超関数

この章の目標

• 試験関数の空間 $C_c^\infty(\Omega)$ と超関数を定義し、局所可積分関数・デルタ関数・主値 $\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}$ を超関数として扱える
• 超関数の微分を計算でき、ヘヴィサイド関数の微分がデルタ関数になることを説明できる
• 軟化子による近似定理を証明し、超関数の台・位数・積・畳み込みを扱える
• ラプラシアン・熱作用素・波動作用素の基本解を求め、$-\Delta u = f$ の解を構成できる

前提：06-measure-integration 第4章、第5章（フビニの定理・畳み込み・近似単位元）、第7章（ルベーグの微分定理）、08-differential-equations 第7章

1.1 なぜ超関数か

偏微分方程式論の現代的な方法は、おおよそ次の 3 段階からなる。

1. 解の概念を広げる：微分を試験関数の側に移すことで、微分できない関数にも方程式の意味を与える（本章と第3章）。
2. 広い意味の解（弱解）の存在を示す：完備な関数空間の上で、リースの表現定理・コンパクト性・変分法などの関数解析の道具を使う（第4〜6章）。
3. 正則性を示す：得られた解が実は滑らかで、古典的な意味の解であることを示す（第4・5章）。

$C^2$ 級関数の中だけで解を探す古典的な枠組みでは、第 2 段階がうまくいかない。$C^2$ 級関数の空間は、方程式に付随する自然なノルム（エネルギー）について完備でないからである。そこで解の空間を広げるが、広げた空間の元にも微分が意味をもたなければならない。そのための最も一般的な枠組みが超関数 (distribution) である。

点源. 原点に置いた単位の点電荷がつくる $\mathbb{R}^3$ のポテンシャル $\Phi(x) = \frac{1}{4\pi\lvert x\rvert}$ は $x \neq 0$ で $\Delta\Phi = 0$ をみたす。物理では電荷密度が原点に集中した「関数」$\delta$ を使って $-\Delta\Phi = \delta$ と書くが、「$x \neq 0$ で $0$ で全積分が $1$」という関数は存在しない。しかし $\delta$ を「試験関数 $\varphi$ に値 $\varphi(0)$ を対応させる規則」と見れば、きちんと意味をもつ。

弱い意味の微分. 波動方程式 $u_{tt} = u_{xx}$ は $F \in C^2(\mathbb{R})$ に対して解 $u = F(x - t)$ をもつ。つまんではじいた弦のように $F$ に角があっても $u$ は物理的に正しい波だが、微分できない。$u \in C^2$ ならば部分積分を 2 回行って

であり、右辺は $u$ が局所可積分でありさえすれば意味をもつ。実際、$\xi = x - t$, $\eta = x + t$ と変数変換すると $\partial_t^2 - \partial_x^2 = -4\partial_\xi\partial_\eta$ なので、局所可積分な任意の $F$ について $u = F(x - t)$ は右辺をみたす。関数 $u$ を、値の集まりではなく「試験関数との積分 $\varphi \mapsto \int u\varphi$ の全体」として捉えなおすのが超関数の考え方である。

1.2 試験関数と軟化子

以下 $\Omega$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合とし、関数は複素数値とする。多重指数 (multi-index) $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n$ に対して $\lvert\alpha\rvert = \alpha_1 + \dots + \alpha_n$、$\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}$（$\partial_j = \partial/\partial x_j$）、$x^\alpha = x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ と書く。$\omega_n$ は $\mathbb{R}^n$ の単位球の体積で、単位球面の面積は $n\omega_n$ である。

定義 1.1（試験関数, test function）$\Omega$ 上の $C^\infty$ 級関数 $\varphi$ で、台 $\operatorname{supp}\varphi$（$\lbrace\varphi \neq 0\rbrace$ の $\Omega$ における閉包）がコンパクトなものの全体を $C_c^\infty(\Omega)$ または $\mathcal{D}(\Omega)$ と書き、その元を試験関数という。$\mathcal{D}(\Omega)$ の列 $\varphi_j$ が $\varphi$ に収束するとは、あるコンパクト集合 $K \subset \Omega$ がすべての $\operatorname{supp}\varphi_j$ を含み、かつすべての多重指数 $\alpha$ について $\partial^\alpha\varphi_j \to \partial^\alpha\varphi$ が一様収束することをいう。

例 1.2（隆起関数と軟化子）$\rho(t) = e^{-1/t}$ $(t > 0)$、$\rho(t) = 0$ $(t \leq 0)$ は $C^\infty$ 級である（$t > 0$ での導関数は $1/t$ の多項式と $e^{-1/t}$ の積で、$t \downarrow 0$ で $0$ に収束する）。$\eta(x) = c\rho(1 - \lvert x\rvert^2)$（$c > 0$ は $\int\eta\ dx = 1$ となる定数）とおくと、$\eta \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$、$\eta \geq 0$、$\operatorname{supp}\eta = \overline{B(0,1)}$ で、$\eta$ は $\lvert x\rvert$ だけの関数である。$\varepsilon > 0$ に対し $\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-n}\eta(x/\varepsilon)$ とおくと、$\operatorname{supp}\eta_\varepsilon = \overline{B(0,\varepsilon)}$、$\int\eta_\varepsilon = 1$ である。$\eta_\varepsilon$ を標準軟化子 (standard mollifier) という。なお $\varphi_j(x) = \frac{1}{j}\eta(x - je_1)$ はすべての導関数とともに $0$ に一様収束するが、台が無限遠に逃げるので $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ では収束しない。

$f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$（$\Omega$ の各コンパクト集合上で可積分）に対し、$\Omega_\varepsilon = \lbrace x \in \Omega \mid \operatorname{dist}(x, \partial\Omega) > \varepsilon\rbrace$（$\Omega = \mathbb{R}^n$ なら $\Omega_\varepsilon = \mathbb{R}^n$）上の関数

を $f$ の軟化 (mollification) という。$\Omega$ のコンパクト集合 $K$ は、$\varepsilon$ が十分小さければ $\Omega_\varepsilon$ に含まれる。

定理 1.3（軟化子による近似）$f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ とする。

1. $f^\varepsilon \in C^\infty(\Omega_\varepsilon)$ であり、$\partial^\alpha f^\varepsilon = (\partial^\alpha\eta_\varepsilon) \ast f$。
2. $\varepsilon \to 0$ のとき $f^\varepsilon \to f$ が a.e. で成り立つ。
3. $f \in C(\Omega)$ ならば、$f^\varepsilon \to f$ は $\Omega$ の各コンパクト集合上で一様収束する。
4. $1 \leq p < \infty$、$f \in L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ ならば、各コンパクト集合 $K \subset \Omega$ について $\lVert f^\varepsilon - f\rVert_{L^p(K)} \to 0$。$\Omega = \mathbb{R}^n$、$f \in L^p(\mathbb{R}^n)$ ならば $\lVert f^\varepsilon\rVert_{L^p} \leq \lVert f\rVert_{L^p}$ かつ $\lVert f^\varepsilon - f\rVert_{L^p(\mathbb{R}^n)} \to 0$。

証明. (1) $x \in \Omega_\varepsilon$ を固定し、$\delta > 0$ を $V = \overline{B(x, \varepsilon + \delta)} \subset \Omega$ となるようにとる。$0 < \lvert h\rvert < \delta$ のとき

で、平均値の定理と $\partial_i\eta_\varepsilon$ の一様連続性から、分数部分は $y$ について一様に $\partial_i\eta_\varepsilon(x - y)$ に収束する。$f \in L^1(V)$ なので極限と積分を交換でき、$\partial_if^\varepsilon = (\partial_i\eta_\varepsilon) \ast f$ を得る。$g \in C_c^\infty$ について $\lvert(g \ast f)(x') - (g \ast f)(x)\rvert \leq \sup_y\lvert g(x' - y) - g(x - y)\rvert\ \lVert f\rVert_{L^1(V)}$ なので $g \ast f$ は連続であり、これを繰り返せばよい。

(2) ルベーグの微分定理（06-measure-integration 第7章 定理 7.4）により、a.e. の $x$ で $\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y) - f(x)\rvert\ dy \to 0$ $(r \to 0)$ となる。そのような $x$ では $\int\eta_\varepsilon = 1$ と $\eta_\varepsilon \leq \varepsilon^{-n}\sup\eta$ より

(3) $K$ をコンパクトとし、$\delta > 0$ を $K_\delta = \lbrace x \mid \operatorname{dist}(x, K) \leq \delta\rbrace \subset \Omega$ となるようにとる。$f$ はコンパクト集合 $K_\delta$ 上で一様連続であり、$\varepsilon < \delta$、$x \in K$ のとき $\lvert f^\varepsilon(x) - f(x)\rvert \leq \sup\lbrace\lvert f(y) - f(x)\rvert \mid \lvert y - x\rvert \leq \varepsilon\rbrace$ で、右辺は $x \in K$ について一様に $0$ に収束する。

(4) $K_\delta \subset \Omega$ を (3) のようにとり、$g = f\mathbf{1}_{K_\delta} \in L^p(\mathbb{R}^n)$ とおく。$\varepsilon < \delta$ ならば $K$ 上で $f^\varepsilon = \eta_\varepsilon \ast g$ だから、$\lVert f^\varepsilon - f\rVert_{L^p(K)} \leq \lVert\eta_\varepsilon \ast g - g\rVert_{L^p(\mathbb{R}^n)}$ であり、これは近似単位元の定理（06-measure-integration 第5章 定理 5.15）により $0$ に収束する。後半はヤングの不等式（同定理 5.14）と定理 5.15 そのものである。$\square$

系 1.4 $1 \leq p < \infty$ ならば、$C_c^\infty(\Omega)$ は $L^p(\Omega)$ で稠密である。

証明. $f \in L^p(\Omega)$ とし、コンパクト集合 $K_j = \lbrace x \in \Omega \mid \lvert x\rvert \leq j,\ \operatorname{dist}(x, \partial\Omega) \geq 1/j\rbrace$ をとると、優収束定理により $f\mathbf{1}_{K_j} \to f$（$L^p$）。$f\mathbf{1}_{K_j}$ を $\Omega$ の外で $0$ として $\mathbb{R}^n$ 上の関数とみれば、$\varepsilon < 1/j$ で $\eta_\varepsilon \ast (f\mathbf{1}_{K_j}) \in C_c^\infty(\Omega)$ であり、定理 1.3 (4) によりこれは $f\mathbf{1}_{K_j}$ に $L^p$ 収束する。$\square$

補題 1.5（切り落とし関数と 1 の分割）(1) $K \subset U \subset \mathbb{R}^n$、$K$ はコンパクト、$U$ は開集合とすると、$\chi \in C_c^\infty(U)$ で $0 \leq \chi \leq 1$ かつ $K$ の近傍で $\chi = 1$ となるものがある。(2) コンパクト集合 $K$ が開集合 $U_1, \dots, U_m$ で覆われるならば、$\psi_j \in C_c^\infty(U_j)$、$\psi_j \geq 0$ で、$K$ の近傍で $\sum_j\psi_j = 1$ となるものがある。

証明. (1) $\delta = \frac{1}{4}\operatorname{dist}(K, U^c)$（$U = \mathbb{R}^n$ なら $\delta = 1$）とし、$\chi = \eta_\delta \ast \mathbf{1}_{K_{2\delta}}$ とおけば、$\chi$ は $C^\infty$ 級で $0 \leq \chi \leq 1$、$K_\delta$ 上で $\chi = 1$、$\operatorname{supp}\chi \subset K_{3\delta} \subset U$。(2) コンパクト性から、$K \subset \bigcup_jK_j^\circ$ となるコンパクト集合 $K_j \subset U_j$ がとれる。(1) で $K_j \subset U_j$ に対する $\chi_j$ をとり、$\psi_1 = \chi_1$、$\psi_j = (1 - \chi_1)\cdots(1 - \chi_{j-1})\chi_j$ とおけば、$\sum_j\psi_j = 1 - \prod_j(1 - \chi_j)$ は $\bigcup_jK_j$ の近傍で $1$ である。$\square$

補題 1.6（変分法の基本補題）$f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ がすべての $\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$ について $\int_\Omega f\varphi\ dx = 0$ をみたすならば、$f = 0$ a.e.

証明. $x \in \Omega_\varepsilon$ ならば $\eta_\varepsilon(x - \cdot) \in C_c^\infty(\Omega)$ なので $f^\varepsilon(x) = 0$。定理 1.3 (2) より $f = \lim_{\varepsilon \to 0}f^\varepsilon = 0$ a.e. $\square$

1.3 超関数の定義と例

定義 1.7（超関数, distribution）線形写像 $T\colon C_c^\infty(\Omega) \to \mathbb{C}$ が、各コンパクト集合 $K \subset \Omega$ に対してある定数 $C_K \geq 0$ と整数 $m_K \geq 0$ をもち

$$\lvert\langle T, \varphi\rangle\rvert \leq C_K\sum_{\lvert\alpha\rvert \leq m_K}\sup_x\lvert\partial^\alpha\varphi(x)\rvert \qquad (\varphi \in C_c^\infty(\Omega),\ \operatorname{supp}\varphi \subset K) \tag{1.1}$$

をみたすとき、$T$ を $\Omega$ 上の超関数という。ここで $\langle T, \varphi\rangle = T(\varphi)$ と書いた。超関数の全体を $\mathcal{D}'(\Omega)$ と書く。$m_K$ を $K$ によらない $m$ にとれるとき $T$ は位数 (order) $m$ 以下であるといい、そのような最小の $m$ を $T$ の位数という。

$\langle T, \varphi\rangle$ は $\varphi$ について（共役をとらない）線形であり、内積とは異なることに注意する。

命題 1.8 線形写像 $T\colon C_c^\infty(\Omega) \to \mathbb{C}$ について、(1.1) は次の点列連続性と同値である：$\mathcal{D}(\Omega)$ で $\varphi_j \to \varphi$ ならば $\langle T, \varphi_j\rangle \to \langle T, \varphi\rangle$。

証明. (1.1) から点列連続性が従うのは明らか（$\varphi_j - \varphi$ の台は共通の $K$ に含まれる）。逆に、あるコンパクト集合 $K$ で (1.1) が成り立たないとすると、各 $j$ について $\operatorname{supp}\varphi_j \subset K$ かつ $\lvert\langle T, \varphi_j\rangle\rvert > j\sum_{\lvert\alpha\rvert \leq j}\sup\lvert\partial^\alpha\varphi_j\rvert$ となる $\varphi_j$ がある。$\psi_j = \varphi_j/\langle T, \varphi_j\rangle$ とおくと $\langle T, \psi_j\rangle = 1$ で、各 $\alpha$ について $j \geq \lvert\alpha\rvert$ なら $\sup\lvert\partial^\alpha\psi_j\rvert < 1/j$。よって $\mathcal{D}(\Omega)$ で $\psi_j \to 0$ となり、点列連続性に反する。$\square$

例 1.9（局所可積分関数）$f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に対し $\langle T_f, \varphi\rangle = \int_\Omega f\varphi\ dx$ とおくと、$\lvert\langle T_f, \varphi\rangle\rvert \leq \lVert f\rVert_{L^1(K)}\sup\lvert\varphi\rvert$ なので $T_f$ は位数 $0$ の超関数である。補題 1.6 により $f \mapsto T_f$ は単射なので、以後 $f$ と $T_f$ を同一視する。たとえば $\lvert x\rvert^{-a}$ は、極座標で計算すると $a < n$ のとき、かつそのときに限り $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ に属する。

例 1.10（デルタ関数）$a \in \Omega$ に対し $\langle\delta_a, \varphi\rangle = \varphi(a)$ は位数 $0$ の超関数で、$\delta = \delta_0$ と書く。$\delta \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ は局所可積分関数ではない。実際 $\delta = T_f$ とすると、$\varphi_j(x) = \eta(jx)$ について $\langle\delta, \varphi_j\rangle = \eta(0) > 0$ である一方、$\lvert f\varphi_j\rvert \leq (\sup\eta)\lvert f\rvert\mathbf{1}_{B(0,1)}$ かつ $x \neq 0$ で $\varphi_j(x) \to 0$ なので、優収束定理より $\int f\varphi_j \to 0$ となり矛盾する。

例 1.11（測度）$\mu$ を $\Omega$ 上のラドン測度とすると $\langle\mu, \varphi\rangle = \int\varphi\ d\mu$ は位数 $0$ の超関数である。逆に、$\varphi \geq 0$ ならば $\langle T, \varphi\rangle \geq 0$ となる超関数（正値超関数）は測度である。実際、$K$ の近傍で $1$ となる $\chi$（補題 1.5）をとると、$\operatorname{supp}\varphi \subset K$ の実数値 $\varphi$ について $-\sup\lvert\varphi\rvert\chi \leq \varphi \leq \sup\lvert\varphi\rvert\chi$ だから $\lvert\langle T, \varphi\rangle\rvert \leq \langle T, \chi\rangle\sup\lvert\varphi\rvert$。よって $T$ は位数 $0$ で $C_c(\Omega)$ 上の正値線形汎関数に拡張され、リース–マルコフ–角谷の表現定理（06-measure-integration 第8章）が適用できる。

例 1.12（主値）$1/x$ は原点の近くで可積分でないが、

は $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ の元を定める（p.v. は主値 principal value の略）。実際 $\operatorname{supp}\varphi \subset [-R, R]$ とすると、$1/x$ が奇関数なので

であり、被積分関数は平均値の定理により $\sup\lvert\varphi'\rvert$ で抑えられる。よって極限は存在して $\int_{-R}^R\frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x}\ dx$ に等しく、$\lvert\langle\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}, \varphi\rangle\rvert \leq 2R\sup\lvert\varphi'\rvert$。位数は $1$ 以下である（ちょうど $1$ であることは問題 1.5）。

定義 1.13（超関数の収束）$T_j, T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ について、すべての $\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$ で $\langle T_j, \varphi\rangle \to \langle T, \varphi\rangle$ となるとき、$\mathcal{D}'(\Omega)$ で $T_j \to T$ という。連続パラメータ $\varepsilon \to 0$ についても同様に定める。

例 1.14 (1) $\lvert\int\eta_\varepsilon\varphi\ dx - \varphi(0)\rvert \leq \int\eta_\varepsilon(x)\lvert\varphi(x) - \varphi(0)\rvert\ dx \leq \sup_{\lvert x\rvert \leq \varepsilon}\lvert\varphi(x) - \varphi(0)\rvert$ なので $\eta_\varepsilon \to \delta$。(2) $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ で $\sin(jx) \to 0$。実際 $\int\sin(jx)\varphi\ dx = \frac{1}{j}\int\cos(jx)\varphi'\ dx$。部分積分を繰り返せば、任意の $k$ について $j^k\sin(jx) \to 0$ もわかる。各点では収束せず振幅が増大する関数列でも、振動が平均されて超関数としては $0$ に収束する。

1.4 超関数の微分

$u \in C^1(\Omega)$、$\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$ ならば、部分積分により（$\varphi$ の台がコンパクトなので境界項は出ない）$\int\partial_ju\ \varphi = -\int u\ \partial_j\varphi$ である。右辺は $u$ が超関数でも意味をもつ。

定義 1.15（超関数の微分）$T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ と多重指数 $\alpha$ に対し、$\langle\partial^\alpha T, \varphi\rangle = (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\langle T, \partial^\alpha\varphi\rangle$ と定める。

(1.1) の $m_K$ が $m_K + \lvert\alpha\rvert$ に変わるだけなので $\partial^\alpha T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ である。したがって超関数は何回でも微分でき、偏微分の順序は常に交換できる。また $T_j \to T$ ならば $\partial^\alpha T_j \to \partial^\alpha T$ であり、微分と極限は常に交換できる。$u \in C^k(\Omega)$、$\lvert\alpha\rvert \leq k$ ならば、超関数としての $\partial^\alpha u$ は古典的な導関数と一致する。

例 1.16 ヘヴィサイド関数 $H = \mathbf{1}_{(0,\infty)}$ について $\langle H', \varphi\rangle = -\int_0^\infty\varphi'(x)\ dx = \varphi(0)$、すなわち $H' = \delta$。古典的には $H$ は $x \neq 0$ で導関数 $0$ をもち、原点では微分できない。超関数の微分は原点での跳びを $\delta$ として捉える。$\operatorname{sgn}x = 2H - 1$ より、$\frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \operatorname{sgn}x$、$\frac{d^2}{dx^2}\lvert x\rvert = 2\delta$ である。

命題 1.17（跳びの公式）$f$ は $\mathbb{R} \setminus \lbrace a\rbrace$ で $C^1$ 級で、$f$ と $f'$ は $a$ で左右の極限をもつとする。$f'$ を $x \neq a$ での古典的導関数とすると、超関数として $(T_f)' = T_{f'} + \bigl(f(a+) - f(a-)\bigr)\delta_a$。

証明. $f$ は $(-\infty, a]$ と $[a, \infty)$ のそれぞれに $C^1$ 級に延長されるので、各区間で部分積分すると

を得る。$\square$

例 1.18 $\log\lvert x\rvert \in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$ の導関数は $\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}$ である。実際、$(\varepsilon, \infty)$ と $(-\infty, -\varepsilon)$ で部分積分すると

で、$\lvert\varphi(\varepsilon) - \varphi(-\varepsilon)\rvert \leq 2\varepsilon\sup\lvert\varphi'\rvert$ より第 1 項は $0$ に収束する。左辺は優収束定理により $-\int\log\lvert x\rvert\varphi'\ dx$ に収束する。

命題 1.19 $I \subset \mathbb{R}$ を開区間とする。$T \in \mathcal{D}'(I)$ が $T' = 0$ をみたすならば、$T$ は定数関数である。

証明. $\chi \in C_c^\infty(I)$ を $\int\chi = 1$ となるように固定する。$\varphi \in C_c^\infty(I)$ に対し $\varphi - (\int\varphi)\chi$ は積分が $0$ なので、$\psi(x) = \int_{-\infty}^x\bigl(\varphi - (\int\varphi)\chi\bigr)dt$ は $C_c^\infty(I)$ に属し $\psi' = \varphi - (\int\varphi)\chi$。よって $\langle T, \varphi\rangle = (\int\varphi)\langle T, \chi\rangle + \langle T, \psi'\rangle = c\int\varphi$（$c = \langle T, \chi\rangle$、$\langle T, \psi'\rangle = -\langle T', \psi\rangle = 0$）。$\square$

カントール関数は a.e. で導関数 $0$ をもつが定数でない（06-measure-integration 第7章）。これは命題 1.19 に反しない。その超関数としての導関数は $0$ ではなく、カントール集合に台をもつ測度だからである。

注意 1.20（弱導関数）$u \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ の超関数としての導関数 $\partial^\alpha u$ が局所可積分関数 $v$ で表されるとき、$v$ を $u$ の弱導関数 (weak derivative) という。$\lvert x\rvert$ の弱導関数は $\operatorname{sgn}x$ であり、$H$ は弱導関数をもたない（$H' = \delta$ は関数でない）。弱導関数が $L^p$ に属する関数の空間が、第3章のソボレフ空間である。

1.5 台と位数

定義 1.21（台）$T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ が開集合 $U \subset \Omega$ 上で消えるとは、$\operatorname{supp}\varphi \subset U$ となるすべての $\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$ について $\langle T, \varphi\rangle = 0$ となることをいう。$T$ が消える開集合全体の和集合の補集合を $T$ の台 (support) といい、$\operatorname{supp}T$ と書く。

命題 1.22 $T$ が開集合 $U_\lambda$ $(\lambda \in \Lambda)$ の各々の上で消えるならば、$U = \bigcup_\lambda U_\lambda$ 上でも消える。特に $T$ は $\Omega \setminus \operatorname{supp}T$ 上で消える。

証明. $\operatorname{supp}\varphi \subset U$ とする。コンパクト集合 $\operatorname{supp}\varphi$ は有限個の $U_{\lambda_1}, \dots, U_{\lambda_m}$ で覆われるので、補題 1.5 (2) の $\psi_j \in C_c^\infty(U_{\lambda_j})$ をとると $\varphi = \sum_j\psi_j\varphi$、$\langle T, \psi_j\varphi\rangle = 0$ である。$\square$

例 1.23 $\operatorname{supp}\delta_a = \lbrace a\rbrace$、$\operatorname{supp}H' = \lbrace 0\rbrace$。連続関数 $f$ については $\operatorname{supp}T_f = \operatorname{supp}f$。$\operatorname{supp}(\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}) = \mathbb{R}$。

定理 1.24 台がコンパクトな $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ は有限の位数をもつ。さらに、$\operatorname{supp}T$ の近傍で $1$ となる $\chi \in C_c^\infty(\Omega)$ をとり $\langle T, \varphi\rangle := \langle T, \chi\varphi\rangle$ とおくと、$T$ は $\chi$ によらずに $C^\infty(\Omega)$ 上の線形汎関数に拡張され、ある $C, m$ について $\lvert\langle T, \varphi\rangle\rvert \leq C\sum_{\lvert\alpha\rvert \leq m}\sup_{\operatorname{supp}\chi}\lvert\partial^\alpha\varphi\rvert$（$\varphi \in C^\infty(\Omega)$）をみたす。

証明. $\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$ ならば $\operatorname{supp}((1 - \chi)\varphi) \cap \operatorname{supp}T = \emptyset$ なので $\langle T, \varphi\rangle = \langle T, \chi\varphi\rangle$。2 つの $\chi, \chi'$ について $(\chi - \chi')\varphi$ の台は $\operatorname{supp}T$ と交わらないから、拡張は $\chi$ によらない。$K = \operatorname{supp}\chi$ に (1.1) を適用し、ライプニッツ則で $\partial^\alpha(\chi\varphi)$ を展開すれば評価を得る。$\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$ についての評価は位数が $m$ 以下であることを意味する。$\square$

台がコンパクトな超関数の全体を $\mathcal{E}'(\Omega)$ と書く。

定理 1.25（1 点に台をもつ超関数）$T \in \mathcal{D}'(\Omega)$、$\operatorname{supp}T \subset \lbrace a\rbrace$ ならば、ある $m$ と定数 $c_\alpha$ により $T = \sum_{\lvert\alpha\rvert \leq m}c_\alpha\partial^\alpha\delta_a$ と書ける。

証明の方針. 定理 1.24 により $T$ の位数は有限（$m$ とする）であり、評価を $a$ に縮む台をもつ切り落とし関数に適用すると、$\partial^\alpha\varphi(a) = 0$（$\lvert\alpha\rvert \leq m$）なら $\langle T, \varphi\rangle = 0$ であることが示せる。あとは $\varphi$ の $a$ でのテイラー展開を使えばよい。詳細は Hörmander の第2章を参照。

1.6 積と畳み込み

定義 1.26 $a \in C^\infty(\Omega)$、$T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ に対し、$\langle aT, \varphi\rangle = \langle T, a\varphi\rangle$ と定める。

$\partial^\alpha(a\varphi)$ をライプニッツ則で展開すれば $aT \in \mathcal{D}'(\Omega)$ がわかる。ライプニッツ則 $\partial_j(aT) = (\partial_ja)T + a\ \partial_jT$ も成り立つ（両辺を $\varphi$ に作用させると、どちらも $-\langle T, a\ \partial_j\varphi\rangle$）。

例 1.27 $a\delta = a(0)\delta$、特に $x\delta = 0$。また $x \cdot \operatorname{p.v.}\frac{1}{x} = 1$（$\lim_{\varepsilon \to 0}\int_{\lvert x\rvert > \varepsilon}\frac{x\varphi(x)}{x}dx = \int\varphi$）。

命題 1.28 $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$、$\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ に対し $(T \ast \varphi)(x) = \langle T, \varphi(x - \cdot)\rangle$ とおく。このとき $T \ast \varphi \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$、$\partial^\alpha(T \ast \varphi) = T \ast \partial^\alpha\varphi = (\partial^\alpha T) \ast \varphi$、$\operatorname{supp}(T \ast \varphi) \subset \operatorname{supp}T + \operatorname{supp}\varphi$。$T = T_f$（$f \in L^1_{\mathrm{loc}}$）ならば通常の畳み込みと一致する。

証明. $x_k \to x$ ならば $\varphi(x_k - \cdot) \to \varphi(x - \cdot)$ が $\mathcal{D}$ で成り立つので $T \ast \varphi$ は連続。$h \to 0$ のとき、$y$ の関数として $\frac{1}{h}(\varphi(x + he_j - y) - \varphi(x - y)) \to (\partial_j\varphi)(x - y)$ が $\mathcal{D}$ で成り立つ（台は固定したコンパクト集合に入り、各導関数はテイラーの定理により一様収束する）。よって $\partial_j(T \ast \varphi)(x) = \langle T, (\partial_j\varphi)(x - \cdot)\rangle = -\langle T, \partial_{y_j}[\varphi(x - y)]\rangle = \langle\partial_jT, \varphi(x - \cdot)\rangle$。台の主張は、$x \notin \operatorname{supp}T + \operatorname{supp}\varphi$ なら $\varphi(x - \cdot)$ の台が $\operatorname{supp}T$ と交わらないことによる。$\square$

補題 1.29 $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$、$\Phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)$ ならば、$x \mapsto \langle T, \Phi(x, \cdot)\rangle$ は台がコンパクトな連続関数で、$\int\langle T, \Phi(x, \cdot)\rangle\ dx = \langle T, \int\Phi(x, \cdot)\ dx\rangle$。

証明の方針. 積分をリーマン和 $\sum_kh^n\Phi(x_k, \cdot)$ で近似すると、$\Phi$ の各導関数の一様連続性から、リーマン和は $\int\Phi(x, \cdot)\ dx$ に $\mathcal{D}$ で収束する。$T$ の線形性と点列連続性により、左辺のリーマン和も右辺に収束する。$\square$

定理 1.30（超関数の正則化）$T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ ならば、$\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ において $T \ast \eta_\varepsilon \to T$ $(\varepsilon \to 0)$。特に、超関数は $C^\infty$ 関数の極限である。

証明. 補題 1.29 と $\eta_\varepsilon(-x) = \eta_\varepsilon(x)$ から $\langle T \ast \eta_\varepsilon, \varphi\rangle = \int\langle T, \eta_\varepsilon(x - \cdot)\rangle\varphi(x)\ dx = \langle T, \eta_\varepsilon \ast \varphi\rangle$。$\eta_\varepsilon \ast \varphi$ の台は $\operatorname{supp}\varphi + \overline{B(0,1)}$ に含まれ、$\partial^\alpha(\eta_\varepsilon \ast \varphi) = \eta_\varepsilon \ast \partial^\alpha\varphi \to \partial^\alpha\varphi$ は一様収束する（定理 1.3 (3)）。よって $\mathcal{D}$ で $\eta_\varepsilon \ast \varphi \to \varphi$ となり、主張を得る。$\square$

$\check\varphi(x) = \varphi(-x)$ と書く。関数 $f, g$（$g$ はコンパクト台）についてはフビニの定理から $\int(f \ast g)\varphi = \int f\ (\check g \ast \varphi)$ が成り立つ。これを一般化して次のように定義する。

定義 1.31 $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$、$S \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$ に対し、$(\check S \ast \varphi)(x) := \langle S, \varphi(x + \cdot)\rangle$ とおき、$\langle T \ast S, \varphi\rangle = \langle T, \check S \ast \varphi\rangle$ と定める。

$\check S \ast \varphi$ は $C^\infty$ 級で台は $\operatorname{supp}\varphi - \operatorname{supp}S$ に含まれる（命題 1.28 と同様）ので、$T \ast S \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ である。

命題 1.32 $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$、$S \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$ について、$\partial^\alpha(T \ast S) = (\partial^\alpha T) \ast S = T \ast \partial^\alpha S$、$T \ast \delta = T$。さらに $T \ast S = S \ast T$、$\operatorname{supp}(T \ast S) \subset \operatorname{supp}T + \operatorname{supp}S$ が成り立つ。

証明. $\check S \ast \partial^\alpha\varphi = \partial^\alpha(\check S \ast \varphi)$ より $\langle\partial^\alpha(T \ast S), \varphi\rangle = (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\langle T, \partial^\alpha(\check S \ast \varphi)\rangle = \langle(\partial^\alpha T) \ast S, \varphi\rangle$。$(\partial^\alpha S)^{\vee} = (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\partial^\alpha\check S$ から $T \ast \partial^\alpha S$ も同じ値になる。$\check\delta \ast \varphi = \varphi$ より $T \ast \delta = T$。可換性（$S \ast T$ は $S$ と $T$ の役割を入れ替えて定義する）と台の主張の証明は省略する（Hörmander の第4章を参照）。$\square$