第3章ベールの定理と 3 つの基本原理（関数解析）

この章の目標

ベールのカテゴリー定理を使って「一般の位置にある元」の存在を示す議論を理解する

一様有界性原理（バナッハ–シュタインハウスの定理）を証明し、連続関数でフーリエ級数が発散するものの存在を示せる

開写像定理・有界逆写像定理・閉グラフ定理を証明し、ノルムの比較や作用素の有界性の判定に使える

どの定理でも完備性が本質的であることを反例で説明できる

前提：第1章、第2章、03-topology 第7章

3.1 完備性から何が引き出せるか

有限次元では、次の 3 つは線形代数からほぼ自明に従った。

線形写像の族が各点で有界なら、行列成分が有界なので一様に有界である。
線形写像が全単射なら逆写像も線形であり、（有限次元なので）連続である。
線形写像はすべて連続である。

無限次元ではどれも無条件には成り立たない。本章の 3 つの基本原理――一様有界性原理、開写像定理、閉グラフ定理――は、空間の完備性を仮定すれば、これらの代わりになる主張が成り立つことを示す。証明の鍵はいずれもベールのカテゴリー定理であり、「完備距離空間は可算個の『薄い』集合の和にはならない」という位相的事実が線形性と結びついて強力な結論を生む。

3.2 ベールのカテゴリー定理

定理 3.1（ベールのカテゴリー定理, Baire category theorem）完備距離空間 $X$ の稠密な開集合の列 $(U_n)$ について、 $\bigcap_n U_n$ は $X$ で稠密である。同値な言い換えとして、 $X = \bigcup_n F_n$ （各 $F_n$ は閉集合）ならば、ある $F_n$ は内点をもつ。

証明.（03-topology 第7章の復習）空でない開集合 $W$ が $\bigcap_n U_n$ と交わることを示す。 $U_1 \cap W$ は空でない開集合なので、閉球 $\overline{B}(x_1, r_1) \subset U_1 \cap W$ （ $0 < r_1 < 1$ ）がとれる。帰納的に $\overline{B}(x_n, r_n) \subset U_n \cap B(x_{n-1}, r_{n-1})$ , $0 < r_n < 1/n$ ととる（ $U_n$ が稠密な開集合なので可能）。 $m \geq n$ なら $x_m \in B(x_n, r_n)$ なので $(x_n)$ はコーシー列で、極限 $x$ は各 $\overline{B}(x_n, r_n)$ に属する。よって $x \in W \cap \bigcap_n U_n$ 。後半は $U_n = X \setminus F_n$ に前半を適用すればよい。 $\square$

定義 3.2 距離空間 $X$ の部分集合 $A$ の閉包が内点をもたないとき、 $A$ は疎 (nowhere dense) であるという。可算個の疎な集合の和を第一類集合 (first category set, meager set)、第一類でない集合を第二類集合という。第一類集合の補集合を剰余集合 (residual set) という。

ベールの定理は「完備距離空間では剰余集合は稠密（特に空でない）」と言い換えられる。そこで、ある性質をもつ元の存在を示すには、その性質をもたない元の集合が第一類であることを示せばよい。構成的に例を作るのが難しい場合でも、この方法で「ほとんどすべての元」がその性質をもつことが示せる。

例 3.3（ハメル基底は非可算）無限次元バナッハ空間 $X$ は可算なハメル基底をもたない。実際、 $\lbrace e_1, e_2, \dots \rbrace$ がハメル基底なら $X = \bigcup_n F_n$ , $F_n = \operatorname{span} \lbrace e_1, \dots, e_n \rbrace$ となる。 $F_n$ は有限次元なので閉であり（系 1.21）、真部分空間なので内点をもたない（部分空間が球 $B(x, r)$ を含めば、平行移動と拡大により全体を含む）。これはベールの定理に反する。特に、 $c_{00}$ や多項式全体の空間には、どんなノルムを入れても完備にならない。

3.3 一様有界性原理

定理 3.4（一様有界性原理, uniform boundedness principle／バナッハ–シュタインハウスの定理） $X$ をバナッハ空間、 $Y$ をノルム空間、 $\mathcal{F} \subset \mathcal{B}(X, Y)$ とする。すべての $x \in X$ で $\sup_{T \in \mathcal{F}} \lVert Tx \rVert < \infty$ ならば、 $\sup_{T \in \mathcal{F}} \lVert T \rVert < \infty$ 。

対偶の形で、より強く次が成り立つ： $\sup_{T \in \mathcal{F}} \lVert T \rVert = \infty$ ならば、 $\sup_{T \in \mathcal{F}} \lVert Tx \rVert = \infty$ となる $x$ の全体は $X$ の剰余集合（特に稠密）である。

証明. $F_n = \lbrace x \in X \mid \lVert Tx \rVert \leq n\ (\forall T \in \mathcal{F}) \rbrace$ とおく。各 $T$ は連続なので $F_n$ は閉集合の共通部分として閉である。ある $F_N$ が閉球 $\overline{B}(x_0, r)$ （ $r > 0$ ）を含むとすると、 $\lVert z \rVert \leq r$ なる $z$ と $T \in \mathcal{F}$ について

\lVert Tz \rVert \leq \lVert T(x_0 + z) \rVert + \lVert Tx_0 \rVert \leq 2N

なので $\lVert T \rVert \leq 2N / r$ 。したがって $\sup_T \lVert T \rVert = \infty$ ならば、どの $F_n$ も内点をもたず、 $\lbrace x \mid \sup_T \lVert Tx \rVert < \infty \rbrace = \bigcup_n F_n$ は第一類集合である。その補集合は剰余集合であり、ベールの定理により稠密である。特に各点有界性（ $\bigcup_n F_n = X$ ）の仮定のもとでは $\sup_T \lVert T \rVert < \infty$ でなければならない。 $\square$

系 3.5 $X$ をバナッハ空間、 $Y$ をノルム空間とし、 $T_n \in \mathcal{B}(X, Y)$ がすべての $x$ で $Tx := \lim_n T_n x$ をもつとする。このとき $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ で、 $\sup_n \lVert T_n \rVert < \infty$ , $\lVert T \rVert \leq \liminf_n \lVert T_n \rVert$ 。

証明. 収束列は有界なので $\mathcal{F} = \lbrace T_n \rbrace$ は各点有界であり、定理 3.4 より $\sup_n \lVert T_n \rVert < \infty$ 。 $T$ の線形性は明らかで、 $\lVert Tx \rVert = \lim_n \lVert T_n x \rVert \leq \liminf_n \lVert T_n \rVert \lVert x \rVert$ 。 $\square$

すべての $x$ で $T_n x \to Tx$ となることを強収束 (strong convergence)、 $\lVert T_n - T \rVert \to 0$ をノルム収束（一様収束）という。

例 3.6

（強収束はノルム収束より弱い） $\ell^2$ 上で $P_N$ を最初の $N$ 成分への直交射影とすると、各 $x$ で $\lVert x - P_N x \rVert^2 = \sum_{n > N} \lvert x_n \rvert^2 \to 0$ だが、 $(I - P_N) e_{N+1} = e_{N+1}$ より $\lVert I - P_N \rVert = 1$ 。左シフトのべき $L^n$ も $\lVert L^n x \rVert^2 = \sum_{k > n} \lvert x_k \rvert^2 \to 0$ で強収束するが、 $\lVert L^n \rVert = 1$ （ $L^n e_{n+1} = e_1$ ）。有限次元では強収束とノルム収束は同値である。
（完備性は必要） $c_{00}$ に一様ノルムを入れ、 $f_n(x) = n x_n$ とおく。各 $x \in c_{00}$ について $n$ が大きければ $f_n(x) = 0$ なので $\lbrace f_n \rbrace$ は各点有界だが、 $\lVert f_n \rVert = n$ である。

系 3.7 $H$ をヒルベルト空間とする。 $A \subset H$ がすべての $y \in H$ について $\sup_{x \in A} \lvert \langle x, y \rangle \rvert < \infty$ を満たすならば、 $A$ は有界である。特に、すべての $y$ で $\langle x_n, y \rangle$ が収束する列 $(x_n)$ は有界である。

証明. $x \in A$ に対し $f_x = \langle \cdot, x \rangle \in H^{\ast}$ とおくと、 $\lvert f_x(y) \rvert = \lvert \langle x, y \rangle \rvert$ なので族 $\lbrace f_x \rbrace_{x \in A}$ はバナッハ空間 $H$ 上で各点有界である。定理 3.4 とリースの表現定理（ $\lVert f_x \rVert = \lVert x \rVert$ ）より $\sup_{x \in A} \lVert x \rVert < \infty$ 。 $\square$

一般のノルム空間での同様の主張（弱有界な集合は有界）は、ハーン–バナッハの定理を使って第4章で示す。

3.4 応用：フーリエ級数が発散する連続関数

$C(\mathbb{T})$ を $\mathbb{R}$ 上の $2\pi$ 周期連続関数の全体とし、一様ノルムを入れる（ $C[-\pi, \pi]$ の閉部分空間 $\lbrace f \mid f(-\pi) = f(\pi) \rbrace$ と同一視でき、バナッハ空間である）。 $f$ のフーリエ部分和

S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n) e^{inx}, \qquad \hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\ dt

は、 $f$ が $C^1$ 級なら一様に $f$ に収束する（08-differential-equations 第6章）。連続なだけではどうだろうか。

定理 3.8（デュ・ボア＝レーモン）フーリエ級数が $x = 0$ で発散する $f \in C(\mathbb{T})$ が存在する。さらに、 $\sup_N \lvert S_N f(0) \rvert = \infty$ となる $f$ の全体は $C(\mathbb{T})$ の剰余集合である。

証明. ディリクレ核 $D_N(t) = \sum_{n=-N}^{N} e^{int}$ を使うと $S_N f(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) D_N(t)\ dt$ である（ $D_N$ は実数値の偶関数）。 $D_N(t) \cdot 2i \sin(t/2) = \sum_{n=-N}^{N} (e^{i(n + 1/2)t} - e^{i(n - 1/2)t}) = 2i \sin((N + \tfrac{1}{2})t)$ より、 $t \notin 2\pi\mathbb{Z}$ で

D_N(t) = \frac{\sin((N + \frac{1}{2}) t)}{\sin(t/2)}

$\Lambda_N f := S_N f(0)$ は $C(\mathbb{T})$ 上の有界線形汎関数である。そのノルムがルベーグ定数 $L_N := \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \lvert D_N(t) \rvert\ dt$ に等しいことを示す。 $\lvert \Lambda_N f \rvert \leq L_N \lVert f \rVert_\infty$ は明らか。逆に $f_j = D_N / (\lvert D_N \rvert + 1/j) \in C(\mathbb{T})$ とおくと $\lVert f_j \rVert_\infty \leq 1$ で、 $D_N$ の零点（有限個）以外で $f_j D_N \to \lvert D_N \rvert$ だから、優収束定理により $\Lambda_N f_j \to L_N$ 。よって $\lVert \Lambda_N \rVert = L_N$ 。

次に $L_N \to \infty$ を示す。 $\lvert \sin(t/2) \rvert \leq \lvert t \rvert / 2$ と $D_N$ の偶性、変数変換 $u = (N + \frac{1}{2})t$ により

L_N \geq \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{\lvert \sin((N + \frac{1}{2}) t) \rvert}{t}\ dt = \frac{2}{\pi} \int_0^{(N + \frac{1}{2})\pi} \frac{\lvert \sin u \rvert}{u}\ du \geq \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \lvert \sin u \rvert\ du = \frac{4}{\pi^2} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}

であり、右辺は $N \to \infty$ で発散する。定理 3.4 の後半により、 $\sup_N \lvert \Lambda_N f \rvert = \infty$ となる $f$ の全体は剰余集合であり、そのような $f$ のフーリエ級数は $0$ で発散する。 $\square$

補足

この証明は発散する関数を具体的に構成しない。それでも「ほとんどすべての」連続関数（剰余集合の意味で）のフーリエ級数が $0$ で発散することを示している。平行移動を考え、可算個の剰余集合の共通部分をとれば、有理数点すべてで発散する連続関数の存在もわかる。一方、フーリエ級数は $L^2$ ノルムでは常に収束し（例 2.18）、さらに $L^2$ 関数のフーリエ級数はほとんど至るところ収束する（カールソンの定理、1966 年。証明は非常に難しい）。

3.5 開写像定理と有界逆写像定理

有限次元では全単射な線形写像の逆写像は自動的に連続であった。無限次元では、逆写像が存在しても非有界になりうる（ $C[0,1]$ 上の恒等写像を一様ノルムから $L^1$ ノルムへの写像とみれば、有界な全単射だが逆は非有界：問題 1.6）。これを排除するのが両側の空間の完備性である。

定理 3.9（開写像定理, open mapping theorem） $X, Y$ をバナッハ空間とし、 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ が全射であるとする。このとき $T$ は開写像である。より正確には、ある $\delta > 0$ について $T(B_X(0, 1)) \supset B_Y(0, \delta)$ となる（ $B(0, r)$ は開球）。

証明. 第 1 段： $\overline{T(B_X(0,1))}$ が $0$ のまわりの球を含むことを示す。 $T$ は全射なので $Y = \bigcup_n \overline{T(B_X(0, n))}$ 。ベールの定理より、ある $n$ で $\overline{T(B_X(0, n))}$ は球 $B(y_0, \varepsilon)$ を含む。この集合は凸かつ対称（ $y$ を含めば $-y$ も含む）なので、 $\lVert y \rVert < \varepsilon$ ならば $y_0 + y$ と $-(y_0 - y)$ をともに含み、その中点 $y$ も含む。よって $B_Y(0, \varepsilon) \subset \overline{T(B_X(0, n))}$ 。 $\eta = \varepsilon / n$ とおけば、拡大縮小により、すべての $r > 0$ で

B_Y(0, \eta r) \subset \overline{T(B_X(0, r))}

第 2 段：閉包を外す。 $\lVert y \rVert < \eta / 2$ とする。第 1 段（ $r = 1/2$ ）から $x_1 \in B_X(0, 1/2)$ を $\lVert y - Tx_1 \rVert < \eta / 4$ となるようにとれる。 $y - Tx_1 \in B_Y(0, \eta/4)$ に第 1 段（ $r = 1/4$ ）を適用して $x_2 \in B_X(0, 1/4)$ を $\lVert y - Tx_1 - Tx_2 \rVert < \eta / 8$ となるようにとる。以下同様に $\lVert x_k \rVert < 2^{-k}$ , $\lVert y - T(x_1 + \dots + x_k) \rVert < \eta 2^{-k-1}$ となる $x_k$ がとれる。 $\sum_k \lVert x_k \rVert \leq \lVert x_1 \rVert + \sum_{k \geq 2} 2^{-k} < 1/2 + 1/2 = 1$ なので、定理 1.12 により $x = \sum_k x_k$ が収束して $\lVert x \rVert < 1$ 、 $T$ の連続性から $Tx = y$ 。よって $\delta = \eta / 2$ とおけば $B_Y(0, \delta) \subset T(B_X(0,1))$ 。

開写像であること： $U \subset X$ が開で $x \in U$ なら $B(x, r) \subset U$ となる $r > 0$ があり、 $T(U) \supset Tx + T(B(0, r)) \supset B(Tx, \delta r)$ 。 $\square$

系 3.10（有界逆写像定理, bounded inverse theorem） $X, Y$ をバナッハ空間、 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ を全単射とすると、 $T^{-1} \in \mathcal{B}(Y, X)$ である。

証明. 定理 3.9 の $\delta$ について、 $\lVert y \rVert < \delta$ ならば $\lVert T^{-1} y \rVert < 1$ 。よって $y \neq 0$ に対し $0 < \delta' < \delta$ として $\delta' y / \lVert y \rVert$ に適用すれば $\lVert T^{-1} y \rVert \leq \lVert y \rVert / \delta'$ 。 $\delta' \to \delta$ として $\lVert T^{-1} \rVert \leq 1/\delta$ 。 $\square$

特に、バナッハ空間上の $T \in \mathcal{B}(X)$ について「 $\lambda I - T$ が全単射」と「 $\lambda I - T$ が有界な逆をもつ」は同値である。第6章でスペクトルを定義するときにこの事実を使う。

系 3.11（ノルムの比較）ベクトル空間 $X$ が 2 つのノルム $\lVert \cdot \rVert_1, \lVert \cdot \rVert_2$ のどちらについても完備であり、 $\lVert x \rVert_2 \leq C \lVert x \rVert_1$ が成り立つならば、2 つのノルムは同値である。

証明. 恒等写像 $(X, \lVert \cdot \rVert_1) \to (X, \lVert \cdot \rVert_2)$ は有界な全単射なので、系 3.10 により逆も有界である。 $\square$

例 3.12（値域が閉でない単射） $\ell^2$ 上の対角作用素 $T x = (x_n / n)_n$ は有界な単射で、値域は $c_{00}$ を含むので稠密だが、全射ではない（ $(1/n)_n = T x$ となる $x$ は $(1, 1, \dots) \notin \ell^2$ ）。 $\operatorname{Ran} T$ 上で定義された逆 $T^{-1} y = (n y_n)_n$ は非有界である（ $T^{-1} e_n = n e_n$ ）。系 3.10 と矛盾しないのは $\operatorname{Ran} T$ が完備でないからである。一般に、有界な単射 $T$ の値域が閉であることと、 $\lVert Tx \rVert \geq c \lVert x \rVert$ となる $c > 0$ が存在することは同値である（問題 3.4）。

3.6 閉グラフ定理

作用素 $T$ の連続性を示すには、「 $x_n \to x$ ならば $Tx_n \to Tx$ 」を示す必要がある。閉グラフ定理によれば、完備な空間の間では、 $Tx_n$ が収束すると仮定してよい。

定義 3.13 $X, Y$ をノルム空間とし、 $X \times Y$ にノルム $\lVert (x, y) \rVert = \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$ を入れる（ $X, Y$ が完備なら $X \times Y$ も完備）。線形写像 $T\colon X \to Y$ のグラフ (graph) $G(T) = \lbrace (x, Tx) \mid x \in X \rbrace$ が $X \times Y$ の閉集合であるとき、 $T$ は閉 (closed) であるという。これは「 $x_n \to x$ かつ $Tx_n \to y$ ならば $y = Tx$ 」と同値である。

定理 3.14（閉グラフ定理, closed graph theorem） $X, Y$ をバナッハ空間とし、線形写像 $T\colon X \to Y$ のグラフが閉であるとする。このとき $T$ は有界である。

証明. $G(T)$ はバナッハ空間 $X \times Y$ の閉部分空間なのでバナッハ空間である。射影 $\pi\colon G(T) \to X$ , $(x, Tx) \mapsto x$ は有界な全単射なので、系 3.10 により逆 $x \mapsto (x, Tx)$ も有界である。すなわち $\lVert x \rVert + \lVert Tx \rVert \leq C \lVert x \rVert$ となる $C$ があり、 $\lVert Tx \rVert \leq C \lVert x \rVert$ 。 $\square$

系 3.15（ヘリンガー–テプリッツの定理, Hellinger–Toeplitz theorem）ヒルベルト空間 $H$ 全体で定義された線形写像 $T\colon H \to H$ が、すべての $x, y \in H$ で $\langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle$ を満たすならば、 $T$ は有界である。

証明. $x_n \to x$ , $Tx_n \to z$ とすると、すべての $y$ で $\langle z, y \rangle = \lim_n \langle Tx_n, y \rangle = \lim_n \langle x_n, Ty \rangle = \langle x, Ty \rangle = \langle Tx, y \rangle$ なので $z = Tx$ 。閉グラフ定理を適用すればよい。 $\square$

例 3.16（閉作用素の予告） $C[0,1]$ （一様ノルム）の部分空間 $C^1[0,1]$ 上で微分 $D = d/dt$ を考える。 $f_n \to f$ かつ $f_n' \to g$ （ともに一様収束）ならば $f \in C^1$ で $f' = g$ である（01-calculus 第6章）から、 $D$ のグラフは $C[0,1] \times C[0,1]$ で閉である。しかし例 1.17 で見たとおり $D$ は非有界である。閉グラフ定理と矛盾しないのは、定義域 $C^1[0,1]$ が一様ノルムで完備でないからである。

系 3.15 と合わせると、量子力学に現れる非有界な「対称」作用素（運動量 $-i\ d/dx$ や位置 $x$ の掛け算）は、ヒルベルト空間全体では定義できない。稠密な部分空間を定義域とする閉作用素を扱う必要があり、これが第7章の出発点になる。

3.7 3 つの原理の比較

原理	仮定	結論	完備性がないときの反例
一様有界性原理	$X$ がバナッハ空間	各点有界 ⇒ 一様有界	$c_{00}$ 上の $f_n(x) = n x_n$ （例 3.6）
開写像定理	$X, Y$ がバナッハ空間	全射な有界作用素は開写像	恒等写像 $(C[0,1], \lVert \cdot \rVert_\infty) \to (C[0,1], \lVert \cdot \rVert_1)$
閉グラフ定理	$X, Y$ がバナッハ空間	グラフが閉 ⇒ 有界	$C^1[0,1] \subset C[0,1]$ 上の微分（例 3.16）

3 つの原理は互いに導き合う関係にあり（閉グラフ定理は開写像定理から導いた。逆に閉グラフ定理から開写像定理を導くこともできる）、すべての根はベールの定理にある。ベールの定理は「存在」を示す道具でもあり、定理 3.8 のように、具体的な構成が難しい対象（フーリエ級数が発散する連続関数、至るところ微分不可能な連続関数など）が「一般的には」存在することを示すのに使われる。

まとめ

ベールのカテゴリー定理：完備距離空間では可算個の稠密開集合の共通部分は稠密である。これにより無限次元バナッハ空間のハメル基底は非可算である。
一様有界性原理：バナッハ空間上の有界作用素の族が各点有界なら一様有界である。有界作用素列の強収束極限は有界である。
強収束はノルム収束より弱い（ $P_N \to I$ , $L^n \to 0$ は強収束するがノルム収束しない）。
ディリクレ核の $L^1$ ノルム（ルベーグ定数）が発散することから、フーリエ級数が 1 点で発散する連続関数が「一般的に」存在する。
開写像定理：バナッハ空間の間の有界な全射は開写像である。系として、有界な全単射の逆は有界であり、完備な 2 つのノルムは一方が他方で押さえられれば同値である。
閉グラフ定理：バナッハ空間の間でグラフが閉な線形写像は有界である。その系として、全体で定義された対称作用素は有界である（ヘリンガー–テプリッツ）。
どの原理でも完備性は本質的であり、定義域が完備でない微分作用素は「閉だが非有界」になりうる。これが非有界作用素論（第7章）の出発点である。

演習問題

問題 3.1 ★ $\ell^2$ 上の右シフト $S$ について、 $S^n$ は $0$ に強収束しないが、すべての $x, y$ で $\langle S^n x, y \rangle \to 0$ となることを示せ。

解答

$S$ は等長なので $\lVert S^n x \rVert = \lVert x \rVert$ で、 $x \neq 0$ なら $S^n x \not\to 0$ 。一方 $\langle S^n x, y \rangle = \langle x, L^n y \rangle$ （ $S^{\ast} = L$ ）であり、例 3.6 より $\lVert L^n y \rVert \to 0$ なので $\lvert \langle S^n x, y \rangle \rvert \leq \lVert x \rVert \lVert L^n y \rVert \to 0$ 。 $S^n$ は $0$ に弱収束するが強収束しない。

問題 3.2 ★ 多項式全体のなす空間 $\mathbb{K}[t]$ には、それを完備にするノルムが存在しないことを示せ。

解答

$\lbrace 1, t, t^2, \dots \rbrace$ は可算なハメル基底である。どんなノルムで完備にしても、例 3.3 と同様に $F_n = \operatorname{span} \lbrace 1, \dots, t^n \rbrace$ は内点をもたない閉集合で、 $\mathbb{K}[t] = \bigcup_n F_n$ がベールの定理に反する。

問題 3.3 ★★ 数列 $a = (a_n)$ について、すべての $x \in c_0$ で級数 $\sum_n a_n x_n$ が収束するならば $a \in \ell^1$ であることを示せ。

解答

$f_N(x) = \sum_{n=1}^N a_n x_n$ は $c_0$ 上の有界線形汎関数で、 $\lVert f_N \rVert = \sum_{n=1}^N \lvert a_n \rvert$ である（ $\leq$ は明らか。 $a_n \neq 0$ なら $x_n = \overline{a_n} / \lvert a_n \rvert$ 、そうでなければ $x_n = 0$ として $n \leq N$ の成分だけをもつ $x$ を考えれば等号）。仮定より各 $x$ で $(f_N(x))_N$ は収束するので有界であり、定理 3.4 により $\sup_N \sum_{n=1}^N \lvert a_n \rvert < \infty$ 、すなわち $a \in \ell^1$ 。

問題 3.4 ★★ $X, Y$ をバナッハ空間、 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ を単射とする。 $\operatorname{Ran} T$ が閉であるための必要十分条件は、ある $c > 0$ ですべての $x$ について $\lVert Tx \rVert \geq c \lVert x \rVert$ となることであることを示せ。

解答

$\operatorname{Ran} T$ が閉ならバナッハ空間で、 $T\colon X \to \operatorname{Ran} T$ は有界な全単射なので、系 3.10 により逆が有界： $\lVert x \rVert \leq \lVert T^{-1} \rVert \lVert Tx \rVert$ 。逆に不等式が成り立つとし、 $Tx_n \to y$ とすると $\lVert x_n - x_m \rVert \leq c^{-1} \lVert Tx_n - Tx_m \rVert$ より $(x_n)$ はコーシー列で、極限 $x$ について $Tx = y$ 。よって値域は閉である。例 3.12 の $Tx = (x_n / n)$ は $\lVert T e_n \rVert = 1/n$ なので不等式を満たさず、値域は閉でない。

問題 3.5 ★★ バナッハ空間 $X$ が閉部分空間 $M, N$ の代数的な直和 $X = M \oplus N$ であるとき、 $x = m + n$ に $m$ を対応させる射影 $P$ は有界であることを示せ。

解答

$M \times N$ （ノルム $\lVert m \rVert + \lVert n \rVert$ ）はバナッハ空間で、 $\Phi(m, n) = m + n$ は $M \times N \to X$ の有界な全単射である。系 3.10 より $\Phi^{-1}$ も有界なので、 $\lVert Px \rVert \leq \lVert m \rVert + \lVert n \rVert \leq \lVert \Phi^{-1} \rVert \lVert x \rVert$ 。閉グラフ定理を使って、 $x_k \to x$ , $Px_k \to m$ のとき $m = Px$ を示すこともできる（ $x_k - Px_k \in N$ が $x - m$ に収束し、 $M, N$ が閉なので $m \in M$ , $x - m \in N$ ）。

問題 3.6 ★★ $(\Omega, \mu)$ を σ-有限測度空間、 $\varphi$ を可測関数とし、すべての $f \in L^2(\Omega, \mu)$ で $\varphi f \in L^2(\Omega, \mu)$ となるとする。 $M_\varphi f = \varphi f$ は有界であり、 $\varphi \in L^\infty$ となることを示せ。

解答

閉グラフ定理を使う。 $f_n \to f$ , $\varphi f_n \to g$ （ $L^2$ ）とすると、部分列をとって $f_{n_k} \to f$ , $\varphi f_{n_k} \to g$ がほとんど至るところ成り立つので $g = \varphi f$ a.e.。よって $M_\varphi$ は有界である。 $\lvert \varphi \rvert > \lVert M_\varphi \rVert + \varepsilon$ となる集合が正測度をもつとすると、σ-有限性からその中に $0 < \mu(E) < \infty$ となる $E$ がとれ、 $f = \mathbf{1}_E$ に対し $\lVert \varphi f \rVert_2 > (\lVert M_\varphi \rVert + \varepsilon) \lVert f \rVert_2$ となって矛盾。よって $\lVert \varphi \rVert_\infty \leq \lVert M_\varphi \rVert$ 。

問題 3.7 ★★ $X$ をバナッハ空間、 $Y$ をノルム空間とし、 $T_n, T \in \mathcal{B}(X, Y)$ がすべての $x$ で $T_n x \to Tx$ を満たすとする。(1) $x_n \to x$ ならば $T_n x_n \to Tx$ を示せ。(2) $K \subset X$ がコンパクトならば $\sup_{x \in K} \lVert T_n x - Tx \rVert \to 0$ を示せ。

解答

系 3.5 より $C := \sup_n \lVert T_n \rVert < \infty$ 。(1) $\lVert T_n x_n - Tx \rVert \leq \lVert T_n \rVert \lVert x_n - x \rVert + \lVert T_n x - Tx \rVert \leq C \lVert x_n - x \rVert + \lVert T_n x - Tx \rVert \to 0$ 。(2) $\varepsilon > 0$ に対し、 $K$ の有限個の点 $x_1, \dots, x_m$ で $K \subset \bigcup_j B(x_j, \varepsilon)$ となるものをとる。 $n$ が大きければすべての $j$ で $\lVert T_n x_j - T x_j \rVert < \varepsilon$ 。 $x \in K$ に対し $\lVert x - x_j \rVert < \varepsilon$ となる $j$ を選べば、 $\lVert T_n x - Tx \rVert \leq (C + \lVert T \rVert)\varepsilon + \varepsilon$ 。

問題 3.8 ★★★ $L^1(\mathbb{T})$ を $2\pi$ 周期の可積分関数の空間（ノルム $\lVert f \rVert_1 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \lvert f \rvert\ dt$ ）とする。フーリエ係数をとる写像 $\mathcal{F} f = (\hat{f}(n))_{n \in \mathbb{Z}}$ は $L^1(\mathbb{T})$ から $c_0(\mathbb{Z})$ への有界な単射だが、全射でないことを示せ。単射性（一意性定理）は認めてよい。

解答

$\lvert \hat{f}(n) \rvert \leq \lVert f \rVert_1$ なので $\mathcal{F}$ は $\ell^\infty(\mathbb{Z})$ への有界作用素である。三角多項式 $g$ では $\hat{g}(n)$ は有限個を除いて $0$ で、三角多項式は $L^1(\mathbb{T})$ で稠密（連続周期関数が $L^1$ で稠密で、それが三角多項式で一様近似できる）なので、 $\lVert \hat{f} - \hat{g} \rVert_\infty \leq \lVert f - g \rVert_1$ から $\hat{f} \in c_0$ （リーマン–ルベーグの補題）。

全射だとすると、系 3.10 により $\lVert f \rVert_1 \leq C \lVert \hat{f} \rVert_\infty$ となる $C$ がある。 $f = D_N$ とすると $\hat{D}_N(n)$ は $\lvert n \rvert \leq N$ で $1$ 、それ以外で $0$ なので $\lVert \hat{D}_N \rVert_\infty = 1$ 。一方 $\lVert D_N \rVert_1 = L_N \to \infty$ （定理 3.8 の証明）。これは矛盾である。したがって、 $c_0(\mathbb{Z})$ の元で、どんな可積分関数のフーリエ係数にもならないものが存在する。