コーシーの積分定理

この章の目標

• 複素線積分を定義し、ML 不等式や原始関数との関係を使える
• グルサの定理と、星型領域におけるコーシーの積分定理を証明できる
• 回転数が整数であることを証明し、「偏角の増分」として理解する
• ホモトピー形のコーシーの積分定理を証明し、一般形（ホモロジー形）の主張と意味を説明できる

前提：第1章、微分積分学 第10章（グリーンの定理）、集合と位相 第5章・第6章

2.1 曲線と複素線積分

実 1 変数の微分積分学の要は、微分と積分が互いに逆の操作であるという基本定理 $\int_a^b F'(x) dx = F(b) - F(a)$ であった。複素関数では、積分は平面内の曲線に沿って行う。すると「積分の値は曲線の両端だけで決まるか、途中の道筋にもよるか」という、実数直線では起こらない問題が現れる。この問いに対する答えがコーシーの積分定理であり、複素関数論のすべての結果の出発点となる。

定義 2.1（曲線, curve）連続写像 $\gamma\colon [a, b] \to \mathbb{C}$ を曲線という。分割 $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_m = b$ があって各 $[t_{k-1}, t_k]$ 上で $\gamma$ が $C^1$ 級（端点では片側微分）であるとき区分的に $C^1$ 級であるという。$\gamma(a) = \gamma(b)$ のとき閉曲線 (closed curve) という。像 $\gamma([a, b])$ を $\gamma^{\ast}$ と書く。

以下、特に断らない限り「曲線」は区分的に $C^1$ 級の曲線を意味する。基本的な例は次のものである。

• 線分 $[z, w]$：$\gamma(t) = z + t(w - z)$（$0 \leq t \leq 1$）。
• 円 $C(a, r)$：$\gamma(t) = a + re^{it}$（$0 \leq t \leq 2\pi$）。反時計回りに 1 周する。
• 三角形 $T$ の周 $\partial T$：頂点 $a, b, c$ の三角形について $[a, b], [b, c], [c, a]$ をつないだ閉曲線。

$\gamma$ の逆向きの曲線 $\gamma^-$ を $\gamma^-(t) = \gamma(a + b - t)$ で定め、$\gamma_1$ の終点と $\gamma_2$ の始点が一致するとき、つないだ曲線を $\gamma_1 + \gamma_2$ と書く。

定義 2.2（複素線積分, contour integral）曲線 $\gamma\colon [a, b] \to \mathbb{C}$ と $\gamma^{\ast}$ 上の連続関数 $f$ に対し

$$\int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt$$

と定める（右辺は $C^1$ 級の部分ごとの積分の和。複素数値関数の積分は実部と虚部を別々に積分する）。$L(\gamma) = \int_a^b \lvert \gamma'(t) \rvert dt$ を $\gamma$ の長さという。

例 2.3（最も重要な計算）$n \in \mathbb{Z}$ とする。$\gamma(t) = a + re^{it}$ について $\gamma'(t) = ire^{it}$ だから

である。この単純な計算が、第3章以降の積分公式・ローラン展開・留数定理のすべての核になる。

例 2.4（積分は道筋によりうる）$f(z) = \bar{z}$ を $0$ から $1 + i$ まで積分する。線分 $\gamma_1(t) = (1 + i)t$ に沿えば $\bar{\gamma_1}\gamma_1' = (1 - i)t(1 + i) = 2t$ だから積分は $1$ である。一方、$0 \to 1 \to 1 + i$ と折れ線で進むと、前半は $\int_0^1 t\ dt = 1/2$、後半は $\gamma(t) = 1 + it$ で $\int_0^1 (1 - it) i\ dt = i + 1/2$ となり、合計 $1 + i$ である。値が道筋によって異なる。また $\int_{C(a, r)} \bar{z}\ dz = \int_0^{2\pi} (\bar{a} + re^{-it}) ire^{it}\ dt = 2\pi i r^2 \neq 0$ である。

命題 2.5（線積分の基本性質）$\gamma$ を曲線、$f, g$ を $\gamma^{\ast}$ 上の連続関数、$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ とする。

1. $\int_\gamma (\alpha f + \beta g)\ dz = \alpha \int_\gamma f\ dz + \beta \int_\gamma g\ dz$
2. （パラメータの取り替え）$\varphi\colon [c, d] \to [a, b]$ が区分的に $C^1$ 級の増加する全単射ならば $\int_{\gamma \circ \varphi} f\ dz = \int_\gamma f\ dz$
3. $\int_{\gamma^-} f\ dz = -\int_\gamma f\ dz$、$\int_{\gamma_1 + \gamma_2} f\ dz = \int_{\gamma_1} f\ dz + \int_{\gamma_2} f\ dz$
4. （ML 不等式）$\displaystyle \left\lvert \int_\gamma f\ dz \right\rvert \leq \int_a^b \lvert f(\gamma(t)) \rvert \lvert \gamma'(t) \rvert\ dt \leq \max_{z \in \gamma^{\ast}} \lvert f(z) \rvert \cdot L(\gamma)$

証明. 1 は定義から明らか。2 は実部と虚部それぞれに置換積分 $\int_c^d f(\gamma(\varphi(s))) \gamma'(\varphi(s)) \varphi'(s)\ ds = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\ dt$ を適用すればよい。3 の前半は $t \mapsto a + b - t$ という置換（向きが逆転するので符号が変わる）、後半は定義から。

4 の最初の不等式は、連続関数 $g\colon [a, b] \to \mathbb{C}$ について $\lvert \int_a^b g\ dt \rvert \leq \int_a^b \lvert g \rvert\ dt$ が成り立つことに帰着する。$I = \int_a^b g\ dt \neq 0$ として $I = \lvert I \rvert e^{i\theta}$ と書くと

である（$e^{-i\theta} I$ は実数なので、その虚部の積分は 0 である）。2 番目の不等式は明らかである。$\square$

ML 不等式は、本科目を通じて積分を評価する最も基本的な道具である（$M$ は被積分関数の最大値、$L$ は曲線の長さ）。

命題 2.6 連続関数列 $f_n$ が $\gamma^{\ast}$ 上で $f$ に一様収束すれば $\int_\gamma f_n\ dz \to \int_\gamma f\ dz$ である。関数項級数についても同様に、一様収束すれば項別積分できる。

証明. ML 不等式より $\lvert \int_\gamma (f_n - f)\ dz \rvert \leq \max_{\gamma^{\ast}} \lvert f_n - f \rvert \cdot L(\gamma) \to 0$。$\square$

2.2 原始関数と線積分

定義 2.7（原始関数, primitive）開集合 $U$ 上の連続関数 $f$ に対し、$U$ で正則で $F' = f$ となる $F$ を $f$ の原始関数という。

定理 2.8 開集合 $U$ 上の連続関数 $f$ が原始関数 $F$ をもてば、$U$ 内の任意の曲線 $\gamma\colon [a, b] \to U$ について

$$\int_\gamma f(z)\,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$$

が成り立つ。特に $U$ 内の任意の閉曲線 $\gamma$ について $\int_\gamma f\ dz = 0$ である。

証明. $\gamma$ が $C^1$ 級である各区間 $[t_{k-1}, t_k]$ 上で、命題 1.20 より $(F \circ \gamma)'(t) = f(\gamma(t)) \gamma'(t)$ であり、これは連続である。実部と虚部に微分積分学の基本定理を適用して $\int_{t_{k-1}}^{t_k} f(\gamma(t))\gamma'(t)\ dt = F(\gamma(t_k)) - F(\gamma(t_{k-1}))$。$k$ について和をとれば中間項が打ち消し合う。$\square$

例 2.9

1. $n \neq -1$ のとき $(z - a)^n$ は原始関数 $(z - a)^{n+1}/(n + 1)$ をもつ（$n \leq -2$ なら $\mathbb{C} \setminus \lbrace a \rbrace$ 上で）。よって閉曲線に沿った積分は 0 で、例 2.3 と合っている。多項式も原始関数をもつ。
2. $1/(z - a)$ は $\mathbb{C} \setminus \lbrace a \rbrace$ 上で原始関数をもたない。もてば $\int_{C(a, r)} dz/(z - a) = 0$ となるはずだが、実際は $2\pi i$ である。ただし $a$ から出る半直線を除いた領域では、対数の分枝（たとえば $\operatorname{Log}(z - a)$）が原始関数になる（定理 1.32）。「局所的には原始関数があるが大域的にはない」という現象が、以下の理論の中心的な話題である。
3. $\bar{z}$ はどんな開集合上でも原始関数をもたない。開集合内の任意の小円 $C(a, r)$ について $\int_{C(a, r)} \bar{z}\ dz = 2\pi i r^2 \neq 0$ だからである（例 2.4）。

定理 2.10 領域 $D$ 上の連続関数 $f$ について次は同値である。

1. $f$ は $D$ 上で原始関数をもつ。
2. $D$ 内の任意の閉曲線 $\gamma$ について $\int_\gamma f\ dz = 0$。
3. $\int_\gamma f\ dz$ は $D$ 内の曲線 $\gamma$ の始点と終点だけで決まる。

証明. (1 ⇒ 2) 定理 2.8。(2 ⇔ 3) 同じ始点・終点をもつ曲線 $\gamma_1, \gamma_2$ に対し、$\gamma_1 + \gamma_2^-$ は閉曲線で、その積分は $\int_{\gamma_1} f - \int_{\gamma_2} f$ である。逆に閉曲線は始点と終点が一致する曲線であり、定数曲線と比べればよい。

(3 ⇒ 1) $z_0 \in D$ を固定し、$z \in D$ に対して $z_0$ から $z$ への曲線 $\gamma_z$（命題 1.6 の折れ線でとれる）をとり、$F(z) = \int_{\gamma_z} f\ dw$ とおく。3 により $F$ は $\gamma_z$ の選び方によらない。$D(z, r) \subset D$ とし $0 < \lvert h \rvert < r$ とすると、$\gamma_z + [z, z + h]$ は $z + h$ への曲線だから $F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]} f(w)\ dw$ である。$\int_{[z, z+h]} dw = h$ に注意すると

であり、$f$ の連続性より右辺は $h \to 0$ で 0 に収束する。よって $F' = f$ である。$\square$

2.3 グルサの定理

正則関数 $f$ について、閉曲線に沿った積分はいつ 0 になるだろうか。$f$ の導関数が連続であると仮定してよければ、答えはグリーンの定理からすぐに得られる。

注意 2.11（グリーンの定理による見通し）$f = u + iv$ が $C^1$ 級で、$D$ が区分的に滑らかな境界をもつ有界領域なら、$f\ dz = f\ dx + if\ dy$ にグリーンの定理（微分積分学 第10章）を適用して

となる。正則なら $\partial f/\partial \bar{z} = 0$（注意 1.18）なので積分は 0 である。しかし正則性の定義には $f'$ の連続性は含まれていない。グルサの定理は $f'$ の連続性を仮定せずに同じ結論を導く。そして第3章で、その帰結として $f'$ が自動的に連続（さらに正則）であることがわかる。

定理 2.12（グルサの定理, Goursat's theorem）$U$ を開集合、$f$ を $U$ で正則な関数とし、$T \subset U$ を閉三角形（3 点の凸包。内部を含む）とする。このとき

$$\int_{\partial T} f(z)\,dz = 0$$

である。

証明. $I = \int_{\partial T} f\ dz$ とおき、$d$ を $T$ の直径、$L$ を $\partial T$ の長さとする。

細分. $T$ の 3 辺の中点を結ぶと、$T$ は相似比 $1/2$ の 4 つの閉三角形 $T_1, \dots, T_4$ に分かれる。各 $\partial T_j$ に $\partial T$ と同じ向きを与えると、内部にできた 3 本の辺はそれぞれ逆向きに 2 回ずつ現れて打ち消し合うので

である。したがってある $j$ について $\lvert \int_{\partial T_j} f\ dz \rvert \geq \lvert I \rvert/4$ となる。この $T_j$ を $T^{(1)}$ とする。同じ操作を繰り返して閉三角形の減少列 $T = T^{(0)} \supset T^{(1)} \supset T^{(2)} \supset \cdots$ を作ると

である。

極限点での評価. $T^{(n)}$ は空でないコンパクト集合の減少列で直径が 0 に収束するから、$\bigcap_n T^{(n)}$ はただ 1 点 $z_0 \in T \subset U$ からなる。$f$ は $z_0$ で複素微分可能なので

と書ける（$\varepsilon(z_0) = 0$ とおく）。1 次式 $f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0)$ は原始関数をもつから、定理 2.8 よりその $\partial T^{(n)}$ 上の積分は 0 である。$z \in \partial T^{(n)}$ なら $\lvert z - z_0 \rvert \leq \operatorname{diam} T^{(n)}$ だから、ML 不等式により

を得る。以上より $\lvert I \rvert \leq dL \sup_{z \in T^{(n)}} \lvert \varepsilon(z) \rvert$ であり、$T^{(n)} \subset \overline{D(z_0, 2^{-n} d)}$ だから右辺は $n \to \infty$ で 0 に収束する。よって $I = 0$ である。$\square$

証明の要点は、「細分するたびに積分の下限は $1/4$ 倍にしか減らないが、微分可能性による誤差は（直径）×（長さ）で $1/4$ 倍より速く減る」という比較である。第3章のコーシーの積分公式では、1 点で正則性が未知の関数にもこの定理を使いたいので、次の形に拡張しておく。

定理 2.13 $U$ を開集合、$p \in U$ とし、$f$ は $U$ で連続かつ $U \setminus \lbrace p \rbrace$ で正則とする。このとき $U$ に含まれる任意の閉三角形 $T$ について $\int_{\partial T} f\ dz = 0$ である。

証明. 3 点が一直線上にある退化した三角形では、$\partial T$ が同じ線分を往復するだけなので積分は 0 である。以下 $T$ は退化していないとする。

(i) $p \notin T$ のとき：$T$ は開集合 $U \setminus \lbrace p \rbrace$ に含まれるので定理 2.12 から。

(ii) $p$ が $T$ の頂点のとき：$T$ の頂点を $p, b, c$ とし、辺 $[p, b]$ 上に点 $b'$、辺 $[p, c]$ 上に点 $c'$ をとる（どちらも $p$ と異なる）。$T$ は三角形 $\Delta(p, b', c')$、$\Delta(b', b, c)$、$\Delta(b', c, c')$ に分割され、向きをそろえると共通の辺が打ち消し合って

となる。後ろの 2 つの三角形は $p$ を含まない（$p$ は $T$ の頂点であり、これらの三角形の頂点ではない）から、(i) によりその積分は 0 である。よって ML 不等式から $\lvert \int_{\partial T} f\ dz \rvert \leq \max_T \lvert f \rvert \cdot L(\partial \Delta(p, b', c'))$ であり、$b', c' \to p$ とすれば右辺は 0 に近づく。

(iii) $p$ が $T$ の頂点以外の点のとき：$T$ の頂点を $a, b, c$ として $T$ を $\Delta(a, b, p)$, $\Delta(b, c, p)$, $\Delta(c, a, p)$ に分けると、$p$ に向かう辺は打ち消し合い、各三角形は $p$ を頂点とする（退化するものがあってもよい）。(ii) と退化の場合から、それぞれの積分は 0 である。$\square$

2.4 星型領域におけるコーシーの積分定理

定義 2.14（星型, star-shaped）開集合 $U$ と $z_0 \in U$ について、任意の $z \in U$ に対し線分 $[z_0, z] \subset U$ となるとき、$U$ は $z_0$ に関して星型であるという。

例 2.15

1. 凸集合（円板、半平面、長方形の内部など）は任意の点に関して星型である。
2. $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ は $1$ に関して星型である。実際 $z$ がこの集合の点なら、線分上の点 $(1 - t) + tz$ の虚部は $t \operatorname{Im} z$ で、$\operatorname{Im} z \neq 0$ なら $t = 0$（点 $1$）でしか実軸に触れず、$\operatorname{Im} z = 0$ なら $z > 0$ で線分は正の実軸上にある。同様に、$\mathbb{C}$ から原点を端点とする半直線を除いた集合は星型である。
3. 円環 $\lbrace r < \lvert z \rvert < R \rbrace$ や $\mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ は星型でない。どの点 $z_0$ についても、$-z_0$ 方向の点との線分が原点付近を通るからである。

定理 2.16（星型領域におけるコーシーの積分定理）$U$ を $z_0$ に関して星型な開集合とし、$f$ は $U$ で正則、あるいはより一般に、ある $p \in U$ について $U$ で連続かつ $U \setminus \lbrace p \rbrace$ で正則とする。このとき

$$F(z) = \int_{[z_0, z]} f(w)\,dw$$

は $U$ 上の $f$ の原始関数である。したがって $U$ 内の任意の閉曲線 $\gamma$ について $\int_\gamma f(z)\ dz = 0$ である。

証明. $z \in U$ とし、$D(z, r) \subset U$ となる $r > 0$ をとる。$\lvert h \rvert < r$ のとき、三角形 $\Delta = \Delta(z_0, z, z + h)$ は $U$ に含まれる。実際、$\Delta$ の任意の点はある $w \in [z, z + h] \subset D(z, r) \subset U$ に対する線分 $[z_0, w]$ 上にあり、星型の仮定より $[z_0, w] \subset U$ である。定理 2.13 より $\int_{\partial \Delta} f = 0$、すなわち

である。あとは定理 2.10 の証明の後半と全く同じ評価により $F'(z) = f(z)$ がわかる。最後の主張は定理 2.8 による。$\square$

例 2.17 $\int_{C(0, 2)} \frac{dz}{z - 3} = 0$ である。$1/(z - 3)$ は凸集合 $D(0, 3)$ で正則で、円 $C(0, 2)$ はその中にあるからである。一方、$\int_{C(0, 2)} \frac{dz}{z - 1} = 2\pi i$ であることは次節の回転数の性質からわかる。定理 2.16 が適用できないのは、$1/(z - 1)$ が正則な星型領域で $C(0, 2)$ を含むものが存在しないからである。

2.5 回転数（巻き数）

例 2.3 の積分 $\frac{1}{2\pi i}\int \frac{dz}{z - a}$ は、一般の閉曲線に対しても整数になり、曲線が点 $a$ のまわりを何回まわるかを数える。

定義 2.18（回転数, winding number）閉曲線 $\gamma$ と $a \notin \gamma^{\ast}$ に対し

$$n(\gamma, a) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{dz}{z - a}$$

を $\gamma$ の $a$ のまわりの回転数（巻き数、指数）という。

定理 2.19 $\gamma$ を閉曲線とする。

1. $a \notin \gamma^{\ast}$ ならば $n(\gamma, a) \in \mathbb{Z}$ である。
2. $a \mapsto n(\gamma, a)$ は $\mathbb{C} \setminus \gamma^{\ast}$ の各連結成分の上で定数である。
3. $\mathbb{C} \setminus \gamma^{\ast}$ の非有界な連結成分はただ 1 つで、その上で $n(\gamma, a) = 0$ である。

証明. 1. $\gamma\colon [t_0, t_1] \to \mathbb{C}$ とし

とおく。$h$ は連続で、有限個の点を除いて $h'(t) = \gamma'(t)/(\gamma(t) - a)$ である。したがって

が有限個の点を除いて成り立ち、$(\gamma(t) - a)e^{-h(t)}$ は連続だから定数である。$t = t_0$ での値と比べて

を得る。$t = t_1$ とすると $\gamma(t_1) = \gamma(t_0) \neq a$ より $e^{h(t_1)} = 1$、よって $h(t_1) = 2\pi i\ n(\gamma, a) \in 2\pi i \mathbb{Z}$ である（定理 1.26）。

2. $a \notin \gamma^{\ast}$ とし $\delta = \operatorname{dist}(a, \gamma^{\ast}) > 0$ とする（$\gamma^{\ast}$ はコンパクト）。$\lvert b - a \rvert < \delta/2$ なら $z \in \gamma^{\ast}$ について $\lvert z - b \rvert \geq \delta/2$ だから

となり、$n(\gamma, \cdot)$ は連続である。整数値の連続関数は連結集合の上で定数である。

3. $\gamma^{\ast} \subset D(0, M)$ となる $M$ をとる。$\lbrace \lvert a \rvert > M \rbrace$ は連結で $\gamma^{\ast}$ と交わらないから、ある 1 つの連結成分に含まれる。非有界な成分は必ずこの集合と交わるので、非有界な成分はこの 1 つだけである。$\lvert a \rvert > M$ なら ML 不等式から $\lvert n(\gamma, a) \rvert \leq L(\gamma)/(2\pi(\lvert a \rvert - M))$ で、$\lvert a \rvert$ が十分大きければ 1 未満、よって 0 である。2 によりこの成分全体で 0 である。$\square$

回転数の幾何学的な意味は次の命題で明らかになる。

命題 2.20（偏角の増分としての回転数）$\gamma\colon [t_0, t_1] \to \mathbb{C}$ を閉曲線、$a \notin \gamma^{\ast}$ とする。$\gamma(t) - a = \lvert \gamma(t) - a \rvert e^{i\theta(t)}$ を満たす連続関数 $\theta\colon [t_0, t_1] \to \mathbb{R}$（連続な偏角）が存在し、どのように選んでも

$$n(\gamma, a) = \frac{\theta(t_1) - \theta(t_0)}{2\pi}$$

が成り立つ。

証明. $\gamma(t_0) - a = r_0 e^{i\theta_0}$ と書く。(1) より $\gamma(t) - a = r_0 e^{\operatorname{Re} h(t)} e^{i(\theta_0 + \operatorname{Im} h(t))}$ だから、$\theta_0 + \operatorname{Im} h(t)$ は連続な偏角である。2 つの連続な偏角の差は $2\pi\mathbb{Z}$ に値をとる連続関数だから定数である。よって任意の連続な偏角 $\theta$ について $\theta(t_1) - \theta(t_0) = \operatorname{Im} h(t_1) - \operatorname{Im} h(t_0) = \operatorname{Im}(2\pi i\ n(\gamma, a)) = 2\pi n(\gamma, a)$ である。$\square$

つまり $n(\gamma, a)$ は、動点 $\gamma(t)$ を $a$ から眺めたときの方向（偏角）が、1 周する間に正味何回転したかを表す。

例 2.21

1. $\gamma(t) = a + re^{ikt}$（$0 \leq t \leq 2\pi$, $k \in \mathbb{Z}$）は円を $k$ 回まわる。$\lvert b - a \rvert < r$ なら $n(\gamma, b) = n(\gamma, a) = k$（例 2.3 と同様の計算、および定理 2.19 の 2）、$\lvert b - a \rvert > r$ なら $n(\gamma, b) = 0$ である。
2. 凸な領域の境界を反時計回りに 1 周する曲線（円、三角形、長方形、半円板の周など）では、内部の点から見た偏角は単調に増加してちょうど $2\pi$ 増えるので、内部の点の回転数は 1 である。外部の点 $a$ については、曲線が $a$ を含まない閉半平面に含まれるので（凸集合の分離）、偏角の変化は $\pi$ 未満の範囲にとどまり、回転数は 0 である。
3. 数字の 8 の字を描く曲線では、2 つの輪の内部で回転数は $1$ と $-1$ になる（輪を回る向きが逆になるため）。

注意 2.22 $n(\gamma, a)$ は、円周から円周への写像 $t \mapsto (\gamma(t) - a)/\lvert \gamma(t) - a \rvert$ の「写像度」であり、位相幾何学で円周の基本群が $\mathbb{Z}$ であること（位相幾何学 第1章）の解析的な表現である。命題 2.20 の連続な偏角の構成は、被覆空間 $\mathbb{R} \to S^1$ への道の持ち上げにあたる。

2.6 ホモトピー形のコーシーの定理

星型領域では閉曲線に沿った積分が 0 になった。一般の領域では、「閉曲線を領域の中で連続的に変形しても積分は変わらない」ことが鍵になる。

定義 2.23（ホモトピー, homotopy）$U$ を開集合とし、$\gamma_0, \gamma_1\colon [0, 1] \to U$ を閉曲線とする。連続写像 $H\colon [0, 1] \times [0, 1] \to U$ で

$$H(0, t) = \gamma_0(t), \quad H(1, t) = \gamma_1(t), \quad H(s, 0) = H(s, 1) \quad (0 \leq s, t \leq 1)$$

を満たすものが存在するとき、$\gamma_0$ と $\gamma_1$ は $U$ において閉曲線としてホモトープであるという。定数曲線とホモトープな閉曲線を 0 にホモトープ (null-homotopic) という。$U$ 内のすべての閉曲線が 0 にホモトープであるような領域 $U$ を単連結 (simply connected) という。

始点 $z_0$ と終点 $z_1$ を共有する曲線 $\gamma_0, \gamma_1$ については、条件 $H(s, 0) = H(s, 1)$ を $H(s, 0) = z_0$, $H(s, 1) = z_1$ に替えたものを端点を固定したホモトピーという。

曲線のパラメータ区間は命題 2.5 の 2 により $[0, 1]$ にそろえてよい。途中の曲線 $H(s, \cdot)$ は連続であればよく、区分的に $C^1$ 級である必要はない。

定理 2.24（コーシーの積分定理：ホモトピー形）$f$ を開集合 $U$ で正則な関数とする。閉曲線 $\gamma_0, \gamma_1$ が $U$ において閉曲線としてホモトープならば

$$\int_{\gamma_0} f(z)\,dz = \int_{\gamma_1} f(z)\,dz$$

である。端点を固定してホモトープな曲線についても同じ結論が成り立つ。

証明. $H$ をホモトピーとし、$K = H([0, 1]^2)$ とおく。$K$ はコンパクトで $U$ に含まれるから、ある $\varepsilon > 0$ があって任意の $w \in K$ について $D(w, \varepsilon) \subset U$ となる（$U = \mathbb{C}$ なら任意の $\varepsilon$、そうでなければ $\varepsilon$ を $K$ と $\mathbb{C} \setminus U$ の距離にとる）。$H$ は一様連続なので、$n \in \mathbb{N}$ を十分大きくとれば

となる。$z_{j,k} = H(j/n, k/n)$（$0 \leq j, k \leq n$）、$D_{j,k} = D(z_{j,k}, \varepsilon) \subset U$ とおく。円板は凸なので、定理 2.16 により $f$ は各 $D_{j,k}$ 上で原始関数 $F_{j,k}$ をもつ。$P_j$ を折れ線 $[z_{j,0}, z_{j,1}] + [z_{j,1}, z_{j,2}] + \cdots + [z_{j,n-1}, z_{j,n}]$ とする。$z_{j,0} = z_{j,n}$ だから $P_j$ は閉曲線である。

(a) $\int_{\gamma_0} f = \int_{P_0} f$. 各 $k$ について、$\gamma_0$ の $[k/n, (k+1)/n]$ 上の部分は $D_{0,k}$ に含まれ（その上の点 $H(0, t)$ は $z_{0,k}$ から $\varepsilon$ 未満の距離にある）、線分 $[z_{0,k}, z_{0,k+1}]$ も凸性から $D_{0,k}$ に含まれる。どちらも $z_{0,k}$ から $z_{0,k+1}$ への曲線なので、定理 2.8 により積分はともに $F_{0,k}(z_{0,k+1}) - F_{0,k}(z_{0,k})$ に等しい。$k$ について和をとればよい。同様に $\int_{\gamma_1} f = \int_{P_n} f$ である。

(b) $\int_{P_j} f = \int_{P_{j+1}} f$（$0 \leq j < n$）. 4 点 $z_{j,k}, z_{j,k+1}, z_{j+1,k+1}, z_{j+1,k}$ はすべて $D_{j,k}$ に属するので、これらを順に結ぶ閉折れ線 $Q_{j,k}$ は $D_{j,k}$ に含まれ、$\int_{Q_{j,k}} f = 0$ である。$k = 0, 1, \dots, n - 1$ について和をとると、「縦の辺」$[z_{j,k}, z_{j+1,k}]$ は $Q_{j,k-1}$ と $Q_{j,k}$ に逆向きに 1 回ずつ現れて打ち消し合う。両端 $k = 0$ と $k = n$ の縦の辺も、$z_{j,0} = z_{j,n}$, $z_{j+1,0} = z_{j+1,n}$ より互いに逆向きの同じ線分なので打ち消し合う。残るのは「横の辺」だけで

を得る。

(a), (b) より $\int_{\gamma_0} f = \int_{P_0} f = \int_{P_1} f = \cdots = \int_{P_n} f = \int_{\gamma_1} f$ である。端点を固定したホモトピーの場合は、両端の縦の辺が 1 点に退化する（$z_{j,0} = z_0$, $z_{j,n} = z_1$）ので、同じ議論がそのまま通る。$\square$

系 2.25 $f$ を開集合 $U$ で正則とする。

1. $U$ 内の閉曲線 $\gamma$ が 0 にホモトープならば $\int_\gamma f\ dz = 0$ であり、$a \notin U$ ならば $n(\gamma, a) = 0$ である。
2. $U$ が単連結な領域ならば、$f$ は $U$ 上で原始関数をもつ。
3. 星型の開集合は単連結である。

証明. 1. 定数曲線に沿った積分は 0 である。後半は $1/(z - a)$ が $U$ で正則であることから。2 は 1 と定理 2.10 による。3. $U$ が $z_0$ に関して星型なら、$H(s, t) = (1 - s)\gamma(t) + s z_0$ は $\gamma$ と定数曲線 $z_0$ を結ぶ $U$ 内のホモトピーである（$H(s, t) \in [z_0, \gamma(t)] \subset U$）。$\square$

例 2.26 $\mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ は単連結でない。単位円 $C(0, 1)$ が 0 にホモトープなら、系 2.25 より $\int_{C(0,1)} dz/z = 0$ となるはずだが、実際は $2\pi i$ だからである。同様に円環 $\lbrace r < \lvert z \rvert < R \rbrace$ も単連結でない。解析的な量（積分）が位相的な性質（単連結性）を検出している。

2.7 一般形のコーシーの定理（ホモロジー形）

ホモトピー形の定理は強力だが、「$\gamma$ が 0 にホモトープか」を確かめるのは必ずしも容易でない。実は、積分が 0 になるための正確な条件は回転数だけで述べられる。

定義 2.27（サイクル・ホモローグ）閉曲線の形式的な和 $\Gamma = \gamma_1 + \cdots + \gamma_m$ をサイクル (cycle) といい、$\int_\Gamma f\ dz = \sum_j \int_{\gamma_j} f\ dz$、$n(\Gamma, a) = \sum_j n(\gamma_j, a)$ と定める（$\Gamma^{\ast} = \bigcup \gamma_j^{\ast}$）。開集合 $U$ 内のサイクル $\Gamma$ が、すべての $a \in \mathbb{C} \setminus U$ について $n(\Gamma, a) = 0$ を満たすとき、$\Gamma$ は $U$ において 0 にホモローグ (homologous to zero) であるという。

定理 2.28（コーシーの積分定理：一般形, general form of Cauchy's theorem）$f$ を開集合 $U$ で正則な関数、$\Gamma$ を $U$ において 0 にホモローグなサイクルとする。このとき

$$\int_\Gamma f(z)\,dz = 0, \qquad n(\Gamma, a) f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(z)}{z - a}\,dz \quad (a \in U \setminus \Gamma^{\ast})$$

が成り立つ。

本書ではこの定理の証明を省略する（主張と説明のみ）。証明は参考文献のアールフォルス『複素解析』などを参照してほしい。以下では、この定理の意味を説明する。

注意 2.29

1. 条件は必要十分である. $U$ で正則なすべての $f$ について $\int_\Gamma f = 0$ となるなら、$a \notin U$ に対する $f(z) = 1/(z - a)$ を代入して $n(\Gamma, a) = 0$ を得る。つまり「0 にホモローグ」は積分がすべて消えるための必要条件でもある。
2. ホモトピー形との関係. 系 2.25 より、0 にホモトープな閉曲線は 0 にホモローグである。逆は成り立たない。たとえば $U = \mathbb{C} \setminus \lbrace 0, 1 \rbrace$ で、0 のまわりを正の向きに 1 周する閉曲線 $\alpha$ と 1 のまわりを 1 周する閉曲線 $\beta$ を $\alpha, \beta, \alpha^-, \beta^-$ の順につないだ閉曲線は、0 と 1 のまわりの回転数がともに 0 なので 0 にホモローグだが、0 にホモトープではない（証明には基本群の計算が必要である。位相幾何学 第2章）。積分は回転数（ホモロジー）しか見ていない。
3. 本書での使い方. 第3章以降の主要な定理（積分公式、ローラン展開、留数定理）は、ホモトピー形の定理 2.24 と星型領域の定理 2.16 だけを使って証明する。定理 2.28 を認めれば、それらの定理の仮定を「0 にホモローグ」に弱められる。