} - c^2u_{xx} = -4c^2v_{\xi\eta} = 0$ 。よって $v_\xi$ は $\eta$ によらず、積分して $v = F(\xi) + G(\eta)$ （ $F, G \in C^2$ ）。初期条件は $F(x) + G(x) = f(x)$ , $c(F'(x) - G'(x)) = g(x)$ で、後者を積分して $F(x) - G(x) = \frac{1}{c}\int_0^x g + K$ 。これを解いて $u = F(x + ct) + G(x - ct)$ に代入すると公式を得る。逆に公式の $u$ が $C^2$ 級の解であることは直接確かめられる。 $\square$

解は左向きの進行波 $F(x + ct)$ と右向きの進行波 $G(x - ct)$ の和である。 $u(x, t)$ は区間 $[x - ct, x + ct]$ の初期値だけで決まる（依存領域）。初期値の折れ目などの特異性は特性曲線 $x \pm ct =$ 一定に沿って伝わり、熱方程式のように平滑化されることはない。

例 7.12（弦の基準振動）両端固定の弦 $u(0, t) = u(\ell, t) = 0$ を変数分離すると、 $X_n = \sin\frac{n\pi x}{\ell}$ に対して $T_n'' = -c^2(n\pi/\ell)^2T_n$ となり

u(x, t) = \sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi ct}{\ell} + b_n\sin\frac{n\pi ct}{\ell}\right)\sin\frac{n\pi x}{\ell}

を得る（ $a_n$ , $b_n$ は $f$ , $g$ の正弦係数から決まる）。振動数 $\frac{nc}{2\ell}$ は基本振動数 $\frac{c}{2\ell}$ の整数倍（倍音）であり、弦楽器の音が快い和音を響かせる理由である。この解は、 $f, g$ を奇関数かつ周期 $2\ell$ に拡張してダランベールの公式に代入したものと一致する。

定理 7.13（エネルギー保存と一意性） $u \in C^2([0, \ell] \times [0, T])$ が $u_{tt} = c^2u_{xx}$ と $u(0, t) = u(\ell, t) = 0$ をみたせば、エネルギー
$E(t) = \frac{1}{2}\int_0^\ell\bigl(u_t^2 + c^2u_x^2\bigr)dx$
は一定である。したがって初期値境界値問題の $C^2$ 級の解は一意である。

証明. 積分記号下で微分し部分積分すると

E'(t) = \int_0^\ell(u_tu_{tt} + c^2u_xu_{xt})\,dx = \int_0^\ell u_t(u_{tt} - c^2u_{xx})\,dx + \Bigl[c^2u_xu_t\Bigr]_{x=0}^{x=\ell} = 0

（両端で $u = 0$ なので $u_t = 0$ ）。2 つの解の差 $w$ は初期値 0 の解なので $E \equiv 0$ 、よって $w_t = w_x = 0$ で $w$ は定数、初期値から $w = 0$ 。 $\square$

定理 7.14（有限伝播速度） $u \in C^2(\mathbb{R} \times [0, \infty))$ を $u_{tt} = c^2u_{xx}$ の解とし、 $x_0 \in \mathbb{R}$ , $R > 0$ とする。 $0 \leq t \leq R/c$ に対し
$e(t) = \frac{1}{2}\int_{x_0 - R + ct}^{x_0 + R - ct}\bigl(u_t^2 + c^2u_x^2\bigr)dx$
は単調非増加である。特に $f = g = 0$ が $[x_0 - R, x_0 + R]$ 上で成り立てば、三角形 $\lbrace \lvert x - x_0 \rvert \leq R - ct,\ 0 \leq t \leq R/c \rbrace$ 上で $u = 0$ 。

証明. 積分区間の両端を $\alpha(t) = x_0 - R + ct$ , $\beta(t) = x_0 + R - ct$ とし、被積分関数を $\epsilon = \frac{1}{2}(u_t^2 + c^2u_x^2)$ とする。定理 7.13 の証明と同じ計算に、端点が動くことによる項を加えると

e'(t) = \Bigl[c^2u_xu_t\Bigr]_\alpha^\beta - c\,\epsilon(\beta) - c\,\epsilon(\alpha) = -\frac{c}{2}(u_t - cu_x)^2\Big\vert_{x = \beta} - \frac{c}{2}(u_t + cu_x)^2\Big\vert_{x = \alpha} \leq 0

後半： $e(0) = 0$ （ $u_x = f' = 0$ , $u_t = g = 0$ ）なので $e \equiv 0$ 、三角形の中で $u_t = u_x = 0$ となり、 $u$ は定数 $u(x_0, 0) = 0$ である。 $\square$

この証明はダランベールの公式を使わないので、高次元の波動方程式（円錐の中のエネルギー）にもそのまま拡張できる。波の影響は速さ $c$ を超えて伝わらない。

7.5 ラプラス方程式

開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上の $C^2$ 級関数 $u$ で $\Delta u = 0$ をみたすものを調和関数 (harmonic function) という。正則関数の実部・虚部、 $\log(x^2 + y^2)$ 、極座標で $r^n\cos n\theta$ , $r^n\sin n\theta$ などが例である。

定理 7.15（平均値の性質） $u$ が $\Omega$ で調和で、閉円板 $\overline{B}(x_0, R) \subset \Omega$ なら、 $0 < r \leq R$ に対し
$u(x_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(x_0 + r\cos\theta,\ y_0 + r\sin\theta)\,d\theta = \frac{1}{\pi r^2}\iint_{B(x_0, r)}u\,dx\,dy$
（ $x_0 = (x_0, y_0)$ と書いた）。

証明. 円周上の平均を $\phi(r)$ とおくと、積分記号下の微分と発散定理（微分積分学第10章）により

\phi'(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\nabla u \cdot (\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta = \frac{1}{2\pi r}\oint_{\partial B_r}\frac{\partial u}{\partial\nu}\,ds = \frac{1}{2\pi r}\iint_{B_r}\Delta u\,dx\,dy = 0

よって $\phi$ は定数で、 $u$ の連続性から $\phi(r) \to u(x_0)$ （ $r \to 0$ ）なので $\phi(r) = u(x_0)$ 。円板上の平均は、極座標で $\iint_{B_r}u = \int_0^r 2\pi s\ \phi(s)\ ds = \pi r^2u(x_0)$ から従う。 $\square$

定理 7.16（最大値原理）(1)（強最大値原理） $\Omega$ が連結で、調和関数 $u$ が $\Omega$ の点で最大値をとれば、 $u$ は定数である。(2)（弱最大値原理） $\Omega$ が有界で $u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ が調和なら、 $\max_{\overline{\Omega}}u = \max_{\partial\Omega}u$ 。最小値についても同様である。

証明. (1) 最大値を $M$ とし $S = \lbrace x \in \Omega \mid u(x) = M \rbrace$ とおく。 $S$ は空でなく、連続性から $\Omega$ で閉である。 $x_0 \in S$ で $\overline{B}(x_0, r) \subset \Omega$ なら、円板上の平均値の性質より $\iint_{B(x_0, r)}(M - u) = 0$ で、被積分関数は非負連続なので $B(x_0, r)$ 上で $u = M$ 。よって $S$ は開でもあり、連結性から $S = \Omega$ 。(2) $\overline{\Omega}$ はコンパクトなので最大値はどこかでとられる。それが $x_0 \in \Omega$ なら、 $x_0$ を含む $\Omega$ の連結成分 $\Omega_0$ 上で $u \equiv M$ で、有界な $\Omega_0$ の境界（空でなく $\partial\Omega$ に含まれる）上でも連続性から $u = M$ 。 $\square$

系 7.17 有界領域 $\Omega$ 上のディリクレ問題 $\Delta u = 0$ （ $\Omega$ で）, $u = f$ （ $\partial\Omega$ で）の解 $u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ は高々一つであり、2 つの境界値に対する解は $\max_{\overline{\Omega}}\lvert u_1 - u_2 \rvert \leq \max_{\partial\Omega}\lvert f_1 - f_2 \rvert$ をみたす。

円板上のディリクレ問題とポアソン核

単位円板 $D$ で、境界値 $f$ （周期 $2\pi$ の連続関数 $f(\theta)$ ）を与える。極座標 $\Delta = u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}$ で $u = R(r)\Theta(\theta)$ と変数分離すると、 $\Theta = e^{in\theta}$ に対して $r^2R'' + rR' - n^2R = 0$ （オイラーの方程式）となり、原点で有界な解は $R = r^{\lvert n \rvert}$ である。そこで $u = \sum\hat{f}(n)r^{\lvert n \rvert}e^{in\theta}$ が候補になる。

定理 7.18（ポアソンの公式）ポアソン核 (Poisson kernel) を
$P_r(\theta) = \sum_{n \in \mathbb{Z}}r^{\lvert n \rvert}e^{in\theta} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \qquad (0 \leq r < 1)$
とし、 $u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi P_r(\theta - \phi)f(\phi)\ d\phi$ （ $r < 1$ ）、 $u(e^{i\theta}) = f(\theta)$ とおく。このとき $u$ は $D$ で調和、 $\overline{D}$ で連続であり、ディリクレ問題のただ一つの解である。

証明. 級数は $\sum_{n \geq 0}(re^{i\theta})^n + \sum_{n \geq 1}(re^{-i\theta})^n = \frac{1}{1 - re^{i\theta}} + \frac{re^{-i\theta}}{1 - re^{-i\theta}}$ で、通分すると分母は $\lvert 1 - re^{i\theta} \rvert^2 = 1 - 2r\cos\theta + r^2$ 、分子は $1 - r^2$ となる。 $r < 1$ では級数は $\phi$ について一様収束するので項別積分でき、 $u(re^{i\theta}) = \sum_n\hat{f}(n)r^{\lvert n \rvert}e^{in\theta}$ 。 $z = x + iy = re^{i\theta}$ とすると各項は $z^n$ または $\overline{z}^{\lvert n \rvert}$ の定数倍で調和であり、 $\lvert \hat{f}(n) \rvert \leq \max\lvert f \rvert$ だから、 $r \leq \rho < 1$ では級数とその各階の偏導関数の級数が一様収束する（ $\lvert \partial z^n \rvert \leq n\rho^{n-1}$ など）。よって $u$ は $D$ で $C^\infty$ 級かつ調和である。

境界での連続性： $P_r > 0$ 、 $\frac{1}{2\pi}\int P_r = 1$ （ $n = 0$ の項）、そして $1 - 2r\cos\theta + r^2 = (1 - r)^2 + 2r(1 - \cos\theta)$ より $\delta \leq \lvert \theta \rvert \leq \pi$ で $P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{2r(1 - \cos\delta)} \to 0$ （ $r \to 1$ ）。したがって $P_r$ は近似単位元であり、フェイエールの定理（定理 6.12）と同じ議論で $\sup_\theta\lvert u(re^{i\theta}) - f(\theta) \rvert \to 0$ （ $r \to 1$ ）。 $f$ の連続性と合わせて $u$ は $\overline{D}$ で連続である。一意性は系 7.17 による。 $\square$

$P_r(\theta - \phi) = \operatorname{Re}\frac{e^{i\phi} + z}{e^{i\phi} - z}$ であり、ポアソンの公式はコーシーの積分公式の実部とみなせる（複素関数論第3章）。

系 7.19 調和関数は $C^\infty$ 級である。

証明. $\overline{B}(x_0, R) \subset \Omega$ 上で、 $u$ はその境界値のポアソン積分（平行移動と拡大で単位円板に移す）と一致する（系 7.17 の一意性）。ポアソン積分は円板内で $C^\infty$ 級である。 $\square$

例 7.20 境界値 $f(\theta) = \cos^2\theta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2\theta$ なら、 $u = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}r^2\cos 2\theta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(x^2 - y^2)$ 。円板の周の温度を $\cos^2\theta$ に保ったときの定常温度分布である。

7.6 フーリエ変換の導入

区間 $[-\ell, \ell]$ のフーリエ級数で $\ell \to \infty$ とすると、周期をもたない関数の「連続的な」周波数分解が得られる。 $\xi_n = n\pi/\ell$ 、 $\Delta\xi = \pi/\ell$ とおくと、フーリエ係数は $c_n = \frac{1}{2\ell}\int_{-\ell}^\ell f(x)e^{-i\xi_nx}dx$ で、 $f(x) = \sum_n c_ne^{i\xi_nx} = \frac{1}{2\pi}\sum_n\left(\int_{-\ell}^\ell f(y)e^{-i\xi_ny}dy\right)e^{i\xi_nx}\Delta\xi$ 。形式的に $\ell \to \infty$ とすれば

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ix\xi}\,dx, \qquad f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\hat{f}(\xi)e^{ix\xi}\,d\xi

を得る。 $\hat{f}$ を $f$ のフーリエ変換 (Fourier transform)、右の式を反転公式という（定数の付け方は文献によって異なる）。部分積分により $\widehat{f'}(\xi) = i\xi\hat{f}(\xi)$ で、微分が掛け算に変わる。

これを熱方程式 $u_t = ku_{xx}$ に $x$ について適用すると、各 $\xi$ ごとに常微分方程式 $\partial_t\hat{u} = -k\xi^2\hat{u}$ となり、 $\hat{u}(\xi, t) = e^{-k\xi^2t}\hat{g}(\xi)$ 。一方、 $I(\xi) = \int e^{-ax^2}e^{-ix\xi}dx$ （ $a > 0$ ）は、微分して部分積分すると $I' = -\frac{\xi}{2a}I$ をみたすので $I(\xi) = \sqrt{\pi/a}\ e^{-\xi^2/(4a)}$ 。 $a = 1/(4kt)$ とおけば熱核について $\hat{\Phi}(\xi, t) = e^{-k\xi^2t}$ となる。積の逆変換が畳み込みになること（ $\widehat{f \ast g} = \hat{f}\hat{g}$ ）を使えば $u = \Phi(\cdot, t) \ast g$ 、すなわち定理 7.9 の公式が導かれる。以上の計算は形式的なものであり、フーリエ変換の厳密な理論（どの関数に対して反転公式が成り立つか、 $L^2$ 上のプランシュレルの定理、緩増加超関数への拡張）は偏微分方程式論第2章で扱う。

7.7 適切性とアダマールの例

定義 7.21（適切性, well-posedness）偏微分方程式の問題が、(1) 解が存在し、(2) 解が一意で、(3) 解がデータ（初期値・境界値）に連続に依存する、の 3 条件をみたすとき、アダマールの意味で適切 (well-posed) であるという。そうでないとき非適切 (ill-posed) という。

(3) は、測定誤差を含むデータから意味のある予測をするために不可欠である。本章の問題はいずれも適切である：熱方程式の初期値境界値問題（系 7.8）、波動方程式の初期値問題（ダランベールの公式から $\sup\lvert u(\cdot, t) \rvert \leq \sup\lvert f \rvert + t\sup\lvert g \rvert$ ）、ラプラス方程式のディリクレ問題（系 7.17）。しかし、方程式と条件の組み合わせを誤ると適切でなくなる。

例 7.22（アダマールの例）ラプラス方程式に、波動方程式と同じ種類の「初期条件」を課す問題 $u_{xx} + u_{yy} = 0$ （ $y > 0$ ）, $u(x, 0) = 0$ , $u_y(x, 0) = \frac{\sin nx}{n}$ を考える。 $u_n(x, y) = \frac{\sin nx\sinh ny}{n^2}$ は解である（ $\Delta u_n = \frac{\sin nx\sinh ny}{n^2}(-n^2 + n^2) = 0$ ）。データは $n \to \infty$ で 0 に一様収束するが、各 $y > 0$ で $\sup_x\lvert u_n(x, y) \rvert = \frac{\sinh ny}{n^2} \to \infty$ である。データ 0 に対する解は $u \equiv 0$ であり（この問題の解は一意であることが知られている）、データへの連続依存性が成り立たない。楕円型方程式には境界値問題が、双曲型方程式には初期値問題が適切なのである。

例 7.23（逆向きの熱方程式）現在の温度分布から過去の温度分布を求める問題も非適切である。 $[0, \pi]$ 上の $u_t = u_{xx}$ （ディリクレ条件）の解 $u_n = \frac{1}{n}e^{-n^2t}\sin nx$ は、 $t = 0$ で大きさ $\frac{1}{n}$ にすぎないが、 $t = -\tau < 0$ では $\frac{1}{n}e^{n^2\tau} \to \infty$ となる。平滑化効果の裏返しとして、時間をさかのぼると小さな高周波成分が爆発的に拡大する。

注意 7.24 係数が解析的な方程式について、解析的な初期データに対する初期値問題の局所解が存在する（コーシー–コワレフスカヤの定理；主張のみ）。しかし例 7.22 が示すように、これは適切性を保証しない。さらにレヴィは、 $u_x + iu_y - 2i(x + iy)u_z = F$ という係数が多項式の線形方程式が、ある滑らかな $F$ に対してどんな開集合でも解をもたないことを示した（1957 年）。偏微分方程式の一般論が難しい理由の一端である。

まとめ

2 階線形方程式は主要部の 2 次形式の符号で楕円型（ラプラス）・放物型（熱）・双曲型（波動）に分類され、型によって適切な問題も解の性質も異なる。
1 階線形方程式は特性曲線に沿った常微分方程式に帰着する。非線形では特性曲線が交わり、衝撃波が生じうる。
熱方程式は変数分離とフーリエ正弦級数で解け、解は $t > 0$ で直ちに滑らかになる。弱最大値原理から一意性と安定性が従う。 $\mathbb{R}$ 上では熱核との畳み込みで解け、熱は無限の速さで伝わる。
波動方程式の解はダランベールの公式で与えられ、特異性は保たれたまま速さ $c$ で伝わる。エネルギー保存から一意性、局所エネルギーの減少から有限伝播速度が従う。
調和関数は平均値の性質と最大値原理をもち、円板上のディリクレ問題はポアソン核で解ける。調和関数は $C^\infty$ 級である。
フーリエ変換は微分を掛け算に変え、熱核を自然に導く（厳密な理論は偏微分方程式論で扱う）。
解の存在・一意性・データへの連続依存性をみたす問題が適切である。ラプラス方程式の初期値問題（アダマールの例）や逆向きの熱方程式は非適切である。

演習問題

問題 7.1 ★ $u_{xx} + 4u_{xy} + 3u_{yy} = 0$ の型を判定し、 $C^2$ 級の一般解を求めよ。

解答

$a = 1$ , $b = 2$ , $c = 3$ で $b^2 - ac = 1 > 0$ なので双曲型。 $(\partial_x + \partial_y)(\partial_x + 3\partial_y) = \partial_x^2 + 4\partial_x\partial_y + 3\partial_y^2$ と因数分解できる。 $\xi = y - x$ , $\eta = y - 3x$ とおくと $\partial_x + \partial_y$ と $\partial_x + 3\partial_y$ はそれぞれ $\eta$ , $\xi$ 方向の微分の定数倍になり（ $(\partial_x + \partial_y)\xi = 0$ , $(\partial_x + 3\partial_y)\eta = 0$ ）、方程式は $u_{\xi\eta} = 0$ に変わる。よって $u = F(y - x) + G(y - 3x)$ （ $F, G \in C^2$ ）。

問題 7.2 ★ (1) $u_t + 2u_x = 0$ , $u(x, 0) = e^{-x^2}$ を解け。(2) $yu_x - xu_y = 0$ の $C^1$ 級の解は、 $\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上で $x^2 + y^2$ の関数であることを示せ。

解答

(1) 命題 7.2 より $u = e^{-(x - 2t)^2}$ 。(2) 特性曲線は $\frac{dx}{ds} = y$ , $\frac{dy}{ds} = -x$ 、すなわち原点中心の円であり、その上で $\frac{d}{ds}u = yu_x - xu_y = 0$ だから $u$ は各円の上で一定である。よって $u$ は半径 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ だけの関数で、 $x^2 + y^2$ の関数と書ける。

問題 7.3 ★★ 両端を断熱した棒 $u_t = u_{xx}$ （ $0 < x < \pi$ ）, $u_x(0, t) = u_x(\pi, t) = 0$ , $u(x, 0) = f(x)$ の解を余弦級数で表し、 $t \to \infty$ で $u$ が $f$ の平均値 $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f\ dx$ に一様収束することを示せ（ $f$ は $C^1$ 級とする）。また $\int_0^\pi u(x, t)\ dx$ が $t$ によらないことを示せ。

解答

変数分離で $-X'' = \lambda X$ , $X'(0) = X'(\pi) = 0$ より $X_n = \cos nx$ , $\lambda_n = n^2$ （ $n \geq 0$ ）。 $u = \frac{a_0}{2} + \sum_{n \geq 1}a_ne^{-n^2t}\cos nx$ 、 $a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f\cos nx\ dx$ 。 $f$ の偶関数拡張は連続で区分的に滑らかなので $\sum\lvert a_n \rvert < \infty$ （定理 6.18）。 $\lvert u - \frac{a_0}{2} \rvert \leq e^{-t}\sum_{n \geq 1}\lvert a_n \rvert \to 0$ （一様）で、 $\frac{a_0}{2} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi f$ 。また $\frac{d}{dt}\int_0^\pi u\ dx = \int_0^\pi u_{xx}dx = [u_x]_0^\pi = 0$ （ $t > 0$ ）。熱が外に逃げないので総熱量は保存され、温度は均一化する。

問題 7.4 ★★ $u_{tt} = c^2u_{xx}$ , $u(x, 0) = 0$ , $u_t(x, 0) = \frac{1}{1 + x^2}$ を解き、各 $x$ について $\lim_{t \to \infty}u(x, t)$ を求めよ。

解答

ダランベールの公式より $u = \frac{1}{2c}\int_{x - ct}^{x + ct}\frac{ds}{1 + s^2} = \frac{1}{2c}\bigl(\arctan(x + ct) - \arctan(x - ct)\bigr)$ 。 $t \to \infty$ で $\arctan(x + ct) \to \frac{\pi}{2}$ , $\arctan(x - ct) \to -\frac{\pi}{2}$ なので $u \to \frac{\pi}{2c}$ 。初速度の「総量」 $\int\frac{ds}{1 + s^2} = \pi$ の半分ずつが左右に運ばれ、1 次元の波は変位を後に残す。

問題 7.5 ★★ 単位円板上のディリクレ問題で境界値が $f(\theta) = \sin^3\theta$ のときの解を、 $x, y$ の多項式で表せ。

解答

$\sin^3\theta = \frac{3}{4}\sin\theta - \frac{1}{4}\sin 3\theta$ なので、定理 7.18 より $u = \frac{3}{4}r\sin\theta - \frac{1}{4}r^3\sin 3\theta$ 。 $r^3\sin 3\theta = \operatorname{Im}(x + iy)^3 = 3x^2y - y^3$ より $u = \frac{3}{4}y - \frac{1}{4}(3x^2y - y^3)$ 。 $\Delta(3x^2y - y^3) = 6y - 6y = 0$ で調和であり、 $x^2 + y^2 = 1$ 上で $\sin^3\theta$ に一致することも確かめられる。

問題 7.6 ★★（リウヴィルの定理） $\mathbb{R}^2$ 全体で調和かつ有界な関数は定数であることを、円板上の平均値の性質から示せ。

解答

$\lvert u \rvert \leq M$ とし、2 点 $a, b$ （ $d = \lvert a - b \rvert$ ）と $R > d$ をとる。円板上の平均値の性質より $u(a) - u(b) = \frac{1}{\pi R^2}\left(\iint_{B(a, R)}u - \iint_{B(b, R)}u\right)$ で、右辺の積分の差は対称差 $B(a, R) \triangle B(b, R)$ 上の積分で抑えられる。対称差は環状領域 $\lbrace R - d \leq \lvert x - a \rvert \leq R + d \rbrace$ に含まれ、その面積は $4\pi Rd$ なので、 $\lvert u(a) - u(b) \rvert \leq \frac{4\pi RdM}{\pi R^2} = \frac{4dM}{R} \to 0$ （ $R \to \infty$ ）。よって $u(a) = u(b)$ 。

問題 7.7 ★★★ $u$ が $\mathbb{R} \times [0, T]$ 上で有界かつ連続、 $t > 0$ で $u_t, u_{xx}$ が連続で $u_t = ku_{xx}$ 、 $u(x, 0) = 0$ ならば、 $u \equiv 0$ であることを示せ。したがって熱方程式の初期値問題の有界な解は一意である。

解答

$\lvert u \rvert \leq M$ とする。 $\varepsilon > 0$ に対し $w = u - \varepsilon(x^2 + 2kt)$ とおくと、 $\partial_t(x^2 + 2kt) = 2k = k\partial_x^2(x^2 + 2kt)$ なので $w$ も熱方程式をみたす。 $R$ を $\varepsilon R^2 \geq M$ となるようにとり、長方形 $[-R, R] \times [0, T]$ で定理 7.7（区間を平行移動したもの）を適用する。放物境界上では、 $t = 0$ で $w = -\varepsilon x^2 \leq 0$ 、 $x = \pm R$ で $w \leq M - \varepsilon R^2 \leq 0$ 。よって長方形内で $w \leq 0$ 、すなわち $u(x, t) \leq \varepsilon(x^2 + 2kt)$ 。 $R$ はいくらでも大きくとれるので、この不等式はすべての $(x, t)$ で成り立ち、 $\varepsilon \to 0$ として $u \leq 0$ 。 $-u$ に適用すれば $u \geq 0$ で、 $u \equiv 0$ 。