ソボレフ空間

この章の目標

• 弱導関数とソボレフ空間 $W^{k,p}(\Omega)$ を定義し、その完備性を証明できる
• $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ の $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ での稠密性を証明し、$W_0^{k,p}(\Omega)$ とトレース（境界値）の意味を説明できる
• ガリアルド–ニーレンバーグ–ソボレフの不等式・モリーの不等式・ポアンカレの不等式を、定数の依存関係とともに証明できる
• レリッヒ–コンドラショフのコンパクト性定理の主張と、それが破れる例を説明できる

前提：第1章、第2章、06-measure-integration 第4章、10-functional-analysis 第2章・第4章、03-topology 第5章（アスコリ–アルツェラの定理）

3.1 なぜソボレフ空間か

有界領域 $\Omega$ で $\Delta u = 0$、$\partial\Omega$ 上で $u = g$ をみたす $u$ を求める問題を考える。ディリクレ原理によれば、解はディリクレ・エネルギー $D[u] = \frac{1}{2}\int_\Omega\lvert\nabla u\rvert^2dx$ を境界条件のもとで最小にする関数である。$m$ を $D$ の下限、$(u_k)$ を最小化列とすると、中線定理から

となり、$(u_k)$ はエネルギー・ノルム $\lVert\nabla u\rVert_{L^2}$ についてコーシー列である。しかし $C^1(\overline\Omega)$ はこのノルムで完備でなく、極限が $C^1$ 級である保証はない。完備化して得られるのが、$L^2$ に属する弱導関数をもつ関数の空間 $H^1(\Omega)$ である。完備な空間で解を作るという第 2 段階のためにこの空間が必要になるが、それには次の問いに答えなければならない。

1. $H^1$ の元（$L^2$ の同値類）に境界値 $u|_{\partial\Omega}$ はどういう意味で定まるか（トレース）。
2. $H^1$ の元は連続か、有界か。より一般に、古典的な関数空間とどう関係するか（埋め込み定理）。これは第 3 段階（正則性）で古典解に戻るための道具である。
3. 有界列から収束する部分列がとれるか（コンパクト性）。これはフレドホルムの択一定理や非線形問題で本質的になる。

以下 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ は開集合、$1 \leq p \leq \infty$ とする。$V \Subset \Omega$ は $\overline{V}$ がコンパクトで $\Omega$ に含まれることを表す。関数は実数値でも複素数値でもよい（第4章以降は実数値とする）。

3.2 弱導関数とソボレフ空間

定義 3.1（弱導関数）$u, v \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ とする。すべての $\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$ について $\int_\Omega u\ \partial^\alpha\varphi\ dx = (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_\Omega v\varphi\ dx$ が成り立つとき、$v$ を $u$ の $\alpha$ 次の弱導関数といい、$\partial^\alpha u = v$ と書く。

すなわち、超関数としての導関数（定義 1.15）が局所可積分関数であるときの呼び名であり、補題 1.6 により a.e. で一意である。弱導関数は局所的に決まる：$u$ が開集合 $U \subset \Omega$ 上で $C^1$ 級なら、$U$ 上では弱導関数は古典的な導関数に一致する。

例 3.2 $B = B(0, 1) \subset \mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）、$a > 0$、$u(x) = \lvert x\rvert^{-a}$ とする。$1 \leq p < n$ のとき、$\nabla u \in L^p(B)$（弱導関数の意味で）であるための必要十分条件は $a < \frac{n - p}{p}$ である。$x \neq 0$ では $\nabla u = -ax\lvert x\rvert^{-a-2}$、$\lvert\nabla u\rvert = a\lvert x\rvert^{-a-1}$。$a + 1 < n$ と仮定し、$\varphi \in C_c^\infty(B)$ について $B \setminus \overline{B(0,\varepsilon)}$ でガウス–グリーンの公式を使うと、境界項は $\sup\lvert\varphi\rvert\ \varepsilon^{-a}n\omega_n\varepsilon^{n-1} \to 0$ となるので、$\int u\ \partial_i\varphi = -\int\partial_iu\ \varphi$（右辺は古典的導関数）を得る。よって弱導関数は古典的導関数であり、$\lvert\nabla u\rvert \in L^p$ は $(a + 1)p < n$ と同値。$a + 1 \geq n$ のときも、弱導関数があれば $B \setminus \lbrace 0\rbrace$ 上で古典的導関数と一致するはずで、それは $L^p$ に属さない。特に $0 < a < \frac{n-p}{p}$ ならば $u \in W^{1,p}(B)$（下の定義）は有界でない。

定義 3.3（ソボレフ空間, Sobolev space）$k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ とする。$u \in L^p(\Omega)$ で、$\lvert\alpha\rvert \leq k$ のすべての弱導関数 $\partial^\alpha u$ が存在して $L^p(\Omega)$ に属するものの全体を $W^{k,p}(\Omega)$ と書き、ノルムを

$$\lVert u\rVert_{W^{k,p}(\Omega)} = \Bigl(\sum_{\lvert\alpha\rvert \leq k}\lVert\partial^\alpha u\rVert_{L^p(\Omega)}^p\Bigr)^{1/p} \quad (p < \infty), \qquad \lVert u\rVert_{W^{k,\infty}(\Omega)} = \max_{\lvert\alpha\rvert \leq k}\lVert\partial^\alpha u\rVert_{L^\infty(\Omega)}$$

で定める。$H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega)$ と書き、内積 $(u, v)_{H^k} = \sum_{\lvert\alpha\rvert \leq k}\int\partial^\alpha u\ \overline{\partial^\alpha v}\ dx$ を入れる。各 $V \Subset \Omega$ で $u|_V \in W^{k,p}(V)$ となる $u$ の全体を $W^{k,p}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ と書く。

定理 3.4 $W^{k,p}(\Omega)$ はバナッハ空間であり、$H^k(\Omega)$ はヒルベルト空間である。$1 \leq p < \infty$ なら可分、$1 < p < \infty$ なら反射的である。

証明. $(u_j)$ をコーシー列とすると、各 $\lvert\alpha\rvert \leq k$ について $(\partial^\alpha u_j)$ は $L^p$ のコーシー列なので、$L^p$ の完備性（06-measure-integration 第4章 定理 4.8）により $\partial^\alpha u_j \to u_\alpha$ となる $u_\alpha \in L^p$ がある。$u = u_0$ とおく。$\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$ に対し、ヘルダーの不等式により積分と極限が交換できて

よって $\partial^\alpha u = u_\alpha$ で、$u \in W^{k,p}$、$u_j \to u$。後半は、$u \mapsto (\partial^\alpha u)_{\lvert\alpha\rvert \leq k}$ が $W^{k,p}(\Omega)$ を $L^p(\Omega)$ の有限個の直積の閉部分空間に等長に写すことによる。実際、$1 \leq p < \infty$ なら $L^p$ は可分、$1 < p < \infty$ なら反射的であり（反射性の定義と $\ell^p$ の場合は 10-functional-analysis 第4章、$L^p$ の場合は Brezis の本の第4章）、これらの性質は有限個の直積と閉部分空間に遺伝する。可分性の遺伝は可分距離空間の部分空間が可分であることから従い、反射性の遺伝の証明は Brezis の本の第3章に譲る（ここでは省略する）。$\square$

命題 3.5（微分の計算規則）$u \in W^{1,p}(\Omega)$ とする。

1. $\zeta \in C^\infty(\Omega)$ が $\zeta$ と $\nabla\zeta$ ともに有界ならば $\zeta u \in W^{1,p}(\Omega)$、$\nabla(\zeta u) = u\nabla\zeta + \zeta\nabla u$。
2. $u$ が実数値で、$F \in C^1(\mathbb{R})$、$F'$ が有界、$F(0) = 0$ ならば $F(u) \in W^{1,p}(\Omega)$、$\nabla F(u) = F'(u)\nabla u$。
3. $u$ が実数値ならば $u^+ = \max(u, 0) \in W^{1,p}(\Omega)$ で、a.e. で $\nabla u^+ = \mathbf{1}_{\lbrace u > 0\rbrace}\nabla u$。特に a.e. の $\lbrace u = 0\rbrace$ 上で $\nabla u = 0$。また $u \in W_0^{1,p}(\Omega)$（定義 3.10）ならば $u^+ \in W_0^{1,p}(\Omega)$。

(1) は定義から直ちに従う（$\zeta\varphi$ を試験関数に使う）。(2)(3) の証明は Gilbarg–Trudinger の第7章を参照（(3) は $F_\varepsilon(t) = \sqrt{t^2 + \varepsilon^2} - \varepsilon$（$t > 0$）、$0$（$t \leq 0$）に (2) を適用して $\varepsilon \to 0$ とする）。

3.3 近似定理と $W_0^{k,p}$

補題 3.6（局所近似）$1 \leq p < \infty$、$u \in W^{k,p}(\Omega)$ とし、$u^\varepsilon = \eta_\varepsilon \ast u$ とおく。$\Omega_\varepsilon$ 上で $\partial^\alpha u^\varepsilon = \eta_\varepsilon \ast \partial^\alpha u$（$\lvert\alpha\rvert \leq k$）が成り立ち、各開集合 $V \Subset \Omega$ について $W^{k,p}(V)$ で $u^\varepsilon \to u$。

証明. $x \in \Omega_\varepsilon$ のとき $y \mapsto \eta_\varepsilon(x - y)$ は $C_c^\infty(\Omega)$ に属するので、定理 1.3 (1) と弱導関数の定義から

収束は定理 1.3 (4) を $K = \overline{V}$ と各 $\partial^\alpha u$ に適用すればよい。$\square$

定理 3.7 $1 \leq p < \infty$ ならば、$C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ は $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ で稠密である。

証明. (i) 切り落とし：$\chi \in C_c^\infty(B(0, 2))$ を $0 \leq \chi \leq 1$、$B(0, 1)$ 上で $\chi = 1$ となるようにとり、$\chi_R(x) = \chi(x/R)$（$R \geq 1$）とおく。ライプニッツ則で $\partial^\alpha(\chi_Ru)$ を展開すると、$\beta < \alpha$ に対する項の係数 $\partial^{\alpha-\beta}\chi_R$ は $R^{-1}\max_{\lvert\gamma\rvert \leq k}\sup\lvert\partial^\gamma\chi\rvert$ で抑えられるから

第 1 項は優収束定理により $0$ に収束する。よって台がコンパクトな $W^{k,p}$ の元は稠密である。(ii) 台がコンパクトな $v \in W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ に対し $v^\varepsilon = \eta_\varepsilon \ast v \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ で、補題 3.6（$\Omega = \mathbb{R}^n$）と定理 1.3 (4) により $\partial^\alpha v^\varepsilon = \eta_\varepsilon \ast \partial^\alpha v \to \partial^\alpha v$（$L^p(\mathbb{R}^n)$）。$\square$

一般の領域で境界まで込めて近似するには、境界の滑らかさが必要になる。

定義 3.8（境界の滑らかさ）有界開集合 $\Omega$ の境界が $C^k$ 級（$k \geq 1$）であるとは、各 $x_0 \in \partial\Omega$ に対し $r > 0$ と $C^k$ 級関数 $\gamma\colon\mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}$ があって、座標を回転・番号づけしなおすと $\Omega \cap B(x_0, r) = \lbrace x \in B(x_0, r) \mid x_n > \gamma(x_1, \dots, x_{n-1})\rbrace$ となることをいう。$\gamma$ がリプシッツ連続であるときリプシッツ境界という。

$C^1$ 境界では外向き単位法線 $\nu$ と面積測度 $dS$ が定まり、ガウス–グリーンの公式が使える（07-manifolds 第6章）。

定理 3.9（近似定理）$1 \leq p < \infty$ とする。

1. （マイヤーズ–セリン, Meyers–Serrin）任意の開集合 $\Omega$ について、$C^\infty(\Omega) \cap W^{k,p}(\Omega)$ は $W^{k,p}(\Omega)$ で稠密である。
2. $\Omega$ が有界で境界が $C^1$ 級（リプシッツでもよい）ならば、$C^\infty(\overline\Omega)$（$C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ の元の $\Omega$ への制限）は $W^{k,p}(\Omega)$ で稠密である。さらに $u \in W^{k,p}(\Omega) \cap C(\overline\Omega)$ ならば、近似列を $\overline\Omega$ 上一様収束するようにとれる。

証明の方針. (1) $\Omega$ を $\operatorname{dist}(x, \partial\Omega)$ の値で帯状の集合に分け、それに従属する 1 の分割 $\lbrace\zeta_j\rbrace$ をとる。各 $\zeta_ju$ を十分小さい $\varepsilon_j$ で軟化して $\lVert\eta_{\varepsilon_j} \ast (\zeta_ju) - \zeta_ju\rVert_{W^{k,p}} < \delta 2^{-j}$ とし、和をとる。(2) 境界の近くでは、$\gamma$ のグラフの上側に局所的に平行移動してから軟化する。詳細は Evans の第5章を参照。$\square$

定義 3.10 $1 \leq p < \infty$ とする。$C_c^\infty(\Omega)$ の $W^{k,p}(\Omega)$ における閉包を $W_0^{k,p}(\Omega)$ と書き、$H_0^k(\Omega) = W_0^{k,2}(\Omega)$ とおく。$H_0^1(\Omega)$ の双対空間（有界線形汎関数の全体）を $H^{-1}(\Omega)$ と書く。

$W_0^{k,p}(\Omega)$ の元は「$\lvert\alpha\rvert \leq k - 1$ の導関数が境界で $0$」である関数と理解される（定理 3.16 の後の注意）。$u \in W_0^{k,p}(\Omega)$ を $\Omega$ の外で $0$ と延長したものは $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ に属し、ノルムは変わらない（$C_c^\infty(\Omega)$ の元について明らかで、極限をとればよい）。定理 3.7 より $W_0^{k,p}(\mathbb{R}^n) = W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ である。

命題 3.11 （実数値関数の空間で考える。）任意の $F \in H^{-1}(\Omega)$ に対し、$f_0, f_1, \dots, f_n \in L^2(\Omega)$ で、すべての $v \in H_0^1(\Omega)$ について

$$F(v) = \int_\Omega\Bigl(f_0v + \sum_{i=1}^nf_i\,\partial_iv\Bigr)dx, \qquad \lVert F\rVert_{H^{-1}} = \Bigl(\sum_{i=0}^n\lVert f_i\rVert_{L^2}^2\Bigr)^{1/2}$$

となるものがある。逆に、右辺の形の汎関数は $H^{-1}(\Omega)$ に属する。

証明. リースの表現定理（10-functional-analysis 第2章 定理 2.10）により $F(v) = (w, v)_{H^1}$ となる $w \in H_0^1$ があり $\lVert F\rVert = \lVert w\rVert_{H^1}$。$f_0 = w$、$f_i = \partial_iw$ とおけばよい。逆はコーシー–シュワルツの不等式による。$\square$

超関数の言葉では $F = f_0 - \sum_i\partial_if_i$ であり、$H^{-1}$ は「$L^2$ 関数とその 1 階導関数の和」の全体である。第4章では右辺 $f$ を $H^{-1}$ までとる。

3.4 フーリエ変換による $H^s(\mathbb{R}^n)$

$\mathbb{R}^n$ 上では、フーリエ変換により微分の階数を実数に広げられる。$\widehat{\partial^\alpha u} = (i\xi)^\alpha\hat u$ だから、「$\partial^\alpha u \in L^2$（$\lvert\alpha\rvert \leq k$）」は「$(1 + \lvert\xi\rvert^2)^{k/2}\hat u \in L^2$」とほぼ同じ条件である。

定義 3.12 $s \in \mathbb{R}$ とする。$u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ で、$\hat u$ が局所可積分関数かつ $(1 + \lvert\xi\rvert^2)^{s/2}\hat u \in L^2(\mathbb{R}^n)$ となるものの全体を $H^s(\mathbb{R}^n)$ と書き、

$$\lVert u\rVert_{H^s}^2 = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}(1 + \lvert\xi\rvert^2)^s\lvert\hat u(\xi)\rvert^2\,d\xi$$

とおく。

$H^s$ は重みつき $L^2$ 空間と等長同型なのでヒルベルト空間であり、プランシュレルの定理より $H^0 = L^2$（ノルムも一致）、$s < t$ なら $H^t \subset H^s$ である。

命題 3.13 $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ ならば $H^k(\mathbb{R}^n) = W^{k,2}(\mathbb{R}^n)$ であり、$\lVert u\rVert_{W^{k,2}} \leq \lVert u\rVert_{H^k} \leq \sqrt{k!}\ \lVert u\rVert_{W^{k,2}}$。特に $\lVert u\rVert_{H^1}^2 = \lVert u\rVert_{L^2}^2 + \lVert\nabla u\rVert_{L^2}^2$。

証明. $u \in L^2$ について、$\partial^\alpha u \in L^2$ であることと $\xi^\alpha\hat u \in L^2$ であることは、定理 2.14 とプランシュレルの定理により同値で、$\lVert\partial^\alpha u\rVert_2^2 = (2\pi)^{-n}\int\xi^{2\alpha}\lvert\hat u\rvert^2d\xi$。多項定理から $(1 + \lvert\xi\rvert^2)^k = \sum_{\lvert\alpha\rvert \leq k}c_\alpha\xi^{2\alpha}$、$c_\alpha = \frac{k!}{(k - \lvert\alpha\rvert)!\ \alpha!}$ で $1 \leq c_\alpha \leq k!$。$k = 1$ ではすべての $c_\alpha = 1$。$\square$

定理 3.14（$H^s$ の埋め込み）$s > n/2$ ならば、各 $u \in H^s(\mathbb{R}^n)$ は無限遠で $0$ に近づく連続関数と a.e. で一致し、

$$\sup_x\lvert u(x)\rvert \leq C_{n,s}\lVert u\rVert_{H^s}, \qquad C_{n,s} = (2\pi)^{-n/2}\Bigl(\int_{\mathbb{R}^n}(1 + \lvert\xi\rvert^2)^{-s}d\xi\Bigr)^{1/2} < \infty$$

が成り立つ。さらに $s > \frac{n}{2} + k$ ならば $u \in C^k(\mathbb{R}^n)$ で、$\lvert\alpha\rvert \leq k$ の導関数は有界である。

証明. 極座標で $\int(1 + \lvert\xi\rvert^2)^{-s}d\xi = n\omega_n\int_0^\infty(1 + r^2)^{-s}r^{n-1}dr$ は $2s > n$ のとき有限。コーシー–シュワルツの不等式より

なので $\hat u \in L^1 \cap L^2$。$L^2$ 上の $\mathcal{F}^{-1}$ は $L^1 \cap L^2$ 上で積分による定義と一致する（定理 2.10）から $u = \mathcal{F}^{-1}\hat u$ a.e. で、右辺はリーマン–ルベーグの補題により $C_0$ に属し、$\sup\lvert u\rvert \leq (2\pi)^{-n}\lVert\hat u\rVert_1$。$s > \frac{n}{2} + k$ なら $\xi^\alpha\hat u \in L^1$（$\lvert\alpha\rvert \leq k$）となり、積分記号下で微分できる。$\square$

これは「弱い意味の導関数が十分多く $L^2$ にあれば、関数は古典的な意味で微分可能」という、正則性理論の最も簡単な例である。$s = n/2$ では成り立たない（$n = 2$、$s = 1$ の反例は、問題 3.6 (2) の関数に、$B(0, 1)$ に台をもち原点の近くで $1$ となる切り落とし関数を掛けたもの）。

3.5 延長とトレース

定理 3.15（延長定理）$\Omega$ を有界で境界が $C^1$ 級の開集合、$\Omega \Subset V$ を有界開集合、$1 \leq p \leq \infty$ とする。有界線形作用素 $E\colon W^{1,p}(\Omega) \to W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ で、$\Omega$ 上で $Eu = u$、$\operatorname{supp}Eu \subset V$、$\lVert Eu\rVert_{W^{1,p}(\mathbb{R}^n)} \leq C\lVert u\rVert_{W^{1,p}(\Omega)}$（$C = C(p, \Omega, V)$）となるものが存在する。$W^{k,p}$ についても、境界が $C^k$ 級なら同様である。

証明（境界を局所的に平坦にして折り返す）は Evans の第5章を参照。延長定理により、$\mathbb{R}^n$ 上の不等式を有界領域に移すことができる。

定理 3.16（トレース定理, trace theorem）$\Omega$ を有界で境界が $C^1$ 級の開集合、$1 \leq p < \infty$ とする。有界線形作用素 $T\colon W^{1,p}(\Omega) \to L^p(\partial\Omega)$ で、$u \in W^{1,p}(\Omega) \cap C(\overline\Omega)$ ならば $Tu = u|_{\partial\Omega}$ となり、

$$\lVert Tu\rVert_{L^p(\partial\Omega)} \leq C\lVert u\rVert_{W^{1,p}(\Omega)} \qquad (C = C(p, \Omega))$$

をみたすものが存在する。$Tu$ を $u$ のトレース（境界値）という。

証明（半空間の場合は完全に、一般の場合は概略）. (i) 半空間 $\mathbb{R}^n_+ = \lbrace x_n > 0\rbrace$ で、$u \in C_c^1(\mathbb{R}^n)$ とする。$x = (x', x_n)$ と書く。$p > 1$ なら $\lvert u\rvert^p$ は $C^1$ 級で、ヤングの不等式 $p\ a^{p-1}b \leq (p - 1)a^p + b^p$ から

（$p = 1$ では直接 $\lvert u(x', 0)\rvert \leq \int_0^\infty\lvert\partial_nu\rvert\ dt$）。$x'$ で積分して

(ii) 一般の場合：$\partial\Omega$ を定義 3.8 の座標近傍の有限個で覆い、1 の分割で $u$ を分ける。各近傍で $y = (x', x_n - \gamma(x'))$ と変数変換すると境界が平坦になり、ヤコビアンは $1$、$W^{1,p}$ ノルムは $\lVert\nabla\gamma\rVert_\infty$ に依存する定数倍しか変わらない（境界の面積要素 $dS = \sqrt{1 + \lvert\nabla\gamma\rvert^2}\ dx'$ も同様）。(i) を適用すれば $u \in C^1(\overline\Omega)$ について評価を得る。(iii) 定理 3.9 (2) により $C^\infty(\overline\Omega)$ は稠密なので、$T$ は連続性によって $W^{1,p}(\Omega)$ に一意的に拡張される。$u \in C(\overline\Omega)$ のときは近似列を一様収束するようにとれるので $Tu = u|_{\partial\Omega}$。$\square$

注意 3.17 (1) $L^p(\Omega)$ の元にはトレースを定義できない（問題 3.4）。境界値が意味をもつのは、微分の情報があるからである。(2) $u \in W^{1,p}(\Omega)$ について、$Tu = 0$ と $u \in W_0^{1,p}(\Omega)$ は同値である（Evans の第5章）。(3) $T(H^1(\Omega))$ は $L^2(\partial\Omega)$ 全体ではなく、分数階のソボレフ空間 $H^{1/2}(\partial\Omega)$ である（主張のみ）。(4) $u, v \in H^1(\Omega)$ について、ガウス–グリーンの公式 $\int_\Omega u\ \partial_iv\ dx = -\int_\Omega\partial_iu\ v\ dx + \int_{\partial\Omega}Tu\ Tv\ \nu_i\ dS$ が成り立つ（$C^1(\overline\Omega)$ で成り立ち、両辺が $H^1 \times H^1$ 上連続）。

3.6 ソボレフの埋め込み定理

$\lVert u\rVert_{L^q(\mathbb{R}^n)} \leq C\lVert\nabla u\rVert_{L^p(\mathbb{R}^n)}$ がすべての $u \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ で成り立つとする。$u_\lambda(x) = u(\lambda x)$ を代入すると $\lVert u_\lambda\rVert_q = \lambda^{-n/q}\lVert u\rVert_q$、$\lVert\nabla u_\lambda\rVert_p = \lambda^{1 - n/p}\lVert\nabla u\rVert_p$ なので、$\lambda \to 0, \infty$ を考えれば $-\frac{n}{q} = 1 - \frac{n}{p}$ でなければならない。すなわち $1 \leq p < n$ で

でなければならない。$p^{\ast}$ をソボレフ共役指数という。実際にこの不等式が成り立つ。

補題 3.18（ガリアルドの補題）$n \geq 2$ とし、$g_1, \dots, g_n \geq 0$ を $\mathbb{R}^{n-1}$ 上の可測関数とする。$g_i$ は $x_i$ を除く変数 $\hat x_i = (x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n)$ の関数とみなす。このとき

$$\int_{\mathbb{R}^n}\prod_{i=1}^ng_i(\hat x_i)^{\frac{1}{n-1}}\,dx \leq \prod_{i=1}^n\Bigl(\int_{\mathbb{R}^{n-1}}g_i\,d\hat x_i\Bigr)^{\frac{1}{n-1}}$$

証明. $n$ についての帰納法。$n = 2$ では両辺とも $\int g_1\int g_2$ で等しい。$n$ で正しいとし $n + 1$ 変数で示す。$g_{n+1}$ は $x_{n+1}$ によらないので、$x_{n+1}$ についての積分に $n$ 個の関数に対する一般化されたヘルダーの不等式を使うと

$h_i$ は $(x_1, \dots, x_n)$ のうち $x_i$ を除く $n - 1$ 変数の関数である。$(x_1, \dots, x_n)$ で積分し、指数 $n$ と $\frac{n}{n-1}$ のヘルダーの不等式、次に帰納法の仮定を使うと

$\int h_i = \int g_i$ なので、$n + 1$ の場合が示された。$\square$

定理 3.19（ガリアルド–ニーレンバーグ–ソボレフの不等式）$1 \leq p < n$ とする。すべての $u \in C_c^1(\mathbb{R}^n)$ について

$$\lVert u\rVert_{L^{p^{\ast}}(\mathbb{R}^n)} \leq C(n, p)\lVert\nabla u\rVert_{L^p(\mathbb{R}^n)}, \qquad C(n, p) = \frac{p(n - 1)}{n - p}$$

が成り立つ。したがってこの不等式はすべての $u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ について成り立つ。

証明. $p = 1$：各 $i$ について $u(x) = \int_{-\infty}^{x_i}\partial_iu(\dots, y_i, \dots)\ dy_i$ だから $\lvert u(x)\rvert \leq g_i(\hat x_i) := \int_{\mathbb{R}}\lvert\nabla u\rvert(\dots, y_i, \dots)\ dy_i$。よって $\lvert u(x)\rvert^{\frac{n}{n-1}} \leq \prod_ig_i(\hat x_i)^{\frac{1}{n-1}}$ で、補題 3.18 と $\int g_i\ d\hat x_i = \lVert\nabla u\rVert_1$ から $\lVert u\rVert_{\frac{n}{n-1}}^{\frac{n}{n-1}} \leq \lVert\nabla u\rVert_1^{\frac{n}{n-1}}$。

$1 < p < n$：$\gamma = \frac{p(n-1)}{n-p} > 1$ とし、$v = \lvert u\rvert^\gamma \in C_c^1$（$\lvert\nabla v\rvert \leq \gamma\lvert u\rvert^{\gamma-1}\lvert\nabla u\rvert$）に $p = 1$ の場合を適用し、ヘルダーの不等式（$p' = \frac{p}{p-1}$）を使う：

$\gamma$ の選び方から $\frac{\gamma n}{n-1} = (\gamma - 1)p' = p^{\ast}$ であり、$\frac{n-1}{n} - \frac{1}{p'} = \frac{1}{p} - \frac{1}{n} = \frac{1}{p^{\ast}}$ だから、両辺を $\lVert u\rVert_{p^{\ast}}^{p^{\ast}/p'}$ で割れば $\lVert u\rVert_{p^{\ast}} \leq \gamma\lVert\nabla u\rVert_p$。後半：$u \in W^{1,p}$ に $W^{1,p}$ で収束する $u_j \in C_c^\infty$ をとると（定理 3.7）、$(u_j)$ は $L^{p^{\ast}}$ のコーシー列で、その極限は（部分列の a.e. 収束により）$u$ に一致する。$\square$

$C(n, p)$ は $p \to n$ で発散する。これは $p = n$ で $L^\infty$ への埋め込みが破れること（注意 3.22）と整合している。

系 3.20 $1 \leq p < n$ とする。(1) 任意の開集合 $\Omega$ と $u \in W_0^{1,p}(\Omega)$ について $\lVert u\rVert_{L^{p^{\ast}}(\Omega)} \leq C(n, p)\lVert\nabla u\rVert_{L^p(\Omega)}$。$\Omega$ が有界ならば $1 \leq q \leq p^{\ast}$ について $\lVert u\rVert_{L^q(\Omega)} \leq \lvert\Omega\rvert^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p^{\ast}}}C(n, p)\lVert\nabla u\rVert_{L^p(\Omega)}$。(2) $\Omega$ が有界で境界が $C^1$ 級ならば、$u \in W^{1,p}(\Omega)$ について $\lVert u\rVert_{L^q(\Omega)} \leq C\lVert u\rVert_{W^{1,p}(\Omega)}$（$1 \leq q \leq p^{\ast}$、$C = C(n, p, q, \Omega)$）。

証明. (1) は $0$ 延長と定理 3.19、およびヘルダーの不等式。(2) は延長定理 3.15 と定理 3.19。$\square$

(1) の定数が $\Omega$ によらないのに対し、(2) の定数は延長作用素を通じて $\Omega$ の形に依存する。境界条件 $u \in W_0^{1,p}$ があるかないかで、定数の性質が大きく変わる。

$p > n$ では、$W^{1,p}$ の関数は連続になる。$0 < \gamma \leq 1$ に対し $\lVert v\rVert_{C^{0,\gamma}} = \sup\lvert v\rvert + \sup_{x \neq y}\frac{\lvert v(x) - v(y)\rvert}{\lvert x - y\rvert^\gamma}$ とおく（ヘルダーノルム）。

定理 3.21（モリーの不等式, Morrey's inequality）$n < p < \infty$、$\gamma = 1 - \frac{n}{p}$ とする。定数 $C = C(n, p)$ があって、すべての $u \in C_c^1(\mathbb{R}^n)$ について $\lVert u\rVert_{C^{0,\gamma}(\mathbb{R}^n)} \leq C\lVert u\rVert_{W^{1,p}(\mathbb{R}^n)}$ が成り立つ。したがって各 $u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ は、この評価をみたす $\gamma$-ヘルダー連続関数と a.e. で一致する。

証明. (i) $u \in C^1$、$x \in \mathbb{R}^n$、$r > 0$ とする。$w \in S^{n-1}$、$0 < s < r$ について $\lvert u(x + sw) - u(x)\rvert \leq \int_0^s\lvert\nabla u(x + tw)\rvert\ dt$。$w$ について球面上で積分し、極座標 $dy = t^{n-1}dt\ dS(w)$ を使うと