連結性

この章の目標

• 連結性の定義と同値な言い換えを理解し、$\mathbb{R}$ の連結集合がちょうど区間であることを証明できる
• 連続像・和集合・閉包・積による連結性の保存を証明し、中間値の定理を一般化できる
• 弧状連結性との違いを、位相幾何学者の正弦曲線で説明できる
• 連結成分・弧状連結成分・局所連結性を扱い、$\mathbb{R}^n$ の開集合では連結と弧状連結が一致することを証明できる
• 連結性を位相不変量として使い、$\mathbb{R} \not\cong \mathbb{R}^2$ や $S^1 \not\cong [0, 1]$ を示せる

前提：第2章、第3章、第5章（一部）

6.1 定義と動機

中間値の定理「$f\colon [a, b] \to \mathbb{R}$ が連続で $f(a) < c < f(b)$ なら $f(x) = c$ となる $x$ がある」は、区間 $[a, b]$ が「ひとつながり」であることの表れである。$[0, 1] \cup [2, 3]$ 上で、前半で $0$、後半で $1$ となる関数は連続だが値 $1/2$ をとらない。「ひとつながり」を開集合で表すと、「2 つの交わらない開集合に分かれない」となる。

定義 6.1（連結, connected）位相空間 $X$ が、交わらない 2 つの空でない開集合の和集合として書けないとき、連結であるという。部分集合 $A \subset X$ は、部分空間として連結なとき連結であるという。

命題 6.2 位相空間 $X$ について、次は同値である。

1. $X$ は連結。
2. $X$ の開かつ閉な部分集合は $\emptyset$ と $X$ だけである。
3. $X$ から離散空間 $\lbrace 0, 1 \rbrace$ への連続写像は定数写像だけである。

証明. 1 $\Leftrightarrow$ 2：$X = U \sqcup V$（$U, V$ は空でない開集合）と書けることと、$U$ が空でも全体でもない開かつ閉な集合であること（$V = X \setminus U$）は同値。2 $\Leftrightarrow$ 3：連続写像 $g\colon X \to \lbrace 0, 1 \rbrace$ に対し $g^{-1}(0)$ は開かつ閉であり、逆に開かつ閉な $U$ に対し $U$ 上 $0$、外で $1$ の写像は連続である。$\square$

条件 3 は証明で非常に使いやすい。以下で繰り返し用いる。

命題 6.3 $A \subset X$ が連結でない $\Leftrightarrow$ $X$ の開集合 $U, V$ で、$A \subset U \cup V$, $A \cap U \cap V = \emptyset$, $A \cap U \neq \emptyset$, $A \cap V \neq \emptyset$ となるものが存在する。

証明. 部分空間 $A$ の開集合は $U \cap A$ の形なので、定義 6.1 をそのまま書き直したものである。$\square$

$U, V$ は $X$ の中では交わっていてもよい（$A$ の中で交わらなければよい）ことに注意する。

例 6.4

1. $\mathbb{Q}$ は連結でない：$U = (-\infty, \sqrt{2})$, $V = (\sqrt{2}, \infty)$ とすればよい。
2. 2 点以上の離散空間は連結でない。密着空間は連結である。
3. 無限集合上の補有限位相は連結である：空でない開集合は必ず交わる（例 2.7）ので、交わらない空でない開集合の組はない。
4. ゾルゲンフライ直線 $\mathbb{R}_l$ は連結でない：$[0, 1)$ は開かつ閉（例 2.28）。
5. $\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace = (-\infty, 0) \sqcup (0, \infty)$ は連結でない。

6.2 $\mathbb{R}$ の区間は連結

$I \subset \mathbb{R}$ が区間であるとは、$x, y \in I$, $x < z < y$ ならば $z \in I$ となることをいう（$\emptyset$、1 点、半直線、$\mathbb{R}$ も含む）。

定理 6.5 $A \subset \mathbb{R}$ が連結 $\Leftrightarrow$ $A$ は区間。

証明. ($\Rightarrow$) $A$ が区間でなければ $x, y \in A$, $x < z < y$, $z \notin A$ となる $z$ があり、$U = (-\infty, z)$, $V = (z, \infty)$ が命題 6.3 の条件をみたす。

($\Leftarrow$) 区間 $I$ が連結でないとし、命題 6.3 の $U, V$ をとる。$a \in I \cap U$, $b \in I \cap V$ で、$a < b$ としてよい（逆なら $U, V$ を入れ替える）。$[a, b] \subset I$ である。$S = \lbrace t \in [a, b] \mid [a, t] \subset U \rbrace$, $c = \sup S$ とおく（$a \in S$）。$s < c$ なら $s < t$ となる $t \in S$ があるので、$[a, c) \subset U$ である。$c \in [a, b] \subset I \subset U \cup V$ である。

• $c \in U$ の場合：$b \in V \cap I$ で $I \cap U \cap V = \emptyset$ なので $b \notin U$、よって $c < b$。$U$ は開なので $(c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subset U$ となる $\varepsilon > 0$ があり、$t = \min(c + \varepsilon/2, b)$ とすると $[a, t] = [a, c) \cup [c, t] \subset U$。$t \in S$ かつ $t > c$ となり、$c = \sup S$ に反する。
• $c \in V$ の場合：同様に $a \notin V$ なので $c > a$。$(c - \varepsilon, c + \varepsilon) \subset V$ となる $\varepsilon$ をとり、$s \in (\max(a, c - \varepsilon), c)$ をとると、$s \in [a, c) \subset U$ かつ $s \in V$ かつ $s \in I$ となり、$I \cap U \cap V = \emptyset$ に反する。

いずれも矛盾なので $I$ は連結である。$\square$

この証明は上限の存在、すなわち実数の連続性（微分積分学 第1章）を本質的に使っている。実際 $\mathbb{Q}$ では「区間」$[0, 2] \cap \mathbb{Q}$ が連結でない。

6.3 連結性の保存

定理 6.6 連結空間の連続像は連結である。

証明. $f\colon X \to Y$ を連続、$X$ を連結とし、$g\colon f(X) \to \lbrace 0, 1 \rbrace$ を連続とする。$g \circ f\colon X \to \lbrace 0, 1 \rbrace$ は連続なので定数で、$f\colon X \to f(X)$ は全射なので $g$ も定数。命題 6.2 より $f(X)$ は連結。$\square$

系 6.7（中間値の定理の一般化）$X$ を連結空間、$f\colon X \to \mathbb{R}$ を連続関数とする。$a, b \in X$ と $f(a) < c < f(b)$ をみたす $c$ に対し、$f(x) = c$ となる $x \in X$ が存在する。

証明. $f(X)$ は $\mathbb{R}$ の連結集合なので区間であり（定理 6.5）、$f(a), f(b)$ を含むので $c$ を含む。$\square$

定理 6.8（和集合）$\lbrace A_\lambda \rbrace$ を $X$ の連結部分集合の族とする。

1. ある点がすべての $A_\lambda$ に属するならば、$\bigcup_\lambda A_\lambda$ は連結である。
2. 連結部分集合の列 $A_1, A_2, \dots$ で $A_n \cap A_{n+1} \neq \emptyset$ ならば、$\bigcup_n A_n$ は連結である。

証明. 1. $g\colon \bigcup A_\lambda \to \lbrace 0, 1 \rbrace$ を連続とすると、各 $A_\lambda$ 上で $g$ は定数で、共通の点 $p$ での値 $g(p)$ に等しい。よって $g$ は定数。2. 1 と帰納法により $B_n = A_1 \cup \dots \cup A_n$ は連結で、$B_n$ はすべて $A_1$ の点を含むので、1 より $\bigcup B_n$ は連結。$\square$

定理 6.9（閉包）$A$ が連結で $A \subset B \subset \overline{A}$ ならば、$B$ は連結である。特に連結集合の閉包は連結である。

証明. $g\colon B \to \lbrace 0, 1 \rbrace$ を連続とすると、$g\vert_A$ は定数 $c$。$g^{-1}(c)$ は $B$ の閉集合で $A$ を含むので、$A$ の $B$ での閉包 $\overline{A} \cap B = B$（命題 3.2）を含む。よって $g$ は定数。$\square$

定理 6.10（積）連結空間の任意の族の積空間は連結である。

証明. （2 つの積）$X, Y$ を空でない連結空間とし、$y_0 \in Y$ を固定する。各 $x \in X$ について $T_x = (X \times \lbrace y_0 \rbrace) \cup (\lbrace x \rbrace \times Y)$ は、$X$ と $Y$ に同相な連結集合（問題 3.2）が点 $(x, y_0)$ を共有するので連結（定理 6.8）。すべての $T_x$ は $X \times \lbrace y_0 \rbrace$ を含み共通の点をもつので、$\bigcup_x T_x = X \times Y$ は連結。帰納法で有限積も連結。

（一般の積）$X = \prod_\lambda X_\lambda$ とし、点 $a \in X$ を固定する。有限集合 $F \subset \Lambda$ に対し $E_F = \lbrace x \mid \lambda \notin F \text{ なら } x_\lambda = a_\lambda \rbrace$ とおくと、$E_F$ は有限積 $\prod_{\lambda \in F} X_\lambda$ と同相なので連結で、すべての $E_F$ は $a$ を含む。定理 6.8 より $E = \bigcup_F E_F$ は連結。$E$ は稠密である：空でない基本開集合 $\prod U_\lambda$（$\lambda \notin F$ で $U_\lambda = X_\lambda$）は、$\lambda \in F$ で $x_\lambda \in U_\lambda$、$\lambda \notin F$ で $x_\lambda = a_\lambda$ となる点 $x \in E_F$ を含む。定理 6.9 より $X = \overline{E}$ は連結。$\square$

箱位相では成り立たない：箱位相の $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ では有界数列全体が開かつ閉である（問題 3.7）。

例 6.11 $\mathbb{R}^n$ は連結である（定理 6.5 と 6.10）。$\mathbb{R}^n$ の開かつ閉な部分集合は $\emptyset$ と $\mathbb{R}^n$ だけである。$S^1$ は $[0, 1]$ の連続像 $e([0, 1])$（$e(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$）なので連結であり（定理 6.6）、トーラス $S^1 \times S^1$ も連結である。

6.4 弧状連結性

直観的な「ひとつながり」は「道でつながっている」ことである。

定義 6.12（道, 弧状連結）連続写像 $\gamma\colon [0, 1] \to X$ を $\gamma(0)$ から $\gamma(1)$ への道 (path) という。任意の 2 点が道で結べるとき、$X$ は弧状連結 (path-connected) であるという。

道 $\gamma$ の逆 $\bar{\gamma}(t) = \gamma(1 - t)$ と、$\gamma(1) = \sigma(0)$ のときの道の連結

も道である（後者は貼り合わせの補題、命題 3.4 による）。弧状連結空間の連続像は弧状連結である（道を合成すればよい）。

命題 6.13 弧状連結空間は連結である。

証明. $X \neq \emptyset$ とし $x_0 \in X$ を固定する。各 $x$ について、$x_0$ から $x$ への道 $\gamma_x$ の像 $\gamma_x([0, 1])$ は連結（定理 6.5, 6.6）で $x_0$ を含む。定理 6.8 より $X = \bigcup_x \gamma_x([0, 1])$ は連結。$\square$

例 6.14

1. $\mathbb{R}^n$ の凸集合（開球・閉球など）は、線分 $\gamma(t) = (1 - t)x + ty$ で弧状連結である。
2. $n \geq 2$ なら $\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace$ は弧状連結：$x, y$ を結ぶ線分が原点を通らなければそれを使い、通るなら $x, y$ を通る直線上にない点 $z$ を経由して $x \to z \to y$ と折れ線で結ぶ。
3. $n \geq 1$ なら $S^n$ は弧状連結：$\mathbb{R}^{n+1} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ の連続像 $x \mapsto x/\lVert x \rVert$ だからである。
4. $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ は連結でない：$\det\colon \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ は連続な全射で、像が連結でないから（定理 6.6）。一方 $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ は弧状連結であることが知られている。

位相幾何学者の正弦曲線

連結だが弧状連結でない空間の代表例を詳しく見よう。

例 6.15（位相幾何学者の正弦曲線, topologist's sine curve）

とおく。図の代わりに言葉で描くと、$S$ は $x = 1$ から左に進むにつれて $-1$ と $1$ の間の振動が激しくなる曲線で、$x \to +0$ では無限回上下しながら $y$ 軸に押し付けられる。その結果、$y$ 軸上の線分 $\lbrace 0 \rbrace \times [-1, 1]$ のどの点にも $S$ の点がいくらでも近づく。実際 $\lvert y \rvert \leq 1$ なら、各 $n$ について $\sin(1/x) = y$ となる $x \in (1/(2\pi(n+1)), 1/(2\pi n)]$ があるので $(0, y) \in \overline{S}$。逆に $\overline{S}$ はこれ以外の点を含まない（$S$ は $(0, 1] \times \mathbb{R}$ の中では連続関数のグラフとして閉で、$\overline{S} \subset [0, 1] \times [-1, 1]$ である）。

$T$ は連結である. $S$ は連結集合 $(0, 1]$ の連続像 $x \mapsto (x, \sin(1/x))$ なので連結（定理 6.6）で、$T = \overline{S}$ は定理 6.9 より連結。

$T$ は弧状連結でない. $(0, 0)$ から $(1, \sin 1)$ への道 $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)\colon [0, 1] \to T$ があったとする。$L = \lbrace 0 \rbrace \times [-1, 1]$ は閉集合なので $\gamma^{-1}(L)$ は $[0, 1]$ の閉集合で、$0$ を含み $1$ を含まない。$t_0 = \max \gamma^{-1}(L) < 1$ とおく（閉集合なので最大値が存在する）。$t > t_0$ では $\gamma(t) \in S$、すなわち $\gamma_1(t) > 0$ かつ $\gamma_2(t) = \sin(1/\gamma_1(t))$ である。任意の $\delta \in (0, 1 - t_0]$ をとり、$u = \gamma_1(t_0 + \delta) > 0$ とおく。$\gamma_1$ は連続で $\gamma_1(t_0) = 0$ なので、中間値の定理により $\gamma_1$ は $[t_0, t_0 + \delta]$ で $(0, u)$ のすべての値をとる。$n$ を十分大きくとって $1/(\pi/2 + 2n\pi) < u$ とすれば、$\gamma_1(s) = 1/(\pi/2 + 2n\pi)$、$\gamma_1(s') = 1/(3\pi/2 + 2n\pi)$ となる $s, s' \in (t_0, t_0 + \delta)$ があり、$\gamma_2(s) = 1$, $\gamma_2(s') = -1$。つまり $t_0$ のどんなに近くにも $\gamma_2$ が $1$ と $-1$ をとる点がある。これは $\gamma_2$ の $t_0$ での連続性（$\lvert \gamma_2(t) - \gamma_2(t_0) \rvert < 1$ が $t_0$ の近くで成り立つはず）に反する。$\square$

要するに、$S$ の上を $y$ 軸に向かって進む道は、無限回の振動を有限の時間で通り抜けなければならず、連続ではありえない。

6.5 連結成分と弧状連結成分

定義 6.16（連結成分, connected component）$x \in X$ を含む連結部分集合すべての和集合を $C(x)$ と書き、$x$ を含む連結成分という。

命題 6.17

1. $C(x)$ は $x$ を含む最大の連結集合である。
2. 連結成分全体は $X$ の分割を与える（$C(x) \cap C(y) \neq \emptyset$ なら $C(x) = C(y)$）。
3. 連結成分は閉集合である。
4. 同相写像は連結成分を連結成分に写す。特に連結成分の個数は位相不変量である。

証明. 1. 定理 6.8 の 1 より $C(x)$ は連結で、定義から最大。2. $C(x) \cup C(y)$ は共通の点をもつ連結集合の和なので連結で $x$ を含むから $C(x)$ に含まれ、同様に $C(y)$ に含まれる。3. $\overline{C(x)}$ は連結（定理 6.9）で $x$ を含むので $C(x)$ に含まれる。4. 同相写像は連結集合を連結集合に写し（定理 6.6）、最大性を保つ。$\square$

定義 6.18（弧状連結成分）「$x$ から $y$ への道がある」は同値関係である（反射律は定値道、対称律は逆の道、推移律は道の連結による）。その同値類を弧状連結成分という。

弧状連結成分 $P(x)$ は弧状連結であり、したがって連結なので $P(x) \subset C(x)$ である。

例 6.19

1. 位相幾何学者の正弦曲線 $T$ の連結成分は $T$ 自身 1 つだが、弧状連結成分は $S$ と $L = \lbrace 0 \rbrace \times [-1, 1]$ の 2 つである（$S$ も $L$ も弧状連結で、例 6.15 より両者は道で結べない）。$S$ は閉集合でないので、弧状連結成分は閉とは限らない。
2. $\mathbb{Q}$ の連結成分は 1 点集合である（2 点 $p < q$ を含む部分集合は、間の無理数で分けられる）。このような空間を完全不連結 (totally disconnected) という。$\mathbb{Q}$ の 1 点集合は開でないので、連結成分は開とは限らない。カントール集合や $\mathbb{R}_l$ も完全不連結である。

6.6 局所連結性

定義 6.20 各点が連結な開近傍からなる基本近傍系をもつとき、$X$ は局所連結 (locally connected) であるという。弧状連結な開近傍からなる基本近傍系をもつとき、局所弧状連結 (locally path-connected) であるという。

例 6.21

1. $\mathbb{R}^n$ とその開集合は局所弧状連結である（開球は凸）。
2. $(0, 1) \cup (2, 3)$ は局所連結だが連結でない。連結性と局所連結性は独立な性質である。
3. 位相幾何学者の正弦曲線 $T$ は連結だが局所連結でない（問題 6.8）。
4. くし形空間 $([0, 1] \times \lbrace 0 \rbrace) \cup (\lbrace 0 \rbrace \times [0, 1]) \cup \bigcup_{n} (\lbrace 1/n \rbrace \times [0, 1])$ は弧状連結だが局所連結でない（問題 6.6）。

定理 6.22 $X$ が局所連結 $\Leftrightarrow$ $X$ の任意の開集合の連結成分（部分空間としての連結成分）は $X$ の開集合である。

証明. ($\Rightarrow$) $U$ を開集合、$C$ をその連結成分、$x \in C$ とする。局所連結性から $x \in V \subset U$ となる連結な開集合 $V$ があり、$V$ は $x$ を含む $U$ の連結部分集合なので $V \subset C$。よって $C$ は開。($\Leftarrow$) $x$ の開近傍 $U$ に対し、$x$ を含む $U$ の連結成分は仮定より開で、連結で $U$ に含まれる。これらが基本近傍系をなす。$\square$

定理 6.23 $X$ が局所弧状連結ならば、弧状連結成分は開かつ閉であり、連結成分と一致する。

証明. $y \in P(x)$ に対し、$y$ の弧状連結な開近傍 $V$ をとると、$V$ の点は $y$ と、したがって $x$ と道で結べるので $V \subset P(x)$。よって $P(x)$ は開。その補集合は他の弧状連結成分（開集合）の和なので開であり、$P(x)$ は閉でもある。$P(x) \subset C(x)$ で、$P(x)$ は連結集合 $C(x)$ の空でない開かつ閉な部分集合（相対位相で）なので $P(x) = C(x)$。$\square$

系 6.24 $\mathbb{R}^n$ の開集合 $U$ について、$U$ が連結 $\Leftrightarrow$ $U$ が弧状連結。

証明. $U$ は局所弧状連結（例 6.21）なので、定理 6.23 より連結なら（連結成分が 1 つなので）弧状連結成分も 1 つ。逆は命題 6.13。$\square$

複素関数論で「領域」（連結開集合）を扱うとき、2 点を結ぶ道に沿った積分や一致の定理を使えるのはこの系による（複素関数論 第2章）。

6.7 応用と位相不変量

例 6.25（中間値の定理の応用）

1. 不動点：連続写像 $f\colon [0, 1] \to [0, 1]$ は不動点をもつ。$g(x) = f(x) - x$ は $g(0) \geq 0 \geq g(1)$ をみたすので系 6.7 より零点をもつ。高次元版（ブラウワーの不動点定理）には代数的位相幾何学が必要である。
2. 対蹠点：連続関数 $f\colon S^1 \to \mathbb{R}$ に対し、$f(u) = f(-u)$ となる $u \in S^1$ がある。$g(u) = f(u) - f(-u)$ は $g(-u) = -g(u)$ をみたすので、$g$ が $0$ をとらなければ正の値と負の値の両方をとり、連結な $S^1$ 上で系 6.7 に反する。「赤道上には、気温が真裏の地点と等しい地点が必ずある」という主張である。

定理 6.26 $n \geq 2$ のとき、$\mathbb{R}$ と $\mathbb{R}^n$ は同相でない。

証明. 同相写像 $h\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ があったとし、$p = h^{-1}(0)$ とおく。$h$ の制限は $\mathbb{R}^n \setminus \lbrace p \rbrace$ から $\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ への同相写像である。前者は $\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace$ と同相（平行移動）で連結（例 6.14）、後者は連結でない（例 6.4）。定理 6.6 に反する。$\square$

定理 6.27 $[0, 1]$, $[0, 1)$, $(0, 1)$, $S^1$ はどの 2 つも同相でない。

証明. 連結空間 $X$ の点 $x$ で $X \setminus \lbrace x \rbrace$ が連結でないものを切断点 (cut point) という。同相写像 $h$ は $X \setminus \lbrace x \rbrace$ を $Y \setminus \lbrace h(x) \rbrace$ に同相に写すので、切断点を切断点に写し、切断点でない点の個数は位相不変量である。定理 6.5 より、区間から内部の点を除くと連結でなく、端点を除くと区間のままで連結である。よって切断点でない点の個数は $[0, 1]$ で 2、$[0, 1)$ で 1、$(0, 1)$ で 0。$S^1$ ではどの点 $u = e(\theta)$ を除いても、$S^1 \setminus \lbrace u \rbrace = e((\theta, \theta + 1))$（$e(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$）は区間の連続像なので連結であり、切断点でない点は無限個。よって 4 つとも異なる。$\square$

例 6.28（文字の形）$\mathbb{R}^2$ の部分集合として、線分「—」、2 本の線分が中央で交わった十字「＋」、線分の中点に別の線分の端点をつけた「T」、円周「O」を考える。「＋」から交点を除くと連結成分が 4 つ、「T」から分岐点を除くと 3 つになるが、線分から 1 点を除いても成分は高々 2 つ、円周からは 1 つである。1 点を除いたときの連結成分の最大個数は位相不変量なので、4 つとも互いに同相でない。

位相不変量という考え方

同相写像で保たれる性質や量を位相不変量 (topological invariant) という。本科目で扱ったものに、連結性・連結成分の個数・弧状連結性・コンパクト性・ハウスドルフ性・第二可算性・切断点の個数などがある。2 つの空間が同相でないことを示すには、異なる値をとる位相不変量を見つければよい。

しかしこれらの素朴な不変量には限界がある。$\mathbb{R}^2$ と $\mathbb{R}^3$ はどちらも連結・局所コンパクト・第二可算で、1 点を除いても連結のままである。両者を区別するには、「$\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ には縮められないループがあるが $\mathbb{R}^3 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ にはない」という情報を捉える基本群（位相幾何学 第1章）や、さらにホモロジー群（位相幾何学 第5章）といった代数的な不変量が必要になる。これが代数的位相幾何学の出発点である。

まとめ

• 連結とは開かつ閉な集合が $\emptyset$ と全体だけであること、同値に $\lbrace 0, 1 \rbrace$ への連続写像が定数だけであることである。
• $\mathbb{R}$ の連結集合はちょうど区間であり、その証明は実数の連続性に基づく。
• 連結性は連続像・共通点をもつ和集合・閉包・任意個の積で保たれる。連続像の連結性が中間値の定理の一般化である。
• 弧状連結なら連結だが、逆は成り立たない（位相幾何学者の正弦曲線）。
• 連結成分は閉集合で空間を分割するが、開とは限らない。弧状連結成分は閉とも限らない。局所弧状連結空間では両者は一致し、特に $\mathbb{R}^n$ の開集合では連結と弧状連結は同値である。
• 連結性・切断点の個数などの位相不変量で $\mathbb{R} \not\cong \mathbb{R}^2$、$S^1 \not\cong [0, 1]$ などが示せる。$\mathbb{R}^2 \not\cong \mathbb{R}^3$ にはより精密な代数的不変量が要る。

演習問題