集合と位相

概要

この科目では、微分積分学で使った「近さ」の概念を抽象化し、距離空間 (metric space) から出発して位相空間 (topological space) へと進みます。微分積分学では、数列の収束も関数の連続性も $\lvert x - y \rvert$ という距離を使って ε-δ 論法で定義しました。ところが同じ論法は、平面のベクトル、関数、符号語、 $p$ 進数など、「近さ」が測れるものならどこでも使えます。第1章ではこれを距離空間として整理し、連続性や収束が開集合だけで述べられることを確認します。これが抽象化の動機です。第2章以降は開集合の族そのものを公理とする位相空間を扱い、部分空間・積空間・商空間の構成、分離公理と可算公理、コンパクト性、連結性、完備性を学びます。

抽象化すると、直観の効かない空間がたくさん現れます。本科目では、定義や定理の仮定がなぜ必要かを、補有限位相、ゾルゲンフライ直線、位相幾何学者の正弦曲線、箱位相、原点が 2 つある直線などの反例で一つずつ確かめます。図は用いず、状況を言葉と式で丁寧に描写します。頭の中で（あるいは手元の紙に）図を描きながら読んでください。

集合と位相は、現代数学のほぼすべての分野の共通言語です。関数解析（10-functional-analysis）は無限次元の距離空間・位相空間の理論であり、位相幾何学（09-algebraic-topology）は本科目で学ぶ位相不変量を代数的に精密化します。多様体（07-manifolds）はハウスドルフ・第二可算な位相空間として定義され、測度論（06-measure-integration）では局所コンパクト空間の上でラドン測度を扱います。

前提知識

00-foundations 数学の言葉：論理・集合・写像・同値関係、可算と非可算、選択公理とツォルンの補題（第5章のチコノフの定理で使う）。
01-calculus 微分積分学第1〜3章：実数の連続性（上限の存在）、数列の収束、ε-δ 論法による連続性、中間値の定理と最大値の定理。
第7章の一部の例（積分方程式など）では、1 変数のリーマン積分と一様収束（微分積分学第5章・第6章）を使います。

到達目標

[ ] 距離の公理を述べ、 $\mathbb{R}^n$ の $d_1, d_2, d_\infty$ 、 $C[a,b]$ の一様距離と $L^1$ 距離、 $p$ 進距離などが距離であることを確かめられる
[ ] 連続性の ε-δ・点列・開集合による特徴づけを証明し、連続性が開集合だけで述べられることを説明できる
[ ] 位相の公理と各公理が必要な理由を説明でき、補有限位相・ゾルゲンフライ直線・ザリスキー位相などの例を扱える
[ ] 開基の判定条件を証明し、開基・準開基から位相を作れる
[ ] 部分空間・積空間・商空間の普遍性を証明し、積位相と箱位相の違いを反例で説明できる
[ ] 円周・トーラス・射影空間などを商空間として記述し、商空間がハウスドルフにならない例を挙げられる
[ ] 分離公理の階層を反例つきで説明でき、ウリゾーンの補題とティーツェの拡張定理を証明できる
[ ] 第一可算空間では点列で閉包が決まることを証明し、点列では不十分な例とネットの考え方を説明できる
[ ] コンパクト性の基本性質、ハイネ–ボレルの定理、距離空間でのコンパクト性の同値条件、チコノフの定理を証明できる
[ ] 一点コンパクト化を構成し、アスコリ–アルツェラの定理を証明・応用できる
[ ] $\mathbb{R}$ の区間の連結性を証明し、連結だが弧状連結でない例を説明でき、連結性を位相不変量として使える
[ ] 完備化を構成し、縮小写像の原理・ベールのカテゴリー定理・ストーン–ワイエルシュトラスの定理を証明・応用できる

章立て

第1章距離空間 — 距離の公理と例（ $\mathbb{R}^n$ 、関数空間、離散・ハミング・ $p$ 進距離）、開集合・閉集合、内部・閉包・境界、点列の収束、連続写像の 3 つの特徴づけ、一様連続性、同値な距離、等長写像、部分距離空間、有界性。
第2章位相空間 — 位相の公理とその動機、離散・密着・補有限・順序・下限位相（ゾルゲンフライ直線）・ザリスキー位相、閉集合と近傍、内部・閉包・集積点・稠密性、開基と準開基（判定条件の証明）、連続写像、同相写像、同相でない空間の例、位相の強弱。
第3章位相の構成 — 相対位相、積位相と箱位相、積位相・商位相の普遍性、円周・トーラス・メビウスの帯・射影空間・錐・懸垂・貼り合わせ空間、商空間がハウスドルフにならない例、始位相と終位相。
第4章分離公理と可算公理 — $T_1$ ・ハウスドルフ・正則・正規とその反例、距離空間の正規性、ウリゾーンの補題、ティーツェの拡張定理、第一・第二可算・可分・リンデレフ、点列による閉包の特徴づけとその限界、ネット、ウリゾーンの距離化定理（概略）。
第5章コンパクト性 — 開被覆による定義、閉部分集合・連続像・ハウスドルフ空間での閉性、コンパクトからハウスドルフへの連続全単射、ハイネ–ボレルの定理、距離空間でのコンパクト性の同値条件とルベーグ数、チコノフの定理、局所コンパクト空間と一点コンパクト化、アスコリ–アルツェラの定理。
第6章連結性 — 連結性と $\mathbb{R}$ の区間、連続像・和・閉包・積の連結性、弧状連結性と位相幾何学者の正弦曲線、連結成分と弧状連結成分、局所連結性、 $\mathbb{R}^n$ の開集合での連結と弧状連結の一致、位相不変量としての応用。
第7章完備距離空間 — コーシー列と完備性、関数空間の完備性、完備化の構成、縮小写像の原理と方程式への応用、ベールのカテゴリー定理とその応用、ストーン–ワイエルシュトラスの定理。

学習時間の目安と進め方

目安は 1 章あたり 10〜15 時間（本文の精読と演習を含む）、全体で 80〜100 時間です。大学の標準的な進度では 2 年次の 1 年間（半期ずつ 2 科目）に相当します。
第1・2章を丁寧に。 距離空間で具体的に確かめた性質が、位相空間でどのように「開集合だけの言葉」に翻訳されるかを意識してください。第1章の命題 1.22 と定理 1.27 が、第2章の定義の直接の動機です。
定理を読んだら、仮定を一つ外すと何が起こるかを必ず確かめてください。本文の反例（補有限位相で極限が一意でないこと、箱位相で対角写像が連続でないこと、ゾルゲンフライ平面が正規でないこと、位相幾何学者の正弦曲線など）は、そのための材料です。
図がないぶん、反例は自分で描いてみると理解が深まります。たとえば位相幾何学者の正弦曲線、くし形空間、原点が 2 つある直線は、紙に描いてから本文の証明を追ってください。
第4章のウリゾーンの補題・ティーツェの拡張定理と第5章のチコノフの定理は、初読では主張と証明の方針をつかむだけでも構いません。第7章は関数解析への橋渡しなので、10-functional-analysis に進む前に読んでおくと効果的です。
第4章の例 4.7（ゾルゲンフライ平面が正規でないこと）は第7章のベールの定理を使います。初読では飛ばし、第7章のあとで戻ってきてください。

参考文献

松坂和夫『集合・位相入門』（岩波書店） — 集合論から位相空間までを丁寧に解説した定番の入門書。証明が詳しく、独学に向く。
内田伏一『集合と位相』（裳華房） — 必要な内容を簡潔にまとめた標準的な教科書。演習問題で理解を確かめられる。
森田紀一『位相空間論』（岩波書店） — 一般位相空間論をより深く学ぶための本。分離公理・距離化・次元論などに詳しい。
斎藤毅『集合と位相』（東京大学出版会） — 現代的な視点から構成された教科書。普遍性や圏論的な見方を意識している。
志賀浩二『位相への30講』（朝倉書店） — 30 回の講義形式で、位相の考え方の動機や背景を読み物風に解説する。
J. R. Munkres, Topology (Prentice Hall) — 一般位相から基本群・被覆空間の入門までを扱う英語の標準教科書。反例と演習が豊富。
S. Willard, General Topology (Addison-Wesley / Dover) — 一般位相空間論の包括的な教科書。ネット・フィルター・コンパクト化などに詳しく、例が非常に多い。

次に学ぶもの

09-algebraic-topology 位相幾何学 — 基本群やホモロジー群という代数的な位相不変量で、 $\mathbb{R}^2 \not\cong \mathbb{R}^3$ のような連結性では区別できない空間を区別する。
10-functional-analysis 関数解析 — 第7章の完備距離空間・ベールの定理・アスコリ–アルツェラの定理を、無限次元のノルム空間・作用素の理論へ発展させる。
07-manifolds 多様体 — ハウスドルフ・第二可算な位相空間の上に微分構造を入れ、曲がった空間の上で微分積分を展開する。
06-measure-integration 測度と積分 — 局所コンパクト空間上の測度、 $L^p$ 空間の完備性など、位相と測度の相互作用を学ぶ。
20-problems 総合演習第2章 — 大学院入試レベルの集合と位相の問題で力試しをする。

章の一覧

概要

前提知識

到達目標

章立て

学習時間の目安と進め方

参考文献

次に学ぶもの