位相幾何学

科目の概要

二つの位相空間が同相でないことを示すのは、同相であることを示すよりずっと難しい。たとえば「 $\mathbb{R}^2$ と $\mathbb{R}^3$ は同相でない」「球面 $S^2$ とトーラス $T^2$ は同相でない」は直観的には明らかだが、すべての連続写像を調べ尽くすことはできない。代数的位相幾何学 (algebraic topology) は、この問題に次の発想で答える。

位相空間 $X$ に群・加群・環などの代数的不変量を対応させる（基本群 $\pi_1(X)$ 、ホモロジー群 $H_n(X)$ 、コホモロジー環 $H^{\ast}(X)$ 、ホモトピー群 $\pi_n(X)$ ）。
連続写像 $f\colon X \to Y$ に準同型 $f_{\ast}$ （または $f^{\ast}$ ）を対応させ、合成を合成に写す（関手性）。
すると同相な空間には同型な不変量が対応するので、「不変量が同型でなければ空間は同相でない」と結論できる。さらに多くの不変量はホモトピーで変わらないので、「連続変形で移り合わない」ことまで示せる。

この発想から、ブラウアーの不動点定理、毛玉の定理、ボルスク–ウラムの定理、 $\mathbb{R}^m \not\cong \mathbb{R}^n$ （ $m \neq n$ ）、代数学の基本定理といった、一見代数とは無関係な定理が統一的に証明される。一方で、不変量の計算そのものが豊かな数学であり、群の表示・完全列・鎖複体といった代数の道具が自然に現れる。実際、ホモロジー代数（12-category-homological-algebra）はこの科目の計算技術を抽象化して生まれた分野である。

代数的位相幾何学の考え方は現代数学のいたるところで使われる。代数幾何学の層コホモロジー、微分幾何学の特性類とド・ラーム理論、リーマン面の一意化、表現論におけるリー群の位相、さらに数論のエタール・コホモロジーに至るまで、「空間に代数的対象を対応させて調べる」という方法の直系の子孫である。

本科目は、基本群と被覆空間（第1〜3章）、特異ホモロジーとその計算（第4〜5章）、コホモロジーとカップ積・ポアンカレ双対性（第6〜7章）、高次ホモトピー群（第8章）を扱う。

前提知識

集合と位相：位相空間と連続写像（03-topology 第2章）、商位相・積位相（第3章）、コンパクト性とルベーグ数の補題（第5章）、連結性・弧状連結性（第6章）。
代数学：群・準同型定理・正規部分群（04-algebra 第2章）、交換子群（第4章）、加群と有限生成アーベル群の構造定理（第7章）。
線形代数：線形写像と商空間（02-linear-algebra 第3章）、テンソル積（第9章、第6章で少し使う）。
あれば望ましい：多様体の定義（07-manifolds 第2章）とド・ラーム・コホモロジー（第7章）。第7章の理解が深まる。

到達目標

[ ] ホモトピー・ホモトピー同値・変位レトラクトの定義を述べ、具体的な空間のホモトピー型を判定できる
[ ] 基本群が群になることを証明し、持ち上げを用いて $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ を証明できる
[ ] ファン・カンペンの定理を用いて、円周のブーケ・射影平面・閉曲面・結び目の補空間の基本群を生成元と関係式で表せる
[ ] 被覆空間の分類定理（基本群の部分群とのガロア対応）を述べ、被覆変換群を計算できる
[ ] 特異ホモロジーの基本性質（ホモトピー不変性・長完全列・切除定理）を説明できる
[ ] マイヤー–ヴィートリス完全列と胞体ホモロジーを用いて、球面・射影空間・閉曲面のホモロジーを計算できる
[ ] 写像度を用いてブラウアーの不動点定理と毛玉の定理を証明できる
[ ] 普遍係数定理でコホモロジーを計算し、カップ積を用いてホモロジーでは区別できない空間を区別できる
[ ] ポアンカレ双対定理を正確に述べ、オイラー標数・交叉形式・射影空間のコホモロジー環に応用できる
[ ] 高次ホモトピー群の基本性質とファイブレーションの長完全列を用いて簡単な計算ができる

章立て

ホモトピーと基本群 — ホモトピー同値と変位レトラクト、基本群の定義と関手性。持ち上げによる $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ の証明と、ブラウアーの不動点定理（2 次元）・代数学の基本定理への応用。
ファン・カンペンの定理 — 自由群・群の表示・自由積と融合積。ファン・カンペンの定理の証明と、ブーケ・射影平面・閉曲面・三葉結び目の補空間への応用。曲面の分類。
被覆空間 — 持ち上げ定理、被覆変換群、普遍被覆の構成、基本群の部分群とのガロア対応。群作用による商と、自由群の部分群への応用（ニールセン–シュライアー）。
特異ホモロジー — 単体ホモロジーによる動機づけ、鎖複体、特異ホモロジーの定義、ホモトピー不変性、長完全列（蛇の補題）、切除定理、 $H_1$ と基本群のアーベル化。
ホモロジーの計算と応用 — マイヤー–ヴィートリス完全列、球面のホモロジー、写像度と毛玉の定理、CW 複体と胞体ホモロジー、オイラー標数、レフシェッツの不動点定理。
コホモロジーとカップ積 — 普遍係数定理（Ext と Tor）、コホモロジーの公理的性質、カップ積とコホモロジー環、キュネットの公式、ボルスク–ウラムの定理。
ポアンカレ双対性 — 多様体の向き付けと基本類、キャップ積、ポアンカレ双対定理、交叉形式と符号数、射影空間のコホモロジー環、アレクサンダー双対とド・ラームの定理。
高次ホモトピー群 — $\pi_n$ の定義と可換性、ファイブレーションの長完全列、ホップファイブレーションと $\pi_3(S^2) \cong \mathbb{Z}$ 、フレヴィッツ・ホワイトヘッドの定理、アイレンベルグ–マクレーン空間、球面のホモトピー群。

章の依存関係はおおよそ次のとおりである。第1章 → 第2章 → 第3章（ホモトピー論の系列）と、第1章 → 第4章 → 第5章 → 第6章 → 第7章（ホモロジー論の系列）はほぼ独立に読める（第4章の最後の節だけは第2章の結果を例に使う）。第8章は両方の系列を使う。

学習時間の目安と進め方

1 章あたり 12〜15 時間（演習を含む）、全体で 100〜120 時間程度を目安とする。
この教材には図がない。貼り合わせ・変位レトラクト・胞体構造の記述を読むときは、必ず自分で図を描くこと。代数的位相幾何学では「図を描けば一目でわかるが、式で書くと長い」議論が多い。本文では図の代わりに言葉と式で丁寧に描写しているので、それを図に翻訳する練習をするとよい。
基本例（円周 $S^1$ 、球面 $S^n$ 、トーラス $T^2$ 、射影空間 $\mathbb{R}P^n$ と $\mathbb{C}P^n$ 、閉曲面 $M_g$ 、円周のブーケ）の不変量を、章が進むたびに表にまとめ直すと、理論どうしのつながりが見える。
深い定理（切除定理・ポアンカレ双対定理・フレヴィッツの定理など）の完全な証明は長い。本教材では証明の方針を示して参考文献に譲った箇所があり、その旨を明記している。最初は主張と使い方を身につけ、二度目に証明を追うのが効率的である。

参考文献

A. Hatcher, Algebraic Topology (Cambridge University Press) — 現在の標準的教科書。幾何的な直観を重視し、例と演習が非常に豊富である。本教材の構成と記法の多くはこの本に合わせている。
W. S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology (Springer) — 曲面の分類・基本群・被覆空間を丁寧に扱ったあと、特異ホモロジーとコホモロジーに進む。第1〜3章の副読本として適する。
J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology (University of Chicago Press) — 圏論的な視点で簡潔に書かれた上級向けの本。一通り学んだあとに全体を見直すのによい。
田村一郎『トポロジー』（岩波書店） — 単体複体のホモロジーを中心に古典的な位相幾何学を解説した、日本語の定番教科書。
中岡稔『位相幾何学―ホモロジー論―』（共立出版） — ホモロジー論を本格的に展開した古典的な教科書。第4〜7章の証明を詳しく知りたいときに参照するとよい。
小島定吉『トポロジー入門』（共立出版） — 基本群・被覆空間・曲面などの入門的な話題を、具体例とともに扱う。
坪井俊『幾何学II ホモロジー入門』（東京大学出版会） — ホモロジーの入門書。計算例が多く、第4〜5章の副読本として適する。
枡田幹也『代数的トポロジー』（朝倉書店） — ホモロジー・コホモロジーを中心とする代数的トポロジーの教科書。
R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology (Springer) — 微分形式を用いて代数的位相幾何学を展開する。第6〜7章とド・ラーム理論の関係を学ぶのに適する。

次に学ぶもの

12-category-homological-algebra 圏論とホモロジー代数 — 鎖複体・完全列・Ext と Tor・スペクトル系列を一般的な枠組みで扱う。特に第5章（導来関手）と第6章（スペクトル系列）。
14-algebraic-geometry 第7章 — 層のコホモロジー。本科目のコホモロジーの考え方が代数幾何で使われる。
17-riemannian-geometry 第6章、第7章 — 特性類とホッジ理論。ポアンカレ双対性とド・ラームの定理の幾何学的な深化。
19-riemann-surfaces 第6章 — 普遍被覆と一意化定理。第3章の被覆空間論が本質的に使われる。
16-lie-groups-representations 第2章 — リー群の基本群と被覆（ $SU(2) \to SO(3)$ の二重被覆）。
20-problems 第6章、第9章 — 位相幾何学を含む総合演習。