ポアンカレ双対性

この章の目標

• 多様体の局所ホモロジーを用いて向き付けを定義し、向き付け二重被覆との関係を理解する
• 閉多様体の基本類の存在（主張）とキャップ積を理解する
• ポアンカレ双対定理を正確に述べ、オイラー標数・交叉形式・射影空間のコホモロジー環に応用できる
• レフシェッツ双対・アレクサンダー双対・ド・ラームの定理の主張を知る

前提：第3章、第5章、第6章。07-manifolds 第6章（向き付け）、第7章があれば理解が深まる。

7.1 動機

これまでに計算した閉曲面や射影空間のベッチ数（ホモロジーの階数）を並べてみる。

いずれも $b_k = b_{n-k}$ という対称性をもつ。これは偶然ではない。閉多様体を三角形分割し、各 $k$ 単体に、それと「直交する」$(n-k)$ 次元の双対胞体を対応させると、多様体の別の胞体分割が得られる。$k$ 胞体と $(n-k)$ 胞体が入れ替わるので、一方の胞体鎖複体は他方の双対鎖複体になり、$H^k \cong H_{n-k}$ が期待される。ポアンカレはこのように考えた。本章ではこのポアンカレ双対性を、向き付けの概念とともに正確に定式化する。

7.2 局所ホモロジーと向き付け

本章で $n$ 次元多様体とは、各点が $\mathbb{R}^n$ と同相な開近傍をもつハウスドルフかつ第二可算な空間とし、コンパクトなものを閉多様体という（境界は考えない）。以下、閉多様体のホモロジーは有限生成であることを用いる（コンパクト多様体は有限 CW 複体とホモトピー同値であることが知られており、滑らかな閉多様体は三角形分割をもつ）。

$x \in M$ のまわりの座標近傍 $U \cong \mathbb{R}^n$ をとると、切除定理と定理 5.5 の証明から

である。$\mathbb{R}^n$ の向き（右手系か左手系か）は、線形同型の行列式の符号で区別された。位相多様体では微分が使えないので、この生成元の選択を向きとみなす。

定義 7.1（向き付け, orientation）$H_n(M, M \setminus \lbrace x \rbrace) \cong \mathbb{Z}$ の生成元 $\mu_x$ を $x$ における局所向きという。各点に局所向きを対応させる関数 $x \mapsto \mu_x$ が次を満たすとき向き付けという：各点 $x$ に対し、$x$ を含む座標近傍 $U \cong \mathbb{R}^n$ の中の有界な開球 $B \ni x$ と、元 $\mu_B \in H_n(M, M \setminus B) \cong \mathbb{Z}$ で、$\mu_B$ の像がすべての $y \in B$ について $\mu_y$ になる（像は自然な写像 $H_n(M, M \setminus B) \to H_n(M, M \setminus \lbrace y \rbrace)$ によるもので、これは同型である）ものが存在する。向き付けが存在する多様体を向き付け可能という。

可換環 $R$ について、$H_n(M, M \setminus \lbrace x \rbrace; R) \cong R$ の生成元（$R$ の単元に対応）を用いれば $R$ 向き付けが同様に定義される。$\mathbb{Z}/2$ の単元は $1$ だけなので、すべての多様体は $\mathbb{Z}/2$ 向き付け可能である。

局所向きの全体 $\tilde{M} = \lbrace \mu_x \mid x \in M, \mu_x \text{ は } x \text{ における局所向き} \rbrace$ に、$U(\mu_B) = \lbrace \mu_y \mid y \in B, \mu_y \text{ は } \mu_B \text{ の像} \rbrace$ を開基とする位相を入れると、$p(\mu_x) = x$ は 2 葉の被覆写像になる（各 $B$ は $U(\mu_B) \sqcup U(-\mu_B)$ で均一に被覆される）。これを向き付け二重被覆という。向き付けとは連続な切断 $M \to \tilde{M}$ のことなので、次がわかる。

命題 7.2 $M$ を連結な多様体とする。$M$ が向き付け可能であることと、$\tilde{M}$ が二つの連結成分をもつことは同値である。特に $\pi_1(M)$ が指数 2 の部分群をもたなければ（たとえば $M$ が単連結なら）、$M$ は向き付け可能である。

証明. 向き付け $s\colon M \to \tilde{M}$ があれば、$s(M)$ と $-s(M)$ は $\tilde{M}$ を二つの開集合に分ける。逆に $\tilde{M}$ が連結でなければ、各成分は 1 葉の被覆、すなわち $p$ で $M$ と同相に写り、その逆写像が向き付けを与える。後半：$\tilde{M}$ が連結なら連結な 2 葉被覆なので、定理 3.16 より $\pi_1(M)$ は指数 2 の部分群をもつ（多様体は局所弧状連結・半局所単連結）。$\square$

7.3 基本類

定理 7.3（基本類の存在）$M$ を連結な閉 $n$ 次元多様体とする。

1. $M$ が $R$ 向き付け可能なら、すべての $x$ について $H_n(M; R) \to H_n(M, M \setminus \lbrace x \rbrace; R) \cong R$ は同型である。
2. $M$ が向き付け不可能なら $H_n(M; \mathbb{Z}) = 0$ である。
3. $k > n$ なら $H_k(M; R) = 0$ である。

証明の概略. コンパクト集合 $K \subset M$ について、「$R$ 向き付け $x \mapsto \mu_x$ が与えられれば、すべての $x \in K$ で $\mu_x$ に写る $\mu_K \in H_n(M, M \setminus K; R)$ がただ一つ存在し、$k > n$ なら $H_k(M, M \setminus K; R) = 0$」を示す。座標近傍内の凸なコンパクト集合では直接の計算、その有限和ではマイヤー–ヴィートリス完全列による帰納法、一般のコンパクト集合では極限をとる議論で示される。$K = M$ とすれば (1), (3) を得る。(2) も同様の議論による。詳細は Hatcher, 補題 3.27 と定理 3.26。$\square$

定義 7.4（基本類, fundamental class）$R$ 向き付けされた連結閉多様体 $M$ について、すべての $x$ で局所向き $\mu_x$ に写る $H_n(M; R)$ の元を基本類といい $[M]$ と書く。

例 7.5

1. 定理 7.3 より、連結閉多様体 $M$ が向き付け可能であることと $H_n(M; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$ であることは同値である。$H_2(M_g) \cong \mathbb{Z}$、$H_2(N_h) = 0$ より、$M_g$ は向き付け可能で $N_h$（射影平面・クラインの壺など）は向き付け不可能である。$[M_g]$ は 2 胞体（例 4.5 のトーラスでは基本輪体 $U - L$）で代表される。
2. 例 5.16 より、$\mathbb{R}P^n$ が向き付け可能であるのは $n$ が奇数のときに限る。$\mathbb{Z}/2$ 係数ではつねに $[\mathbb{R}P^n] \in H_n(\mathbb{R}P^n; \mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{Z}/2$ がある。
3. $S^n$（$n \geq 2$）と $\mathbb{C}P^n$ は単連結なので向き付け可能である（$\mathbb{C}P^n$ の単連結性は、胞体が偶数次元にしかないことと命題 2.15 からわかる）。$T^n$ も $H_n(T^n) \cong \mathbb{Z}$（キュネットの公式）より向き付け可能である。

向き付けられた連結閉 $n$ 次元多様体の間の写像 $f\colon M \to N$ について、$f_{\ast}[M] = d\ [N]$ となる整数 $d$ を $f$ の写像度という。$M = N = S^n$ なら 5.4 節の写像度と一致する。

7.4 キャップ積

定義 7.6（キャップ積, cap product）$\sigma\colon \Delta^k \to X$ と $\varphi \in C^l(X; R)$（$l \leq k$）に対し

$$\sigma \frown \varphi = \varphi\left( \sigma\vert_{[e_0, \dots, e_l]} \right) \sigma\vert_{[e_l, \dots, e_k]} \in C_{k-l}(X; R)$$

と定め、$C_k(X; R)$ 上に線形に拡張する。

直接の計算で $\partial(\sigma \frown \varphi) = (-1)^l (\partial \sigma \frown \varphi - \sigma \frown \delta \varphi)$ が確かめられる。よって輪体と余輪体のキャップ積は輪体であり、キャップ積は $H_k(X; R) \times H^l(X; R) \to H_{k-l}(X; R)$ を誘導する。定義からすぐに次がわかる。

命題 7.7 (1) $\psi \in C^{k-l}(X; R)$ について $\psi(\sigma \frown \varphi) = (\varphi \smile \psi)(\sigma)$。したがってコホモロジーで $\langle \beta, a \frown \alpha \rangle = \langle \alpha \smile \beta, a \rangle$（$\langle \gamma, a \rangle$ は余輪体を輪体で評価する対）。(2) 写像 $f\colon X \to Y$ について $f_{\ast}(a) \frown \alpha = f_{\ast}(a \frown f^{\ast} \alpha)$。

7.5 ポアンカレ双対定理

定理 7.8（ポアンカレ双対定理, Poincaré duality）$M$ を $R$ 向き付けされた閉 $n$ 次元多様体、$[M]$ を基本類とする（非連結なら各成分の基本類の和）。このとき

$$D\colon H^k(M; R) \to H_{n-k}(M; R), \qquad D(\alpha) = [M] \frown \alpha$$

はすべての $k$ について同型である。

証明の概略. 非コンパクトな多様体も含めて、コンパクト台コホモロジー $H^k_c(M; R)$（コンパクト集合 $K$ についての $H^k(M, M \setminus K; R)$ の帰納極限）から $H_{n-k}(M; R)$ への双対写像 $D_M$（$\mu_K \frown$ で定める）が同型であることを示す。閉多様体では $H^k_c = H^k$ である。(i) $M = \mathbb{R}^n$ では直接計算できる。(ii) 開集合 $U, V$ と $U \cap V$ で成り立てば $U \cup V$ でも成り立つ（$H_c$ と $H$ のマイヤー–ヴィートリス完全列を $D$ が符号を除いて可換に結ぶので、補題 4.20 を使う）。(iii) 開集合の増大列の和でも成り立つ（帰納極限をとる）。(i)–(iii) を組み合わせて、$\mathbb{R}^n$ の開集合、さらに一般の多様体へと広げる。詳細は Hatcher, 定理 3.35。$\square$

系 7.9 $M$ を連結な閉 $n$ 次元多様体、$F$ を体とし、$M$ は $F$ 向き付け可能とする（$F = \mathbb{Z}/2$ ならつねに成り立つ）。

1. $\dim_F H_k(M; F) = \dim_F H_{n-k}(M; F)$。
2. カップ積による対 $H^k(M; F) \times H^{n-k}(M; F) \to F$, $(\alpha, \beta) \mapsto \langle \alpha \smile \beta, [M] \rangle$ は非退化である。すなわち $\alpha \neq 0$ なら $\langle \alpha \smile \beta, [M] \rangle \neq 0$ となる $\beta$ がある。
3. $M$ が向き付け可能なら、整数係数でも、ねじれ部分群で割った $H^k(M; \mathbb{Z})/\mathrm{tors} \times H^{n-k}(M; \mathbb{Z})/\mathrm{tors} \to \mathbb{Z}$ はユニモジュラー（一方の基底に対する行列が $\mathbb{Z}$ 上可逆）である。

証明. (1) 系 6.6 (2) より $H^k(M; F) \cong \operatorname{Hom}_F(H_k(M; F), F)$ で、有限次元なので次元は等しい。これと定理 7.8 による。(2) 命題 7.7 (1) より $\langle \alpha \smile \beta, [M] \rangle = \langle \beta, D(\alpha) \rangle$。$\alpha \mapsto \langle \alpha \smile -, [M] \rangle$ は、同型 $D\colon H^k \to H_{n-k}$ と、$H_{n-k}$ から $\operatorname{Hom}_F(H^{n-k}, F)$ への同型（普遍係数定理による $H^{n-k} \cong \operatorname{Hom}_F(H_{n-k}, F)$ の双対）の合成なので同型である。(3) 同様に、$H^{n-k}/\mathrm{tors} \cong \operatorname{Hom}(H_{n-k}, \mathbb{Z})$ と定理 7.8 から従う。$\square$

整数係数では、普遍係数定理と合わせると、閉向き付け可能多様体の $H_k$ と $H_{n-k}$ の自由部分の階数が等しく、$H_k$ のねじれ部分群と $H_{n-k-1}$ のねじれ部分群が同型であることもわかる。

たとえば例 6.16 の $M_g$ の基底 $\alpha_1, \beta_1, \dots, \alpha_g, \beta_g$ について、$\alpha_i$ と対をなして非零になるのは $\beta_i$ だけであり、カップ積の対 $H^1 \times H^1 \to \mathbb{Z}$ の行列は

を $g$ 個対角に並べたもの（行列式 $1$）である。これは系 7.9 (3) のユニモジュラー性の具体例である。

7.6 応用

定理 7.10 奇数次元の閉多様体 $M$ のオイラー標数は $0$ である。

証明. 定理 5.19 の証明は、胞体鎖複体に $\mathbb{Z}/2$ をテンソルした鎖複体（$\mathbb{Z}/2$ 上の有限次元ベクトル空間の鎖複体）にもそのまま使え、$\chi(M) = \sum_k (-1)^k \dim H_k(M; \mathbb{Z}/2)$ を得る。系 7.9 (1)（$F = \mathbb{Z}/2$）より $\dim H_k = \dim H_{n-k}$ で、$n$ が奇数なら $k$ と $n - k$ の偶奇が異なるので、交代和の項は対ごとに打ち消し合う。$\square$

偶数次元では $\chi(S^{2k}) = 2$、$\chi(M_g) = 2 - 2g$ のように 0 とは限らない。

次に第6章の定理 6.15 を証明する。

定理 7.11 (1) $H^{\ast}(\mathbb{C}P^n; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})$（$\alpha$ は次数 2）。(2) $H^{\ast}(\mathbb{R}P^n; \mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{Z}/2[\alpha]/(\alpha^{n+1})$（$\alpha$ は次数 1）。

証明. (1) $n$ についての帰納法。$n = 1$ では $\mathbb{C}P^1 = S^2$ で明らか。$\mathbb{C}P^n = \mathbb{C}P^{n-1} \cup e^{2n}$ で $H^k(\mathbb{C}P^n, \mathbb{C}P^{n-1}) \cong \tilde{H}^k(S^{2n}) = 0$（$k < 2n$）なので、長完全列より包含写像は $k \leq 2n - 2$ で同型 $H^k(\mathbb{C}P^n) \cong H^k(\mathbb{C}P^{n-1})$ を誘導する。これは環準同型なので、帰納法の仮定から、$H^2(\mathbb{C}P^n)$ の生成元 $\alpha$ について $\alpha^k$ は $k \leq n - 1$ で $H^{2k}(\mathbb{C}P^n) \cong \mathbb{Z}$ を生成する。$\mathbb{C}P^n$ は向き付け可能でねじれがないので、系 7.9 (3) より $H^2 \times H^{2n-2} \to \mathbb{Z}$ はユニモジュラーであり、生成元どうしの値 $\langle \alpha \smile \alpha^{n-1}, [\mathbb{C}P^n] \rangle$ は $\pm 1$ である。よって $\alpha^n$ は $H^{2n}(\mathbb{C}P^n) \cong \mathbb{Z}$ を生成する。$H^{\ast}$ は $\alpha^0, \dots, \alpha^n$ を基底とする自由加群で、$\alpha^{n+1} = 0$ である。(2) $\mathbb{Z}/2$ 係数で同じ議論を行う（$H^k(\mathbb{R}P^n; \mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{Z}/2$、$0 \leq k \leq n$、例 6.7。$n = 1$ では $\mathbb{R}P^1 = S^1$ で明らか）。ただし $\mathbb{R}P^n = \mathbb{R}P^{n-1} \cup e^n$ なので、長完全列から包含写像が誘導する $H^k(\mathbb{R}P^n; \mathbb{Z}/2) \to H^k(\mathbb{R}P^{n-1}; \mathbb{Z}/2)$ は $k \leq n - 2$ で同型、$k = n - 1$ では（$H^{n-1}(\mathbb{R}P^n, \mathbb{R}P^{n-1}; \mathbb{Z}/2) \cong \tilde{H}^{n-1}(S^n; \mathbb{Z}/2) = 0$ より）単射であり、両辺とも $\mathbb{Z}/2$ なのでやはり同型である。よって帰納法の仮定から $\alpha^k$（$k \leq n - 1$）が $H^k(\mathbb{R}P^n; \mathbb{Z}/2)$ を生成する。系 7.9 (2) を $F = \mathbb{Z}/2$ で使うと、$H^1 \times H^{n-1} \to \mathbb{Z}/2$ は非退化なので $\langle \alpha \smile \alpha^{n-1}, [\mathbb{R}P^n] \rangle \neq 0$、すなわち $\alpha^n \neq 0$ が $H^n(\mathbb{R}P^n; \mathbb{Z}/2)$ を生成する。$\square$

$n \to \infty$ として、$H^{\ast}(\mathbb{C}P^\infty; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[\alpha]$、$H^{\ast}(\mathbb{R}P^\infty; \mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{Z}/2[\alpha]$ も得られる。

定義 7.12（交叉形式と符号数）$M$ を向き付けられた閉 $4k$ 次元多様体とする。$Q_M(\alpha, \beta) = \langle \alpha \smile \beta, [M] \rangle$ は $H^{2k}(M; \mathbb{Z})/\mathrm{tors}$ 上の対称な（次数 $2k$ が偶数なので定理 6.12 より $\alpha\beta = \beta\alpha$）ユニモジュラーな双線形形式であり、交叉形式 (intersection form) という。実係数に拡張した対称形式の符号 $b^+ - b^-$（正の固有値の個数と負の固有値の個数の差）を $M$ の符号数 (signature) $\sigma(M)$ という。

「交叉」の名前は、滑らかな場合に $\alpha, \beta$ のポアンカレ双対である $2k$ 次元部分多様体どうしの交点を符号付きで数えたものが $Q_M(\alpha, \beta)$ になることに由来する。

例 7.13

1. $\mathbb{C}P^2$ では $H^2 = \mathbb{Z}\alpha$、$\langle \alpha^2, [\mathbb{C}P^2] \rangle = \pm 1$ で、向きを選べば $Q = (1)$、$\sigma = 1$。
2. $S^2 \times S^2$ では、キュネットの公式より $H^2$ の基底 $a = x \times 1$, $b = 1 \times y$ について $a^2 = b^2 = 0$、$ab$ は $H^4$ の生成元なので、交叉形式の行列は

で $\sigma = 0$。 3. 向きを逆にすると $[M]$ が $-[M]$ になり、$Q$ は $-Q$、$\sigma$ は $-\sigma$ になる。したがって $\sigma(M) \neq 0$ なら、$M$ には向きを逆にする（$f_{\ast}[M] = -[M]$ となる）自己同相写像は存在しない。たとえば $\mathbb{C}P^2$ がそうである。

7.7 レフシェッツ双対とアレクサンダー双対

境界をもつ多様体や、球面の部分集合についても双対定理がある（証明は Hatcher, 定理 3.43 と定理 3.44 を参照）。

定理 7.14（レフシェッツ双対定理）$M$ を $R$ 向き付けされた境界付きコンパクト $n$ 次元多様体とすると、基本類 $[M] \in H_n(M, \partial M; R)$ とのキャップ積により、$H^k(M; R) \cong H_{n-k}(M, \partial M; R)$ および $H^k(M, \partial M; R) \cong H_{n-k}(M; R)$ が成り立つ。

たとえば $M = D^n$ では $H^0(D^n) \cong H_n(D^n, S^{n-1}) \cong \mathbb{Z}$ である。応用として、閉多様体 $N$ がコンパクト多様体の境界ならば $\chi(N)$ は偶数であることが示される。よって $\mathbb{R}P^{2k}$, $\mathbb{C}P^{2k}$ はどんなコンパクト多様体の境界にもならない。

定理 7.15（アレクサンダー双対定理, Alexander duality）$K \subset S^n$ を空でない真部分集合で、コンパクトかつ局所可縮（たとえば有限 CW 複体と同相）とする。このとき $\tilde{H}_i(S^n \setminus K; \mathbb{Z}) \cong \tilde{H}^{n-i-1}(K; \mathbb{Z})$ である。

$K \cong S^{n-1}$ なら $\tilde{H}_0(S^n \setminus K) \cong \tilde{H}^{n-1}(S^{n-1}) \cong \mathbb{Z}$ なので補集合はちょうど二つの弧状連結成分をもち、ジョルダン–ブラウアーの分離定理（定理 5.23）が再び得られる。$K$ が $S^3$ 内の結び目（$K \cong S^1$）なら、$H_1(S^3 \setminus K) \cong H^1(S^1) \cong \mathbb{Z}$、$H_2(S^3 \setminus K) \cong \tilde{H}^0(S^1) = 0$ であり、補空間のホモロジーは結び目の結ばれ方によらない（問題 4.7）。補空間の位相は $K$ だけでなく埋め込み方に依存するが、そのホモロジーは $K$ のコホモロジーだけで決まるのである。

7.8 ド・ラームの定理

滑らかな多様体 $M$ では、$k$ 次微分形式 $\omega$ を滑らかな特異 $k$ 単体 $\sigma$ 上で積分する写像 $\sigma \mapsto \int_\sigma \omega$ が $k$ 余鎖を与える。ストークスの定理 $\int_\sigma d\omega = \int_{\partial \sigma} \omega$ は、これが微分 $d$ と余境界 $\delta$ を結ぶ鎖写像であることを意味する。

定理 7.16（ド・ラームの定理, de Rham theorem）滑らかな多様体 $M$ について、積分は同型 $H^k_{\mathrm{dR}}(M) \cong H^k(M; \mathbb{R})$ を与え、外積 $\wedge$ をカップ積 $\smile$ に写す。

証明は Bott–Tu の本などを参照（主張のみ）。07-manifolds 第7章で計算したド・ラーム・コホモロジーは、この定理により実係数の特異コホモロジーと一致する。閉じた向き付けられた多様体では、系 7.9 (2) は「$(\alpha, \beta) \mapsto \int_M \alpha \wedge \beta$ が $H^k_{\mathrm{dR}}(M) \times H^{n-k}_{\mathrm{dR}}(M)$ 上の非退化な対である」という形になる。これはリーマン計量を用いたホッジ理論（17-riemannian-geometry 第7章）によって解析的にも証明される。

まとめ

• 多様体の局所ホモロジーは $H_n(M, M \setminus \lbrace x \rbrace) \cong \mathbb{Z}$ で、その生成元の連続な選び方が向き付けである。向き付け二重被覆が連結でないことが向き付け可能性と同値で、単連結な多様体は向き付け可能、すべての多様体は $\mathbb{Z}/2$ 向き付け可能である。
• 連結閉多様体は向き付け可能なら $H_n(M) \cong \mathbb{Z}$（基本類 $[M]$）、不可能なら $H_n(M) = 0$。$\mathbb{R}P^n$ は $n$ が奇数のときだけ向き付け可能。
• キャップ積 $H_k \times H^l \to H_{k-l}$ は $\langle \beta, a \frown \alpha \rangle = \langle \alpha \smile \beta, a \rangle$ でカップ積と結びつく。
• ポアンカレ双対定理：$[M] \frown\colon H^k(M; R) \cong H_{n-k}(M; R)$。体係数でベッチ数が対称になり、カップ積の対 $H^k \times H^{n-k} \to F$ は非退化（整数係数ではねじれを除いてユニモジュラー）。
• 応用：奇数次元閉多様体の $\chi = 0$、$H^{\ast}(\mathbb{C}P^n) = \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})$、$H^{\ast}(\mathbb{R}P^n; \mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2[\alpha]/(\alpha^{n+1})$、$4k$ 次元多様体の交叉形式と符号数。
• レフシェッツ双対（境界付き多様体）、アレクサンダー双対（$\tilde{H}_i(S^n \setminus K) \cong \tilde{H}^{n-i-1}(K)$）、ド・ラームの定理（$H^{\ast}_{\mathrm{dR}}(M) \cong H^{\ast}(M; \mathbb{R})$）。

演習問題