発展方程式

この章の目標

• バナッハ空間値関数の空間 $L^p(0, T; X)$ と、時間についての弱微分を理解する
• ガラーキン法により放物型方程式の弱解を構成し、エネルギー評価と一意性を示せる
• 熱方程式を作用素半群として定式化し、ヒレ–吉田の定理の仮定を確かめられる
• 放物型方程式の最大値原理、波動方程式のエネルギー保存と有限伝播速度を証明できる
• シュレディンガー方程式のユニタリ群・分散評価・ストリッカーツ評価の意味を説明できる

前提：第2章〜第4章、10-functional-analysis 第7章（ストーンの定理・ヒレ–吉田の定理）、08-differential-equations 第3章・第7章

5.1 関数空間に値をとる関数

熱方程式 $u_t = \Delta u$ を、時刻 $t$ ごとの「空間の関数」$u(t) = u(\cdot, t)$ の時間発展と見れば、関数空間 $X$ における常微分方程式 $u'(t) = \Delta u(t)$ になる。$\Delta$ は非有界作用素なので、常微分方程式の理論（08-differential-equations 第3章）はそのままでは使えない。本章では二つの方法を扱う。

1. エネルギー法とガラーキン法：有限次元の常微分方程式で近似し、エネルギー評価と弱コンパクト性で極限をとる。係数が時間に依存する問題や非線形問題にも使える。
2. 作用素半群：$u(t) = e^{t\Delta}u(0)$ を関数解析的に構成する（ヒレ–吉田の定理）。

どちらの方法でも、第4章の楕円型理論が土台になる。まず、関数空間に値をとる関数の空間を用意する。

定義 5.1（ボホナー空間）$X$ をバナッハ空間、$T > 0$ とする。単関数の a.e. 極限として表される関数 $u\colon[0, T] \to X$（強可測関数）で、$\lVert u\rVert_{L^p(0,T;X)} = \bigl(\int_0^T\lVert u(t)\rVert_X^pdt\bigr)^{1/p} < \infty$（$p = \infty$ では $\operatorname{ess\ sup}_t\lVert u(t)\rVert_X < \infty$）となるものの全体を $L^p(0, T; X)$ と書く。$u, v \in L^1(0, T; X)$ について、すべての $\varphi \in C_c^\infty(0, T)$ に対し $\int_0^T\varphi'(t)u(t)\ dt = -\int_0^T\varphi(t)v(t)\ dt$（$X$ におけるボホナー積分）が成り立つとき、$v$ を $u$ の弱導関数といい $u' = v$ と書く。

$X$ がヒルベルト空間なら $L^2(0, T; X)$ もヒルベルト空間である。放物型方程式ではゲルファントの三つ組 $H_0^1(\Omega) \subset L^2(\Omega) \subset H^{-1}(\Omega)$ を用いる：$f \in L^2(\Omega)$ を汎関数 $v \mapsto (f, v)$ とみて $H^{-1}$ の元と同一視し、$H^{-1}$ と $H_0^1$ の組を $\langle\cdot, \cdot\rangle$ と書く。

定理 5.2 (1) $u \in L^p(0, T; X)$、$u' \in L^p(0, T; X)$（$1 \leq p \leq \infty$）ならば、$u$ は $C([0, T]; X)$ の元と a.e. で一致し、$u(t) = u(s) + \int_s^tu'(\tau)\ d\tau$。 (2)（リオンス–マジェネス）$\Omega$ を有界開集合とし、$u \in L^2(0, T; H_0^1(\Omega))$、$u' \in L^2(0, T; H^{-1}(\Omega))$ とする。このとき $u$ は $C([0, T]; L^2(\Omega))$ の元と a.e. で一致し、$t \mapsto \lVert u(t)\rVert_{L^2}^2$ は絶対連続で、a.e. の $t$ で $\frac{d}{dt}\lVert u(t)\rVert_{L^2}^2 = 2\langle u'(t), u(t)\rangle$。

証明は Evans の第5章を参照。(2) は、$u(t)$ 自身は $H_0^1$ にしか、$u'(t)$ は $H^{-1}$ にしかなくても、両者の組が「ちょうど釣り合って」$L^2$ ノルムの微分が計算できることを述べている。

5.2 放物型方程式の弱解：ガラーキン法

$\Omega$ を有界開集合、$L$ を第4章の仮定 (A) をみたす作用素（係数は $t$ によらない）、$B$ を対応する双線形形式とし、

を考える。データは $f \in L^2(0, T; L^2(\Omega))$、$g \in L^2(\Omega)$ とする。滑らかな解に $v \in H_0^1$ を掛けて $x$ について部分積分すると $(u_t, v) + B[u, v] = (f, v)$ となる。各時刻で $u(t) \in H_0^1$ ならば $B[u(t), v]$ が意味をもち、$u_t = f - Lu$ は $H^{-1}$ に属するのが自然である。

定義 5.3（弱解）$u \in L^2(0, T; H_0^1(\Omega))$、$u' \in L^2(0, T; H^{-1}(\Omega))$ が

1. a.e. の $t \in [0, T]$ とすべての $v \in H_0^1(\Omega)$ について $\langle u'(t), v\rangle + B[u(t), v] = (f(t), v)$、
2. $u(0) = g$（定理 5.2 (2) により $u \in C([0, T]; L^2)$ なので意味をもつ）

をみたすとき、$u$ を (5.1) の弱解という。

定理 5.4（弱解の存在と一意性）(5.1) の弱解はただ一つ存在し、第4章の定数 $\alpha, \gamma$（定理 4.5）について

$$\max_{0 \leq t \leq T}\lVert u(t)\rVert^2 \leq e^{(2\gamma+1)T}\Bigl(\lVert g\rVert^2 + \int_0^T\lVert f\rVert^2dt\Bigr), \qquad \theta\int_0^T\lVert u\rVert_{H^1}^2dt \leq e^{(2\gamma+1)T}\Bigl(\lVert g\rVert^2 + \int_0^T\lVert f\rVert^2dt\Bigr)$$

および $\lVert u'(t)\rVert_{H^{-1}} \leq \lVert f(t)\rVert + \alpha\lVert u(t)\rVert_{H^1}$（a.e. $t$）が成り立つ。ここで $\lVert\cdot\rVert$ は $L^2(\Omega)$ のノルムである。

証明（詳しい概略）. (i) ガラーキン近似. $w_k$ を $-\Delta$ のディリクレ固有関数（定理 4.10）とする。$\lbrace w_k\rbrace$ は $L^2(\Omega)$ の正規直交基底で、$(\nabla w_k, \nabla w_l) = \lambda_k\delta_{kl}$。$u_m(t) = \sum_{k=1}^md_m^k(t)w_k$ を

で定める。これは定数係数の線形系 $d' + Md = F(t)$（$M_{kl} = B[w_l, w_k]$、$F_k = (f(t), w_k) \in L^2(0, T)$）であり、$d(t) = e^{-tM}d(0) + \int_0^te^{-(t-s)M}F(s)\ ds$ がただ一つの（絶対連続な）解である。

(ii) エネルギー評価. $k$ 番目の式に $d_m^k$ を掛けて和をとると $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\lVert u_m\rVert^2 + B[u_m, u_m] = (f, u_m)$。定理 4.5 の $B[u, u] \geq \frac{\theta}{2}\lVert u\rVert_{H^1}^2 - \gamma\lVert u\rVert^2$ と $2(f, u_m) \leq \lVert f\rVert^2 + \lVert u_m\rVert^2$ から

$e^{-\kappa t}$ を掛けて $0$ から $t$ まで積分し、$\lVert u_m(0)\rVert \leq \lVert g\rVert$（ベッセルの不等式）を使うと、$\lVert u_m(t)\rVert^2 + \theta\int_0^t\lVert u_m\rVert_{H^1}^2 \leq e^{\kappa T}(\lVert g\rVert^2 + \int_0^T\lVert f\rVert^2)$（グロンウォールの不等式）。時間微分については、$v \in H_0^1$ と $P_mv = \sum_{k \leq m}(v, w_k)w_k$ について $\lVert P_mv\rVert \leq \lVert v\rVert$、$\lVert\nabla P_mv\rVert^2 = \sum_{k \leq m}\lambda_k(v, w_k)^2 \leq \lVert\nabla v\rVert^2$（定理 4.10）だから $\lVert P_mv\rVert_{H^1} \leq \lVert v\rVert_{H^1}$ で、

固有関数を基底に選んだのはこの評価のためである。以上から $(u_m)$ は $L^2(0, T; H_0^1)$ で、$(u_m')$ は $L^2(0, T; H^{-1})$ で有界である。

(iii) 極限. ヒルベルト空間の有界列なので、部分列について $u_m \rightharpoonup u$（$L^2(0, T; H_0^1)$）、$u_m' \rightharpoonup u^\sharp$（$L^2(0, T; H^{-1})$）と弱収束し、弱導関数の定義で極限をとれば $u^\sharp = u'$。$N$ を固定し、$v(t) = \sum_{k=1}^N\alpha_k(t)w_k$（$\alpha_k \in C^1[0, T]$）とすると、$m \geq N$ で $\int_0^T(\langle u_m', v\rangle + B[u_m, v])\ dt = \int_0^T(f, v)\ dt$。弱極限をとると $u$ についても同じ式が成り立ち、このような $v$ は $L^2(0, T; H_0^1)$ で稠密なので、定義 5.3 の 1 が a.e. の $t$ で成り立つ。$v(T) = 0$ となる $v$ で時間について部分積分し、$u_m(0) \to g$（$L^2$）と比べると $u(0) = g$ を得る。評価は弱極限でも保たれる（ノルムの弱下半連続性と、定理 5.2 (2) による $u$ 自身のエネルギー等式）。

(iv) 一意性. $f = 0$、$g = 0$ の弱解 $u$ について、定理 5.2 (2) と $v = u(t)$ から $\frac{d}{dt}\lVert u\rVert^2 = -2B[u, u] \leq 2\gamma\lVert u\rVert^2$。$\lVert u(0)\rVert = 0$ とグロンウォールの不等式より $u \equiv 0$。$\square$

注意 5.5（正則性）$\partial\Omega$ が $C^2$ 級、$a^{ij} \in C^1(\overline\Omega)$、$g \in H_0^1(\Omega)$ ならば、弱解は $u \in L^2(0, T; H^2(\Omega)) \cap L^\infty(0, T; H_0^1(\Omega))$、$u' \in L^2(0, T; L^2(\Omega))$ をみたす（第4章の境界正則性を各時刻に使う。Evans の第7章）。データが滑らかで適合条件をみたせば解は滑らかである。さらに放物型方程式には、$g$ が $L^2$ でしかなくても $t > 0$ で解が滑らかになる平滑化効果がある（命題 5.6）。

5.3 半群による定式化

簡単のため $L = -\Delta$ とし、$\Omega$ は有界で境界が $C^2$ 級とする。$X = L^2(\Omega)$ 上の作用素 $A$ を

で定める。境界条件は定義域 $D(A)$ に組み込まれている。

命題 5.6（熱半群）$A$ は $L^2(\Omega)$ 上の縮小 $C_0$ 半群 $S(t) = e^{t\Delta}$ を生成する。$-\Delta$ のディリクレ固有値・固有関数を $\lambda_k$, $w_k$（定理 4.10）とすると

$$S(t)g = \sum_{k=1}^\infty e^{-\lambda_kt}(g, w_k)w_k, \qquad \lVert S(t)g\rVert \leq e^{-\lambda_1t}\lVert g\rVert, \qquad \lVert\Delta S(t)g\rVert \leq \frac{1}{et}\lVert g\rVert \quad (t > 0)$$

証明. ヒレ–吉田の定理（10-functional-analysis 第7章 定理 7.18）の仮定を確かめる。$D(A) \supset C_c^\infty(\Omega)$ は稠密。$\lambda > 0$、$f \in L^2$ に対し、$\lambda u - \Delta u = f$、$u \in H_0^1$ はただ一つの弱解をもち（系 4.7 で $c = \lambda$）、境界正則性（定理 4.16）により $u \in H^2$、すなわち $u \in D(A)$ で $(\lambda - A)u = f$。よって $\lambda - A\colon D(A) \to L^2$ は全単射で、$v = u$ を代入した $\lambda\lVert u\rVert^2 + \lVert\nabla u\rVert^2 = (f, u)$ から $\lVert(\lambda - A)^{-1}f\rVert \leq \lVert f\rVert/\lambda$。有界な逆をもつので $A$ は閉作用素である。したがって $A$ は縮小半群を生成する。$w_k \in D(A)$、$Aw_k = -\lambda_kw_k$ なので $e^{-\lambda_kt}w_k$ は $u' = Au$、$u(0) = w_k$ の解であり、半群による解の一意性から $S(t)w_k = e^{-\lambda_kt}w_k$。線形性と連続性から展開式を得る。$A$ は（グリーンの公式により）$D(A)$ 上で対称なので、$u \in D(A)$ について $(Au, w_k) = -\lambda_k(u, w_k)$ であり

第 2 の評価も同様である。$\square$

$\lVert\Delta S(t)g\rVert \leq (et)^{-1}\lVert g\rVert$ は平滑化効果の定量的な表現である。同様に $\lVert\Delta^kS(t)g\rVert \leq (k/(et))^k\lVert g\rVert$ となり、$\partial\Omega$ が $C^\infty$ 級なら、境界正則性（定理 4.16）を繰り返し使って $t > 0$ で $S(t)g \in C^\infty(\overline\Omega)$ がわかる。$-A$ は非負の自己共役作用素なので、系 7.19（同第7章）から直接に半群の生成を結論してもよい。非斉次方程式 $u' = Au + f$ の解はデュアメルの公式 $u(t) = S(t)g + \int_0^tS(t - s)f(s)\ ds$ で与えられ、これは定理 5.4 の弱解と一致する。

5.4 放物型方程式の最大値原理

$\Omega$ を有界開集合、$\Omega_T = \Omega \times (0, T]$ とし、放物境界 $\Gamma_T = \overline{\Omega_T} \setminus \Omega_T = (\overline\Omega \times \lbrace 0\rbrace) \cup (\partial\Omega \times [0, T])$ とおく。$\Omega_T$ で $u, \partial_iu, \partial_i\partial_ju, \partial_tu$ が連続な関数の全体を $C^{2,1}(\Omega_T)$ と書く。

定理 5.7（放物型の弱最大値原理）$u \in C^{2,1}(\Omega_T) \cap C(\overline{\Omega_T})$ が $\Omega_T$ で $u_t - \Delta u \leq 0$ をみたすならば、$\max_{\overline{\Omega_T}}u = \max_{\Gamma_T}u$。

証明. まず $u_t - \Delta u < 0$ と仮定する。$u$ が最大値を $(x_0, t_0) \in \Omega_T$ でとったとすると、$x_0$ は $u(\cdot, t_0)$ の内部の最大点なので $\Delta u(x_0, t_0) \leq 0$。また $0 < t_0 \leq T$ で、$t \mapsto u(x_0, t)$ は $t_0$ で（$t_0 = T$ なら左側から）最大なので $u_t(x_0, t_0) \geq 0$。よって $u_t - \Delta u \geq 0$ となり矛盾。一般の場合は $\varepsilon > 0$ について $v = u - \varepsilon t$ とすると $v_t - \Delta v \leq -\varepsilon < 0$ なので、$\max_{\overline{\Omega_T}}u \leq \max_{\overline{\Omega_T}}v + \varepsilon T = \max_{\Gamma_T}v + \varepsilon T \leq \max_{\Gamma_T}u + \varepsilon T$。$\varepsilon \to 0$ とすればよい。$\square$

系 5.8 $u \in C^{2,1}(\Omega_T) \cap C(\overline{\Omega_T})$ が $u_t - \Delta u = f$（$f$ は有界）をみたすならば $\max_{\overline{\Omega_T}}\lvert u\rvert \leq \max_{\Gamma_T}\lvert u\rvert + T\sup\lvert f\rvert$。特に、初期値・境界値問題の古典解は一意であり、データに一様ノルムで連続に依存する。

証明. $v = \pm u - t\sup\lvert f\rvert$ は $v_t - \Delta v \leq 0$ をみたし、$\Gamma_T$ 上で $v \leq \max_{\Gamma_T}\lvert u\rvert$。定理 5.7 を適用すればよい。$\square$

1 次元の場合は 08-differential-equations 第7章 で扱った。さらに強最大値原理が成り立つ：$\Omega$ が連結で、$u$ が最大値を $(x_0, t_0) \in \Omega_T$ でとるならば、$u$ は $\overline\Omega \times [0, t_0]$ で定数である（主張のみ；Evans の第2章・第7章）。したがって、$g \geq 0$、$g \not\equiv 0$、境界値 $0$ の熱方程式の解は、すべての $t > 0$ で $\Omega$ 全体において正になる。熱は瞬時に全体に伝わる（無限の伝播速度）。

5.5 波動方程式

$\Omega$ を有界で境界が $C^1$ 級の開集合とし、$u_{tt} - \Delta u = f$ を考える。エネルギーを

で定める（運動エネルギーと位置エネルギーの和）。

定理 5.9（エネルギー等式と一意性）$u \in C^2(\overline\Omega \times [0, T])$ が $u_{tt} - \Delta u = f$（$\Omega \times (0, T)$ で）、$u = 0$（$\partial\Omega \times [0, T]$ で）をみたすならば、$E'(t) = \int_\Omega fu_t\ dx$ であり、

$$E(t)^{1/2} \leq E(0)^{1/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^t\lVert f(s)\rVert\,ds \qquad (0 \leq t \leq T)$$

特に $f = 0$ ならば $E(t) = E(0)$（エネルギー保存）。初期値・境界値問題の古典解は一意である。

証明. 積分記号下で微分し、ガウス–グリーンの公式を使うと

（境界で $u = 0$ だから $u_t = 0$）。$E' \leq \lVert f\rVert\lVert u_t\rVert \leq \lVert f\rVert\sqrt{2E}$ より、$\varepsilon > 0$ について $\frac{d}{dt}\sqrt{E + \varepsilon} = \frac{E'}{2\sqrt{E + \varepsilon}} \leq \frac{\lVert f\rVert}{\sqrt{2}}$。積分して $\varepsilon \to 0$ とすれば評価を得る。一意性：2 つの解の差は $f = 0$、初期値 $0$ の解なので $E \equiv 0$、よって $u_t = 0$、$\nabla u = 0$ で、$u \equiv 0$。$\square$

同じエネルギー評価を用いて、ガラーキン法により弱解が構成できる：$g \in H_0^1(\Omega)$、$h \in L^2(\Omega)$、$f \in L^2(0, T; L^2(\Omega))$ に対し、初期条件 $u(0) = g$、$u_t(0) = h$ の弱解 $u \in C([0, T]; H_0^1) \cap C^1([0, T]; L^2)$ がただ一つ存在し、エネルギー等式をみたす（証明は Evans の第7章）。半群の言葉では、$U = (u, u_t)$ をエネルギー空間 $H_0^1 \times L^2$ 上の方程式 $U' = \mathcal{A}U$、$\mathcal{A}(u, v) = (v, \Delta u)$ とみると、$\mathcal{A}$ は歪自己共役で、$e^{t\mathcal{A}}$ はエネルギーを保つ群になる（ストーンの定理）。熱方程式と違い、波動方程式には平滑化効果がなく、時間を逆向きにも解ける。

定理 5.10（有限伝播速度）$u \in C^2(\mathbb{R}^n \times [0, \infty))$ が $u_{tt} - \Delta u = 0$ をみたし、$x_0 \in \mathbb{R}^n$、$t_0 > 0$ について $B(x_0, t_0)$ 上で $u(\cdot, 0) = u_t(\cdot, 0) = 0$ とする。このとき円錐 $K = \lbrace(x, t) \mid 0 \leq t \leq t_0,\ \lvert x - x_0\rvert \leq t_0 - t\rbrace$ 上で $u = 0$。

証明. $0 \leq t < t_0$ に対し、縮んでいく球の上の局所エネルギー $e(t) = \frac{1}{2}\int_{B(x_0, t_0 - t)}(u_t^2 + \lvert\nabla u\rvert^2)\ dx$ を考える。半径が速さ $1$ で減るので

第 1 項は部分積分により $\int_{\partial B}u_t\ \partial_\nu u\ dS$ に等しく（$u_{tt} - \Delta u = 0$）、$\lvert u_t\ \partial_\nu u\rvert \leq \frac{1}{2}(u_t^2 + \lvert\nabla u\rvert^2)$ だから $e'(t) \leq 0$。$e(0) = 0$ なので $[0, t_0)$ で $e \equiv 0$、すなわち $K$（頂点を除く、連続性により頂点も含む）で $u_t = 0$、$\nabla u = 0$。$K$ は連結で、$t = 0$ で $u = 0$ だから、$K$ 上で $u = 0$。$\square$

点 $(x_0, t_0)$ での解の値は、初期データの $\overline{B(x_0, t_0)}$ 上の値だけで決まる（依存領域）。擾乱は速さ $1$ を超えて伝わらない。これは第1章で見た波動作用素の基本解の台が円錐 $\lvert x\rvert \leq t$ に含まれることに対応する。フーリエ変換では解は $\hat u = \cos(t\lvert\xi\rvert)\hat g + \frac{\sin(t\lvert\xi\rvert)}{\lvert\xi\rvert}\hat h$ と表され、これらの乗数が指数型 $t$ の整関数に延長されることが、ペイリー–ウィーナー–シュワルツの定理（定理 2.18）を通じて有限伝播速度を与える。

5.6 シュレディンガー方程式

自由シュレディンガー方程式 $i\partial_tu = -\Delta u$（$x \in \mathbb{R}^n$）を考える。$H = -\Delta$、$D(H) = H^2(\mathbb{R}^n)$ はフーリエ変換により $\lvert\xi\rvert^2$ を掛ける作用素にユニタリ同値なので、$L^2(\mathbb{R}^n)$ 上の非負の自己共役作用素である（実数値関数を掛ける作用素は、その最大定義域で自己共役）。ストーンの定理（10-functional-analysis 第7章 定理 7.16）により、$U(t) = e^{-itH}$ は強連続なユニタリ群で、$g \in H^2$ なら $u(t) = U(t)g$ は $iu' = Hu$、$u(0) = g$ の解である。第2章の計算と合わせて次を得る。

命題 5.11（シュレディンガー群）$\widehat{U(t)g}(\xi) = e^{-it\lvert\xi\rvert^2}\hat g(\xi)$ であり、

1. すべての $s \in \mathbb{R}$ について $\lVert U(t)g\rVert_{H^s} = \lVert g\rVert_{H^s}$（特に $L^2$ ノルムの保存）。
2. （分散評価）$g \in L^1 \cap L^2$、$t \neq 0$ ならば $\sup_x\lvert U(t)g(x)\rvert \leq (4\pi\lvert t\rvert)^{-n/2}\lVert g\rVert_{L^1}$。
3. $2 \leq p \leq \infty$、$\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1$ ならば $\lVert U(t)g\rVert_{L^p} \leq (4\pi\lvert t\rvert)^{-n(\frac{1}{2} - \frac{1}{p})}\lVert g\rVert_{L^{p'}}$。

証明. (1) $\lvert e^{-it\lvert\xi\rvert^2}\rvert = 1$ と $H^s$ ノルムの定義による。(2) $g \in \mathcal{S}$ なら命題 2.20 であり、一般の場合は $L^1 \cap L^2$ での近似による（(1) により $L^2$ で、したがって部分列が a.e. で収束する）。(3) は $p = 2$（(1)）と $p = \infty$（(2)）の間のリース–トーリンの補間定理による（補間定理は本教材では証明しない）。$\square$

熱方程式と違い、シュレディンガー方程式は $H^s$ ノルムを保つので平滑化も減衰もしない（$L^2$ の意味で）。しかし (2)(3) の意味で解は空間に広がって各点で減衰する。この分散性を時空の積分ノルムで表したものがストリッカーツ評価である。

定理 5.12（ストリッカーツ評価, Strichartz estimates）$2 \leq q, r \leq \infty$、$\frac{2}{q} + \frac{n}{r} = \frac{n}{2}$、$(q, r, n) \neq (2, \infty, 2)$ とする（許容対）。定数 $C = C(n, q, r)$ があって、すべての $g \in L^2(\mathbb{R}^n)$ について

$$\Bigl(\int_{\mathbb{R}}\lVert U(t)g\rVert_{L^r(\mathbb{R}^n)}^q\,dt\Bigr)^{1/q} \leq C\lVert g\rVert_{L^2(\mathbb{R}^n)}$$

（主張のみ。）指数の関係は、$u(x, t)$ が解なら $u(\lambda x, \lambda^2t)$ も解であるというスケーリングから必要になる（問題 5.6）。$(q, r) = (\infty, 2)$ は $L^2$ ノルムの保存そのものである。$q > 2$ の場合の証明は次の $TT^{\ast}$ 論法による。$Tg = U(\cdot)g$ とおくと $\lVert T\rVert^2 = \lVert TT^{\ast}\rVert$ で、$TT^{\ast}F(t) = \int U(t - s)F(s)\ ds$。命題 5.11 (3) により $\lVert U(t - s)F(s)\rVert_{L^r} \leq C\lvert t - s\rvert^{-2/q}\lVert F(s)\rVert_{L^{r'}}$（$n(\frac{1}{2} - \frac{1}{r}) = \frac{2}{q}$）であり、時間変数についての $\lvert t\rvert^{-2/q}$ との畳み込みはハーディ–リトルウッド–ソボレフの不等式により $L^{q'} \to L^q$ で有界である（$0 < \frac{2}{q} < 1$ が必要）。端点 $q = 2$（$n \geq 3$）はキール–タオ（1998）による。ストリッカーツ評価は、非線形シュレディンガー方程式 $iu_t + \Delta u = \pm\lvert u\rvert^{p-1}u$ の解を縮小写像の原理で構成するための基本的な道具である（第6章）。

まとめ

• 発展方程式は関数空間に値をとる関数の常微分方程式とみなせる。弱解は $u \in L^2(0, T; H_0^1)$、$u' \in L^2(0, T; H^{-1})$ の枠で定式化され、$u \in C([0, T]; L^2)$ となる（リオンス–マジェネスの定理）。
• ガラーキン法：有限次元近似 → エネルギー評価（グロンウォール）→ 弱コンパクト性で極限、という手順で放物型方程式の弱解を構成した。一意性もエネルギー法による。
• 熱方程式は、境界条件を定義域に組み込んだ $A = \Delta$ が縮小半群を生成すること（ヒレ–吉田の定理の仮定は第4章の楕円型理論で確かめられる）として捉えられ、$\lVert\Delta e^{t\Delta}g\rVert \leq (et)^{-1}\lVert g\rVert$ という平滑化効果をもつ。
• 放物型方程式は最大値原理をみたし、熱は無限の速さで伝わる。
• 波動方程式はエネルギーを保存し、擾乱は有限の速さでしか伝わらない。平滑化効果はない。
• シュレディンガー方程式はユニタリ群 $e^{it\Delta}$ で解かれ、$H^s$ ノルムを保ちつつ $\lvert t\rvert^{-n/2}$ で各点減衰する。これはストリッカーツ評価に一般化される。

演習問題