修士レベル：解析・幾何

有界連続関数 $\varphi$ による掛け算作用素 $M_\varphi$（$L^2(X, \mu)$, $\mu$ はルベーグ測度）について、$\sigma(M_\varphi) = \overline{\varphi(X)}$ であり、$\lambda$ が固有値 $\Leftrightarrow$ $\mu(\lbrace \varphi = \lambda \rbrace) > 0$ である。実際、$\lambda \notin \overline{\varphi(X)}$ なら $M_{1/(\varphi - \lambda)}$ が有界な逆、$\lambda = \varphi(x_0)$ なら $x_0$ の小さな近傍の定義関数を正規化したものが近似固有ベクトルになり、スペクトルは閉集合である。

(1) $\hat{f}(\xi) = \int f(x)e^{-ix\xi}dx$ とすると $\widehat{Tf}(\xi) = e^{i\xi}\hat{f}(\xi)$。プランシュレルの定理より $(2\pi)^{-1/2}\mathcal{F}$ はユニタリなので、$T$ は $L^2(\mathbb{R})$ 上の $M_{e^{i\xi}}$ にユニタリ同値。よって $T$ はユニタリで、$\sigma(T) = \overline{\lbrace e^{i\xi} \rbrace}$ は単位円周。$\lbrace \xi \mid e^{i\xi} = \lambda \rbrace$ は可算集合で測度 $0$ なので固有値はない。

(2) $U\colon \ell^2(\mathbb{Z}) \to L^2(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \frac{d\theta}{2\pi})$, $x \mapsto \sum x_ne^{in\theta}$ はユニタリ（パーセヴァル）で、$U\Delta x = \sum(x_{n+1} + x_{n-1})e^{in\theta} = (e^{-i\theta} + e^{i\theta})Ux$。よって $\Delta$ は $M_{2\cos\theta}$ にユニタリ同値で、実数値関数による掛け算なので自己共役、$\sigma(\Delta) = [-2,2]$。$\lbrace 2\cos\theta = \lambda \rbrace$ は高々 2 点なので固有値はない。

• 並進不変な作用素はフーリエ変換で掛け算作用素に対角化できる。スペクトル定理（自己共役作用素は掛け算作用素にユニタリ同値）の具体例で、(2) のスペクトルは純粋に絶対連続である。

(1)(2) $G = \int_0^1 e^{-y}g(y)\ dy$ とおく。$Kf(x) = e^x\int_0^1 e^{-y}f(y)\ dy$ は階数 1 の作用素で、方程式は $f = g + \lambda Kf$。解は $f = g + ce^x$（$c = \lambda\int_0^1 e^{-y}f(y)dy$）の形で、代入すると $c = \lambda(G + c)$、すなわち $(1 - \lambda)c = \lambda G$。

• $\lambda \neq 1$ のとき、$c = \frac{\lambda G}{1-\lambda}$ でただ一つの解 $f = g + \frac{\lambda}{1-\lambda}\left(\int_0^1 e^{-y}g(y)\ dy\right)e^x$ をもつ。
• $\lambda = 1$ のとき、解があるための必要十分条件は $G = \int_0^1 e^{-y}g(y)\ dy = 0$ で、そのとき解は $f = g + ce^x$（$c$ は任意）。

(3) $K$ が有界な逆 $K^{-1}$ をもつなら、恒等作用素 $I = K^{-1}K$ はコンパクトとなり、閉単位球がコンパクトになる。これは無限次元であることに反する（リースの定理）。

• (2) はフレドホルムの択一定理の具体例：$\lambda = 1$ で $\ker(I - K) = \mathbb{C}e^x$、$\ker(I - K^{\ast}) = \mathbb{C}e^{-y}$ で、$(I - K)f = g$ が解ける $\Leftrightarrow$ $g \perp \ker(I - K^{\ast})$。一般の $K$ でも $\dim\ker(I - K) = \dim\ker(I - K^{\ast}) < \infty$ となる（指数 $0$）。

(1) $B \setminus \lbrace 0 \rbrace$ で $\nabla u = \alpha\lvert x \rvert^{\alpha-2}x$, $\lvert \nabla u \rvert = \lvert \alpha \rvert\lvert x \rvert^{\alpha-1}$。極座標で $\int_B\lvert x \rvert^{2\alpha-2}dx = \lvert S^{n-1} \rvert\int_0^1 r^{2\alpha+n-3}dr$ は $2\alpha + n - 2 > 0$ のときに限り有限（このとき $u \in L^2$ も成り立つ）。

十分性：$\alpha > 1 - \frac{n}{2}$ とし、$\varphi \in C_c^\infty(B)$ をとる。$\eta_\varepsilon$ を $B_\varepsilon$ で $0$、$B_{2\varepsilon}$ の外で $1$、$\lvert \nabla\eta_\varepsilon \rvert \leq C/\varepsilon$ の滑らかな関数とすると

第 1 項は $\partial_iu \in L^2 \subset L^1(B)$ より $-\int \partial_i u\ \varphi$ に収束し、第 2 項は $C\varepsilon^{-1}\int_{B_{2\varepsilon}}\lvert x \rvert^\alpha dx = O(\varepsilon^{\alpha+n-1}) \to 0$（$\alpha + n - 1 > \frac{n}{2} > 0$）。よって弱導関数は古典的導関数に等しく、$u \in H^1(B)$。

必要性：$u \in H^1(B)$ なら、弱導関数は局所的な概念なので $B \setminus \lbrace 0 \rbrace$ 上で古典的導関数に一致し、$\int\lvert \nabla u \rvert^2 < \infty$ から $\alpha > 1 - \frac{n}{2}$。

(2) $n \geq 3$ なら $1 - \frac{n}{2} < 0$ なので、$\alpha \in (1 - \frac{n}{2}, 0)$ をとれば $u = \lvert x \rvert^\alpha \in H^1(B)$ は原点で非有界。

(3) $u \in C^1[0,1]$ ならシュワルツの不等式より $\lvert u(x) - u(y) \rvert = \lvert \int_y^x u' \rvert \leq \lvert x - y \rvert^{1/2}\lVert u' \rVert_2$。また $\lvert u(x) \rvert \leq \lvert u(y) \rvert + \lVert u' \rVert_2$ を $y$ で積分して $\sup\lvert u \rvert \leq \lVert u \rVert_2 + \lVert u' \rVert_2$。$C^1[0,1]$ は $H^1(0,1)$ で稠密なので、$H^1$ で $u$ に収束する $C^1$ 関数列は一様コーシー列で、その一様極限が $u$ の連続な代表元となり、不等式も極限で保たれる。

• 埋め込み $H^1 \subset L^\infty$ は $n = 1$ でのみ成り立つ。$n = 2$ では $\log\log(e/\lvert x \rvert)$ が非有界な $H^1$ 関数の例になる。一般に $p > 1$ なら $W^{k,p} \subset C^0$ となる条件は $kp > n$ である（$p = 1$ では $k \geq n$）。

(1) $B(u,v) = \int_\Omega(a\nabla u \cdot \nabla v + uv)\ dx$ とおく。$u \in H^1_0(\Omega)$ が弱解であるとは、すべての $v \in H^1_0(\Omega)$ で $B(u,v) = \int_\Omega fv\ dx$ が成り立つこと（滑らかな解なら部分積分でこの等式が得られる）。$B$ は有界 $\lvert B(u,v) \rvert \leq \max(\Lambda, 1)\lVert u \rVert_{H^1}\lVert v \rVert_{H^1}$ かつ強圧的 $B(u,u) \geq \min(\lambda, 1)\lVert u \rVert_{H^1}^2$ で、$v \mapsto \int fv$ は $H^1_0$ 上の有界線形汎関数。ラックス–ミルグラムの定理（$B$ は対称なのでリースの表現定理でもよい）より、弱解がただ一つ存在する。

(2) $v = u$ とすると $\min(\lambda,1)\lVert u \rVert_{H^1}^2 \leq B(u,u) = \int fu \leq \lVert f \rVert_2\lVert u \rVert_2 \leq \lVert f \rVert_2\lVert u \rVert_{H^1}$。

(3) $-u'' + u = 1$, $u(0) = u(1) = 0$ の古典解は、対称性から $u = 1 + A\cosh(x - \frac{1}{2})$ の形で、$u(0) = 0$ より $A = -1/\cosh\frac{1}{2}$。

これは $C^2$ 級で、部分積分により弱解の等式を満たすので、(1) の一意性より求める弱解である。

• 係数 $a$ が不連続でも弱解は存在する（古典解は一般に存在しない）。「存在は関数解析、正則性は評価」という分業が楕円型方程式論の基本構造である。

(1) まず $\Delta v > 0$ なら $v$ は $\Omega$ の内部で最大値をとらない（内部の最大点ではヘッセ行列が半負定値で $\Delta v \leq 0$）。一般の場合は $v = u + \varepsilon\lvert x \rvert^2$ とおくと $\Delta v = \Delta u + 2n\varepsilon > 0$ なので、$\Omega \subset B(0, R')$ として

$\varepsilon \to 0$ として結論を得る（逆向きの不等式は明らか）。

(2) $w = \frac{R^2 - \lvert x \rvert^2}{2n} - u$ とおくと、$\Delta\lvert x \rvert^2 = 2n$ より $\Delta w = -1 + 1 = 0$。$\partial\Omega$ 上で $w = \frac{R^2 - \lvert x \rvert^2}{2n} \geq 0$ なので、(1) を $-w$ に適用して $w \geq 0$。また $\Delta(-u) = 1 \geq 0$ より (1) から $-u \leq \max_{\partial\Omega}(-u) = 0$。

(3) 2 つの解の差 $w$ は調和で境界値 $0$。(1) を $w$ と $-w$ に適用して $w \equiv 0$。

• (2) は「比較関数（バリア）」を作って解を上から押さえる典型的な手法で、$u$ は捩れ関数（期待脱出時間）と呼ばれる。ブラウン運動で見ると $u(x) = \frac{1}{2}E_x[\tau_\Omega]$ で、問題 13 (2) の 1 次元の計算の多次元版である。

(1) 座標 $(r, \theta)$ で $g_{rr} = 1$, $g_{\theta\theta} = f^2$, $g_{r\theta} = 0$。$0$ でないクリストッフェル記号は $\Gamma^r_{\theta\theta} = -ff'$, $\Gamma^\theta_{r\theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac{f'}{f}$。$\nabla_{\partial_r}\partial_r = 0$ に注意して

よって $R(\partial_r, \partial_\theta)\partial_\theta = -ff''\partial_r$、$K = \frac{\langle R(\partial_r,\partial_\theta)\partial_\theta, \partial_r \rangle}{\lvert \partial_r \rvert^2\lvert \partial_\theta \rvert^2} = \frac{-ff''}{f^2} = -\frac{f''}{f}$。

(2) $\sin r$ で $K = 1$（球面）、$\sinh r$ で $K = -1$（双曲平面）、$r$ で $K = 0$（平面）。

(3) $A(\rho) = \int_0^\rho\int_0^{2\pi}f(r)\ d\theta\ dr = 2\pi\int_0^\rho f(r)\ dr$。テイラー展開 $f(r) = r + \frac{f'''(0)}{6}r^3 + O(r^4)$ と、(1) より $K(p) = \lim_{r \to 0}\left(-\frac{f''(r)}{f(r)}\right) = -f'''(0)$ なので、$A(\rho) = \pi\rho^2 - \frac{\pi K(p)}{12}\rho^4 + O(\rho^5)$。これから結論が従う。

• 測地極座標では計量は $dr^2 + f(r,\theta)^2d\theta^2$ の形で、$K = -\partial_r^2f/f$ はヤコビ方程式 $f'' + Kf = 0$ と同じ式。(3) は「曲率は小さな円の面積の平坦からのずれ」という意味を与える。

(1) $L > \frac{\pi}{\sqrt{k}}$ の最短測地線 $\gamma$ があるとする。$\gamma'$ に直交する平行な正規直交場 $e_1, \dots, e_{n-1}$ をとり、$V_i = \sin\frac{\pi t}{L}e_i$ に対する第 2 変分を $E_i''(0)$ と書くと（$\sum_i \langle R(V_i, \gamma')\gamma', V_i \rangle = \sin^2\frac{\pi t}{L}\operatorname{Ric}(\gamma', \gamma')$ に注意）

よってある $i$ で $E_i''(0) < 0$ となり最短性に反する。ホップ–リノウの定理より任意の 2 点は最短測地線で結べるので $\operatorname{diam} M \leq \frac{\pi}{\sqrt{k}}$。有界閉集合（完備）なので $M$ はコンパクト。普遍被覆 $\tilde{M}$ に引き戻した計量も完備で同じ曲率条件を満たすので $\tilde{M}$ もコンパクト、被覆のファイバーはコンパクト空間の離散閉集合で有限、よって $\pi_1(M)$ は有限。

(2) コンパクトなのでリッチ曲率が正なら（単位接束のコンパクト性により）ある $k > 0$ で $\operatorname{Ric} \geq (n-1)k$。(1) より $\pi_1$ は有限だが、$\pi_1(S^1 \times S^2) \cong \mathbb{Z}$ は無限。矛盾。

(3) コンパクトな計量は完備。$S^n$ $(n \geq 2)$ は単連結なので自身が普遍被覆で、それが $\mathbb{R}^n$ と微分同相になるが、$S^n$ はコンパクトで $\mathbb{R}^n$ はそうでない。矛盾。

• 比較定理の応用は「曲率の仮定 $\to$ 位相的帰結（コンパクト性・基本群・普遍被覆）」の流れで答える。トーラス $T^n$ は平坦計量をもつが、同じ理由で $\operatorname{Ric} > 0$ の計量はもたない。

(1) どちらも $H^0 = H^2 = H^4 = \mathbb{Z}$、他は $0$。$\mathbb{C}P^2$ では $H^2$ の生成元の 2 乗 $a^2$ が $H^4$ を生成する。一方、一点和では環として $\tilde{H}^\ast(S^2 \vee S^4) \cong \tilde{H}^\ast(S^2) \times \tilde{H}^\ast(S^4)$ で、$H^2$ の生成元 $x$ の 2 乗は $H^4(S^2) = 0$ の成分に入り $0$。ホモトピー同値はコホモロジー環の同型を誘導するので、両者はホモトピー同値でない。

(2) $f^\ast$ は環準同型なので $f^\ast(a^n) = (f^\ast a)^n = d^na^n$。$a^n$ は $H^{2n} \cong \mathbb{Z}$ の生成元（基本類の双対）なので $\deg f = d^n$。$n$ が偶数なら $d^n \geq 0$ なので $-1$ にならない。

(3) $H^2$ 上の交叉形式 $Q(x,y) = \langle x \cup y, [M] \rangle$ は、$S^2 \times S^2$ では基底 $[S^2 \times \mathrm{pt}]^\ast, [\mathrm{pt} \times S^2]^\ast$ に関して第 1 行 $(0,1)$、第 2 行 $(1,0)$ の行列で、$Q(x,x) = 2x_1x_2$ は常に偶数（偶形式）。$N$ では $\operatorname{diag}(1, -1)$ で $Q(e_1, e_1) = 1$（奇形式）。ホモトピー同値は $H^2$ の同型で交叉形式を（向きにより符号を除いて）保つが、偶奇は符号で変わらないので矛盾。

• (2) から $\mathbb{C}P^{2m}$ は向きを反転する自己ホモトピー同値をもたない（$\mathbb{C}P^{2m} \not\simeq \overline{\mathbb{C}P^{2m}}$ の意味で「キラル」）。単連結閉 4 次元多様体のホモトピー型は交叉形式で決まる（ホワイトヘッド–ミルナーの定理、証明は省略）。

(1) 実係数のポアンカレ双対より $b_i = b_{n-i}$。$n$ が奇数なら $(-1)^{n-i} = -(-1)^i$ なので、$\chi = \sum_i(-1)^ib_i = \sum_i(-1)^{n-i}b_{n-i} = -\chi$。よって $\chi = 0$。

(2) カップ積のペアリング $H^{2k+1}(M;\mathbb{R}) \times H^{2k+1}(M;\mathbb{R}) \to H^{4k+2}(M;\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}$ はポアンカレ双対により非退化で、次数の可換性 $\alpha \cup \beta = (-1)^{(2k+1)^2}\beta \cup \alpha = -\beta \cup \alpha$ より交代的。非退化な交代形式をもつ実ベクトル空間の次元は偶数なので、$b_{2k+1}$ は偶数。

(3) 向き付けの 2 重被覆は準同型 $\pi_1(M) \to \mathbb{Z}/2$ に対応し、これは可換群への準同型なので $H_1(M) = \pi_1(M)^{\mathrm{ab}} = 0$ を経由して自明。よって $M$ は向き付け可能。$H_0 = H_3 = \mathbb{Z}$、$H_1 = 0$。ポアンカレ双対と普遍係数定理より $H_2 \cong H^1 \cong \operatorname{Hom}(H_1, \mathbb{Z}) \oplus \operatorname{Ext}(H_0, \mathbb{Z}) = 0$。

• (1) は $\mathbb{Z}/2$ 係数を使えば向き付け不可能でも成り立つ。(3) の例がポアンカレのホモロジー球面で、$\pi_1$ は位数 120 の群である。

(1) 偏微分 $dx^{d-1}, dy^{d-1}, -dz^{d-1}$ が同時に $0$ になるのは $x = y = z = 0$ のみなので非特異。$x = z = 0$ なら $y = 0$ となるので射影 $\pi$ は $F_d$ 全体で定義され、次数は $d$。$[x:z]$ 上のファイバーは $y^d = z^d - x^d$ の解で、$z^d \neq x^d$ なら $d$ 個（$[1:0]$ 上でも $d$ 個）。$z^d = x^d$ となる $d$ 個の点 $[x:z]$ 上ではファイバーは $y = 0$ の 1 点のみで、$\sum_{P \in \pi^{-1}(q)} e_P = d$ より $e_P = d$。よって

(2) $g_Y = 0$ なら明らか。$g_Y \geq 1$ なら $2g_X - 2 \geq d(2g_Y - 2) \geq 2g_Y - 2$。

(3) $2 \cdot 3 - 2 = 2 \cdot 0 + \sum(e_P - 1)$ より $\sum(e_P - 1) = 4$。次数 2 なので $e_P \in \lbrace 1, 2 \rbrace$ で、分岐点は 4 個。

• (1) は平面曲線の種数公式と一致する。$d = 3$ で種数 1（楕円曲線）、$d = 4$ で種数 3。(2) の特別な場合として、種数 1 の曲線から種数 2 の曲線への定数でない正則写像は存在しない。

リーマン–ロッホの定理 $\ell(D) - \ell(K - D) = \deg D + 1 - g$ と、$\deg D > 2g - 2$ なら $\ell(K - D) = 0$ を用いる。

(1) $\ell(P) \geq 1 + 1 - 0 = 2$ なので、$P$ だけに 1 位の極をもつ有理型関数 $h$ がある。$h\colon X \to \mathbb{P}^1$ は次数 1 の正則写像で、全単射な正則写像なので双正則。

(2) $\ell((g+1)P) \geq (g+1) + 1 - g = 2$ より、定数でない元がある。

(3) $\ell(nP) - \ell((n-1)P) \in \lbrace 0, 1 \rbrace$ で、$n$ が空隙 $\Leftrightarrow$ この差が $0$。$\ell(0) = 1$、$\deg((2g-1)P) = 2g - 1 > 2g - 2$ より $\ell((2g-1)P) = g$。$n = 1, \dots, 2g-1$ での増加の合計は $g - 1$ なので、この範囲の空隙は $(2g - 1) - (g - 1) = g$ 個。$n \geq 2g$ では $\ell(nP) = n + 1 - g$ で毎回 $1$ 増えるので空隙はない。

• 空隙の集合が $\lbrace 1, \dots, g \rbrace$ でない点をワイエルシュトラス点といい、有限個しかない。種数 2 の超楕円曲線では、第8章 問題 7の 6 個の分岐点がちょうどワイエルシュトラス点で、空隙は $\lbrace 1, 3 \rbrace$。

(1) $S_n = \sum_{k \leq n}\xi_k/k$ はマルチンゲールで、独立性より $E[S_n^2] = \sum_{k \leq n}\frac{1}{k^2} \leq \frac{\pi^2}{6}$。$L^2$ 有界なマルチンゲールは a.s.（かつ $L^2$）収束する。

(2) $E[Y_k] = 1$ と独立性より $E[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = M_nE[Y_{n+1}] = M_n$。$\log M_n = \sum_{k \leq n}\log Y_k$ で、$E[\log Y] = \frac{1}{2}\log\frac{3}{4} < 0$。大数の強法則より $\frac{1}{n}\log M_n \to \frac{1}{2}\log\frac{3}{4}$ a.s. なので $\log M_n \to -\infty$、$M_n \to 0$ a.s.。一方 $E[M_n] = 1$ なので $E\lvert M_n - 0 \rvert = 1 \not\to 0$ で、$L^1$ 収束しない（一様可積分でない）。

(3) $f_n$ は $x$ を含む長さ $2^{-n}$ の 2 進区間上での $f$ の平均であり、$(f_n)$ はフィルトレーション $(\mathcal{D}_n)$ に関するマルチンゲール。固定した可積分関数の条件付き期待値の族は一様可積分なので、$f_n$ は a.e. かつ $L^1$ で $E[f \mid \mathcal{D}_\infty]$（$\mathcal{D}_\infty = \sigma(\bigcup_n\mathcal{D}_n)$）に収束する（レヴィの上昇定理）。2 進区間はボレル集合族を生成するので $\mathcal{D}_\infty$ はボレル $\sigma$-加法族で、極限は $f$ 自身である。

• (2) は「a.s. 収束 $+$ 期待値一定」でも $L^1$ 収束しない典型例（角谷の積マルチンゲール）。(3) はルベーグの微分定理の 2 進版で、マルチンゲールによる証明は被覆補題を使わずに済む。

(1) $s < t$ で $B_t - B_s$ は $\mathcal{F}_s$ と独立で $N(0, t-s)$ に従う。$E[B_t^2 - B_s^2 \mid \mathcal{F}_s] = E[(B_t - B_s)^2 + 2B_s(B_t - B_s) \mid \mathcal{F}_s] = t - s$。また $E[e^{\lambda(B_t - B_s)}] = e^{\lambda^2(t-s)/2}$ より $E[e^{\lambda B_t - \lambda^2t/2} \mid \mathcal{F}_s] = e^{\lambda B_s - \lambda^2s/2}$。

(2) $P(\tau > n) \leq P(\lvert B_k - B_{k-1} \rvert < a + b,\ k = 1, \dots, n) = q^n$（$q < 1$）なので $\tau < \infty$ a.s.、$E[\tau] < \infty$。$B_{t \wedge \tau}$ は有界マルチンゲールで $E[B_{t \wedge \tau}] = 0$、$t \to \infty$ として有界収束定理より $E[B_\tau] = 0$、すなわち $bP(B_\tau = b) - a(1 - P(B_\tau = b)) = 0$。次に $E[B_{t \wedge \tau}^2] = E[t \wedge \tau]$ で、$t \to \infty$ として（左辺は有界収束、右辺は単調収束）$E[\tau] = E[B_\tau^2] = b^2\frac{a}{a+b} + a^2\frac{b}{a+b} = ab$。