コンパクト作用素

この章の目標

• コンパクト作用素を定義し、有限ランク作用素・積分作用素・対角作用素がコンパクトかどうかを判定できる
• コンパクト作用素の全体が閉イデアルであること、ヒルベルト空間では有限ランク作用素で近似できることを証明できる
• リース–シャウダー理論とフレドホルムの択一定理を証明し、積分方程式に応用できる
• コンパクト作用素のスペクトルの構造と、コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理を証明できる
• スツルム–リウヴィル問題の固有関数展開を導ける

前提：第1章〜第4章、03-topology 第5章（アスコリ–アルツェラの定理）、08-differential-equations 第5章

5.1 行列に最も近い作用素

第1章の冒頭の積分方程式 $u - Ku = f$ を思い出そう。区間を分割すれば、これは連立一次方程式 $(I - A_n)\boldsymbol{u} = \boldsymbol{f}$ で近似される。有限次元では

• $I - A$ が単射であることと全射であることは同値（次元定理）、
• 固有値は高々有限個で、エルミート行列は正規直交基底で対角化できる、

という事実があった。無限次元の作用素一般ではどちらも成り立たない（シフト作用素は単射だが全射でなく、掛け算作用素 $M_t$ は固有値をもたない）。しかし積分作用素のように「有限次元の作用素で近似できる」作用素に限れば、これらの事実がほぼそのまま生き残る。そのような作用素のクラスがコンパクト作用素である。

5.2 定義と基本的な性質

定義 5.1（コンパクト作用素, compact operator）$X, Y$ をノルム空間とする。線形写像 $T\colon X \to Y$ がコンパクトであるとは、閉単位球の像 $T(B_X)$ が $Y$ で相対コンパクト（閉包がコンパクト）であることをいう。同値な条件として、$X$ の任意の有界列 $(x_n)$ について、$(Tx_n)$ が $Y$ で収束する部分列をもつ。コンパクト作用素の全体を $\mathcal{K}(X, Y)$、$\mathcal{K}(X) = \mathcal{K}(X, X)$ と書く。

相対コンパクトな集合は有界なので、コンパクト作用素は有界である。値域が有限次元の有界作用素を有限ランク作用素 (finite rank operator) という。

例 5.2

1. 有限ランク作用素はコンパクトである（有限次元ノルム空間の有界集合は相対コンパクト：系 1.21）。
2. 無限次元ノルム空間上の恒等作用素はコンパクトでない（リースの定理 1.23）。$\ell^2$ の右シフト $S$ もコンパクトでない（$\lVert Se_n - Se_m \rVert = \sqrt{2}$）。
3. $k \in C([0,1]^2)$ に対し、$C[0,1]$ 上の積分作用素 $(Kf)(s) = \int_0^1 k(s,t) f(t)\ dt$ はコンパクトである。実際 $\lVert f \rVert_\infty \leq 1$ なら $\lvert Kf(s) \rvert \leq \lVert k \rVert_\infty$ かつ $\lvert Kf(s) - Kf(s') \rvert \leq \max_t \lvert k(s,t) - k(s',t) \rvert$ で、右辺は $k$ の一様連続性により $\lvert s - s' \rvert \to 0$ で一様に $0$ に近づく。よって $K(B_{C[0,1]})$ は一様有界かつ同程度連続であり、アスコリ–アルツェラの定理により相対コンパクトである。ヴォルテラ作用素 $V$ も、$\lvert Vf(s) - Vf(s') \rvert \leq \lvert s - s' \rvert \lVert f \rVert_\infty$ から同様にコンパクトである。

定理 5.3 $X$ をノルム空間、$Y$ をバナッハ空間とする。$\mathcal{K}(X, Y)$ は $\mathcal{B}(X, Y)$ の閉部分空間である。また $T \in \mathcal{K}(X, Y)$, $A \in \mathcal{B}(W, X)$, $B \in \mathcal{B}(Y, Z)$ ならば $BTA$ はコンパクトである。特に $X$ がバナッハ空間ならば、$\mathcal{K}(X)$ は $\mathcal{B}(X)$ の閉な両側イデアルである。

証明. $S, T$ がコンパクトで $(x_n)$ が有界なら、$(Sx_n)$ が収束する部分列をとり、さらにその部分列で $(Tx_n)$ も収束するようにとれば $(S + T)x_n$ が収束する。スカラー倍は明らか。$A$ は有界列を有界列に、$B$ は収束列を収束列に写すので $BTA$ はコンパクトである。

閉性：$T_k \in \mathcal{K}(X, Y)$, $\lVert T_k - T \rVert \to 0$ とする。$Y$ は完備なので、$T(B_X)$ が全有界であることを示せばよい（完備距離空間では全有界 ⇔ 相対コンパクト）。$\varepsilon > 0$ に対し $\lVert T - T_k \rVert < \varepsilon/3$ となる $k$ をとる。$T_k(B_X)$ は全有界なので、有限個の $y_1, \dots, y_m$ で $T_k(B_X) \subset \bigcup_i B(y_i, \varepsilon/3)$ となる。$x \in B_X$ なら $\lVert Tx - T_k x \rVert < \varepsilon/3$ なので $T(B_X) \subset \bigcup_i B(y_i, 2\varepsilon/3)$。$\square$

特に、有限ランク作用素のノルム極限はコンパクトである。コンパクト作用素が有界な逆をもてば $I = T^{-1} T$ がコンパクトになるので、空間は有限次元である。無限次元ではコンパクト作用素は決して可逆でない。

命題 5.4 $T \in \mathcal{K}(X, Y)$ で $x_n \rightharpoonup x$（弱収束）ならば、$\lVert Tx_n - Tx \rVert \to 0$。

証明. $g \in Y^{\ast}$ について $g(Tx_n) = (g \circ T)(x_n) \to g(Tx)$ なので $Tx_n \rightharpoonup Tx$。ノルム収束しないとすると、ある $\varepsilon > 0$ と部分列で $\lVert Tx_{n_k} - Tx \rVert \geq \varepsilon$。$(x_n)$ は有界（命題 4.15）なので、さらに部分列をとって $Tx_{n_{k_j}} \to y$（ノルム）とできる。すると $Tx_{n_{k_j}} \rightharpoonup y$ でもあり、弱極限の一意性から $y = Tx$ となって矛盾する。$\square$

コンパクト作用素は「弱収束をノルム収束に変える」。有界作用素は弱収束を弱収束にしか写さない。

例 5.5

1. 対角作用素。$a \in \ell^\infty$ とし、$\ell^p$（$1 \leq p \leq \infty$）上の $M_a x = (a_n x_n)$ を考える。$M_a$ がコンパクトであるための必要十分条件は $a \in c_0$ である。実際、$a \in c_0$ なら $a^{(N)} = (a_1, \dots, a_N, 0, \dots)$ について $\lVert M_a - M_{a^{(N)}} \rVert = \sup_{n > N} \lvert a_n \rvert \to 0$ で、$M_{a^{(N)}}$ は有限ランクなので定理 5.3 よりコンパクト。$a \notin c_0$ なら $\lvert a_{n_k} \rvert \geq \varepsilon$ となる部分列があり、$k \neq l$ で $\lVert M_a e_{n_k} - M_a e_{n_l} \rVert \geq \varepsilon$ なので $(M_a e_{n_k})$ は収束部分列をもたない。
2. 掛け算作用素。$\varphi \in C[0,1]$ が恒等的に $0$ でなければ、$L^2[0,1]$ 上の $M_\varphi$ はコンパクトでない。$\lvert \varphi \rvert \geq c > 0$ となる区間 $J$ をとり、$L^2(J)$ の正規直交系を $J$ の外で $0$ として $L^2[0,1]$ の正規直交系 $(f_n)$ とみなす。$f_n \rightharpoonup 0$（問題 2.2）だが $\lVert \varphi f_n \rVert_2 \geq c$ なので、命題 5.4 に反する。

定理 5.6 $X$ をノルム空間、$H$ をヒルベルト空間とする。任意の $T \in \mathcal{K}(X, H)$ は有限ランク作用素のノルム極限である。より詳しく、各 $\varepsilon > 0$ について、有限次元部分空間への直交射影 $P$ で $\lVert T - PT \rVert \leq \varepsilon$ となるものが存在する。

証明. $\overline{T(B_X)}$ はコンパクトなので、有限個の $y_1, \dots, y_m$ で $T(B_X) \subset \bigcup_i B(y_i, \varepsilon)$ となる。$P$ を $F = \operatorname{span} \lbrace y_1, \dots, y_m \rbrace$ への直交射影とする。$x \in B_X$ に対し $\lVert Tx - y_i \rVert < \varepsilon$ となる $i$ を選べば、$Px$ は最近点なので $\lVert Tx - PTx \rVert = d(Tx, F) \leq \lVert Tx - y_i \rVert < \varepsilon$。$\square$

定理 5.7（シャウダーの定理, Schauder's theorem）$X, Y$ をバナッハ空間、$T \in \mathcal{B}(X, Y)$ とする。$T$ がコンパクトであることと、双対作用素 $T'\colon Y^{\ast} \to X^{\ast}$（$T' g = g \circ T$）がコンパクトであることは同値である。特にヒルベルト空間 $H$ 上で $T \in \mathcal{K}(H)$ ならば $T^{\ast} \in \mathcal{K}(H)$。

一般の場合の証明は省略する（アスコリ–アルツェラの定理を $\overline{T(B_X)}$ 上の関数族 $\lbrace g\vert_{\overline{T(B_X)}} \mid g \in B_{Y^{\ast}} \rbrace$ に適用する）。ヒルベルト空間の場合は定理 5.6 から直ちに従う：$\lVert T - P_k T \rVert \to 0$ となる有限ランクの直交射影 $P_k$ をとると、$(P_k T)^{\ast} = T^{\ast} P_k$ は有限ランクで $\lVert T^{\ast} - T^{\ast} P_k \rVert = \lVert T - P_k T \rVert \to 0$ なので、定理 5.3 により $T^{\ast}$ はコンパクトである。

5.3 ヒルベルト–シュミット作用素

積分作用素のコンパクト性を $L^2$ で判定するのに便利なクラスを導入する。以下 $H$ は可分なヒルベルト空間とする。

命題 5.8（ヒルベルト–シュミット作用素, Hilbert–Schmidt operator）$T \in \mathcal{B}(H)$ と $H$ の正規直交基底 $(e_n)$ について、$\lVert T \rVert_{HS} := (\sum_n \lVert Te_n \rVert^2)^{1/2}$ は正規直交基底の選び方によらず、$\lVert T \rVert_{HS} = \lVert T^{\ast} \rVert_{HS}$ である。$\lVert T \rVert_{HS} < \infty$ のとき $T$ をヒルベルト–シュミット作用素という。このとき $\lVert T \rVert \leq \lVert T \rVert_{HS}$ であり、$T$ はコンパクトである。

証明. 正規直交基底 $(e_n)$, $(f_m)$ について、パーセヴァルの等式と非負項の二重級数の順序交換により

これを $(e_n) = (f_m)$ の場合にも使えば $\sum_m \lVert T f_m \rVert^2 = \sum_m \lVert T^{\ast} f_m \rVert^2 = \sum_n \lVert Te_n \rVert^2$ となり、基底によらないことと $\lVert T \rVert_{HS} = \lVert T^{\ast} \rVert_{HS}$ がわかる。また $\lVert Tx \rVert^2 = \sum_m \lvert \langle x, T^{\ast} f_m \rangle \rvert^2 \leq \lVert x \rVert^2 \sum_m \lVert T^{\ast} f_m \rVert^2$。最後に $P_N$ を $e_1, \dots, e_N$ の張る空間への直交射影とすると、$T(I - P_N)$ に上の評価を使って $\lVert T - TP_N \rVert \leq (\sum_{n > N} \lVert Te_n \rVert^2)^{1/2} \to 0$。$TP_N$ は有限ランクなので $T$ はコンパクトである。$\square$

例 5.9

1. $(\Omega, \mu)$ を σ-有限測度空間で $L^2(\Omega, \mu)$ が可分なものとし、$k \in L^2(\Omega \times \Omega, \mu \otimes \mu)$ とすると、積分作用素 $(Kf)(s) = \int k(s,t) f(t)\ d\mu(t)$ はヒルベルト–シュミット作用素で $\lVert K \rVert_{HS} = \lVert k \rVert_{L^2}$。実際、フビニの定理によりほとんどすべての $s$ で $k_s = k(s, \cdot) \in L^2$ であり、$(Ke_n)(s) = \langle k_s, \overline{e_n} \rangle$。$(\overline{e_n})$ も正規直交基底なので、単調収束定理とパーセヴァルの等式から $\sum_n \lVert Ke_n \rVert^2 = \int \sum_n \lvert \langle k_s, \overline{e_n} \rangle \rvert^2\ d\mu(s) = \int \lVert k_s \rVert^2\ d\mu(s) = \lVert k \rVert_{L^2}^2$。
2. $L^2[0,1]$ 上のヴォルテラ作用素は核 $\mathbf{1}_{\lbrace t \leq s \rbrace}$ をもつので $\lVert V \rVert_{HS}^2 = \int_0^1 \int_0^s dt\ ds = 1/2$ で、コンパクトである。
3. $\ell^2$ 上の対角作用素 $M_a$ では $\lVert M_a \rVert_{HS} = \lVert a \rVert_2$。$a_n = n^{-1/2}$ なら $a \in c_0 \setminus \ell^2$ なので、$M_a$ はコンパクトだがヒルベルト–シュミットでない。

5.4 リース–シャウダー理論

定理 5.10（リース–シャウダー, Riesz–Schauder）$X$ をバナッハ空間、$T \in \mathcal{K}(X)$、$S = I - T$ とする。

1. $\ker S$ は有限次元である。
2. $\operatorname{Ran} S$ は閉である。
3. $S$ が単射であることと全射であることは同値であり、このとき $S^{-1} \in \mathcal{B}(X)$。

証明. 1：$N = \ker S$ 上では $x = Tx$ なので $B_N = T(B_N)$ は相対コンパクトかつ閉、すなわちコンパクトである。リースの定理 1.23 により $\dim N < \infty$。

2：まず、ある $c > 0$ ですべての $x$ について $\lVert Sx \rVert \geq c\ d(x, N)$ となることを示す。そうでないとすると、$\lVert Sx_n \rVert < d(x_n, N)/n$ となる $x_n$ がとれる。スカラー倍して $d(x_n, N) = 1$ とし、$\lVert x_n - z_n \rVert < 2$ となる $z_n \in N$ で $x_n$ を $w_n = x_n - z_n$ に置き換えると、$d(w_n, N) = 1$, $\lVert w_n \rVert < 2$, $\lVert Sw_n \rVert < 1/n$。$T$ はコンパクトなので部分列で $Tw_{n_k} \to v$。すると $w_{n_k} = Sw_{n_k} + Tw_{n_k} \to v$ で、$Sv = \lim Sw_{n_k} = 0$ より $v \in N$。これは $d(w_{n_k}, N) \leq \lVert w_{n_k} - v \rVert \to 0$ を意味し、矛盾である。

さて $Sx_n \to y$ とすると、$d(x_n - x_m, N) \leq c^{-1} \lVert Sx_n - Sx_m \rVert$ なので $([x_n])$ は商空間 $X/N$（命題 1.25 によりバナッハ空間）のコーシー列であり、ある $[x]$ に収束する。$z_n \in N$ を $\lVert x_n - x - z_n \rVert < d(x_n - x, N) + 1/n$ となるようにとれば $x_n - z_n \to x$、よって $y = \lim S(x_n - z_n) = Sx$。

3：単射 ⇒ 全射：$S$ が単射だが全射でないとし、$X_n = S^n(X)$ とおく。$S^n = I - T_n$（$T_n = -\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}(-T)^k$ はコンパクト）なので、2 により $X_n$ は閉である。$X_{n+1} = X_n$ となる $n$ があるとすると、$x \notin X_1$ に対し $S^n x \in X_{n+1}$ より $S^n x = S^{n+1} y$ となる $y$ があり、$S^n$ の単射性から $x = Sy \in X_1$ となって矛盾。よって $X_1 \supsetneq X_2 \supsetneq \cdots$。リースの補題 1.22 により、$y_n \in X_n$, $\lVert y_n \rVert = 1$, $d(y_n, X_{n+1}) \geq 1/2$ となる $y_n$ がとれる。$n < m$ なら

で、括弧内は $X_{n+1}$ に属する（$Sy_n \in X_{n+1}$, $y_m \in X_m \subset X_{n+1}$, $Sy_m \in X_{m+1}$）ので $\lVert Ty_n - Ty_m \rVert \geq 1/2$。これは $T$ のコンパクト性に反する。

全射 ⇒ 単射：$S$ が全射で $Sx_1 = 0$, $x_1 \neq 0$ とする。全射性から $Sx_{k+1} = x_k$ となる $x_2, x_3, \dots$ がとれ、$S^k x_{k+1} = x_1 \neq 0$, $S^{k+1} x_{k+1} = 0$。よって $N_k = \ker S^k$（1 により有限次元で閉）は狭義単調増加である。リースの補題で $y_k \in N_k$, $\lVert y_k \rVert = 1$, $d(y_k, N_{k-1}) \geq 1/2$ をとると、$k > l$ なら $Ty_k - Ty_l = y_k - (Sy_k + y_l - Sy_l)$ の括弧内は $N_{k-1}$ に属し、同様に矛盾する。

$S$ が全単射なら、系 3.10 により $S^{-1}$ は有界である。$\square$

$\lambda \neq 0$ なら $\lambda I - T = \lambda(I - T/\lambda)$ にも定理 5.10 が適用できる。ヒルベルト空間では、さらに随伴を使って可解条件を記述できる。

定理 5.11（フレドホルムの択一定理, Fredholm alternative）$H$ をヒルベルト空間、$T \in \mathcal{K}(H)$、$\lambda \neq 0$ とする。

1. $\lambda I - T$ が単射であることと全射であることは同値である。すなわち、方程式 $(\lambda I - T)u = f$ は、すべての $f$ に対してただ一つの解をもつか、または斉次方程式 $(\lambda I - T)u = 0$ が非自明な解をもつかのどちらかである。
2. $\dim \ker(\lambda I - T) = \dim \ker(\bar{\lambda} I - T^{\ast}) < \infty$。
3. $(\lambda I - T)u = f$ が解をもつための必要十分条件は、$f \perp \ker(\bar{\lambda} I - T^{\ast})$ である。

証明. 1 は定理 5.10 の 3。3：定理 5.10 の 2 より値域は閉なので、命題 2.22 により $\operatorname{Ran}(\lambda I - T) = \ker((\lambda I - T)^{\ast})^\perp = \ker(\bar{\lambda} I - T^{\ast})^\perp$。

2：有限次元性は定理 5.10 の 1（$T^{\ast}$ もコンパクト：定理 5.7）。$T/\lambda$ を考えて $\lambda = 1$ としてよい。定理 5.6 により $T = F + R$（$F$ は有限ランク、$\lVert R \rVert < 1$）と書ける。$I - R$ はノイマン級数で可逆であり、$I - T = (I - R)(I - G)$、$G = (I - R)^{-1} F$ は有限ランクである。$I - R$ と $(I - R)^{\ast} = I - R^{\ast}$ は可逆なので

となり、$\dim \ker(I - G) = \dim \ker(I - G^{\ast})$ を示せばよい。$v_1, \dots, v_m$ を $\operatorname{Ran} G$ の正規直交基底とすると $Gx = \sum_i \langle Gx, v_i \rangle v_i = \sum_i \langle x, u_i \rangle v_i$（$u_i = G^{\ast} v_i$）、$G^{\ast} x = \sum_i \langle x, v_i \rangle u_i$。$E = \operatorname{span} \lbrace u_i, v_i \rbrace$ とおくと、$G$ と $G^{\ast}$ は $E$ を $E$ に写し、$E^\perp$ 上で $0$ である。$x = e + e'$（$e \in E$, $e' \in E^\perp$）と分解すれば、$(I - G)x = (e - Ge) + e'$ で $e - Ge \in E$ なので、$\ker(I - G) = \ker(I_E - A)$（$A = G\vert_E$）。同様に $\ker(I - G^{\ast}) = \ker(I_E - A^{\ast})$ で、$A^{\ast} = G^{\ast}\vert_E$ は有限次元空間 $E$ での $A$ の随伴である。行列の階数は共役転置で変わらないので、次元定理より両者の次元は等しい。$\square$

例 5.12（退化核の積分方程式）$L^2[0,1]$ で $u(s) - \lambda \int_0^1 st\ u(t)\ dt = f(s)$ を考える。$c = \int_0^1 t u(t)\ dt$ とおくと $u = f + \lambda c s$ で、両辺に $t$ を掛けて積分すると $c(1 - \lambda/3) = \int_0^1 t f(t)\ dt$。

• $\lambda \neq 3$ なら、すべての $f$ に対してただ一つの解 $u(s) = f(s) + \frac{3\lambda s}{3 - \lambda} \int_0^1 t f(t)\ dt$ がある。
• $\lambda = 3$ なら、斉次方程式は非自明解 $u = s$ をもつ。核 $st$ は実対称なので $T^{\ast} = T$ で、定理 5.11 の可解条件は $f \perp s$、すなわち $\int_0^1 t f(t)\ dt = 0$ である。このとき解は $u = f + cs$（$c$ は任意）で、確かに一意でない。

5.5 コンパクト作用素のスペクトル

スペクトルは第6章で詳しく扱うが、ここではコンパクト作用素について必要な定義だけ述べる。

定義 5.13 複素バナッハ空間 $X$ 上の $T \in \mathcal{B}(X)$ について、$\lambda I - T$ が全単射でない $\lambda \in \mathbb{C}$ の全体をスペクトル (spectrum) $\sigma(T)$ という（全単射なら逆は自動的に有界：系 3.10）。$\ker(\lambda I - T) \neq \lbrace 0 \rbrace$ となる $\lambda$ を固有値 (eigenvalue) という。

有限次元ではスペクトルは固有値の集合に一致する。無限次元では、固有値でないスペクトルの点がありうる（例：$\ell^2$ 上の $M_a$, $a_n = 1/n$ の $0$）。

定理 5.14（コンパクト作用素のスペクトル）$X$ を無限次元の複素バナッハ空間、$T \in \mathcal{K}(X)$ とする。

1. $0 \in \sigma(T)$。
2. $\sigma(T) \setminus \lbrace 0 \rbrace$ の点はすべて固有値であり、固有空間は有限次元である。
3. 各 $\varepsilon > 0$ について、$\lvert \lambda \rvert \geq \varepsilon$ を満たす $\lambda \in \sigma(T)$ は有限個である。したがって $\sigma(T)$ は高々可算で、$\sigma(T) \setminus \lbrace 0 \rbrace$ が無限集合ならそれは $0$ に収束する列である。

証明. 1：定理 5.3 の後の注意による。2：定理 5.10 を $T/\lambda$ に適用すればよい。

3：$\lvert \lambda_n \rvert \geq \varepsilon$ を満たす相異なる固有値の無限列 $(\lambda_n)$ があるとし、固有ベクトル $x_n$ をとる。相異なる固有値の固有ベクトルは一次独立なので、$E_n = \operatorname{span} \lbrace x_1, \dots, x_n \rbrace$ は狭義単調増加で、$T E_n \subset E_n$、$(\lambda_n I - T) E_n \subset E_{n-1}$ である（$(\lambda_n - T)x_k = (\lambda_n - \lambda_k)x_k$）。リースの補題で $y_n \in E_n$, $\lVert y_n \rVert = 1$, $d(y_n, E_{n-1}) \geq 1/2$ をとる。$n > m$ なら

で括弧内は $E_{n-1}$ に属するので、$\lVert Ty_n - Ty_m \rVert \geq \lvert \lambda_n \rvert / 2 \geq \varepsilon/2$。これはコンパクト性に反する。$\square$

例 5.15（固有値をもたないコンパクト作用素）ヴォルテラ作用素 $V$（$C[0,1]$ 上でも $L^2[0,1]$ 上でもコンパクト）は固有値をもたない。$Vf = \lambda f$ とすると、$\lambda = 0$ なら $\int_0^s f = 0$（$\forall s$）から $f = 0$。$\lambda \neq 0$ なら $f = \lambda^{-1} Vf$ は連続かつ微分可能で $f' = \lambda^{-1} f$, $f(0) = 0$ なので $f = 0$。定理 5.14 より $\sigma(V) = \lbrace 0 \rbrace$ であり、しかも $0$ は固有値でない。有限次元のべき零行列（スペクトル $\lbrace 0 \rbrace$）では $0$ は必ず固有値だったことと対照的である。

5.6 コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理

エルミート行列は固有ベクトルからなる正規直交基底で対角化できた。コンパクト自己共役作用素でも同じことが成り立つ。鍵は、固有値の存在を「最大化問題」で示すことである。

補題 5.16 $H$ をヒルベルト空間、$T \in \mathcal{K}(H)$ を自己共役とすると、$\lVert T \rVert$ または $-\lVert T \rVert$ は $T$ の固有値である（$H \neq \lbrace 0 \rbrace$）。また $T$ の固有値は実数で、異なる固有値の固有ベクトルは直交する。

証明. 後半：$Tx = \lambda x$, $\lVert x \rVert = 1$ なら $\lambda = \langle Tx, x \rangle \in \mathbb{R}$（命題 2.25）。$Ty = \mu y$, $\mu \neq \lambda$ なら $\lambda \langle x, y \rangle = \langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle = \mu \langle x, y \rangle$ より $\langle x, y \rangle = 0$。

前半：$T = 0$ なら明らか。$T \neq 0$ とする。命題 2.25 により $\lVert T \rVert = \sup_{\lVert x \rVert = 1} \lvert \langle Tx, x \rangle \rvert$ なので、単位ベクトル $x_n$ と実数 $\lambda$（$\lvert \lambda \rvert = \lVert T \rVert$）で $\langle Tx_n, x_n \rangle \to \lambda$ となるものがとれる。すると

コンパクト性より部分列で $Tx_{n_k} \to y$ となり、$x_{n_k} = \lambda^{-1}(Tx_{n_k} - (Tx_{n_k} - \lambda x_{n_k})) \to \lambda^{-1} y =: x$。$\lVert x \rVert = 1$ かつ $Tx = \lim Tx_{n_k} = \lambda x$。$\square$

定理 5.17（コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理）$H$ をヒルベルト空間、$T \in \mathcal{K}(H)$ を自己共役とする。有限または可算な正規直交系 $(e_n)$ と実数 $\lambda_n \neq 0$（$\lvert \lambda_1 \rvert \geq \lvert \lambda_2 \rvert \geq \cdots$、無限個なら $\lambda_n \to 0$）で、$Te_n = \lambda_n e_n$ かつ

$$Tx = \sum_n \lambda_n \langle x, e_n \rangle e_n \qquad (x \in H)$$

となるものが存在する。$H = \ker T \oplus \overline{\operatorname{span}} \lbrace e_n \rbrace$ であり、$T$ の $0$ でない固有値は $\lambda_n$ たちに限られ、固有値 $\mu \neq 0$ の固有空間は $\lambda_n = \mu$ となる $e_n$ たちで張られる。特に $H$ が可分なら、$T$ の固有ベクトルからなる正規直交基底が存在する。

証明. $H_1 = H$ とする。$T\vert_{H_n} \neq 0$ である限り、補題 5.16 を $T\vert_{H_n}$ に適用して $e_n \in H_n$, $\lVert e_n \rVert = 1$, $Te_n = \lambda_n e_n$, $\lvert \lambda_n \rvert = \lVert T\vert_{H_n} \rVert$ をとり、$H_{n+1} = \lbrace e_1, \dots, e_n \rbrace^\perp$ とおく。ここで $H_{n+1}$ は $T$ で不変である（$x \perp e_k$ なら $\langle Tx, e_k \rangle = \langle x, Te_k \rangle = \lambda_k \langle x, e_k \rangle = 0$）ので、$T\vert_{H_{n+1}}$ は $H_{n+1}$ 上のコンパクト自己共役作用素である。$H_{n+1} \subset H_n$ より $\lvert \lambda_n \rvert$ は単調非増加である。

$y_n = x - \sum_{k \leq n} \langle x, e_k \rangle e_k$ とおくと $y_n \in H_{n+1}$、$\lVert y_n \rVert \leq \lVert x \rVert$ で、$Ty_n = Tx - \sum_{k \leq n} \lambda_k \langle x, e_k \rangle e_k$。操作が $n$ 回で止まる（$T\vert_{H_{n+1}} = 0$）なら $Ty_n = 0$ で展開式を得る。止まらないなら $\lambda_n \to 0$ である：$\lvert \lambda_n \rvert \geq \varepsilon$ が続けば $\lVert Te_n - Te_m \rVert^2 = \lambda_n^2 + \lambda_m^2 \geq 2\varepsilon^2$ となりコンパクト性に反する。すると $\lVert Ty_n \rVert \leq \lvert \lambda_{n+1} \rvert \lVert x \rVert \to 0$ で展開式を得る。

展開式から $\operatorname{Ran} T \subset \overline{\operatorname{span}} \lbrace e_n \rbrace$、また $e_n = T(e_n/\lambda_n)$ なので $\overline{\operatorname{Ran} T} = \overline{\operatorname{span}} \lbrace e_n \rbrace$。$\ker T = \ker T^{\ast} = (\operatorname{Ran} T)^\perp$（命題 2.22）より直交分解を得る。$Tx = \mu x$（$\mu \neq 0$）なら $\mu \langle x, e_n \rangle = \langle Tx, e_n \rangle = \lambda_n \langle x, e_n \rangle$ なので、$\lambda_n \neq \mu$ なら $\langle x, e_n \rangle = 0$ で、$x = \mu^{-1} Tx = \sum_{\lambda_n = \mu} \langle x, e_n \rangle e_n$。可分なら $\ker T$ の正規直交基底（高々可算）を $(e_n)$ に加えればよい。$\square$

5.7 応用：スツルム–リウヴィル問題の固有関数展開

$p \in C^1[a,b]$, $p > 0$、$q \in C[a,b]$ を実数値で $q \geq 0$ とし、微分作用素 $Lu = -(pu')' + qu$ にディリクレ境界条件 $u(a) = u(b) = 0$ を課した固有値問題

を考える（スツルム–リウヴィル問題）。$L$ は非有界だが、その逆（グリーン作用素）はコンパクトな積分作用素になる。これが定理 5.17 を使う鍵である。以下、実数値関数の $L^2[a,b]$ で考える。

準備として、$Lu = 0$, $u(a) = u(b) = 0$ の $C^2$ 解は $u = 0$ に限る：部分積分により $0 = \int_a^b (Lu) u\ ds = \int_a^b (p u'^2 + q u^2)\ ds$ なので $u' = 0$、境界条件から $u = 0$。このとき 08-differential-equations 第5章 で示したように、次の性質をもつグリーン関数 (Green's function) $G$ が存在する：$G$ は $[a,b]^2$ 上の実数値連続関数で $G(s,t) = G(t,s)$ を満たし、各 $f \in C[a,b]$ に対し $u = \mathcal{G} f$, $(\mathcal{G} f)(s) = \int_a^b G(s,t) f(t)\ dt$ は $Lu = f$, $u(a) = u(b) = 0$ を満たすただ一つの $C^2$ 級関数である。

定理 5.18（固有関数展開）上の設定で次が成り立つ。

1. 固有値は $0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \cdots \to \infty$ と並べられ、各固有空間は 1 次元である。
2. 正規化した実数値の固有関数 $(\varphi_n)$ は $L^2[a,b]$ の正規直交基底である。
3. $u \in C^2[a,b]$ が $u(a) = u(b) = 0$ を満たせば、$u = \sum_n \langle u, \varphi_n \rangle \varphi_n$ は $[a,b]$ 上で絶対かつ一様に収束する。

証明. 第 1 段：$\mathcal{G}$ は連続核をもつのでヒルベルト–シュミット作用素（例 5.9）でありコンパクト、核が実対称なので自己共役である。また $\lvert \mathcal{G}f(s) - \mathcal{G}f(s') \rvert \leq \lVert G(s, \cdot) - G(s', \cdot) \rVert_2 \lVert f \rVert_2$ なので、$\mathcal{G}$ は $L^2$ を $C[a,b]$ に写す。$\mathcal{G}$ は単射である：$\mathcal{G}f = 0$ とする。境界条件を満たす $v \in C^2$ は一意性から $v = \mathcal{G}(Lv)$ と書けるので、$\langle f, v \rangle = \langle f, \mathcal{G}(Lv) \rangle = \langle \mathcal{G}f, Lv \rangle = 0$。このような $v$ には $C_c^\infty((a,b))$ の元がすべて含まれ、それらは $L^2$ で稠密なので $f = 0$。

第 2 段：定理 5.17 と $\ker \mathcal{G} = \lbrace 0 \rbrace$ より、$\mathcal{G}$ の固有関数 $\varphi_n$（固有値 $\mu_n \neq 0$）からなる正規直交基底がある（$L^2$ は無限次元なので無限個）。$\varphi_n = \mu_n^{-1} \mathcal{G} \varphi_n$ は連続で、したがって $\varphi_n = \mathcal{G}(\mu_n^{-1} \varphi_n)$ は $C^2$ 級、境界条件を満たし $L\varphi_n = \mu_n^{-1} \varphi_n$。逆に $Lu = \lambda u$ の $C^2$ 解 $u \neq 0$ は、$\lambda \neq 0$ で $u = \mathcal{G}(Lu) = \lambda \mathcal{G} u$ を満たす。よってスツルム–リウヴィル問題の固有値は $\lambda_n = 1/\mu_n$ たちである。部分積分により $\lambda \lVert u \rVert^2 = \int (p u'^2 + q u^2) > 0$ なので固有値は正である。固有空間が 1 次元であること：$u, v$ が同じ $\lambda$ の固有関数なら、$w = v'(a) u - u'(a) v$ は同じ 2 階線形微分方程式の解で $w(a) = w'(a) = 0$ を満たすので $w = 0$。$u'(a) \neq 0$（さもなくば $u \equiv 0$）なので $v$ は $u$ の定数倍である。$\mu_n \to 0$ より $\lambda_n \to \infty$。