コンパクト性

この章の目標

• 開被覆によるコンパクト性の定義の意味（局所から大域へ）を理解する
• 閉部分集合・連続像・ハウスドルフ空間での閉性など基本性質を証明し、「コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相」を使いこなせる
• ハイネ–ボレルの定理、距離空間でのコンパクト性の 3 つの特徴づけ、ルベーグ数の補題を証明できる
• チコノフの定理を（有限積の場合と一般の場合に）証明できる
• 局所コンパクト空間と一点コンパクト化、アスコリ–アルツェラの定理を理解する

前提：第1章〜第4章

5.1 定義と動機

微分積分学の 2 つの重要な定理を思い出そう：有界閉区間上の連続関数は最大値をとる；有界閉区間上の連続関数は一様連続である。後者の証明の骨格はこうである。各点 $x$ の近くでは連続性から「$x$ 用の $\delta_x$」がとれる。これは局所的な情報にすぎないが、有限個の点の近くで区間全体を覆えるなら、有限個の $\delta_{x_i}$ の最小値として全体で共通の $\delta$ が得られる。「無限を有限に帰着させる」この性質を、開集合の言葉で抽出したものがコンパクト性である。

定義 5.1（コンパクト, compact）位相空間 $X$ の開集合の族 $\mathcal{U} = \lbrace U_\lambda \rbrace$ で $\bigcup U_\lambda = X$ となるものを開被覆 (open cover) といい、その部分族で $X$ を覆うものを部分被覆という。$X$ の任意の開被覆が有限部分被覆をもつとき、$X$ はコンパクトであるという。部分集合 $A \subset X$ は、部分空間としてコンパクトなときコンパクトであるという。

命題 5.2 $A \subset X$ がコンパクト $\Leftrightarrow$ $X$ の開集合からなる族で $A$ を覆うもの（$A \subset \bigcup U_\lambda$）は、常に $A$ を覆う有限部分族をもつ。

証明. $A$ の開集合は $U \cap A$（$U$ は $X$ の開集合）の形なので、$A$ の開被覆と「$A$ を覆う $X$ の開集合族」は $U_\lambda \leftrightarrow U_\lambda \cap A$ で対応する。$\square$

例 5.3

1. 有限集合はコンパクトである。
2. $(0, 1)$ はコンパクトでない：開被覆 $\lbrace (1/n, 1) \mid n \geq 2 \rbrace$ のどの有限部分族も $(1/N, 1)$ に含まれ、$(0, 1/N]$ の点を覆わない。$\mathbb{R}$ も $\lbrace (-n, n) \rbrace$ によりコンパクトでない。
3. 無限離散空間はコンパクトでない（1 点集合による開被覆）。
4. $K = \lbrace 0 \rbrace \cup \lbrace 1/n \mid n \in \mathbb{N} \rbrace \subset \mathbb{R}$ はコンパクトである。開被覆のうち $0$ を含む $U_0$ は、ある $N$ 以降の $1/n$ をすべて含む。残りの有限個の点を覆う有限個の元と $U_0$ で有限部分被覆ができる。
5. 補有限位相の空間ではすべての部分集合がコンパクトである。空でない $U_0$ を被覆から一つ選ぶと、その外は有限個の点しかない。
6. 有界閉集合でもコンパクトとは限らない。$(C[0,1], d_\infty)$ の閉単位球 $D(0, 1)$ を考える。$f_n$ を区間 $[1/(n+1), 1/n]$ の上に立てた高さ 1 の三角形のとげ（区間の外で $0$）とすると、台が重ならないので $n \neq m$ なら $d_\infty(f_n, f_m) = 1$。開被覆 $\lbrace B(g, 1/2) \mid g \in D(0,1) \rbrace$ の各元は $f_n$ を高々 1 個しか含まない（2 個含めば距離が 1 未満になる）ので、有限部分被覆はありえない。

コンパクト性は閉集合の言葉でも述べられる。集合族が有限交叉性 (finite intersection property) をもつとは、その任意の有限個の元の共通部分が空でないことをいう。

定理 5.4 $X$ がコンパクト $\Leftrightarrow$ 有限交叉性をもつ閉集合の族 $\lbrace F_\lambda \rbrace$ は常に $\bigcap F_\lambda \neq \emptyset$ をみたす。

証明. $U_\lambda = X \setminus F_\lambda$ とおくと、「$\bigcap F_\lambda = \emptyset$」$\Leftrightarrow$「$\lbrace U_\lambda \rbrace$ は開被覆」、「有限交叉性をもつ」$\Leftrightarrow$「どの有限部分族も $X$ を覆わない」。よって右辺は「どの有限部分族も $X$ を覆わない開集合族は $X$ を覆わない」と同値で、これはコンパクト性の対偶である。$\square$

たとえば $\mathbb{R}$ の閉集合 $[n, \infty)$ の族は有限交叉性をもつが共通部分は空であり、$\mathbb{R}$ がコンパクトでないことを示している。

5.2 基本性質

定理 5.5 コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトである。

証明. $F \subset X$ を閉集合とし、$X$ の開集合族 $\lbrace U_\lambda \rbrace$ が $F$ を覆うとする。$X \setminus F$ を加えると $X$ の開被覆になるので有限部分被覆があり、そこから $X \setminus F$ を除けば $F$ を覆う有限部分族を得る。$\square$

定理 5.6 コンパクト空間の連続像はコンパクトである。

証明. $f\colon X \to Y$ を連続、$X$ をコンパクトとし、$Y$ の開集合族 $\lbrace V_\lambda \rbrace$ が $f(X)$ を覆うとする。$\lbrace f^{-1}(V_\lambda) \rbrace$ は $X$ の開被覆なので有限部分被覆 $f^{-1}(V_1), \dots, f^{-1}(V_n)$ があり、$V_1, \dots, V_n$ が $f(X)$ を覆う。$\square$

特に、コンパクト空間の商空間はコンパクトである。コンパクト性は位相的性質である。

定理 5.7 $X$ をハウスドルフ空間、$K \subset X$ をコンパクト集合、$x \notin K$ とする。このとき $x \in U$, $K \subset V$, $U \cap V = \emptyset$ となる開集合 $U, V$ が存在する。特に、ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合である。

証明. 各 $y \in K$ について、ハウスドルフ性から $x \in U_y$, $y \in V_y$, $U_y \cap V_y = \emptyset$ となる開集合をとる。$\lbrace V_y \rbrace$ は $K$ を覆うので $V_{y_1}, \dots, V_{y_n}$ で覆える。$U = U_{y_1} \cap \dots \cap U_{y_n}$, $V = V_{y_1} \cup \dots \cup V_{y_n}$ とおけばよい。後半は、$K$ の外の各点が $K$ と交わらない開近傍 $U$ をもつことから従う。$\square$

各点ごとに分離して、コンパクト性で有限個にまとめる——これがコンパクト性の典型的な使い方である。ハウスドルフ性は落とせない：補有限位相では任意の部分集合がコンパクト（例 5.3 の 5）だが、無限部分集合で閉でないものがある。

系 5.8 コンパクト・ハウスドルフ空間は正規である。

証明. 1 点は閉なので $T_1$。$F, G$ を交わらない閉集合とすると、どちらも定理 5.5 でコンパクト。各 $x \in F$ について定理 5.7 より $x \in U_x$, $G \subset V_x$, $U_x \cap V_x = \emptyset$ となる開集合をとる。$F$ は $U_{x_1}, \dots, U_{x_n}$ で覆え、$U = \bigcup U_{x_i}$, $V = \bigcap V_{x_i}$ が $F, G$ を分離する。$\square$

系 5.9（最大値・最小値の定理）空でないコンパクト空間 $X$ 上の連続関数 $f\colon X \to \mathbb{R}$ は最大値と最小値をとる。

証明. $f(X)$ はコンパクト（定理 5.6）。開被覆 $\lbrace (-n, n) \rbrace$ の有限部分被覆から $f(X)$ は有界、$\mathbb{R}$ はハウスドルフなので $f(X)$ は閉（定理 5.7）。空でない有界閉集合は上限・下限を含む。$\square$

定理 5.10 $X$ をコンパクト空間、$Y$ をハウスドルフ空間、$f\colon X \to Y$ を連続写像とする。

1. $f$ は閉写像である。
2. $f$ が全単射なら同相写像である。
3. $f$ が単射なら埋め込みであり、全射なら商写像である。

証明. 1. $F \subset X$ が閉なら、定理 5.5, 5.6, 5.7 により $F$ はコンパクト、$f(F)$ はコンパクト、$f(F)$ は閉。2. $f^{-1}$ による閉集合 $F$ の逆像は $f(F)$ で閉なので、$f^{-1}$ は連続。3. 単射なら $f\colon X \to f(X)$ は、ハウスドルフ空間 $f(X)$ への連続全単射なので 2 より同相。全射なら 1 と命題 3.17 より商写像。$\square$

注意 5.11 仮定はどちらも落とせない。$[0, 2\pi) \to S^1$, $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ は連続全単射だが同相でない（始域がコンパクトでない、第2章）。恒等写像 $[0, 1] \to ([0, 1], \text{密着位相})$ も連続全単射だが同相でない（終域がハウスドルフでない）。

例 5.12（商空間の同定）定理 5.10 は商空間の同定で威力を発揮する。

1. $[0, 1]/\lbrace 0, 1 \rbrace \cong S^1$：例 3.18 の連続全単射 $\bar{e}$ は、コンパクト空間 $[0, 1]$（定理 5.13）の商空間（コンパクト）からハウスドルフ空間 $S^1$ への連続全単射なので同相である。第3章で円弧を使って示した議論が、一行で済む。
2. トーラス $I^2/{\sim} \cong S^1 \times S^1$（例 3.19）：$E(x, y) = (e(x), e(y))$ は $I^2$ から $S^1 \times S^1 \subset \mathbb{R}^4$ への連続な全射で、$x, x' \in [0, 1]$ について $e(x) = e(x')$ $\Leftrightarrow$ $x = x'$ または $\lbrace x, x' \rbrace = \lbrace 0, 1 \rbrace$ である。したがって $E(x, y) = E(x', y')$ となるのはちょうど $(x, y) \sim (x', y')$ のときで、$E$ は連続全単射 $I^2/{\sim} \to S^1 \times S^1$ を誘導する。$I^2$ はコンパクト（定理 5.15）、$S^1 \times S^1$ はハウスドルフなので同相である。
3. $\mathbb{R}P^1 \cong S^1$：$S^1 \subset \mathbb{C}$ とみて $z \mapsto z^2$ を考えると、$z^2 = w^2 \Leftrightarrow w = \pm z$ なので、連続全単射 $S^1/{\pm} \to S^1$ を誘導する。例 3.20 と合わせて $\mathbb{R}P^1 \cong S^1/{\pm} \cong S^1$。

5.3 ハイネ–ボレルの定理

定理 5.13 有界閉区間 $[a, b]$ はコンパクトである。

証明. $\mathcal{U}$ を $[a, b]$ を覆う $\mathbb{R}$ の開集合族とし、$S = \lbrace x \in [a, b] \mid [a, x] \text{ は } \mathcal{U} \text{ の有限個の元で覆える} \rbrace$、$c = \sup S$ とおく（$a \in S$ なので $S \neq \emptyset$、上界 $b$）。$c \in [a, b]$ なので $c \in U_0$ となる $U_0 \in \mathcal{U}$ があり、$(c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subset U_0$ となる $\varepsilon > 0$ がある。上限の性質から $c - \varepsilon < x \leq c$ となる $x \in S$ があり、$[a, x]$ を覆う有限個の元に $U_0$ を加えれば $[a, t]$ が覆える。ここで $t = \min(c + \varepsilon/2, b)$。よって $t \in S$ で $t \leq c$ となるが、$c + \varepsilon/2 > c$ なので $t = b$。したがって $b \in S$。$\square$

この証明は実数の連続性（上限の存在）を本質的に使っている。$\mathbb{Q}$ の中の「区間」$[0, 2] \cap \mathbb{Q}$ はコンパクトでない（$\sqrt{2}$ に近づく点を含まない開集合の族を考えよ）。

補題 5.14（チューブ補題, tube lemma）$Y$ をコンパクト空間、$x \in X$ とし、$W$ を $\lbrace x \rbrace \times Y$ を含む $X \times Y$ の開集合とする。このとき $U \times Y \subset W$ となる $x$ の開近傍 $U$ が存在する。

証明. 各 $y \in Y$ について $(x, y) \in U_y \times V_y \subset W$ となる開集合 $U_y, V_y$ をとる。$\lbrace V_y \rbrace$ は $Y$ の開被覆なので $V_{y_1}, \dots, V_{y_n}$ で覆える。$U = U_{y_1} \cap \dots \cap U_{y_n}$ とおけば、$U \times Y \subset \bigcup_i (U_{y_i} \times V_{y_i}) \subset W$。$\square$

言葉で描写すると、「$x$ の上に立つ縦の線分 $\lbrace x \rbrace \times Y$ を囲む開集合は、その線分を中心とする一定の太さの管 $U \times Y$ を含む」ということである。$Y$ がコンパクトでないと成り立たない：$W = \lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \lvert x \rvert < 1/(1 + y^2) \rbrace$ は $\lbrace 0 \rbrace \times \mathbb{R}$ を含むが、$y \to \pm\infty$ で細くなるので管を含まない。

定理 5.15（有限積のコンパクト性）$X, Y$ がコンパクトなら $X \times Y$ はコンパクトである。したがって有限個のコンパクト空間の積はコンパクトである。

証明. $\mathcal{W}$ を $X \times Y$ の開被覆とする。各 $x \in X$ について $\lbrace x \rbrace \times Y$ は $Y$ と同相（問題 3.2）でコンパクトなので、$\mathcal{W}$ の有限個の元で覆え、その和 $W_x$ は $\lbrace x \rbrace \times Y$ を含む開集合である。補題 5.14 より $U_x \times Y \subset W_x$ となる開近傍 $U_x$ がある。$\lbrace U_x \rbrace$ は $X$ の開被覆なので $U_{x_1}, \dots, U_{x_m}$ で覆え、$X \times Y = \bigcup_j U_{x_j} \times Y \subset \bigcup_j W_{x_j}$ は $\mathcal{W}$ の有限個の元で覆われる。$\square$

定理 5.16（ハイネ–ボレルの定理, Heine–Borel theorem）$K \subset \mathbb{R}^n$ がコンパクト $\Leftrightarrow$ $K$ は有界閉集合。

証明. ($\Rightarrow$) $\mathbb{R}^n$ はハウスドルフなので $K$ は閉（定理 5.7）。開球 $B(0, m)$（$m \in \mathbb{N}$）の族は $K$ を覆うので有限個で覆え、$K$ は有界。($\Leftarrow$) $K \subset [-M, M]^n$ となる $M$ があり、右辺は定理 5.13 と定理 5.15 によりコンパクト。$K$ はその閉部分集合なのでコンパクト（定理 5.5）。$\square$

例 5.17 $S^n$, $D^n$ はコンパクトである。直交群 $O(n) = \lbrace A \mid {}^{t}A A = I \rbrace \subset \operatorname{M}_n(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^{n^2}$ は連続写像 $A \mapsto {}^{t}A A$ による閉集合 $\lbrace I \rbrace$ の逆像なので閉で、各列が単位ベクトルなので成分の絶対値は 1 以下で有界。よってコンパクトである。$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ は $tI$（$t \to \infty$）を含み有界でないのでコンパクトでない。ハイネ–ボレルの定理は $\mathbb{R}^n$ に特有であり、無限次元では成り立たない（例 5.3 の 6、関数解析 第1章）。

5.4 距離空間のコンパクト性

距離空間ではコンパクト性を点列や「有限個の小さな球で覆えること」で言い換えられる。

定義 5.18 距離空間 $X$ について：

• 任意の点列が収束部分列をもつとき、$X$ は点列コンパクト (sequentially compact) であるという。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対し、有限個の点 $x_1, \dots, x_n$ で $X = \bigcup_i B(x_i, \varepsilon)$ となるものがあるとき、$X$ は全有界 (totally bounded) であるという。
• 点列 $(x_n)$ が $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall m, n \geq N, d(x_m, x_n) < \varepsilon$ をみたすときコーシー列といい、すべてのコーシー列が収束するとき $X$ は完備 (complete) であるという（詳しくは第7章）。

全有界なら有界だが、逆は成り立たない（無限離散距離空間は有界だが、$\varepsilon = 1/2$ の有限個の球では覆えない）。

補題 5.19（ルベーグ数の補題, Lebesgue number lemma）$X$ を点列コンパクトな距離空間、$\mathcal{U}$ を開被覆とする。ある $\delta > 0$ が存在して、直径が $\delta$ より小さい任意の部分集合は $\mathcal{U}$ のある元に含まれる。この $\delta$ を $\mathcal{U}$ のルベーグ数という。

証明. そのような $\delta$ がないとすると、各 $n$ について直径 $< 1/n$ でどの $U \in \mathcal{U}$ にも含まれない集合 $A_n$ がある（空集合はどの元にも含まれるので $A_n \neq \emptyset$）。$x_n \in A_n$ を選び、収束部分列 $x_{n_k} \to x$ をとる。$x \in U \in \mathcal{U}$、$B(x, \varepsilon) \subset U$ とする。$k$ を十分大きくとって $d(x_{n_k}, x) < \varepsilon/2$、$1/n_k < \varepsilon/2$ とすると、$y \in A_{n_k}$ なら $d(y, x) \leq d(y, x_{n_k}) + d(x_{n_k}, x) < \varepsilon$ なので $A_{n_k} \subset B(x, \varepsilon) \subset U$。矛盾。$\square$

定理 5.20 距離空間 $X$ について、次は同値である。

1. $X$ はコンパクト。
2. $X$ は点列コンパクト。
3. $X$ は完備かつ全有界。

証明. 1 $\Rightarrow$ 2：収束部分列をもたない点列 $(x_n)$ があるとする。各点 $y$ について、$y$ に収束する部分列がないので、ある $r_y > 0$ で $x_n \in B(y, r_y)$ となる $n$ は有限個しかない。（そうでなければ、各 $k$ について $x_n \in B(y, 1/k)$ となる $n$ が無限個あるので、$n_1 < n_2 < \cdots$ を $x_{n_k} \in B(y, 1/k)$ となるように選べて $x_{n_k} \to y$ となる。）開被覆 $\lbrace B(y, r_y) \rbrace$ の有限部分被覆をとると、そこに属する $x_n$ の添字は有限個しかないのに、すべての $n$ についての $x_n$ が覆われる。矛盾。

2 $\Rightarrow$ 3：（完備）コーシー列 $(x_n)$ が収束部分列 $x_{n_k} \to x$ をもつとする。$\varepsilon > 0$ に対し $m, n \geq N$ で $d(x_m, x_n) < \varepsilon/2$、$d(x_{n_k}, x) < \varepsilon/2$ となる $n_k \geq N$ をとれば、$n \geq N$ で $d(x_n, x) \leq d(x_n, x_{n_k}) + d(x_{n_k}, x) < \varepsilon$。（全有界）そうでないとすると、ある $\varepsilon > 0$ について有限個の $\varepsilon$ 球では覆えない。$x_1$ を任意にとり、$x_1, \dots, x_n$ まで選んだら $x_{n+1} \notin \bigcup_{i \leq n} B(x_i, \varepsilon)$ を選ぶ。すると $i \neq j$ で $d(x_i, x_j) \geq \varepsilon$ なので、どの部分列もコーシー列でなく、収束しない。矛盾。

3 $\Rightarrow$ 2：$(x_n)$ を点列とする。$X$ は有限個の半径 1 の球で覆えるので、そのうち一つは無限個の項を含み、それらの項からなる部分列 $S_1$ がとれる。$S_1$ の項を有限個の半径 $1/2$ の球で覆い、同様に $S_1$ の部分列 $S_2$ で一つの半径 $1/2$ の球に収まるものをとる。以下同様に $S_1 \supset S_2 \supset \cdots$（$S_k$ は半径 $1/k$ の球に収まる）を作り、$y_k$ を $S_k$ の第 $k$ 項とする（対角線論法）。$(y_k)$ は $(x_n)$ の部分列で、$k, l \geq m$ なら $y_k, y_l$ はともに $S_m$ の項なので $d(y_k, y_l) < 2/m$。よって $(y_k)$ はコーシー列で、完備性から収束する。

2 $\Rightarrow$ 1：$\mathcal{U}$ を開被覆とし、補題 5.19 のルベーグ数 $\delta$ をとる。2 $\Rightarrow$ 3 より $X$ は全有界なので、有限個の球 $B(x_i, \delta/3)$ で覆える。各球の直径は $2\delta/3 < \delta$ 以下なので $\mathcal{U}$ のある元 $U_i$ に含まれ、$U_1, \dots, U_n$ が有限部分被覆になる。$\square$

系 5.21 コンパクト距離空間は有界であり、可分（したがって第二可算）である。

証明. 全有界なので有界。各 $n$ について $X$ を覆う有限個の半径 $1/n$ の球の中心全体を $C_n$ とすると、$\bigcup C_n$ は可算で稠密である。定理 4.15 より第二可算。$\square$

定理 5.22 コンパクト距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への連続写像は一様連続である。

証明. $\varepsilon > 0$ とする。$\lbrace f^{-1}(B(y, \varepsilon/2)) \mid y \in Y \rbrace$ は $X$ の開被覆なので、ルベーグ数 $\delta$ がある。$d(x, x') < \delta$ なら $\lbrace x, x' \rbrace$ の直径は $\delta$ 未満なので、ある $y$ で $f(x), f(x') \in B(y, \varepsilon/2)$、したがって $e(f(x), f(x')) < \varepsilon$。$\square$

冒頭に述べた「局所的な $\delta_x$ から大域的な $\delta$ へ」という議論が、ルベーグ数の形で実現されている。

注意 5.23（一般の位相空間では）コンパクト性と点列コンパクト性は一般には無関係である。

• $X = \lbrace 0, 1 \rbrace^{[0, 1]}$（離散空間 $\lbrace 0, 1 \rbrace$ の積）はチコノフの定理（次節）によりコンパクトだが、点列コンパクトでない。$t \in [0, 1)$ に対し $f_n(t)$ を $t$ の 2 進展開（ある桁から先がすべて 1 となる展開は使わない）の小数第 $n$ 桁とし、$f_n(1) = 0$ とする。部分列 $(f_{n_k})$ が与えられたら、第 $n_k$ 桁が $k$ の偶奇に応じて $0, 1, 0, 1, \dots$ となり他の桁が $0$ である $t$ をとる。この展開は $0$ と $1$ を無限個含むので $t$ の展開として正当であり、$f_{n_k}(t)$ は振動して収束しない。命題 3.11 より $(f_{n_k})$ は $X$ で収束しない。
• 逆に、点列コンパクトだがコンパクトでない空間もある（最初の非可算順序数に順序位相を入れた空間。ここでは証明しない）。

5.5 チコノフの定理

定理 5.24（チコノフの定理, Tychonoff's theorem）コンパクト空間の任意の族の積空間はコンパクトである。

有限積の場合は定理 5.15 で示した。一般の場合はツォルンの補題（数学の言葉 第6章）を用いる。有限交叉性を使った特徴づけから始める。

補題 5.25 $X$ がコンパクト $\Leftrightarrow$ 有限交叉性をもつ（閉とは限らない）部分集合の族 $\mathcal{A}$ について、常に $\bigcap_{A \in \mathcal{A}} \overline{A} \neq \emptyset$。

証明. ($\Rightarrow$) $\lbrace \overline{A} \rbrace$ は有限交叉性をもつ閉集合族なので定理 5.4 を適用する。($\Leftarrow$) 閉集合族に適用すれば定理 5.4 の条件になる。$\square$

補題 5.26 有限交叉性をもつ集合族 $\mathcal{A}$ は、有限交叉性をもつ集合族のうち包含関係について極大なもの $\mathcal{D} \supset \mathcal{A}$ に含まれる。

証明. $\mathcal{A}$ を含み有限交叉性をもつ $X$ の部分集合族全体 $\mathbb{P}$ を包含で順序づける。$\mathbb{P}$ の全順序部分集合（鎖）$\lbrace \mathcal{C}_i \rbrace$ の和 $\bigcup \mathcal{C}_i$ は有限交叉性をもつ：その有限個の元はそれぞれある $\mathcal{C}_{i_j}$ に属し、鎖なのでそれらはすべて最大の $\mathcal{C}_{i_j}$ に属するからである。よって鎖は上界をもち、ツォルンの補題から $\mathbb{P}$ は極大元 $\mathcal{D}$ をもつ。$\square$

補題 5.27 $\mathcal{D}$ を有限交叉性をもつ極大な族とする。

1. $\mathcal{D}$ の有限個の元の共通部分は $\mathcal{D}$ に属する。
2. $\mathcal{D}$ のすべての元と交わる集合 $A$ は $\mathcal{D}$ に属する。

証明. 1. $B = D_1 \cap \dots \cap D_n$ とすると、$\mathcal{D} \cup \lbrace B \rbrace$ の有限個の元の共通部分は $\mathcal{D}$ の有限個の元の共通部分なので空でない。極大性より $B \in \mathcal{D}$。2. $\mathcal{D} \cup \lbrace A \rbrace$ の有限個の元の共通部分 $A \cap D_1 \cap \dots \cap D_n$ は、1 より $D_1 \cap \dots \cap D_n \in \mathcal{D}$ なので空でない。極大性より $A \in \mathcal{D}$。$\square$

定理 5.24 の証明. $X = \prod_\lambda X_\lambda$ とし、補題 5.25 を用いる。$\mathcal{A}$ を有限交叉性をもつ $X$ の部分集合族とし、補題 5.26 によりそれを含む極大な族 $\mathcal{D}$ をとる。$\bigcap_{D \in \mathcal{D}} \overline{D} \neq \emptyset$ を示せば十分である。

各 $\lambda$ について $\lbrace p_\lambda(D) \mid D \in \mathcal{D} \rbrace$ は $X_\lambda$ の有限交叉性をもつ族（$p_\lambda(D_1 \cap \dots \cap D_n) \subset p_\lambda(D_1) \cap \dots \cap p_\lambda(D_n)$）なので、$X_\lambda$ のコンパクト性と補題 5.25 から $x_\lambda \in \bigcap_{D} \overline{p_\lambda(D)}$ を選べる。$x = (x_\lambda)$ とおき、すべての $D \in \mathcal{D}$ について $x \in \overline{D}$ を示す。

$x$ を含む準開基の元 $p_\lambda^{-1}(U)$（$U$ は $x_\lambda$ を含む $X_\lambda$ の開集合）をとる。$x_\lambda \in \overline{p_\lambda(D)}$ なので $U \cap p_\lambda(D) \neq \emptyset$、すなわち $p_\lambda^{-1}(U) \cap D \neq \emptyset$ がすべての $D \in \mathcal{D}$ で成り立つ。補題 5.27 の 2 より $p_\lambda^{-1}(U) \in \mathcal{D}$。$x$ を含む基本開集合はこのような集合の有限個の共通部分なので、補題 5.27 の 1 より $\mathcal{D}$ に属し、したがって $\mathcal{D}$ の任意の元 $D$ と交わる（有限交叉性）。$x$ の任意の近傍は基本開集合を含むので $D$ と交わり、$x \in \overline{D}$。$\square$

注意 5.28

• 証明では選択公理（ツォルンの補題と $x_\lambda$ の選択）を使った。実はチコノフの定理は選択公理と同値であることが知られている（ケリーの定理、ここでは証明しない）。
• 箱位相では成り立たない。$\lbrace 0, 1 \rbrace^{\mathbb{N}}$ に箱位相を入れると、各 1 点集合 $\lbrace x \rbrace = \prod_n \lbrace x_n \rbrace$ が開集合なので離散空間になり、無限（非可算）離散空間はコンパクトでない。

例 5.29 ヒルベルト立方体 $[0, 1]^{\mathbb{N}}$、カントール空間 $\lbrace 0, 1 \rbrace^{\mathbb{N}}$ はコンパクトである（後者はカントール集合と同相であることが知られている）。$[0,1]^{[0,1]}$ のような非可算積もコンパクトである。関数解析のバナッハ–アラオグルの定理（双対空間の単位球の弱 ∗ コンパクト性）はチコノフの定理から導かれる（関数解析 第4章）。

5.6 局所コンパクト空間と一点コンパクト化

$\mathbb{R}^n$ はコンパクトでないが、各点のまわりではコンパクトな閉球がとれる。このような空間は解析学の主要な舞台である。

定義 5.30（局所コンパクト, locally compact）位相空間 $X$ の各点がコンパクトな近傍をもつとき、$X$ は局所コンパクトであるという。

例 5.31 $\mathbb{R}^n$（閉球）、離散空間（1 点）、コンパクト空間は局所コンパクトである。$\mathbb{Q}$ は局所コンパクトでない：$0$ のコンパクト近傍 $K$ があったとすると、$(-\varepsilon, \varepsilon) \cap \mathbb{Q} \subset K$ となる無理数 $\varepsilon > 0$ がとれる。$[-\varepsilon, \varepsilon] \cap \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ の閉集合で $K$ に含まれるのでコンパクト（定理 5.5）であり、したがって $\mathbb{R}$ のコンパクト集合として閉集合のはずだが、その $\mathbb{R}$ での閉包は無理数 $\varepsilon$ を含む。矛盾。無限次元ノルム空間も局所コンパクトでない。

定義 5.32（一点コンパクト化, one-point compactification）位相空間 $X$ と、$X$ に属さない 1 点 $\infty$ に対し、$X^{\ast} = X \cup \lbrace \infty \rbrace$ の部分集合で次のいずれかの形のものを開集合とする：

• (i) $X$ の開集合 $U$
• (ii) $X^{\ast} \setminus K$（$K$ は $X$ のコンパクトな閉集合）

$X^{\ast}$ を $X$ の一点コンパクト化（アレクサンドロフ・コンパクト化）という。

言葉でいえば、「$\infty$ の近傍とは、$X$ のコンパクト集合の外側全体を含む集合」であり、「コンパクト集合からどんどん離れていくこと」を「$\infty$ に近づくこと」とみなす。

定理 5.33

1. 上の族は $X^{\ast}$ の位相であり、$X$ は $X^{\ast}$ の開部分空間である（相対位相はもとの位相と一致する）。
2. $X^{\ast}$ はコンパクトである。
3. $X^{\ast}$ がハウスドルフ $\Leftrightarrow$ $X$ は局所コンパクト・ハウスドルフ。
4. $X$ がコンパクトでなければ、$X$ は $X^{\ast}$ で稠密である。

証明. 1. (O1)：$\emptyset$ は (i)、$X^{\ast} = X^{\ast} \setminus \emptyset$ は (ii)。(O2)：(i) と (i) の共通部分は (i)；$U \cap (X^{\ast} \setminus K) = U \cap (X \setminus K)$ は $X$ の開集合で (i)；$(X^{\ast} \setminus K) \cap (X^{\ast} \setminus K') = X^{\ast} \setminus (K \cup K')$ で $K \cup K'$ はコンパクトな閉集合。(O3)：(i) の元だけの和は (i)。(ii) の元 $X^{\ast} \setminus K_\mu$ を少なくとも一つ含む場合、(i) の元の和を $U$ とすると和集合は $X^{\ast} \setminus C$、$C = (\bigcap_\mu K_\mu) \setminus U$ である。$C$ は $X$ の閉集合で、コンパクト集合 $K_{\mu_0}$ の閉部分集合 $K_{\mu_0} \cap C$ に等しいのでコンパクト（定理 5.5）。よって (ii)。相対位相：開集合と $X$ の共通部分は $U$ または $X \setminus K$ で、いずれも $X$ の開集合であり、逆に $X$ の開集合は (i) として現れる。

2. 開被覆のうち $\infty$ を含む元は (ii) の形 $X^{\ast} \setminus K$ である。$K$ は残りの元（$X$ との共通部分は $X$ の開集合）の有限個で覆えるので、合わせて有限部分被覆になる。

3. ($\Leftarrow$) $X$ の 2 点は $X$ の中で分離できる。$x \in X$ と $\infty$ については、$x$ のコンパクト近傍 $K$ と $x \in U \subset K$ となる開集合 $U$ をとる。$K$ はハウスドルフ空間 $X$ のコンパクト集合なので閉で、$U$ と $X^{\ast} \setminus K$ が分離する。($\Rightarrow$) $X$ はハウスドルフ空間の部分空間なのでハウスドルフ。$x \in X$ と $\infty$ を分離する開集合を $U \ni x$ と $X^{\ast} \setminus K \ni \infty$ とすると $U \subset K$ で、$K$ は $x$ のコンパクト近傍。

4. $X$ がコンパクトでなければ $\lbrace \infty \rbrace = X^{\ast} \setminus X$ は (ii) の形でなく開でないので、$\infty$ の任意の近傍は $X$ と交わる。$\square$

命題 5.34（一意性）$Y$ をコンパクト・ハウスドルフ空間、$p \in Y$、$X = Y \setminus \lbrace p \rbrace$ とする。$\varphi\vert_X = \mathrm{id}_X$, $\varphi(p) = \infty$ で定まる $\varphi\colon Y \to X^{\ast}$ は同相写像である。

証明. $X$ は $Y$ の開集合（1 点は閉）でハウスドルフ。$x \in X$ と $p$ を分離する $Y$ の開集合 $U \ni x$, $V \ni p$ をとると、$Y \setminus V$ はコンパクト（定理 5.5）で $X$ に含まれ、$U$ を含むので $x$ のコンパクト近傍である。よって $X$ は局所コンパクト・ハウスドルフで、$X^{\ast}$ はハウスドルフ（定理 5.33）。$\varphi$ は全単射で、連続である：(i) の開集合 $U$ の逆像は $U$ で、$X$ が $Y$ で開なので $Y$ で開；(ii) の $X^{\ast} \setminus K$ の逆像は $Y \setminus K$ で、$K$ は $Y$ のコンパクト集合なので閉。定理 5.10 より $\varphi$ は同相写像。$\square$

例 5.35

1. $(\mathbb{R}^n)^{\ast} \cong S^n$：立体射影により $S^n \setminus \lbrace N \rbrace \cong \mathbb{R}^n$（例 2.39）なので、命題 5.34 から従う。特に $\mathbb{C}^{\ast} \cong S^2$ はリーマン球面である（リーマン面 第1章）。
2. $\mathbb{N}^{\ast} \cong \lbrace 0 \rbrace \cup \lbrace 1/n \mid n \in \mathbb{N} \rbrace$（問題 5.7）。$(0, 1)^{\ast} \cong S^1$、$[0, 1)^{\ast} \cong [0, 1]$。
3. $\mathbb{Q}^{\ast}$ はコンパクトだがハウスドルフでない（例 5.31 と定理 5.33 の 3）。

命題 5.36 $X$ を局所コンパクト・ハウスドルフ空間、$x \in U$（$U$ は開集合）とする。$x \in V \subset \overline{V} \subset U$ かつ $\overline{V}$ がコンパクトとなる開集合 $V$ が存在する。特に $X$ は正則である。

証明. $X^{\ast}$ はコンパクト・ハウスドルフなので正則（系 5.8）。$U$ は $X^{\ast}$ の開集合なので、命題 4.3 より $x \in V \subset \mathrm{cl}_{X^{\ast}}(V) \subset U$ となる $X^{\ast}$ の開集合 $V$ がある。$V \subset X$ なので $V$ は $X$ の開集合で、$\mathrm{cl}_{X^{\ast}}(V)$ はコンパクト空間の閉集合なのでコンパクトであり、$U \subset X$ に含まれるので $X$ での閉包 $\overline{V} = \mathrm{cl}_{X^{\ast}}(V) \cap X$ に一致する。$\square$

局所コンパクト・ハウスドルフ空間は、コンパクト台の連続関数 $C_c(X)$ とラドン測度の理論の舞台である（測度と積分 第8章）。

5.7 アスコリ–アルツェラの定理

関数空間 $C[0, 1]$ の有界閉集合はコンパクトとは限らない（例 5.3 の 6）。では関数の族がいつ「コンパクト」になるのか。答えは「一様に有界」に加えて「一様に振動が小さい」ことである。

以下 $X$ をコンパクト距離空間とし、$X$ 上の実数値連続関数全体 $C(X)$ に一様距離 $d_\infty(f, g) = \max_{x \in X} \lvert f(x) - g(x) \rvert$ を入れる（最大値は系 5.9 により存在する）。

定義 5.37（同程度連続, equicontinuous）$\mathcal{F} \subset C(X)$ とする。

• $\mathcal{F}$ が点 $x$ で同程度連続であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在し、すべての $f \in \mathcal{F}$ と $d(x, y) < \delta$ となるすべての $y$ について $\lvert f(x) - f(y) \rvert < \varepsilon$ となることをいう。すべての点で同程度連続なとき、単に同程度連続という。
• 各点 $x$ で $\lbrace f(x) \mid f \in \mathcal{F} \rbrace$ が有界なとき各点有界、$\sup_{f \in \mathcal{F}} \max_x \lvert f(x) \rvert < \infty$ のとき一様有界という。

定理 5.38（アスコリ–アルツェラの定理, Ascoli–Arzelà theorem）$X$ をコンパクト距離空間、$\mathcal{F} \subset C(X)$ とする。次は同値である。

1. $\mathcal{F}$ の閉包 $\overline{\mathcal{F}}$ は $(C(X), d_\infty)$ でコンパクト。
2. $\mathcal{F}$ は同程度連続かつ一様有界。
3. $\mathcal{F}$ は同程度連続かつ各点有界。

特にこのとき、$\mathcal{F}$ の任意の関数列は一様収束する部分列をもつ。

証明. 1 $\Rightarrow$ 2：$\overline{\mathcal{F}}$ はコンパクト距離空間なので全有界（定理 5.20）。$\varepsilon > 0$ に対し、$\mathcal{F} \subset \bigcup_{i=1}^m B(f_i, \varepsilon/3)$ となる $f_1, \dots, f_m \in \overline{\mathcal{F}}$ がある。（一様有界）$\varepsilon = 3$ とすれば任意の $f \in \mathcal{F}$ で $\max \lvert f \rvert < \max_i \max \lvert f_i \rvert + 1$。（同程度連続）$x \in X$ を固定し、各 $f_i$ の連続性から、$d(x, y) < \delta$ ならすべての $i$ で $\lvert f_i(x) - f_i(y) \rvert < \varepsilon/3$ となる $\delta$ をとる。$f \in \mathcal{F}$ に対し $d_\infty(f, f_i) < \varepsilon/3$ となる $i$ を選べば、$d(x, y) < \delta$ のとき

2 $\Rightarrow$ 3：明らか。

3 $\Rightarrow$ 1：ステップ 1（部分列の構成）. 系 5.21 より $X$ は稠密な可算部分集合 $\lbrace x_1, x_2, \dots \rbrace$ をもつ。$\mathcal{F}$ の関数列 $(f_n)$ をとる。$(f_n(x_1))$ は有界な実数列なので収束部分列をもつ（ボルツァーノ–ワイエルシュトラス）。その部分列から $x_2$ での値が収束する部分列をとり、以下同様に続け、定理 5.20 の証明と同じ対角線論法により、すべての $x_j$ で $(g_k(x_j))_k$ が収束する部分列 $(g_k)$ を得る。

ステップ 2（一様コーシー性）. $\varepsilon > 0$ とする。同程度連続性から、各 $z \in X$ に対し $\delta_z > 0$ を「$d(z, y) < \delta_z$ ならすべての $f \in \mathcal{F}$ で $\lvert f(y) - f(z) \rvert < \varepsilon/6$」となるようにとる。$X$ のコンパクト性から有限個の $B(z_1, \delta_{z_1}), \dots, B(z_m, \delta_{z_m})$ で $X$ を覆える。同じ球に属する 2 点 $y, y'$ については $\lvert f(y) - f(y') \rvert < \varepsilon/3$ である。各球は空でない開集合なので稠密集合の点 $x_{j_i} \in B(z_i, \delta_{z_i})$ を含む。$K$ を十分大きくとり、$k, l \geq K$ なら $i = 1, \dots, m$ のすべてで $\lvert g_k(x_{j_i}) - g_l(x_{j_i}) \rvert < \varepsilon/3$ とする。任意の $y \in X$ はある $B(z_i, \delta_{z_i})$ に属するので、$k, l \geq K$ なら