ホモトピーと基本群

この章の目標

• ホモトピー・ホモトピー同値・変位レトラクトを理解し、身近な空間のホモトピー型を判定できる
• 道のホモトピー類が積について群をなすことを証明し、基本群の関手性とホモトピー不変性を使える
• 被覆 $\mathbb{R} \to S^1$ による持ち上げを用いて $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ を証明し、ブラウアーの不動点定理（2 次元）と代数学の基本定理に応用できる
• 積空間の基本群と $\pi_1(S^n) = 1$（$n \geq 2$）を証明できる

前提：03-topology 第3章（積位相・商位相）、第5章（コンパクト性・ルベーグ数の補題）、第6章（連結性・弧状連結性）、04-algebra 第2章（群と準同型）

本科目では、特に断らない限り写像は連続写像を意味し、$I = [0, 1]$ と書く。

1.1 ホモトピーとホモトピー同値

円周 $S^1$ と閉円板 $D^2$ はどちらもコンパクトで弧状連結だが、$S^1$ には「穴」があるように見える。この直観を数学にするために、「連続的に変形する」ことを表す言葉としてホモトピーを導入する。以後の不変量はすべてホモトピーで変わらない。

定義 1.1（ホモトピー, homotopy）写像 $f, g\colon X \to Y$ に対し、写像 $F\colon X \times I \to Y$ で $F(x, 0) = f(x)$, $F(x, 1) = g(x)$（$x \in X$）を満たすものを $f$ から $g$ へのホモトピーという。これが存在するとき $f$ と $g$ はホモトピック (homotopic) であるといい、$f \simeq g$ と書く。$F_t = F(\cdot, t)$ と書く。部分集合 $A \subset X$ 上で $F_t\vert_A$ が $t$ によらないとき、$F$ を $A$ を固定するホモトピー（rel $A$）という。定値写像とホモトピックな写像を零ホモトピック (null-homotopic) という。

例 1.2（直線ホモトピー）$C \subset \mathbb{R}^n$ を凸集合とすると、任意の空間 $X$ からの任意の写像 $f, g\colon X \to C$ は $F(x, t) = (1 - t) f(x) + t g(x)$ によってホモトピックである。$f$ と $g$ が $A \subset X$ 上で一致していれば、このホモトピーは $A$ を固定する。

命題 1.3 $A \subset X$ を固定するホモトピックという関係は、写像 $X \to Y$ 全体の上の同値関係である。また $f_0 \simeq f_1\colon X \to Y$ かつ $g_0 \simeq g_1\colon Y \to Z$ ならば $g_0 \circ f_0 \simeq g_1 \circ f_1$ である。

証明. 反射律・対称律は $F(x, t) = f(x)$, $F(x, 1 - t)$ で示される。推移律：$F$ が $f$ から $g$ へ、$G$ が $g$ から $h$ へのホモトピーなら、$t \leq 1/2$ で $F(x, 2t)$、$t \geq 1/2$ で $G(x, 2t - 1)$ とおけば、$t = 1/2$ で両者は $g(x)$ に一致するので貼り合わせの補題により連続である。後半は $H(x, t) = G(F(x, t), t)$ とおけばよい。$\square$

定義 1.4（ホモトピー同値, homotopy equivalence）写像 $f\colon X \to Y$ に対し、写像 $g\colon Y \to X$ で $g \circ f \simeq \mathrm{id}_X$ かつ $f \circ g \simeq \mathrm{id}_Y$ となるものが存在するとき、$f$ をホモトピー同値写像、$g$ をそのホモトピー逆写像という。このとき $X$ と $Y$ はホモトピー同値である（同じホモトピー型をもつ）といい、$X \simeq Y$ と書く。一点とホモトピー同値な空間を可縮 (contractible) であるという。

命題 1.3 より $(g g')(f' f) = g (g' f') f \simeq g f \simeq \mathrm{id}$ などが成り立つので、$\simeq$ は空間の間の同値関係である。

命題 1.5 $X$ が可縮であることと、ある $x_0 \in X$ への定値写像 $c_{x_0}$ について $\mathrm{id}_X \simeq c_{x_0}$ となることは同値である。

証明. $f\colon X \to \lbrace p \rbrace$, $g\colon \lbrace p \rbrace \to X$, $g(p) = x_0$ について、$f \circ g = \mathrm{id}$ はつねに成り立ち、$g \circ f = c_{x_0}$ である。$\square$

凸集合（特に $\mathbb{R}^n$ や $D^n$）は例 1.2 により可縮である。

定義 1.6（レトラクト, retract）$A \subset X$ とし、$i\colon A \to X$ を包含写像とする。写像 $r\colon X \to A$ で $r \circ i = \mathrm{id}_A$ となるものをレトラクションといい、それが存在するとき $A$ を $X$ のレトラクトという。さらにホモトピー $F\colon X \times I \to X$ で

$$F_0 = \mathrm{id}_X, \quad F_1(X) \subset A, \quad F_t\vert_A = \mathrm{id}_A \ (t \in I)$$

を満たすものが存在するとき、$A$ を $X$ の変位レトラクト (deformation retract) といい、$F$ を変位レトラクションという。

$A$ が変位レトラクトなら、$r = F_1\colon X \to A$ について $r \circ i = \mathrm{id}_A$、$i \circ r = F_1 \simeq F_0 = \mathrm{id}_X$ だから、$i$ はホモトピー同値写像であり $A \simeq X$ である。

例 1.7

1. $\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace$ は $F(x, t) = (1 - t) x + t x / \lVert x \rVert$（$x$ の正の定数倍）により $S^{n-1}$ に変位レトラクトする。よって $\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace \simeq S^{n-1}$。
2. 円柱 $S^1 \times I$ は $S^1 \times \lbrace 0 \rbrace$ に $F((z, s), t) = (z, (1 - t) s)$ で変位レトラクトする。
3. メビウスの帯 (Möbius band) $M$ を、長方形 $I \times [-1, 1]$ の左辺と右辺を上下反転して $(0, y) \sim (1, -y)$ と貼り合わせた商空間とし、中心線 $y = 0$ の像（円周）を $C$ とする。$F([x, y], t) = [x, (1 - t) y]$ は貼り合わせと両立し（$(0, (1-t)y)$ と $(1, -(1-t)y)$ は再び同一視される）、$M$ を $C$ に変位レトラクトする（$I$ は局所コンパクトなので商写像と $\mathrm{id}_I$ の積は商写像で、$F$ は連続）。よって $M \simeq S^1$。

1.2 道のホモトピーと道の積

空間の「穴」を見るには、ループが空間の中で一点に縮められるかを調べればよい。$D^2$ の中のループは中心に縮むが、$S^1$ を一周するループは縮まないはずである。

定義 1.8（道, path）写像 $f\colon I \to X$ を道といい、$f(0)$ を始点、$f(1)$ を終点という。始点と終点が一致する道を $f(0)$ を基点とするループ (loop) という。始点と終点が同じ二つの道 $f, g$ について、端点 $\lbrace 0, 1 \rbrace$ を固定するホモトピーを道ホモトピーという。以下、道についての $f \simeq g$ はつねに道ホモトピックであることを意味し、その同値類を $[f]$ と書く。

$f(1) = g(0)$ のとき、道の積 $f \cdot g$ と逆の道 $\bar{f}$ を次で定める：

$$(f \cdot g)(s) = \begin{cases} f(2s) & (0 \leq s \leq 1/2) \\ g(2s - 1) & (1/2 \leq s \leq 1) \end{cases}, \qquad \bar{f}(s) = f(1 - s)$$

点 $x$ にとどまる定値の道を $c_x$ と書く。

$f \cdot g$ は「$f$ を 2 倍の速さでたどり、続けて $g$ を 2 倍の速さでたどる」道である。

補題 1.9 $f_0 \simeq f_1$, $g_0 \simeq g_1$ で $f_0(1) = g_0(0)$ ならば $f_0 \cdot g_0 \simeq f_1 \cdot g_1$ である。

証明. 道ホモトピー $F$, $G$ をとり、$H_t = F_t \cdot G_t$ とおく。$F_t(1) = f_0(1) = g_0(0) = G_t(0)$ なので積は定義でき、$H$ は $s = 1/2$ で貼り合った連続写像で端点を固定する。$\square$

補題 1.10（再パラメータ付け）$\varphi\colon I \to I$ が $\varphi(0) = 0$, $\varphi(1) = 1$ を満たすなら、任意の道 $f$ について $f \circ \varphi \simeq f$ である。

証明. $F_t = f \circ ((1 - t) \varphi + t\ \mathrm{id}_I)$ とおく。$(1-t)\varphi(s) + ts \in I$ であり、$s = 0, 1$ でそれぞれ $0, 1$ をとるので端点は固定される。$\square$

定理 1.11 端点が適切につながる道 $f, g, h$ について次が成り立つ。

1. （結合律）$(f \cdot g) \cdot h \simeq f \cdot (g \cdot h)$
2. （単位元）$c_{f(0)} \cdot f \simeq f \simeq f \cdot c_{f(1)}$
3. （逆元）$f \cdot \bar{f} \simeq c_{f(0)}$, $\bar{f} \cdot f \simeq c_{f(1)}$

証明. (1) $(f \cdot g) \cdot h$ は $f, g, h$ をそれぞれ区間 $[0, 1/4]$, $[1/4, 1/2]$, $[1/2, 1]$ で、$f \cdot (g \cdot h)$ は $[0, 1/2]$, $[1/2, 3/4]$, $[3/4, 1]$ でたどる。$\varphi$ を $[0, 1/4]$ 上 $2s$、$[1/4, 1/2]$ 上 $s + 1/4$、$[1/2, 1]$ 上 $(s + 1)/2$ とする折れ線とすると $(f \cdot g) \cdot h = (f \cdot (g \cdot h)) \circ \varphi$（たとえば $s \in [1/4, 1/2]$ では両辺とも $g(4s - 1)$）なので、補題 1.10 による。

(2) $\varphi(s) = \max(0, 2s - 1)$ とすると $c_{f(0)} \cdot f = f \circ \varphi$、$\psi(s) = \min(2s, 1)$ とすると $f \cdot c_{f(1)} = f \circ \psi$。補題 1.10 を使う。

(3) 「$f$ を途中まで進んで引き返す道」を、引き返す地点を始点に近づけながら変形する。式では

とおく。$s = 1/2$ で両者は $f(1 - t)$ に一致し、$H_0 = f \cdot \bar{f}$（$\bar{f}(2s - 1) = f(2 - 2s)$ に注意）、$H_1 = c_{f(0)}$、$H(0, t) = H(1, t) = f(0)$ である。後半は $\bar{f}$ に適用すればよい（$\bar{\bar{f}} = f$）。$\square$

1.3 基本群

定義 1.12（基本群, fundamental group）点 $x_0 \in X$ を基点とするループの道ホモトピー類全体を $\pi_1(X, x_0)$ と書き、積を $[f][g] = [f \cdot g]$ で定める。

定理 1.13 $\pi_1(X, x_0)$ は単位元 $[c_{x_0}]$、$[f]$ の逆元 $[\bar{f}]$ の群である。

証明. 積が well-defined であることは補題 1.9、結合律・単位元・逆元は定理 1.11 による。$\square$

例 1.14 凸集合 $C \subset \mathbb{R}^n$ では、任意のループ $f$ は直線ホモトピー $(1 - t) f(s) + t x_0$（端点は $x_0$ に固定）で $c_{x_0}$ にホモトピックだから、$\pi_1(C, x_0) = 1$ である。

基点を変えると基本群はどう変わるか。

命題 1.15（基点の取り替え）$h$ を $x_0$ から $x_1$ への道とする。$\beta_h\colon \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0)$, $\beta_h[f] = [h \cdot f \cdot \bar{h}]$ は群の同型である。

証明. 補題 1.9 により well-defined である（定理 1.11 (1) により括弧の付け方は問題にならない）。$\bar{h} \cdot h \simeq c_{x_1}$ より $\beta_h[f \cdot g] = [h f \bar{h} h g \bar{h}] = \beta_h[f] \beta_h[g]$ で準同型。同様に $\beta_{\bar{h}} \beta_h[f] = [\bar{h} h f \bar{h} h] = [f]$、$\beta_h \beta_{\bar{h}} = \mathrm{id}$ なので $\beta_{\bar{h}}$ が逆写像である。$\square$

したがって $X$ が弧状連結なら、$\pi_1(X, x_0)$ の同型類は基点によらず、$\pi_1(X)$ と略記することがある。ただし同型 $\beta_h$ は一般に道 $h$ の取り方に依存する（問題 1.1）。

定義 1.16（単連結, simply connected）弧状連結で、ある（したがって任意の）点 $x_0$ について $\pi_1(X, x_0) = 1$ となる空間を単連結という。

注意 1.17 $X$ が単連結なら、始点と終点が同じ任意の二つの道 $f, g$ は道ホモトピックである。実際 $f \cdot \bar{g}$ はループなので $f \simeq f \cdot \bar{g} \cdot g \simeq g$。

1.4 誘導準同型と関手性

写像は群の準同型を誘導し、その対応は合成と両立する。

命題 1.18（関手性）写像 $\varphi\colon X \to Y$ が $\varphi(x_0) = y_0$ を満たすとする（基点付き写像といい $\varphi\colon (X, x_0) \to (Y, y_0)$ と書く）。$\varphi_{\ast}[f] = [\varphi \circ f]$ は準同型 $\varphi_{\ast}\colon \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0)$ を定め、次が成り立つ。

1. $(\psi \circ \varphi)_{\ast} = \psi_{\ast} \circ \varphi_{\ast}$、$(\mathrm{id}_X)_{\ast} = \mathrm{id}$
2. ホモトピー $\varphi_t\colon X \to Y$ がすべての $t$ で $\varphi_t(x_0) = y_0$ を満たすなら、$(\varphi_0)_{\ast} = (\varphi_1)_{\ast}$

証明. $F$ が道ホモトピーなら $\varphi \circ F$ も道ホモトピーなので well-defined。$\varphi \circ (f \cdot g) = (\varphi \circ f) \cdot (\varphi \circ g)$ より準同型。(1) は定義から明らか。(2) $\varphi_t \circ f$ は $\varphi_0 \circ f$ から $\varphi_1 \circ f$ への道ホモトピーである。$\square$

圏論の言葉では、$\pi_1$ は基点付き空間の圏から群の圏への関手 (functor) である（12-category-homological-algebra 第1章）。

補題 1.19 $\varphi_t\colon X \to Y$ をホモトピーとし、$h(t) = \varphi_t(x_0)$ とおく（$h$ は $\varphi_0(x_0)$ から $\varphi_1(x_0)$ への道）。このとき $(\varphi_0)_{\ast} = \beta_h \circ (\varphi_1)_{\ast}$ である。

証明. $h_t(u) = h(tu)$ を「$h$ の $[0, t]$ の部分」とする。$x_0$ でのループ $f$ に対し、$G_t = h_t \cdot (\varphi_t \circ f) \cdot \bar{h}_t$（括弧は左から）とおく。具体的には

であり、$s = 1/4, 1/2$ で値が $h(t)$ に一致するので連続である。$G(0, t) = G(1, t) = h(0)$ だから $G$ は $c \cdot (\varphi_0 \circ f) \cdot c$ から $h \cdot (\varphi_1 \circ f) \cdot \bar{h}$ への道ホモトピーである。よって $[\varphi_0 \circ f] = \beta_h[\varphi_1 \circ f]$。$\square$

図で言えば、正方形 $I \times I$ の底辺に $\varphi_0 \circ f$、上辺に $\varphi_1 \circ f$、左右の辺にともに $h$ が現れ、正方形全体を $G$ が埋めている、という状況である。

定理 1.20（ホモトピー不変性）$\varphi\colon X \to Y$ がホモトピー同値写像ならば、任意の $x_0 \in X$ について $\varphi_{\ast}\colon \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0))$ は同型である。

証明. $\psi$ をホモトピー逆写像とする。$\psi \varphi \simeq \mathrm{id}_X$ と補題 1.19 より $(\psi \varphi)_{\ast} = \psi_{\ast} \varphi_{\ast}\colon \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(X, \psi\varphi(x_0))$ は同型 $\beta_h$ に等しい。よって $\psi_{\ast}\colon \pi_1(Y, \varphi(x_0)) \to \pi_1(X, \psi\varphi(x_0))$ は全射である。同様に $\varphi \psi \simeq \mathrm{id}_Y$ から、$\varphi_{\ast} \psi_{\ast}\colon \pi_1(Y, \varphi(x_0)) \to \pi_1(Y, \varphi\psi\varphi(x_0))$ が同型なので、同じ $\psi_{\ast}$ は単射である。したがって $\psi_{\ast}$ は同型で、$\varphi_{\ast} = \psi_{\ast}^{-1} \circ (\psi_{\ast} \varphi_{\ast})$ も同型である。$\square$

系 1.21

1. 可縮な空間は単連結である。
2. $A$ が $X$ のレトラクトなら、包含写像は単射 $i_{\ast}\colon \pi_1(A, a) \to \pi_1(X, a)$ を誘導する。
3. $A$ が $X$ の変位レトラクトなら、$i_{\ast}$ は同型である。

証明. (1) 定理 1.20 より基本群は自明。$\mathrm{id}_X \simeq c_{x_0}$ のホモトピー $F$ について $t \mapsto F(x, t)$ が $x$ と $x_0$ を結ぶので弧状連結。(2) $r_{\ast} i_{\ast} = (r i)_{\ast} = \mathrm{id}$ による。(3) 定理 1.20 による。$\square$

例 1.7 より $\pi_1(\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace)$ やメビウスの帯の基本群は $\pi_1(S^1)$ と同型である。

1.5 円周の基本群

$S^1 = \lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \rbrace$ とし、基点を $x_0 = (1, 0)$ とする。鍵になるのは写像

である（らせん $s \mapsto (\cos 2\pi s, \sin 2\pi s, s)$ の真下への射影と思うとよい）。

補題 1.22 $U_1 = S^1 \setminus \lbrace (1, 0) \rbrace$, $U_2 = S^1 \setminus \lbrace (-1, 0) \rbrace$ とおくと

$$p^{-1}(U_1) = \bigsqcup_{n \in \mathbb{Z}} (n, n + 1), \qquad p^{-1}(U_2) = \bigsqcup_{n \in \mathbb{Z}} (n - 1/2, n + 1/2)$$

であり、$p$ は右辺の各開区間を $U_1$ または $U_2$ の上へ同相に写す。

証明. 集合の等式は $p(s) = (1, 0) \Leftrightarrow s \in \mathbb{Z}$、$p(s) = (-1, 0) \Leftrightarrow s \in 1/2 + \mathbb{Z}$ から従う。$p$ は各区間上で全単射で、逆写像は偏角の連続な分枝（たとえば $(x, y) \mapsto n + \frac{1}{\pi} \arctan \frac{y}{1 + x}$）である。$\square$

写像 $F\colon Y \to S^1$ に対し、$p \circ \tilde{F} = F$ となる写像 $\tilde{F}\colon Y \to \mathbb{R}$ を $F$ の持ち上げ (lift) という。

補題 1.23（持ち上げの一意性）$Y$ が連結で、$\tilde{F}_1, \tilde{F}_2\colon Y \to \mathbb{R}$ が同じ写像の持ち上げであり、ある一点で一致するならば、$\tilde{F}_1 = \tilde{F}_2$ である。

証明. $p(a) = p(b) \Leftrightarrow a - b \in \mathbb{Z}$ なので、$\tilde{F}_1 - \tilde{F}_2$ は整数値の連続関数である。$Y$ は連結だから定数であり、一点で 0 なので恒等的に 0 である。$\square$

補題 1.24（ホモトピーの持ち上げ）写像 $F\colon I \times I \to S^1$ と $p(\tilde{x}) = F(0, 0)$ を満たす $\tilde{x} \in \mathbb{R}$ に対し、$F$ の持ち上げ $\tilde{F}\colon I \times I \to \mathbb{R}$ で $\tilde{F}(0, 0) = \tilde{x}$ となるものがただ一つ存在する。特に（$F(s, t) = f(s)$ に適用して $t = 0$ に制限すれば）任意の道 $f\colon I \to S^1$ は、始点の持ち上げを指定するとただ一通りに持ち上がる。

証明. 一意性は補題 1.23 による。存在を示す。$I \times I$ はコンパクト距離空間なので、開被覆 $\lbrace F^{-1}(U_1), F^{-1}(U_2) \rbrace$ のルベーグ数を考えれば、$N$ を十分大きくとって、小正方形

の各々が $F$ で $U_1$ または $U_2$ に写るようにできる。正方形を下の行から順に、各行では左から右へ $R_{11}, R_{21}, \dots, R_{N1}, R_{12}, \dots, R_{NN}$ と並べ、この順に $\tilde{F}$ を定義していく。

すでに処理した正方形の和集合を $K$、次の正方形を $R = R_{ij}$、$F(R) \subset U$（$U = U_1$ または $U_2$）とする。$R \cap K$ は $R$ の下辺（$j > 1$ のとき）と左辺（$i > 1$ のとき）の和であり（右下の正方形 $R_{i+1, j-1}$ とは下辺上の一点で交わるだけ）、連結である。$\tilde{F}(R \cap K)$ は $p^{-1}(U)$ の連結部分集合なので、補題 1.22 の互いに素な開区間のうちの一つ $J$ に含まれる。そこで $R$ 上で $\tilde{F} = (p\vert_J)^{-1} \circ F$ と定める。$R \cap K$ 上では、以前の $\tilde{F}$ も $J$ に値をとり $p$ で $F$ に写るので、$p\vert_J$ の単射性から新しい定義と一致する。貼り合わせの補題により $\tilde{F}$ は $K \cup R$ 上で連続である。最初の正方形 $R_{11}$ では $\tilde{x}$ を含む区間を $J$ とする。$N^2$ 回の操作で $I \times I$ 全体で $\tilde{F}$ が定まる。$\square$

定理 1.25 $\pi_1(S^1, x_0) \cong \mathbb{Z}$ である。$\omega_n(s) = (\cos 2\pi n s, \sin 2\pi n s)$ とおくと、同型は $[\omega_n] \leftrightarrow n$ で与えられ、$[\omega_1]$ が生成元である。

証明. $x_0$ でのループ $f$ に対し、$\tilde{f}(0) = 0$ となる持ち上げ $\tilde{f}$ をとる（補題 1.24）。$p(\tilde{f}(1)) = x_0$ より $\tilde{f}(1) \in \mathbb{Z}$ である。$\deg f = \tilde{f}(1)$ とおき、これを $f$ の写像度（回転数）という。

道ホモトピー不変性. $F$ を $f$ から $g$ への道ホモトピーとし、$\tilde{F}(0, 0) = 0$ となる持ち上げ $\tilde{F}$ をとる。$t \mapsto \tilde{F}(0, t)$, $t \mapsto \tilde{F}(1, t)$ は定値の道の持ち上げなので定数（補題 1.23）。よって $s \mapsto \tilde{F}(s, 0)$, $s \mapsto \tilde{F}(s, 1)$ はそれぞれ $0$ から始まる $f$, $g$ の持ち上げ $\tilde{f}$, $\tilde{g}$ であり、$\tilde{f}(1) = \tilde{F}(1, 0) = \tilde{F}(1, 1) = \tilde{g}(1)$。したがって $\deg\colon \pi_1(S^1, x_0) \to \mathbb{Z}$ が定まる。

準同型. $m = \deg f$ とする。$p(m + s) = p(s)$ なので $m + \tilde{g}$ は $m$ から始まる $g$ の持ち上げであり、道 $\tilde{f} \cdot (m + \tilde{g})$ は $0$ から始まる $f \cdot g$ の持ち上げで、終点は $m + \deg g$。よって $\deg(f \cdot g) = \deg f + \deg g$。

全射. $\tilde{\omega}_n(s) = ns$ は $\omega_n$ の持ち上げなので $\deg \omega_n = n$。

単射. $\deg f = 0$ なら $\tilde{f}$ は $\mathbb{R}$ 内の $0$ でのループであり、$\tilde{F}(s, t) = (1 - t) \tilde{f}(s)$ は $\tilde{f}$ から $c_0$ への道ホモトピーである。$p \circ \tilde{F}$ は $f$ から $c_{x_0}$ への道ホモトピーなので $[f] = 1$。

以上より $\deg$ は同型で、$\deg \omega_n = n$ から主張の対応を得る。$\square$

複素関数論の回転数 $\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{dz}{z}$（05-complex-analysis 第2章）は $\gamma / \lvert \gamma \rvert$ の写像度に一致する。

1.6 応用：不動点定理と代数学の基本定理

定理 1.26 $S^1$ は $D^2$ のレトラクトでない。すなわち、$S^1$ 上で恒等写像となる写像 $r\colon D^2 \to S^1$ は存在しない。

証明. そのような $r$ があれば、包含写像 $i\colon S^1 \to D^2$ について $r \circ i = \mathrm{id}_{S^1}$ だから、$r_{\ast} \circ i_{\ast} = \mathrm{id}$ が $\pi_1(S^1, x_0) \cong \mathbb{Z}$ 上で成り立つ。ところが $i_{\ast}$ は $\pi_1(D^2, x_0) = 1$（例 1.14）を経由するので $r_{\ast} \circ i_{\ast}$ は自明な準同型であり、矛盾する。$\square$

定理 1.27（ブラウアーの不動点定理, 2 次元）任意の写像 $h\colon D^2 \to D^2$ は不動点をもつ。

証明. すべての $x$ で $h(x) \neq x$ と仮定し、$u(x) = x - h(x) \neq 0$ とおく。$h(x)$ から $x$ へ向かう半直線が $S^1$ と交わる点を $r(x)$ とする。式で書けば、$r(x) = x + \lambda(x) u(x)$ であり、$\lambda(x) \geq 0$ は $\lVert x + \lambda u \rVert^2 = 1$、すなわち $\lVert u \rVert^2 \lambda^2 + 2 \langle x, u \rangle \lambda + \lVert x \rVert^2 - 1 = 0$ の根

である（$\lVert x \rVert \leq 1$ より根号の中は $\langle x, u \rangle^2$ 以上なので $\lambda(x) \geq 0$）。$\lambda$ は連続なので $r\colon D^2 \to S^1$ は連続である。$x \in S^1$ なら、コーシー–シュワルツの不等式より $\langle x, u \rangle = 1 - \langle x, h(x) \rangle \geq 0$、また $1 - \lVert x \rVert^2 = 0$ なので $\lambda(x) = 0$、すなわち $r(x) = x$。これは定理 1.26 に矛盾する。$\square$

定理 1.28（代数学の基本定理）次数 $n \geq 1$ の複素係数多項式は $\mathbb{C}$ に根をもつ。

証明. $\mathbb{R}^2 = \mathbb{C}$ と同一視し、$S^1 = \lbrace z \in \mathbb{C} \mid \lvert z \rvert = 1 \rbrace$、基点を $1$ とする。このとき $\omega_n(s) = e^{2\pi i n s}$ である。最高次の係数で割って $p(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0$ としてよい。$p$ が根をもたないと仮定する。$r \geq 0$ に対し

とおくと、$f_r$ は $1$ でのループで $(s, r) \mapsto f_r(s)$ は連続だから、$f_r$ は定値ループ $f_0$ に道ホモトピックで $[f_r] = 1$ である。

次に $r > \max \lbrace 1, \lvert a_{n-1} \rvert + \cdots + \lvert a_0 \rvert \rbrace$ を固定する。$\lvert z \rvert = r$ なら

なので、$t \in I$ について $p_t(z) = z^n + t(a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0)$ は円 $\lvert z \rvert = r$ 上に根をもたない。$f_r$ の式の $p$ を $p_t$ に置き換えたものは、$t = 1$ で $f_r$、$t = 0$ で $(r^n e^{2\pi i n s} / r^n) / 1 = \omega_n(s)$ となる道ホモトピーである。よって $[\omega_n] = [f_r] = 1$ となり、定理 1.25 より $n = 0$。これは $n \geq 1$ に反する。$\square$

1.7 積空間の基本群

命題 1.29 $\pi_1(X \times Y, (x_0, y_0)) \cong \pi_1(X, x_0) \times \pi_1(Y, y_0)$ である。同型は射影 $p_X, p_Y$ の誘導準同型の組 $[f] \mapsto ([p_X \circ f], [p_Y \circ f])$ で与えられる。

証明. 写像 $g\colon Z \to X \times Y$ の連続性は $p_X \circ g$, $p_Y \circ g$ の連続性と同値なので、$X \times Y$ のループは $X$ のループと $Y$ のループの組と一対一に対応し、道ホモトピーも道ホモトピーの組と一対一に対応する。これより与えられた写像（準同型の組なので準同型）は全単射である。$\square$

例 1.30 $\pi_1(T^n) \cong \mathbb{Z}^n$（$T^n = (S^1)^n$）。$\pi_1(T^2)$ の生成元は「経線」と「緯線」である。ソリッドトーラス $S^1 \times D^2$ の基本群は $\mathbb{Z}$。

1.8 高次元の球面は単連結である

定理 1.31 $n \geq 2$ ならば $S^n$ は単連結である。

証明. 素朴に「ループが通らない点から立体射影する」ことはできない（全射なループがある）ので、まずループを修正する。$S^n$ は弧状連結である。基点を $x_0$、$f$ を $x_0$ でのループとし、$q = -x_0$ とおく。

とおく（$q$ を中心とする球帽）。$\phi(x) = x - \langle x, q \rangle q$ は $\overline{B}$ から $q^{\perp} \cong \mathbb{R}^n$ 内の閉球 $E = \lbrace y \in q^{\perp} \mid \lVert y \rVert \leq \sqrt{3}/2 \rbrace$ への同相写像（逆写像は $y \mapsto y + \sqrt{1 - \lVert y \rVert^2}\ q$）で、$q$ を中心 $0$ に、$\partial B$ を球面 $\lVert y \rVert = \sqrt{3}/2$ に写す。特に $\partial B$ は $S^{n-1}$ と同相で、$n \geq 2$ より弧状連結である。